人大附中2016-2017学年度第二学期期末高二年级数学试卷(理科)

2016人大附中高二（上）期末数学（理科）一、选择题（本大题共8小题，每小题4分，共32分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，请将正确答案填涂在机读卡上.）1．（4分）已知集合A={1，a}，B={1，2，3}，则“a=3”是“A⊆B“的（）A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件2．（4分）已知命题p：∀x∈R，2x＞0，则（）A．￢p：∃x∉R，2x≤0 B．￢p：∃x∈R，2x≤0 C．￢p：∃x∈R，2x＜0 D．￢p：∃x∉R，2x＞0 3．（4分）如图，在三棱锥O﹣ABC中，点D是棱AC的中点，若=，=，=，则等于（）A．﹣B．C．﹣+D．﹣﹣﹣4．（4分）给定原命题：“若a2+b2=0，则a、b全为0”，那么下列命题形式正确的是（）A．逆命题：若a、b全为0，则a2+b2=0B．否命题：若a2+b2≠0，则a、b全不为0C．逆否命题：若a、b全不为0，则a2+b2≠0D．否定：若a2+b2=0，则a、b全不为05．（4分）双曲线﹣=1的离心率为2，则该双曲线的渐近线方程为（）A．x±2y=0 B．2x±y=0 C．x±y=0 D．x±y=06．（4分）已知点P是双曲线﹣=1上一点，若PF1⊥PF2，则△PF1F2的面积为（）A．B．C．5 D．107．（4分）已知AB是经过抛物线y2=2px的焦点的弦，若点A、B的横坐标分别为1和，则该抛物线的准线方程为（）A．x=1 B．x=﹣1 C．x=D．x=﹣8．（4分）在平面直角坐标系中，动点P（x，y）到两条坐标轴的距离之和等于它到点（1，1）的距离，记点P的轨迹为曲线W，则下列命题中：①曲线W关于原点对称；②曲线W关于x轴对称；③曲线W关于y轴对称；④曲线W关于直线y=x对称所有真命题的个数是（）A．1 B．2 C．3 D．4二、填空题（本大题共6小题，每小题5分，共30分.请把结果填在答题纸中.）9．（5分）以y=±x为渐近线且经过点（2，0）的双曲线方程为．10．（5分）已知=（2，﹣1，2），=（﹣4，2，x），且∥，则x=．11．（5分）设F1、F2是椭圆+=1的两个焦点，P是椭圆上一点，若|PF1|﹣|PF2|=1，则|PF1|=，||PF2|=．12．（5分）已知△ABC的顶点A（1，0，0），B（0，2，0），C（0，0，1），CD是AB边上的高，则点D的坐标为．13．（5分）已知命题p：方程x2+mx+1=0有两个不相等的负根；命题q：方程4x2+4（m﹣2）x+1=0无实根．若p∨q为真，（p∧q）为假，则m的取值范围为．14．（5分）已知点A（0，2），点B（0，﹣2），直线MA、MB的斜率之积为﹣4，记点M的轨迹为C （I）曲线C的方程为；（II）设QP，为曲线C上的两点，满足OP⊥OQ（O为原点），则△OPQ面积的最小值是．三、解答题（本大题共3小题，共38分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）15．（12分）已知向量=（2，﹣1，﹣2），=（1，1，﹣4）．（1）计算2﹣3和|2﹣3|；（2）求＜，＞16．（14分）如图，在直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，∠ACB=90°，AC=3，BC=CC1=4（1）求证：AB1⊥C1B（2）求直线C1B与平面ABB1A1所成的角的正弦值．17．（12分）已知抛物线C的顶点在坐标原点O，焦点为F（1，0），经过点F的直线l与抛物线C相交于A、B两点．（1）求抛物线C的标准方程；（2）若△AOB的面积为4，求|AB|一、填空题（本题共2小题，每题10分，共20分.请把结果填在答题纸上.）18．（10分）已知点P为抛物线y2=2x上的一个动点，过点P作⊙A：（x﹣3）2+y2=1的两条切线PM、PN，切点为M、N（I）当|PA|最小时，点P的坐标为；（II）四边形PMAN的面积的最小值为．19．（10分）在四面体ABCD中，若E、F、H、I、J、K分别是棱AB、CD、AD、BC、AC、BD的中点，则EF、HI、JK相交于一点G，则点G为四面体ABCD的重心．设A（0，0，2），B（2，0，0），C（0，3，0），D（2，3，2）．（I）重心G的坐标为；（II）若△BCD的重心为M，则=．二、解答题（本大题共2小题，满分30分.请把解答过程写在答题纸上.）20．（14分）已知椭圆C的中心在坐标原点O，两焦点分别为F1（﹣，0）、F2（，0），过点P （0，2）的直线l与椭圆C相交于A、B两点，且△AF1F2的周长为4+2．（1）求椭圆C的标准方程；（2）若原点O关于直线l的对称点在椭圆C上，求直线l的方程．21．（16分）如图（1），在△ABC中，AC=BC=1，∠ACB=90°，D是AB边上一点，沿CD将图形折叠成图（2），使得二面角B﹣CD﹣A是直二面角．（1）若D是AB边的中点，求二面角C﹣AB﹣D的大小；（2）若AD=2BD，求点B到平面ACD的距离；（3）是否存在一点D，使得二面角C﹣AB﹣D是直二面角？若存在，求的值；若不存在，请说明理由．参考答案与试题解析一、选择题（本大题共8小题，每小题4分，共32分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，请将正确答案填涂在机读卡上.）1．【解答】当a=3时，A={1，3}所以A⊆B，即a=3能推出A⊆B；反之当A⊆B时，所以a=3或a=2，所以A⊆B成立，推不出a=3故“a=3”是“A⊆B”的充分不必要条件故选A．2．【解答】因为全称命题的否定是特称命题，所以，命题p：∀x∈R，2x＞0，则￢p：∃x∈R，2x≤0．故选：B．3．【解答】由题意在三棱锥O﹣ABC中，点D是棱AC的中点，若=，=，=，可知：=+，=，==，=﹣+．故选：C．4．【解答】原命题：“若a2+b2=0，则a、b全为0”，所以逆命题是：“若a、b全为0，则a2+b2=0”，选项A正确；否命题是：“若a2+b2≠0，则a、b不全为0”，选项B错误；逆否命题是：“若a、b不全为0，则a2+b2≠0”，选项C错误；否定命题是：“若a2+b2=0，则a、b不全为0”，选项D错误．故选：A．5．【解答】由已知，双曲线﹣=1的离心率为2，∴，∴．该双曲线的渐近线方程为：y=，即：x±y=0．故选：C6．【解答】由题意得a=2，b=，c=3，∴F1（﹣3，0）、F2（3，0），Rt△PF1F2中，由勾股定理得4c2=|PF1|2+|PF2|2=（|PF1|﹣|PF2|）2+2•|PF1|•|PF2|=4a2+2•|PF1|•|PF2|，∴36=4×4+2•|PF1|•|PF2|，∴|PF1|•|PF2|=10，∴△PF1F2面积为•|PF1|•|PF2|=5，故选：C．7．【解答】由题意，A（1，），B（，﹣），∴|AB|==，∴=1++p，∴p=1，∴抛物线的准线方程为x=﹣．故选：D．8．【解答】曲线W的轨迹方程为|x|+|y|=，两边平方得：2|xy|=﹣2x﹣2y+2，即|xy|+x+y=1，①若xy＞0，则xy+x+y+1=2，即（x+1）（y+1）=2，∴y=，函数为以（﹣1，﹣1）为中心的双曲线的一支，②若xy＜0，则xy﹣x﹣y+1=0，即（x﹣1）（y﹣1）=0，∴x=1（y＜0）或y=1（x＜0）．作出图象如图所示：∴曲线W关于直线y=x对称；故选A．二、填空题（本大题共6小题，每小题5分，共30分.请把结果填在答题纸中.）9．【解答】∵双曲线以y=±x为渐近线，∴该双曲线为等轴双曲线，设方程为x2﹣y2=λ（λ≠0）∵点（2，0）是双曲线上的点，∴22﹣02=λ，可得λ=4由此可得双曲线方程为x2﹣y2=4，化成标准形式得故答案为：10．【解答】∵∥，∴2×2=﹣2×x∴x=﹣4．故答案为：﹣411．【解答】椭圆+=1中，a=2，∵P是椭圆+=1上的点，F1，F2是椭圆的两个焦点，∴由椭圆定义知|PF1|+|PF2|=2a=4，∵|PF1|﹣|PF2|=1，∴|PF1|=2.5，||PF2|=1.5．故答案为：2.5，1.5．12．【解答】=（﹣1，2，0）．设=λ，可得：=+λ=（1﹣λ，2λ，0）．∴=（1﹣λ，2λ，﹣1）．∵⊥，∴•=﹣（1﹣λ）+4λ=0，解得：λ=，∴=．故答案为：．13．【解答】命题p为真时，实数m满足△=m2﹣4＞0且﹣m＜0，解得m＞2，命题q为真时，实数m满足△=16（m﹣2）2﹣16＜0，解得1＜m＜3，p∨q为真命题、p∧q为假命题，∴p，q一真一假；①若q真且p假，则实数m满足1＜m＜3且m≤2，解得1＜m≤2；②若q假且p真，则实数m满足m≤1或m≥3且m＞2，解得m≥3；综上可知实数m的取值范围是（1，2]∪[3，+∞）．14．【解答】（I）设M（x，y），又A（0，2），点B（0，﹣2），∴，即，∴曲线C的方程为；（Ⅱ）设PQ方程：y=kx+m，代入椭圆4x2+y2=4，整理得：（k2+4）x2+2kmx+m2﹣4=0．△=4k2m2﹣4（k2+4）（m2﹣4）=16（k2﹣m2+4）．．y1y2=（kx1+m）（kx2+m）=．∴==0．化简得：5m2=4（1+k2），即．点O到直线PQ的距离d==．则===，由≥，得：|OP|•|OQ|≥．∴|OP|2+|OQ|2≥2|OP|•|OQ|≥2=．=|OP|•|OQ|≥．∴S△OPQ故答案为：，．三、解答题（本大题共3小题，共38分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）15．【解答】（1）2﹣3=2（2，﹣1，﹣2）﹣3（1，1，﹣4）=（4，﹣2，﹣4）﹣（3，3，﹣12）=（1，﹣5，8）．|2﹣3|==3．（2）∵cos＜，＞===，＜，＞∈[0，π]，∴＜，＞=．16．【解答】（1）证明：连接B1C交BC1于点O．∵CC1⊥底面ABC，AC⊂平面ABC，BC⊂平面ABC，∴CC1⊥AC，CC1⊥BC，又AC⊥BC，∴AC，CB，CC1两两垂直，以CA所在直线为x轴，CB所在直线为y轴，CC1所在直线为z轴建立如图所示的空间直角坐标系．∵AC=3，BC=CC1=4，∴A（3，0，0），B（0，4，0），B1（0，4，4），C1（0，0，4）．∴=（﹣3，4，4），=（0，﹣4，4），∴=﹣3•0+4•（﹣4）+4•4=0，∴AB1⊥BC1．（2）解：∵A1（3，0，4），A（3，0，0），B（0，4，0），B1（0，4，4），C1（0，0，4）．∴=（﹣3，4，0），=（0，0，4），=（0，4，﹣4）．设平面ABB1A1的法向量=（x，y，z），则，∴．令x=4得=（4，3，0）．∴cos＜＞===．∴直线C1B与平面ABB1A1所成角的正弦值为．17．【解答】（1）依题意可设：抛物线C的标准方程为y2=2px（p＞0），由其焦点为F（1，0）易得：2p=4，得：p=2，故所求抛物线C的标准方程为y2=4x；（2）①当直线l斜率不存在即与x轴垂直时，易知：|AB|=4，=|OF|•|AB|=×1×4=2，此时△AOB的面积为S△AOB不符合题意，故舍去．②当直线l斜率存在时，可设其为k（k≠0），则此时直线l的方程为y=k（x﹣1），将其与抛物线C的方程：y2=4x联立化简整理可得：k2x2﹣2（k2+2）x+k2=0，（k≠0），设A、B两点坐标分别为（x1，y1），（x2，y2）由韦达定理可得：，由弦长公式可得：|AB|=x1+x2+p=2++2=+4，由点到直线的距离公式可得：坐标原点O到直线l的距离为d=，=|AB|d=2（+|k|）==4，故△AOB的面积为S△AOB==16，解得：k=±，k2=，又|AB|=+4=12+4=16，因此，当△AOB的面积为4时，所求弦AB的长为16．一、填空题（本题共2小题，每题10分，共20分.请把结果填在答题纸上.）18．【解答】（I）设P（x，y），则|PA|2=（x﹣3）2+y2=（x﹣3）2+2x=（x﹣2）2+5，∴x=2时，|PA|最小，此时y=±2，∴点P的坐标为（2，±2）；（II）圆C：（x﹣3）2+y2=1圆心C（3，0）、半径r为：1根据题意，若四边形面积最小，则圆心与点P的距离最小．由（I），|PA|最小为，∴四边形PMAN的面积的最小值为2×=故答案为：（2，2）或（2，﹣2）；．19．【解答】（I）x G==1，y G==，z G==1，∴重心G的坐标为．（II）M，即M．=，=，∴==3．故答案分别为：；3．二、解答题（本大题共2小题，满分30分.请把解答过程写在答题纸上.）20．【解答】（1）设椭圆C的标准方程为=1（a＞b＞0），由题意可得：c=，2a+2c=4+2，a2=b2+c2，联立解得：c=，a=2，b=1．所求椭圆C的方程为=1．（2）由题意易知：直线l的斜率存在，可设直线l的方程为：y=kx+2，（k≠0）．设原点O关于直线l的对称点O′的坐标为（x0，y0）．则线段OO′的中点D的坐标为，由题意可知：点D在直线l上，故有=k+2，①点O在椭圆C上，故有+=1，②线段OO′与直线l垂直，故有×k=﹣1，③由①③可得：x0=﹣，，将其代入②可得：k=．故所求直线l的方程为：y=x+2．21．【解答】（1）在图（1）中，∵AC=BC=1，∠ACB=90°，∴AB=．当D为AB边的中点时，AD=BD=CD==，且CD⊥AB．在图（2）中取AB的中点M，连结DM，CM．∵CA=CB=1，AD=BD=，AB=1，∴DM=，CM=，且CM⊥AB，DM⊥AB．∴∠CMD为二面角C﹣AB﹣D的平面角．在△CDM中，由余弦定理得cos∠CMD===．∴二面角C﹣AB﹣D的大小为arccos．（2）在图（1）中，当AD=2BD时，BD=AB=，在△BCD中，由余弦定理得：CD==．由正弦定理得：，∴sin∠BCD==．在图（2）中，∵二面角B﹣CD﹣A是直二面角，∴∠BCD为BC与平面ACD所成的角，∴点B到平面ACD的距离为BC•sin∠BCD=．（3）设=λ（λ＞0），则AD=，BD=．在平面ACD中过A作AC的垂线Ay，过A作平面ACD的垂线Az，以A为原点建立空间直角坐标系A﹣xyz，如图所示：设B到平面ACD的距离为h，则A（0，0，0），C（1，0，0），D（，，0），B（，，h）．设AB的中点为M，则M（，，），∴=（，，），=（，，0）．∵CA=CB，M为AB的中点，∴CM⊥AB，假设二面角C﹣AB﹣D是直二面角，则CM⊥平面ABD，∴CM⊥AD．∵=•++0=≠0．与CM⊥AD矛盾．∴不存在一点D，使得二面角C﹣AB﹣D是直二面角．。

2016-2017学年度高二第二学期期末考试理科数学试题及答案试卷类型：A高二数学（理科）试题2017.7注意事项：1.本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，共5页。

2.答题前，考生务必在答题卡上用直径0.5毫米的黑色字迹签字笔将自己的姓名、准考证号填写清楚，并粘好条形码。

请认真核准条形码上的准考证号、姓名和科目。

3.答第Ⅰ卷时，选出每题答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。

如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。

答在本试卷上无效。

4.答第Ⅱ卷时，请用直径0.5毫米的黑色字迹签字笔在答题卡上各题的答题区域内作答。

答在本试卷上无效。

5.第（22）、（23）小题为选考题，请按题目要求从中任选一题作答，并用2B 铅笔在答题卡上把所选题目题号后的方框涂黑。

6.考试结束后，将本试卷和答题卡一并收回。

附：回归方程ˆˆˆy bx a =+中斜率与截距的最小二乘估计公式分别为：∑∑∑∑====--=---=n i i ni ii n i i ni iixn x yx n yx x x y yx x b1221121)())((ˆ，x b y aˆˆ-= 第Ⅰ卷一、选择题：本题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合 题目要求的。

（1）已知复数iiz +-=122，其中i 是虚数单位，则z 的模等于（A ）2- (B) 3 (C) 4 (D) 2（2）用反证法证明某命题时，对结论：“自然数cb a ,,中恰有一个偶数”正确的反设为(A) cb a ,,中至少有两个偶数 (B)c b a ,,中至少有两个偶数或都是奇数(C)cb a ,,都是奇数 (D)cb a ,,都是偶数（3）用数学归纳法证明：对任意正偶数n ，均有41212111...4131211+++=--++-+-n n n n （ )21...n++，在验证2=n 正确后，归纳假设应写成（A ）假设)(*N k k n ∈=时命题成立 （B ）假设)(*N k k n ∈≥时命题成立（C ）假设)(2*N k k n ∈=时命题成立 （D ）假设))(1(2*N k k n ∈+=时命题成立(4)从3男4女共7人中选出3人，且所选3人有男有女，则不同的选法种数有（A ）30种 (B) 32 种 (C) 34种 (D) 35种(5)曲线xe y =在点()22e ，处的切线与坐标轴所围三角形的面积为(A)22e (B)2e (C)22e (D)492e(6)已知随机变量X服从正态分布()2,3σN ，且)3(41)1(>=<X P X P ，则)5(<X P 等于(A) 81 (B) 85 (C) 43 (D) 87(7)已知⎰≥3sin 2πxdxa ，曲线)1ln(1)(++=ax aax x f 在点())1(,1f 处的切线的斜率为k ，则k 的最小值为(A)1 (B) 23 (C)2 (D) 3 （8）甲、乙、丙三人独立参加体育达标测试，已知甲、乙、丙各自通过测试的概率分别为p ,4332，，且他们是否通过测试互不影响.若三人中只有甲通过的概率为161，则甲、丙二人中至少有一人通过测试的概率为(A) 87 (B) 43 (C) 85 (D) 76（9）函数)1(2)(3-'+=f x x x f ，则函数)(x f 在区间[]3,2-上的值域是(A)]9,24[- (B)]24,24[- (C) ]24,4[(D)[]9,4 (10)设()()5522105)1(...1)1(1x a x a x a a x +++++++=-，则420a a a++等于(A) 242 (B) 121 (C) 244 (D)122 (11)已知函数)()()(2R b xbx x e x f x ∈-=.若存在⎥⎦⎤⎢⎣⎡∈2,21x ，使得)()(>'+x f x x f ，则实数b 的取值范围是(A) ⎪⎭⎫⎝⎛∞-65, (B) ⎪⎭⎫ ⎝⎛∞-38, (C)⎪⎭⎫⎝⎛-65,23 (D)⎪⎭⎫⎝⎛∞+，38(12)中国南北朝时期的著作《孙子算经》中，对同余除法有较深的研究.设)0(,,>m m b a 为整数，若a 和b被m 除得的余数相同，则称a 和b 对模m 同余，记为)(mod m b a =.如9和21被6除得的余数都是3，则记)6(mod 219=.若20202022201200202...22⋅++⋅+⋅+=C C C C a ，)10(mod b a =，则b 的值可以是(A) 2011 (B) 2012 (C) 2013 (D) 2014第II 卷本卷包括必考题和选考题两部分。

人大附中 2017~2018 学年度第二学期期末高二年级数学(理)练习2018年7月6日说明：本练习共三道大题20 道小题，共 4 页，满分 150 分，考试时间120 分钟。

一、选择题(本大题共8 小题，每题 5 分，共 40 分．在每题给出的四个选项中，只有一项为哪一项切合题目要求的，请将正确答案填涂在答题纸的相应地点.）11． (e x 2 x)dx 等于（）（A）1（ B） e 1（C）e（ D） e 12．已知(13x)n的睁开式中含有x2项的系数是54，则n（）（A）3（B）4（C） 5（D）63．函数 y f ( x) 的导函数 y f ( x) 的图象如右图所示，则y f ( x) 的图象可能是（）4．已知从 A 口袋中摸出一个球是红球的概率为1，从 B 口袋中摸出一个球是红球的概率为41 ，现从两个口袋中各摸出一个球，那么这两个球起码有一个不是红球的概率是（）5（A）1（B）19（C）3（D）7 20205205．以下极坐标方程中，对应的曲线为右图的是（）O x （ A） 6 5cos （B）6 5sin（C）6 5cos （D）6 5sin6．已知随机变量i知足 P( i 1)p i , P(i 0) 1 p i , i1,2 .若 0p1 p21,则（）2（A） E( 1)E( 2)， D( 1) D( 2)（B） E( 1)E( 2)，D( 1) D( 2)（C） E( 1)E( 2)， D( 1) D( 2)（D） E( 1)E( 2)， D( 1) D( 2)7．会合 P{ x | x a0a1 2 a222a323 } ，此中a i{0,1}, i0,1, 2,3 ．则会合 P 中元素的个数及全部元素之和分别是（）（ A） 16， 120（ B） 8， 120（C） 16， 60（D）8， 608．设函数y x3x2 , x e,的图象上存在两点 P, Q ,使得△ POQ 是以O为直角极点的直角a ln x,x e三角形 (此中 O为坐标原点 ),且斜边的中点恰幸亏 y 轴上 ,则实数 a 的取值范围是（）（ A） (0,1]（B）( ,1]（C） [1, +)（D）Re1e1e1二、填空题 (本大题共 6 小题，每题 5 分，共 30 分．请把结果填在答题纸的相应地点.)9．已知复数z 12i ，此中i是虚数位，z的模是________．1 ix12cos( 参数 )被 x 截得的弦 ________．10．1 2siny11．有 5 名教要 3 个趣小出门学观察，要求每个趣小的教至多2人，不一样的方案有________种．（用数字作答）12．察以下一等式1+2=32+3+4+5=143+4+5+6+7+8=334+5+6+7+8+9+10+11=60⋯⋯照此律，第n 个等式的右端 ________．13．已知函数 f ( x)x2 2 x,x0,ax 恒建立， a 的取范是 ________．ln( x1),x若 | f (x)|0.14．定会合A n{1, 2, 3,, n } ，映照 f: A n A n，若 f足：①当 i , j A n , i j ， f (i ) f ( j ) ；②任取 m A n，若m 2 ，有m{ f (1), f (2), ,f (m)} ．称映照 fA A 是一个“ 映照”．比如：用表 1 表示的映照 f : A A 是一个n n33映照．表 1表 2i123i1234f (i )231 f (i )3（ 1）已知表 2 表示的映照 f : A4A4是一个映照，把表 2 充完好（只要填出一个足条件的映照）；（ 2）若映照 f : A A是“ 映照”，且方程 f (i )i 的解恰有 6 个，的“ 映照”1010的个数是 ________．三、解答(本大共 6 小，共 80 分，解答写出文字明明程或演算步.）15．（本小 13 分）甲、乙两人行射比，各射 4 局，每局射10 次，射命中目得 1 分，未命中目得 0 分．两人 4 局的得分状况以下：甲6699乙79x y（Ⅰ）若从甲的 4 局比中，随机取 2 局，求 2 局的得分恰巧相等的概率；（Ⅱ）假如 x y7 ，从甲、乙两人的 4 局比中随机各取 1 局，2 局的得分和X ,求 X 的散布列和数学希望；（Ⅲ）在 4 局比中，若甲、乙两人的均匀得分同样，且乙的更定，写出x 的全部可能取．（不要求明）16．（本小13 分）已知数列 { a n } 中， a11，且a n 12an ( n N ) .2 a n（Ⅰ）求 a2 , a3 , a4的值；（Ⅱ）试猜想这个数列的通项公式，并用数学概括法证明．17．（本小题 13 分）已知函数 f ( x) ax3bx24x 的极小值为8 ，其导函数 y f ( x) 的图象经过点( 2, 0)，以下图．y（Ⅰ）求 f ( x) 的分析式；（Ⅱ）若函数y f ( x) k 在区间 [ 3, 2] 上有两个不一样的零点，务实数 k 的取值范围．-2O x 18．（本小题13 分）某企业计划购置 2 台机器，该种机器使用三年后即被裁减．机器有一易损部件，在购进机器时，能够额外购置这类部件作为备件，每个200 元，在机器使用时期，假如备件不足再购置，则每个 500 元．现需决议在购置机器时应同时购置几个易损部件，为此收集并整理了100台这类机器在三年使用期内改换的易损部件数，得下边柱状图：频数402011 改换的易损部件数8910以这 100 台机器改换的易损部件数的频次取代 1 台机器改换的易损部件数发生的概率，记 X 表示2台机器三年内共需改换的易损部件数，n 表示购置 2 台机器的同时购置的易损部件数．（Ⅰ）求 X 的散布列；（Ⅱ）若要求 P( X n )0.5 ，确立 n 的最小值；（Ⅲ）以购置易损部件所需花费的希望值为决议依照，在n 19与 n 20 之中选其一，应选用哪个？19．（本小题14 分）已知函数 f ( x)e x a(x ln x) (a R ) ．x（Ⅰ）当 a （Ⅱ）当 a （Ⅲ）若存在1 ， 求 f ( x) 在 (1, f (1)) 的切 方程； 0 ， 求f ( x) 的 区 ；x 1 (0,1), x 2 (0,1) ，使得 f (x 1 ) f ( x 2 ) ， 求 a 的取 范 ．20．（本小14 分）于 数m 的有 数列 { a n } ,令 b kmax{ a 1 , a 2 , , a k } (k 1, 2, , m) ,即 b ka 1 , a 2 ,⋯a k 中的最大 , 称数列 {b n }{ a n } 的上界数列 , 如 1, 3, 2, 5 的上界数列是 1, 3, 3, 5．（Ⅰ）若各 均 正整数的数列{ a n } 的上界数列2, 4, 4, 5, 写出全部的 { a n } ；（Ⅱ） { b n } 是 { a n } 的上界数列 , 足 a kb m k 1 C ( C 常数 , k1, 2, , m ), 求 : b ka k ；（Ⅲ）若各 正整数的数列{ a n } 的 数 m 5 , 其上界数列 {b n } 足 b 1 1, b 5 10 , 求 足条件的数列 { a n } 和 { b n } 的个数．。

2016—2017学年度第二学期教学质量检查 高二理科数学考生注意：本卷共三大题，22小题，满分150分. 考试用时120分钟，不能使用计算器.第Ⅰ卷 选择题一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分． 每小题各有四个选择支，仅有一个选择支正确．请把正确选择支号在答题卡中的相应位置涂黑．1．已知i 为虚数单位，则复数21i z i=+的共轭复数z =（ ） A. 1i - B. 1i + C. 1i -+ D. 1i --2.函数2()(1)f x x =+的导函数为（ ）A ．1)(+='x x fB ．12)(+='x x fC ．2)(+='x x fD ．22)(+='x x f3.已知随机变量X 服从正态分布即2(,)XN μσ，且()0.6826P X μσμσ-<≤+=，若随机变量(5,1)X N ，则(6)P X ≥=（ ）A ．0.3413B ．0.3174C ．0.1587D ．0.15864．若离散型随机变量ξ的取值分别为,m n ，且3(),(),8P m n P n m E ξξξ=====，则22m n +的值为（ ）A ．14B ．516C ．58D ．13165.'()f x 是()f x 的导函数，'()f x 的图象如右图所示，则()f x 的大致图象只可能是（ ）A B C D 6．将甲、乙、丙、丁四名学生分配到三个不同的班，每个班至少一名，则不同分法的种数为（ ）A ．18B ．24C ．36D ．727．为直观判断两个分类变量X 和Y 之间是否有关系，若它们的取值分别为{}21,x x 和{}21,y y ，通过抽样得到频数表为：则下列哪两个比值相差越大，可判断两个分类变量之间的关系应该越强（ ）y 1 y 2 x 1 a b x 2 c d 第5题图A. c a a +与d b b +B. d a a +与c b c +C. d b a +与c a c +D.d c a +与ba c + 8．用数学归纳法证明等式3)12(12)1()1(2122222222+=+++-++-++n n n n n ，当1n k =+时，等式左端应在n k =的基础上加上（ ）A ．222)1(k k ++B ．22)1(k k ++C ．2)1(+kD ．]1)1(2)[1(312+++k k9.五个人围坐在一张圆桌旁，每个人面前放着完全相同的硬币，所有人同时翻转自己的硬币. 若硬币正面朝上, 则这个人站起来; 若硬币正面朝下, 则这个人继续坐着. 那么, 没有相邻的两个人站起来的概率为（ ）A ．516B ．1132C ．1532D ．12 10．由曲线x y =与直线2,0-==x y y 围成封闭图形的面积为（ ） A ．310 B ．4 C ．316 D ．6 11.已知数列{}n a 满足)(11,21*11N n a a a n n ∈-==+，则使10021<+++k a a a 成立的最大正整数k 的值为（ ）A ．198B ．199C ．200D ．20112.已知函数b ax x x f --=ln )(，若0)(≤x f 对任意0>x 恒成立，则a b +的最小值为（ ）A ．1e -B ．0C ．1D ．e 2第Ⅱ卷 非选择题二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．把答案填在答题卡中相应的位置上．13. 已知函数()ln f x x x =，则曲线)(x f y =在点1=x 处切线的倾斜角为__________.14. 若n x )3(-的展开式中所有项的系数和为32，则含3x 项的系数是__________(用数字作答)． 15.若随机变量~(,)X B n p ，且52EX =，54DX =，则当(1)P X ==__________(用数字作答). 16．已知)(x f y =为R 上的连续可导函数，且)()()(x f x f x f x '>+'，则函数21)()1()(+-=x f x x g 在),1(+∞上的零点个数为___________．三、解答题（本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．解答过程必须写在答题卡相应题号指定的区域内，超出指定区域的答案无效．）17.（本小题满分10分）已知复数12=2 , =34z a i z i +-（a R ∈,i 为虚数单位）.（Ⅰ）若12z z ⋅是纯虚数，求实数a 的值；（Ⅱ）若复数12z z ⋅在复平面上对应的点在第二象限，且1||4z ≤，求实数a 的取值范围.18.(本小题满分 12 分)东莞市某高级中学在今年4月份安装了一批空调，关于这批空调的使用年限x （单位：年，*x N ∈）和所支出的维护费用y （单位：万元）厂家提供的统计资料如下：使用年限x （年） 1 2 3 4 5维护费用y （万元） 6 7 7.5 8 9（Ⅰ）请根据以上数据，用最小二乘法原理求出维护费用y 关于x 的线性回归方程a x b yˆˆˆ+=； （Ⅱ）若规定当维护费用y 超过13.1万元时，该批空调必须报废，试根据（1）的结论预测该批空调使用年限的最大值.参考公式：最小二乘估计线性回归方程a x b yˆˆˆ+=中系数计算公式：∑∑∑∑====-⋅-=---=n i in i i i n i i n i i i x n x y x n y x x x y y x x b1221121)())((ˆ，x b y a ˆˆ-=，其中x ，y 表示样本均值. 19.(本小题满分 12 分)甲、乙两人想参加《中国诗词大会》比赛，筹办方要从10首诗词中分别抽出3首让甲、乙背诵，规定至少背出其中2首才算合格；在这10首诗词中，甲只能背出其中的7首，乙只能背出其中的8首.（Ⅰ）求抽到甲能背诵的诗词的数量ξ的分布列及数学期望；（Ⅱ）求甲、乙两人中至少有一人能合格的概率.20.(本小题满分 12 分)已知函数23(),()2x f x x e g x x ==.（Ⅰ）求函数()f x 的单调区间；（Ⅱ）求证：R x ∈∀，()()f x g x ≥.21.(本小题满分 12 分) 已知函数32()(,)f x x mx nx m n R =++∈.（Ⅰ）若()f x 在1x =处取得极大值，求实数m 的取值范围；（Ⅱ）若(1)0f '=，且过点(0,1)P 有且只有两条直线与曲线()y f x =相切，求实数m 的值.22.(本小题满分 12 分)已知函数()R a x a x x f ∈-=ln )(2，()()F x bx b R =∈.（Ⅰ）讨论()f x 的单调性；（Ⅱ）设2,()()()a g x f x F x ==+，若12,x x 12(0)x x <<是)(x g 的两个零点，且1202x x x +=，试问曲线()y g x =在点0x 处的切线能否与x 轴平行？请说明理由．。

人大附中2016-2017学年度第二学期期末高二年级数学（理科）练习一、选择题（共8道小题，每道小题5分，共40分，请将正确答案填涂在答题纸上．）1.设是虚数单位，则（）．A. B. C. D.【答案】A【解析】分析：利用复数的除法运算法则：分子、分母同乘以分母的共轭复数，化简即可得结果.详解：，故选.点睛：复数是高考中的必考知识，主要考查复数的概念及复数的运算．要注意对实部、虚部的理解，掌握纯虚数、共轭复数这些重要概念，复数的运算主要考查除法运算，通过分母实数化转化为复数的乘法，运算时特别要注意多项式相乘后的化简，防止简单问题出错，造成不必要的失分.2.在极坐标系中，点与点的距离为（）．A. B. C. D.【答案】B【解析】分析：将极坐标与化成直角坐标，利用两点间距离公式可得结果.详解：将极坐标与化成直角坐标与,两点的距离．故选．点睛：本题主要考查极坐标与直角坐标的互化，以及两点间距离公式的应用，属于简单题.3.已知直线y=x+1与曲线相切，则α的值为A. 1B. 2C. -1D. -2【答案】B【解析】设切点，则，又，故答案选B。

4.圆（为参数）被直线截得的劣弧长为（）A. B. C. D.【答案】A【解析】试题分析：圆的标准方程为，圆心到直线的距离为1，故圆心角为，故劣弧长为考点：直线与圆的位置关系、弧长公式5.直线与圆的位置关系是（）．A. 相交但不过圆心B. 相交且过圆心C. 相切D. 相离【答案】C【解析】分析：直线化为直角坐标方程，圆化为直角坐标方程，求出圆心到直线距离，与半径比较即可得结论.详解：直线可化成,,，圆可化成,，圆心到直线的距离，所以圆与直线相切．故选．点睛：利用关系式可以把极坐标与直角坐标互化，这类问题一般我们可以先把曲线方程化为直角坐标方程，用直角坐标方程解决相应问题．6.某光学仪器厂生产的透镜，第一次落地打破的概率为；第一次落地没有打破，第二次落地打破的概率为；前两次落地均没打破，第三次落地打破的概率为．则透镜落地次以内（含次）被打破的概率是（）．A. B. C. D.【答案】D【解析】分析：分别利用独立事件的概率公式求出恰在第一次、恰在第二次、恰在第三次落地打破的概率，然后由互斥事件的概率公式求解即可.详解：透镜落地次，恰在第一次落地打破的概率为，恰在第二次落地打破的概率为，恰在第三次落地打破的概率为，∴落地次以内被打破的概率．故选．点睛：本题主要考查互斥事件、独立事件的概率公式，属于中档题. 解答这类综合性的概率问题一定要把事件的独立性、互斥性结合起来，要会对一个复杂的随机事件进行分析，也就是说能把一个复杂的事件分成若干个互斥事件的和，再把其中的每个事件拆成若干个相互独立的事件的积，这种把复杂事件转化为简单事件，综合事件转化为单一事件的思想方法在概率计算中特别重要.7.若函数在其定义域的一个子区间上不是单调函数，则实数的取值范围是（）．A. B. C. D.【答案】A【解析】分析：利用导数求出函数的极值点为，由可得结果.详解：∵，所以，令，有，令，有，所以是极值点，当在上不是单调函数，则有，解得．故选．点睛：本题主要考查利用导数判断函数的单调性以及函数的极值，属于难题.求函数极值的步骤：(1) 确定函数的定义域；(2) 求导数；(3) 解方程求出函数定义域内的所有根；(4) 列表检查在的根左右两侧值的符号，如果左正右负（左增右减），那么在处取极大值，如果左负右正（左减右增），那么在处取极小值.8.几个孩子在一棵枯树上玩耍，他们均不慎失足下落．已知（）甲在下落的过程中依次撞击到树枝，，；（）乙在下落的过程中依次撞击到树枝，，；（）丙在下落的过程中依次撞击到树枝，，；（）丁在下落的过程中依次撞击到树枝，，；（）戊在下落的过程中依次撞击到树枝，，．倒霉和李华在下落的过程中撞到了从到的所有树枝，根据以上信息，在李华下落的过程中，和这根树枝不同的撞击次序有（）种．A. B. C. D.【答案】D【解析】分析：由题可判断出树枝部分顺序，还剩下，，，先看树枝在之前，有种可能，而树枝在之间，在之后，若在之间，利用分类计数加法原理求解即可.详解：由题可判断出树枝部分顺序，还剩下，，，先看树枝在之前，有种可能，而树枝在之间，在之后，若在之间，有种可能：①若在之间，有种可能，②若在之间，有种可能，③若在之间，有种可能．若不在之间，则有种可能，此时有种可能，可能在之间，有种可能，可能在之间，有种可能，综上共有．故选．点睛：本题主要考查分类计数原理的应用，属于难题.有关排列组合的综合问题，往往是两个原理及排列组合问题交叉应用才能解决问题，解答这类问题理解题意很关键，一定多读题才能挖掘出隐含条件.解题过程中要首先分清“是分类还是分步”、“是排列还是组合”，在应用分类计数加法原理讨论时，既不能重复交叉讨论又不能遗漏，这样才能提高准确率.二、填空题（共6道小题，每道小题5分，共30分．将正确答案填写在答题卡要求的空格中．）9.若的展开式中项的系数是，则实数的值是__________．【答案】【解析】分析：求出展开式的通项，令的系数为可得项的系数，列方程求解即可.详解：展开式的通项为令，可得系数为，可得．故答案为.点睛：本题主要考查二项展开式定理的通项与系数，属于简单题. 二项展开式定理的问题也是高考命题热点之一，关于二项式定理的命题方向比较明确，主要从以下几个方面命题：（1）考查二项展开式的通项公式；（可以考查某一项，也可考查某一项的系数）（2）考查各项系数和和各项的二项式系数和；（3）二项展开式定理的应用.10.在复平面上，一个正方形的三个项点对应的复数分别是、、，则该正方形的第四个顶点对应的复数是__________．【答案】【解析】【分析】设第个顶点为，利用向量相等列方程求解即可.【详解】因为正方形的三个项点对应的复数分别是、、，所以正方形三个顶点对应的坐标为，，，设第个顶点为，则，∴，，即第个顶点为．所以第4个顶点对应的复数为【点睛】本题主要考查复数的几何意义，向量相等，属于基础题..11.设随机变量，，若，则的值为__________．【答案】【解析】分析：由可得，从而可得.详解：∵随机变量，，∴，∴，∴，∴，故答案为.点睛：本题主要考查二项分布、独立重复试验概率公式、对立事件的概率公式，意在考查综合应用所学知识解答问题的能力以及计算能力，属于中档题.12.设，，若，则，的大小关系为__________．【答案】【解析】分析：构造函数，则，利用导数可得在单调递减，从而可得结果.详解：∵，令，∴，∴，∴，∵，即∴．故答案为.点睛：本题出题意图在于通过构造函数，并判断其单调性，进而比较代数式的大小.其中恰当的构造函数是本题的关键，也是本题的难点，至于函数的单调性常用判断方法有定义法，求导法，基本函数的单调性法，复合函数的单调性法，图像法等.13.抛物线与经过其焦点的直线相交于，两点，若，则__________，抛物线与直线围成的封闭图形的面积为__________．【答案】(1). (2).【解析】分析：利用焦半径公式可求得的纵坐标，可得，从而可得直线的方程，求得坐标，由两点间距离公式可得，利用微积分基本定理可得结果.详解：∵抛物线的焦点为，，由抛物线性质可知，点到准线距离为，设的纵坐标，则，∴，当为时，，∴直线为，联立直线与抛物线，解得另一交点坐标为，∴，根据定积分的几何意义可得所围成的封闭面积．故答案为(1). (2).点睛：本题主要考查抛物线的定义和几何性质，以及微积分基本定理的应用，属于难题.与焦点、准线有关的问题一般情况下都与拋物线的定义有关，解决这类问题一定要注意点到点的距离与点到直线的距离的转化：（1）将抛线上的点到准线距离转化为该点到焦点的距离；(2)将抛物线上的点到焦点的距离转化为到准线的距离，使问题得到解决14.对于有个数的序列，，，，实施变换得新序列，，，，记作；对继续实施变换得新序列，记作；，．最后得到的序列只有一个数，记作．（）若序列为，，，，则序列为__________．（）若序列为，，，，则序列__________．【答案】(1). ，(2).【解析】分析：（）由题意，，，，，即为，；（）根据归纳推理可得，利用倒序相加法，化简即可得结果.详解：（）由题意，，，，，即为，．（）时，，时，，联时，，联时，，利用倒序相加可得：．故答案为，；.点睛：本题考查归纳推理、倒序相加法的应用、新定义问题及数形结合思想，属于难题.新定义题型的特点是：通过给出一个新概念，或约定一种新运算，或给出几个新模型来创设全新的问题情景，要求考生在阅读理解的基础上，依据题目提供的信息，联系所学的知识和方法，实现信息的迁移，达到灵活解题的目的.遇到新定义问题，应耐心读题，分析新定义的特点，弄清新定义的性质，按新定义的要求，“照章办事”，逐条分析、验证、运算，使问题得以解决.三、解答题15.已知函数，的图象经过和两点，如图所示，且函数的值域为.过该函数图象上的动点作轴的垂线，垂足为，连接.（I）求函数的解析式；（Ⅱ）记的面积为，求的最大值.【答案】（I）；（II）三角形面积的最大值为16.【解析】试题分析：（I）用待定系数法.由抛物线的对称性及题设可知，函数的对称轴为，顶点为. 将顶点坐标及点（0，0），（0，6）的坐标代入解析式得关于a,b,c方程组，解此方程组，便可得的解析式.（II）用三角形面积公式求得三角形的面积与t之间的函数关系式，然后利用导数可求得的面积为，求的最大值.试题解析：（I）由已知可得函数的对称轴为，顶点为. 2分方法一：由得5分得6分方法二：设4分由，得5分6分（II）8分9分列表得：11分由上表可得时，三角形面积取得最大值即13分考点：1、二次函数；2、导数16.某保险公司开设的某险种的基本保费为万元，今年参加该保险的人来年继续购买该险种的投保人称为续保人，续保人的下一年度的保费与其与本年度的出险次数的关联如下：设今年初次参保该险种的某人准备来年继续参保该险种，且该参保人一年内出险次数的概率分布列如下：（）求此续保人来年的保费高于基本保费的概率．（）若现如此续保人来年的保费高于基本保费，求其保费比基本保费高出的概率．（）求该续保人来年的平均保费与基本保费的比值．【答案】（）．（）．（）．【解析】分析：（1）由互斥事件的概率公式可得此续保人来年的保费高于基本保费的概率为；（2）根据条件概率公式可得保费比基本保费高出的概率为；（）利用离散型随机变量的去期望公式可得平均保费，从而可得结果.详解：（）设出险次数为事件，一续保人本年度的保费为事件，则续保人本年度保费高于基本保费为事件，则，．（）设保费比基本保费高出为事件，．（）平均保费，∴平均保费与基本保费比值为．详解：本题主要考查互斥事件、条件概率的应用以及离散型随机变量的期望公式，属于中档题.解答这类综合性的概率问题一定要把事件的独立性、互斥性结合起来，要会对一个复杂的随机事件进行分析，也就是说能把一个复杂的事件分成若干个互斥事件的和，再把其中的每个事件拆成若干个相互独立的事件的积，这种把复杂事件转化为简单事件，综合事件转化为单一事件的思想方法在概率计算中特别重要.。

试卷类型：A高二数学（理科）试题2017.7 注意事项：1.本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，共5页。

2.答题前，考生务必在答题卡上用直径0.5毫米的黑色字迹签字笔将自己的姓名、准考证号填写清楚，并粘好条形码。

请认真核准条形码上的准考证号、姓名和科目。

3.答第Ⅰ卷时，选出每题答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。

如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。

答在本试卷上无效。

4.答第Ⅱ卷时，请用直径0.5毫米的黑色字迹签字笔在答题卡上各题的答题区域内作答。

答在本试卷上无效。

5.第（22）、（23）小题为选考题，请按题目要求从中任选一题作答，并用2B 铅笔在答题卡上把所选题目题号后的方框涂黑。

6.考试结束后，将本试卷和答题卡一并收回。

附：回归方程ˆˆˆybx a =+中斜率与截距的最小二乘估计公式分别为： ∑∑∑∑====--=---=ni ini ii ni ini iixn xy x n yx x x y yx x b1221121)())((ˆ，x b y aˆˆ-= 第Ⅰ卷一、选择题：本题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合 题目要求的。

（1）已知复数iiz +-=122，其中i 是虚数单位，则z 的模等于 （A ）2- (B) 3 (C) 4 (D) 2（2）用反证法证明某命题时，对结论：“自然数c b a ,,中恰有一个偶数”正确的反设为 (A) c b a ,,中至少有两个偶数 (B)c b a ,,中至少有两个偶数或都是奇数 (C) c b a ,,都是奇数 (D) c b a ,,都是偶数 （3）用数学归纳法证明：对任意正偶数n ，均有41212111 (41)31211+++=--++-+-n n n n （ )21...n++，在验证2=n 正确后，归纳假设应写成 （A ）假设)(*N k k n ∈=时命题成立 （B ）假设)(*N k k n ∈≥时命题成立 （C ）假设)(2*N k k n ∈=时命题成立 （D ）假设))(1(2*N k k n ∈+=时命题成立(4)从3男4女共7人中选出3人，且所选3人有男有女，则不同的选法种数有 （A ）30种 (B) 32 种 (C) 34种 (D) 35种 (5)曲线xe y =在点()22e ，处的切线与坐标轴所围三角形的面积为(A)22e (B)2e (C) 22e (D) 492e(6)已知随机变量X 服从正态分布()2,3σN ，且)3(41)1(>=<X P X P ，则)5(<X P 等于(A)81 (B) 85 (C) 43 (D) 87(7)已知⎰≥3sin 2πxdx a ，曲线)1ln(1)(++=ax aax x f 在点())1(,1f 处的切线的斜率为k ，则k 的最小值为 (A)1 (B)23(C)2 (D) 3 （8）甲、乙、丙三人独立参加体育达标测试，已知甲、乙、丙各自通过测试的概率分别为p ,4332，，且他们是否通过测试互不影响.若三人中只有甲通过的概率为161，则甲、丙二人中至少有一人通过测试的概率为 (A)87 (B) 43 (C) 85 (D) 76（9）函数)1(2)(3-'+=f x x x f ，则函数)(x f 在区间[]3,2-上的值域是 (A) ]9,24[- (B) ]24,24[- (C) ]24,4[ (D)[]9,4 (10)设()()5522105)1(...1)1(1x a x a x a a x +++++++=-，则420a a a ++等于(A) 242 (B) 121 (C) 244 (D)122(11)已知函数)()()(2R b x bx x e x f x ∈-=.若存在⎥⎦⎤⎢⎣⎡∈2,21x ，使得0)()(>'+x f x x f ，则实数b 的取值范围是(A) ⎪⎭⎫ ⎝⎛∞-65, (B) ⎪⎭⎫ ⎝⎛∞-38, (C) ⎪⎭⎫⎝⎛-65,23 (D) ⎪⎭⎫⎝⎛∞+，38 (12)中国南北朝时期的著作《孙子算经》中，对同余除法有较深的研究.设)0(,,>m m b a 为整数，若a 和b 被m 除得的余数相同，则称a 和b 对模m 同余，记为)(mod m b a =.如9和21被6除得的余数都是3，则记)6(m o d 219=.若20202022201200202...22⋅++⋅+⋅+=C C C C a ，)10(mod b a =，则b 的值可以是(A) 2011 (B) 2012 (C) 2013 (D) 2014第II 卷本卷包括必考题和选考题两部分。

试卷类型：A高二数学（理科）试题2017.7 注意事项：1.本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，共5页。

2.答题前，考生务必在答题卡上用直径0.5毫米的黑色字迹签字笔将自己的、号填写清楚，并粘好条形码。

请认真核准条形码上的号、和科目。

3.答第Ⅰ卷时，选出每题答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。

如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。

答在本试卷上无效。

4.答第Ⅱ卷时，请用直径0.5毫米的黑色字迹签字笔在答题卡上各题的答题区域作答。

答在本试卷上无效。

5.第（22）、（23）小题为选考题，请按题目要求从中任选一题作答，并用2B 铅笔在答题卡上把所选题目题号后的方框涂黑。

6.考试结束后，将本试卷和答题卡一并收回。

附：回归方程ˆˆˆybx a =+中斜率与截距的最小二乘估计公式分别为： ∑∑∑∑====--=---=ni ini ii ni ini iixn xy x n yx x x y yx x b1221121)())((ˆ，x b y aˆˆ-= 第Ⅰ卷一、选择题：本题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合 题目要求的。

（1）已知复数iiz +-=122，其中i 是虚数单位，则z 的模等于 （A ）2- (B) 3 (C) 4 (D) 2（2）用反证法证明某命题时，对结论：“自然数c b a ,,中恰有一个偶数”正确的反设为 (A) c b a ,,中至少有两个偶数 (B)c b a ,,中至少有两个偶数或都是奇数 (C) c b a ,,都是奇数 (D) c b a ,,都是偶数 （3）用数学归纳法证明：对任意正偶数n ，均有41212111 (41)31211+++=--++-+-n n n n （ )21...n++，在验证2=n 正确后，归纳假设应写成 （A ）假设)(*N k k n ∈=时命题成立 （B ）假设)(*N k k n ∈≥时命题成立 （C ）假设)(2*N k k n ∈=时命题成立 （D ）假设))(1(2*N k k n ∈+=时命题成立(4)从3男4女共7人中选出3人，且所选3人有男有女，则不同的选法种数有 （A ）30种 (B) 32 种 (C) 34种 (D) 35种 (5)曲线xe y =在点()22e ，处的切线与坐标轴所围三角形的面积为(A)22e (B)2e (C) 22e (D) 492e(6)已知随机变量X 服从正态分布()2,3σN ，且)3(41)1(>=<X P X P ，则)5(<X P 等于(A)81 (B) 85 (C) 43 (D) 87(7)已知⎰≥3sin 2πxdx a ，曲线)1ln(1)(++=ax aax x f 在点())1(,1f 处的切线的斜率为k ，则k 的最小值为 (A)1 (B)23(C)2 (D) 3 （8）甲、乙、丙三人独立参加体育达标测试，已知甲、乙、丙各自通过测试的概率分别为p ,4332，，且他们是否通过测试互不影响.若三人中只有甲通过的概率为161，则甲、丙二人中至少有一人通过测试的概率为 (A)87 (B) 43 (C) 85 (D) 76（9）函数)1(2)(3-'+=f x x x f ，则函数)(x f 在区间[]3,2-上的值域是 (A) ]9,24[- (B) ]24,24[- (C) ]24,4[ (D)[]9,4 (10)设()()5522105)1(...1)1(1x a x a x a a x +++++++=-，则420a a a ++等于(A) 242 (B) 121 (C) 244 (D)122(11)已知函数)()()(2R b x bx x e x f x ∈-=.若存在⎥⎦⎤⎢⎣⎡∈2,21x ，使得0)()(>'+x f x x f ，则实数b 的取值围是(A) ⎪⎭⎫ ⎝⎛∞-65, (B) ⎪⎭⎫ ⎝⎛∞-38, (C) ⎪⎭⎫⎝⎛-65,23 (D) ⎪⎭⎫⎝⎛∞+，38 (12)中国南北朝时期的著作《子算经》中，对同余除法有较深的研究.设)0(,,>m m b a 为整数，若a 和b 被m 除得的余数相同，则称a 和b 对模m 同余，记为)(mod m b a =.如9和21被6除得的余数都是3，则记)6(mod 219=.若20202022201200202...22⋅++⋅+⋅+=C C C C a ，)10(mod b a =，则b 的值可以是(A) 2011 (B) 2012 (C) 2013 (D) 2014第II 卷本卷包括必考题和选考题两部分。

2016人大附中高二（下）期末数学（理科）一、选择题（本大题共8小题，每小题4分，共32分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，请将正确答案填涂在答题纸的相应位置.）1．（4分）二项式（a﹣1）8的展开式中，最大的二项式系数为（）A．C B．﹣C C．C D．﹣C2．（4分）在检验吸烟与患肺炎是否有关的一次统计中，根据2×2列联表中数据计算得x2≈6.234，则下列说法正确的是（）A．有99%的把握认为吸烟与患肺炎有关B．有99%的把握认为吸烟与患肺炎无关C．有95%的把握认为吸烟与患肺炎有关D．有95%的把握认为吸烟与患肺炎无关3．（4分）若离散型随机变量X的分布列函数为P（X=k）=，k=1，2，3，4，则P（X＞1）=（）A．B．C．D．4．（4分）用一个“+”号和一个“﹣”号将数字1，2，3连成算式，不同的运算结果共有（）A．12种B．6种 C．4种 D．3种5．（4分）根据统计数据，某产品的销售额y对广告费用x（单位：百万元）的线性回归方程为y=5.7x+18.6，则下列说法不正确的是（）A．若下一销售季再投入5百万元广告费，则估计销售额约可达47.1百万元B．已知统计数据中的平均销售额为41.4百万元，则平均广告费为4百万元C．广告费用x和销售额y之间的相关系数不能确定正负，但其绝对值趋于1D．5.7的含义是广告费用每增加1百万元，销售额大约增长 5.7百万元左右6．（4分）甲手中有扑克牌的大小王牌和四色A各一张，共6张牌，现让乙和丙各从中随机抽取一张，则在乙抽到大王牌的情况下，丙抽到小王牌的概率为（）A．B．C．D．7．（4分）已知一批10000只白炽灯泡的光通量X～N（200，100），则这批灯泡中光通量X＞220个数大约为（）（参考数据：若X：N（μ，2），则X在区间（μ﹣σ，μ+σ），（μ﹣2σ，μ+2σ），（μ﹣3σ，μ+3σ）内的概率分别为68.3%，95.4%，99.7% ）A．230 B．460 C．4770 D．95408．（4分）一箱电子产品有6件，其中2件次品，4件正品，现不放回地进行抽检，每次抽检一件，直到检验出所有次品为止，那么抽检次数X的数学期望为（）A．B．C．3 D．二、填空题（本大题共6小题，每小题5分，共30分.请把结果填在答题纸的相应位置.）9．（5分）若高二期末考试的数学成绩X～N（90，25），则这次考试数学的平均分为，标准差为．10．（5分）甲、乙、丙、丁四人站一排照相，甲不与乙、丙相邻，不同的排法共有种．11．（5分）某志愿团由10名同学构成，其中3名学生会干部，现从中随机选取4名同学去支教．则选取的学生会干部人数不少于2的概率为．12．（5分）若（1﹣mx）5=a0+a1x+a2x2+…+a5x5，且a5=﹣32，则a1+a2+a3+a4的值为．13．（5分）一个袋中装有8个乒乓球，其中6个黄色，2个白色，每次从袋中随机摸出1个乒乓球，若摸到白球则停止，一共有3次摸球机会．记X为停止摸球时的摸球次数．（1）若每次摸出乒乓球后不放回，则E（X）=；（2）若每次摸出乒乓球后放回，则D（X）=．14．（5分）甲、乙两支足球队比赛，甲获胜的概率为，平局的概率为，乙获胜的概率为，下一赛季这两支球队共有5场比赛，在下一赛季中：（1）甲获胜3场的概率为；（2）若胜一场积3分，平一场积1分，负一场积0分，则甲的积分的数学期望为．三、解答题（本大题共3小题，共38分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）15．（14分）箱子中有五张分别写着数字0，1，2，3，4的卡片，现从中随机抽取2张组成一个两位数，这个两位数的个位数字与十位数字之和为X．（1）可以组成多少个不同的两位数？（2）求X能被3整除的概率；（3）求X的分布列和数学期望．16．（12分）PM2.5是指大气中直径小于或等于 2.5微米的颗粒物，我国PM2.5标准采用世卫组设定的最宽限值，即PM2.5日均值在25微克/立方米以下空气质量为一级，在35微克/立方米～75微克/立方米之间空气质量为二级，在75微克/立方米以上空气质量为超标．某市环保局从市区2012年全年每天的PM2.5监测数据中随机抽取15天的数据作为样本，监测值如图所示茎叶图（左侧十位为茎，右侧个位为叶）．（Ⅰ）从这15天的数据中任取3天的数据，记X表示期中空气质量达到一级的天数，求X的分布列；（Ⅱ）以这15天的PM2.5日均值来估计一年的空气质量情况，则一年（按照360天计算）中大约有多少天的空气质量达到一级．17．（12分）某企业有甲、乙两个研发小组，他们研发一件新产品成功的概率分别为和，本年度计划研发的新产品件数分别为2件和1件．设甲、乙两组的每次研发均相互独立．（1）求该企业本年度至少有一件新产品研发成功的概率；（2）已知研发一件新产品的成本为10百万元，成功研发一件新产品可获得50百万元的销售额，求该企业本年度在这3件新产品上获得的利润X的分布列和数学期望．II卷（共6道题，满分18分）一、选择题（本题共3小题，每小题6分，共18分.请把答案填在答题纸的相应位置.）18．（6分）如图，在△ABC中，CD是∠ACB的平分线，△ACD的外接圆交BC于点E，AC=CE=3，AB=4，则AD 的长为（）A．B．2 C．D．319．（6分）已知（1+x）（x+）n的展开式中没有常数项，则n的值可能是（）A．9 B．10 C．11 D．1220．（6分）已知x i∈{﹣1，0，1}，i=1，2，3，4，5，6，则满足x1+x2+x3+x4+x5+x6=2的数组（x1，x2，x3，x4，x6）的个数为（）A．60 B．75 C．90 D．120二、填空题（本题共2小题，每小题9分，共18分.请把答案填在答题纸的相应位置.）21．（9分）（1）若函数f（x）=lnx﹣ax有极值，则函数f（x）的单调递增区间是；（2）若函数g（x）=xlnx﹣ax2﹣x有极值，则实数a的取值范围是．22．（9分）某数学兴趣小组举行了一次趣味口答竞赛，共有5名同学参加．竞赛分两个环节：抢答环节和抽答环节，其中抢答环节共有4道题，抽答环节仅有1道题．（1）假设抢答环节每人抢答成功的概率均相等，则甲同学成功抢答2次的概率是；（2）已知抢答环节有3名同学成功抢答，抽答环节从装有5名同学名签的纸盒中随机抽取：第一次采取有放回地抽取，若第一次抽到的是抢答成功的同学，则从第二次开始采取无放回地抽取，整个抽答环节抽到未抢答成功的同学即停止．那么抽取的次数X的数学期望E（X）=．三、解答题（本题共1小题，满分14分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）23．（14分）已知函数f（x）=．（1）求函数y=f（x）的单调区间；（2）若曲线y=f（x）与直线y=b（b∈R）有3个交点，求实数b的取值范围；（3）过点P（﹣1，0）可作几条直线与曲线y=f（x）相切？请说明理由．参考答案与试题解析一、选择题（本大题共8小题，每小题4分，共32分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，请将正确答案填涂在答题纸的相应位置.）1．【解答】二项式（a﹣1）8的展开式中，最大的二项式系数为，故选：A．2．【解答】由x2≈6.234＞3.841，∴有95%的把握认为吸烟与患肺炎有关，故答案选：C．3．【解答】离散型随机变量X的分布列函数为P（X=k）=，k=1，2，3，4，则P（X＞1）=P（X=2）+P（X=3）+P（X=4）=+=．故选：D．4．【解答】∵1+2﹣3=0，1﹣2+3=2，1+3﹣2=2，1﹣3+2=0，2+1﹣3=0，2﹣1+3=4，2+3﹣1=4，2﹣3+1=0，3+1﹣2=2，3﹣1+2=0，3+2﹣1=4，3﹣2+1=2，∴不同的运算结果共有3种，故选：D．5．【解答】对于A，若下一销售季再投入5百万元广告费，则估计销售额约可达y=5.7×5+18.6=47.1百万元，正确；对于B，x=4，y=5.7×4+18.6=41.4，正确；对于C，广告费用x和销售额y之间的相关系数能确定正负，其绝对值趋于1，不正确；对于D，根据回归系数的定义，可知正确．故选：C．6．【解答】设乙抽到大王，丙抽到小王，则P（A）=，P（AB）==，∴在乙抽到大王牌的情况下，丙抽到小王牌的概率：P（B|A）===．故选：B．7．【解答】∵变量服从正态分布X～N（200，100），∴μ=200，σ=10，∴P（X＞220）=×（1﹣0.954）=0.023，∴这批灯泡中光通量X＞220个数大约为10000×0.023=230．故选：A．8．【解答】由题意知X的可能取值为2，3，4，5，6，P（X=2）==，P（X=3）==，P（X=4）==，P（X=5）==，P（X=6）==，∴抽检次数X的分布列为：X23456PEX=2×++4×+5×+6×=．故选：A．二、填空题（本大题共6小题，每小题5分，共30分.请把结果填在答题纸的相应位置.）9．【解答】∵成绩X～N（90，25），∴这次考试数学的平均分为90，标准差为5，故答案为：90，5．10．【解答】由题意，甲在两头，则排列方法为2×A22=4种．故答案为：4．11．【解答】某志愿团由10名同学构成，其中3名学生会干部，现从中随机选取4名同学去支教，基本事件总数n=C=210，选取的学生会干部人数不少于2人包含的基本事件个数m=+=70，∴选取的学生会干部人数不少于2人的概率p===．故答案为：．12．【解答】在（1﹣mx）5=a0+a1x+a2x2+…+a5x5，中，令x=0，可得a0=1，∵令x=1，可得a0+a1+a2 +…+a5=（1﹣m）5．∵a5=?（﹣m）5=﹣32，∴m=2，则1+a1+a2+a3+a4﹣32=（1﹣m）5=﹣1，∴a1+a2+a3+a4 =﹣2+32=30，故答案为：30．13．【解答】（1）由题意知X的可能取值为1，2，3，P（X=1）=，P（X=2）==，P（X=3）=+=，∴X的分布列为：X123PEX=+2×+3×=．故答案为：．（2）由题意知X的可能取值为1，2，3，P（X=1）=，P（X=2）==，P（X=3）=+=，∴X的分布列为：X123PEX=+2×+3×=，D（X）=（1﹣）2×+（2﹣）2×+（3﹣）2×=．故答案为：．14．【解答】（1）甲获胜的概率为，所以5场比赛中甲获胜3场的概率为??=；（2）因为甲获胜的概率为，平局的概率为，甲输的概率为，且胜一场积3分，平一场积1分，负一场积0分，所以甲积分的数学期望为E=5××3+5××1+5××0=．故答案为：（1），（2）．三、解答题（本大题共3小题，共38分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）15．【解答】（1）箱子中有五张分别写着数字0，1，2，3，4的卡片，现从中随机抽取2张组成一个两位数，可以组成不同的两位数的个数n=4×4=16．（2）X能被3整的情况有：①0+3=3，此时构成的两位数是30，②1+2=3，此时构成的两位数是12，21，③2+4=6，此时构成的两位数是24，42，∴X能被3整除的概率p==．（3）由题意得X的可能取值为1，2，3，4，5，6，7，P（X=1）=，P（X=2）=，P（X=3）==，P（X=4）=，P（X=5）==，P（X=6）=，P（X=7）=，∴X的分布列为：X1 2 34567 PEX=+3×+4×+5×+6×+7×=．16．【解答】（Ⅰ）依据条件，X服从超几何分布，其中N=15，M=5，n=3．X的可能值为0，1，2，3．其分布列为：P（x=k）=（k=0，1，2，3）．（Ⅱ）依题意可知，一年中每天空气质量达到一级的概率为P==；一年中空气质量达到一级的天数为Y，则E（Y）=360×=120（天）．所以一年中大约有120天的空气质量达到一级．17．【解答】（1）记E={甲组研发新产品成功}，F={乙组研发新产品成功}．由题设知P（E）=，P（）=，P（F）=，P（）=，且事件E与F，E与，与F，与都相互独立．记H={至少有一种新产品研发成功}，则=，∴P（）=P（）=P（）P（）P（）=×=，故该企业本年度至少有一件新产品研发成功的概率为：P（H）=1﹣P（）=1﹣=．（2）设企业可获利润为X （百万元），则X的可能取值为﹣30，30，90，150．∵P（X=﹣30）=P（）=×，P（X=30）=P（E）+P（）+P（）=++=，P（X=90）=P（）+P（E）+P（EE）=+=，P（X=150）=P（EEF）==，∴该企业本年度在这3件新产品上获得的利润X的分布列为：X﹣303090150P∴EX=﹣30×+30×+90×+150×=100（百万元）．II卷（共6道题，满分18分）一、选择题（本题共3小题，每小题6分，共18分.请把答案填在答题纸的相应位置.）18．【解答】连接DE，∵ACED是圆的内接四边形，∴∠BDE=∠BCA，∵∠DBE=∠CBA，∴△BDE∽△BCA，∴．∵CD是∠ACB的平分线，∴AD=DE，∵AC=CE=3，AB=4，∴4DA=3BE，即BE=DA，设AD=DE=t，则BE=t，根据割线定理得BD?BA=BE?BC，∴（AB﹣AD）?BA=DA?（DA+CE），∴（4﹣t）×4=t（t+3），∴2t2+9t﹣18=0，解得t=，或t=﹣6（舍），即AD=．故选：A．19．【解答】∵（1+x）（x+）n的展开式中没有常数项，∴（x+）n的展开式中没有常数项与含的项，（x+）n的展开式中的通项公式：T r+1=x n﹣r=x n﹣3r，（r=0，1，2，…，n）．经过验证：只有取n=10时，10﹣3r≠0，﹣1．因此n的值可能是10．故选：B．20．【解答】根据题意，∵x1+x2+x3+x4+x5+x6=2，x i∈{0，1，﹣1}，i=1，2，3，4，5，6；∴x i中有2个1和4个0，或3个1、1个﹣1和2个0，或4个1和2个﹣1共有=90个，∴满足x1+x2+x3+x4+x5+x6=2的数组（x1，x2，x3，x4，x6）的个数为90个．故选：C．二、填空题（本题共2小题，每小题9分，共18分.请把答案填在答题纸的相应位置.）21．【解答】（1）f（x）=lnx﹣ax的定义域是（0，+∞），f′（x）=﹣a=，若函数f（x）=lnx﹣ax有极值，则a＞0，令f′（x）＞0，解得：0＜x＜，故答案为：（0，）；（2）解：f（x）=xlnx﹣ax2﹣x的定义域是（0，+∞），f′（x）=lnx﹣ax，若函数f（x）有极值，则f′（x）=lnx﹣ax有解，即y=lnx和y=ax有交点，①a＜0时，显然有解，②a＞0时，设y=lnx和y=ax相切的切点是（x0，lnx0），∴切线方程是：y=x，故lnx0=?x0，解得：x0=e，∴y=lnx和y=ax相切时，a=，若y=lnx和y=ax有交点，只需a＜，综上：a＜，故答案为：（﹣∞，）．22．【解答】（1）抢答环节所有可能的抢答情况共有54种，而甲成功抢答2次的情况有C=10种，∴甲同学成功抢答2次的概率为=．（2）X的所有可能取值为1，2，3，4，5，则P（X=1）=，P（X=2）==，P（X=3）==，P（X=4）==，P（X=5）==，∴抽取的次数X的数学期望E（X）=1×+2×+3×+4×+5×=2.2．故答案为：（1），（2）2.2．三、解答题（本题共1小题，满分14分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）23．【解答】（1）f′（x）=（x﹣x2）e﹣x，由f′（x）＞0，可得0＜x＜1，f′（x）＜0，可得x＜0或x＞1，∴函数的单调递增区间是（0，1），单调递减区间是（﹣∞，0），（1，+∞）；（2）由（1），f（0）=1，f（1）=，∵曲线y=f（x）与直线y=b（b∈R）有3个交点，∴1＜b＜；（3）设切点为（m，n），则f′（m）=（m﹣m2）e﹣m，∴切线方程为y﹣n=（m﹣m2）e﹣m（x﹣m），代入（﹣1，0），整理可得m3+m2+1=0，设g（m）=m3+m2+1，g′（m）=3m2+2m，由g′（m）＞0，可得m或m＞0，g′（m）＜0，可得﹣＜m＜0，∴函数g（m）的单调递减区间是（﹣，0），单调递增区间是（﹣∞，﹣），（0，+∞）；∵g（﹣）＞0，g（0）＞0，∴g（m）=0有唯一解，∴过点P（﹣1，0）可作1条直线与曲线y=f（x）相切．。