人大附中2021年高三1月期末模拟数学试题-答案 (2)

人大附中2021届高三数学试卷一、选择题：共10小题，每小题4分，共40分. 在每小题给出的四个选项中，选出符合题目要求的一项.1．已知集合{sin ,0}A x y x x π==<<，{cos 0}A y y x x π==<<，，则A B =（ ）A.{}4πB.}C.{(}4πD. 以上答案都不对2．已知向量(,1)t =a ，(1,2)=b .若⊥a b ，则实数t 的值为（ ）A ．2- B.2 C.12-D.123．下列函数中，既是奇函数又在区间(0,1)上单调递增的是（ ）A.12y x = B.1sin sin y x x=+C.2log y x =D.x x y e e -=-4. 已知抛物线212y x =-的焦点与双曲线2214x y a -=的一个焦点重合，则a =（ ）C.5D.5. 已知3log 6a =，54log b =，若12log a m b >>，m *∈N ，则满足条件的m 可以为（ ）A.18B.14C.12D.16．圆(x-3)2+(y-3)2=9上到直线3x+4y-11=0的距离等于1的点有( )A.1个B.2个C.3个D.4个7. “3a =”是“直线21:+60l ax a y +=和直线2:(2)320l a x ay a -++=平行”的（ ）A.充分而不必要条件B.必要而不充分条件C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件8. 已知函数()sin()f x A x ωϕ=+（A ，ω，ϕ均为正的常数）的最小正周期为π，当23x π=时，函数()f x 取得最小值，则下列结论正确的是（ ）A. (2)(2)(0)f f f <-<B.(0)(2)(2)f f f <<-C. (2)(0)(2)f f f -<<D.(2)(0)(2)f f f <<-9．已知二次函数2()f x ax bx c =++的导数为'()f x ，'(0)0f >，对于任意实数x 都有()0f x ≥，则(1)'(0)f f 的最小值为（ ） A ．3 B ．2 C ．52 D ．3210.某中学举行了科学防疫知识竞赛.经过选拔，甲、乙、丙三位选手进入了的最后角逐.他们 还将进行四场知识竞赛.规定：每场知识竞赛前三名的得分依次为,,(,a b c a b c >>且,,)N a b c *∈；选手总分为各场得分之和．四场比赛后，已知甲最后得分为16分，乙和丙最后得分都为8分，且乙只有一场比赛获得了第一名，则下列说法正确的是（ ） A. 每场比赛的第一名得分a 为4 B.甲至少有一场比赛获得第二名 C.乙在四场比赛中没有获得过第二名 D.丙至少有一场比赛获得第三名二、填空题；共5小题，每小题5分，共25分 11．设i 为虚数单位，则11ii-+的虚部为 ． 12．已知椭圆22221(0)x y a b a b+=>>的焦距等于其过焦点且与长轴垂直的弦长，则该椭圆的离心率为 ．13．数列}{n a 的前n 项和为S n ，且111,2,1,2,3,n n a a S n +===.则3=_______;a234+1_______.n a a a a +++⋅⋅⋅+=14. 椭圆的左、右焦点分别为，点在椭圆上且同时满足：①是等腰三角形； ②是钝角三角形； ③线段12F F 为的腰； ④椭圆上恰好有4个不同的点P . 则椭圆的离心率的取值范围是 ．15.已知集合{}22()|(cos )(sin )40P x y x y θθθ=-+-=≤≤π,, .由集合P 中所有的点组成的图形如图中阴影部分所示，中间白色部分形如美丽的“水滴”. 给出下列结论：① “水滴”图形与y 轴相交，最高点记为A ，则点A 的坐标为（0，1）；2222:1(0)x y C a b a b+=>>12,F F P 12F F P ∆12F F P ∆12F F P ∆C C②在集合P 中任取一点M ，则M 到原点的距离的最大值为3；③阴影部分与y 轴相交，最高点和最低点分别记为C ，D ，则23CD =+；④白色“水滴”图形的面积是1136π-.其中正确的有 ．三、解答题：共3小题，共35分. 解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程. 16. （本小题满分11分）已知2()sin cos cos ()4f x x x x π=-+.（Ⅰ）求()f x 的单调递减区间；（Ⅰ）在锐角ABC ∆中，角,,A B C 的对边分别为,,a b c ,若0,12A f a ⎛⎫== ⎪⎝⎭,求ABC ∆面积的最大值.17. （本小题满分12分）设函数2()e 3x f x m x =-+，其中∈m R ．（Ⅰ）当()f x 为偶函数时，求函数()()h x xf x =的极值；（Ⅰ）若函数()f x 在区间[2,4]-上有两个零点，求m 的取值范围．18. （本小题满分12分）已知椭圆:C 22221(0)x y a b a b+=>>经过两点2P ，(Q . （Ⅰ）求椭圆C 的标准方程；（Ⅰ）过椭圆的右焦点F 的直线l 交椭圆C 于A ，B 两点，且直线l 与以线段FP 为直径的圆交于另一点E （异于点F ），求AB EF ⋅的最大值.四、选做题（本小题满分10分）设函数()e cos ,()xf x xg x =为()f x 的导函数．（Ⅰ）当,42x ππ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时，证明()()02f x g x x π⎛⎫+-≥ ⎪⎝⎭；（Ⅱ）设n x 为函数()()1u x f x =-在区间2,242n n ππ⎛⎫π+π+ ⎪⎝⎭内的零点，其中n ∈N ，证明20022sin c s e o n n n x x x -πππ+-<-．人大附中2021届高三数学试卷答案一、选择题：共10小题，每小题4分，共40分. 在每小题给出的四个选项中，选出符合题目要求的一项.1．已知集合{sin ,0}A x y x x π==<<，{cos 0}A y y x x π==<<，，则A B =（ D ）A.{}4πB.}C.{(}4πD. 以上答案都不对2．已知向量(,1)t =a ，(1,2)=b .若⊥a b ，则实数t 的值为（ A ）A ．2- B.2 C.12-D.123．下列函数中，既是奇函数又在区间(0,1)上单调递增的是（ D ）A.12y x = B.1sin sin y x x=+C.2log y x =D.x x y e e -=-4. 已知抛物线212y x =-的焦点与双曲线2214x y a -=的一个焦点重合，则a =（ C ）C.5D.5. 已知3log 6a =，54log b =，若12log a m b >>，m *∈N ，则满足条件的m 可以为（ C ） A.18B.14C.12D.16．圆(x-3)2+(y-3)2=9上到直线3x+4y-11=0的距离等于1的点有( C )A.1个B.2个C.3个D.4个7. “3a =”是“直线21:+60l ax a y +=和直线2:(2)320l a x ay a -++=平行”的（ D ）A.充分而不必要条件B.必要而不充分条件C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件8. 已知函数()()sin f x x ωϕ=A +（A ，ω，ϕ均为正的常数）的最小正周期为π，当23x π=时，函数()f x 取得最小值，则下列结论正确的是（ A ） （A ）()()()220f f f <-< （B ）()()()022f f f <<- （C ）()()()202f f f -<< （D ）()()()202f f f <<- 9．已知二次函数2()f x ax bx c =++的导数为'()f x ，'(0)0f >，对于任意实数x 都有()0f x ≥，则(1)'(0)f f 的最小值为（ B ） A ．3 B ．2 C ．52 D ．3210.某中学举行了科学防疫知识竞赛.经过选拔，甲、乙、丙三位选手进入了的最后角逐.他们 还将进行四场知识竞赛.规定：每场知识竞赛前三名的得分依次为,,(,a b c a b c >>且,,)N a b c *∈；选手总分为各场得分之和．四场比赛后，已知甲最后得分为16分，乙和丙最后得分都为8分，且乙只有一场比赛获得了第一名，则下列说法正确的是（C ）A. 每场比赛的第一名得分a 为4B.甲至少有一场比赛获得第二名C.乙在四场比赛中没有获得过第二名D.丙至少有一场比赛获得第三名二、填空题；共5小题，每小题5分，共25分 11．设i 为虚数单位，则11ii-+的虚部为 ．-112．已知椭圆22221(0)x y a b a b +=>>的焦距等于其过焦点且与长轴垂直的弦长，则该椭圆的离心率为 ． （答案：21-5）13．数列}{n a 的前n 项和为S n ，且111,2,1,2,3,n n a a S n +===.则3=_______;a234+1_______.n a a a a +++⋅⋅⋅+= 63 1.n-；14. 椭圆的左、右焦点分别为，点在椭圆上且同时满足：①是等腰三角形；②是钝角三角形； ③线段12F F 为的腰； ④椭圆上恰好有4个不同的点P .则椭圆的离心率的取值范围是___________.1(,2-1)315.已知集合{}22()|(cos )(sin )40P x y x y θθθ=-+-=≤≤π,, .由集合P 中所有的点组成的图形如图中阴影部分所示，中间白色部分形如美丽的“水滴”. 给出下列结论： ① “水滴”图形与y 轴相交，最高点记为A ，则点A 的坐标为（0，1）； ②在集合P 中任取一点M ，则M 到原点的距离的最大值为3； ③阴影部分与y 轴相交，最高点和最低点分别记为C ，D ，则23CD =+；④白色“水滴”图形的面积是1136π-.其中正确的有__________．②④三、解答题：共3小题，共35分. 解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程. 16. （本小题满分11分） 设2()sin cos cos ()4f x x x x π=-+.2222:1(0)x y C a b a b+=>>12,F F P 12F F P ∆12F F P ∆12F F P ∆C C（Ⅰ）求()f x 的单调递减区间；（Ⅰ）在锐角ABC ∆中，角,,A B C 的对边分别为,,a b c ,若0,12A f a ⎛⎫== ⎪⎝⎭,求ABC ∆面积的最大值.解：（Ⅰ）由题意1cos(2)12()sin 222x f x x π++=- x x 2sin 21212sin 21+-= 212sin -=x . …………………………………………2分 由 ππππk x k 223222+≤≤+, 得ππππk x k +≤≤+434(Z k ∈), 所以)(x f 的单调递增区间是]4,4[ππππk k ++-（Z k ∈）. ……………………4分（II ）11()sin 0,sin 222A fA A =-=∴= 由题意A 是锐角，所以 cos 2A =, …………………………………………6分 由余弦定理：A bc c b a cos 2222-+= 2212b c bc=+≥可得32321+=-≤∴bc ，且当c b =时成立. (9)分2sin 4bc A +∴≤,ABC ∆∴面积最大值为432+.………………………11分 17. （本小题满分12分）设函数2()e 3x f x m x =-+，其中∈m R ．（Ⅰ）当()f x 为偶函数时，求函数()()h x xf x =的极值；（Ⅰ）若函数()f x 在区间[2,4]-上有两个零点，求m 的取值范围． 解：（Ⅰ）由函数()f x 是偶函数，得()()f x f x -=，即22e()3e 3xx m x m x ---+=-+对于任意实数x 都成立，所以0m =. ……………… 1分此时3()()3h x xf x x x ==-+，则2()33h x x '=-+.由()0h x '=，解得1x =±. ……………… 2分 当x 变化时，()h x '与()h x 的变化情况如下表所示：所以(h 在(,1)-∞-，(1,)+∞上单调递减，在(1,1)-上单调递增.………… 4分 所以()h x 有极小值(1)2h -=-，()h x 有极大值(1)2h =. ……………… 5分（Ⅰ）由2()e 30xf x m x =-+=，得23ex x m -=.所以“()f x 在区间[2,4]-上有两个零点”等价于“直线y m =与曲线23()ex x g x -=，[2,4]x ∈-有且只有两个公共点”. ……………… 6分对函数()g x 求导，得223()exx x g x -++'=. ……………… 7分 由()0g x '=，解得11x =-，23x =. ……………… 8分 当x 变化时，()g x '与()g x 的变化情况如下表所示：所以g 在(2,1)--，上单调递减，在(1,3)-上单调递增. ………… 10分 又因为2(2)e g -=，(1)2e g -=-，36(3)(2)e g g =<-，413(4)(1)e g g =>-， 所以当4132e e m -<<或36e m =时，直线y m =与曲线23()ex x g x -=，[2,4]x ∈-有且只有两个公共点. 即当4132e em -<<或36e m =时，函数()f x 在区间[2,4]-上有两个零点.…… 12分 18. （本小题满分12分）已知椭圆:C 22221(0)x y a b a b+=>>经过两点2P ，(Q . （Ⅰ）求椭圆C 的标准方程；（Ⅰ）过椭圆的右焦点F 的直线l 交椭圆C 于A ，B 两点，且直线l 与以线段FP 为直径的圆交于另一点E （异于点F ），求AB EF ⋅的最大值.18.解：（Ⅰ）因为椭圆:C 22221(0)x y a b a b+=>>过点(1,2P ，(Q ，所以22111,2a a b⎧=⎪⎨+=⎪⎩得1,a b ⎧=⎪⎨=⎪⎩ 故椭圆C 的标准方程为2212x y +=．……………………………4分 （Ⅰ）由题易知直线l 的斜率不为0，设l ：1x ty =+，由221,1,2x ty x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩得22(2)210t y ty ++-=，显然0∆>.设1122(,),(,)A x y B x y ，则12122221,22t y y y y t t --+==++.……5分又12AB y =-===………………………7分以FP为直径的圆的圆心坐标为(1,4，半径为4r =， 故圆心到直线l的距离为d ==所以EF ===分所以AB EF ⋅=== 因为211≥t +，所以221(1)21≥t t +++，即221114(1)21≤t t ++++．所以1≤AB FE ⋅=．…………………………………11分当0t =时，直线与椭圆有交点，满足题意，且1AB FE ⋅=， 所以AB FE ⋅的最大值为1．………………………………12分四、选做题（本小题满分10分）设函数()e cos ,()xf x xg x =为()f x 的导函数．（Ⅰ）当,42x ππ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时，证明()()02f x g x x π⎛⎫+-≥ ⎪⎝⎭；（Ⅱ）设n x 为函数()()1u x f x =-在区间2,242n n ππ⎛⎫π+π+ ⎪⎝⎭内的零点，其中n ∈N ，证明20022sin c s e o n n n x x x -πππ+-<-．（Ⅰ）证明：记()()()2h x f x g x x π⎛⎫=+-⎪⎝⎭．依题意有()e (cos sin )x g x x x =-，从而()2e sin x g'x x =-．当,42x ππ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，0()g'x <，故()()()()(1)()022h'x f 'x g'x x g x g'x x ππ⎛⎫⎛⎫=+-+-=-< ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭．………………….2分因此，()h x 在区间,42ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递减，进而()022h x h f ππ⎛⎫⎛⎫≥== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭．所以，当,42x ππ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时，()()02f x g x x π⎛⎫+-≥ ⎪⎝⎭．…….……………………….4分（Ⅱ）证明：依题意，()()10n n u x f x =-=，即cos e 1n x n x =．记2n n y x n =-π，则,42n y ππ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，且()()()22e cos e cos 2e n n y x n n n n n f y y x n n π--π==-π=∈N ．因为()()20e 1n n f y f y -π==≤及（Ⅰ），所以0n y y ≥． (6)分由（I ）知当,42x ππ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，()0g'x <，所以()g x 在,42ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上为减函数， 因此()()004n g y g y g π⎛⎫≤<= ⎪⎝⎭． 又由（I ）知，()()02n n n f y g y y π⎛⎫+-≥⎪⎝⎭， ………………………………….8分 故()()()()()022********s e e e e e in cos sin cos n n n n n n y n n f y y g y g y g y y y x x -π-π-π-ππ--=-≤-=--≤<． 所以，20022sin c s e o n n n x x x -πππ+-<-．…………………………………………….10分。

2020-2021中国人民大学附属中学高中必修一数学上期末模拟试题带答案一、选择题1．已知()f x 在R 上是奇函数，且2(4)(),(0,2)()2,(7)f x f x x f x x f +=∈==当时，则 A ．-2B ．2C ．-98D ．982．已知()f x 是偶函数，它在[)0,+∞上是增函数.若()()lg 1f x f <-，则x 的取值范围是（ ）A ．1,110⎛⎫ ⎪⎝⎭B ．()10,10,10骣琪??琪桫C ．1,1010⎛⎫⎪⎝⎭D ．()()0,110,⋃+∞3．已知4213332,3,25a b c ===，则 A ．b a c << B ．a b c << C ．b c a <<D ．c a b <<4．已知0.2633,log 4,log 2a b c ===，则,,a b c 的大小关系为 （ ）A ．c a b <<B ．c b a <<C ．b a c <<D ．b c a <<5．已知函数ln ()xf x x=，若(2)a f =，(3)b f =，(5)c f =，则a ，b ，c 的大小关系是（ ） A ．b c a <<B ．b a c <<C ．a c b <<D ．c a b <<6．已知定义域R 的奇函数()f x 的图像关于直线1x =对称，且当01x ≤≤时，3()f x x =，则212f ⎛⎫= ⎪⎝⎭（ ）A ．278-B ．18-C ．18D ．2787．设函数()()212log ,0,log ,0.x x f x x x >⎧⎪=⎨-<⎪⎩若()()f a f a >-,则实数的a 取值范围是( )A ．()()1,00,1-⋃B ．()(),11,-∞-⋃+∞C ．()()1,01,-⋃+∞D ．()(),10,1-∞-⋃8．已知函数()2x xe ef x --=，x ∈R ，若对任意0,2πθ⎛⎤∈ ⎥⎝⎦，都有()()sin 10f f m θ+->成立，则实数m 的取值范围是（ ）A ．()0,1B ．()0,2C ．(),1-∞D ．(]1-∞， 9．已知()f x 是定义在R 上的偶函数，且在区间(),0-∞上单调递增。

⎪ 22数学(理)试题答案一、选择题 ACDAABCD二、填空题9. (1, 2]10. e 2;11.π7 ; 12.;13. -1和0 ， (0, 4] ;;44⎧ n14.(1) 4,(2) f (n ) = ⎨ n 为偶数 ⎪ n +1n 为奇数 ⎩2 2注：13、14 题两个空的分值均为前 3 后 2。

三、解答题15.(本题满分 13 分)解（Ⅰ）因为cos B = 4,0 < B < π ,5…………1 分所以sin B =由正弦定理知AC sin B == AB ，sin C6 ⨯ = 3 ,5…………2 分所以 AB = AC ⋅ sin C =sin B2 = 5 2. 35…………5 分（Ⅱ）在三角形 ABC 中 A + B + C = π ，所以 A = π - (B + C ). …………6 分于是cosA = -cos(B + C) = -cos(B + π ) = - cos B cos π + sin B sin π,4 4 4又cos B = 4 ,sin B = 3, ，5 5 故cos A = - 4⨯ 2 + 3 ⨯ 2 = -2 …………9 分5 2 5 2 10 因为0 < A < π ，所以sin A = = 7 210…………11 分1- cos 2 B 1- ( 4)2 5 21 - cos2 A( )( ) ⋅ e 因此cos( A - π ) = cos A cos π + sin A sin π6 6 6= - 2⨯ 3 + 7 2 ⨯ 1 =7 2 - 6…………13 分10 2 10 2 20 16.(本题满分 13 分)（Ⅰ）解： f (8)=0.9.…………3 分（Ⅱ）证明：当 x ≥ 7 时， f (x +1) - f (x ) =0.4(x - 3)(x - 4)…………4 分设 g (x ) =0.4,则 g '(x ) =-0.4(2x - 7)----------- 5 分(x - 3)(x - 4)(x - 3)(x - 4)当 x ≥ 7 时, (x - 3)(x - 4) > 0 2x - 7 > 0g '(x ) = -0.4(2x - 7) < 0x - 3 x - 4…………6 分故函数 f (x +1) - f (x ) 单调递减，…………7 分当 x ≥ 7 时，掌握程度的增长量 f (x +1) - f (x ) 总是下降.…………8 分（Ⅲ）有题意可知0.1+15ln a a - 6 = 0.85 ，整理得 aa - 6 = e 0.05…………10 分解得a = 0.05e 0.05-1 6 ≈21⨯ 6 = 126 ∈ (121,127)…………12 分由此可知，该学科是乙学科. …………13 分17. （本题满分13 分）⎛ 2π ⎫ ⎛ π ⎫ ⎛ π ⎫ 解：（Ⅰ） f (x ) = cos 2x + 3 ⎪ + 2sin 4 - x ⎪ sin 4+ x ⎪⎝ ⎭ ⎝ ⎭ ⎝ ⎭= - 1 cos 2x - 3 sin 2x + 2sin ⎛ π - x ⎫ cos ⎛ π - x ⎫2 2 4 ⎪4 ⎪⎝ ⎭ ⎝ ⎭= - 1 cos 2x - 3 sin 2x + sin ⎛ π - 2x ⎫2 22 ⎪⎝⎭= 1 cos 2x - 3 sin 2x 2 236663⎛π⎫= -sin 2x -⎪⎝⎭ππ3π…………………5 分π5π令2kπ+≤ 2x -≤ 2kπ+，得kπ+≤x ≤kπ+，…………6 分2 6 23 6所以，f (x)的单调递增区间是⎡kπ+π, kπ+5π⎤，其中k ∈Z ；…………7 分（Ⅱ）令2x -π6=kπ+π2⎢⎣，k ∈Z ，3 6 ⎥⎦∴对称轴方程为：x =kπ2+π, k ∈Z3…………………9 分⎡ππ⎤π5π由x ∈⎢-, ⎥,得-3≤x ≤ ，…………10 分6⎣12 2 ⎦ππ⎛π⎫∴当2x -=时,6 2-sin 2x -⎪=-1⎝⎭ππ⎛π⎫∴当2x -=-时,6 3-sin 2x -⎪=⎝⎭2…………12 分∴函数f (x)在区间⎡-π,π⎤上的最大值为，最小值-1. …………13 分⎣⎢12 2 ⎥⎦ 218.（本题满分13 分）2⎛x -3 ⎫(x +1)2 ⎪解：（1）定义域为{x | x > 0}，f '(x)=-⎝⎭x，…………2 分列表x⎛ 3 ⎫0,2⎪⎝⎭32⎛3 ⎫2, +∞⎪⎝⎭f '(x) + 0 -f (x) 极大值所以，当x =时，f (x)2极大值= -3+3ln34 2…………5 分…………6 分（2）要证：曲线y =f (x)在直线y = 2x - 2 的下方（含部分点在直线上）。

人大附中2020-2021学年度高三1月期末模拟统一练习数学参考答案一、选择题（共10小题，每小题4分，共40分） （1）B （2）B （3）D （4）C（5） C （6）C（7）A（8）C（9）A（10）B二、填空题（共5小题，每小题5分，共25分） （11）36 （12）189 （13）97（14）31 0e ⎛⎫− ⎪⎝⎭，（15）95%三、解答题（共6小题，共85分） （16）（共13分）解：（Ⅰ）因为cos 0b A c −>，由正弦定理可得sin cos sin 0B A C −>， 在△ABC 中，πC A B =−−，sin sin()sin cos cos sin C A B A B A B =+=+， 所以不等式整理为sin cos cos sin sin cos A B A B B A +<， 即sin cos 0A B <，……………………………………………… 3分 因为(0π)A ∈，，sin 0A >， 所以cos 0B <，所以B 为钝角．……………………………………………… 5分（Ⅱ）()i 若满足①③④，则正弦定理可得sin sin a c A C=，sin 2C =，所以1sin 2C =，……………………………………………… 7分又a c >，所以A C >，在三角形中，sin 2A =， 所以4A π=或34A π=，而由（Ⅰ）可得4A π=， 所以可得6C π=，74612B A C πππππ=−−=−−=，所以1b ===．……………………………………………… 9分()ii 若满足①②，由（Ⅰ）B 为钝角，A ，C 为锐角，及sin 2A =，sin 2C =可得4A π=，3C π=，所以512B π=不符合B 为钝角，故①②不同时成立．………………11分()iii 若满足②③④，由B 为钝角，sin 2C =，所以3C π=，而a c >，所以A C >，这时3B π<， 不符合B 为钝角的情况，所以这种情况不成立．………………13分综上所述：只有满足①③④时1b =+．（17）（共13分）解：（Ⅰ）因为在BCD Rt △中，E ，M 分别是线段AD ，AC 的中点， 所以EM CD ∥．又因为EM BCD ⊂/面，CD BCD ⊂面， 所以EM BCD ∥面．……………………………………………… 3分（Ⅱ）在BCD Rt △中，F 是斜边BD 的中点，所以112FC BD ==. 因为,E F 是,AD BD 的中点，所以112EF AB EF AB ==∥，，且EC = 所以222EF FC EC +=， 所以EF FC ⊥.……………………………………………… 5分又因为,AB BD EF AB ⊥∥， 所以EF BD ⊥， 又BDFC F =，所以EF ⊥平面BCD ，……………………………………………… 7分（Ⅲ）因为12CE AD AE DE ====， 所以CD AC ⊥. 又因为CD BC ⊥，AC BC C =，所以CD ⊥平面ABC ， 所以ME ⊥平面ABC ．因此ECM ∠是直线EC 与平面ABC 所成的角． 故22cos306AC MC EC ==⋅=所以CD BC ==. …………… 9分由（Ⅱ），AB ⊥平面BCD ，如图，在平面BCD 内，过B 作x 轴⊥BD ，则BA ，BD ，x 轴两两垂直，建立空间直角坐标系B xyz −． 则()1,1,0C ，()0,0,2A ,()0,1,1E ．所以()=1,0,1CE −,()0,1,1BE =,()0,1,1AE =−， 设平面ACE 的法向量()111,,m x y z =，则0C 0AE m E m ⎧=⎨=⎩⋅⋅，即111100y z x z −=⎧⎨−+=⎩，取11x =,得()1,1,1m =．设平面BCE 的法向量()222,,n x y z =则·0·0BE n CE n ⎧=⎨=⎩，即222200y z x z +=⎧⎨−+=⎩，取21x =,得()1,1,1n =−．所以·11cos ,33m n m n m n ==⨯， 由图形得二面角A CE B −−为锐角， 因此二面角A CE B −−的余弦值为13． …………………………………………13分（18）（共14分）解：（Ⅰ）设“抽出的产品中至少有1件不是废品”为事件A ，则由频率分布直方图可得，1件产品为废品的概率为()0.040.0250.3+⨯=， 则()()210.310.090.91P A =−=−=.………………………………………… 3分（Ⅱ）由频率分布直方图可知，质量指标值大于或等于85的产品中，[)85,90m ∈的频率为0.0850.4⨯=；[)90,95m ∈的频率为004502..⨯=； [)95,100m ∈的频率为0.0250.1⨯=.故利用分层抽样抽取的7件产品中，[)85,90m ∈的有4件，[)90,95m ∈的有2件，[]95,100m ∈的有1件.从这7件产品中任取3件产品，质量指标值[)90,95m ∈的件数X 可为0，1，2，………………………………………… 5分()3537207C P X C ===，()122537417C C P X C ===，()212537127C C P X C ===， 所以X 的分布列为所以()0127777E X =⨯+⨯+⨯=． ………………………………………… 9分（Ⅲ）由频率分布直方图可得该产品的质量指标值m 与利润y （元）的关系如下表所示（14t <<）：故每件产品的利润0.20.90.60.80.5 2.50.514y t t t t e t e t =+++−=−<<.…………………………………………11分则 2.50.5t y e '=−，令 2.50.50t y e '=−=得ln 5t =， 故当()1,ln 5t ∈时，0y '>，函数 2.50.5t y e =−单调递增； 当()ln 5,4t ∈时，0y '<，函数 2.50.5t y t e =−单调递减. 所以当ln 5t =时，y 取得最大值，为ln 52.5ln 50.5 1.5e ⨯−=.所以生产该产品能够盈利，当ln 5 1.6t =≈时，每件产品的利润取得最大值1.5元.…………………………………………14分（19）（共15分）解：（Ⅰ）2a =时，()2112ln 22f x x x =−−，()10f =， ()2f x x x'=−，()11f '=−.∴()y f x =在点()()1,1f 处的切线方程为1y x =−+．………………………………………… 4分（Ⅱ）()()20a x af x x x x x−'=−=>．①当0a <时，()20x af x x−'=>恒成立，函数()f x 的递增区间为()0,+∞．………………………………………… 6分②当0a >时，令()0f x '=，解得x =或x =所以函数f x 的递增区间为+∞，递减区间为(．………………………………………… 9分（Ⅲ）①当0a <时，()f x 在[)1,+∞上是增函数， 所以只需()10f ≥， 而()111ln1022f a =−−=， 所以0a <满足题意；②当01a <≤时，01<≤，()f x 在[)1,+∞上是增函数，所以只需()10f ≥．而()111ln1022f a =−−=， 所以01a <≤满足题意；③当1a >1>，()f x 在⎡⎣上是减函数，)+∞上是增函数，所以只需0f ≥即可，而()10ff <=，从而1a >不满足题意；综合①②③实数a 的取值范围为()(],00,1−∞.…………………………………………15分（20）（共15分）解：（Ⅰ）∵C 过1 2⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭，，∴221314a b+=，又c e a ==222a b c =+(00)a b c >>>，，解得2a =， ∴C 的方程为：2214x y +=.………………………………………… 5分 （Ⅱ）依题意，直线AB 存在斜率，设直线方程为y kx m =+；联立y kx m =+与2244x y +=，得()2244x kx m ++=， ∴()222418440k x kmx m +++−=，∴()()()22222Δ(8)4414416410km k m k m =−+−=+−>，∴2241k m +>，设()11,A x y ，()22,B x y ，则122841km x x k −+=+，21224441m x x k −=+，122||41AB x xk=−===+…………………………………………8分∵0OA AB⋅=，∴OA AB⊥，则0k≠，直线OA为：1=−y xk．联立y kx m=+，得()y k ky m=−+，∴121myk=+，1121kmx kyk−=−=+，代入221144x y+=，22224411km mk k−⎛⎫⎛⎫+=⎪ ⎪++⎝⎭⎝⎭，∴()2222414kmk+=+．…………………………………………10分∴()2222224141414kk m kk++−=+−+()()()222222241441944k k k kk k++−+==++．∴()()()()()()22222222222161411441||41414k k m k kABk k k++−+==+++．…………………………………………11分又∵()22211||OA ky y=−+()()2222222411114km mkk k k+⎛⎫=+==⎪+++⎝⎭．∴()22222||369||441AB kOA k==+，得()2221641k k=+，∴()22410k−=，∴214k=．此时()222224125412417km kk+==<+=+．…………………………………………13分∴0∆>成立．由()22214141204||141744kOAk⎛⎫+⎪+⎝⎭===++，∴OAB△的面积2113315||||||||222417S OA AB OA OA OA==⨯==．…………………………………………15分（21）（共15分） 解：（Ⅰ）因为()1147101741b +++−==−，()2147104641b+++−==−()3147107541b +++−==−，()41471010441b+++−==−，均为整数．所以数列1,4,7,10存在“关联数列”，为7,6,5,4．………………………………………… 5分（Ⅱ）因为数列{}n a 存在“关联数列”{}n b ，所以()1011n n a a n m +−>≤≤−，且1n n b b +∈Z ，． ∴()()1111111· (1)11m n m n n n n n a a a a a a a a a a b b m m m ++++++−+++−−−=−=∈−−−Z ，∴10n n b b +−>，即1n n b b +>，12m b b b >>>．∴{}n b 单调递减．………………………………………… 9分（Ⅲ）① 由（Ⅱ）知，()1 1 1,2,,1n n a a m n n +−≥−=−．于是()()()112211m m m m m a a a a a a a −−−−=−+−++−≥()()()()21111m m m m −+−++−=−．所以()()2*12020144m m m −≤⇒−≤∈N ．另一方面，由数列{}n a 存在关联数列{}n b ，知()()1111111 (20201)111m m m m ma a a a a a a a a ab b m m m m +++−+++−−−=−==∈−−−−Z ．所以120m −≤，21m ≤．…………………………………………12分② 令()20191,2,,20n a n n =−=，212021a =，每一项除以20均余1，所以()()121221· (1)211m n n n a a a a a a a a b m +++−+++−==∈−−Z ，符合条件．…………………………………………14分 综上，m 的最大值为21．…………………………………………15分。

2020-2021北京中国人民大学附属外国语中学高中必修一数学上期末第一次模拟试卷带答案一、选择题1．已知函数()f x 是定义在R 上的偶函数，且在[)0,∞+上是增函数，若对任意[)x 1,∞∈+，都有()()f x a f 2x 1+≤-恒成立，则实数a 的取值范围是( )A ．[]2,0-B ．(],8∞--C ．[)2,∞+D ．(],0∞- 2．已知函数()ln ln(2)f x x x =+-，则 A ．()f x 在（0，2）单调递增 B ．()f x 在（0，2）单调递减C ．()y =f x 的图像关于直线x=1对称D ．()y =f x 的图像关于点（1，0）对称3．设集合{}1|21x A x -=≥，{}3|log ,B y y x x A ==∈，则B A =ð（ ）A ．()0,1B ．[)0,1C ．(]0,1D ．[]0,14．已知函数()()2,211,22x a x x f x x ⎧-≥⎪=⎨⎛⎫-<⎪ ⎪⎝⎭⎩, 满足对任意的实数x 1≠x 2都有()()1212f x f x x x --＜0成立，则实数a 的取值范围为( ) A ．(－∞，2) B ．13,8⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦C ．(－∞，2]D ．13,28⎡⎫⎪⎢⎣⎭5．设23a log =，b =23c e =，则a b c ，，的大小关系是（ ） A ．a b c <<B ．b a c <<C ．b c a <<D ． a c b <<6．设函数()f x 的定义域为R ，满足(1) 2 ()f x f x +=，且当(0,1]x ∈时，()(1)f x x x =-.若对任意(,]x m ∈-∞，都有8()9f x ≥-，则m 的取值范围是 A ．9,4⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦B ．7,3⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦C ．5,2⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦D ．8,3⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦7．偶函数()f x 满足()()2f x f x =-，且当[]1,0x ∈-时，()cos 12xf x π=-，若函数()()()log ,0,1a g x f x x a a =->≠有且仅有三个零点，则实数a 的取值范围是（ ）A ．()3,5B ．()2,4C ．11,42⎛⎫⎪⎝⎭D ．11,53⎛⎫ ⎪⎝⎭8．已知函数f （x ）=x （e x +ae ﹣x ）（x ∈R ），若函数f （x ）是偶函数，记a=m ，若函数f （x ）为奇函数，记a=n ，则m+2n 的值为（ ） A ．0B ．1C ．2D ．﹣19．若函数()[)[]1,1,0{44,0,1xxxf xx⎛⎫∈-⎪=⎝⎭∈，则f(log43)＝()A．13B．14C．3D．410．下列函数中，既是偶函数又存在零点的是（）A．B．C．D．11．已知()f x=22x x-+,若()3f a=,则()2f a等于A．5B．7C．9D．1112．对任意实数x，规定()f x取4x-，1x+，()152x-三个值中的最小值，则()f x （）A．无最大值，无最小值B．有最大值2，最小值1C．有最大值1，无最小值D．有最大值2，无最小值二、填空题13．()f x是R上的奇函数且满足(3)(3)f x f x-=+，若(0,3)x∈时，()lgf x x x=+，则()f x在(6,3)--上的解析式是______________．14．己知函数()221f x x ax a=-++-在区间[]01，上的最大值是2,则实数a=______. 15．已知函数()()1123121xa x a xf xx-⎧-+<=⎨≥⎩的值域为R，则实数a的取值范围是_____. 16．函数()f x与()g x的图象拼成如图所示的“Z”字形折线段ABOCD，不含(0,1)A､(1,1)B､(0,0)O､(1,1)C--､(0,1)D-五个点，若()f x的图象关于原点对称的图形即为()g x的图象，则其中一个函数的解析式可以为__________.17．2()2f x x x=+（0x≥）的反函数1()f x-=________18．若函数()242x xf x a a=+-（0a>，1a≠)在区间[]1,1-的最大值为10，则a=______.19．已知sin()(1)xf xf xπ⎧=⎨-⎩(0)(0)xx<>则1111()()66f f-+为_____20．已知二次函数()f x ，对任意的x ∈R ，恒有()()244f x f x x +-=-+成立，且()00f =.设函数()()()g x f x m m =+∈R .若函数()g x 的零点都是函数()()()h x f f x m =+的零点，则()h x 的最大零点为________. 三、解答题21．已知函数f (x )＝2x 的定义域是[0,3]，设g (x )＝f (2x )－f (x ＋2)， (1)求g (x )的解析式及定义域； (2)求函数g (x )的最大值和最小值．22．已知函数1()21xf x a =-+，()x R ∈. （1）用定义证明：不论a 为何实数()f x 在(,)-∞+∞上为增函数；（2）若()f x 为奇函数，求a 的值；（3）在（2）的条件下，求()f x 在区间[1，5]上的最小值. 23．计算或化简：（1）1123021273log 161664π⎛⎫⎛⎫++- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭； （2）6log 2332log 27log 2log 36lg 2lg 5+⋅-++.24．已知函数21()f x x x =-是定义在(0,)+∞上的函数. （1）用定义法证明函数()f x 的单调性；（2）若关于x 的不等式()220f x x m ++<恒成立，求实数m 的取值范围.25．已知()log a f x x =，()()()2log 2201,1,a g x x a a a =+>+≠∈R ，()1h x x x=+. （1）当[)1,x ∈+∞时，证明：()1h x x x=+为单调递增函数； （2）当[]1,2x ∈，且()()()F x g x f x =-有最小值2时，求a 的值.26．某镇在政府“精准扶贫”的政策指引下，充分利用自身资源，大力发展养殖业，以增加收入.政府计划共投入72万元，全部用于甲、乙两个合作社，每个合作社至少要投入15万元，其中甲合作社养鱼，乙合作社养鸡，在对市场进行调研分析发现养鱼的收益M 、养鸡的收益N 与投入a（单位：万元）满足25,1536,49,3657,a M a ⎧⎪=⎨<⎪⎩剟…1202N a =+.设甲合作社的投入为x （单位：万元），两个合作社的总收益为()f x （单位：万元）. （1）若两个合作社的投入相等，求总收益；（2）试问如何安排甲、乙两个合作社的投入，才能使总收益最大?【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、选择题 1．A 解析：A 【解析】 【分析】根据偶函数的性质，可知函数在(],0-∞上是减函数，根据不等式在[)1,x ∈+∞上恒成立，可得：21x a x +≤-在[)1,+∞上恒成立，可得a 的范围. 【详解】()f x Q 为偶函数且在[)0,+∞上是增函数()f x ∴在(],0-∞上是减函数对任意[)1,x ∈+∞都有()()21f x a f x +≤-恒成立等价于21x a x +≤-2121x x a x ∴-+≤+≤- 311x a x ⇒-+≤≤- ()()max min 311x a x ∴-+≤≤-当1x =时，取得两个最值3111a ∴-+≤≤- 20a ⇒-≤≤ 本题正确选项：A 【点睛】本题考查函数奇偶性和单调性解抽象函数不等式的问题，关键在于能够通过单调性确定自变量之间的关系，得到关于自变量的不等式.2．C解析：C 【解析】由题意知，(2)ln(2)ln ()f x x x f x -=-+=，所以()f x 的图象关于直线1x =对称，故C 正确，D 错误；又()ln[(2)]f x x x =-（02x <<），由复合函数的单调性可知()f x 在(0,1)上单调递增，在(1,2)上单调递减，所以A ，B 错误，故选C ．【名师点睛】如果函数()f x ，x D ∀∈，满足x D ∀∈，恒有()()f a x f b x +=-，那么函数的图象有对称轴2a bx +=；如果函数()f x ，x D ∀∈，满足x D ∀∈，恒有()()f a x f b x -=-+，那么函数()f x 的图象有对称中心(,0)2a b+． 3．B解析：B 【解析】【分析】先化简集合A,B,再求B A ð得解. 【详解】由题得{}10|22{|1}x A x x x -=≥=≥，{}|0B y y =≥.所以{|01}B A x x =≤<ð. 故选B 【点睛】本题主要考查集合的化简和补集运算，考查指数函数的单调性和对数函数的值域的求法，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平.4．B解析：B 【解析】 【分析】 【详解】试题分析：由题意有,函数()f x 在R 上为减函数,所以有220{1(2)2()12a a -<-⨯≤-,解出138a ≤,选B. 考点：分段函数的单调性. 【易错点晴】本题主要考查分段函数的单调性,属于易错题. 从题目中对任意的实数12x x ≠，都有()()12120f x f x x x -<-成立，得出函数()f x 在R 上为减函数,减函数图象特征:从左向右看,图象逐渐下降,故在分界点2x =处,有21(2)2()12a -⨯≤-,解出138a ≤. 本题容易出错的地方是容易漏掉分界点2x =处的情况.5．A解析：A 【解析】 【分析】根据指数幂与对数式的化简运算,结合函数图像即可比较大小. 【详解】 因为23a log =,b =23c e = 令()2f x log x =,()g x =函数图像如下图所示:则()2442f log ==,()442g == 所以当3x =时23log 3>,即a b <3b =23c e = 则66327b ==,626443 2.753.1c e e ⎛⎫⎪==>≈ ⎪⎝⎭所以66b c <,即b c < 综上可知, a b c << 故选:A 【点睛】本题考查了指数函数、对数函数与幂函数大小的比较,因为函数值都大于1,需借助函数图像及不等式性质比较大小,属于中档题.6．B解析：B 【解析】 【分析】本题为选择压轴题，考查函数平移伸缩，恒成立问题，需准确求出函数每一段解析式，分析出临界点位置，精准运算得到解决． 【详解】(0,1]x ∈Q 时，()=(1)f x x x -，(+1)= ()f x 2f x ，()2(1)f x f x ∴=-，即()f x 右移1个单位，图像变为原来的2倍．如图所示：当23x <≤时，()=4(2)=4(2)(3)f x f x x x ---，令84(2)(3)9x x --=-，整理得：2945560x x -+=，1278(37)(38)0,,33x x x x ∴--=∴==（舍），(,]x m ∴∈-∞时，8()9f x ≥-成立，即73m ≤，7,3m ⎛⎤∴∈-∞ ⎥⎝⎦，故选B ．【点睛】易错警示：图像解析式求解过程容易求反，画错示意图，画成向左侧扩大到2倍，导致题目出错，需加深对抽象函数表达式的理解，平时应加强这方面练习，提高抽象概括、数学建模能力．7．D解析：D 【解析】试题分析：由()()2f x f x =-，可知函数()f x 图像关于1x =对称，又因为()f x 为偶函数，所以函数()f x 图像关于y 轴对称.所以函数()f x 的周期为2，要使函数()()log a g x f x x =-有且仅有三个零点，即函数()y f x =和函数log a y x =图形有且只有3个交点.由数形结合分析可知，0111{log 31,53log 51a a a a <<>-⇒<<<-，故D 正确. 考点：函数零点【思路点睛】已知函数有零点求参数取值范围常用的方法和思路（1）直接法：直接根据题设条件构建关于参数的不等式，再通过解不等式确定参数范围； （2）分离参数法：先将参数分离，转化成求函数值域问题加以解决；（3）数形结合法：先对解析式变形，在同一平面直角坐标系中，画出函数的图象，然后数形结合求解．8．B解析：B 【解析】试题分析：利用函数f （x ）=x （e x +ae ﹣x ）是偶函数，得到g （x ）=e x +ae ﹣x 为奇函数，然后利用g （0）=0，可以解得m ．函数f （x ）=x （e x +ae ﹣x ）是奇函数，所以g （x ）=e x +ae ﹣x 为偶函数，可得n ，即可得出结论．解：设g （x ）=e x +ae ﹣x ，因为函数f （x ）=x （e x +ae ﹣x ）是偶函数，所以g （x ）=e x +ae ﹣x 为奇函数．又因为函数f （x ）的定义域为R ，所以g （0）=0， 即g （0）=1+a=0，解得a=﹣1，所以m=﹣1．因为函数f （x ）=x （e x +ae ﹣x ）是奇函数，所以g （x ）=e x +ae ﹣x 为偶函数 所以（e ﹣x +ae x ）=e x +ae ﹣x 即（1﹣a ）（e ﹣x ﹣e x ）=0对任意的x 都成立 所以a=1，所以n=1， 所以m+2n=1 故选B ．考点：函数奇偶性的性质．9．C解析：C 【解析】 【分析】根据自变量范围代入对应解析式，化简得结果. 【详解】f (log 43)＝log434=3,选C. 【点睛】本题考查分段函数求值，考查基本求解能力，属基础题.10．A解析：A 【解析】 由选项可知，项均不是偶函数，故排除，项是偶函数，但项与轴没有交点，即项的函数不存在零点，故选A. 考点：1.函数的奇偶性；2.函数零点的概念.11．B解析：B 【解析】因为()f x =22x x -+,所以()f a =223a a -+=,则()2f a =2222a a -+=2(22)2a a -+-=7.选B.12．D解析：D 【解析】 【分析】由题意画出函数图像，利用图像性质求解 【详解】画出()f x 的图像，如图（实线部分），由()1152y x y x =+⎧⎪⎨=-⎪⎩得()1,2A ．故()f x 有最大值2，无最小值 故选：D【点睛】本题主要考查分段函数的图像及性质，考查对最值的理解，属中档题．二、填空题13．【解析】【分析】首先根据题意得到再设代入解析式即可【详解】因为是上的奇函数且满足所以即设所以所以故答案为：【点睛】本题主要考查函数的奇偶性和对称性的综合题同时考查了学生的转化能力属于中档题 解析：()6lg(6)f x x x =---+【解析】 【分析】首先根据题意得到(6)()f x f x +=-，再设(6,3)x ∈--，代入解析式即可. 【详解】因为()f x 是R 上的奇函数且满足(3)(3)f x f x -=+，所以[3(3)][3(3)]f x f x ++=-+，即(6)()()f x f x f x +=-=-. 设(6,3)x ∈--，所以6(0,3)x +∈.(6)6lg(6)()f x x x f x +=+++=-，所以()6lg(6)f x x x =---+. 故答案为：()6lg(6)f x x x =---+ 【点睛】本题主要考查函数的奇偶性和对称性的综合题，同时考查了学生的转化能力，属于中档题.14．或【解析】【分析】由函数对称轴与区间关系分类讨论求出最大值且等于2解关于的方程即可求解【详解】函数对称轴方程为为；当时；当即（舍去）或（舍去）；当时综上或故答案为:或【点睛】本题考查二次函数的图像与解析：1-或2. 【解析】 【分析】由函数对称轴与区间关系，分类讨论求出最大值且等于2，解关于a 的方程，即可求解. 【详解】函数()22221()1f x x ax a x a a a =-++-=--+-+，对称轴方程为为x a =；当0a ≤时，max ()(0)12,1f x f a a ==-==-；当2max 01,()()12a f x f a a a <<==-+=，即210,a a a --==（舍去），或a = 当1a ≥时，max ()(1)2f x f a ===， 综上1a =-或2a =. 故答案为:1-或2. 【点睛】本题考查二次函数的图像与最值，考查分类讨论思想，属于中档题.15．【解析】【分析】根据整个函数值域为R 及分段函数右段的值域可判断出左段的函数为单调性递增且最大值大于等于1即可求得的取值范围【详解】当时此时值域为若值域为则当时为单调递增函数且最大值需大于等于1即解得解析：10,2⎡⎫⎪⎢⎣⎭【解析】 【分析】根据整个函数值域为R 及分段函数右段的值域,可判断出左段的函数为单调性递增,且最大值大于等于1,即可求得a 的取值范围. 【详解】当1x ≥时,()12x f x -=,此时值域为[)1,+∞ 若值域为R ,则当1x <时.()()123f x a x a =-+为单调递增函数,且最大值需大于等于1 即1201231a a a ->⎧⎨-+≥⎩,解得102a ≤<故答案为:10,2⎡⎫⎪⎢⎣⎭【点睛】本题考查了分段函数值域的关系及判断,指数函数的性质与一次函数性质的应用,属于中档题.16．【解析】【分析】先根据图象可以得出f(x)的图象可以在OC 或CD 中选取一个再在AB 或OB 中选取一个即可得出函数f(x)的解析式【详解】由图可知线段OC 与线段OB 是关于原点对称的线段CD 与线段BA 也是解析：()1x f x ⎧=⎨⎩1001x x -<<<< 【解析】 【分析】先根据图象可以得出f (x )的图象可以在OC 或CD 中选取一个，再在AB 或OB 中选取一个，即可得出函数f (x ) 的解析式. 【详解】由图可知，线段OC 与线段OB 是关于原点对称的，线段CD 与线段BA 也是关于原点对称的，根据题意，f (x) 与g (x) 的图象关于原点对称，所以f (x)的图象可以在OC 或CD 中选取一个，再在AB 或OB 中选取一个，比如其组合形式为: OC 和AB ， CD 和OB , 不妨取f (x )的图象为OC 和AB ，OC 的方程为: (10)y x x =-<<，AB 的方程为: 1(01)y x =<<，所以,10()1,01x x f x x -<<⎧=⎨<<⎩， 故答案为：,10()1,01x x f x x -<<⎧=⎨<<⎩【点睛】本题主要考查了函数解析式的求法，涉及分段函数的表示和函数图象对称性的应用，属于中档题.17．（）【解析】【分析】设（）求出再求出原函数的值域即得反函数【详解】设（）所以因为x≥0所以所以因为x≥0所以y≥0所以反函数故答案为【点睛】本题主要考查反函数的求法考查函数的值域的求法意在考查学生对1（0x ≥） 【解析】 【分析】设()22f x y x x ==+（0x ≥）,求出x =()1f x -.【详解】设()22f x y x x ==+（0x ≥）,所以2+20,x x y x -=∴=±因为x≥0，所以x =()11f x -=.因为x≥0，所以y≥0，所以反函数()11f x -=，0x （）≥.1，0x （）≥ 【点睛】本题主要考查反函数的求法，考查函数的值域的求法，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理计算能力.18．2或【解析】【分析】将函数化为分和两种情况讨论在区间上的最大值进而求【详解】时最大值为解得时最大值为解得故答案为:或2【点睛】本题考查已知函数最值求参答题时需要结合指数函数与二次函数性质求解解析：2或12【解析】 【分析】将函数化为()2()26x f x a =+-,分01a <<和1a >两种情况讨论()f x 在区间[]1,1-上的最大值,进而求a . 【详解】()242x x f x a a =+-()226x a =+-, 11x -≤≤Q ,01a ∴<<时,1x a a a -<<,()f x 最大值为()21(1)2610f a --=+-=,解得12a =1a >时,1x a a a -≤≤,()f x 最大值为()2(1)2610f a =+-=,解得2a =,故答案为:12或2. 【点睛】本题考查已知函数最值求参,答题时需要结合指数函数与二次函数性质求解.19．0【解析】【分析】根据分段函数的解析式代入求值即可求解【详解】因为则所以【点睛】本题主要考查了分段函数求值属于中档题解析：0 【解析】 【分析】根据分段函数的解析式，代入求值即可求解. 【详解】 因为sin ()(1)x f x f x π⎧=⎨-⎩(0)(0)x x <> 则11111()sin()sin 6662f ππ-=-==, 11511()()()sin()66662f f f π==-=-=-, 所以1111()()066f f -+=.【点睛】本题主要考查了分段函数求值，属于中档题.20．4【解析】【分析】采用待定系数法可根据已知等式构造方程求得代入求得从而得到解析式进而得到；设为的零点得到由此构造关于的方程求得；分别在和两种情况下求得所有零点从而得到结果【详解】设解得：又设为的零点解析：4 【解析】 【分析】采用待定系数法可根据已知等式构造方程求得,a b ，代入()00f =求得c ，从而得到()f x 解析式，进而得到()(),g x h x ；设0x 为()g x 的零点，得到()()0000g x h x ⎧=⎪⎨=⎪⎩，由此构造关于m 的方程，求得m ；分别在0m =和3m =-两种情况下求得()h x 所有零点，从而得到结果. 【详解】设()2f x ax bx c =++()()()()2222244244f x f x a x b x c ax bx c ax a b x ∴+-=++++---=++=-+ 44424a a b =-⎧∴⎨+=⎩，解得：14a b =-⎧⎨=⎩ 又()00f = 0c ∴= ()24f x x x ∴=-+()24g x x x m ∴=-++，()()()222444h x x x x x m =--++-++设0x 为()g x 的零点，则()()0000g x h x ⎧=⎪⎨=⎪⎩，即()()2002220000404440x x m x x x x m ⎧-++=⎪⎨--++-++=⎪⎩ 即240m m m --+=，解得：0m =或3m =- ①当0m =时()()()()()()()22222244444442h x x x x x x x x x x x x =--++-+=-+-+=---()h x ∴的所有零点为0,2,4②当3m =-时()()()()()2222244434341h x x x x x x x x x =--++-+-=--+--+-()h x ∴的所有零点为1,3,2综上所述：()h x 的最大零点为4 故答案为：4 【点睛】本题考查函数零点的求解问题，涉及到待定系数法求解二次函数解析式、函数零点定义的应用等知识；解题关键是能够准确求解二次函数解析式；对于函数类型已知的函数解析式的求解，采用待定系数法，利用已知等量关系构造方程求得未知量.三、解答题21．（1）g (x )＝22x－2x ＋2，{x |0≤x ≤1}．（2）最小值－4；最大值－3.【解析】 【分析】 【详解】（1）f (x )＝2x的定义域是[0,3]，设g (x )＝f (2x )－f (x ＋2)，因为f(x)的定义域是[0,3]，所以，解之得0≤x≤1．于是 g(x)的定义域为{x|0≤x≤1}． （2）设．∵x ∈[0,1],即2x ∈[1,2]，∴当2x=2即x=1时，g(x)取得最小值-4；当2x=1即x=0时，g(x)取得最大值-3． 22．(1)见解析；(2)12a =；(3) 16. 【解析】 【分析】 【详解】(1)()f x Q 的定义域为R, 任取12x x <,则121211()()2121xx f x f x a a -=--+++=121222(12)(12)x x x x -++. 12x x <Q ,∴1212220,(12)(12)0xx x x -++.∴12())0(f x f x -<，即12()()f x f x <. 所以不论a 为何实数()f x 总为增函数. (2)()f x Q 在x ∈R 上为奇函数, ∴(0)0f =,即01021a -=+. 解得12a =. (3)由(2)知，11()221x f x =-+, 由(1) 知，()f x 为增函数,∴()f x 在区间[1,5)上的最小值为(1)f . ∵111(1)236f =-=， ∴()f x 在区间[1,5)上的最小值为16. 23．（1）12-（2）3【解析】 【分析】（1）根据幂的运算法则计算；（2）根据对数运算法则和换底公式计算． 【详解】解：（1）原式1313249314164⎡⎤⎛⎫⎛⎫=+-⎢⎥ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎢⎥+⎣⎦ 731444=++- 12=-.（2）原式33log 312lg10=+-+3121=+-+ 3=. 【点睛】本题考查幂和对数的运算法则，掌握幂和对数运算法则是解题关键． 24．（1）证明见解析（2）m 1≥ 【解析】 【分析】（1）12,(0,)x x ∀∈+∞，且12x x <，计算()()120f x f x ->得到证明.（2）根据单调性得到221x x m ++>，即()221212m x x x >--=-++，得到答案. 【详解】（1）函数单调递减，12,(0,)x x ∀∈+∞，且12x x <，()()()()2221121212122222121211x x x x x x f x f x x x x x x x -++⎛⎫⎛⎫-=---= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ ∵120x x <<，∴210x x ->，2212120x x x x ++>，22110x x >∴12()()f x f x >，∴()f x 在(0,)+∞单调递减； （2）()()2201f x x m f ++<=，故221x x m ++>，()221212m x x x >--=-++，(0,)x ∈+∞，故m 1≥.【点睛】本题考查了定义法证明函数单调性，利用单调性解不等式，意在考查学生对于函数性质的灵活运用.25．（1）证明见解析（2）4a = 【解析】 【分析】（1）利用定义法证明函数的单调性，按照：设元、作差、变形、判断符号、下结论的步骤完成即可；（2）首先表示出()()()F x g x f x =-，再根据复合函数的单调性分类讨论可得。

1.3 集合的基本运算（精练）【题组一 数集基本运算】1．（2021·四川宜宾市）已知集合{}2,1,0,1,2,3U =--，{}2,1,0,1A =--，{}0,1,2B =，则()UA B =（ ） A ．{}2,1-- B ．{}0,1 C ．{}0,3 D ．{}2,1,3--【答案】A【解析】∵集合{}2,1,0,1,2,3U =--，{}2,1,0,1A =--，{}0,1,2B =， ∴{}2,1,3UB =--，(){}2,1UAB =--.故选：A .2．（2021·吉林吉林市）已知全集{0,1,2,3,4}U A B =⋃=，(){1,3}U A C B =，则集合B =（ ）A ．{1,3}B ．{1,2,3,4}C ．{0,2,4}D ．{0,1,2,3,4}【答案】C【解析】由{0,1,2,3,4}U A B =⋃=，(){1,3}U AC B =，∴{0,2,4}B =. 故选：C.3．（2021·全国高三其他模拟（文））已知集合A ＝{x |2x ﹣4＜0}，B ＝{﹣1，0，2}，则A ∪B ＝（ ） A ．（2，+∞） B ．[2，+∞）C ．（﹣∞，2）D ．（﹣∞，2]【答案】D【解析】{|}{|2},{}240102Ax x x x B =<--<＝＝，，, 所以(,2]A B =-∞.故选：D.4．（2021·辽宁铁岭市）已知U =R ，{}2M x x =≤，{}11N x x =-≤≤，则UMN =（ ）A ．{1x x <-或}12x <≤B ．{}12x x <≤C ．{1x x ≤-或}12x ≤≤ D ．{}12x x ≤≤【答案】A 【解析】因为{1UN x x =<-或1}x >，所以{1U M C N x x ⋂=<-或12}x <≤.故选：A.5．（2021·广西南宁市）已知集合{}21A x x =-<≤，{}2,1,0B =--，则A B =（ ）A ．{}2,1,0,1--B ．{}1,0,1-C ．{}1,0-D ．{}2,1,0--【答案】C【解析】因为2A -∉，1A -∈，0A ∈，所以{}1,0A B ⋂=-.故选：C. 6．（2021·广西南宁市）已知集合{}{}21,2,1,0A x x B =-<≤=--，则A B =（ ）A ．{}2,1,0,1--B ．{}1,0,1-C ．{}1,0-D ．{}2,1,0--【答案】C【解析】因为2,1,0A A A -∉-∈∈，所以{}1,0A B ⋂=-．故选：C 7．（2021·浙江）已知集合{14}P x x =<<，{23}Q x x =<<，则P Q =（ ）A ．{12}x x <<B ．{14}x x <<C ．{23}x x <<D ．{34}x x <<【答案】C 【解析】{14}P x x =<<，{23}Q x x =<<，∴P Q ={23}x x <<.故选：C.8．（2021·浙江金华市）已知集合A ={x |x <2，x ∈Z }，B ={x |y =，则A ∩B =（ ）A ．[-1，2)B ．[0，2)C ．{0，1}D ．{-1，0，1}【答案】D【解析】B ={x |y =[1,)=-+∞，则A ∩B {}1,0,1=-故选：D9．（2021·全国高三专题练习）已知全集{}010U A B x N x =⋃=∈≤≤，(){}1,3,5,7UA B =，则B =（ ）A ．{}2,4,6,8,9,10B ．{}1,2,3,6,9,7C ．{}1,3,5,7D ．{}0,2,4,6,8,9,10【答案】D【解析】因为全集{}{}0100,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10U A B x N x =⋃=∈≤≤=，(){}1,3,5,7U A B ⋂=，所以，1、3、5、7都不是集合B 中的元素，因此，{}0,2,4,6,8,9,10B =.故选：D.10．（2021·全国高三其他模拟（文））设全集{|}2U x x ∈≤Z ＝，{|10}A x x =+≤，{}2,0,2B =-，则()UA B =（ ）A ．{}1B ．{}0,2C ．{2,0,1,2}-D ．(1,2]{2}-⋃-【答案】C 【解析】{}{|}2,1,0,12,2U x Z x =--=∈≤，{}{|10}1A x x x x =+≤=≤-，{}0,1,2U A ∴=，(){}2,0,1,2U A B ∴=-.故选：C.11．（2021·哈尔滨市第一中学校）已知集合{}24A x x =≤，{}1B x x =<，则集合A B 等于（ ）A ．{}12x x ≤≤ B ．{}1x x ≥C ．{}2x x ≤D ．{}2x x ≥-【答案】C【解析】由不等式24x ≤，可得22x -≤≤，即集合{|22}A x x =-≤≤， 又由集合{}1B x x =<，可得{}2A B x x ⋃=≤.故选：C.12．（2021·广西师大附属外国语学校）已知集合{|S x N x =∈≤，{}22|T x R x a =∈=，且{}1S T ⋂=，则S T ⋃=（ ）A ．{1，2}B ．{0，1，2}C ．{-1，0，1，2}D ．{-1，0，1，2，3}【答案】C【解析】{{}|0,1,2S x N x =∈≤=，而{}1S T⋂=，所以1T ∈，则21a =，所以{}{}22|1,1T x R x a =∈==-，则{}1,0,1,2S T ⋃=-故选：C.【题组二 点集基本运算】1．（2021·黑龙江哈尔滨市）已知集合{(,),,}A x y x y N y x =∈<∣，{(,)6}B x y x y =+=∣，则A B 中的元素个数为（ ） A ．2 B ．3C ．4D ．5【答案】B 【解析】A B 中的元素必满足,x y N ∈，且6x y +=，∴A B 中的元素必在这七个元素中(0,6),(1,5),(2,4),(3,3),(4,2),(5,1),(6,0)，y x <，∴(4,2),(5,1),(6,0)为A B 中的元素，故选：B.2．（2021·北京人大附中）已知集合{}2(,)|A x y y x ==，{}(,)B x y y x =|=，则AB =（ ）A ．{}0,1B ．(){}0,0C ．(){}1,1D ．()(){}0,0,1,1【答案】D【解析】由2y x y x⎧=⎨=⎩，得00x y ==⎧⎨⎩，或11x y =⎧⎨=⎩，所以A B =()(){}0,0,1,1，故选：D3．（2021·全国高三专题练习）已知集合{}(,)|1,A x y y x x R ==+∈，集合{}2(,)|,B x y y x x R ==∈，则集合A B 的子集个数为A ．1B ．2C ．3D ．4【答案】D【解析】由题意得，直线1y x =+与抛物线2y x 有2个交点，故A B 的子集有4个.【题组三 韦恩图求交并补】1．（2021·四川）已知全集{1,2,3,4,5,6,7,8,9}U =，集合{1,3,7,9}A =，{2,3,5,6}B =，则图中阴影部分表示的集合为（ ）A ．{2,4,5,6,8}B ．{1,4,7,8,9}C ．{4,8}D ．{3}【答案】C【解析】图中阴影部分表示的集合为()UA B ，易得(){4,8}UA B ⋃=.故选：C2．（2021·山西太原市）已知全集U =R ，集合{}0,1,2,3A =，{}1,0,1B =-，则下图阴影部分表示的集合是（ ）A ．{}1-B ．{}0,1C ．{}2,3D ．{}1,2,3-【答案】C【解析】由图可得阴影部分表示的集合为()UA B ，{}0,1,2,3A =，{}1,0,1B =-则可得(){}2,3UB A ⋂=.故选：C.3．（2021·山东滨州市）设全集{}3,2,0,2,3U =--，{}3,3A =-，()(){}320B x x x =--=，则图中阴影部分所表示的集合为（ ）A ．{}3,2,3-B ．{}3,2,0,2--C ．{}3D ．{}2,0-【答案】D 【解析】()(){}{}3202,3B x x x =--==，{}3,3A =-，{}3,2,3A B ∴=-，又全集{}3,2,0,2,3U =--，所以，图中阴影部分所表示的集合为(){}2,0U C AB =-,故选：D.4．（2021·湖南永州市）已知集合M ，N 是实数集R 的子集，若{}1,2N =，且RM N φ=，则符合条件的集合M 的个数为（ ） A ．1 B ．2C ．3D ．4【答案】D【解析】RMN φ=，M N ∴⊆则符合条件的集合M 的个数为224=个故选：D5．（2021·重庆）（多选）已知全集U 的两个非空真子集A ，B 满足()UA B B =，则下列关系一定正确的是（ ） A ．AB =∅ B ．A B B =C ．A B U ⋃=D ．()UB A A =【答案】CD【解析】令{}1,2,3,4U =，{}2,3,4A =，{}1,2B =，满足()UA B B =，但A B ⋂≠∅，A B B ≠，故A ，B 均不正确； 由()UA B B =，知U A B ⊆，∴()()UU AA AB =⊆，∴A B U ⋃=，由UA B ⊆，知UB A ⊆，∴()U B A A =，故C ，D 均正确.故选：CD.6．（2021·上海）（多选）已知M ，N ，P 为全集U 的子集，且满足M P N ⊆⊆，下列结论不正确的是（ ）． A ．UUN P ⊆B ．()UM N =∅ C ．()UP M =∅D ．UUP M ⊆【答案】ACD【解析】作出Venn 图，由图可得UUN P ⊆，UUP M ⊆，()UP M =∅正确，()UM N =∅错误．故选：ACD ．7．（2021·山东济南市）（多选）图中阴影部分用集合符号可以表示为（ ）A ．()ABC ⋂⋃ B ．()A B CC ．()UA B C ⋂⋂ D ．()()A B A C ⋂⋃⋂【答案】AD【解析】由图可知，阴影部分是集合B 与集合C 的并集，再由集合A 求交集，或是集A 与B 的交集并上集合A 与C 的交集，所以阴影部分用集合符号可以表示为()A B C ⋂⋃或()()A B A C ⋂⋃⋂，故选：AD 【题组四 求参数】1．（2021·北京育英中学）已知集合{}0M x x a =-=，{}10N x ax =-=，若M N N =，则实数a 的值是（ ） A ．1 B ．1-C ．1或1-D ．0或1或1-【答案】D【解析】已知集合{}{}0M x x a a =-==，{}10N x ax =-=， 因为MN N =，所以N M ⊆，当N =∅时，0a =，符合题意； 当N ≠∅时，1N a ⎧⎫=⎨⎬⎩⎭，则1a a=，解得1a =±，此时N M =，符合题意； 综上：实数a 的值是0或1或1-故选：D2．（2021·江西）已知集合(){}(){},210,,0A x y x y B x y x ay =-+==+=∣∣，若A B =∅，则实数a =（ ） A ．12-B ．2C ．2-D ．12【答案】A【解析】因为A B =∅，所以方程组2100x y x ay -+=⎧⎨+=⎩无实数解．所以1021a=≠-，12a =-．故选：A ． 3．（2021·福建南平市）设集合{2,3,4}A ，集合{}230B x x x m =-+=∣．若{2}A B =，则B =（ ）A ．{1,2}-B ．{}1,0C ．{1,2}D ．{1,3}【答案】C【解析】由{2}AB =得2B ∈，即2x =是方程230x x m -+=的根，460m -+=所以2m =，{1,2}B =，故选：C ．4．（2021·河南商丘市）已知集合A ，B 满足{}13A B x x ⋃=<≤，{}1A B x a x a ⋂=≤≤+，则实数a 的取值范围为（ ）A ．[]1,2B ．()1,2C ．(]1,2D ．∅【答案】C【解析】由A B A B ⋂⊂⋃知，113a a >⎧⎨+≤⎩，解得(]1,2a ∈故选：C5．（2021·河南郑州市）设集合{}3,5A =，{}250B x x x m =-+=，满足{}2,3,5AB =.（1）求集合B ；（2）若集合{}10C x ax =-=，且满足B C C =，求所有满足条件的a 的集合.【答案】（1）{}2,3B =；（2）110,,23⎧⎫⎨⎬⎩⎭.【解析】（1）∵{}2,3,5A B =，∴2B ∈，∴6m =，∴{}2,3B =.（2）∵BC C =，∴C B ⊆，∴C 的可能情形为C =∅，{}2C =，{}3C =，{}2,3C =， 若C ≠∅，则0a =， 若{}2C =，则12a =， 若{}3C =，则13a =， 若{}2,3C =，显然不满足题意. ∴a 的取值集合为110,,23⎧⎫⎨⎬⎩⎭.6．（2021·广西百色市）已知集合{}{}|321,|53A x a x a B x x =-≤≤+=-≤≤，全集U =R . （1）当1a =时，求()UA B ；（2）若A B ⊆，求实数a 的取值范围. 【答案】（1）{}|52x x -≤<-；（2）4a或21a -≤≤.【解析】（1）依题意，当1a =时，{}|23A x x =-≤≤，则|2UA x x =<-｛或3}x >，又{}|53B x x =-≤≤， 则()|2UA B x x =<-｛或{}{}|53|3}52x x x x x -≤≤->=≤<-.（2）若A B ⊆，则有{}{}|321|53x a x a x x -≤≤+⊆-≤≤，于是有： 当A φ=时，A B ⊆显然成立，此时只需321a a ->+，即4a ；当A φ≠时，若A B ⊆，则35221313214a a a a a a a -≥-≥-⎧⎧⎪⎪+≤⇒≤⎨⎨⎪⎪-≤+≥-⎩⎩，所以：21a -≤≤ 综上所述，a 的取值范围为：4a或21a -≤≤.7．（2021·浙江湖州市）已知集{}28A x x =≤≤，{}26B x x m =≤≤-，{}112C x m x m =-≤≤+，U =R .（1）若()UA B =∅，求m 的取值范围；（2）若BC ≠∅，求m 的取值范围.【答案】（1）2m ≥-；（2）1722m m ⎧⎫≤≤⎨⎬⎩⎭. 【解析】（1）∵{}28A x x =≤≤，∴{U|2A x x =<或}8x >，∵()UA B =∅，则B A ⊆,当B =∅时，62m -<，即4m >，当B ≠∅时，62m -≥，68m -≤，解得24m -≤≤. 综上所述：2m ≥-.（2）由题可知，B ≠∅，C ≠∅，62,121,m m m -≥⎧⎨+≥-⎩解得24m -≤≤.若B C ≠∅时，则只需:1612m m m -≤-≤+或2126m m ≤+≤-，解得:1722m ≤≤.∴ 当BC ≠∅，m 的取值范围为1722m m ⎧⎫≤≤⎨⎬⎩⎭.8．（2021·安徽省桐城中学高一月考）已知集合{|02}A x x =≤≤，{|32}B x a x a =≤≤-. （1）若()UA B R ⋃=，求a 的取值范围； （2）若AB B ≠，求a 的取值范围.【答案】（1）1,2⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦；（2）1,2a ⎡⎫+∞⎢⎣∈⎪⎭.【解析】（1）∵{}|02A x x =≤≤，∴{|0UA x x =<或}2x >，若()UA B R ⋃=，则320322a aa a -≥⎧⎪⎨⎪-≥⎩，即12a ≤∴实数a 的取值范围是1,2⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦.（2）若AB B =，则B A ⊆.当B =∅时，则32-<a a 得1,a >当B ≠∅时，若B A ⊆则0322a a ≥⎧⎨-≤⎩，得1,12a ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，综上故a 的取值范围为1,2a ⎡⎫+∞⎢⎣∈⎪⎭，故AB B ≠时的范围为1,2⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭的补集，即1,.2⎛⎫-∞ ⎪⎝⎭9．（2021·浙江湖州市·湖州中学高一月考）在①{}=1A B ⋂，②A B =，③B A 这三个条件中任选一个，补充在下面问题中，若问题中的集合存在，求实数a 的值；若问题中的集合不存在，说明理由．问题：是否存在集合,A B ，满足集合{}2|320A x x x =-+=，集合{}22|6+60B x x ax a a =+-=，使得__________成立？(注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分．)【答案】答案不唯一，具体见解析【解析】由条件可得{}1,2A =解：选编号①，要使得{}=1A B ⋂，则1,2B B ∈∉所以26+60a a a +-=且264+620a a a ⨯⨯+-≠解得2a =-选编号②，由{}1,2A B ==，即226+60x ax a a +-=的两根为1,2 由韦达定理可得261+2=6126a a a -⎧⎪⎪⎨-⎪⨯=⎪⎩解得3a =- 选编号③由B A 则B =∅或{}1B =或{}2B =当B =∅时，即()223624020a a a a ∆=--<⇒-<< 当{}1B =时，261+1=62116a a a a-⎧⎪⎪⇒=-⎨-⎪⨯=⎪⎩， 当{}2B =时，2262+2=46240226a a a a a a a -⎧⎪=-⎧⎪⇒⇒⎨⎨--=-⎩⎪⨯=⎪⎩无解， 综上可得20a -≤<10．（2021·广东惠州市·高一期末）已知集合{}24120A x x x =-++>，集合{}239B x m x m =-<<-．现有三个条件：条件①A B B =，条件②R B A ⊆，条件③A B B ⋃=．请从上述三个条件中任选一个，补充在下面横线上，并求解下列问题：（1）若4m =，求()R A B ⋂；（2）若______，求m 的取值范围．注：如果选择多个条件分别解答，按第一个选择的解答计分．【答案】（1）(){}67R A B x x ⋂=<<；（2）选①：215m -；选②：73m 或9m ；选③：15m -．. 【解析】集合{}{}2412026A x x x x x =-++>=-<<， {}26R A x x x =≤-≥或 （1）若4m =，{}17B x x =<<，则(){}67R A B x x ⋂=<<（2）选①：A B B =，则B A ⊆，若B =∅，则239m m -≥-，解得23m -≤≤若B ≠∅，则22393296m m m m ⎧-<-⎪-≥-⎨⎪-≤⎩，解得3m<≤综上得2m -≤≤选②：R B A ⊆若B =∅，则239m m -≥-，解得23m -≤≤若B =∅，则223992m m m ⎧-<-⎨-≤-⎩或23936m m m ⎧-<-⎨-≥⎩解得2m ≤<-或9m≥；综上得3m ≤≤或9m ≥．选③：A B B ⋃=，则A B ⊆．则22393296m m m m ⎧-<-⎪-≤-⎨⎪-≥⎩解得231m m m m m ⎧-⎪≤⎨⎪≤≥⎩或所以m≤。

人大附中届摸底考试数学试卷本试卷分第I 卷（选择题）和第II 卷（非选择题）两部分. 第I 卷1至2页.第II 卷3至9页.共150分. 考试时间120分钟.第I 卷（选择题 共40分）参考公式： 如果事件A 、B 互斥，那么P （A +B ）=P （A ）+P （B ） 如果事件A 、B 相互，那么P （A ·B ）=P （A ）·P （B ）如果事件A 在一次试验中发生的概率是P ，那么事件A 在n 次重复试验中恰好发生k 次的概率P n (k)=C kn P k (1－P)n －k .一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 已知集合,},3|||{},02|{2R B A a x x B x x x A =⋃<-=>--=若集合，则实数a 的取值范围是（A ）[1，2] （B ）（－1，2） （C ）[－1，2] （D ）（－2，1） 2. 已知直线l ⊥平面α，直线m ⊂平面β，有下面四个命题：①m l ⊥⇒βα//；②m l //⇒⊥βα；③βα⊥⇒m l //；④βα//⇒⊥m l其中正确的两个命题的序号是 （A ）①与② （B ）③与④ （C ）②与④ （D ）①与③3. 下列函数的图象中，经过平移或翻折后不能与函数x y 2log =的图象重合的函数是（A ）x y 2= （B ）x y 21log =（C ）xy 421⋅=（D ）21log 1y x =+4. 如右图所示，在正方体ABCD —A 1B 1C 1D 1的侧面AB 1内有一动点P 到直线A 1B 1与直线BC 的距离相等，则动点P 所在曲线的形状为5. 函数sin y x x =+，[],x ππ∈-的大致图象是（ ）(A ) (B ) (C ) (D ) 6. 设,0,0>>b a 则以下不等式中不恒成立．．．．的是 （A ）4)11)((≥++ba b a （B ）2332ab b a ≥+（C ）b a b a 22222+≥++ （D ）b a b a -≥-||7. 设a 、b 是方程0cos cot 2=-+θθx x 的两个不相等的实数根，那么过点A（a ,a 2）和B （b ，b 2）的直线与圆122=+y x 的位置关系是 （A ）相交 （B ）相切 （C ）相离 （D ）随θ的值变化而变化8. 函数()()()sin 0f x M x ωϕω=+>，在区间[],a b 上是增函数，且()(),f a M f b M =-=，则函数()()cos g x M x ωϕ=+在区间[],a b 上 （A ）是增函数 （B ）是减函数（C ）可以取得最大值M （D ）可以取得最小值－MxyOxyOxyOxyO人大附中高三数学月考试卷班级____________姓名____________学号_____________第Ⅱ卷（非选择题 共110分）二、 填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分．把答案填在题中横线上.9. 若实数x 、y 满足y x z y x y x y x 2,009382+=⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≥≥≤+≤+则的最大值为 . 10. 等差数列{a n }的前n 项和为S n ，且a 1>0,若存在自然数3≥m ，使得a m =S m ,当n >m 时，S n 与a n 的大小关系为：n S _______n a ．（填“>”；“<”或“＝”）11. 年10月15日，我国自行研制的首个载人宇宙飞船“神州五号”在酒泉卫星发射中心胜利升空，实现了中华民族千年的飞天梦，飞船进入的是椭圆轨道，已知该椭圆轨道与地球表面的最近距离约为200公里，最远距离约350公里（地球半径约为6370公里），则轨道椭圆的标准方程为（精确到公里） .（注：地球球心位于椭圆轨道的一个焦点，写出一个方程即可） 12. 某民航站共有1到4四个入口，每个入口处每次只能进一个人，一小组4个人进站的方案数为______________．13. 设,,a b c 是任意非零的平面向量，且互不共线，给出下面的五个命题：（1）=a b a b ； （2）()()b c a c a b -不与向量c 垂直．；（3）a b a b -<-； （4）若0a b =，则0a =，或者0b =； （5）()()a b c b c a =； （6）()()22323294a b a b a b +-=-其中真命题的序号为_____________________________.14. 某纺织厂的一个车间有n （n>7，n ∈N ）台织布机，编号分别为1，2，3，……，n ，该车间有技术工人n 名，编号分别为1，2，3，……，n ．现定义记号ij a 如下：如果第i 名工人操作了第j 号织布机，此时规定ij a =1，否则ij a =0．若第7号织布机有且仅有一人操作，则=+++++747372717n a a a a a ；若2334333231=+++++n a a a a a ，说明： ______ .三、解答题：本大题共6小题，共80分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.15．（本小题满分13分）在ΔABC 中，角A 、B 、C 所对的边分别为a 、b 、c ，且31cos =A .（1）求A CB 2cos 2sin 2++的值；（2）若3=a ，求bc 的最大值.16．（本小题满分14分）如图，在棱长为1的正方体ABCD—A1B1C1D1中，点E是棱BC的中点，点F是棱CD上的动点.（1）试确定点F的位置，使得D1E⊥平面AB1F；（2）当D1E⊥平面AB1F时，求二面角C1—E F—A的大小（结果用反三角函数值表示）.17．（本小题满分14分）某校有教职员工150人，为了丰富教工的课余生活，每天下午4：00～5：00同时开放健身房和娱乐室，要求所有教工每天必须参加一个活动．据调查统计，每次去健身房的人有10%下次去娱乐室，而在娱乐室的人有20%下次去健身房.请问，随着时间的推移，去健身房的人数能否趋于稳定？18．（本小题满分14分）某人居住在城镇的A处，准备开车到单位B处上班. 若该地各路段发生堵车事件都是相互的，且在同一路段发生堵车事件最多只有一次，发生堵车事件的概率如图.（例如：A→C→D 算作两个路段：路段AC发生堵车事件的概率为1 5，路段CD发生堵车事件的概率为18．（1）请你为其选择一条由A到B的最短路线（即此人只选择从西向东和从南向北的路线），使得途中发生堵车事件的概率最小；（2）若记路线A→C→F→B中遇到堵车次数为随机变量ξ，求ξ的数学期望.ξE北西19．（本小题满分12分）已知函数223)(x ax x f -=的最大值不大于61，又当.81)(,]21,41[≥∈x f x 时（1）求a 的值； （2）设.11.),(,21011+<∈=<<++n a N n a f a a n n n 证明20．（本小题满分13分）已知抛物线x y 42 的焦点为F ，过F 作两条互相垂直的弦AB 、CD ，设AB 、CD 的中点分别为N M ，（1）求证：直线MN 必过定点，并求出定点坐标．（2）分别以AB 和CD 为直径作圆，求两圆相交弦中点H 的轨迹方程．人大附中届摸底考试数学试卷答案一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分。

2021年高三1月模拟数学理试题含解析一、选择题：本大题共8个小题,每小题5分,共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知i为虚数单位，复数对应的点位于（）A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限【答案】B【解析】试题分析：因为，所以对应的点的坐标是，所以在第二象限，故选B．考点：1、复数的乘法运算；2、复平面．2.已知集合，，则（）A. B. C. D.【答案】B【解析】试题分析：使有意义，必须满足，，，故选B．考点：1、函数的定义域；2、集合的交集运算．3.设向量，, 若方向相反, 则实数的值是（）A．B．C．D．【答案】D【解析】由题意得：，解得：，当时，，，此时，方向相同，不符合题意，舍去；当时，，，此时，方向相反，符合题意．所以实数的值是，故选D．试题分析：考点：1、向量的坐标运算；2、平行向量（共线向量）．4.一算法的程序框图如图1，若输出的， 则输入的的值可能为（ ）A ．B ．C ．D ．【答案】C【解析】试题分析：由程序框图知：．当时，，解得：（舍去）；当时，，解得：（）或（），当时，或（舍去），所以输入的的值可能是，故选C ．考点：1、框图；2、分段函数．5.将函数的图象向左平移个单位，再向上平移个单位，所得图象的函数解析式是（ ）A ．B ．C ．D ．【答案】A【解析】试题分析：将函数的图象向左平移个单位，得到函数sin 2sin 2cos 2662y x x x πππ⎡⎤⎛⎫⎛⎫=++=+= ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦的图象，再向上平移个单位，得到函数的图象．所得函数的函数解析式是，故选A ．考点：1、三角函数的图象变换；2、诱导公式；3、倍角公式．6.用,,表示空间中三条不同的直线, 表示平面, 给出下列命题:① 若, , 则∥; ② 若∥, ∥, 则∥;③ 若∥, ∥, 则∥; ④ 若, , 则∥.其中真命题的序号是（ ）A ．① ②B ．② ③C ．① ④D ．② ④【答案】D【解析】试题分析：若, , 则∥或与相交或与异面，所以①是假命题；平行于同一直线的两条直线平行，所以②是真命题；若∥, ∥, 则∥或与相交或与异面，所以③是假命题；若两条直线垂直于同一个平面，则这两条直线平行，所以④是真命题．故选D ．考点：空间点、线、面的位置关系．7.已知双曲线的左，右焦点分别为，，过点 的直线与双曲线的右支相交于，两点，且点的横坐标为，则△的周长为（ ）A ．B ．C ．D ．【答案】A【解析】试题分析：因为，所以，因为点的横坐标为，所以轴，由，解得，所以，因为点、在双曲线上，所以，，所以1122F QF F QF Q P +=P +=P ==，所以△的周长为11F QF Q P ++P ==，故选A ． 考点：1、双曲线的定义；2、双曲线的弦长；3、焦点三角形的周长．8.已知映射.设点，，点是线段上一动点，.当点在线段上从点开始运动到点结束时，点的对应点所经过的路线长度为（ ）A ．B ．C ．D ．【答案】B【解析】试题分析：因为点，，所以线段的方程为（），设，则，因为点是线段上一动点，所以（），所以点的对应点的轨迹是一段圆弧，且圆心角为，所以点的对应点所经过的路线长度为，故选B ． 考点：1、映射；2、轨迹方程；3、弧长．二、填空题（本大题共7小题，考生作答6小题，每小题5分，满分30分）（一）必做题（9～13题）9.不等式的解集是 .【答案】【解析】当，即时，不等式恒成立；当，即时，不等式可化为，化简得，解得或，或，故所求不等式的解集是．试题分析：考点：绝对值不等式10.已知数列是等差数列，且，则的值为.【答案】28【解析】试题分析：因为，所以，所以．考点：等差数列的性质11.在平面直角坐标系中，设不等式组所表示的平面区域是，从区域中随机取点，则的概率是.【答案】【解析】试题分析：作出可行域如图所示：不等式组所表示的平面区域是图中正方形，则正方形的面积是．从区域中随机取点，使，则点落在图中阴影部分．在中，，，所以阴影部分的面积是，故所求的概率是．考点：1、线性规划；2、几何概型．12.由，，，…，这十个数字组成的无重复数字的四位数中，十位数字与千位数字之差的绝对值等于的四位数的个数是.【答案】280【解析】试题分析：当十位数字为，千位数字为时，四位数的个数是；当十位数字与千位数字为，时，四位数的个数是；当十位数字与千位数字为，时，四位数的个数是，故所求的四位数的个数是．考点：排列与组合13.已知函数, 则12340292015201520152015f f f f⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫++++⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭的值为. 【答案】-8058【解析】试题分析：因为()()()2sin 32sin 23f x f x x x x x ππ+-=+-+-+--⎡⎤⎣⎦ ，所以12340292015201520152015f f f f ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫++++ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭()4029140294029480582201520152f f ⎡⎤⎛⎫⎛⎫=⨯+=⨯-=- ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦． 考点：1、函数值；2、推理与证明．（二）选做题（14～15题，考生只能从中选做一题）14.（几何证明选讲选做题）如图2，圆的直径，直线与圆相切于点，于点D ，若，设，则______．OD EC BA【答案】 【解析】试题分析：因为直线与圆相切于点，所以，因为是圆的直径，所以，在中，，在中，，所以，故．考点：1、弦切角；2、直径所对的圆周角．15.（坐标系与参数方程选讲选做题）在极坐标系中，设曲线与的交点分别为，，则线段的垂直平分线的极坐标方程为 .【答案】【解析】试题分析：曲线的普通方程为，曲线的普通方程为，所以的方程为，又易知的垂直平分线斜率为，经过圆的圆心，所以的垂直平分线的方程为，即为，或化成．考点：1、极坐标方程与直角坐标方程互化；2、两圆的公共弦所在直线方程． 三、解答题 （本大题共6小题，共80分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）16.（本小题满分12分）已知函数R，是函数的一个零点.（1）求的值，并求函数的单调递增区间；（2）若，且，，求的值.【答案】（1），Z；（2）．【解析】试题分析：（1）由是函数的一个零点得，代入，用辅助角公式化简，得，利用正弦函数的单调递增区间即可求出函数的单调递增区间；（2）先将已知条件进行化简，再利用求出和的值，进而展开，代入数值．试题解析：（1）解：∵是函数的一个零点，∴ . …………………………………………1分∴ . ………………………………………………2分∴………………………………………………3分. ………………………………………………4分由，Z，得，Z，………………………………………………5分∴ 函数的单调递增区间是Z. …………………6分（2）解：∵，∴.∴ . ………………………………………………7分∵ ，∴ . ………………………………………………8分∵，∴.∴ . ………………………………………………9分∵ ，∴ . ……………………………………………10分∴ …………………………………………11分. ………………………………………………12分考点：1、函数的零点；2、辅助角公式；3、三角函数的单调性；4、诱导公式；5、同角三角函数的基本关系；6、两角和的正弦公式．17.（本小题满分12分）广州某商场根据以往某种商品的销售记录，绘制了日销售量的频率分布表（如表）和频 率分布直方图（如图）．图3日销售量/个a a a a a表1将日销售量落入各组的频率视为概率，并假设每天的销售量相互独立．（1）求，的值.（2）求在未来连续3天里，有连续．．2天的日销售量都高于100个且另1天的日销售量不高于50个的概率；（3）用表示在未来3天里日销售量高于100个的天数，求随机变量的分布列和数学期望．【答案】（1），；（2）；（3）分布列见解析，．【解析】试题分析：（1）利用计算出，的值；（2）计算日销售量都高于100个与日销售量不高于50个的概率，即可求出在未来连续3天里，有连续．．2天的日销售量都高于100个且另1天的日销售量不高于50个的概率；（3）先分析确定随机变量的所有可能取值，再计算各个取值的概率，即可得其分布列，利用数学期望公式求数学期望.试题解析：（1）解：，. …………………………2分(2) 解：设表示事件“日销售量高于100个”，表示事件“日销售量不高于50个”，表示事件“在未来连续3天里有连续2天日销售量高于100个且另1天销售量不高于50个”．，，. ………………………………………………………5分(3)解：依题意，的可能取值为，，，，且. ……………………6分，，，，…………10分∴的分布列为……………………………………11分∴. ……………………………………12分考点：1、频率分布直方图；2、频率分布表；3、概率；4、离散型随机变量的分布列与数学期望.18.（本小题满分14分）如图，四边形是正方形，△与△均是以为直角顶点的等腰直角三角形，点是的中点，点是边上的任意一点.（1）求证：；（2）求二面角的平面角的正弦值.图4E FD C BAP【答案】（1）证明见解析；（2）.【解析】试题分析：（1）由已知可得，，，先证平面，得到，再证平面，得到，进而证平面，即可得；（2）先建立空间直角坐标系，再计算平面和平面的法向量，进而可算出二面角的平面角的余弦值，利用，即可得二面角的平面角的正弦值.试题解析：（1）证明：∵是的中点，且，∴ . ……………………………………………1分∵ △与△均是以为直角顶点的等腰直角三角形，∴ ，.∵ ，平面，平面，∴ 平面.∵ 平面，∴ . ……………………………………2分∵ 四边形是正方形，∴ .……………………………………3分∵ ，平面，平面，∴ 平面.∵ 平面，∴ .………………………………………………………4分∵ ，平面，平面，∴ 平面. ………………………………………………………5分∵ 平面，∴ .………………………………………………………6分HEF D C BAP（2）解法1：作于，连接，∵ ⊥平面，平面∴ .………………………………………………………7分∵ ，平面，平面，∴ ⊥平面. ………………………………………………………8分∵ 平面，∴ .……………………………………………………9分∴∠为二面角的平面角. …………………………………………………10分设正方形的边长为，则，，在Rt△中，，…………………11分在Rt△中，，，………………12分在Rt△中， . ………………………………………………13分∴ 二面角的平面角的正弦值为. ……………………………………14分zyxEFD CBAP解法2：以为坐标原点，分别以所在直线为轴，轴，轴，建立空间直角坐标系，设，则，，,.……………7分∴，.设平面的法向量为，由得…………………8分令，得，∴ 为平面的一个法向量. …………………………………………9分∵ 平面，平面，∴ 平面平面.连接，则.∵ 平面平面，平面，∴ 平面. ………………………………………………10分∴ 平面的一个法向量为. ………………………………………………11分设二面角的平面角为，则. ……………………………………………12分∴.………………………………………………13分∴ 二面角的平面角的正弦值为. ……………………………………14分考点：1、线线垂直、线面垂直；2、二面角.19.（本小题满分14分）已知数列的前项和满足：，为常数，且，．（1）求数列的通项公式；（2）若，设，且数列的前项和为，求证：．【答案】（1）；（2）证明见解析．【解析】试题分析：（1）利用，即可得数列的通项公式；（2）先将代入，化简，再放缩，进而得到，即可得与的大小关系．试题解析：（1）解：∵，∴ . ………………………………………1分当时，， ………………………………………3分得， ………………………………………………4分 ∴ 数列是首项为，公比也为的等比数列． ………………………………………5分 ∴. ……………………………………………6分（2）证明：当时，， ………………………………………………7分∴. …………………………8分由，， ………………………………………………10分∴. …………………………………………… 11分 ∴ 122231111111333333n n n n T b b b +⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+++<-+-++- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭.…………13分 ∵ ，∴ ，即. …………………………………………………14分考点：1、数列的通项公式；2、数列求和；3、不等式证明；4、放缩法.20.（本小题满分14分）已知椭圆的离心率为，且经过点．圆.（1）求椭圆的方程；（2）若直线与椭圆C 有且只有一个公共点，且与圆相交于两点，问是否成立？请说明理由．【答案】（1）；（2）不成立.【解析】试题分析：（1）由离心率为，可得：，由椭圆经过点，可得：，即可得椭圆的方程；（2）先将直线的方程与椭圆的方程联立，可得，利用，可得，再求出点的坐标，进而可得点不是线段的中点，即可得不成立.试题解析：（1）解：∵ 椭圆过点，∴ . …………………………………………1分 ∵， …………………………………………2分∴．…………………………………………3分∴椭圆的方程为. …………………………………………4分（2）解法1：由（1）知，圆的方程为，其圆心为原点. ………………………5分∵直线与椭圆有且只有一个公共点，∴方程组（*）有且只有一组解．由（*）得．……………………………………6分从而,化简得．① …………………7分，. ……………9分∴ 点的坐标为. ……………………………………10分由于，结合①式知，∴. ……………………………………11分∴ 与不垂直. ……………………………………12分∴ 点不是线段的中点. ……………………………………13分∴不成立. ……………………………………14分解法2：由（1）知，圆的方程为，其圆心为原点. ………………………5分∵直线与椭圆有且只有一个公共点，∴方程组（*）有且只有一组解．由（*）得．……………………………………6分从而,化简得．① …………………7分，…………………………………………………8分由于，结合①式知，设,线段的中点为,由消去,得.………………………………9分∴ . ……………………………………10分若,得 ,化简得,矛盾. ………………………………11分∴点与点不重合. ……………………………………12分∴ 点不是线段的中点. ……………………………………13分∴不成立. ……………………………………14分考点：1、椭圆的方程；2、直线与圆锥曲线.21.（本小题满分14分）已知函数，R .（1）讨论函数的单调性;（2）若函数有两个极值点,, 且, 求的取值范围;（3）在（2）的条件下, 证明:.【答案】（1）当时, 函数在上单调递减, 在上单调递增；当时, 函数在上单调递增, 在上单调递减, 在上单调递增；当时, 函数在上单调递增.（2）；（3）证明见解析.【解析】试题分析：（1）先求函数的定义域，再对函数求导，进而令导函数为零，得到方程，对方程是否有实数根进行讨论，即可得函数的单调性；（2）将函数有两个极值点,转化为方程在有两不等实根，结合（1），即可得的取值范围；（3）先将化简，再令, ，进而可证，即可得. 试题解析：(1)解: 函数的定义域为,, ………………………………………………1分令, 得, 其判别式,① 当,即时, ,, 此时,在上单调递增;………………………2分② 当, 即时, 方程的两根为,,………………………3分若, 则, 则时, , 时, ,此时, 在上单调递减, 在上单调递增; ………………………4分若,则, 则时, ,时, ,时, ,此时, 在上单调递增, 在上单调递减, 在上单调递增. ……5分综上所述, 当时, 函数在上单调递减, 在上单调递增;当时, 函数在上单调递增, 在上单调递减, 在上单调递增;当时, 函数在上单调递增. ………………………6分(2) 解:由(1)可知, 函数有两个极值点,,等价于方程在有两不等实根, 故. ………………………7分(3) 证明: 由(1), (2)得, , 且, . ………8分()22222222222212ln 12ln 1x x f x x x x x x x x -+-+=---+=--, …………………9分 令, ,则, ………………………………………………10分由于, 则, 故在上单调递减. ………………………11分故. ………………………………………………12分∴. ………………………………………………13分∴. ………………………………………………14分考点：1、用导数判断函数的单调性；2、参数的取值范围；3、用导数证明不等式.728162 6E02 渂34135 8557 蕗 32180 7DB4 綴331287 7A37 稷26014 659E 斞G24590 600E 怎22888 5968 奨S36283 8DBB 趻Y35390 8A3E 訾。