2019北京人大附中高二(上)期末数学

人大附中-第一学期高二数学期末测试一．单项选择题.1.椭圆2212516x y +=上一点 到一个焦点的距离等于3，则它到另一个焦点的距离为（ ）A ．5B ．7C ．8D ．102.如果方程 表示焦点在轴上的椭圆，那么实数 的取值范围是（ ）A ．B ．（0，2）C ．D ．（0，1）3. 椭圆 与的关系为（ ）A ．有相等的长、短轴B ．有相等的焦距C ．有相同的焦点D ．有相同的准线4. 方程所表示的曲线为．①若曲线 为椭圆，则；②若曲线为双曲线，则 或；③曲线不可能是圆；④若曲线表示焦点在 轴上椭圆，则以上命题正确的是（ ）A ．②③B ．①④C ．②④D ．①②④5. 设双曲线 的一条准线与两条渐近线交于 、 两点，相应焦点为 ，若为正三角形，则双曲线的离心率为（ ）A ．B ．3C ．D ．26. 已知抛物线的焦点为，定点，在此抛物线上求一点，使最小，则点坐标为（ ）A ．B ．C ．D ．7. 动点 到点 的距离比到直线的距离小2，则动点的轨迹方程为（ ）A ．B ．C ．D ．8. 已知双曲线)0(1222>=-a y ax 的一条准线与抛物线x y 62-=的准线重合，则该双曲线的离心率为（ ） A ．23 B ．23C ．26D ．332二．填空题.9.如果椭圆与双曲线的焦点相同，那么．10. 以椭圆的焦点为顶点，顶点为焦点的双曲线方程是______．11. 斜率为1的直线经过抛物线的焦点，与抛物线相交于两点、，则线段的长是____．12. 抛物线形拱桥，当水面宽时，水面离拱顶为，若水下降，则此时水面宽为___________. 三．解答题.13. 已知双曲线与椭圆共焦点，它的一条渐近线方程为，求双曲线的方程．14．已知动圆过定点，并且在定圆的内部与其相内切，求动圆圆心的轨迹方程．15. 已知椭圆及直线．（1）当为何值时，直线与椭圆有公共点？（2）若直线被椭圆截得的弦长为，求直线的方程．16．设),(),,(2211yxByxA两点在抛物线22xy=上，l是AB的垂直平分线.（Ⅰ）当且仅当21xx+取何值时，直线l经过抛物线的焦点F？证明你的结论；(Ⅱ)(文)当3,121-==xx时，求直线l的方程.(Ⅱ)(理)当直线l的斜率为2时，求l在y轴上截距的取值范围.-第一学期高二数学期末测试参考答案一．单项选择题.1.B2.D3.B4. C5.D6.C7.D8.D二．填空题.9. 110.11. 812.三．解答题.13.解法一：由于双曲线的一条渐近线方程为，则另一条为．可设双曲线方程为即由椭圆方程可知双曲线与椭圆共焦点，则∴．故所求双曲线方程为．解法二：双曲线与椭圆共焦点，可设双曲线方程为由渐近线方程可得∴故所求双曲线方程为点评：1．渐近线为的双曲线方程可表示为14．解：设动圆和定圆内切于点．动点到两定点，即定点和定圆圆心距离之和恰好等于定圆半径，即．∴点的轨迹是以，为两焦点，半长轴为4，半短轴长为的椭圆的方程：．说明：本题是先根据椭圆的定义，判定轨迹是椭圆，然后根据椭圆的标准方程，求轨迹的方程．这是求轨迹方程的一种重要思想方法．15.解：（1）把直线方程代入椭圆方程得，即．，解得．（2）设直线与椭圆的两个交点的横坐标为，，由（1）得，．根据弦长公式得．解得．因此，所求直线的方程为．说明处理有关直线与椭圆的位置关系问题及有关弦长问题，采用的方法与处理直线和圆的有所区别．这里解决直线与椭圆的交点问题，一般考虑判别式；解决弦长问题，一般应用弦长公式．用弦长公式，若能合理运用韦达定理（即根与系数的关系），可大大简化运算过程．16．解：（Ⅰ）B A FB FA l F ,||||⇔=⇔∈两点到抛物线的准线的距离相等.∵抛物线的准线是x 轴的平行线，2121,,0,0y y y y 依题意≥≥不同时为0，∴上述条件等价于;0))((2121222121=-+⇔=⇔=x x x x x x y y∵21x x ≠， ∴上述条件等价于 .021=+x x 即当且仅当021=+x x 时，l 经过抛物线的焦点F.另解：（Ⅰ）∵抛物线22x y =，即41,22=∴=p y x ， ∴焦点为1(0,)8F ………………………………………………………1分（1）直线l 的斜率不存在时，显然有021=+x x ………………………………3分 （2）直线l 的斜率存在时，设为k ， 截距为b即直线l ：y=kx+b 由已知得：12121212221k b k y y x x y y x x ⎧++⎪=⋅+⎪⎨-⎪=-⎪-⎩……………5分 2212122212122212222k b k x x x x x x x x ⎧++=⋅+⎪⎪⇒⎨-⎪=-⎪-⎩ 22121212212k b k x x x x x x +⎧+=⋅+⎪⎪⇒⎨⎪+=-⎪⎩……………7分 2212104b x x ⇒+=-+≥14b ⇒≥ 即l 的斜率存在时，不可能经过焦点1(0,)8F ……………………………………8分 所以当且仅当12x x+=0时，直线l 经过抛物线的焦点F…………………………9分（Ⅱ）（文）当121,3x x==-时，直线l 的斜率显然存在，设为l ：y=kx+b………………………………10分 则由（Ⅰ）得：22121212212k b k x x x x x x +⎧+=⋅+⎪⎪⎨⎪+=-⎪⎩12102122k b k x x +⎧⋅+=⎪⎪⇒⎨⎪-=-⎪⎩………………………11分 14414k b ⎧=⎪⎪⇒⎨⎪=⎪⎩…………………………………………13分 所以直线l 的方程为14144y x =+，即4410x y -+=………………14分 （II ）(理)设l 在y 轴上的截距为b ，依题意得l 的方程为b x y +=2；过点A 、B 的直线方程可写为m x y +-=21，所以21,x x 满足方程,02122=-+m x x 得4121-=+x x ；A ，B 为抛物线上不同的两点等价于上述方程的判别式,0841>+=∆m即.321->m设AB 的中点N 的坐标为),(00y x ，则 .16121,81(2100210m m x y x x x +=+-=-=+=由.329321165165,41161,=->+=+-=+∈m b b m l N 于是得即得l 在y 轴上截距的取值范围为（+∞,329）.。

2017-2018学年北京市人大附中高二（上）期末数学试卷一、选择题（每小题5分，共40分）1．（5分）设x∈Z，集合A是奇数集，集合B是偶数集．若命题p：?x∈A，2x∈B，则（）A．￢p：?x∈A，2x∈B B．￢p：?x?A，2x∈B C．￢p：?x∈A，2x?B D．￢p：?x?A，2x?B（）2．（5分）已知向量=（2，﹣3，5）与向量=（3，λ，）平行，则λ＝A．B．C．﹣ D．﹣3．（5分）已知中点在原点的双曲线C的右焦点为F（3，0），离心率等于，则双曲线的虚轴长为（）A．B．5 C．2 D．104．（5分）“ａ＞0，b＞0”是“曲线ax2+by2=1为椭圆”的（）A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件5．（5分）已知正三棱锥A﹣BCD的侧棱长都等于a，底面正三角形的边长a，点E、F分别是棱BC、AD的中点，则异面直线AE和CF所成角的余弦值为（）A．B．C．D．6．（5分）已知点F1、F2是椭圆x2+2y2=2的两个焦点，点P是该椭圆上的一个动点，那么的最小值是（）A．0 B．1 C．2 D．7．（5分）如图，平面α⊥平面β，A∈α，B∈β，AB与两平面α、β所成的角分别为和．过A、B分别作两平面交线的垂线，垂足为A′、B′，则AB：A′B′＝（）A．2：1 B．3：1 C．3：2 D．4：38．（5分）如图，正方体ABCD﹣A1B1C1D1的棱长为2，动点P在正方形ABCD的边界及其内部运动，且点P到直线AD的距离等于它到直线BB1的距离，则四面体P﹣AC1B1的体积的最大值为（）A．B．C．D．二、填空题（每小题5分，共30分）9．（5分）x，y∈R，命题：“如果xy=0，则x=0”的逆否命题是．10．（5分）抛物线x2=ay的准线方程是y=2，则实数a的值为．11．（5分）已知点P（1，1）在双曲线C上，C的渐近线方程为y=±x，则双曲线C的方程为．12．（5分）已知空间四点A（4，1，3），B（2，3，1），C（3，7，﹣5），D（x，﹣1，3）共面，则x的值为．13．（5分）曲线=1（b＞0）与曲线y=|x|﹣1交于A、B两点且|AB|=6，则b的值为．14．（5分）曲线C是平面内到定点A（1，0）的距离与到定直线x=﹣1的距离之和为3的动点P的轨迹．则曲线C与y轴交点的坐标是；又已知点B（a，1）（a为常数），那么|PB|+|PA|的最小值d（a）=．三、解答题（共30分）15．（8分）如图，在棱长为a的正方体OABC﹣O1A1B1C1中，E、F分别是棱AB、BC上的动点，AE=BF=x，其中0≤x≤a，以O为原点，直线OA、OC、OO1为x，y，z轴，建立如图的空间直角坐标系O﹣xyz．（I）直接写出E、F的坐标；（II）若x=a，求证：A1C1∥EF；（III）求证：A1F⊥C1E．16．（12分）如图，AB为圆O的直径，点E、F在圆O上，AB∥EF，矩形ABCD 所在的平面与圆O所的平面相互垂直．已知AB=2，EF=1．（I）求证：平面DAF⊥平面CBF；（II）当时AD=1，求直线CF与平面ABCD所成角的正弦值；（III）当AD的长为何值时，平面DFC与平面FCB所成的锐二面角的大小为60°？17．（10分）已知椭圆C的焦点分别为点F1（﹣1，0）、F2（1，0），C的离心率e=．（I）求椭圆C的方程；（II）经过点（0，）且斜率为k的直线l与曲线C有两个不同的交点P和Q，求k的取值范围；（III）已知点M（，0），N（0，1），在（II）的条件下，是否存在常数k，使得向量+与共线？如果存在，求出k的值；如果不存在，请说明理由．2017-2018学年北京市人大附中高二（上）期末数学试卷参考答案与试题解析一、选择题（每小题5分，共40分）1．（5分）设x∈Z，集合A是奇数集，集合B是偶数集．若命题p：?x∈A，2x ∈B，则（）A．￢p：?x∈A，2x∈B B．￢p：?x?A，2x∈B C．￢p：?x∈A，2x?B D．￢p：?x?A，2x?B【解答】解：∵“全称命题”的否定一定是“存在性命题”，∴命题p：?x∈A，2x∈B 的否定是：￢p：?x∈A，2x?B．故选：C．（）2．（5分）已知向量=（2，﹣3，5）与向量=（3，λ，）平行，则λ＝A．B．C．﹣ D．﹣【解答】解：∵向量=（2，﹣3，5）与向量=（3，λ，）平行，∴==，∴λ＝﹣．故选：C．3．（5分）已知中点在原点的双曲线C的右焦点为F（3，0），离心率等于，则双曲线的虚轴长为（）A．B．5 C．2 D．10【解答】解：设双曲线方程为（a＞0，b＞0），则∵双曲线C的右焦点为F（3，0），离心率等于，∴，∴c=3，a=2，∴b2=c2﹣a2=5∴双曲线方程的虚轴长为2．故选：C．4．（5分）“ａ＞0，b＞0”是“曲线ax2+by2=1为椭圆”的（）A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件【解答】解：当a=b=1时，满足a＞0，b＞0，曲线方程ax2+by2=1为x2+y2=1为圆，不是椭圆，充分性不成立．若ax2+by2=1表示椭圆，则a＞0，b＞0且a≠b，即a＞0，b＞0，必要性成立，即“ａ＞0，b＞0”是“曲线ax2+by2=1为椭圆”的必要不充分条件，故选：B．5．（5分）已知正三棱锥A﹣BCD的侧棱长都等于a，底面正三角形的边长a，点E、F分别是棱BC、AD的中点，则异面直线AE和CF所成角的余弦值为（）A．B．C．D．【解答】解：连结DE，到DE中点P，连结PF、PC，∵正三棱锥A﹣BCD的侧棱长都等于a，底面正三角形的边长a，点E、F分别是棱BC、AD的中点，∴PF∥AE，∴∠PFC是异面直线AE和CF所成角的余弦值，AE==a，DE==a，CF==，PF=，PC==，∴cos∠PFC==．∴异面直线AE和CF所成角的余弦值为．故选：A．6．（5分）已知点F1、F2是椭圆x2+2y2=2的两个焦点，点P是该椭圆上的一个动点，那么的最小值是（）A．0 B．1 C．2 D．【解答】解：∵O为F1F2的中点，∴=2，可得=2||当点P到原点的距离最小时，||达到最小值，同时达到最小值．∵椭圆x2+2y2=2化成标准形式，得=1∴a2=2且b2=1，可得a=，b=1因此点P到原点的距离最小值为短轴一端到原点的距离，即||最小值为b=1∴=2||的最小值为2故选：C．7．（5分）如图，平面α⊥平面β，A∈α，B∈β，AB与两平面α、β所成的角分别为和．过A、B分别作两平面交线的垂线，垂足为A′、B′，则AB：A′B′＝（）A．2：1 B．3：1 C．3：2 D．4：3【解答】解：连接AB'和A'B，设AB=a，可得AB与平面α所成的角为，在Rt△BAB'中有AB'=，同理可得AB与平面β所成的角为，所以，因此在Rt△AA'B'中A'B'=，所以AB：A'B'=，故选：A．8．（5分）如图，正方体ABCD﹣A1B1C1D1的棱长为2，动点P在正方形ABCD的边界及其内部运动，且点P到直线AD的距离等于它到直线BB1的距离，则四面体P﹣AC1B1的体积的最大值为（）A．B．C．D．【解答】解：由题意可知，P在底面ABCD上的轨迹为抛物线，且B为焦点，AD所在直线为准线，当P与C重合时，满足四面体P﹣AC1B1的体积最大，如图：∴四面体P﹣AC1B1的体积的最大值为V=．故选：D．二、填空题（每小题5分，共30分）9．（5分）x，y∈R，命题：“如果xy=0，则x=0”的逆否命题是若x≠0，则xy ≠0．【解答】解：由逆否命题的定义得命题的逆否命题为：若x≠0，则xy≠0，故答案为：若x≠0，则xy≠010．（5分）抛物线x2=ay的准线方程是y=2，则实数a的值为﹣8．【解答】解：∵抛物线x2=ay的准线方程是y=2，开口向下，∴﹣=2，解得a=﹣8．故答案为：﹣8．11．（5分）已知点P（1，1）在双曲线C上，C的渐近线方程为y=±x，则双曲线C的方程为．【解答】解：设双曲线C的方程为，由题意点P（1，1）在双曲线C 上可得，解得m=．故所求双曲线的方程为．故答案为：．12．（5分）已知空间四点A（4，1，3），B（2，3，1），C（3，7，﹣5），D（x，﹣1，3）共面，则x的值为11．【解答】解：=（﹣2，2，﹣2），=（1，4，﹣6），=（x﹣4，﹣2，0），∵空间四点A（4，1，3），B（2，3，1），C（3，7，﹣5），D（x，﹣1，3）共面，∴存在实数m，n使得=m+n，∴，解得x=11．m=﹣3，n=1．故答案为：11．13．（5分）曲线=1（b＞0）与曲线y=|x|﹣1交于A、B两点且|AB|=6，则b的值为12．【解答】解：如图，由|AB|=6，可得AD=3，则|OD|=2，即A（3，2），代入曲线方程，可得，即b=12．故答案为：12．14．（5分）曲线C是平面内到定点A（1，0）的距离与到定直线x=﹣1的距离之和为3的动点P的轨迹．则曲线C与y轴交点的坐标是；又已知点B（a，1）（a为常数），那么|PB|+|PA|的最小值d（a）=．【解答】解：（1）设动点P（x，y），由题意可得，①当x＜﹣4时，∵|x+1|＞3，无轨迹；②当﹣4≤x≤﹣1时，化为，化为，与y轴无交点；③当x＞﹣1时，化为，化为y2=﹣2x+3，．令x=0，解得．综上①②③可知：曲线C与y轴的交点为；（2）由（1）可知：．如图所示，令y=1，则10x+15=1，或﹣2x+3=1，解得x=﹣1.4或1．①当a≤﹣ 1.4或a≥1时，|PA|+|PB|≥|AB|，∴d（a）=|AB|=；②当﹣1＜a＜1时，当直线y=1与相交时的交点P满足|PA|+|PB|取得最小值，∵此抛物线的准线为x=2，∴直线y=1与准线的交点Q（2，1），此时d（a）=|QB|=2﹣a；③当﹣1.4＜a≤﹣1时，当直线y=1与相交时的交点P 满足|PA|+|PB取得最小值，∵此抛物线的准线为x=﹣4，∴直线y=1与准线的交点Q（﹣4，1），此时d（a）=|QB|=a+4．综上可知：d（a）=三、解答题（共30分）15．（8分）如图，在棱长为a的正方体OABC﹣O1A1B1C1中，E、F分别是棱AB、BC上的动点，AE=BF=x，其中0≤x≤a，以O为原点，直线OA、OC、OO1为x，y，z轴，建立如图的空间直角坐标系O﹣xyz．（I）直接写出E、F的坐标；（II）若x=a，求证：A1C1∥EF；（III）求证：A1F⊥C1E．【解答】解：（Ⅰ）在棱长为a的正方体OABC﹣O1A1B1C1中，E、F分别是棱AB、BC上的动点，AE=BF=x，其中0≤x≤a，以O为原点，直线OA、OC、OO1为x，y，z轴，建立如图的空间直角坐标系O﹣xyz．∴E（a，x，0），F（a﹣x，a，0）．证明：（II）∵x=a，∴A1（a，0，a），C1（0，a，a），E（a，，0），F（，a，0），∴=（﹣a，a，0），=（﹣，，0），∴=2，∴A1C1∥EF．（III）∵=（﹣x，a，﹣a），=（a，x﹣a，﹣a），∴?=﹣ax+ax﹣a2+a2=0，∴⊥，∴A1F⊥C1E．16．（12分）如图，AB为圆O的直径，点E、F在圆O上，AB∥EF，矩形ABCD 所在的平面与圆O所的平面相互垂直．已知AB=2，EF=1．（I）求证：平面DAF⊥平面CBF；（II）当时AD=1，求直线CF与平面ABCD所成角的正弦值；（III）当AD的长为何值时，平面DFC与平面FCB所成的锐二面角的大小为60°？【解答】（Ⅰ）证明：∵平面ABCD⊥平面ABEF，CB⊥AB，平面ABCD∩平面ABEF=AB，∴CB⊥平面ABEF．∵AF?平面ABEF，∴AF⊥CB，又∵AB为圆O的直径，∴AF⊥BF，则AF⊥平面CBF．∵AF?平面ADF，∴平面DAF⊥平面CBF；（Ⅱ）解：过F作FH⊥AB于H，由已知可得△AOF为边长是1的正三角形，则FH=．在Rt△BHF中，由BH=，FH=，可得BF=，在Rt△CBF中，由BF=，BC=AD=1，可得CF=2．∴直线CF与平面ABCD所成角的正弦值为；（Ⅲ）解：设EF中点为G，以O为坐标原点，OA、OG、AD方向分别为x轴、y轴、z轴方向建立空间直角坐标系（如图）．设AD=t（t＞0），则点D的坐标为（1，0，t），则C（﹣1，0，t），A（1，0，0），B（﹣1，0，0），F（，，0）．∴=（2，0，0），=（，﹣，t）．设平面DCF的法向量为=（x，y，z），则，取z=，得=（0，2t，）．由（Ⅰ）可知AF⊥平面CFB，取平面CBF的一个法向量为==（﹣，，0），依题意与的夹角为60°，∴cos60°=，即=，解得t=．因此，当AD的长为时，平面与DFC平面FCB所成的锐二面角的大小为60°．17．（10分）已知椭圆C的焦点分别为点F1（﹣1，0）、F2（1，0），C的离心率e=．（I）求椭圆C的方程；（II）经过点（0，）且斜率为k的直线l与曲线C有两个不同的交点P和Q，求k的取值范围；（III）已知点M（，0），N（0，1），在（II）的条件下，是否存在常数k，使得向量+与共线？如果存在，求出k的值；如果不存在，请说明理由．【解答】解：（Ⅰ）∵F1（﹣1，0）、F2（1，0），C的离心率e=，∴c=1，e==，∴a=，∴b2=a2﹣c2=2﹣1=1，∴椭圆的方程为+y2=1；（Ⅱ）设直线l的方程为y=kx+，代入椭圆方程，得+y2=1．整理，得（1+2k2）x2+4kx+2=0．①，因为直线l与椭圆有两个不同的交点P和Q等价于△=32k2﹣8（1+2k2）＞0，解得k＜﹣或k＞．∴满足条件的k的取值范围为（﹣∞，﹣）∪（，+∞）；（Ⅲ）设P（x1，y1），Q（x2，y2），则=（x1+x2，y1+y2），由①得x1+x2=﹣．②又y1+y2=k（x1+x2）+2③因为M（，0），N（0，1），所以=（﹣，1）．所以向量+共线等价于x1+x2=﹣（y1+y2）．将②③代入上式，解得k=．所以不存在常数k，使得向量+与共线．。

2018-2019学年北京市人大附中高二（上）期末数学试卷试题数：23.满分：1501.（单选题.5分）下列导数公式错误的是（ ） A.（sinx ）'=-cosx B. (lnx )′=1x C. (1x )′=−1x 2 D.（e x ）'=e x2.（单选题.5分）双曲线x 2- y 23 =1的焦点坐标是（ ） A.（0. √2 ）.（0.- √2 ） B.（ √2 .0）.（- √2 .0） C.（0.2）.（0.-2） D.（2.0）.（-2.0）3.（单选题.5分）如图.在平行六面体ABCD-A 1B 1C 1D 1中.若 AB ⃗⃗⃗⃗⃗ = a . AD ⃗⃗⃗⃗⃗ = b ⃗ . AA 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ = c .则 D 1B ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =（ ）A. a + b ⃗ - cB. a + b ⃗ + cC. a - b ⃗ - cD.- a + b ⃗ + c4.（单选题.5分）若 a =（a 1.a 2.a 3）. b ⃗ =（b 1.b 2.b 3）.则 a 1b 1= a 2b 2= a 3b3是 a || b ⃗ 的（ ） A.既不充分也不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.充分不必要条件5.（单选题.5分）如图.正棱柱ABCD-A1B1C1D1中.AA1=2AB.则异面直线A1B与AD1所成角的余弦值为（）A. 15B. 25C. 35D. 45+lnx .则（）6.（单选题.5分）设函数f（x）= 2xA.x= 1.f（x）取得最大值2.f（x）取得最小值B.x= 12C.x=2.f（x）取得最大值D.x=2.f（x）取得最小值7.（单选题.5分）如果把二次函数f（x）=ax2+bx+c与其导函数f′（x）的图象画在同一个坐标系中．则下面四组图中一定错误的是（）A.B.C.D.8.（单选题.5分）函数f（x）=x3+kx2-7x在区间[-1.1]上单调递减.则实数k的取值范围是（）A.（-∞.-2]B.[-2.2]C.[-2.+∞）D.[2.+∞）9.（填空题.5分）已知函数f（x）=x2.则△x→0f(△x)−f(0)△x=___ ．10.（填空题.5分）已知函数f(x)=e xx.则f′（1）=___ ．11.（填空题.5分）已知空间向量a =（0.1.1）. b⃗ =（x.0.1）.若a . b⃗的夹角为π3.则实数x的值为___ ．12.（填空题.5分）直线y=a与函数f（x）=x3-3x的图象有相异的三个公共点.则a的取值范围是___ ．13.（填空题.5分）电动自行车的耗电量y与速度x之间的关系为y=13x3−392x2−40x(x＞0) .为使耗电量最小.则其速度应定为___ ．14.（填空题.5分）在棱长为1的正方体ABCD-A1B1C1D1中.M为体对角线BD1上动点．则（1）M到CC1距离的最小值为___ ；（2）M位于BD1三等分点处时.M到各顶点的距离的不同取值有___ 种．15.（问答题.10分）已知抛物线C方程：y2=2px（p＞0）.点（1.2）在C上.F为焦点．（Ⅰ）求抛物线C的方程和焦点F坐标；（Ⅱ）若抛物线C上有两个定点A.B分别在其对称轴的上、下两侧.且|AF|=2.|BF|=5.求原点O 到直线AB的距离．16.（问答题.10分）已知函数f（x）=ax3+bx2+cx.其导函数为f′（x）的部分值如表所示：x -2 1 3 8 f′（x）-10 6 8 -90根据表中数据.回答下列问题：（Ⅰ）实数c的值为___ ；当x=___ 时.f（x）取得极大值（将答案填写在横线上）．（Ⅱ）求实数a.b的值．（Ⅲ）求f（x）的单调区间．17.（问答题.10分）如图.在四棱锥P-ABCD中.底面ABCD为矩形.平面PCD⊥平面ABCD.BC=1.AB=2. PC=PD=√2 .E为PA中点．（Ⅰ）求证：PC || 平面BED；（Ⅱ）求二面角A-PC-D的余弦值；的值；若不存在.说明理由．（Ⅲ）在棱PC上是否存在点M.使得BM⊥AC？若存在.求PMPC18.（单选题.6分）过抛物线y2=2x焦点的直线交抛物线于A.B两点.若|AB|=5.则AB的中点M 到y轴的距离等于（）A.2B.25C.3D.419.（单选题.6分）如图.已知直线y=kx 与曲线y=f （x ）相切于两点.设函数g （x ）=kx+m （m ＞0）.则函数F （x ）=g （x ）-f （x ）（ ）A.有极小值.没有极大值B.有极大值.没有极小值C.至少有两个极小值和一个极大值D.至少有一个极小值和两个极大值20.（单选题.6分）如图所示.直三棱柱ABC-A 1B 1C 1的侧棱长为3.底面边长A 1C 1=B 1C 1=1.且∠A 1C 1B 1=90°.D 点在棱AA 1上且AD=2DA 1.P 点在棱C 1C 上.则 PD ⃗⃗⃗⃗⃗ •PB 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 的最小值为（ ）A. 52B. −14 C. 14 D. −5221.（单选题.6分）已知集合R n ={X|X=（x 1.x 2.….x n ）.x i ∈{0.1}.i=1.2.….n}（n≥2）．对于A=（a 1.a 2.….a n ）∈R n .B=（b 1.b 2.….b n ）∈R n .定义A 与B 之间的距离为d （A.B ）=|a 1-b 1|+|a 2-b 2|+…|a n -b n |= ∑|a i −b i |n i=1 ．若集合M 满足：M⊆R 3.且任意两元素间的距离均为2.则集合M 中元素个数的最大值为（ ） A.4 B.5 C.6 D.822.（问答题.13分）已知离心率为√32的椭圆C：x2a2+ y2b2=1（a＞b＞0）与直线x=2相交于P.Q两点（点P在x轴上方）.且|PQ|=2．点A.B是椭圆上位于直线PQ两侧的两个动点.且∠APQ=∠BPQ．（Ⅰ）求椭圆C的标准方程；（Ⅱ）求四边形APBQ面积的取值范围．23.（问答题.13分）对于函数f（x）.若存在实数x0满足f（x0）=x0.则称x0为函数f（x）的一个不动点．已知函数f（x）=x3+ax2+bx+3.其中a.b∈R（Ⅰ）当a=0时.（ⅰ）求f（x）的极值点；（ⅱ）若存在x0既是f（x）的极值点.又是f（x）的不动点.求b的值；（Ⅱ）若f（x）有两个相异的极值点x1.x2.试问：是否存在a.b.使得x1.x2均为f（x）的不动点？证明你的结论．2018-2019学年北京市人大附中高二（上）期末数学试卷参考答案与试题解析试题数：23.满分：1501.（单选题.5分）下列导数公式错误的是（）A.（sinx）'=-cosxB. (lnx)′=1xC. (1x )′=−1x2D.（e x）'=e x【正确答案】：A【解析】：根据题意.依次计算选项函数的导数.比较即可得答案．【解答】：解：根据题意.依次分析选项：对于A、（sinx）'=cosx.故A错误；对于B、（lnx）′= 1x.故B正确；对于C、（1x ）′=x-1=（-1）×x-2=- 1x2.故C正确；对于D、（e x）'=e x.故D正确；故选：A．【点评】：本题考查导数的计算.关键是掌握导数的计算公式．2.（单选题.5分）双曲线x2- y23=1的焦点坐标是（）A.（0. √2）.（0.- √2）B.（√2 .0）.（- √2 .0）C.（0.2）.（0.-2）D.（2.0）.（-2.0）【正确答案】：D【解析】：根据题意.由双曲线的方程求出a、b的值.计算可得c的值.结合双曲线的焦点位置.分析可得答案．【解答】：解：根据题意.双曲线的方程为x 2- y 23 =1. 其中a=1.b= √3 .则c= √1+3 =2.又由双曲线的焦点在x 轴上.则其焦点坐标为（2.0）（-2.0）； 故选：D ．【点评】：本题考查双曲线的标准方程.注意分析双曲线的焦点位置.属于基础题．3.（单选题.5分）如图.在平行六面体ABCD-A 1B 1C 1D 1中.若 AB ⃗⃗⃗⃗⃗ = a . AD ⃗⃗⃗⃗⃗ = b ⃗ . AA 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ = c .则 D 1B ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =（ ）A. a + b ⃗ - cB. a + b ⃗ + cC. a - b ⃗ - cD.- a + b ⃗ + c 【正确答案】：C【解析】：根据空间向量的加减法运算用已知向量把 D 1B ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 表示出来即可．【解答】：解： D 1B ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =D 1D ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +DB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =A 1A ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +DC ⃗⃗⃗⃗⃗ +DA ⃗⃗⃗⃗⃗ = −A 1A ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +AB ⃗⃗⃗⃗⃗ − AD ⃗⃗⃗⃗⃗ = −c +a −b ⃗ 故选：C ．【点评】：本题考查了用空间已知向量表示空间未知向量以及向量的加减法.属于基础题型． 4.（单选题.5分）若 a =（a 1.a 2.a 3）. b ⃗ =（b 1.b 2.b 3）.则 a 1b 1= a 2b 2= a 3b3是 a || b ⃗ 的（ ） A.既不充分也不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.充分不必要条件 【正确答案】：D【解析】：根据空间向量平行的坐标公式以及充分条件和必要条件的定义进行判断即可．【解答】：解：∵ a =（a1.a2.a3）. b⃗ =（b1.b2.b3）.∴当a1b1 = a2b2= a3b3时.向量a || b⃗成立．当a =（1.0.0）. b⃗ =（2.0.0）.满足a || b⃗ .但a1b1 = a2b2= a3b3不成立.∴ a1 b1 = a2b2= a3b3是a || b⃗的充分不必要条件．故选：D．【点评】：本题主要考查充分条件和必要条件的判断.利用空间向量的坐标公式以及空间向量的共线定理是解决本题的关键．5.（单选题.5分）如图.正棱柱ABCD-A1B1C1D1中.AA1=2AB.则异面直线A1B与AD1所成角的余弦值为（）A. 15B. 25C. 35D. 45【正确答案】：D【解析】：先通过平移将两条异面直线平移到同一个起点B.得到的锐角∠A1BC1就是异面直线所成的角.在三角形中A1BC1用余弦定理求解即可．【解答】：解．如图.连接BC1.A1C1.∠A1BC1是异面直线A1B与AD1所成的角.设AB=a.AA1=2a.∴A1B=C1B= √5 a.A1C1= √2 a.∠A1BC1的余弦值为45.故选：D．【点评】：本题主要考查了异面直线及其所成的角.考查空间想象能力、运算能力和推理论证能力.属于基础题．6.（单选题.5分）设函数f（x）= 2x+lnx .则（）A.x= 12.f（x）取得最大值B.x= 12.f（x）取得最小值C.x=2.f（x）取得最大值D.x=2.f（x）取得最小值【正确答案】：D【解析】：求出函数的导数.解关于导函数的不等式.求出函数的单调区间.求出函数的最小值即可．【解答】：解：∵f（x）= 2x+lnx .（x＞0）∴f′（x）=- 2x2 + 1x= x−2x2.令f′（x）＞0.解得：x＞2.令f′（x）＜0.解得：0＜x＜2.故f（x）在（0.2）递减.在（2.+∞）递增.故x=2时.f（x）取最小值.故选：D．【点评】：本题考查了函数的单调性.最值问题.考查导数的应用.是一道常规题．7.（单选题.5分）如果把二次函数f（x）=ax2+bx+c与其导函数f′（x）的图象画在同一个坐标系中．则下面四组图中一定错误的是（）A.B.C.D.【正确答案】：B上.从而得到答案．【解析】：根据二次函数的顶点和导函数的解在直线x=- b2a.【解答】：解：二次函数f（x）=ax2+bx+c的对称轴是x=- b2a.故其导函数f′（x）=2ax+b=0的根是- b2a上.二次函数的顶点和导函数的解均在直线x=- b2a故对于选项B是错误的.故选：B．【点评】：本题考查了二次函数的性质.考查数形结合思想.是一道基础题．8.（单选题.5分）函数f（x）=x3+kx2-7x在区间[-1.1]上单调递减.则实数k的取值范围是（）A.（-∞.-2]B.[-2.2]C.[-2.+∞）D.[2.+∞） 【正确答案】：B【解析】：根据题意.求出函数f （x ）的导数.结合函数的导数与函数单调性的关系可得f′（x ）=3x 2+2kx-7≤0在[-1.1]上恒成立.则有 {f′(1)=3+2k −7≤0f′(−1)=3−2k −7≤0 .解可得k 的取值范围.即可得答案．【解答】：解：根据题意.函数f （x ）=x 3+kx 2-7x.其导数f′（x ）=3x 2+2kx-7. 若函数f （x ）=x 3+kx 2-7x 在区间[-1.1]上单调递减. 则f′（x ）=3x 2+2kx-7≤0在[-1.1]上恒成立. 则有 {f′(1)=3+2k −7≤0f′(−1)=3−2k −7≤0 .解可得-2≤k≤2.即k 的取值范围为[-2.2]； 故选：B ．【点评】：本题考查函数的单调性的判定.涉及函数的导数与单调性的关系.属于基础题． 9.（填空题.5分）已知函数f （x ）=x 2.则 △x→0f (△x )−f (0)△x =___ ． 【正确答案】：[1]0 【解析】：先求出f′（x ）.由 △x→0f (△x )−f (0)△x =f′（0）.能求出结果．【解答】：解：∵f （x ）=x 2. ∴f′（x ）=2x. ∴△x→0f (△x )−f (0)△x =f′（0）=0. 故答案为：0．【点评】：本题考查极限的求法.是基础题.解题时要认真审题.注意导数概念及性质的合理运用． 10.（填空题.5分）已知函数 f (x )=e xx.则f′（1）=___ ．【正确答案】：[1]0【解析】：根据导数的公式求出函数的导数.直接代入即可求值．【解答】：解：∵函数f(x)=e xx.∴f'（x）= e x•x−e xx2.∴f′（1）= e−e1=0 .故答案为：0．【点评】：本题主要考查导数的计算.要求熟练掌握常见函数的导数公式.比较基础．11.（填空题.5分）已知空间向量a =（0.1.1）. b⃗ =（x.0.1）.若a . b⃗的夹角为π3.则实数x的值为___ ．【正确答案】：[1]1或-1【解析】：首先根据向量的坐标求出向量的模.进一步利用向量的夹角求出x的值．【解答】：解：已知a=(0，1，1) . b⃗=(x，0，1)则：|a|=√2 . |b⃗|=√x2+1由于a和b⃗的夹角为π3.则：cosπ3=a⃗ •b⃗|a⃗ ||b⃗|=√2√x2+1=12解得：x=1或-1故答案为：1或-1【点评】：本题考查的知识要点：空间向量的夹角.空间向量的数量积和模的运算.属于基础题型．12.（填空题.5分）直线y=a与函数f（x）=x3-3x的图象有相异的三个公共点.则a的取值范围是___ ．【正确答案】：[1]（-2.2）【解析】：先求出其导函数.利用其导函数求出其极值以及图象的变化.进而画出函数f（x）=x3-3x对应的大致图象.平移直线y=a即可得出结论．【解答】：解：令f′（x）=3x2-3=0.得x=±1.可求得f（x）的极大值为f（-1）=2.极小值为f（1）=-2.如图所示.当满足-2＜a＜2时.恰有三个不同公共点．故答案为：（-2.2）【点评】：本题主要考查利用导数研究函数的极值以及数形结合思想的应用.是对基础知识的考查.属于基础题．13.（填空题.5分）电动自行车的耗电量y与速度x之间的关系为y=13x3−392x2−40x(x＞0) .为使耗电量最小.则其速度应定为___ ．【正确答案】：[1]40【解析】：欲求使耗电量最小.则其速度应定为多少.即求出函数的最小值即可.对函数求导.利用导数求研究函数的单调性.判断出最小值位置.代入算出结果．【解答】：解：由题设知y'=x2-39x-40.令y'＞0.解得x＞40.或x＜-1.故函数y=13x3−392x2−40x(x＞0)在[40.+∞）上增.在（0.40]上减.当x=40.y取得最小值．由此得为使耗电量最小.则其速度应定为40；故答案为：40．【点评】：考查用导数研究函数的单调性求最值.本题是导数一章中最基本的应用题型．14.（填空题.5分）在棱长为1的正方体ABCD-A1B1C1D1中.M为体对角线BD1上动点．则（1）M到CC1距离的最小值为___ ；（2）M位于BD1三等分点处时.M到各顶点的距离的不同取值有___ 种．【正确答案】：[1] √22; [2]4【解析】：（1）M到CC1距离的最小值是异面直线BD1和CC1间的距离.由此能求出M到CC1距离的最小值；（2）以D为原点.DA为x轴.DC为y轴.DD1为z轴.建立空间直角坐标系.利用向量法能求出M 到各顶点的距离的不同取值的种数．【解答】：解：（1）M到CC1距离的最小值是异面直线BD1和CC1间的距离.连结AC.BD.交于点O.则AC⊥BD.AC || DD1.∴AC⊥平面BDD1.∴OC⊥BD1.且OC⊥CC1.∴M到CC1距离的最小值为|OC|= 12√12+12 = √22．故答案为：√22．（2）以D为原点.DA为x轴.DC为y轴.DD1为z轴.建立空间直角坐标系. A（1.0.0）.B（1.1.0）.C（0.1.0）.D（0.0.0）.A1（1.0.1）.B1（1.1.1）.C1（0.1.1）.D1（0.0.1）.M位于BD1三等分点处时.设M（23，23，13）.∴AM= √(23−1)2+(23)2+(13)2= √63.BM= √(23−1)2+(23−1)2+(13)2= √33.CM= √(23)2+(23−1)2+(13)2= √63.DM= √(23)2+(23)2+(13)2=1.A1M= √(23−1)2+(23)2+(13−1)2=1.B1M= √(23−1)2+(23−1)2+(13)2= √33.C1M= √(23)2+(23−1)2+(13−1)2=1.D1M= √(23)2+(23)2+(13−1)2= 2√33．∴M到各顶点的距离的不同取值有4种．故答案为：4．【点评】：本题考查点到直线的距离的最小值的求法.考查点到各顶点的距离的不同取值的求法.考查空间中线线、线面、面面间的位置位置关系等基础知识.考查学生的空间想象能力.考查运算求解能力.是中档题．15.（问答题.10分）已知抛物线C 方程：y 2=2px （p ＞0）.点（1.2）在C 上.F 为焦点． （Ⅰ）求抛物线C 的方程和焦点F 坐标；（Ⅱ）若抛物线C 上有两个定点A.B 分别在其对称轴的上、下两侧.且|AF|=2.|BF|=5.求原点O 到直线AB 的距离．【正确答案】：【解析】：（Ⅰ）将（1.2）代入抛物线方程.可得p=2.可得抛物线的方程和焦点坐标； （Ⅱ）运用抛物线的定义.可得A.B 的坐标.AB 的方程.运用点到直线的距离公式.可得所求值．【解答】：解：（Ⅰ）将（1.2）代入抛物线方程可得4=2p. 解得p=2.即抛物线的方程为y 2=4x.F （1.0）；（Ⅱ）若抛物线C 上有两个定点A.B 分别在其对称轴的上、下两侧. 且|AF|=2.|BF|=5.由抛物线的定义可得x A +1=2.x B +1=5. 即有x A =1.x B =4.即为A （1.2）.B （4.-4）.AB 的斜率为-2. AB 的方程为2x+y-4=0. O 到直线AB 的距离为d= √4+1= 4√55 ．【点评】：本题考查抛物线的定义、方程和性质.考查直线方程的求法和运用.以及点到直线的距离公式的运用.考查运算能力.属于基础题．16.（问答题.10分）已知函数f （x ）=ax 3+bx 2+cx.其导函数为f′（x ）的部分值如表所示：（Ⅰ）实数c 的值为___ ；当x=___ 时.f （x ）取得极大值（将答案填写在横线上）． （Ⅱ）求实数a.b 的值． （Ⅲ）求f （x ）的单调区间．【正确答案】：6; 3【解析】：（Ⅰ）由极值的定义.通过表格可求解； （Ⅱ）在表格中取两组数据代入解析式即可； （Ⅲ）利用导数求出f （x ）的单调区间【解答】：解：（Ⅰ）6.3 （Ⅱ）：f'（x ）=3ax 2+2bx+c.由已知表格可得 {f′(1)=8f′(3)=0 解得 {a =−23b =2（Ⅲ）：由（Ⅱ）可得f'（x ）=-2x 2+4x+6=-2（x-3）（x+1）. 因为x∈（-∞.-1）和x∈（3.+∞）时f'（x ）＜0.x∈（-1.3）时f'（x ）＞0. 所以f （x ）的单调增区间为（-1.3）.单调减区间为（-∞.-1）和（3.+∞）．【点评】：本题考查了函数的定义及利用导数求单调区间.属于基础题． 17.（问答题.10分）如图.在四棱锥P-ABCD 中.底面ABCD 为矩形.平面PCD⊥平面ABCD.BC=1.AB=2. PC =PD =√2 .E 为PA 中点． （Ⅰ）求证：PC || 平面BED ； （Ⅱ）求二面角A-PC-D 的余弦值；（Ⅲ）在棱PC 上是否存在点M.使得BM⊥AC ？若存在.求 PMPC 的值；若不存在.说明理由．【正确答案】：【解析】：（Ⅰ）设AC 与BD 的交点为F.连结EF.推导出EF || PC ．由此能证明PC || 平面BED ．（Ⅱ）取CD 中点O.连结PO ．推导出PO⊥CD .取AB 中点G.连结OG.建立空间直角坐标系O-xyz.利用向量法能求出二面角A-PC-B 的余弦值．（Ⅲ）设M 是棱PC 上一点.则存在λ∈[0.1]使得 PM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =λPC ⃗⃗⃗⃗⃗ ．利用向量法能求出在棱PC 上存在点M.使得BM⊥AC ．此时. PMPC = 12【解答】：（共14分）证明：（Ⅰ）设AC 与BD 的交点为F.连结EF ． 因为ABCD 为矩形.所以F 为AC 的中点． 在△PAC 中.由已知E 为PA 中点. 所以EF || PC ．又EF⊂平面BFD.PC⊄平面BFD. 所以PC || 平面BED ． …（5分） （Ⅱ）取CD 中点O.连结PO ．因为△PCD 是等腰三角形.O 为CD 的中点. 所以PO⊥CD ．又因为平面PCD⊥平面ABCD. PO⊂平面PCD.所以PO⊥平面ABCD ．取AB 中点G.连结OG.由题设知四边形ABCD 为矩形. 所以OF⊥CD ．所以PO⊥OG ．…（1分） 如图建立空间直角坐标系O-xyz.则A （1.-1.0）.C （0.1.0）.P （0.0.1）.D （0.-1.0）. B （1.1.0）.O （0.0.0）.G （1.0.0）． AC ⃗⃗⃗⃗⃗ =（-1.2.0）. PC ⃗⃗⃗⃗⃗ =（0.1.-1）． 设平面PAC 的法向量为 n ⃗ =（x.y.z ）. 则 {n ⃗ •AC⃗⃗⃗⃗⃗ =−x +2y =0n ⃗ •PC ⃗⃗⃗⃗⃗ =y −z =0.令z=1.得 n ⃗ =（2.1.1）．平面PCD 的法向量为 OG ⃗⃗⃗⃗⃗ =（1.0.0）．设 n ⃗ ，OG ⃗⃗⃗⃗⃗ 的夹角为α.所以cosα= |n ⃗ •OG ⃗⃗⃗⃗⃗⃗||n⃗ •OG ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ | = √63． 由图可知二面角A-PC-D 为锐角.所以二面角A-PC-B 的余弦值为 √63 ．…（10分）（Ⅲ）设M 是棱PC 上一点.则存在λ∈[0.1]使得 PM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =λPC⃗⃗⃗⃗⃗ ．因此点M （0.λ.1-λ）. BM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =（-1.λ-1.1-λ）. AC ⃗⃗⃗⃗⃗ =（-1.2.0）． 由 BM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ •AC⃗⃗⃗⃗⃗ =0 .得1+2（λ-1）=0.解得 λ=12． 因为 λ=12 ∈[0.1].所以在棱PC 上存在点M.使得BM⊥AC ． 此时. PMPC = 12 ． …（14分）【点评】：本题考查线面平行的证明.考查二面角的余弦值的求法.考查线段比值的求法.是中档题.解题时要认真审题.注意向量法的合理运用．18.（单选题.6分）过抛物线y 2=2x 焦点的直线交抛物线于A.B 两点.若|AB|=5.则AB 的中点M 到y 轴的距离等于（ ） A.2 B.25 C.3 D.4【正确答案】：A【解析】：由题意知.求出抛物线的参数p.由于直线过焦点.设出AB 中点的横坐标m.由中点的坐标公式求出x 1+x 2.利用弦长公式x 1+x 2+p.解方程可得m.即可得到所求值．【解答】：解：由抛物线为y 2=2x. 可得p=1．设A 、B 两点横坐标分别为x 1.x 2. 设线段AB 中点的横坐标为m. 则x 1+x 22=m.即x 1+x 2=2m. 由|AB|=x 1+x 2+p=2m+1=5.解得m=2.可得AB 的中点M 到y 轴的距离为2．故选：A．【点评】：本题是直线被圆锥曲线所截.求弦长问题.一般可以由公式：|AB|= √1+k2•|x1-x2|求得；线段中点坐标通常与根与系数的关系相联系.从而简化解题过程．但对于过焦点的弦长注意圆锥曲线定义的应用．19.（单选题.6分）如图.已知直线y=kx与曲线y=f（x）相切于两点.设函数g（x）=kx+m （m＞0）.则函数F（x）=g（x）-f（x）（）A.有极小值.没有极大值B.有极大值.没有极小值C.至少有两个极小值和一个极大值D.至少有一个极小值和两个极大值【正确答案】：C【解析】：F（x）表示两图象上横坐标相同时.纵坐标的差.根据函数图象即可判断出结论．【解答】：解：设y=kx与f（x）的切点横坐标分别为x1.x2.（x1＜x2）.设f（x）的另一条斜率为k的切线与f（x）图象的切点横坐标为x3.如图所示：而F（x）=kx+m-f（x）表示直线g（x）的点（x.g（x））与f（x）上的点的（x.f（x））的纵坐标的差.显然.F（x）在（0.x1）上单调递减.在（x1.x3）上单调递增.在（x3.x2）上单调递减.在（x2.+∞）上单调递增.∴x1.x2为F（x）的极小值点.x3为F（x）的极大值点．∴F（x1）.F（x2）为F（x）的极小值.F（x3）为F（x）的极大值．故选：C．【点评】：本题考查了函数图象的几何意义.函数极值的意义.属于中档题．20.（单选题.6分）如图所示.直三棱柱ABC-A 1B 1C 1的侧棱长为3.底面边长A 1C 1=B 1C 1=1.且∠A 1C 1B 1=90°.D 点在棱AA 1上且AD=2DA 1.P 点在棱C 1C 上.则 PD ⃗⃗⃗⃗⃗ •PB 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 的最小值为（ ）A. 52B. −14 C. 14D. −52【正确答案】：B【解析】：建立如图所示的直角坐标系.设P （0.0.z ）.求出 PD ⃗⃗⃗⃗⃗ 和 PB 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 的坐标.求出 PD ⃗⃗⃗⃗⃗ • PB 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ = (z −52)2 - 14 .利用二次函数的性质求出它的最小值．【解答】：解：建立如图所示的直角坐标系. 则D （1.0.2）.B 1（0.1.3）. 设P （0.0.z ）.则 PD ⃗⃗⃗⃗⃗ =（1.0.2-z ）. PB 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =（0.1.3-z ）.∴ PD ⃗⃗⃗⃗⃗ • PB 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =0+0+（2-z ）（3-z ）= (z −52)2- 14 . 故当z= 52 时. PD ⃗⃗⃗⃗⃗ • PB 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 取得最小值为- 14 .故选：B ．【点评】：本题主要考查两个向量的数量积的定义.两个向量坐标形式的运算.属于基础题． 21.（单选题.6分）已知集合R n ={X|X=（x 1.x 2.….x n ）.x i ∈{0.1}.i=1.2.….n}（n≥2）．对于A=（a 1.a 2.….a n ）∈R n .B=（b 1.b 2.….b n ）∈R n .定义A 与B 之间的距离为d （A.B ）=|a 1-b 1|+|a 2-b 2|+…|a n -b n |= ∑|a i −b i |n i=1 ．若集合M 满足：M⊆R 3.且任意两元素间的距离均为2.则集合M 中元素个数的最大值为（ ） A.4 B.5 C.6 D.8【正确答案】：A【解析】：由集合的子集得：R 3中含有8个元素.先阅读然后再理解定义得：可将其看成正方体的8个顶点.已知集合M 中的元素所对应的点应该两两位于该正方体面对角线的两个端点.即M={（0.0.0）.（1.1.0）.（1.0.1）.（0.1.1）}或M={（0.0.1）.（0.1.0）.（1.0.0）.（1.1.1）}.得解．【解答】：解：由n 元子集个数得：R 3中含有8个元素.可将其看成正方体的8个顶点. 已知集合M 中的元素所对应的点应该两两位于该正方体面对角线的两个端点. 所以M={（0.0.0）.（1.1.0）.（1.0.1）.（0.1.1）} 或M={（0.0.1）.（0.1.0）.（1.0.0）.（1.1.1）}. 故集合M 中元素个数最大值为4. 故选：A ．【点评】：本题考查了集合的子集及阅读能力.属难度较大的题型． 22.（问答题.13分）已知离心率为 √32 的椭圆C ： x 2a 2 + y 2b 2 =1（a ＞b ＞0）与直线x=2相交于P.Q 两点（点P 在x 轴上方）.且|PQ|=2．点A.B 是椭圆上位于直线PQ 两侧的两个动点.且∠APQ=∠BPQ ．（Ⅰ）求椭圆C 的标准方程；（Ⅱ）求四边形APBQ 面积的取值范围．【正确答案】：【解析】：（Ⅰ）通过椭圆的离心率.设椭圆方程.利用点在椭圆.求出b 2.然后求出椭圆方程． （Ⅱ）通过∠APQ=∠BPQ .推出k PA =-k PB ．设直线PA 的斜率为k.得到直线PA ：y-1=k （x-2）（k≠0）．与椭圆联立.求出A 、B 坐标.设四边形APBQ 面积为S.表示出三角形的面积.利用基本不等式求出最值.也可以利用函数的导数求解面积的范围．【解答】：（本小题满分14分）解：（Ⅰ）由已知得e= √32 .则 ba = 12 .设椭圆方程为： x 24b 2 + y 2b 2 =1（b ＞0） 由题意可知点P （2.1）在椭圆上. 所以44b 2+1b 2=1 ．解得b 2=2．故椭圆C 的标准方程为 x 28+y 22=1 ． …（4分）（Ⅱ）由题意可知.直线PA.直线PB 的斜率都存在且不等于0． 因为∠APQ=∠BPQ .所以k PA =-k PB ．设直线PA 的斜率为k.则直线PA ：y-1=k （x-2）（k≠0）．由 {x 2+4y 2=8y −1=k (x −2) .得（1+4k 2）x 2+8k （1-2k ）x+16k 2-16k-4=0… ① ．依题意.方程 ① 有两个不相等的实数根.即根的判别式△＞0成立． 即△=64k 2（1-2k ）2-4（1+4k 2）（16k 2-16k-4）＞0. 化简得16（2k+1）2＞0.解得k ≠−12 ． 因为2是方程 ① 的一个解.所以2x A = 16k 2−16k−41+4k 2 ． 所以x A = 8k 2−8k−21+4k 2 ．当方程 ① 根的判别式△=0时.k= −12.此时直线PA 与椭圆相切．由题意.可知直线PB 的方程为y-1=-k （x-2）．同理.易得x B =8(−k)2−8(−k )−21+4(−k )2 = 8k 2+8k−21+4k 2． 由于点A.B 是椭圆上位于直线PQ 两侧的两个动点.∠APQ=∠BPQ . 且能存在四边形APBQ.则直线PA 的斜率k 需满足|t| ＞12 ． 设四边形APBQ 面积为S.则S △APQ +S △BPQ =12|PQ ||2−x A | +12|PQ ||x B −2| = 12|PQ ||x B −x A | = |8k 2−8k−21+4k 2−8k 2+8k−21+4k 2| = |16k1+4k 2| 由于|t| ＞12 . 故S=16|k|1+4k 2 = 161|k|+4|k|当|t| ＞12 时. 1|k|+4|k |＞4 .可得 0＜161|k|+4|k|＜4 .即0＜S ＜4．（此处另解：设t=|k|.讨论函数f （t ）= 1t +4t 在t∈ (12，+∞) 时的取值范围． f′（t ）=4- 1t2 =4t 2−1t 2.则当t ＞12时.f′（t ）＞0.f （t ）单调递增．则当t ＞12 时.f （t ）∈（4.+∞）.即S∈（0.4）．所以四边形APBQ 面积S 的取值范围是（0.4）．…（14分）【点评】：本题考查椭圆的标准方程的求法.直线与圆锥曲线的综合应用.基本不等式以及函数的导数的应用.考查分析问题解决问题的能力．23.（问答题.13分）对于函数f （x ）.若存在实数x 0满足f （x 0）=x 0.则称x 0为函数f （x ）的一个不动点．已知函数f （x ）=x 3+ax 2+bx+3.其中a.b∈R （Ⅰ）当a=0时.（ⅰ）求f （x ）的极值点；（ⅱ）若存在x 0既是f （x ）的极值点.又是f （x ）的不动点.求b 的值；（Ⅱ）若f （x ）有两个相异的极值点x 1.x 2.试问：是否存在a.b.使得x 1.x 2均为f （x ）的不动点？证明你的结论．【正确答案】：【解析】：（Ⅰ）（i ）求出函数的导数.通过讨论b 的范围.求出函数的单调区间.从而求出函数的极值点.（ii）得到函数g（x）有且仅有一个零点x=1.即方程2 x03 +x0-3=0的根为x0=1.从而求出b 的值即可；（Ⅱ）假设存在.根据题意得到x13 +a x12 +（b-1）x1+3=0．① .3 x12 +2ax1+b=0．② .得到a2-3b=- 92.这与a2-3b＞0相矛盾！判断结论即可．【解答】：解：（Ⅰ）f（x）的定义域为R.且f′（x）=3x2+2ax+b．[（1分）]当a=0时.f′（x）=3x2+b；（ⅰ）① 当b≥0时.显然f（x）在R上单调递增.无极值点．[（2分）]② 当b＜0时.令f′（x）=0.解得：x=± √−b3．[（3分）]f（x）和f′（x）的变化情况如下表：所以.x=- √−3是f（x）的极大值点；x= √−3是f（x）的极小值点．[（5分）]（ⅱ）若x=x0是f（x）的极值点.则有3 x02 +b=0；若x=x0是f（x）的不动点.则有x03 +bx0+3=x0.从上述两式中消去b.整理得：2 x03 +x0-3=0．[（6分）]设g（x）=2x3+x-3．所以g′（x）=6x2+1＞0.g（x）在R上单调递增．又g（1）=0.所以函数g（x）有且仅有一个零点x=1.即方程2 x03 +x0-3=0的根为x0=1.所以 b=-3 x02 =-3．[（8分）]（Ⅱ）因为f（x）有两个相异的极值点x1.x2.所以方程3x2+2ax+b=0有两个不等实根x1.x2.所以△=4a2-12b＞0.即a2-3b＞0．[（9分）]假设存在实数a.b.使得x1.x2均为f（x）的不动点.则x1.x2是方程x3+ax2+（b-1）x+3=0的两个实根.显然x1.x2≠0．对于实根x1.有x13 +a x12 +（b-1）x1+3=0．①又因为3 x12 +2ax1+b=0．②① ×3- ② ×x1.得a x12 +（2b-3）x1+9=0．同理可得a x22 +（2b-3）x2+9=0．所以.方程ax2+（2b-3）x+9=0也有两个不等实根x1.x2．[（11分）] 所以x1+x2=- 2b−3a．对于方程3x2+2ax+b=0.有 x1+x2=- 2a3.所以- 2a3 =- 2b−3a.即a2-3b=- 92.这与a2-3b＞0相矛盾！所以.不存在a.b.使得x1.x2均为f（x）的不动点．[（13分）]【点评】：本题考查了函数的单调性、极值问题.考查导数的应用以及新定义问题.分类讨论思想.是一道综合题．。

2018-2019学年北京市人大附中高二（上）期末数学试卷一、选择题（共8个小题，每小题5分，共40分，在每道小题给出的四个备选答案中，只有一个是符合题目要求的，请把所选答案前的字母按规定要求填涂在“机读答题卡”的相应位置上.）1．（5分）下列导数公式错误的是（）A．（sin x）'＝﹣cos x B．C．D．（e x）'＝e x2．（5分）双曲线x2﹣＝1的焦点坐标是（）A．（0，），（0，﹣）B．（，0），（﹣，0）C．（0，2），（0，﹣2）D．（2，0），（﹣2，0）3．（5分）如图，在平行六面体ABCD﹣A1B1C1D1中，若＝，＝，＝，则＝（）A．+﹣B．++C．﹣﹣D．﹣++4．（5分）若＝（a1，a2，a3），＝（b1，b2，b3），则＝＝是∥的（）A．既不充分也不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．充分不必要条件5．（5分）如图，正棱柱ABCD﹣A1B1C1D1中，AA1＝2AB，则异面直线A1B与AD1所成角的余弦值为（）A．B．C．D．6．（5分）设函数f（x）＝，则（）A．x＝，f（x）取得最大值B．x＝，f（x）取得最小值C．x＝2，f（x）取得最大值D．x＝2，f（x）取得最小值7．（5分）如果把二次函数f（x）＝ax2+bx+c与其导函数f′（x）的图象画在同一个坐标系中．则下面四组图中一定错误的是（）A．B．C．D．8．（5分）函数f（x）＝x3+kx2﹣7x在区间[﹣1，1]上单调递减，则实数k的取值范围是（）A．（﹣∞，﹣2]B．[﹣2，2]C．[﹣2，+∞）D．[2，+∞）二、填空题（本大题共6小题，每小题5分，共30分，请把结果填在答题纸中，）9．（5分）已知函数f（x）＝x2，则＝．10．（5分）已知函数，则f′（1）＝．11．（5分）已知空间向量＝（0，1，1），＝（x，0，1），若，的夹角为，则实数x的值为．12．（5分）直线y＝a与函数f（x）＝x3﹣3x的图象有相异的三个公共点，则a的取值范围是．13．（5分）电动自行车的耗电量y与速度x之间的关系为，为使耗电量最小，则其速度应定为．14．（5分）在棱长为1的正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，M为体对角线BD1上动点．则（1）M到CC1距离的最小值为；（2）M位于BD1三等分点处时，M到各顶点的距离的不同取值有种．三、解答题（共3小题，满分30分）15．（10分）已知抛物线C方程：y2＝2px（p＞0），点（1，2）在C上，F为焦点．（Ⅰ）求抛物线C的方程和焦点F坐标；（Ⅱ）若抛物线C上有两个定点A，B分别在其对称轴的上、下两侧，且|AF|＝2，|BF|＝5，求原点O到直线AB的距离．16．（10分）已知函数f（x）＝ax3+bx2+cx，其导函数为f′（x）的部分值如表所示：根据表中数据，回答下列问题：（Ⅰ）实数c的值为；当x＝时，f（x）取得极大值（将答案填写在横线上）．（Ⅱ）求实数a，b的值．（Ⅲ）求f（x）的单调区间．17．（10分）如图，在四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD为矩形，平面PCD⊥平面ABCD，BC＝1，AB＝2，，E为P A中点．（Ⅰ）求证：PC∥平面BED；（Ⅱ）求二面角A﹣PC﹣D的余弦值；（Ⅲ）在棱PC上是否存在点M，使得BM⊥AC？若存在，求的值；若不存在，说明理由．一、选择题（本大题共4小题，每小题6分，共24分，请把所选答案前的字母按规定要求填涂在“答题纸”的相应位置上.）18．（6分）过抛物线y2＝2x焦点的直线交抛物线于A，B两点，若|AB|＝5，则AB的中点M 到y轴的距离等于（）A．2B．25C．3D．419．（6分）如图，已知直线y＝kx与曲线y＝f（x）相切于两点，设函数g（x）＝kx+m（m ＞0），则函数F（x）＝g（x）﹣f（x）（）A．有极小值，没有极大值B．有极大值，没有极小值C．至少有两个极小值和一个极大值D．至少有一个极小值和两个极大值20．（6分）如图所示，直三棱柱ABC﹣A1B1C1的侧棱长为3，底面边长A1C1＝B1C1＝1，且∠A1C1B1＝90°，D点在棱AA1上且AD＝2DA1，P点在棱C1C上，则的最小值为（）A．B．C．D．21．（6分）已知集合R n＝{X|X＝（x1，x2，…，x n），x i∈{0，1}，i＝1，2，…，n}（n≥2）．对于A＝（a1，a2，…，a n）∈R n，B＝（b1，b2，…，b n）∈R n，定义A与B之间的距离为d（A，B）＝|a1﹣b1|+|a2﹣b2|+…|a n﹣b n|＝．若集合M满足：M⊆R3，且任意两元素间的距离均为2，则集合M中元素个数的最大值为（）A．4B．5C．6D．8二、解答题（本大题共2小题，每个小题13分，满分26分，请把结果填在答题纸中）.22．（13分）已知离心率为的椭圆C：+＝1（a＞b＞0）与直线x＝2相交于P，Q 两点（点P在x轴上方），且|PQ|＝2．点A，B是椭圆上位于直线PQ两侧的两个动点，且∠APQ＝∠BPQ．（Ⅰ）求椭圆C的标准方程；（Ⅱ）求四边形APBQ面积的取值范围．23．（13分）对于函数f（x），若存在实数x0满足f（x0）＝x0，则称x0为函数f（x）的一个不动点．已知函数f（x）＝x3+ax2+bx+3，其中a，b∈R（Ⅰ）当a＝0时，（ⅰ）求f（x）的极值点；（ⅱ）若存在x0既是f（x）的极值点，又是f（x）的不动点，求b的值；（Ⅱ）若f（x）有两个相异的极值点x1，x2，试问：是否存在a，b，使得x1，x2均为f （x）的不动点？证明你的结论．2018-2019学年北京市人大附中高二（上）期末数学试卷参考答案与试题解析一、选择题（共8个小题，每小题5分，共40分，在每道小题给出的四个备选答案中，只有一个是符合题目要求的，请把所选答案前的字母按规定要求填涂在“机读答题卡”的相应位置上.）1．【解答】解：根据题意，依次分析选项：对于A、（sin x）'＝cos x，故A错误；对于B、（lnx）′＝，故B正确；对于C、（）′＝x﹣1＝（﹣1）×x﹣2＝﹣，故C正确；对于D、（e x）'＝e x，故D正确；故选：A．2．【解答】解：根据题意，双曲线的方程为x2﹣＝1，其中a＝1，b＝，则c＝＝2，又由双曲线的焦点在x轴上，则其焦点坐标为（2，0）（﹣2，0）；故选：D．3．【解答】解：═＝故选：C．4．【解答】解：∵＝（a1，a2，a3），＝（b1，b2，b3），∴当＝＝时，向量∥成立．当＝（1，0，0），＝（2，0，0），满足∥，但＝＝不成立，∴＝＝是∥的充分不必要条件．故选：D．5．【解答】解．如图，连接BC1，A1C1，∠A1BC1是异面直线A1B与AD1所成的角，设AB＝a，AA1＝2a，∴A1B＝C1B＝a，A1C1＝a，∠A1BC1的余弦值为，故选：D．6．【解答】解：∵f（x）＝，（x＞0）∴f′（x）＝﹣+＝，令f′（x）＞0，解得：x＞2，令f′（x）＜0，解得：0＜x＜2，故f（x）在（0，2）递减，在（2，+∞）递增，故x＝2时，f（x）取最小值，故选：D．7．【解答】解：二次函数f（x）＝ax2+bx+c的对称轴是x＝﹣，故其导函数f′（x）＝2ax+b＝0的根是﹣，二次函数的顶点和导函数的解均在直线x＝﹣上，故对于选项B是错误的，故选：B．8．【解答】解：根据题意，函数f（x）＝x3+kx2﹣7x，其导数f′（x）＝3x2+2kx﹣7，若函数f（x）＝x3+kx2﹣7x在区间[﹣1，1]上单调递减，则f′（x）＝3x2+2kx﹣7≤0在[﹣1，1]上恒成立，则有，解可得﹣2≤k≤2，即k的取值范围为[﹣2，2]；故选：B．二、填空题（本大题共6小题，每小题5分，共30分，请把结果填在答题纸中，）9．【解答】解：∵f（x）＝x2，∴f′（x）＝2x，∴＝f′（0）＝0，故答案为：0．10．【解答】解：∵函数，∴f'（x）＝，∴f′（1）＝，故答案为：0．11．【解答】解：已知，则：，由于，则：解得：x＝1或﹣1故答案为：1或﹣112．【解答】解：令f′（x）＝3x2﹣3＝0，得x＝±1，可求得f（x）的极大值为f（﹣1）＝2，极小值为f（1）＝﹣2，如图所示，当满足﹣2＜a＜2时，恰有三个不同公共点．故答案为：（﹣2，2）13．【解答】解：由题设知y'＝x2﹣39x﹣40，令y'＞0，解得x＞40，或x＜﹣1，故函数在[40，+∞）上增，在（0，40]上减，当x＝40，y取得最小值．由此得为使耗电量最小，则其速度应定为40；故答案为：40．14．【解答】解：（1）M到CC1距离的最小值是异面直线BD1和CC1间的距离，连结AC，BD，交于点O，则AC⊥BD，AC∥DD1，∴AC⊥平面BDD1，∴OC⊥BD1，且OC⊥CC1，∴M到CC1距离的最小值为|OC|＝＝．故答案为：．（2）以D为原点，DA为x轴，DC为y轴，DD1为z轴，建立空间直角坐标系，A（1，0，0），B（1，1，0），C（0，1，0），D（0，0，0），A1（1，0，1），B1（1，1，1），C1（0，1，1），D1（0，0，1），M位于BD1三等分点处时，设M（），∴AM＝＝，BM＝＝，CM＝＝，DM＝＝1，A1M＝＝1，B1M＝＝，C1M＝＝1，D1M＝＝．∴M到各顶点的距离的不同取值有4种．故答案为：4．三、解答题（共3小题，满分30分）15．【解答】解：（Ⅰ）将（1，2）代入抛物线方程可得4＝2p，解得p＝2，即抛物线的方程为y2＝4x，F（1，0）；（Ⅱ）若抛物线C上有两个定点A，B分别在其对称轴的上、下两侧，且|AF|＝2，|BF|＝5，由抛物线的定义可得x A+1＝2，x B+1＝5，即有x A＝1，x B＝4，即为A（1，2），B（4，﹣4），AB的斜率为﹣2，AB的方程为2x+y﹣4＝0，O到直线AB的距离为d＝＝．16．【解答】解：（Ⅰ）6，3（Ⅱ）：f'（x）＝3ax2+2bx+c，由已知表格可得解得（Ⅲ）：由（Ⅱ）可得f'（x）＝﹣2x2+4x+6＝﹣2（x﹣3）（x+1），因为x∈（﹣∞，﹣1）和x∈（3，+∞）时f'（x）＜0，x∈（﹣1，3）时f'（x）＞0，所以f（x）的单调增区间为（﹣1，3），单调减区间为（﹣∞，﹣1）和（3，+∞）．17．【解答】（共14分）证明：（Ⅰ）设AC与BD的交点为F，连结EF．因为ABCD为矩形，所以F为AC的中点．在△P AC中，由已知E为P A中点，所以EF∥PC．又EF⊂平面BFD，PC⊄平面BFD，所以PC∥平面BED．…（5分）（Ⅱ）取CD中点O，连结PO．因为△PCD是等腰三角形，O为CD的中点，所以PO⊥CD．又因为平面PCD⊥平面ABCD，PO⊂平面PCD，所以PO⊥平面ABCD．取AB中点G，连结OG，由题设知四边形ABCD为矩形，所以OF⊥CD．所以PO⊥OG．…（1分）如图建立空间直角坐标系O﹣xyz，则A（1，﹣1，0），C（0，1，0），P（0，0，1），D（0，﹣1，0），B（1，1，0），O（0，0，0），G（1，0，0）．＝（﹣1，2，0），＝（0，1，﹣1）．设平面P AC的法向量为＝（x，y，z），则，令z＝1，得＝（2，1，1）．平面PCD的法向量为＝（1，0，0）．设的夹角为α，所以cosα＝＝．由图可知二面角A﹣PC﹣D为锐角，所以二面角A﹣PC﹣B的余弦值为．…（10分）（Ⅲ）设M是棱PC上一点，则存在λ∈[0，1]使得．因此点M（0，λ，1﹣λ），＝（﹣1，λ﹣1，1﹣λ），＝（﹣1，2，0）．由，得1+2（λ﹣1）＝0，解得．因为∈[0，1]，所以在棱PC上存在点M，使得BM⊥AC．此时，＝．…（14分）一、选择题（本大题共4小题，每小题6分，共24分，请把所选答案前的字母按规定要求填涂在“答题纸”的相应位置上.）18．【解答】解：由抛物线为y2＝2x，可得p＝1．设A、B两点横坐标分别为x1，x2，设线段AB中点的横坐标为m，则＝m，即x1+x2＝2m，由|AB|＝x1+x2+p＝2m+1＝5，解得m＝2，可得AB的中点M到y轴的距离为2．故选：A．19．【解答】解：设y＝kx与f（x）的切点横坐标分别为x1，x2，（x1＜x2），设f（x）的另一条斜率为k的切线与f（x）图象的切点横坐标为x3，如图所示：而F（x）＝kx+m﹣f（x）表示直线g（x）的点（x，g（x））与f（x）上的点的（x，f（x））的纵坐标的差，显然，F（x）在（0，x1）上单调递减，在（x1，x3）上单调递增，在（x3，x2）上单调递减，在（x2，+∞）上单调递增，∴x1，x2为F（x）的极小值点，x3为F（x）的极大值点．∴F（x1），F（x2）为F（x）的极小值，F（x3）为F（x）的极大值．故选：C．20．【解答】解：建立如图所示的直角坐标系，则D（1，0，2），B1（0，1，3），设P（0，0，z），则＝（1，0，2﹣z），＝（0，1，3﹣z），∴•＝0+0+（2﹣z）（3﹣z）＝﹣，故当z＝时，•取得最小值为﹣，故选：B．21．【解答】解：由n元子集个数得：R3中含有8个元素，可将其看成正方体的8个顶点，已知集合M中的元素所对应的点应该两两位于该正方体面对角线的两个端点，所以M＝或M＝，（1，1，1），故集合M中元素个数最大值为4，故选：A．二、解答题（本大题共2小题，每个小题13分，满分26分，请把结果填在答题纸中）. 22．【解答】（本小题满分14分）解：（Ⅰ）由已知得e＝，则＝，设椭圆方程为：+＝1（b＞0）由题意可知点P（2，1）在椭圆上，所以．解得b2＝2．故椭圆C的标准方程为．…（4分）（Ⅱ）由题意可知，直线P A，直线PB的斜率都存在且不等于0．因为∠APQ＝∠BPQ，所以k P A＝﹣k PB．设直线P A的斜率为k，则直线P A：y﹣1＝k（x﹣2）（k≠0）．由，得（1+4k2）x2+8k（1﹣2k）x+16k2﹣16k﹣4＝0…（1）．依题意，方程（1）有两个不相等的实数根，即根的判别式△＞0成立．即△＝64k2（1﹣2k）2﹣4（1+4k2）（16k2﹣16k﹣4）＞0，化简得16（2k+1）2＞0，解得k．因为2是方程（1）的一个解，所以2x A＝．所以x A＝．当方程（1）根的判别式△＝0时，k＝，此时直线P A与椭圆相切．由题意，可知直线PB的方程为y﹣1＝﹣k（x﹣2）．同理，易得x B ＝＝．由于点A，B是椭圆上位于直线PQ两侧的两个动点，∠APQ＝∠BPQ，且能存在四边形APBQ，则直线P A的斜率k需满足|t |．设四边形APBQ面积为S，则＝＝＝由于|t |，故S ＝＝当|t|时，，可得，即0＜S＜4．（此处另解：设t＝|k|，讨论函数f（t ）＝在t ∈时的取值范围．f′（t）＝4﹣＝，则当t时，f′（t）＞0，f（t）单调递增．则当t时，f（t）∈（4，+∞），即S∈（0，4）．所以四边形APBQ面积S的取值范围是（0，4）．…（14分）23．【解答】解：（Ⅰ）f（x）的定义域为R，且f′（x）＝3x2+2ax+b．[（1分）]当a＝0时，f′（x）＝3x2+b；（ⅰ）①当b≥0时，显然f（x）在R上单调递增，无极值点．[（2分）]②当b＜0时，令f′（x）＝0，解得：x ＝±．[（3分）]f（x）和f′（x）的变化情况如下表：）（﹣）（，所以，x＝﹣是f（x）的极大值点；x＝是f（x）的极小值点．[（5分）]（ⅱ）若x＝x0是f（x）的极值点，则有3+b＝0；若x＝x0是f（x）的不动点，则有+bx0+3＝x0，从上述两式中消去b，整理得：2+x0﹣3＝0．[（6分）]设g（x）＝2x3+x﹣3．所以g′（x）＝6x2+1＞0，g（x）在R上单调递增．又g（1）＝0，所以函数g（x）有且仅有一个零点x＝1，即方程2+x0﹣3＝0的根为x0＝1，所以b＝﹣3＝﹣3．[（8分）]（Ⅱ）因为f（x（有两个相异的极值点x1，x2，所以方程3x2+2ax+b＝0有两个不等实根x1，x2，所以△＝4a2﹣12b＞0，即a2﹣3b＞0．[（9分）]假设存在实数a，b，使得x1，x2均为f（x）的不动点，则x1，x2是方程x3+ax2+（b﹣1）x+3＝0的两个实根，显然x1，x2≠0．对于实根x1，有+a+（b﹣1）x1+3＝0．①又因为3+2ax1+b＝0．②①×3﹣②×x1，得a+（2b﹣3）x1+9＝0．同理可得a+（2b﹣3）x2+9＝0．所以，方程ax2+（2b﹣3）x+9＝0也有两个不等实根x1，x2．[（11分）]所以x1+x2＝﹣．对于方程3x2+2ax+b＝0，有x1+x2＝﹣，所以﹣＝﹣，即a2﹣3b＝﹣，这与a2﹣3b＞0相矛盾！所以，不存在a，b，使得x1，x2均为f（x）的不动点．[（13分）]。

2019北京人大附中高二（下）期末数学试卷第I 卷(共17题，满分100分)一、选择题(共8个小题，每小题5分，共40分)1.已知集合{}1,2,3,4,5A =，且A B A =I ，则集合B 可以是（ ） A. {}21xx B. {}21x xC. {}2log 1x xD. {}1,2,3【答案】A 【解析】 【分析】由A B A =I 可知，A B ⊆，据此逐一考查所给的集合是否满足题意即可. 【详解】由A B A =I 可知，A B ⊆，对于A ：0{|212}x x >=＝{|0}x x A ⊇＞，符合题意.对于B ：{}21x x ＝{|11}x x x <->或，没有元素1，所以不包含A ； 对于C ：22{|log 1log 2}x x >=＝{|2}x x >，不合题意； D 显然不合题意， 本题选择A 选项.【点睛】本题主要考查集合的表示方法，集合之间的关系等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.2.下列函数中，既是偶函数又在区间()0,∞+上单调递增的是（ ） A. 2y x x =+ B. 2ln y x = C. 13y x = D. cos y x =【答案】B 【解析】 【分析】判断各选项中函数的奇偶性与单调性，可得出正确选项.【详解】对于A 选项，二次函数2y x x =+关于直线12x =-对称，该函数既不是奇函数也不是偶函数，不合乎题意；对于B 选项，函数2ln y x =的定义域为{}0x x ≠，关于原点对称，且()22ln ln x x -=，该函数为偶函数，当0x >时，2ln 2ln y x x ==，则函数2ln y x =在区间()0,∞+上是增函数，合乎题意；对于C 选项，函数13y x ==R =意；对于D 选项，函数cos y x =为偶函数，且在()0,∞+上不单调，不合乎题意.故选：B.【点睛】本题考查函数奇偶性与单调性的判断，可以利用定义，对于一些常见的基本初等函数，也可以借助其本身的基本性质来进行判断，考查对函数基本性质的了解，属于基础题.3.“3πα=”是“sin α=”的 ( ) A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件【答案】A 【解析】 【分析】利用sin 223x k παπ=⇔=+或223x k ππ=+，结合充分条件与必要条件定义可得结果.【详解】根据题意，由于sin 23x k παπ=⇔=+或223x k ππ=+，因此3πα=可以推出sin 2α=，反之，不成立，因此“3πα=”是“sin α=”的充分而不必要条件，故选A. 【点睛】判断充分条件与必要条件应注意：首先弄清条件p 和结论q 分别是什么，然后直接依据定义、定理、性质尝试,p q q p ⇒⇒.对于带有否定性的命题或比较难判断的命题，除借助集合思想化抽象为直观外，还可利用原命题和逆否命题、逆命题和否命题的等价性，转化为判断它的等价命题；对于范围问题也可以转化为包含关系来处理.4.设命题:(0,)P x ∀∈+∞，ln 1x x -„，则p ⌝为（ ） A. (0,)x ∀∈+∞，ln 1x x >-B. 0(0,)x ∃∈+∞，00ln 1x x -„C. (0,)x ∀∉+∞，ln 1x x >-D. 0(0,)x ∃∈+∞，00ln 1x x >-【答案】D 【解析】 【分析】根据全称命题的否定是特称命题的知识直接选出正确选项.【详解】原命题是全称命题，其否定为特称命题，B,D 选项是特称命题，注意到要否定结论，故D 选项符合.所以本小题选D.【点睛】本小题主要考查全称命题的否定是特称命题，属于基础题.5.函数5)(3-=x x f 的零点所在的区间是 A. (1,2) B. (2,3) C. (3,4) D. (4,5)【答案】A 【解析】 【分析】求得 f （1）f （2）＜0，根据函数零点的判定定理可得函数f （x ）的零点所在的区间． 【详解】由函数()35f x x =-可得()11540f =-=-<，()28530f =-=>，故有()()120f f <，根据函数零点判定定理可得，函数()f x 的零点所在区间为()1,2， 故选：A ．【点睛】本题主要考查函数的零点的判定定理的应用，属于基本知识的考查．6.已知2log 6a =，3log 7b =，0.13c =，则a 、b 、c 的大小关系是（ ）A. c b a <<B. a b c <<C. b c a <<D. c a b <<【答案】A 【解析】 【分析】 利用中间值32和2可得出a 、b 、c 的大小关系. 【详解】222log 6log 22a =>=Q ，79<<Q ，所以，333log log 7log 9<<，即322b <<.()20.10.20.53332=<=<Q ，而239224⎛⎫=> ⎪⎝⎭，0.1332∴<，即32c <. 因此，c b a <<，故选：A.【点睛】本题考查指数式与对数式的大小比较，常用中间值法来比较三个数的大小关系，常见的中间值为0、1，中间值可以三个数来确定，考查分析问题和解决问题的能力，属于中等题.7.已知ABC ∆中，A 、B 、C 的对边的长分别为a 、b 、c ，120A =o ，a =ABC ∆的c b +=（ ）A. 4.5B.C. 5D. 6【答案】C 【解析】 【分析】利用三角形的面积公式可求出bc 的值，利用余弦定理得出22b c +的值，从而可得出b c +的值.【详解】由三角形的面积公式可得11sin 2224ABC S bc A bc bc ∆==⨯==，4bc ∴=. 由余弦定理得2222cos a b c bc A =+-，即22124212b c ⎛⎫+-⨯⨯-= ⎪⎝⎭，得2217b c +=.所以，()2222172425b c b c bc +=++=+⨯=，因此，5c b +=，故选：C.【点睛】本题考查利用余弦定理和三角形的面积公式解三角形，解题时要根据三角形已知元素类型选择合适的公式进行计算，考查运算求解能力，属于中等题.8.已知函数()()2cos 06f x x πωω⎛⎫=+> ⎪⎝⎭满足：81433f f ππ⎛⎫⎛⎫=⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，且区间814,33ππ⎛⎫⎪⎝⎭内有最大值但没有最小值，给出下列四个命题：()1:p f x 在[]0,2π上单调递减； ()2:p f x 的最小正周期是4π； ()3:p f x 的图象关于直线2x π=对称；()4:p f x 的图象关于点4,03π⎛⎫-⎪⎝⎭对称. 其中的真命题的个数是 A. 1 B. 2 C. 3 D. 4【答案】B 【解析】 【分析】 由题意得出，1123f π⎛⎫=⎪⎝⎭，可得出ω的表达式，由题意得出该函数的周期2T π≥，由此可得出ω的值，求出函数()y f x =的解析式，即可判断出结论. 【详解】Q 函数()y f x =满足81433f f ππ⎛⎫⎛⎫= ⎪⎪⎝⎭⎝⎭， 且在区间814,33ππ⎛⎫⎪⎝⎭内有最大值但没有最小值，则11112cos 2336f ππωπ⎛⎫⎛⎫=+= ⎪⎪⎝⎭⎝⎭， 所以，()11cos 1036πωπω⎛⎫+=>⎪⎝⎭，得()11236k k N πωππ*+=∈， ()12122k k N ω*-∴=∈， 易知函数()y f x =的最小正周期2212122T k ππ=≥-，解得23112k ≤≤，1k ∴=，12ω=.()12cos 26f x x π⎛⎫∴=+ ⎪⎝⎭.对于命题1p ，由[]0,2x π∈，得17,2666x πππ⎛⎫⎡⎤+∈ ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦，则函数()y f x =在区间[]0,2π上不单调，命题1p 不正确；对于命题2p ，函数()y f x =的最小正周期为2412T ππ==，命题2p 正确； 对于命题3p ，152cos 2cos 2222612f ππππ⎛⎫⎛⎫=⨯+=≠± ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭Q ，则函数()y f x =的图象不关于直线2x π=对称，命题3p 不正确；对于命题4p ，4412cos 2cos 033262f ππππ⎛⎫⎛⎫⎛⎫-=-⨯+=-= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，则函数()y f x =的图象关于点4,03π⎛⎫-⎪⎝⎭对称，命题4p 正确.故选：B. 【点睛】本题考查三角函数的图象与性质，解题的关键就是根据题中条件求出函数的解析式，考查推理能力与计算能力，属于中等题.二、填空题（本大题共6小题。

北京市人大附中2023-2024学年高二上学期期末数学试题学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________六、解答题29．在平面直角坐标系中画出方程()()()2222-=+-表示的曲线.211x x y y【分析】由面面垂直的性质定理可证明“1CB BB ^”是“CB AB ^”的必要条件，由底面为正三角形的直三棱柱模型，可知“1CB BB ^”不是“CB AB ^”的充分条件.【详解】①已知侧面11ABB A ^底面ABC ，且侧面11ABB A I 底面ABC AB =，又BC Ì平面ABC ，若BC AB ^，则由面面垂直的性质定理可得BC ^平面11ABB A ，1BB Ì平面11ABB A ，则1CB BB ^，所以则“1CB BB ^”是“CB AB ^”的必要条件；②若三棱柱111ABC A B C -是直三棱柱，底面ABC 是正三角形，则1BB ^底面ABC ，1BB Ì平面11ABB A ，则满足条件侧面11ABB A ^底面ABC .又BC Ì平面ABC ，则1CB BB ^，但BC 与AB 不垂直.所以“1CB BB ^”不是“CB AB ^”的充分条件.综上所述，“1CB BB ^”是“CB AB ^”的必要不充分条件.故选：B.7．D【分析】结合空间直角坐标系，数形结合利用勾股定理求解点(2,3,1)-P 到x 轴的距离.【详解】．D【分析】由动直线恒与圆相交得直线过圆内一【详解】()22:15C x y++=e选项A，由直线2x y a+=斜率为圆心(1,0)C-到直线2x y a+-10．A【分析】借助空间直观想象，折叠EAB平面FDC，面面距离即//17．(1)24=x y(2)3k=±【分析】（1）由直线l与y轴交点得焦点。

2019-2020学年北京市人大附中高二（上）期末数学试卷1.（单选题，5分）复数z=a+i（i∈R）的实部是虚部的2倍，则a的值为（）A. −12B. 12C.-2D.22.（单选题，5分）已知向量a⃗ =（1，2，1），b⃗⃗ =（-1，0，4），则a⃗ +2 b⃗⃗ =（）A.（-1，2，9）B.（-1，4，5）C.（1，2，-7）D.（1，4，9）＜a等价于（）3.（单选题，5分）若a＞0，则不等式1xA.0＜1＜xa＜x＜0B.- 1aC.x＜- 1a或x＜0D.x＞1a4.（单选题，5分）已知等差数列{a n}满足4a3=3a2，则{a n}中一定为零的项是（）A.a6B.a8C.a10D.a125.（单选题，5分）设曲线C是双曲线，则“曲线C的方程为x2- y2=1”是“曲线C的离心率为2”3的（）A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件6.（单选题，5分）已知x，y＞0且x+y=4，则下面结论正确的是（）A.xy的最大值是4B.xy的最小值是4C.∃x ，y ，x+y≤ √xyD.∀x ，y ，x+y≤2 √xy7.（单选题，5分）某企业为激励员工创新，计划逐年加大研发资金投入．若该公司2020年全年投入研发资金130万元，在此基础上，每年投入的研发资金比上一年增长12%，则该企业全年投入的研发资金开始超过200万元的年份是（ ）A.2022年B.2023年C.2024年D.2025年8.（单选题，5分）在棱长为2的正方体ABCD-A 1B 1C 1D 1中，若点P 是棱上一点（含顶点），则满足 PA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗•PC 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗=−1 的点P 的个数为（ ）A.6B.8C.12D.249.（填空题，5分）已知双曲线 x 2a 2 - y 23 =1，（a ＞0）的左焦点是（-2，0），则a 的值为___ ．10.（填空题，5分）已知复数z 满足z （1+i ）=2-4i ，那么z=___ ．11.（填空题，5分）已知数列{a n }满足 a n+1n+1=a n n ，且a 5=15，则a 8=___ ．12.（填空题，5分）设a ，b ，c 是任意实数，能够说明“若c ＜b ＜a 且ac ＜0，则ab ＜ac”是假命题的一组整数a ，b ，c 的值依次为___ ．13.（填空题，5分）已知三角棱O-ABC ，M ，N 分别是对边OA ，BC 的中点，点G 在MN 上，且MN=2GN ，设 OA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ = a ⃗ ， OB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ = b ⃗⃗ ， OC ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ = c ⃗ ，则 OG ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =___ （用基底（ a ⃗ ， b ⃗⃗ ， c ⃗ ）表示）14.（填空题，5分）如图，曲线C 1：y 2=4x （y≥0）和曲线C 2：x 2=4y （x≥0）在第一象限的交点为C ，已知A （1，0），B （0，1），直线x+y=m ，m∈（0，8）分别与C 1和C 2交于M ，N 两点，且M ，N ，A ，B 不共线．以下关于四边形ABMN 描述中：① ∀m∈（0，8），四边形ABMN 的对角线AM=BN ；② ∃m∈（0，8），四边形ABMN 为正方形；③ ∃m∈（0，8），使得|MN|= 32 ．其中所有正确结论的序号是：___ ．15.（问答题，8分）在等比数列{a n}中，a2=1，a5=8，n∈N*．（Ⅰ）求数列{a n}的通项公式；（Ⅱ）设数列{a n}的前n项和为S n，若S n＜100，求n的最大值．16.（问答题，12分）如图，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD为正方形，PA⊥平面ABCD，AB=PA=1，F是PB的中点，E为BC上一点．（Ⅰ）求证：AF⊥平面PBC；（Ⅱ）若BE= 12，求直线PB和直线DE所成角的余弦值；（Ⅲ）当BE为何值时，直线DE与平面AFC所成角为45°？17.（问答题，10分）已知椭圆C：x2a2 + y2b2=1 （a＞b＞0）的离心率为√32，过C的左焦点作x轴的垂线交C与P、Q两点，且|PQ|=1．（Ⅰ）求椭圆C的标准方程；（Ⅱ）椭圆C的短轴的上下端点分别为A，B，点M（m，12），满足m≠0，且m≠± √3，若直线AM ，BM 分别与椭圆C 交于E ，F 两点，试判断：是否存在点M ，使得△ABF 的面积与△BOE 的面积相等？若存在，求m 的值：若不存在，说明理由．18.（多选题，6分）不等式组 {x +y ≥1x −2y ≤4的解集记为D ，下列四个命题中真命题是（ ） A.∀（x ，y ）∈D ，x+2y≥-2B.∃（x ，y ）∈D ，x+2y≥2C.∀（x ，y ）∈D ，x+2y≤3D.∃（x ，y ）∈D ，x+2y≤-119.（单选题，6分）已知a 、b∈R ，“a ＜b”是“2a ＜3b ”的（ ）A.充分而不必要条件B.必要而不充分条件C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件20.（多选题，6分）如图，在正方体ABCD-A 1B 1C 1D 1中，点P 是对角线AC 1上一动点，在点P 从顶点A 移动到顶点C 1的过程中，下列结论中正确的有（ ）A.二面角P-A 1D-B 1的取值范围是[0， π2 ]B.直线AC 1与平面A 1DP 所成的角逐渐增大C.存在一个位置，使得AC 1⊥平面A 1DPD.存在一个位置，使得平面A 1DP || 平面B 1CD 121.（填空题，6分）若复数z 满足：z 2-2az+a 2+4=0，且|z|= √5 ，则实数a=___ ．22.（填空题，6分）已知集合A={x|x=a 3×30+a 2×3-1+a 1×3-2+a 0×3-3}，其中a k ∈{0，1，2}，k=0，1，2，3，将集合A 中的元素从小到大排列得到数列{b n }，设{b n }的前n 项和为S n ，则b 3=___ ，S 15=___ ．23.（填空题，6分）曲线C 是平面内与三个顶点F 1（-1，0），F 2（1，0）和F 3（0，1）的距离的和等于2 √2 的点的轨迹，给出下列三个结论：① 曲线C关于x轴、y轴均对称；② 曲线C上存在一点P，使得|PF3|= 2√2；3③ 若点P在曲线C上，则△F1PF2的面积最大值是1．其中所有真命题的序号是：___。

第二学期7月北京人大附中高二数学期末复习试题（理科）（无答案）2019年7月6日说明：本练习共三道大题20道小题，共4页，满分150分，考试时间120分钟。

一、选择题 (本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，请将正确答案填涂在答题纸的相应位置.） 1．10(e 2)d x x x +⎰等于（ ） （A ）1（B ）e 1- （C ）e （D ）e 1+2．已知(13)n x +的展开式中含有2x 项的系数是54，则n =（ ） （A ）3（B ）4 （C ）5 （D ）63．函数()y f x =的导函数()y f x '=的图象如右图所示，则()y f x =的图象可能是（ ）4．已知从A 口袋中摸出一个球是红球的概率为14，从B 口袋中摸出一个球是红球的概率为15，现从两个口袋中各摸出一个球，那么这两个球至少有一个不是红球的概率是（ ） （A ）120（B ）1920（C ）35 （D ）7205．下列极坐标方程中，对应的曲线为右图的是（ ） （A ）65cos ρθ=+ （B ）65sin ρθ=+ （C ）65cos ρθ=- （D ）65sin ρθ=-6．已知随机变量i ξ满足(1)i i P p ξ==,(0)1i i P p ξ==-,1,2i =.若12102p p <<<,则（ ）（A ）12()()E E ξξ<，12()()D D ξξ< （B ）12()()E E ξξ<，12()()D D ξξ> （C ）12()()E E ξξ>，12()()D D ξξ<（D ）12()()E E ξξ>，12()()D D ξξ>7．集合230123{|222}P x x a a a a ==+⨯+⨯+⨯，其中{0,1},0,1,2,3i a i ∈=．则集合P 中元素的个数及所有元素之和分别是（）（A ）16，120 （B ）8，120 （C ）16，60（D ）8，608．设函数32,e,ln ,e x x x y a x x ⎧-+<⎪=⎨≥⎪⎩的图象上存在两点,P Q ,使得POQ △是以O 为直角顶点的直角三角形(其中O 为坐标原点),且斜边的中点恰好在y 轴上,则实数a 的取值范围是（ ） （A ）1(0,]e 1+ （B ）1(,]e 1-∞+ （C ）1[+)e 1∞+, （D ）R二、填空题(本大题共6小题，每小题5分，共30分．请把结果填在答题纸的相应位置.)9．已知复数12i 1iz +=+，其中i 是虚数单位，则z 的模是________．10．圆12cos 12sin x y θθ=-+⎧⎨=+⎩(θ为参数)被x 轴截得的弦长为________．11．现有5名教师要带3个兴趣小组外出学习考察，要求每个兴趣小组的带队教师至多2人，则不同的带队方案有________种．（用数字作答） 12．观察下列一组等式1+2=3 2+3+4+5=14 3+4+5+6+7+8=33 4+5+6+7+8+9+10+11=60照此规律，第n 个等式的右端为________． 13．已知函数22,0,()ln(1),0.x x x f x x x ⎧-+≤⎪=⎨+>⎪⎩若|()|f x ax ≥恒成立，则a 的取值范围是________．14．给定集合{1,2,3,,}n A n =⋅⋅⋅，映射:n n f A A →，若f 满足：① 当,,n i j A i j ∈≠时，()()f i f j ≠；② 任取n m A ∈，若2m ≥，则有{(1),(2),,()}m f f f m ∈⋅⋅⋅．则称映射f 为n n A A →是一个“优映射”．例如：用表1表示的映射33:f A A →是一个优映射．表1 表2 （1已知表2表示的映射44:f A A →是一个优映射，请把表2补充完整（只需填出一个满足条件的映射）；（2）若映射1010:f A A →是“优映射”，且方程()f i i =的解恰有6个，则这样的“优映射”的个数是________．三、解答题 (本大题共6小题，共80分，解答应写出文字说明证明过程或演算步骤.） 15．（本小题13分）甲、乙两人进行射击比赛，各射击4局，每局射击10次，射击命中目标得1分，未命中目标得0分．两人4局的得分情况如下：（Ⅰ）若从甲的4局比赛中，随机选取2局，求这2局的得分恰好相等的概率；（Ⅱ）如果7x y ==，从甲、乙两人的4局比赛中随机各选取1局，记这2局的得分和为X ,求X 的分布列和数学期望；（Ⅲ）在4局比赛中，若甲、乙两人的平均得分相同，且乙的发挥更稳定，写出x 的所有可能取值．（结论不要求证明） 16．（本小题13分）已知数列{}n a 中，11a =，且12()2nn na a n a *+=∈+N . （Ⅰ）求234,,a a a 的值；（Ⅱ）试猜想这个数列的通项公式，并用数学归纳法证明． 17．（本小题13分）已知函数32()4f x ax bx x =++的极小值为8-，其导函数()y f x '=的图象经过点(2,0)-，如图所示．（Ⅰ）求()f x 的解析式；（Ⅱ）若函数()y f x k =-在区间[3,2]-上有两个不同的零点，求实数k 的取值范围． 18．（本小题13分）某公司计划购买2台机器，该种机器使用三年后即被淘汰．机器有一易损零件，在购进机器时，可以额外购买这种零件作为备件，每个200元，在机器使用期间，如果备件不足再购买，则每个500元．现需决策在购买机器时应同时购买几个易损零件，为此搜集并整理了100台这种机器在三年使用期内更换的易损零件数，得下面柱状图：以这100台机器更换的易损零件数的频率代替1台机器更换的易损零件数发生的概率，记X 表示2台机器三年内共需更换的易损零件数，n 表示购买2台机器的同时购买的易损零件数． （Ⅰ）求X 的分布列；（Ⅱ）若要求()0.5P X n ≤≥，确定n 的最小值；（Ⅲ）以购买易损零件所需费用的期望值为决策依据，在19n =与20n =之中选其一，应选用哪个？ 19．（本小题14分）已知函数e ()(ln )()xf x a x x a x=--∈R ．（Ⅰ）当1a =时，试求()f x 在(1,(1))f 处的切线方程；（Ⅱ）当0a ≤时，试求()f x 的单调区间；（Ⅲ）若存在12(0,1),(0,1)x x ∈∈，使得12()()f x f x =，试求a 的取值范围．20．（本小题14分）对于项数为m 的有穷数列{}n a ,令12max{,,,}(1,2,,)k k b a a a k m =⋅⋅⋅=⋅⋅⋅,即kb 为12,a a ,…k a 中的最大值, 称数列{}n b 为{}n a 的上界数列, 如1, 3, 2, 5的上界数列是1, 3, 3, 5．（Ⅰ）若各项均为正整数的数列{}n a 的上界数列为2, 4, 4, 5, 写出所有的{}n a ；（Ⅱ）设{}n b 是{}n a 的上界数列, 满足1k m k a b C -++=(C 为常数,1,2,,k m =⋅⋅⋅),求证:k k b a =；（Ⅲ）若各项为正整数的数列{}n a 的项数5m =, 其上界数列{}n b 满足11b =,510b =,求满足条件的数列{}n a 和{}n b 的个数．。

人大附中2019~2020学年度第二学期高二年级数学期末练习说明：本试卷共三道大题，18道小题，考试时间为90分钟；试卷分为I 、Ⅱ卷，其中I 卷为闭卷考题，满分40分，限时30分钟，Ⅱ卷为开卷考题，满分55分，限时60分钟；全卷卷面共95分，加上5分卷面分，满分100分，作为模块2-2成绩；试卷共3页；请在指定位置作答，并在答题卡上填写个人信息.I 卷（闭卷考题，30分钟）一、选择题（本大题共10小题，每小题4分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.）1. 若i 是虚数单位，则(1)(1)i i +-=（ ） A. 0 B. 2 C. 1D. 1-【答案】B 【解析】 【分析】直接根据复数的运算，计算结果，得到答案 【详解】(1)(1)i i +-=211(1)2i -=--=. 故选：B.【点睛】本题考查了复数的乘法运算，属于基础题. 2. 下列求导运算不正确的是（ ） A. 211x x '⎛⎫=-⎪⎝⎭B. 1(1ln )1x x'+=+C. ()22ln 2x x '=D. (cos )sin x x '=-【答案】B 【解析】 【分析】直接利用导数公式和运算法则求解.【详解】A. 由导数公式得211x x '⎛⎫=- ⎪⎝⎭，故正确；B. 由导数运算法则得1(1ln )x x'+=，故错误；C. 由导数公式得()22ln 2x x '=，故正确；D. 由导数公式得(cos )sin x x '=-，故正确； 故选：B【点睛】本题主要考查导数公式和运算法则的应用，属于基础题.3. 一质点做直线运动，若它所经过的路程与时间的关系为2()43s t t =-（()s t 的单位：m ，t 的单位：s ），则5t =时的瞬时速度为（ ） A. 7m /sB. 10m /sC. 37m /sD.40m /s【答案】D 【解析】 【分析】利用导数求瞬时速度即可【详解】∵()22453453404t s t t t+∆--⨯+∆==+∆∆∆，∴()()005lim lim 40440t t ss t t ∆→∆→∆'==∆=∆＋故选：D【点睛】本题考查利用导数求瞬时速度，属于基础题.4. 曲线421y x ax =++在点(1, 2)a -+处的切线斜率为8，则实数a 的值为（ ） A. 6- B. 6 C. 12D. 12-【答案】A 【解析】 【分析】先求导函数,再利用导数的几何意义,建立方程,即可求得a 的值. 【详解】由421y x ax =++，得342y x ax '=+，则曲线421y x ax =++在点(1, 2)a -+处的切线斜率为428a --=，得6a =-. 故选：A.【点睛】本题考查导数的几何意义，函数导数的计算，考查学生的计算能力，属于基础题.5. 若函数32()()f x x ax x x =++∈R 不存在极值点，则a 的取值范围是（ ）A. a <a >B. a ≤a ≥C a << D. a ≤≤【答案】D 【解析】 【分析】由已知条件得2()3210f x x ax '=++=只有一个实数根或没有实数根，从而24120,a =-≤ 由此能求出a 的取值范围.【详解】32()f x x ax x =++，2()321f x x ax '∴=++32()2f x x ax x =+++ 在定义域内不存在极值， 2()3210f x x ax '∴=++= 只有一个实数根或没有实数根，24120a ∴∆=-≤，a ≤≤故选：D.【点睛】本題主要考查极值的概念，利用导数研究函数的极值，考查发推理论证能力，转化能力，属于中档题.6. 在一次调查中，甲、乙、丙、丁四名同学阅读量有如下关系：同学甲、丙阅读量之和与乙、丁阅读量之和相同，同学丙、丁阅读量之和大于甲、乙阅读量之和，乙的阅读量大于甲、丁阅读量之和.那么这四名同学中阅读量最大的是（ ） A. 甲 B. 乙C. 丙D. 丁【答案】C 【解析】 【分析】设甲、乙、丙、丁的阅读量分别为1x 、2x 、3x 、4x ，根据题意得出等式与不等式，利用不等式的基本性质可得出1x 、2x 、3x 、4x 的大小关系，进而可得出结论.【详解】设甲、乙、丙、丁的阅读量分别为1x 、2x 、3x 、4x ，则10x ≥，20x ≥，30x ≥，40x ≥.由于同学甲、丙阅读量之和与乙、丁阅读量之和相同，则1324x x x x +=+，① 同学丙、丁阅读量之和大于甲、乙阅读量之和，则1234x x x x +<+，② 乙的阅读量大于甲、丁阅读量之和，则214x x x >+，③ ②-①得()2332232320x x x x x x x x -<-⇒-<⇒<， ②+①得1232341422x x x x x x x x ++<++⇒<， 由③得21x x >，24x x >，所以，1423x x x x <<<. 即阅读量最大的是丙. 故选：C.【点睛】本题考查推理案例的问题，关键是将语句之间的关系转化为等式与不等式关系，考查推理能力，属于基础题．7. 下列区间是函数sin cos y x x x =+的单调递减区间的是（ ） A. (0,)πB. 3,22ππ⎛⎫⎪⎝⎭C. (,2)ππD.35,22ππ⎛⎫ ⎪⎝⎭【答案】B 【解析】 【分析】先求出导函数，在给定的区间判断导数的正负，从而判断函数的单调性，逐项排除可得答案. 【详解】由已知得()()sin sin cos sin cos sin cos y x x x x x x x x x x x ''''=++=+-=， A.当0,2x π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，cos 0x >，所以0y '>，sin cos y x x x =+是单调递增函数，错误； B. 3,22x ππ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，cos 0x <，cos 0y x x '=<，sin cos y x x x =+是单调递减函数，正确；C. 3,22x ππ⎛⎫∈⎪⎝⎭时，cos 0x >，所以0y '>，sin cos y x x x =+是单调递增函数，错误； D. 35,22x ππ⎛⎫∈⎪⎝⎭时，cos 0x >，所以0y '>，sin cos y x x x =+是单调递增函数，错误. 故选：B.【点睛】本题考查了利用导数判断函数在给定区间的单调性，属于基础题.8. 设点P 是曲线31y x =+上的任意一点，P 点处的切线倾斜角为α，则α的取值范围为（ ） A. 20,,23πππ⎡⎫⎡⎫⋃⎪⎪⎢⎢⎣⎭⎣⎭B. 50,,26πππ⎡⎫⎡⎫⎪⎪⎢⎢⎣⎭⎣⎭C. 2,3ππ⎡⎫⎪⎢⎣⎭D. 5,26ππ⎛⎤⎥⎝⎦ 【答案】A 【解析】 【分析】先求函数的导数的范围，即曲线斜率的取值范围，从而求出切线的倾斜角的范围．【详解】由函数31y x =+得23y x '=≥设()00,P x y ，则曲线在点P 处的切线的斜率0|x x k y ='=≥又点P 处的切线倾斜角为α，则tan k α=≥又[0,)απ∈，所以2023ππαπ⎡⎫⎡⎫∈⎪⎪⎢⎢⎣⎭⎣⎭，， 故选：A.【点睛】本题考查导数的几何意义，直线的倾斜角与斜率，属于基础题. 9. 对于R 上可导的任意函数()f x ，若当2x ≠时满足()02f x x '≤-，则必有（ ） A. ()()()1322f f f +< B. ()()()1322f f f +≤ C. ()()()1322f f f +≥ D. ()()()1322f f f +>【答案】B【解析】 【分析】 根据()02f x x '≤-，得到2x >时，()f x 单调非递增函数，2x <时，()f x 单调非递减函数求解. 【详解】因为()02f x x '≤-， 所以当20x ->，即2x >时，()0f x '≤，则()f x 单调非递增函数，所以()()32f f ≤；当20x -<，即2x <时，()0f x '≥，()f x 单调非递减函数， 所以()()12f f ≤；由不等式的性质得：()()()1322f f f +≤. 故选：B【点睛】本题主要考查导数与函数的单调性以及不等式的基本性质，属于中档题.10. 甲乙两人进行乒乓球友谊赛，每局甲胜出概率是()01p p <<，三局两胜制，甲获胜概率是q ，则当q p -取得最大值时，p 的取值为（ ）A.12B.12-C.12 D.23【答案】C 【解析】 【分析】采用三局两胜制，则甲在下列两种情况下获胜：甲净胜二局，前二局甲一胜一负，第三局甲胜，由此能求出甲胜概率，进而求得的最大值.【详解】采用三局两胜制，则甲在下列两种情况下获胜： 甲净胜二局概率为2p ；前二局甲一胜一负，第三局甲胜概率为12(1)C p p p -⋅22(1)p p =-则22(1)q p p p =+-，得q p -222(1)p p p p =+--3223p p p =-+-(01)p <<，设3223y p p p =-+-，(01)p <<，则2661y p p '=-+-33336()()p p -+=--- 则函数y3333(0,),(,1)66-+单调递减，在3333(,)66-+单调递增， 故函数在336p =+处取得极大值，也是最大值. 故选：C.【点睛】本题考查了概率的求法和应用以及利用导数求函数最值的方法，解题时要认真审题，注意等价转化思想和分类讨论思想的合理运用，属于中档题.Ⅱ卷（开卷考题，60分钟）二、填空题（本大题共5小题，每小题5分，共25分.请把结果填在答题纸上的相应位置.）11. 函数()(3)x f x x e =-的单调递减区间是___________. 【答案】(,2)-∞ 【解析】 【分析】首先对()(3)xf x x e =-求导，可得()(2)x f x x e '=-，令()0f x '<，解可得答案．【详解】解：3e ()[()e ]()e (e 2)3x x x xf x x x x '=-'=+-=- 由()0f x '<得2x <，故()f x 的单调递减区间是(,2)-∞ 故答案为：(,2)-∞【点睛】本题考查利用导数研究函数的单调性，属于基础题.12. 在复平面上，一个正方形三个项点对应的复数分别是0、12i +、2i -+，则该正方形的第四个顶点对应的复数是__________． 【答案】13i -+ 【解析】 【分析】设第4个顶点为(),a b ，利用向量相等列方程求解即可.【详解】因为正方形的三个项点对应的复数分别是0、12i +、2i -+， 所以正方形三个顶点对应的坐标为()0,0，()1,2，()2,1-， 设第4个顶点(),a b ，则()()()1,220,102,1a b --=---=-， ∴1a =-，3b =，即第4个顶点为()1,3-． 所以第4个顶点对应的复数为13i -+【点睛】本题主要考查复数的几何意义，向量相等，属于基础题..13. 已知32()(1)3(1)f x x x f xf ''=++-，则(1)(1)f f ''+-的值为___________. 【答案】34-. 【解析】 【分析】求出导函数，分别代入1和-1得到方程组，解得9(1)8f '-=-，3(1)8f '=，再相加可得答案.【详解】由32()(1)3(1)f x x x f xf ''=++-，得2()32(1)3(1)f x x xf f '''=++-，所以(1)32(1)3(1)f f f '''=++-，①(1)32(1)3(1)f f f '''-=-+-②由①②得9(1)8f '-=-，3(1)8f '=, 则3(1)(1)4f f ''+-=-. 故答案为：34-. 【点睛】本题考查了导数的计算，属于基础题.14. 已知函数()f x 的导函数为()f x '，能说明“若()0f x '<对任意的(0,)x ∈+∞都成立且()00f >，则()f x 在(0,)+∞上必有零点”为假命题的一个函数是___________. 【答案】1()2xy = 【解析】 【分析】由题得()f x 在(0,)+∞上递减，且()00f >，在(0)+∞与x 轴无交点，选中这样的一个函数即可.【详解】“若()0f x '<对任意的(0,)x ∈+∞都成立且()00f >”,则在(0,)+∞上递减， 且()00f >，再由“()f x 在(0,)+∞上必有零点”为假命题，可得()f x 的图象在(0)+∞与x 轴无交点，这样的函数可以是xy a =(01)a <<，故答案为：1()2xy =【点睛】本题考查了函数的单调性，零点的概念的理解，考查了分析推理能力，是一个开放题，答案不唯一，属于基础题. 15. 已知函数ln 1()x f x x-=，下列命题中： ①()f x 在其定义域内有且仅有1个零点； ②()f x 在其定义域内有且仅有1个极值点； ③12,(0,)x x ∃∈+∞，使得()()12f x f x =；④1(0,)x ∀∈+∞，2(0,)x ∃∈+∞，使得()()12f x f x <； ⑤当1x >时，函数()y f x =的图像总在函数21y x=-的图像的下方. 其中真命题有___________.（写出所有真命题的序号） 【答案】①②③⑤ 【解析】 【分析】利用导数的单调性和极值，逐个讨论每个命题即可 【详解】22ln '(),0xf x x x-=>，令'()0f x =，有2x e =，20x e <<时，'()0f x >，2x e >时，'()0f x <，()220f e e -=>，又x e >时，()0f x >，而()0f e =，故()f x 有且只有一个零点，①正确；导数为0的点附近的导数值符号不同，故2e 为极值点，从而②正确； 令21()()2h x f x e -=-，由上面分析知，()h x 在()2,e e 上必有一个零点，()33402eh e e-=>，()244602e h e ρ-=<，故必有一个零点，所以，12,(0,)x x ∃∈+∞，()()120h x h x ==，即()()21212f x f x e -==，所以，③正确；取21x e =，为极大值也为最大值，不存在2x 使得()()12f x f x <，④错误；令2ln 1ln 1()11x x g x x x x-+=--=-， 2ln '()0,01xg x x x=<<<，所以，()(1)0g x g >=，所以，⑤正确； 故答案为：①②③⑤【点睛】本题考查导数单调性和极值问题，主要考查学生的数形结合能力，属于难题三、解答题（本大题共3小题，共35分，含卷面分5分，解答应写出文字说明过程或演算步骤，请将答案写在答题纸上的相应位置.）16. 已知函数3()395f x x x =-+. （1）求函数()f x 的单调递减区间；（2）求函数()f x 在[]3,3-上的最大值和最小值. 【答案】（1）()1,1-；（2）最大值为59，最小值为49- 【解析】 【分析】（1）求出()f x '，令()0f x '<，得到函数()f x 的单调递减区间；（2）求出函数在[]3,3-的单调性，根据极值和端点值，求得最值.【详解】（1）()2999(1)(1)f x x x x =-+-'=，x ∈R令()0f x '<，得11x -<<，所以()f x 的减区间为()1,1-.（2）由（1），令()0f x '>，得1x <-或1x >知：[]3,1x ∈--，()f x 为增函数， []1,1x ∈-，()f x 为减函数，[]1,3x ∈，()f x 为增函数.()349f -=-，()111f -=，()11f =-，()539f =.所以()f x 在区间[]3,3-上的最大值为59，最小值为49-.【点睛】本题考查了利用导数研究函数的单调性和求函数的最值，属于基础题.17. 如图，广场上有一盏路灯距离地面10米，记灯杆的底部为A .把路灯看作一个点光源，身高1.5米的女孩站在离A 点5米的点B 处.回答下面的问题：（1）设女孩站在B 处看路灯的仰角为θ，则与θ最接近的角度为（ ）A.30B.45︒C.60︒D.75︒（2）若女孩以A 为圆心、以5m 为半径绕着灯杆走一圈，则人影扫过的图形是什么？求这个图形的面积；（结果保留1位小数）（3）以点B 为原点，直线AB 为x 轴（点A 在x 轴的正半轴上），过点B 且与AB 垂直的直线为y 轴建立平面直角坐标系.设女孩绕灯杆行走的轨迹为M ，且M 上任意一点(, )P x y 均满足||||PA AB x -=，记点A 关于点B 的对称点为点C ，若直线PC 与曲线M 相切，求||PA 的长.【答案】（1）C ；（2）30.2（3）10【解析】【分析】（1）画出示例图，找到仰角θ，计算正切值，再估计θ的值；（2）人影扫过的图形为圆环，计算两圆的半径，求得圆环的面积；（3）用直译法求出M 的轨迹方程，求得C 点坐标，设出过C 的切线方程，与M 的轨迹方程联立，求出切点P ，求得||PA 的长.【详解】（1）作示意图如图所示：则10 1.58.5DE =-=，5CE =，则8.5tan 1.75DE CE θ===3≈ 故与θ最接近的角度为60︒. （2）由（1）中示意图知，人影为MB ，扫过的图形为圆环，设这个圆环的面积为S ， 则tan DA MA θ=，得10tan 1.7DA MA θ==10017=， 则2222100()[()5]17S MA AB ππ=-=-≈30.2 （3）由题(5,0)A ，则由||||PA AB x -=22(5)5x y x -+=，得220y x =，点A 关于点B 的对称点为点(5,0)C -，设过C 与曲线M 相切的切线方程为5x my =-又220y x =，得220100y my =-，即2201000y my -+=，则2(20)41000m ∆=-⨯=，得1m =±，代回得5,10x y ==±，即切点(5,10)P ±，则10PA =18. 如图，等腰梯形ABCD 中，//AD BC ，AB CD =，BC 中点为O ，连接DO ，已知2DO =，()20BC a a =>，设DOC θ∠=，0,2πθ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，梯形ABCD 的面积为()f θ；（1）求函数()y f θ=的表达式；（2）当2a =时，求()y fθ=的极值； （3）若()2f θθ>对定义域内的一切θ都成立，求a 的取值范围.【答案】（1）()fθ4sin 2sin 2θθ=+，0,2πθ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭；（2）33；（3）2a π≥ 【解析】【分析】（1）分别计算OCD ，ABO ，AOD △的面积，得到函数()y fθ=的表达式； （2）利用导数研究函数的极值；（3）由()2f θθ>，0,2πθ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭恒成立，转化为sin 2sin a θθθ->，0,2πθ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭恒成立，再构造函数sin 2()sin g θθθθ-=，0,2πθ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，利用导数研究函数()g θ的最值，需多次构造函数利用导数研究函数的单调性最值，最终证得()g θ在(0,)2π递增，得到答案. 【详解】（1）连接AO ，作AM BC ⊥于M ，DN ⊥BC 于N ，如图所示则1sin 2ODC ABO SS OD OC θ==⋅sin a θ=，又24cos AD ON θ==， 则1sin 4cos sin 2sin 22AOD S AD OD θθθθ=⋅== 故()y f θ=2DOC AOD S S =+2sin 2sin 2a θθ=+，0,2πθ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭（2）由2a =，则()y f θ=4sin 2sin 2θθ=+，0,2πθ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭， 则2()4cos 4cos 24(2cos cos 1)4(2cos 1)(cos 1)f θθθθθθθ'=+=+-=-+， 由0,2πθ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，则cos 10θ+>，当(0,)3πθ∈时，()0f θ'>，当(,)32ππθ∈时，()0f θ'<， 故()f θ在(0,)3π递增，在(,)32ππ递减，故()y f θ=的极值为()3π=f 24sin 2sin 33ππ+=（3）由()2f θθ>，0,2πθ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭恒成立，则2sin 2sin 22a θθθ+>，0,2πθ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭恒成立， 则sin 2sin a θθθ->，0,2πθ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭恒成立， 令sin 2()sin g θθθθ-=，0,2πθ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，则()2cos sin g θθθθ=- ，0,2πθ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭， 令()sin h θθθ=，0,2πθ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，则2sin cos ()sin h θθθθθ-'=，0,2πθ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭， 令()sin cos u θθθθ=-，0,2πθ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，则()sin 0u θθθ'=>， 则()u θ在(0,)2π递增，则()(0)0u u θ>=，则()0h θ'>，则()θh 在(0,)2π递增， 则()g θ在(0,)2π递增，则()()22g g ππθ<=，故2a π≥ 【点睛】本题考查了三角形的面积公式，利用导数研究函数的单调性和最值，考查了学生分析推理能力，考查了分离变量，构造函数等基本技巧，研究函数性质时，需多次构造函数，利用导数研究函数的单调性最值，难度较大.。

2019北京人大附中高二（下）期末数学第I卷(共17题，满分100分)一、选择题(共8个小题，每小题5分，共40分)1. 已知集合A={1，2，3，4，5}，且A∩B=A，则集合B可以是A. {}B. {}C. {x}D. {1，2，3}2. 下列函数中，既是偶函数又在区间（0，+∞）上单调递增的是A. B. lnC. D. cosx3. “α=”是“sinα=”成立的A. 充分而不必要条件B. 必要而不充分条件C. 充分必要条件D. 既不充分也不必要条件4. 设命题P：,lnx≤x-1,则为A. , lnx>x-1B. ，ln≤-1C. , lnx>x-1D. ，ln>-15. 函数f（x）=-5的零点所在的区间是A. （1，2）B. （2，3）C. （3，4）D. （4，5）6. 已知a=，b=，c=，则a，b，c的大小关系是A. c<b<aB. a<b<cC. b<c<aD. c<a<b7. 已知△ABC中，A，B，C的对边的长分别为a,b,c,A=120°，a=，△ABC的面积为，则c+b=A. 4.5B. 4C. 5D. 68. 已知函数f（x）=2cos（）（）满足：f（）=f（），且区间（，）内有最大值但没有最小值，给出下列四个命题：：f（x）在[0,2]上单调递减；：f（x）的最小正周期是4；：f（x）的图象关于直线x=对称；：f（x）的图象关于点（-，0）对称其中的真命题的个数是A. 1B. 2C. 3D. 4二、填空题（本大题共6小题。

每小题5分，共30分）9. 函数y=（）的定义域是10. 在△ABC中，A，B，C的对边的长分别为a,b,c,已知a=1,sinA=c=-，则c=11. 设tanα，tanβ是方程-3x+2=0的两个根，则tan（α+β）=12. 小甲在学校选修课中了解到艾宾浩斯记忆曲线，为了解自己记忆一组单词的情况，她记录了随后一个月的有关数据，绘制散点图，拟合了记忆保持量与时间（天）之间的函数关系；F（X）=，某同学根据小菲拟合后的信息得到以下结论；①随着时间的增加，小菲的单词记忆保持量降低；②9天后，小菲的单词记忆保持量低于40%；③26天后，小菲的单词记忆保持量不足20%其中正确的结论序号有。