第二章 晶格振动

因
得
22 2ks/ m,
cos(qa)0
( A/B)2 0
说明：对于光学波，相邻两种不同原子的振 动方向是相反的。
当q很小时，即波长很长的光学波（长光学波）， cos(qa)1，
又
由
22=2ks/ ，
-(2kscosqa)A+(2ks-M2)B=0
得
( A/B)2 =-M/m
mA+MB=0
波恩和卡门把边界对内部原子的振动状态的影响考虑成 如下面所述的周期性边界条件模型（包含N个原胞的环 状链作为有限链的模型）： 包含有限数目的原子，保持所有原胞完全等价。
如果原胞数N很大使环半径很大，沿环的运动仍可以 看作是直线的运动。
和以前的区别：需考虑链的循环性。即原胞的标数增 加N，振动情况必须复原。
说明波矢空间具有平移对称性,其周期为第一布里渊 区边长.
由布里渊区边界 得： / 2 = a q= /a=2 /
满足形成驻波的条件
q= ±/a正好是布里渊区边界，满足布拉格反射条 件，反射波与入射波叠加形成驻波。
入射波
反射波
(3) 分析讨论 一维单原子简谐振动的波函数：xn=Aei{t-qna} 将波矢 ： q=2s/a+q´（为任意整数）代入
正的q对应在某方向前进的波，负的q对应于相 反方向进行的波。
（2）频谱图
色散关系为周期函数； 当q=0时，=0 当sin(qa/2)=1时，有最大值， 且max=2(ks/m)1/2 max max
-2/a
-/a
0
/a
2/a
一维不喇菲格子振动的频谱
有：
(q)= (q+2 /a)
晶格振动是晶体中诸原子（离子）集体在作振动， 其结果表现为晶格中的格波。

a1 , a2 , a3
a2 Rl
Rl N 2 a 2
a1N N 1 N 2 N 3
Rl N1 a1
(l 1 N 1 )a 1 l 2 a 2 l 3 a 3
根据玻恩---卡门周期性条件：
Rl N 2 a 2
l1 a 1 (l 2 N 2 )a 2 l 3 a 3
l i R l . q -t u A e s
e
i ( R l q t )
e
i ( R l q t )
e
i ( R l q t )
e i R q N a q -t e
三维情况下的态密度：
设一边长为 L的立方体，体积
V L3 包含有N3个原胞，
3
2 于是每个 q 值在波矢空间占据的体积是： L
4 3 L V 3 q 半径为q 的球体积内的模式数目为： 2q 3 2 6
3
V 2 q q dq 球壳内的模式数： 2 q dq 2
l l1 , l2 , l3 l1 N1 , l2 , l3 u u u s s s l l1 , l2 , l3 l1 , l2 N 2,l3 u s u s u s l l1 , l2 , l3 l1 , l2 , l3 N 3 u u u s s s
1 2 2
L dq 2 N 2 g ( ) m d

分立晶格和连续模型的区别：
m , g ( ) 0
g ( )

( 2 M ) B 2 cos( qa ) A 0
2
• 由
2 cos( qa ) B ( 2 m ) A 0
2
• 可得
A B

2 M
2
2 cos( qa )
0
• 因为对光学支 min ( q )
2 m
• 所以振幅之比小于零，这表示相邻不同原子的 振幅方向相反
光学支
LO
LA
离子晶体中长光学波 有特别作用：相对振 动产生电偶极矩，与 电磁波相互作用，导 致强烈的红外光吸收
q
声学支
/a
0
/a

光学支 (2/1/2 M>m
LA LO
(2/m1/2 (2/M1/2
声学支
/a
q
振幅之比——声学支
( 2 M ) B 2 cos( qa ) A 0
2
本征方程
( 2 M ) B 2 cos( qa ) A 0
2
2 cos( qa ) B ( 2 m ) A 0
2
本征方程
2 M
2
2 cos( qa ) 2 m
2
2 cos( qa )
0
(q )
2
( M m ) M Mm
(二）
晶格振动，声子(II)
2、一维双原子链的晶格振动
2、一维双原子链的晶格振动 M
2n-2 平衡时 振动时偏离 平衡位置
d x2n dt
2 2 2
2n-1
2n
2n+1 2n+2
m
a
x2n-1 x2n

晶格振动知识点总结一、晶格振动的基本概念晶体是由离子、原子或分子按一定的周期性排列而成的，因此在晶体中存在着晶格振动。

晶格振动是晶体结构中原子或离子在平衡位置附近作微小振动的一种运动形式。

晶格振动可以分为纵波和横波，纵波是振动方向与传播方向相同的波，而横波是振动方向与传播方向垂直的波。

晶格振动的频率与波数有关，它的频率与相邻的格点的质量和弹性常数有关。

二、晶格振动的特性1. 波数和频率关系对于有限晶格系统，其振动频率与波数之间存在一定的关系。

波数是振幅不同节点之间的间距，而频率是振动的快慢。

在晶体中，振动频率与波数之间存在的关系叫做色散关系。

晶格振动的色散关系可以通过简正坐标的福利叶动力学理论来描述。

2. 声子声子是描述晶体中原子或分子的振动状态的一种粒子状态，它是晶格振动的量子，可以理解为晶格振动的激发态。

声子的能量和动量取决于晶体的结构和材料的属性。

声子的性质对于理解固体材料的热力学性质和电子输运等具有重要意义。

3. 热容晶体的热容是指在单位温度变化下单位质量的物质所吸收或释放的热量。

热容受到晶格振动的影响，由于晶格振动的激发使得晶体中的振动能量增加，从而导致热容的增加。

晶格振动的频率和振幅都会影响晶体的热容。

三、晶格振动的热力学性质1. 声子态密度声子态密度是描述声子激发的集中程度的参数，它是声子频率与波数的函数。

声子态密度与物质的热容、传热系数、热导率等热力学性质有密切关系。

2. 热导率热导率是描述物质传热能力的物理量，它受到晶格振动的影响。

晶体中的声子态密度和振动频率都会影响热导率，声子散射和声子声波会对热导率产生影响。

3. 热膨胀系数热膨胀系数描述了物质在温度变化下的线膨胀率。

晶格振动会对物质的热膨胀系数产生一定的影响，特别在低温下，晶格振动会对热膨胀系数的温度依赖性产生较大的影响。

四、晶体中的声子散射声子与声子之间的相互作用会导致声子的散射，导致声子输运的阻尼。

声子之间的散射包括晶格常数的不均匀性引起的声子散射、声子与晶格缺陷相互作用引起的声子散射以及声子与声子之间的散射等。