北京市人大附中2019届高三高考信息卷(一)理科数学试题

2019年北京市人大附中高考数学模拟试卷（理科）（一）（3月份）副标题一、选择题（本大题共20小题，共100.0分）1.已知全集U=R，集合A={-2，-1，0，1，2}，B={x|x2≥4}，则如图中阴影部分所表示的集合为（）A. 0，B.C. D. 0，2.若复数z=，则|z|=（）A. 8B.C. 2D.3.某三棱锥的三视图如图所示，则该三棱锥的体积为（）A.B.C. 2D.4.已知a=，b=，c=，则（）A. B. C. D.5.已知数列{a n}的前n项和S n=2+λa n，且a1=1，则S5=（）A. 27B.C.D. 316.已知m，n是两条不同直线，α，β是两个不同平面，则下列命题正确的是（）A. 若，垂直于同一平面，则与平行B. 若m，n平行于同一平面，则m与n平行C. 若，不平行，则在内不存在与平行的直线D. 若m，n不平行，则m与n不可能垂直于同一平面7.函数f（x）=a x-1（a＞0，a≠1）的图象恒过点A，则下列函数中图象不经过点A的是（）A. B. C. D.8.已知函数y=sin（ωx+φ）的最小正周期为，直线是其图象的一条对称轴，则下面各式中符合条件的解析式为（）A. B.C. D.9.阅读如图所示的程序框图，若运行相应的程序输出的结果为0，则判断框中的条件不可能是（）A. B. C. D.10.已知双曲线C：-=1（a＞0，b＞0）的右焦点F2到渐近线的距离为4，且在双曲线C上到F2的距离为2的点有且仅有1个，则这个点到双曲线C的左焦点F1的距离为（）A. 2B. 4C. 6D. 811.已知x2+y2=4，在这两个实数x，y之间插入三个实数，使这五个数构成等差数列，那么这个等差数列后三项和的最大值为（）A. B. C. D.12.函数，方程[f（x）]2-（m+1）f（x）+1-m=0有4个不相等实根，则m的取值范围是（）A. B. C. D.13.设集合A={x∈Z|x2-2x-3＜0}，B={-1，0，1，2}，则A∩B=（）A. B. 1， C. 0， D.14.已知i为虚数单位，复数z=，则z3=（）A. iB.C. 1D.15.命题“∀x∈[0，2]，x2-2x≤0”的否定是（）A. ∀ ∈，B. ∈，C. ∀ ，D. ∈，16.f（x）是R上的奇函数，且f（x）=，则f（-）=（）A. B. C. 1 D.17.已知焦点在x轴上的双曲线的一条渐近线的倾斜角为，且其焦点到渐近线的距离为2，则该双曲线的标准方程为（）A. B. C. D.18.两名同学分3本不同的书，其中一人没有分到书，另一人分得3本书的概率为（）A. B. C. D.19.中国古代数学著作《算学启蒙》中有关于“松竹并生”的问题：松长五尺，竹长两尺，松日自半，竹日自倍，松竹何日而长等．意思是现有松树高5尺，竹子高2尺，松树每天长自己高度的一半，竹子每天长自己高度的一倍，问在第几天会出现松树和竹子一般高？如图是源于其思想的一个程序框图，若输入的x=5，y=2，输出的n为4，则程序框图中的中应填（）A.B.C.D.20.如图，网格纸上小正方形的边长为1，某几何体的三视图如图所示，则该几何体的外接球表面积为（）A. B. C. D.二、填空题（本大题共10小题，共50.0分）21.已知向量=（2，-4），=（-3，-4），则向量与夹角的余弦值为______．22.设x，y满足约束条件，则z=x-y的最大值是______．23.学校艺术节对同一类的A，B，C，D四项参赛作品，只评一项一等奖，在评奖揭晓前，甲、乙、丙、丁四位同学对这四项参赛作品预测如下：甲说：“A作品获得一等奖”；乙说：“C作品获得一等奖”丙说：“B，D两项作品未获得一等奖”丁说：“是A或D作品获得一等奖”若这四位同学中只有两位说的话是对的，则获得一等奖的作品是______．24.正四面体ABCD的棱长为4，E为棱BC的中点，过E作其外接球的截面，则截面面积的最小值为______．25.双曲线-y2=1的焦距是______，渐近线方程是______．26.若变量x，y满足，则x2+y2的最大值是______．27.已知圆C的参数方程为（θ为参数），以原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，直线l的极坐标方程为ρsinθ+ρcosθ=1，则直线l截圆C所得的弦长是______．28.已知函数，，＜，若关于x的方程f（x）=k有两个不同零点，则k的取值范围是______．29.如图所示：正方形上连接着等腰直角三角形，等腰直角三角形腰上再连接正方形，…，如此继续下去得到一个树形图形，称为“勾股树”．若某勾股树含有1023个正方形，且其最大的正方形的边长为，则其最小正方形的边长为______．30.设W是由一平面内的n（n≥3）个向量组成的集合．若∈，且的模不小于W中除外的所有向量和的模．则称是W的极大向量．有下列命题：①若W中每个向量的方向都相同，则W中必存在一个极大向量；②给定平面内两个不共线向量，，在该平面内总存在唯一的平面向量，使得，，中的每个元素都是极大向量；③若，，，，，中的每个元素都是极大向量，且W1，W2中无公共元素，则W1∪W2中的每一个元素也都是极大向量．其中真命题的序号是______．三、解答题（本大题共13小题，共162.0分）31.在△ABC，，BC=2．（1）若AC=3，求AB的长；（2）若点D在边AB上，AD=DC，DE⊥AC，E为垂足，，求角A的值．32.某城市随机抽取一年（365天）内100天的空气质量指数API的监测数据，结果统计如表：（记为ω）的关系式为：S=，，＜，＞，试估计在本年内随机抽取一天，该天经济损失S大于200元且不超过600元的概率；（2）若本次抽取的样本数据有30天是在供暖季，其中有8天为重度污染，完成下面2×2列联表，并判断能否有95%的把握认为该市本年空气重度污染与供暖有关？附：k2=33.如图，多面体ABCDEF中，底面ABCD是菱形，∠BCD=60°，四边形BDEF是正方形且DE⊥平面ABCD．（Ⅰ）求证：CF∥平面ADE；（Ⅱ）若AE=，求多面体ABCDEF的体积V．34.已知椭圆C：+=1（a＞b＞0）的离心率为，以M（1，0）为圆心，椭圆的短半轴长为半径的圆与直线x-y+-1=0相切．（1）求椭圆C的标准方程；（2）已知点N（3，2），和平面内一点P（m，n）（m≠3），过点M任作直线l 与椭圆C相交于A，B两点，设直线AN，NP，BN的斜率分别为k1，k2，k3，k1+k3=3k2，试求m，n满足的关系式．35.已知函数f（x）=ln x-kx+1．（1）求函数f（x）的单调区间；（2）若f（x）≤0恒成立，试确定实数k的取值范围；（3）证明：＜∈，＞36.已知曲线C1：x+y=和C2：（φ为参数），以原点O为极点，x轴的正半轴为极轴，建立极坐标系，且两种坐标系中取相同的长度单位．（1）把曲线C1、C2的方程化为极坐标方程（2）设C1与x轴、y轴交于M，N两点，且线段MN的中点为P．若射线OP与C1、C2交于P、Q两点，求P，Q两点间的距离．37.设a，b，c＞0，且ab+bc+ca=1，求证：（1）a+b+c≥；（2）++≥（++）38.已知．（I）求的值；（Ⅱ）求f（x）的单调递增区间．39.某车险的基本保费为a（单位：元），继续购买车险的投保人称为续保人，续保人本年度的保费与其上年度出险次数的关联如下：随机调查了该险种的1000名续保人在一年内的出险情况，得到如下统计表：（Ⅰ）记为事件：一续保人本年度的保费不高于基本保费，求（）的估计值；（Ⅱ）某公司有三辆汽车，基本保费均为a，根据随机调查表的出险情况，记X为三辆车中一年内出险的车辆个数，写出X的分布列；（Ⅲ）求续保人本年度的平均保费估计值．40.如图，在三棱锥P-ABC中，△ABC和△PAC都是正三角形，AC=2，E、F分别是AC、BC的中点，且PD⊥AB于D，平面PAC⊥平面ABC．（Ⅰ）证明：EF⊥ED；（Ⅱ）求点F到平面PAB的距离．41.已知函数f（x）=e x-a（x+1）．（Ⅰ）若曲线y=f（x）在（0，f（0））处的切线斜率为0，求a的值；（Ⅱ）若f（x）≥0恒成立，求a的取值范围；（Ⅲ）求证：当a=0时，曲线y=f（x）（x＞0）总在曲线y=2+ln x的上方．42.已知⊙O：x2+y2=4和椭圆C：x2+2y2=4，F是椭圆C的左焦点．（Ⅰ）求椭圆C的离心率和点F的坐标；（Ⅱ）点P在椭圆C上，过P作x轴的垂线，交⊙O于点Q（P，Q不重合），l 是过点Q的⊙O的切线．圆F的圆心为点F，半径长为|PF|．试判断直线l与⊙F 的位置关系，并证明你的结论．43.数列A n：a1，a2，…，a n（n≥2）满足：a k＜1（k=1，2，…，n）．记A n的前k项和为S k，并规定S0=0．定义集合E n={k∈N*，k≤n|S k＞S j，j=0，1，…，k-1}．（Ⅰ）对数列A5：-0.3，0.7，-0.1，0.9，0.1，求集合E5；（Ⅱ）若集合E n={k1，k2，…，k m}（m＞1，k1＜k2＜…＜k m），证明：＜1（i=1，2，…，m-1）；（Ⅲ）给定正整数C．对所有满足S n＞C的数列A n，求集合E n的元素个数的最小值．答案和解析1.【答案】D【解析】解：由Venn图可知阴影部分对应的集合为A∩（∁U B），∵B={x|x2≥4}={x|x≥2或x≤-2}，A={-2，-1，0，1，2}，∴∁U B={x|-2＜x＜2}，即A∩（∁U B）={-1，0，1}故选：D．由图象可知阴影部分对应的集合为A∩（∁U B），然后根据集合的基本运算求解即可本题主要考查集合的基本运算，利用图象先确定集合关系是解决本题的关键，比较基础．2.【答案】D【解析】解：复数z=，则|z|===．故选：D．直接利用复数的模的运算法则化简求解即可．本题考查复数的模的求法，复数的基本运算，是基础题．3.【答案】A【解析】解：由主视图和侧视图可知棱锥的高h=2，结合侧视图和俯视图可知三棱锥的底面ABC为直角三角形，BC=1，AB=2，AB⊥BC，∴三棱锥的体积V==，故选：A．根据三视图判断三棱锥的底面形状和高，代入体积公式计算即可．本题考查了棱锥的结构特征与三视图，体积计算，属于中档题．4.【答案】A【解析】解：由a==b==根据指数函数的单调性，∴a＞b．a==，c=，∴a＜c，可得：b＜a＜c．故选：A．利用指数函数的单调性即可比较大小．本题考查了指数函数的单调性的运用和化简能力．属于基础题．5.【答案】C【解析】解：S n=2+λa n，且a1=1，∴1=a1=S1=2+λ，解得λ=-1．∴n≥2时，S n=2-a n=2-（S n-S n-1），化为：S n-2=（S n-1-2），S1-2=-1，∴S n-2=-，即S n=2-，则S5=2-=，故选：C．S n=2+λa n，且a1=1，可得1=a1=S1=2+λ，解得λ=-1．n≥2时，S n=2-a n=2-（S n-S n-1），化为：S n-2=（S n-1-2），S1-2=-1，利用等比数列的通项公式即可得出．本题考查了等比数列的通项公式与求和公式、数列递推关系，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．6.【答案】D【解析】解：对于A，若α，β垂直于同一平面，则α与β不一定平行，例如墙角的三个平面；故A错误；对于B，若m，n平行于同一平面，则m与n平行．相交或者异面；故B错误；对于C，若α，β不平行，则在α内存在无数条与β平行的直线；故C错误；对于D，若m，n不平行，则m与n不可能垂直于同一平面；假设两条直线同时垂直同一个平面，则这两条在平行；故D正确；故选：D．利用面面垂直、线面平行的性质定理和判定定理对选项分别分析解答．本题考查了空间线面关系的判断；用到了面面垂直、线面平行的性质定理和判定定理．7.【答案】A【解析】解：函数f（x）=y=a x-1（a＞0，a≠1）的图象恒过点A，即x-1=0，可得x=1，那么：y=1．∴恒过点A（1，1）．把x=1，y=1带入各选项，经考查各选项，只有A没有经过A点．故选：A．根据指数函数的性质求出A的坐标，将A的坐标带入考查各选项即可．本题考查了指数函数的性质，恒过定点的求法．属于基础题．8.【答案】A【解析】解：函数y=sin（ωx+φ）的最小正周期为，故：，解得：ω=4，直线是其图象的一条对称轴，故：，（k∈Z）解得：φ=k（k∈Z），当k=1时，φ=，故选：A．直接利用三角函数关系式的恒等变换和正弦型函数的性质的应用求出结果．本题考查的知识要点：三角函数关系式的恒等变变换，正弦型函数的性质的应用，主要考查学生的运算能力和转化能力，属于基础题型．9.【答案】A【解析】解：模拟执行程序，可得前6步的执行结果如下：s=0，n=1；满足条件，执行循环体，s=，n=2；满足条件，执行循环体，s=0，n=3；满足条件，执行循环体，s=0，n=4；满足条件，执行循环体，s=，n=5；满足条件，执行循环体，s=0，n=6…观察可知，s的值以3为周期循环出现，当n的值除以3余1时，可得对应的s 的值为，由于：2014=671×3+1所以：判断条件为n≤2014？时，s=符合题意．故选：A．模拟执行程序框图，依次写出每次循环得到的s，n的值，观察可知，s的值以3为周期循环出现，可得判断条件为n≤2014？时，s=符号题意．本题主要考查了循环结构的程序框图的应用，正确依次写出每次循环得到的s，n的值是解题的关键，属于基础题．10.【答案】D【解析】解：设渐近线为，∵右焦点F2到渐近线的距离为4，∴，即b=4．∵双曲线C上到F2的距离为2的点有且仅有1个，这个点是右顶点，∴c-a=2．∴（c-a）2=4=b，⇒（c-a）4=b2=（c-a）（c+a），∴c+a=（c-a）3=8．则这个点到双曲线C的左焦点F1的距离为c+a=8，故选：D．设渐近线为，可得，即b=4．又c-a=2．即（c-a）2=4=b，⇒（c-a）4=b2=（c-a）（c+a），c+a=（c-a）3=8．即可得到这个点到双曲线C的左焦点F1的距离为c+a=8，本题考查了双曲线的性质，转化思想，属于中档题．11.【答案】D【解析】解：根据题意，设插入的三个数为a、b、c，即构成等差数列的五个数分别为x，a，b，c，y，则有x+y=a+c=2b，则b=，c===，则这个等差数列后三项和为b+c+y=3b=，又由x2+y2=4，设x=2cosα，y=2sinα，则b+c+y=（x+3y）=（cosα+3sinα）=sin（α+φ）≤，即这个等差数列后三项和的最大值为；故选：D．根据题意，设插入的三个数为a、b、c，即构成等差数列的五个数分别为x，a，b，c，y，由等差数列的性质可得b、c的值，分析可得这个等差数列后三项和为b+c+y=3b=，进而设x=2cosα，y=2sinα，则b+c+y=（x+3y）=（cosα+3sinα），利用三角函数性质能求出这个等差数列后三项和的最大值．本题考查等差数列的后三项的最大值的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意等价转化思想的合理运用12.【答案】C【解析】解：函数是连续函数，x=0时，y=0．x＞0时，函数的导数为f′（x）=，当0＜x＜1时，f′（x）＞0，f（x）递增；当x＞1时，f′（x）＜0，f（x）递减，可得f（x）在x=1处取得极大值，f（x）∈（0，]x＜0时，f′（x）=-＜0，函数是减函数，作出y=f（x）的图象，设t=f（x），关于x的方程[f（x）]2-（m+1）f（x）+1-m=0即为t2-（m+1）t+1-m=0，有1个大于实根，一个根在（0，）；由题意可得：解得m∈．故选：C．利用函数的导数，求出函数的极值，利用函数的图象以及极值，判断m的范围即可．求得f（x）的导数，可得单调区间和极值，作出f（x）的图象，设t=f（x），关于x的方程[f（x）]2-（m+1）f（x）+1-m=0，解得t，再由图象可得m的不等式，解不等式即可得到所求范围．本题考查方程的根的个数问题解法，考查数形结合思想方法，以及导数的运用：求单调区间和极值，考查运算能力，属于中档题．13.【答案】B【解析】解：A={x∈Z|-1＜x＜3}={0，1，2}；∴A∩B={0，1，2}．故选：B．先求出集合A={0，1，2}，然后进行交集的运算即可．考查列举法、描述法表示集合的概念，以及交集的运算．14.【答案】B【解析】解：∵z==，∴z3=i3=-i．故选：B．利用复数代数形式的乘除运算化简，再由虚数单位i的性质求解．本题考查复数代数形式的乘除运算，是基础题．15.【答案】D【解析】解：由全称命题的否定为特称命题，可得命题“∀x∈[0，2]，x2-2x≤0”的否定是“x0∈[1，2]，x02-2x0＞0”．故选：D．运用全称命题的否定为特称命题，以及量词和不等号的变化，可得命题的否定．本题考查命题的否定，注意运用全称命题的否定为特称命题，以及量词和不等号的变化，考查转化思想，属于基础题．16.【答案】C【解析】解：f（x）是R上的奇函数，且f（x）=，则f（-）=-f（）=-f（）=-log2=1．故选：C．利用分段函数以及函数的奇偶性转化求解即可．本题考查分段函数的应用，函数的奇偶性的应用，考查计算能力．17.【答案】D【解析】解：由题意可设此双曲线的标准方程为：（a＞0，b＞0）．双曲线的一条渐近线的倾斜角为，取焦点F（c，0），∵焦点到渐近线的距离为3，∴，解得b=2，a=2，因此该双曲线的方程为：-=1．故选：D．利用双曲线的标准方程及其性质、点到直线的距离公式即可得出．本题考查了双曲线的标准方程及其性质、点到直线的距离公式，属于基本知识的考查．18.【答案】B【解析】解：两名同学分3本不同的书，基本事件包含：（0，3），（1a，2），（1b，2），（1c，2），（2，1a），（2，1b），（2，1c），（3，0），共8种情况，其中一人没有分到书，另一人分到3本书的情况有两种，∴一人没有分到书，另一人分得3本书的概率为：p=．故选：B．两名同学分3本不同的书，利用列举法求出基本事件包含8种情况，其中一人没有分到书，另一人分到3本书的情况有两种，由此能求出一人没有分到书，另一人分得3本书的概率．本题考查概率的求法，考查古典概型、列举法等基础知识，考查运算求解能力，考查函数与方程思想，是基础题．19.【答案】C【解析】解：模拟程序的运行，可得x=5，y=2，n=1x=，y=4不满足条件，执行循环体，n=2，x=，y=8，此时，x＞y，不满足条件，执行循环体，n=3，x=，y=16，此时，x＞y，不满足条件，执行循环体，n=4，x=，y=32，此时，x＜y，由题意，此时，应该满足条件，退出循环，输出n的值为4．可得程序框图中的中应填x≤y？故选：C．模拟程序的运行，依次写出每次循环得到的x，y的值，由输出n的值为4，可得判断框内的条件．本题考查了循环结构的程序框图，根据框图的流程判断算法的功能是解题的关键，属于基本知识的考查．20.【答案】D【解析】【分析】由三视图知该几何体是三棱锥，求出外接球的半径，然后求解球的表面积．本题考查了几何体三视图的应用问题，由三视图还原出几何体是解题的关键．【解答】解：如图，由三视图知该几何体是三棱锥的底面是等腰直角三角形，高为2，侧面是等腰三角形与底面的三角形的斜边垂直，底面边长为4，高为4，如图：所以三棱锥的外接球的圆心在侧面等腰三角形的高线上，球心为O，设球的半径为r，则：r2=4+（4-r）2，解得r=，则该几何体的外接球表面积为：4πr2=25π．故选：D．21.【答案】【解析】解：根据题意，设向量与夹角为θ，向量，，则||=2，||=5，且•=2×（-3）+（-4）×（-4）=10，cosθ===，故答案为：．根据题意，设向量与夹角为θ，由向量的坐标计算公式可得||、||以及•的值，由向量数量积的坐标计算公式cosθ=，计算可得答案．本题考查向量的夹角的计算，涉及向量数量积的计算，关键是掌握向量数量积的坐标计算公式．22.【答案】2【解析】解：作出不等式组对应的平面区域如图：由z=x-y得y=x-z，平移直线y=x-z，由图象直线当直线y=x-z经过B（2，0）时，直线y=x-z的截距最小，此时z最大为z=2-0=2，即z=x-y的最大值是2，故答案为：2．作出不等式组对应的平面区域，利用目标函数的几何意义，利用直线平移进行求解即可．本题主要考查线性规划的应用，利用目标函数的几何意义，结合数形结合是解决本题的关键．23.【答案】C【解析】解：根据题意，A，B，C，D作品进行评奖，只评一项一等奖，假设参赛的作品A为一等奖，则甲、丙，丁的说法都正确，乙错误，不符合题意；假设参赛的作品B为一等奖，则甲、乙、丙、丁的说法都错误，不符合题意；假设参赛的作品C为一等奖，则乙，丙的说法正确，甲、丁的说法错误，符合题意；假设参赛的作品D为一等奖，则甲、乙，丙的说法都错误，丁的说法正确，不符合题意；故获得参赛的作品C为一等奖；故答案为：C．根据题意，依次假设参赛的作品为A、B、C、D，判断甲、乙、丙、丁的说法的正确性，即可判断．本题考查了合情推理的问题，注意“这四位同学中有两位说的话是对的”的这一条件．验证法的应用．24.【答案】4π【解析】解：将四面体ABCD放置于正方体中，如图所示可得正方体的外接球就是四面体ABCD的外接球，∵正四面体ABCD的棱长为4，∴正方体的棱长为，可得外接球半径R满足，解得R=E为棱BC的中点，过E作其外接球的截面，当截面到球心O的距离最大时，截面圆的面积达最小值，此时球心O到截面的距离等于正方体棱长的一半，可得截面圆的半径为r==2，得到截面圆的面积最小值为S=πr2=4π．故答案为：4π根据题意，将四面体ABCD放置于如图所示的正方体中，则正方体的外接球就是四面体ABCD的外接球．因此利用题中数据算出外接球半径R=，过E 点的截面到球心的最大距离为，再利用球的截面圆性质可算出截面面积的最小值．本题给出正四面体的外接球，求截面圆的面积最小值．着重考查了正方体的性质、球内接多面体和球的截面圆性质等知识，属于中档题．25.【答案】2y=±x【解析】解：双曲线=1中，a=，b=1，c=，∴焦距是2c=2，渐近线方程是y=±x．故答案为：2；y=±x．确定双曲线中的几何量，即可求出焦距、渐近线方程．本题考查双曲线的方程与性质，考查学生的计算能力，比较基础．26.【答案】10【解析】解：由约束条件作出可行域如图，联立，解得B（3，-1），x2+y2的几何意义为可行域内动点与原点距离的平方，其最大值|OB|2=32+（-1）2=10，故答案为：10．由约束条件作出可行域，再由x2+y2的几何意义，即可行域内动点与原点距离的平方求得答案．本题考查简单的线性规划，考查了数形结合的解题思想方法，是中档题．27.【答案】【解析】解：直线l的极坐标方程为ρsinθ+ρcosθ=1，化为直角坐标系下的普通方程为y+x=1；由圆C的参数方程为（θ为参数），消去参数θ化为普通方程x2+（y-2）2=1，其圆心C（0，2），半径r=1．直线l截圆C所得的弦长=2=．故答案为．利用弦长=，（其中d为弦心距）公式即可计算出．熟练弦长、弦心距及半径三者之间的关系是解题的关键．28.【答案】（0，1）【解析】解：作出f（x）的函数图象如图所示：∵f（x）=k有两个不同解，∴0＜k＜1．故答案为：（0，1）．作出f（x）的函数图象，根据图象得出k的范围．本题考查了函数零点与函数图象的关系，属于中档题．29.【答案】【解析】解：由题意，正方形的边长构成以为首项，以为公比的等比数列，现已知共得到1023个正方形，则有1+2+…+2n-1=1023，∴n=10，∴最小正方形的边长为=．故答案为：．正方形的边长构成以为首项，以为公比的等比数列，利用共得到1023个正方形，借助于求和公式，可求得正方形边长变化的次数，从而利用等比数列的通项公式，即可求最小正方形的边长．本题以图形为载体，考查等比数列的求和公式及通项，关键是的出等比数列模型，正确利用相应的公式．30.【答案】②③【解析】解：在①中，若有几个方向相同，模相等的向量，则无极大向量，故①不正确；在②中，使围成闭合三角形，则任意向量的模等于除它本身外所有向量和的模，故②正确；在③中，3个向量都是极大向量，等价于3个向量之和为0，故中的每个元素都是极大向量时，W1∪W2中的每一个元素也都是极大向量，故③正确．故答案为：②③．在①中，假如所有向量都相等显然是没有极大向量的；在②和③中，关键是：3个向量都是极大向量，等价于3个向量之和为0．本题考查命题真假的判断，考查新定义的应用，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．31.【答案】解：（1）设AB=x，则由余弦定理有：AC2=AB2+BC2-2AB•BC cosB，即32=22+x2-2x•2cos60°，解得：，所以；（2）因为，所以．在△BCD中，由正弦定理可得：，因为∠BDC=2∠A，所以．所以，所以．【解析】（1）设AB=x，通过AC2=AB2+BC2-2AB•BCcosB，求解即可．（2）在△BCD中，由正弦定理可得：，转化求解A即可．本题考查正弦定理以及余弦定理的应用，三角形的解法，考查计算能力．32.【答案】22 8 30 63 7 70 85 15【解析】解：（1）设“在本年内随机抽取一天，该天经济损失S大于200元且不超过600元”为事件A…（1分）由200＜S≤600，得150＜ω≤250，频数为39，…（3分）∴P（A）=…．（4分）K2的观测值K2=≈4.575＞3.841…．（10分）所以有95%的把握认为空气重度污染与供暖有关．…．（12分）（1）由200＜S≤600，得150＜ω≤250，频数为39，即可求出概率；（2）根据所给的数据，列出列联表，根据所给的观测值的公式，代入数据做出观测值，同临界值进行比较，即可得出结论．本题考查概率知识，考查列联表，观测值的求法，是一个独立性检验，我们可以利用临界值的大小来决定是否拒绝原来的统计假设，若值较大就拒绝假设，即拒绝两个事件无关．33.【答案】（Ⅰ）证明：∵底面ABCD是菱形，∴AD∥BC，∵四边形BDEF是正方形，∴DE∥BF，∵BF∩BC=B，∴平面ADE∥平面BCF，∵CF⊂平面BCF，∴CF∥平面ADE．（Ⅱ）解：连结AC，交BD于O，∵四边形BDEF是正方形且DE⊥平面ABCD．∴DE⊥平面ABCD，又AC⊂平面ABCD，∴AC⊥DE，∵底面ABCD是菱形，∴AC⊥BD，又BD∩DE=D，∴AC⊥平面BDEF，∵AE=，∠BCD=60°，∴AD=DE=BD=1，∴AO=CO=，∴多面体ABCDEF的体积：V=2V A-BDEF=2×正方形=2×=．【解析】（Ⅰ）由已知得AD∥BC，DE∥BF，从而平面ADE∥平面BCF，由此能证明CF∥平面ADE．（Ⅱ）连结AC，交BD于O，由线面垂直得AC⊥DE，由菱形性质得AC⊥BD，从而AC⊥平面BDEF，进而多面体ABCDEF的体积V=2V A-BDEF，由此能求出多面体ABCDEF的体积V．本题考查线面平行证明，考查多面体的体积的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意空间思维能力的培养．34.【答案】解：（1）由椭圆C：+=1（a＞b＞0），焦点在x轴上，则M（1，0）到直线x-y+-1=0的距离d==1，∴b=d=1，离心率e===，解得：a=，∴椭圆C的标准方程；（2）①当直线斜率不存在时，由，解得x=1，，不妨设，，，，∵k1+k3=2，∴，∴m，n的关系式为3n=2m．②当直线的斜率存在时，设点A（x1，y1），B（x2，y2），直线l：y=k（x-1），联立椭圆整理得：（3k2+1）x2-6k2x+3k2-3=0，由韦达定理可知：x1+x2=，x1•x2=，∴，=，=．∴，∴m，n的关系式为3n=2m．【解析】（1）由点到直线的距离公式d==1，求得b=1，由e===，即可求得a的值，求得椭圆C的标准方程；（2）当直线斜率不存在时，求出A，B的坐标，得到直线AN，BN的斜率，进一步得到NP的斜率，可得m，n满足的关系式．当直线的斜率存在时，设点A（x1，y1），B（x2，y2），设直线l：y=k（x-1），代入椭圆方程，利用根与系数的关系求得直线AN，BN的斜率和，进一步得到NP的斜率，可得m，n满足的关系式．本题考查椭圆标准方程的求法，考查直线与椭圆的位置关系，考查韦达定理，点到直线的距离公式，直线的斜率公式的综合应用，综合性较强，运算量大，极易出错，属于中档题．35.【答案】解：（1）函数f（x）的定义域为，，，当k≤0时，＞，在（0，+∞）上是增函数，当k＞0时，若∈，时，有＞，若∈，时，有＜，则f（x）在，上是增函数，在，上是减函数．（2）由（1）知k≤0时，f（x）在（0，+∞）上是增函数，而f（1）=1-k＞0，f（x）≤0不成立，故k＞0，又由（1）知f（x）的最大值为，要使f（x）≤0恒成立，则即可，即-ln k≤0，得k≥1．（3）由（2）知，当k=1时，有f（x）≤0在（0，+∞）恒成立，且f（x）在（1，+∞）上是减函数，f（1）=0，即ln x＜x-1，在x∈[2，+∞）上恒成立，令x=n2，则l n n2＜n2-1，即2l n n＜（n-1）（n+1），从而＜，＜得证．【解析】（1）求出函数的定义域，导数，利用导函数的符号，求解函数的单调区间即可．（2）利用（1）的结论，通过函数的最大值，转化求解即可．（3）由（2）知，f（x）在（1，+∞）上是减函数，f（1）=0，即lnx＜x-1，在x∈[2，+∞）上恒成立，令x=n2，则lnn2＜n2-1，即2lnn＜（n-1）（n+1），然后化简求解即可．本题考查函数的导数的综合应用，函数的单调性以及函数的最值的求法，考查转化思想以及计算能力．36.【答案】解：（1）线C1：x+y=和C2：（φ为参数），以原点O 为极点，x轴的正半轴为极轴，建立极坐标系，因为x=ρcosθ，y=ρsinθ，所以C1：，即，所以；C2的普通方程为，所以其极坐标方程为，即．（2）由题意M（，0），N（0，1），所以P（，），所以射线OP的极坐标方程为：，把代入C1得到ρ1=1，P（1，）；把代入C2得到ρ2=2，Q（2，），所以|PQ|=|ρ2-ρ1|=1，即P，Q两点间的距离为1．【解析】（1）利用x=ρcosθ，y=ρsinθ，将普通方程化为极坐标方程即可；（2）求出M，N，P的坐标，得到射线的极坐标方程，分别代入C1、C2得到，P，Q的极坐标，求距离即可．本题考查了普通方程、极坐标方程以及参数方程之间的互化，理解自变量的关系是关键．37.【答案】证明：（1）运用分析法证明．要证a+b+c≥，即证（a+b+c）2≥3，由a，b，c均为正实数，且ab+bc+ca=1，即有a2+b2+c2+2（ab+bc+ca）≥3，即为a2+b2+c2≥1，①由a2+b2≥2ab，b2+c2≥2bc，a2+c2≥2ac，相加可得a2+b2+c2≥zb+bc+ca=1，。

2019年北京市人大附中高考数学模拟试卷（理科）（一）（3月份）副标题一、选择题（本大题共8小题，共40.0分）1.设集合A={x∈Z|x2-2x-3＜0}，B={-1，0，1，2}，则A∩B=（）A. B. 1， C. 0， D.2.已知i为虚数单位，复数z=，则z3=（）A. iB.C. 1D.3.命题“∀x∈[0，2]，x2-2x≤0”的否定是（）A. ∀ ∈，B. ∈，C. ∀ ，D. ∈，4.f（x）是R上的奇函数，且f（x）=，则f（-）=（）A. B. C. 1 D.5.已知焦点在x轴上的双曲线的一条渐近线的倾斜角为，且其焦点到渐近线的距离为2，则该双曲线的标准方程为（）A. B. C. D.6.两名同学分3本不同的书，其中一人没有分到书，另一人分得3本书的概率为（）A. B. C. D.7.中国古代数学著作《算学启蒙》中有关于“松竹并生”的问题：松长五尺，竹长两尺，松日自半，竹日自倍，松竹何日而长等．意思是现有松树高5尺，竹子高2尺，松树每天长自己高度的一半，竹子每天长自己高度的一倍，问在第几天会出现松树和竹子一般高？如图是源于其思想的一个程序框图，若输入的x=5，y=2，输出的n为4，则程序框图中的中应填（）A.B.C.D.8.如图，网格纸上小正方形的边长为1，某几何体的三视图如图所示，则该几何体的外接球表面积为（）A. B. C. D.二、填空题（本大题共6小题，共30.0分）9.双曲线-y2=1的焦距是______，渐近线方程是______．10.若变量x，y满足，则x2+y2的最大值是______．11.已知圆C的参数方程为（θ为参数），以原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，直线l的极坐标方程为ρsinθ+ρcosθ=1，则直线l截圆C所得的弦长是______．12.已知函数，，＜，若关于x的方程f（x）=k有两个不同零点，则k的取值范围是______．13.如图所示：正方形上连接着等腰直角三角形，等腰直角三角形腰上再连接正方形，…，如此继续下去得到一个树形图形，称为“勾股树”．若某勾股树含有1023个正方形，且其最大的正方形的边长为，则其最小正方形的边长为______．14.设W是由一平面内的n（n≥3）个向量组成的集合．若∈，且的模不小于W中除外的所有向量和的模．则称是W的极大向量．有下列命题：①若W中每个向量的方向都相同，则W中必存在一个极大向量；②给定平面内两个不共线向量，，在该平面内总存在唯一的平面向量，使得，，中的每个元素都是极大向量；③若，，，，，中的每个元素都是极大向量，且W1，W2中无公共元素，则W1∪W2中的每一个元素也都是极大向量．其中真命题的序号是______．三、解答题（本大题共6小题，共80.0分）15.已知．（I）求的值；（Ⅱ）求f（x）的单调递增区间．16.某车险的基本保费为a（单位：元），继续购买车险的投保人称为续保人，续保人随机调查了该险种的1000名续保人在一年内的出险情况，得到如下统计表：值；（Ⅱ）某公司有三辆汽车，基本保费均为a，根据随机调查表的出险情况，记X为三辆车中一年内出险的车辆个数，写出X的分布列；（Ⅲ）求续保人本年度的平均保费估计值．17.如图，在三棱锥P-ABC中，△ABC和△PAC都是正三角形，AC=2，E、F分别是AC、BC的中点，且PD⊥AB于D，平面PAC⊥平面ABC．（Ⅰ）证明：EF⊥ED；（Ⅱ）求点F到平面PAB的距离．18.已知函数f（x）=e x-a（x+1）．（Ⅰ）若曲线y=f（x）在（0，f（0））处的切线斜率为0，求a的值；（Ⅱ）若f（x）≥0恒成立，求a的取值范围；（Ⅲ）求证：当a=0时，曲线y=f（x）（x＞0）总在曲线y=2+ln x的上方．19.已知⊙O：x2+y2=4和椭圆C：x2+2y2=4，F是椭圆C的左焦点．（Ⅰ）求椭圆C的离心率和点F的坐标；（Ⅱ）点P在椭圆C上，过P作x轴的垂线，交⊙O于点Q（P，Q不重合），l 是过点Q的⊙O的切线．圆F的圆心为点F，半径长为|PF|．试判断直线l与⊙F 的位置关系，并证明你的结论．20.数列A n：a1，a2，…，a n（n≥2）满足：a k＜1（k=1，2，…，n）．记A n的前k项和为S k，并规定S0=0．定义集合E n={k∈N*，k≤n|S k＞S j，j=0，1，…，k-1}．（Ⅰ）对数列A5：-0.3，0.7，-0.1，0.9，0.1，求集合E5；（Ⅱ）若集合E n={k1，k2，…，k m}（m＞1，k1＜k2＜…＜k m），证明：＜1（i=1，2，…，m-1）；（Ⅲ）给定正整数C．对所有满足S n＞C的数列A n，求集合E n的元素个数的最小值．答案和解析1.【答案】B【解析】解：A={x∈Z|-1＜x＜3}={0，1，2}；∴A∩B={0，1，2}．故选：B．先求出集合A={0，1，2}，然后进行交集的运算即可．考查列举法、描述法表示集合的概念，以及交集的运算．2.【答案】B【解析】解：∵z==，∴z3=i3=-i．故选：B．利用复数代数形式的乘除运算化简，再由虚数单位i的性质求解．本题考查复数代数形式的乘除运算，是基础题．3.【答案】D【解析】解：由全称命题的否定为特称命题，可得命题“∀x∈[0，2]，x2-2x≤0”的否定是“x0∈[1，2]，x02-2x0＞0”．故选：D．运用全称命题的否定为特称命题，以及量词和不等号的变化，可得命题的否定．本题考查命题的否定，注意运用全称命题的否定为特称命题，以及量词和不等号的变化，考查转化思想，属于基础题．4.【答案】C【解析】解：f（x）是R上的奇函数，且f（x）=，则f（-）=-f（）=-f（）=-log2=1．故选：C．利用分段函数以及函数的奇偶性转化求解即可．本题考查分段函数的应用，函数的奇偶性的应用，考查计算能力．5.【答案】D【解析】解：由题意可设此双曲线的标准方程为：（a＞0，b＞0）．双曲线的一条渐近线的倾斜角为，取焦点F（c，0），∵焦点到渐近线的距离为3，∴，解得b=2，a=2，因此该双曲线的方程为：-=1．故选：D．利用双曲线的标准方程及其性质、点到直线的距离公式即可得出．本题考查了双曲线的标准方程及其性质、点到直线的距离公式，属于基本知识的考查．6.【答案】B【解析】解：两名同学分3本不同的书，基本事件包含：（0，3），（1a，2），（1b，2），（1c，2），（2，1a），（2，1b），（2，1c），（3，0），共8种情况，其中一人没有分到书，另一人分到3本书的情况有两种，∴一人没有分到书，另一人分得3本书的概率为：p=．故选：B．两名同学分3本不同的书，利用列举法求出基本事件包含8种情况，其中一人没有分到书，另一人分到3本书的情况有两种，由此能求出一人没有分到书，另一人分得3本书的概率．本题考查概率的求法，考查古典概型、列举法等基础知识，考查运算求解能力，考查函数与方程思想，是基础题．7.【答案】C【解析】解：模拟程序的运行，可得x=5，y=2，n=1x=，y=4不满足条件，执行循环体，n=2，x=，y=8，此时，x＞y，不满足条件，执行循环体，n=3，x=，y=16，此时，x＞y，不满足条件，执行循环体，n=4，x=，y=32，此时，x＜y，由题意，此时，应该满足条件，退出循环，输出n的值为4．可得程序框图中的中应填x≤y？故选：C．模拟程序的运行，依次写出每次循环得到的x，y的值，由输出n的值为4，可得判断框内的条件．本题考查了循环结构的程序框图，根据框图的流程判断算法的功能是解题的关键，属于基本知识的考查．8.【答案】D【解析】【分析】由三视图知该几何体是三棱锥，求出外接球的半径，然后求解球的表面积．本题考查了几何体三视图的应用问题，由三视图还原出几何体是解题的关键．【解答】解：如图，由三视图知该几何体是三棱锥的底面是等腰直角三角形，高为2，侧面是等腰三角形与底面的三角形的斜边垂直，底面边长为4，高为4，如图：所以三棱锥的外接球的圆心在侧面等腰三角形的高线上，球心为O，设球的半径为r，则：r2=4+（4-r）2，解得r=，则该几何体的外接球表面积为：4πr2=25π．故选：D．9.【答案】2y=±x【解析】解：双曲线=1中，a=，b=1，c=，∴焦距是2c=2，渐近线方程是y=±x．故答案为：2；y=±x．确定双曲线中的几何量，即可求出焦距、渐近线方程．本题考查双曲线的方程与性质，考查学生的计算能力，比较基础．10.【答案】10【解析】解：由约束条件作出可行域如图，联立，解得B（3，-1），x2+y2的几何意义为可行域内动点与原点距离的平方，其最大值|OB|2=32+（-1）2=10，故答案为：10．由约束条件作出可行域，再由x2+y2的几何意义，即可行域内动点与原点距离的平方求得答案．本题考查简单的线性规划，考查了数形结合的解题思想方法，是中档题．11.【答案】【解析】解：直线l的极坐标方程为ρsinθ+ρcosθ=1，化为直角坐标系下的普通方程为y+x=1；由圆C的参数方程为（θ为参数），消去参数θ化为普通方程x2+（y-2）2=1，其圆心C（0，2），半径r=1．直线l截圆C所得的弦长=2=．故答案为．利用弦长=，（其中d为弦心距）公式即可计算出．熟练弦长、弦心距及半径三者之间的关系是解题的关键．12.【答案】（0，1）【解析】解：作出f（x）的函数图象如图所示：∵f（x）=k有两个不同解，∴0＜k＜1．故答案为：（0，1）．作出f（x）的函数图象，根据图象得出k的范围．本题考查了函数零点与函数图象的关系，属于中档题．13.【答案】【解析】解：由题意，正方形的边长构成以为首项，以为公比的等比数列，现已知共得到1023个正方形，则有1+2+…+2n-1=1023，∴n=10，∴最小正方形的边长为=．故答案为：．正方形的边长构成以为首项，以为公比的等比数列，利用共得到1023个正方形，借助于求和公式，可求得正方形边长变化的次数，从而利用等比数列的通项公式，即可求最小正方形的边长．本题以图形为载体，考查等比数列的求和公式及通项，关键是的出等比数列模型，正确利用相应的公式．14.【答案】②③【解析】解：在①中，若有几个方向相同，模相等的向量，则无极大向量，故①不正确；在②中，使围成闭合三角形，则任意向量的模等于除它本身外所有向量和的模，故②正确；在③中，3个向量都是极大向量，等价于3个向量之和为0，故中的每个元素都是极大向量时，W1∪W2中的每一个元素也都是极大向量，故③正确．故答案为：②③．在①中，假如所有向量都相等显然是没有极大向量的；在②和③中，关键是：3个向量都是极大向量，等价于3个向量之和为0．本题考查命题真假的判断，考查新定义的应用，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．15.【答案】解：（Ⅰ）直接将x=带入，可得：==2．（Ⅱ）由=因为函数y=sin x的单调递增区间为，（k∈Z），令（k∈Z），解得（k∈Z），故f（x）的单调递增区间为，（k∈Z）．【解析】（I）直接将x=带入计算即可．（Ⅱ）利用二倍角和辅助角公司化简，即可求f（x）的单调递增区间．本题主要考查三角函数的图象和性质，利用三角函数公式将函数进行化简是解决本题的关键．16.【答案】解：（Ⅰ）事件A的人数为：400+270=670，该险种有1000人续保，所以P（A）的估计值为：=0.67．（Ⅱ）X的可能取值为0，1，2，3，由出险情况的统计表可知：一辆车一年内不出险的概率为=，出险的概率为1-，P（X=0）=（）3=，P（X=1）==，P（X=2）=，P（X=3）=（）3=，X（0.85a×400+a×270+1.25a×200+1.5a×80+1.75a×40+2a×10）=1.07a．【解析】（Ⅰ）事件A的人数为：400+270=670，该险种有1000人续保，由此能求出P（A）的估计值．（Ⅱ）X的可能取值为0，1，2，3，由出险情况的统计表可知：一辆车一年内不出险的概率为，出险的概率为，分别求出X的值为0，1，2，3对应的概率，由此能求出X的分布列．（Ⅲ）由续保人本年度的保费与其上年度出险次数的关联表能求出续保人本年度的平均保费估值．本题考查概率的求法，考查离散型随机变量的分布列、数学期望的求法，考查古典概型等基础知识，考查运算求解能力，考查函数与方程思想，是中档题．17.【答案】证明：（Ⅰ）∵E、F分别是AC、BC的中点，∴EF∥AB，--------------------------------------------------------------------------------------（1分）在正三角形PAC中，PE⊥AC，又平面PAC⊥平面ABC，平面PAC∩平面ABC=AC，∴PE⊥平面ABC，-------------------------------------------------------------------------------（3分）∴PE⊥AB，又PD⊥AB，PE∩PD=P，∴AB⊥平面PED，-----------------------------------------------------------------------------（5分）∴AB⊥ED，又EF∥AB，∴EF⊥ED；-----------------------------------------------------------------------（6分）解：（Ⅱ）设点F到平面PAB的距离为d，∵V F-PAB=V P-ABF，∴△ △ ，---------------------------------------------------------------------（7分）解得PE=BE=，由AB⊥ED，可知AB•ED=AE•BE，得ED=，------------------------------------（8分）∴PD==，--------------------（9分）∴△ =，----------------------（10分）由EF∥AB，可知S△ABF==，∴点F到平面PAB的距离d=△==．---------------------------------------------------------（12分）△【解析】（Ⅰ）推导出EF∥AB，PE⊥平面ABC，从而PE⊥AB，PD⊥AB，进而AB⊥平面PED，AB⊥ED，再由EF∥AB，能证明EF⊥ED．（Ⅱ）设点F到平面PAB的距离为d，由V F-PAB=V P-ABF，能求出点F到平面PAB的距离．本题考查线线垂直的证明，考查点到平面的距离的求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力，考查函数与方程思想，是中档题．18.【答案】解：（I）f′（x）=e x-a，∴f′（0）=1-a=0，解得a=1．（II）∵f（x）≥0恒成立，即e x≥a（x+1）恒成立，∴y=e x的图象在直线y=a（x+1）上方，由图象可知：a≥0．设直线y=k（x+1）与y=e x相切，切点为（x0，y0），则，解得，∴0≤a≤1．（III）当a=0时，f（x）=e x，设曲线y=2+ln x在（x1，y1）处的切斜斜率为1，则，解得，∴曲线y=2+ln x在（1，2）处的切斜为y=x+1，∴y=2+ln x的图象在直线y=x+1下方，由（II）可知y=e x的图象在直线y=x+1上方，∴当a=0时，曲线y=f（x）（x＞0）总在曲线y=2+ln x的上方．【解析】（I）根据f′（0）=0解出a的值；（II）结合函数图象，求出y=e x的过点（-1，0）的切线方程，从而可得a的范围；（III）求出y=2+lnx的斜率为1的切线，可得直线y=x+1为两函数图象的公切线，从而得出结论．本题考查了导数的几何意义，函数切线的求解，属于中档题．19.【答案】（本小题满分14分）解：（Ⅰ）由题意，椭圆C的标准方程为．[（1分）]所以a2=4，b2=2，从而c2=a2-b2=2．因此a=2，．故椭圆C的离心率．[（3分）]椭圆C的左焦点F的坐标为，．[（4分）]（Ⅱ）直线l与圆F相切．证明如下：[（5分）]设P（x0，y0），其中-2＜x0＜2，则，[（6分）]依题意可设Q（x0，y1），则．[（7分）]直线l的方程为，整理为x0x+y1y-4=0．[（9分）]所以圆F的圆心F到直线l的距离．[（11分）]因为．[（13分）]所以|PF|2=d2，即|PF|=d，所以直线l与圆F相切．[（14分）]【解析】（Ⅰ）利用椭圆C的方程，求出长半轴，短半轴的长，求出半焦距的长，然后求解离心率和点F的坐标；（Ⅱ）直线l与圆F相切．设P（x0，y0），其中-2＜x0＜2，则，设Q（x0，y1），则，直线l的方程 x0x+y1y-4=0．通过圆F的圆心F到直线l的距离，推出|PF|=d，得到结果．本题考查椭圆与圆的位置关系的综合应用，圆的切线方程与点到直线的距离公式的应用，考查转化思想以及计算能力．20.【答案】解：（Ⅰ）因为S0=0，S1=0.3，S2=0.4，S3=0.3，S4=1.2，S5=1.3，所以E5={2，4，5}．（Ⅱ）由集合E n的定义知＞，且k i+1是使得＞成立的最小的k，由于，所以：＜．（Ⅲ）因为S n＞S0，所以E n非空．设集合E n={k1，k2，…，k m}，不妨设k1＜k2＜…＜k m，则由（Ⅱ）可知＜，，，，同理＜，且．所以＜个．因为S n＞C，所以E n的元素个数m≥C+1．取常数数列A n：，，，，并令n=C+1，则＞，适合题意，且E n={1，2，…，C+1}，其元素个数恰为C+1．综上，E n的元素个数的最小值为C+1．【解析】（Ⅰ）直接利用信息求出结果．（Ⅱ）根据所给的条件和关系式求出结果．（Ⅲ）利用（Ⅱ）的结论，进一步求出关系，即集合的最小值．本题考查的知识要点：数列的应用，集合相关问题的应用．。

北京市中国人民大学附属中学 2019届高三下学期理科数学练习卷（一）本试卷共4页，满分150分．考试用时120分钟．注意事项：1.本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分.答题前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上.2.回答第Ⅰ卷时，选出每个小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮搽干净后，再选涂其他答案标号，写在本试卷上无效.3.回答第Ⅱ卷时，将答案写在答题卡上，答在本试题上无效.4.考试结束，将本试题和答题卡一并交回.一、选择题(共8小题，每小题5分，共40分。

)1.设集合{}2|230A x Z x x =∈--<，{}1,0,1,2B =-，则A B =A.{}0,1 B.{}0,1,2 C.{}1,0,1-D.{}1,0-2.已知i 为虚数单位，复数212iz i+=-，则3z = A.iB.i -C.1D.1-3.命题“[]20,2,20x x x ∀∈-≤”的否定是A.[]20,2,20x x x ∀∈-> B.[]20000,2,20x x x ∃∈-≤ C.[]20,2,20x x x ∀∉->D.[]20000,2,20x x x ∃∈->4.()f x 是R 上的奇函数，且2(1),1()log ,01f x x f x x x ->⎧=⎨<≤⎩则3()2f -=A.12 B.12-C.1D.1- 5.已知焦点在x 轴上的双曲线的一条渐近线的倾斜角为6p，且其焦点到渐近线的距离为2，则该双曲线的标准方程为A.22132x y -=B.2213x y -= c.22164x y -= D.221124x y -= 6.两名同学分3本不同的书，其中一人没有分到书，另一人分得3本书的概率为A.12 B.14 C.13 D.167.中国古代数学著作《算学启蒙》中有关于“松竹并生”的问题：松长五尺，竹长两尺，松日自半，竹日自倍，松竹何日而长等。

绝密★本科目考试启用前2019年普通高等学校招生全国统一考试（北京卷）理科数学注意事项：1．答题前，先将自己的姓名、准考证号填写在试题卷和答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置。

2．选择题的作答：每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。

3．非选择题的作答：用签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内。

写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。

4．考试结束后，请将本试题卷和答题卡一并上交。

一、选择题共8小题，每小题5分，共40分。

在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项。

1．（5分）已知复数z＝2+i，则z•＝（）A．B．C．3D．52．（5分）执行如图所示的程序框图，输出的s值为（）A．1B．2C．3D．43．（5分）已知直线l的参数方程为（t为参数），则点（1，0）到直线l的距离是（）A．B．C．D．4．（5分）已知椭圆+＝1（a＞b＞0）的离心率为，则（）A．a2＝2b2B．3a2＝4b2C．a＝2b D．3a＝4b5．（5分）若x，y满足|x|≤1﹣y，且y≥﹣1，则3x+y的最大值为（）A．﹣7B．1C．5D．76．（5分）在天文学中，天体的明暗程度可以用星等或亮度来描述．两颗星的星等与亮度满足m2﹣m1＝lg，其中星等为m k的星的亮度为E k（k＝1，2）．已知太阳的星等是﹣26.7，天狼星的星等是﹣1.45，则太阳与天狼星的亮度的比值为（）A．1010.1B．10.1C．lg10.1D．10﹣10.17．（5分）设点A，B，C不共线，则“与的夹角为锐角”是“|+|＞||”的（）A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件8．（5分）数学中有许多形状优美、寓意美好的曲线，曲线C：x2+y2＝1+|x|y就是其中之一（如图）．给出下列三个结论：①曲线C恰好经过6个整点（即横、纵坐标均为整数的点）；②曲线C上任意一点到原点的距离都不超过；③曲线C所围成的“心形”区域的面积小于3．其中，所有正确结论的序号是（）A．①B．②C．①②D．①②③二、填空题共6小题，每小题5分，共30分。

北京市人大附中2019年3月高考数学模拟试卷（理科）（一）一、选择题（本大题共8小题，共40.0分）1.设集合A={x∈Z|x2−2x−3<0}，B={−1,0，1，2}，则A∩B=()A. {0,1}B. {0,1，2}C. {−1,0，1}D. {−1,0}【答案】B【解析】解：A={x∈Z|−1<x<3}={0,1，2}；∴A∩B={0,1，2}．故选：B．先求出集合A={0,1，2}，然后进行交集的运算即可．考查列举法、描述法表示集合的概念，以及交集的运算．2.已知i为虚数单位，复数z=2+i1−2i，则z3=()A. iB. −iC. 1D. −1【答案】B【解析】解：∵z=2+i1−2i =(2+i)(1+2i)(1−2i)(1+2i)=5i5=i，∴z3=i3=−i．故选：B．利用复数代数形式的乘除运算化简，再由虚数单位i的性质求解．本题考查复数代数形式的乘除运算，是基础题．3.命题“∀x∈[0,2]，x2−2x≤0”的否定是()A. ∀x∈[0,2]，x2−2x>0B. ∃x0∈[0,2]，x02−2x0≤0C. ∀x∉[0,2]，x2−2x>0D. ∃x0∈[0,2]，x02−2x0>0【答案】D【解析】解：由全称命题的否定为特称命题，可得命题“∀x∈[0,2]，x2−2x≤0”的否定是“∃x0∈[1,2]，x02−2x0>0”．故选：D．运用全称命题的否定为特称命题，以及量词和不等号的变化，可得命题的否定．本题考查命题的否定，注意运用全称命题的否定为特称命题，以及量词和不等号的变化，考查转化思想，属于基础题．4. f(x)是R 上的奇函数，且f(x)={log 2x,0<x ≤1f(x−1),x>1，则f(−32)=( )A. 12B. −12C. 1D. −1【答案】C【解析】解：f(x)是R 上的奇函数， 且f(x)={log 2x,0<x ≤1f(x−1),x>1，则f(−32)=−f(32)=−f(12)=−log 212=1． 故选：C ．利用分段函数以及函数的奇偶性转化求解即可．本题考查分段函数的应用，函数的奇偶性的应用，考查计算能力．5. 已知焦点在x 轴上的双曲线的一条渐近线的倾斜角为π6，且其焦点到渐近线的距离为2，则该双曲线的标准方程为( )A. x 23−y 22=1B.x 23−y 2=1C.x 26−y 24=1D. x 212−y 24=1【答案】D【解析】解：由题意可设此双曲线的标准方程为：x 2a2−y 2b 2=1(a >0,b >0).双曲线的一条渐近线的倾斜角为π6，取焦点F(c,0)，∵焦点到渐近线的距离为3， ∴{ ba =√33c 2=a 2+b 2√a 2+b 2=2，解得b =2，a =2√3， 因此该双曲线的方程为：x 212−y 24=1．故选：D ．利用双曲线的标准方程及其性质、点到直线的距离公式即可得出．本题考查了双曲线的标准方程及其性质、点到直线的距离公式，属于基本知识的考查．6. 两名同学分3本不同的书，其中一人没有分到书，另一人分得3本书的概率为()A. 12B. 14 C. 13 D. 16【答案】B【解析】解：两名同学分3本不同的书，基本事件包含：(0,3)，(1a ,2)，(1b ,2)，(1c ,2)，(2,1a )，(2,1b )，(2,1c )，(3,0)，共8种情况， 其中一人没有分到书，另一人分到3本书的情况有两种，∴一人没有分到书，另一人分得3本书的概率为：p=28=14．故选：B．两名同学分3本不同的书，利用列举法求出基本事件包含8种情况，其中一人没有分到书，另一人分到3本书的情况有两种，由此能求出一人没有分到书，另一人分得3本书的概率．本题考查概率的求法，考查古典概型、列举法等基础知识，考查运算求解能力，考查函数与方程思想，是基础题．7.中国古代数学著作《算学启蒙》中有关于“松竹并生”的问题：松长五尺，竹长两尺，松日自半，竹日自倍，松竹何日而长等.意思是现有松树高5尺，竹子高2尺，松树每天长自己高度的一半，竹子每天长自己高度的一倍，问在第几天会出现松树和竹子一般高？如图是源于其思想的一个程序框图，若输入的x=5，y=2，输出的n为4，则程序框图中的中应填()A. y<xB. y≤xC. x≤yD. x=y【答案】C【解析】解：模拟程序的运行，可得x=5，y=2，n=1x=152，y=4不满足条件，执行循环体，n=2，x=454，y=8，此时，x>y，不满足条件，执行循环体，n=3，x=1358，y=16，此时，x>y，不满足条件，执行循环体，n=4，x=40516，y=32，此时，x<y，由题意，此时，应该满足条件，退出循环，输出n的值为4．可得程序框图中的中应填x≤y？故选：C．模拟程序的运行，依次写出每次循环得到的x，y的值，由输出n的值为4，可得判断框内的条件．本题考查了循环结构的程序框图，根据框图的流程判断算法的功能是解题的关键，属于基本知识的考查．8.如图，网格纸上小正方形的边长为1，某几何体的三视图如图所示，则该几何体的外接球表面积为()A. 169π B. 254π C. 16π D. 25π【答案】D【解析】解：如图，由三视图知该几何体是三棱锥的底面是等腰直角三角形，高为2，侧面是等腰三角形与底面的三角形的斜边垂直，底面边长为4，高为4，如图：所以三棱锥的外接球的圆心在侧面等腰三角形的高线上，球心为O，设球的半径为r，则：r2=4+(4−r)2，解得r=52，则该几何体的外接球表面积为：4π(2r)2=25π．故选：D．由三视图知该几何体是三棱锥，求出外接球的半径，然后求解球的表面积．本题考查了几何体三视图的应用问题，由三视图还原出几何体是解题的关键．二、填空题（本大题共6小题，共30.0分）9.双曲线x22−y2=1的焦距是______，渐近线方程是______．【答案】2√3y=±√22x【解析】解：双曲线x 22−y 2=1中，a =√2，b =1，c =√3，∴焦距是2c =2√3，渐近线方程是y =±√22x.故答案为：2√3；y =±√22x.确定双曲线中的几何量，即可求出焦距、渐近线方程．本题考查双曲线的方程与性质，考查学生的计算能力，比较基础．10. 若变量x ，y 满足{x +y ≤22x −3y ≤9x ≥0，则x 2+y 2的最大值是______．【答案】10【解析】解：由约束条件{x +y ≤22x −3y ≤9x ≥0作出可行域如图，联立{2x −3y =9x+y=2，解得B(3,−1)，x 2+y 2的几何意义为可行域内动点与原点距离的平方，其最大值|OB|2=32+(−1)2=10，故答案为：10．由约束条件作出可行域，再由x 2+y 2的几何意义，即可行域内动点与原点距离的平方求得答案．本题考查简单的线性规划，考查了数形结合的解题思想方法，是中档题．11. 已知圆C 的参数方程为{y =sinθ+2x=cosθ(θ为参数)，以原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，直线l 的极坐标方程为ρsinθ+ρcosθ=1，则直线l 截圆C 所得的弦长是______． 【答案】√2【解析】解：直线l 的极坐标方程为ρsinθ+ρcosθ=1，化为直角坐标系下的普通方程为y +x =1；由圆C 的参数方程为{y =sinθ+2x=cosθ(θ为参数)，消去参数θ化为普通方程x 2+(y −2)2=1，其圆心C(0,2)，半径r =1． 直线l 截圆C 所得的弦长=2√1−(|−1|√2)2=√2．故答案为√2．利用弦长=2√r 2−d 2，(其中d 为弦心距)公式即可计算出． 熟练弦长、弦心距及半径三者之间的关系是解题的关键．12. 已知函数f(x)={1x ,x ≥1x 3,x <1，若关于x 的方程f(x)=k 有两个不同零点，则k 的取值范围是______． 【答案】(0,1)【解析】解：作出f(x)的函数图象如图所示：∵f(x)=k 有两个不同解， ∴0<k <1． 故答案为：(0,1)．作出f(x)的函数图象，根据图象得出k 的范围． 本题考查了函数零点与函数图象的关系，属于中档题．13. 如图所示：正方形上连接着等腰直角三角形，等腰直角三角形腰上再连接正方形，…，如此继续下去得到一个树形图形，称为“勾股树”.若某勾股树含有1023个正方形，且其最大的正方形的边长为√22，则其最小正方形的边长为______．【答案】132【解析】解：由题意，正方形的边长构成以√22为首项，以√22为公比的等比数列，现已知共得到1023个正方形，则有1+2+⋯+2n−1=1023，∴n =10， ∴最小正方形的边长为√22×(√22)9=132．故答案为：132．正方形的边长构成以√22为首项，以√22为公比的等比数列，利用共得到1023个正方形，借助于求和公式，可求得正方形边长变化的次数，从而利用等比数列的通项公式，即可求最小正方形的边长．本题以图形为载体，考查等比数列的求和公式及通项，关键是的出等比数列模型，正确利用相应的公式．14. 设W 是由一平面内的n(n ≥3)个向量组成的集合.若a ⃗ ∈W ，且a⃗ 的模不小于W 中除a ⃗ 外的所有向量和的模.则称a ⃗ 是W 的极大向量.有下列命题： ①若W 中每个向量的方向都相同，则W 中必存在一个极大向量；②给定平面内两个不共线向量a⃗,b⃗ ，在该平面内总存在唯一的平面向量c=−a⃗−b⃗ ，使得W={a⃗,b⃗ ,c}中的每个元素都是极大向量；③若W1={a⃗1,a⃗2,a⃗3},W2={b⃗ 1,b⃗ 2,b⃗ 3}中的每个元素都是极大向量，且W1，W2中无公共元素，则W1∪W2中的每一个元素也都是极大向量．其中真命题的序号是______．【答案】②③【解析】解：在①中，若有几个方向相同，模相等的向量，则无极大向量，故①不正确；在②中，使a⃗,b⃗ ,c围成闭合三角形，则任意向量的模等于除它本身外所有向量和的模，故②正确；在③中，3个向量都是极大向量，等价于3个向量之和为0，故W1={a⃗1,a⃗2,a⃗3},W2={b⃗ 1,b⃗ 2,b⃗ 3}中的每个元素都是极大向量时，W1∪W2中的每一个元素也都是极大向量，故③正确．故答案为：②③．在①中，假如所有向量都相等显然是没有极大向量的；在②和③中，关键是：3个向量都是极大向量，等价于3个向量之和为0．本题考查命题真假的判断，考查新定义的应用，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．三、解答题（本大题共6小题，共80.0分）15.已知f(x)=2√3sinxcosx+2cos2x−1．(I)求f(π6)的值；(Ⅱ)求f(x)的单调递增区间．【答案】解：(Ⅰ)直接将x=π6带入，可得：f(π6)=2√3sinπ6cosπ6+2cos2π6−1=2√3×12×√32+2×(√32)2−1=2．(Ⅱ)由f(x)=√3sin2x+cos2x=2sin(2x+π6)因为函数y=sinx的单调递增区间为[2kπ−π2,2kπ+π2](k∈Z)，令2kπ−π2≤2x+π6≤2kπ+π2(k∈Z)，解得kπ−π3≤x≤kπ+π6(k∈Z)，故f(x)的单调递增区间为[kπ−π3,kπ+π6](k∈Z)．【解析】(I)直接将x=π6带入计算即可．(Ⅱ)利用二倍角和辅助角公司化简，即可求f(x)的单调递增区间．本题主要考查三角函数的图象和性质，利用三角函数公式将函数进行化简是解决本题的关键．16. 某车险的基本保费为a(单位：元)，继续购买车险的投保人称为续保人，续保人本年度的保费与其上年度出险次数的关联如下：随机调查了该险种的1000名续保人在一年内的出险情况，得到如下统计表：(Ⅰ)记A 为事件：“一续保人本年度的保费不高于基本保费”，求P(A)的估计值； (Ⅱ)某公司有三辆汽车，基本保费均为a ，根据随机调查表的出险情况，记X 为三辆车中一年内出险的车辆个数，写出X 的分布列； (Ⅲ)求续保人本年度的平均保费估计值．【答案】解：(Ⅰ)事件A 的人数为：400+270=670，该险种有1000人续保， 所以P(A)的估计值为：6701000=0.67.………(3分) (Ⅱ)X 的可能取值为0，1，2，3，………(4分)由出险情况的统计表可知：一辆车一年内不出险的概率为4001000=25， 出险的概率为1−25=35，………(5分) P(X =0)=(25)3=8125，P(X =1)=C 31(35)(25)2=36125， P(X =2)=C 32(35)2(25)=54125，P(X =3)=(35)3=27125，………(9分)所以的X 分布列为：………(10分)(Ⅲ)续保人本年度的平均保费估值为：11000(0.85a ×400+a ×270+1.25a ×200+1.5a ×80+1.75a ×40+2a ×10)=1.07a.………(13分)【解析】(Ⅰ)事件A 的人数为：400+270=670，该险种有1000人续保，由此能求出P(A)的估计值．(Ⅱ)X 的可能取值为0，1，2，3，由出险情况的统计表可知：一辆车一年内不出险的概率为25，出险的概率为35，分别求出X 的值为0，1，2，3对应的概率，由此能求出X 的分布列．(Ⅲ)由续保人本年度的保费与其上年度出险次数的关联表能求出续保人本年度的平均保费估值．本题考查概率的求法，考查离散型随机变量的分布列、数学期望的求法，考查古典概型等基础知识，考查运算求解能力，考查函数与方程思想，是中档题．17. 如图，在三棱锥P −ABC 中，△ABC 和△PAC 都是正三角形，AC =2，E 、F 分别是AC 、BC 的中点，且PD ⊥AB 于D ，平面PAC ⊥平面ABC ． (Ⅰ)证明：EF ⊥ED ；(Ⅱ)求点F 到平面PAB 的距离．【答案】证明：(Ⅰ)∵E 、F 分别是AC 、BC 的中点，∴EF//AB ，--------------------------------------------------------------------------------------(1分) 在正三角形PAC 中，PE ⊥AC ，又平面PAC ⊥平面ABC ，平面PAC ∩平面ABC =AC ，∴PE ⊥平面ABC ，-------------------------------------------------------------------------------(3分)∴PE ⊥AB ，又PD ⊥AB ，PE ∩PD =P ，∴AB ⊥平面PED ，-----------------------------------------------------------------------------(5分) ∴AB ⊥ED ，又EF//AB ，∴EF ⊥ED ；-----------------------------------------------------------------------(6分) 解：(Ⅱ)设点F 到平面PAB 的距离为d ， ∵V F−PAB =V P−ABF ，∴13S △PAB ⋅d =13S △ABP ⋅PE ，---------------------------------------------------------------------(7分)解得PE=BE=√3，由AB⊥ED，可知AB⋅ED=AE⋅BE，得ED=√32，------------------------------------(8分)∴PD=√PE2+ED2=√152，--------------------(9分)∴S△PAB=12AB⋅PD=√152，----------------------(10分)由EF//AB，可知S△ABF=12×AB×ED=√32，∴点F到平面PAB的距离d=S△ABF⋅PES△PAE =√3√5=√155.---------------------------------------------------------(12分)【解析】(Ⅰ)推导出EF//AB，PE⊥平面ABC，从而PE⊥AB，PD⊥AB，进而AB⊥平面PED，AB⊥ED，再由EF//AB，能证明EF⊥ED．(Ⅱ)设点F到平面PAB的距离为d，由V F−PAB=V P−ABF，能求出点F到平面PAB的距离．本题考查线线垂直的证明，考查点到平面的距离的求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力，考查函数与方程思想，是中档题．18.已知函数f(x)=e x−a(x+1)．(Ⅰ)若曲线y=f(x)在(0,f(0))处的切线斜率为0，求a的值；(Ⅱ)若f(x)≥0恒成立，求a的取值范围；(Ⅲ)求证：当a=0时，曲线y=f(x)(x>0)总在曲线y=2+lnx的上方．【答案】解：(I)f′(x)=e x−a，∴f′(0)=1−a=0，解得a=1．(II)∵f(x)≥0恒成立，即e x≥a(x+1)恒成立，∴y=e x的图象在直线y=a(x+1)上方，由图象可知：a≥0．设直线y=k(x+1)与y=e x相切，切点为(x0,y0)，则{y 0=e x 0y 0=k(x 0+1)e x 0=k，解得{x 0=0y 0=1k =1，∴0≤a ≤1．(III)当a =0时，f(x)=e x ，设曲线y =2+lnx 在(x 1,y 1)处的切斜斜率为1，则{1x 1=1y 1=2+lnx 1，解得{y 1=2x 1=1， ∴曲线y =2+lnx 在(1,2)处的切斜为y =x +1，∴y =2+lnx 的图象在直线y =x +1下方，由(II)可知y =e x 的图象在直线y =x +1上方，∴当a =0时，曲线y =f(x)(x >0)总在曲线y =2+lnx 的上方．【解析】(I)根据f′(0)=0解出a 的值；(II)结合函数图象，求出y =e x 的过点(−1,0)的切线方程，从而可得a 的范围； (III)求出y =2+lnx 的斜率为1的切线，可得直线y =x +1为两函数图象的公切线，从而得出结论．本题考查了导数的几何意义，函数切线的求解，属于中档题．19. 已知⊙O ：x 2+y 2=4和椭圆C ：x 2+2y 2=4，F 是椭圆C 的左焦点．(Ⅰ)求椭圆C 的离心率和点F 的坐标；(Ⅱ)点P 在椭圆C 上，过P 作x 轴的垂线，交⊙O 于点Q(P,Q 不重合)，l 是过点Q 的⊙O 的切线.圆F 的圆心为点F ，半径长为|PF|.试判断直线l 与⊙F 的位置关系，并证明你的结论．【答案】(本小题满分14分)解：(Ⅰ)由题意，椭圆C 的标准方程为x 24+y 22=1.[(1分)]所以a 2=4，b 2=2，从而c 2=a 2−b 2=2．因此a =2，c =√2．故椭圆C 的离心率e =c a =√22.[(3分)] 椭圆C 的左焦点F 的坐标为(−√2,0).[(4分)](Ⅱ)直线l 与圆F 相切.证明如下：[(5分)]设P(x 0,y 0)，其中−2<x 0<2，则x 02+2y 02=4，[(6分)]依题意可设Q(x 0,y 1)，则x 02+y 12=4.[(7分)]直线l 的方程为y −y 1=−x0y 1(x −x 0)， 整理为 x 0x +y 1y −4=0.[(9分)]所以圆F 的圆心F 到直线l 的距离d =√2x 0√x 0+y 1= |√22x 0+2|.[(11分)]因为|PF|2=(x 0+√2)2+y 02=(x 0+√2)2+12(4−x 02)=12x 02+2√2x 0+4.[(13分)] 所以|PF|2=d 2，即|PF|=d，所以直线l与圆F相切.[(14分)]【解析】(Ⅰ)利用椭圆C的方程，求出长半轴，短半轴的长，求出半焦距的长，然后求解离心率和点F的坐标；(Ⅱ)直线l与圆F相切.设P(x0,y0)，其中−2<x0<2，则x02+2y02=4，设Q(x0,y1)，则x02+y12=4，直线l的方程x0x+y1y−4=0.通过圆F的圆心F到直线l的距离d=√2x0√x0+y1= |√22x0+2|，推出|PF|=d，得到结果．本题考查椭圆与圆的位置关系的综合应用，圆的切线方程与点到直线的距离公式的应用，考查转化思想以及计算能力．20.数列A n：a1，a2，…，a n(n≥2)满足：a k<1(k=1,2，…，n).记A n的前k项和为S k，并规定S0=0.定义集合E n={k∈N∗,k≤n|S k>S j,j=0,1，…，k−1}．(Ⅰ)对数列A5：−0.3，0.7，−0.1，0.9，0.1，求集合E5；(Ⅱ)若集合E n={k1,k2,…,k m}(m>1，k1<k2<⋯<k m)，证明：S ki+1−S ki<1(i=1,2，…，m−1)；(Ⅲ)给定正整数C.对所有满足S n>C的数列A n，求集合E n的元素个数的最小值．【答案】解：(Ⅰ)因为S0=0，S1=0.3，S2=0.4，S3=0.3，S4=1.2，S5=1.3，所以E5={2,4，5}．(Ⅱ)由集合E n的定义知S ki+1>S ki，且k i+1是使得S k>S ki成立的最小的k，由于S ki+1=S ki+1−1+a ki+1，所以：S ki+1<S ki+1．(Ⅲ)因为S n>S0，所以E n非空．设集合E n={k1,k2,…,k m}，不妨设k1<k2<⋯<k m，则由(Ⅱ)可知S ki+1−S ki<1 (i=1,2,…,m−1)，同理S k1−S0<1，且S n≤S km．所以S n=(S n−S km )+(S km−S km−1)+⋯+(S k2−S k1)+(S k1−S0)<0+1+1+⋯+1+1m个1=m．因为S n>C，所以E n的元素个数m≥C+1．取常数数列A n：a i=C+1C+2 (i=1,2,…,C+1)，并令n=C+1，则S n=(C+1)2C+2=C2+2C+1C+2>C，适合题意，且E n={1,2，…，C+1}，其元素个数恰为C+1．综上，E n的元素个数的最小值为C+1．【解析】(Ⅰ)直接利用信息求出结果．(Ⅱ)根据所给的条件和关系式求出结果．(Ⅲ)利用(Ⅱ)的结论，进一步求出关系，即集合的最小值．本题考查的知识要点：数列的应用，集合相关问题的应用．。

2019北京高考理科数学试题第一部分 （选择题 共40分）选择题共8小题。

每小题5分，共40分。

在每个小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的一项。

1.已知集合A={－1，0，1}，B={x|－1≤ x ＜1}，则A∩B= ( )A.{0}B.{－1，0}C.{0，1}D.{－1,0,1}2.在复平面内，复数(2－i)2对应的点位于( )A.第一象限B. 第二象限C.第三象限D. 第四象限3.“φ=π”是“曲线y=sin(2x ＋φ)过坐标原点的”A.充分而不必要条件B.必要而不充分条件C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件4.执行如图所示的程序框图，输出的S 值为A.1B.23C.1321D.610987 5.函数f(x)的图象向右平移1个单位长度，所得图象与y=ex 关于y 轴对称，则f(x)=A.1e x +B. 1e x -C. 1e x -+D. 1e x -- 6.若双曲线22221x y a b -=，则其渐近线方程为A.y=±2xB.y=C.12y x =±D.2y x =± 7.直线l 过抛物线C: x2=4y 的焦点且与y 轴垂直，则l 与C 所围成的图形的面积等于A.43B.2C.83D.38.设关于x,y 的不等式组210,0,0x y x m y m -+>⎧⎪+<⎨⎪->⎩表示的平面区域内存在点P(x0，y0)，满足x0－2y0=2，求得m 的取值范围是 A.4,3⎛⎫-∞ ⎪⎝⎭ B. 1,3⎛⎫-∞ ⎪⎝⎭ C. 2,3⎛⎫-∞- ⎪⎝⎭ D. 5,3⎛⎫-∞- ⎪⎝⎭ 第二部分（非选择题 共110分）二、填空题共6题，每小题5分，共30分.9.在极坐标系中，点(2，6π)到直线ρsinθ=2的距离等于 .10.若等比数列{an}满足a2＋a4=20，a3＋a5=40，则公比q= ；前n 项和Sn= .11.如图，AB 为圆O 的直径，PA 为圆O 的切线，PB 与圆O 相交于D.若PA=3，916PD DB =：：，则PD= ；AB= . 12.将序号分别为1，2，3，4，5的5张参观券全部分给4人，每人至少1张，如果分给同一人的2张参观券连号，那么不同的分法种数是 .13.向量a ，b ，c 在正方形网格中的位置如图所示.若c=λa ＋μb (λ，μ∈R)，则λμ= .14.如图，在棱长为2的正方体ABCD －A1B1C1D1中，E 为BC 的中点，点P 在线段D1E 上，点P 到直线CC1的距离的最小值为 .三、解答题共6小题，共80分。

1人大附中2019届高三上学期数学（理科）统练一2018 09 04一、选择题共8小题，每小题5分，共40分。

在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项。

1. 已知集合{1,3,}A m =，{1,}B m =，A B A ⋃=，则m 等于( ) A ．0或3 B ．0或 3 C ．1或 3 D ．1或3或02.下列函数中,定义域为[)0,+∞的函数是( ) A.y x =B.22y x =−C.31y x =+D .()21y x =−3.下列命题中的假命题是( )A. x R ∀∈,120x −>B. *x N ∀∈,()210x −> C. ∃0x R ∈,0lg 1x < D. 0x R ∃∈,0tan 2x =4. 设122211(),log ,log 323a b c ===，则（ ）A a b c >>B c b a >>C a c b >>D c a b >>5. 已知(),()f x g x 分别是定义在R 上的偶函数和奇函数,且32()()x 1,f x g x x −=++ 则(1)(1)f g +=（ ） A.-3 B.-1 C.1 D.36. 若函数2(12)()2()a xf x x a −=+的图象如图所示，则a 的取值范围是 （ ） A. (1,)+∞ B. 1(0,)2C. 1(1,)2−D. 1(,1)27. 对于函数32()1f x x bx cx =++−，"0"c ≥是“()f x 在(,)−∞+∞上单调递增”的 （ ） A ．充分而不必要条件 B ．必要而不充分条件 C ．充要条件 D ．既不充分也不必要条件xy 1-1O28. 如图，过函数1()(0)f x x x =>图像上两点11(,),(,)()P a Q b a b a b<分别作()y f x =的切线12,l l ，12,l l 交于M ,并且分别与坐标轴交于,,,A B C D ，则（ ） A. 三角形MBD 与三角形MAC 面积之和为定值 B. 三角形MBD 与三角形MAC 面积之差为定值 C. 三角形MBD 的面积一定大于三角形MAC 面积 D. 三角形MBD 的面积一定小于三角形MAC 面积二、填空题共6小题，每小题5分，共30分。