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3. 下图为一晶体的晶格振动谱，此晶体为简单晶格还是复式晶格？并简单解释原因。
答：复式晶格；因为存在两支光学支，原胞应包含两个原子。
4. 根据你的理解，什么是声子？声子可以有多少种？你如
何理解声子的产生、消灭？
答：格波能量等价于一谐振子能量，是量子化的，即吸收或释放能量有一个最小单位ħ 。
声子即为格波能量的量子。
一种振动模式（或格波）对应一种声子。
N个原子组成的三维晶体对应3N种集体振动模式，即具有3N种声子。
固体内原子相互作用，从而形成不同的集体振动模式。
外界与晶格振动的相互作用，不是对某个原子的相互作用，实际上是对一种或多种振动模式的作用。
外界作用使某种振动模式的能量增加，对应声子数增加，产生声子；外界作用使某种振动模式的能量减少，对应声子数减少，声子消灭。
声子的产生和消灭就是对应振动模式能量的增加和减少。
晶格振动部分习题参考解答晶格振动部分习题参考解答9.设有一双子链最近邻原子间的力常数为和10，两种原子质量相等，且最近邻距离为a/2，求在q=0,q=aπ处的(q).并定性画出色散曲线。
m m 10 m m ____________________________________________________→←→←22aa 解：已知 21)cos 2(1212221212qa mmA ββββββω++-+=(1) 21)cos 2(12122212120a mmββββββω++-+= (2) 由题意 2＝101＝10代入（1）式得21)cos 20100(111222qa m m A ββββω++-= =21)cos 20101(11qa mm +-ββ=[]21)cos 20101(11qa m+-β当q=0时 0)1111(02=-==mq Aβω 当q=aπ时 mmaq A ββωπ2)911(2=-== 把2=101=10代入（2）式得 []21)cos 20101(1120qa m++βω＝当q=0时m q βω2202== 时aq π±= maq βωπ2020== 10.设三维晶格的光学格波在q=0的长波极限附近有i ω(q)=0－Aq 2（A0），求证光学波频率分布函数(格波密度函数)为：g()=∑-=)1(31s i 24πV2321)(0Ai ωω- i ω≤0g()=0 i ω>0证：由格波密度函数的定义已知，对一支格波在d i ω区间格波数为g (i ω)d i ω=q d d Viτπωωω+3)2(由题意可知在长波极限下等频率面为球面则g(i ω)d i ω=dq q V234)2(ππ 当i ω0ω≤时因为 q 2＝Aq i )(0ωω－ Aq q i )(0ωω-=dq=－[]2121)(2)(0q A q d i i ωωω-所以g(i ω)=2121)(214)2(003i i A A V ωωωωππ--?-??= －2321204)(AV i πωω- 由模式密度的物理意义，取其绝对值而当i ω>0ω时因为i ω＝0ω－Aq 2 所以Aq 2=0ω－i ω 又因为 A >0 q 2>0 (因为q 本身为实数)所以上式右边必满足0ω>i ω 即不存在i ω>0ω的格波则则 g(i ω)=0 又因为三维晶体中共要有3（S －1）支光学格波所以光学波频率分布函数为： g 21203314)()(AV i S i πωωω-=∑-= i ω≤0ωg(ω)=0 ω> 0ω 11．求一维单原子链的格波密度函数；若用德拜模型，计算系统的零点能。
第三章 晶格振动与晶体的热学性质1.什么是简谐近似？解：当原子在平衡位置附近作微小振动时，原子间的相互作用可以视为与位移成正比的虎克力，由此得出原子在其平衡位置附近做简谐振动。
这个近似即称为简谐近似。
2.试定性给出一维单原子链中振动格波的相速度和群速度对波矢的关系曲线，并简要说明其意义。
解：由一维单原子链的色散关系2sin2qamβω= ，可求得一维单原子链中振动格波的相速度为22sinqa qamaqv p βω== (1)2c os qam a dq d v g βω==。
由（1）式及结合上图3.1中可以看出，由于原子的不连续性，相速度不再是常数。
但当0→q 时，mav p β=为一常数。
这是因为当波长很长时，一个波长范围含有若干个原子，相邻原子的位相差很小，原子的不连续效应很小，格波接近与连续媒质中的弹性波。
由（2）式及结合上图3.1中可以看出，格波的群速度也不等于相速度。
但当0→q ，mav v p g β==，体现出弹性波的特征，当q 处于第一布区边界上，即aq π=时，0=g v ，而mav p βπ2=，这表明波矢位于第一布里渊区边界上的格波不能在晶体中传播，实际上它是一种驻波。
3.周期性边界条件的物理含义是什么？引入这个条件后导致什么结果？如果晶体是无限大，q 的取值将会怎样？解：由于实际晶体的大小总是有限的，总存在边界，而显然边界上原子所处的环境与体内原子的不同，从而造成边界处原子的振动状态应该和内部原子有所差别。
考虑到边界对内部原子振动状态的影响，波恩和卡门引入了周期性边界条件。
其具体含义是设想在一长为Na 的有限晶体边界之外，仍然有无穷多个相同的晶体，并且各块晶体内相对应的原子的运动情况一样，即第j 个原子和第j tN +个原子的运动情况一样，其中t ＝1，2，3…。
引入这个条件后，导致描写晶格振动状态的波矢q 只能取一些分立的不同值。
如果晶体是无限大，波矢q 的取值将趋于连续。
半导体物理第一~第五章自测题及参考答案[1]每立方厘米(cm3)体积的硅(Si)或锗(Ge)中，Si或Ge原子个数为5.00 × 1022个或4.42 × 1022个。
Si和Ge的外层电子结构分别为3s23p2和4s24p2。
它们的价带和导带是由sp3杂化轨道形成的准连续能级构成。
那么，1 cm3硅的导带(或价带)中，准连续能级的个数为 2 × 5.00 × 1022个。
1 cm3锗的导带(或价带)中，准连续能级的个数为2 × 4.42 × 1022个。
Si和Ge的外层价电子数均为4。
那么，1 cm3的Si和Ge中价电子数分别为4 × 5.00 × 1022个和 4 × 4.42 × 1022个。
在0 K温度下，这些价电子均填空在导带还是价带（答：价带）？此时，导带中电子数和价带空穴数均为0 ，半导体呈金属性还是绝缘性（答：绝缘性）？当存在本征激发时，本征Si和Ge 的导带和价带中就会产生电子和空穴，设导带电子浓度和价带空穴浓度分别为n0和p0，那么，电中性条件为n0 = p0。
本征载流子浓度用n i表示，室温下，Si的n i相较于Ge的n i更大还是更小（答更小）？n i随温度升高而迅速增加还是减小（答：增加）？导致本征半导体的电阻率随温度升高而增加还是减小（答：减小）？[2]如果将Si的能带图画成图1形式，那么，半导体中有杂质或/和缺陷吗（答：无）？半导体是无限大吗（答：是）？其中，E c代表导带底，E v代表价带顶。
带隙宽度为E c−E v。
如果导带顶部的能量为E cʹ，则导带的能带宽度为E cʹ−E c。
E c处电子的有效质量m n∗ A (A. > 0；B. < 0；C. = 0；D. 不确定)；E v处电子的有效质量m n∗ B (A. > 0；B. < 0；C. = 0；D.不确定)；E v处空穴的有效质量m p∗ A (A. > 0；B. < 0；C. = 0；D. 不确定)图1 Si的简单能带图图2 掺杂Si的简单能带图(虚线为杂质能级)能带越宽，则能带中电子的有效质量是越大还是越小（答：越小）？相较于内层电子轨道交叠形成的能带，外层电子轨道交叠形成的能带更宽还是更窄（答：更宽）？更宽能带中的电子对导电的贡献更小还是更大（答：更大）？[3]若Si中掺杂少量Ⅴ族元素如P、As、Sb，则能带图为图2中的a，相应的半导体是p型还是n型（答：n型）？若掺杂少量Ⅴ族元素如B、Al、Ga，则能带图为图2中的b。
固体物理学答案朱建国版3HUA system office room 【HUA16H-TTMS2A-HUAS8Q8-HUAH1688】固体物理学·习题指导配合《固体物理学（朱建国等编着）》使用2022年4月28日第1章晶体结构 0第2章晶体的结合 (11)第3章晶格振动和晶体的热学性质 (17)第4章晶体缺陷 (26)第5章金属电子论 (30)第1章 晶体结构1.1 有许多金属即可形成体心立方结构，也可以形成面心立方结构。
从一种结构转变为另一种结构时体积变化很小.设体积的变化可以忽略，并以R f 和R b 代表面心立方和体心立方结构中最近邻原子间的距离，试问R f /R b 等于 多少？答：由题意已知，面心、体心立方结构同一棱边相邻原子的距离相等，都设为a ：对于面心立方，处于 面心的原子与顶角原子的距离为：R f =2a对于体心立方，处于体心的原子与顶角原子的距离为：R b那么，RfRb =31.2 晶面指数为（123）的晶面ABC 是离原点O 最近的晶面，OA 、OB 和OC 分别与基失a 1，a 2和a 3重合，除O 点外，OA ，OB 和OC 上是否有格点若ABC 面的指数为（234），情况又如何答：晶面族（123）截a 1,a 2,a 3分别为1,2,3等份，ABC 面是离原点O 最近的晶面，OA 的长度等于a 1的长度，OB 的长度等于a 2长度的1/2，OC 的长度等于a 3长度的1/3，所以只有A 点是格点。
若ABC 面的指数为（234）的晶面族，则A 、B 和C 都不是格点。
1.3 二维布拉维点阵只有5种，试列举并画图表示之。
答：二维布拉维点阵只有五种类型，两晶轴b a 、，夹角 ，如下表所示。
1 简单斜方2 简单正方3 简单六角4 简单长方5 有心长方二维布拉维点阵1.4 在六方晶系中，晶面常用4个指数（hkil ）来表示，如图所示，前3个指数表示晶面族中最靠近原点的晶面在互成120°的共平面轴a 1，a 2，a 3上的截距a 1/h ，a 2/k ，a 3/i ，第四个指数表示该晶面的六重轴c 上的截距c/l.证明：i=-（h+k ） 并将下列用（hkl ）表示的晶面改用（hkil ）表示：（001）(133)(110)(323)（100）（010）(213) 答：证明设晶面族（hkil ）的晶面间距为d ，晶面法线方向的单位矢量为n °。
第五章 晶格振动习题和答案
1．什么叫简正振动模式？简正振动数目、格波数目或格波振动模式数目是否是一回事？
[解答] 为了使问题既简化又能抓住主要矛盾，在分析讨论晶格振动时，将原子间互作用力的泰勒级数中的非线性项忽略掉的近似称为间谐近似。
在间谐近似下，由N 个原子构成的晶体的晶格振动，可等效成3N 个独立的谐振子的振动。
每个谐振子的振动模式称为间正振动模式，它对应着所有的原子都以该模式的频率做振动，它是晶格振动模式中最简单最基本的振动方式。
原子的振动，或者说格波振动通常是这3N 个简正振动模式的线性迭加。
简正振动数目、格波数目或格波振动模式数目是一回事，这个数目等于晶体中所有原子的自由度数之和，即等3N 。
2．长光学支格波与长声学支格波本质上有何差别？
[解答] 长光学支格波的特征是每个原胞内的不同原子做相对振动，振动频略较高，它包含了晶格振动频率最高的振动模式。
长声学支格波的特征原胞内的不同原子没有相对位移，原胞做整体运动，振动频率较低，它包含了晶格振动频率最低的振动模式，波速是一常数。
任何晶体都存在声学支格波，但简单晶格（非复式格子）晶体不存在光学支格波。
3． 温度一定，一个光学波的声子数目多呢，还是声学波的声子数目多？ [解答] 频率为ω的格波的（平均）声子数为
1
1)(/-=
T k B e n ωω
因为光学波的频率0ω比声学波的频率A ω高，（1/0-T
k B e
ω ）大于（1/-T k B A e ω ），所以在温度一定情况下，
一个光学波的声子数目少于一个声学波的声子数目。
4． 对同一个振动模式，温度高时的声子数目多呢，还是温度低时的声子数目多呢？
[解答] 设温度H T 〉L T ，由于（1/-H
B T k e
ω ）大于（1/-L B T k e ω ），所以对同一个振动模式，温度
高时的声子数目多于温度低时的声子数目。
5． 高温时，频率为ω的格波的声子数目与温度有何关系？
[解答] 温度很高时，T k e
B T
k B /1/ωω +≈ ，频率为ω的格波的（平均）声子数为
ω
ωω T
k e n B T k B ≈-=
1
1)(/ 可见高温时，格波的声子数目与温度近似成正比。
6． 喇曼散射方法中，光子会不会产生倒逆散射？
[解答] 晶格振动谱的测定中，光波的波长与格波的波长越接近，光波与声波的相互作用才越显著。
喇曼散射中所用的红外光，对晶格振动谱来说，该波长属于长波长范围。
因此，喇曼散射是光子与长光学波声子的相互作用。
长光学波声子的波矢很小，相应的动量q 不大。
而能产生倒逆散射的条件是光的入射
波矢k 与散射波矢/k 要大，散射角θ也要大。
k 与/
k 大要求波长小，散射角θ大要求q 大，但对喇曼散射来说，这两点都不满足。
即喇曼散射中，光子不会产生倒逆散射。
7． 长声学格波能否导致离子晶体的宏观极化？
[解答] 长光学波所以能导致离子晶体的宏观极化，其根源是长光学格波使得原胞内不同的原子（正负离子）产生了相对位移，长声学格波的特点是，原胞内所有的原子没有位移。
因此，长声学格波不能导致离子晶体的宏观极化。
8．你认为简单晶体存在强烈的红外吸收吗？
[解答] 实验已经证实，离子晶体能强烈吸收远红外光波。
这种现象产生的根源是离子晶体中的长光学横波能与远红外电磁场发生强烈耦合。
简单晶格中不存在光学波，所以简单晶格不会吸收远红外光波。
9． 爱因斯坦模型在低温下与实验存在偏差的根源是什么？
[解答] 按照爱因斯坦温度的定义，爱因斯坦模型的格波的频率大约为H 13
10z ，属于光学支频率。
但光学格波在低温时对热容的贡献非常小，低温下对热容贡献大的主要是长声学格波。
也就是说爱因斯坦没考虑声学波对热容的贡献是爱因斯坦模型在低温下与实验存在偏差的根源。
10．在甚低温下，德拜模型为什么与实验相符？
[解答] 在甚低温下，不仅光学波得不到激发，而且声子能量较大的短声学格波也未被激发，得到激发的只是声子能量较小的长声学格波。
长声学格波即弹性波。
德拜模型只考虑弹性波对热容的贡献。
因此，再甚低温下，德拜模型与事实相符，自然与实验相符。
11．在绝对零度时还有格波存在吗？若存在，格波间还有能量交换吗？ [解答] 频率为i ω的格波的振动能为
i i i n ωε ⎪⎭
⎫ ⎝⎛
+=21，
其中i i n ω 是由i n 个声子携带的热振动能，（2/i ω ）是零点振动能，声子数
1
1/-=
T
k i B i e
n ω
绝对零度时，0=i n 。
频率为i ω的格波的振动能只剩下零点振动能。
格波间交换能量是靠声子的碰撞实现的。
绝对零度时，声子消失，格波间不再交换能量。
12．一维复式格子，原子质量都为m ，原子统一编号，任一原子与两最近邻的间距不同，力常数不同，分
别为1β和2β，晶格常数为a ，求原子的运动方程及色散关系。
[解答]
一维双原子分子链
此题实际是一双原子分子链(如图所示)。
设相邻分子间两原子的力常数为2β，间距为b ；一个分子内两原子力常数为1β ；晶格常数为a ；第1-n ，n ，1+n ，2+n 个原子的位移分别为1-n u ，n u ，1+n u ，
2+n u ，第1-n 与第1+n 个原子属于同一原子，第n 与第2+n 原子属于同一原子，于是第n 和第1+n 原
子受的力分别为
()()1112-+---=n n n n n u u u u f ββ ()()n n n n n u u u u f ---=++++121211ββ
其运动方程分别为
()()111222-+---=n n n n n
u u u u dt u d m ββ ()()n n n n n u u u u dt
u d m ---=++++121212
12ββ 设波格的解分别为
)2
1
()2(t qna i t a n q i n Ae
Ae u ωω-⎥⎦
⎤⎢⎣⎡-== )2
1
()2(/
1t qna i t qb a n q i n Be
e
B u ωω-⎥⎦
⎤⎢⎣⎡-++==
代入运动方程，得
)()(122iqa Be A A B A m ----=-ββω )()(212A B B Ae B m iqa ---=-ββω
整理得
0)()(12221=+--+-B e A m iqa ββωββ 0)()(22112=-+-+-B m A iqa ωββββ
由于A 和B 不可能同时为零，因此其系数行列式必定为零，即
0)
()()
()(2211212221=-++-+--+-ωββββββωββm e e m iqa iqa
解上式可得
⎭
⎬⎫⎩⎨⎧+-±+=
⎭
⎬⎫⎩⎨⎧+-±+=2/122
2121212/122
2121222212
)]2(sin )(41[1)()]2(sin )(164[22)(qa m qa m m m m ββββββββββββω
由上式知，存在两种独立的格波，声学格波的色散关系为
⎭⎬⎫⎩⎨⎧+--+=
2/122
2121212)]2(sin )(41[1)(qa m A ββββββω
光学格波的色散关系为
⎭⎬⎫⎩⎨⎧+-++=
2/122
2121212
0)]2(sin )(41[1)(qa m ββββββω
13．晶体的自由能可写成),()(2V T F V U F += 若)(
2T Tf F D Θ=，求证 )()1(0
T f T
V V U P D Θ∂∂
+∂∂-=γ
，式中γ为格林爱森常数 [解答]根据V
F
P ∂∂-
=，得
)()
()
()(02T
f V T V U T f V d1n d1n V T V U T f dV d T V U
T
f V T V U V F V U P D D D D D D D D D D D ΘΘ∂∂
Θ+∂∂-
=ΘΘ∂∂ΘΘ-∂∂-=ΘΘ∂∂Θ-∂∂-=Θ∂∂
-∂∂-=∂∂-∂∂-
=γ
式中dInV
dIn V d1n d1n D
D ωγ=Θ-
=为格林爱森常数。
再由
)()(1
)(T f T
T
T f D D D D ΘΘ∂∂
=ΘΘ∂∂ ⎪⎭
⎫ ⎝⎛Θ⎪⎭
⎫ ⎝⎛Θ∂∂Θ=Θ∂∂T
f T T f T D D D D )()1( 得
)()(1
)(T f T
T T f D D
D D Θ∂∂
Θ=ΘΘ∂∂ 将此结果代入P 的表示式，便得 )()1(0
T f T
V V U P D Θ∂∂
+∂∂-
=γ。
