关于右半平面上Laplace-Stieltjes变换
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第１１卷第９期 ２ ０ １ ２年９月 南阳师范学院学报 Ｊｏｕｒｎａｌ ｏｆ Ｎａｎｙａｎｇ Ｎｏｒｍａｌ Ｕｎｉｖｅｒｓｉｔｙ Ｖｏ１．１１ Ｎｏ．＇９ Ｓｅｐ．２０１２
关于右半平面上Ｌａｐｌａｃｅ—Ｓｔｉｅｌｔｊｅｓ
张洪申，徐少贤
（南阳师范学院数学与统计学院，河南南阳４７３０６１） 变换
摘要：研究了Ｌａｐｌａｃｅ—Ｓｔｉｅｈｊｅｓ变换所定义的右半平面上有限正级解析函数的增长性，得到了其型函数与其增长性关
系的结果，推广了右半平面上Ｄｉｒｉｃｈｌｅｔ级数相关结果，并改进了右半平面上Ｄｉｒｉｃｈｌｅｔ级数相关结果的证明．
关键词：Ｌａｐｌａｃｅ－Ｓｔｉｅｌｔｊｅｓ变换；型函数；增长性 中图分类号：０ １７４．５５ 文献标志码：Ａ 文章编号：１６７１—６１３２（２０１２）０９—０００１一ｏ４
１ 引言与定义
设Ｌａｐｌａｃｅ—Ｓｔｉｅｈｊｅｓ变换
Ｆ（ｓ）＝Ｉ ｅ－ｓｘｄａ（ｘ） （ｓ＝ｏｒ＋ｉｔ）， （１）
其中 （ ）是［０，Ｘ］（０＜Ｘ＜＋ａ。）上的有界变差函数．文献［１］首先引入了Ｌａｐｌａｃｅ－Ｓｔｉｅｈｊｅｓ变换所表示
的整函数的“最大模”与“最大项”概念，定义了Ｌａｐｌａｃｅ－Ｓｔｉｅｌｔｊｅｓ变换所表示整函数的级，并建立了 （ｏｒ，Ｆ）与
（ｏｒ，Ｆ），ｒ 与ｒ 之间重要的关系式等．最近，有不少文献继续研究这一问题．如文献［２—３］研究了右半
平面上ｏ（ｏ≤Ｐ＜＋∞）级Ｌａｐｌａｃｅ—Ｓｔｉｅｌｔｊｅｓ变换的增长性，文献［４］研究了右半平面上ｐ（ｏ＜Ｐ≤＋∞）级
Ｌａｐｌａｃｅ—Ｓｔｉｅｌｔｊｅｓ变换的值分布，文献［５—６］研究了全平面上ｐ（ｏ＜Ｐ≤∞）级Ｌａｐｌａｃｅ—Ｓｔｉｅｌｔｊｅｓ变换的增长
性．本文进一步研究了Ｌａｐｌａｃｅ・Ｓｔｉｅｌｔｊｅｓ变换所定义的右半平面上有限正级解析函数的增长性，得到了其型
函数与其增长性关系的结果．这推广了右半平面上Ｄｉｒｉｃｈｌｅｔ级数相关结果，改进并简化了右半平面上
Ｄｉｒｉｃｈｌｅｔ级数相关结果的证明．
设｛Ａ ｝满足
０＝Ａｌ＜Ａ２＜…＜Ａ 丁 ＋∞， （２）
＝Ｄ＜＋∞，一ｌｉｍ（Ａ川一Ａ ）＜＋ａｏ． （３） ＾ｎ ｎ ｔ 变换（１）满足
一ｌｉｍ ：０，— ＝。 （４） ∞ ＾ｎ 其中
Ａ ＝ ｓｕｐ Ｉ Ｊ ｅ ｄａ（Ｙ）Ｉ． ＾ ‘ 毫＾ｎ＋ｌ ““ 一∞《‘‘＋蕾 记 Ｆ＝ｉｎｆ｛ｏｒ。Ｉ，（ｓ）在 ≥ｏｒ。上一致收敛｝，由文献［１］知 Ｆ＝０，这样Ｆ（ｓ）为右半平面（ｏｒ＞０）内
的一个解析函数．对ｏｒ．＞０，记
（ＯＩ，Ｆ）＝．ｓｕｐ ｌ Ｉ ｅ－（ｏ－＋ｔｔ）￣ｄａ（ｙ）ｌ， （ｏｒ，Ｆ）＝ｍａｘ｛Ａ ｅ ｝． ０＜ ＜＋∞ｄｏ １《 ＜＋∞ 定义１ 若
收稿日期：２０１２—０５—１６ 基金项目：河南省自然科学基金研究项目（１１２３００４１０３００）
作者简介：张供申（１９６３一），河南邓州人。副教授，主要从事函数论教学与研究 南阳师范学院学报 第１１卷
－ｌｎ’ｌｎ。Ｍ （ ，Ｆ） １．＋ｉｍｏ＋———＿—一 ｐ’ １ｎ一１
则称Ｆ（ｓ）在 ＞０上为Ｐ级；对０＜Ｐ＜＋Ｏ０时，称Ｆ（ｓ）在 ＞０上为有限正级．
对０＜ｐ＜＋∞，文献［７］的系理４・ｌ给出了Ｉｎ￣Ｍ （ＩＴ，Ｆ）的型函数 （ｒ）＝ ’（ｒ 吉），其中ｐ（ｒ）
连续可微，一ｌｉｍ＋ ｐ（ｒ） Ｐ，且
…ｌｉｒａ ｐ …。； Ｖ… ｌｉｍ
设Ｌａｐｌａｃｅ—Ｓｔｉｅｌｔｊｅｓ变换（１）满足（２）一（４），由文献［２］定理１的证明过程（或文献［４］引理２．２的证 明过程）知，对任意小 ＞０有
ｇ（ｉＴ，Ｆ）≤４肘“（ＩＴ，Ｆ），Ｍｕ（ＩＴ，Ｆ）≤Ｇ （（１一ｅ）ＩＴ，Ｆ）言， （５）
其中，Ｃ（＞０）是常数．
２引理与定理
引理１…设口＞ｏ，Ａ＞０， ＞０，则 （ ）＝口 （吉）＋ Ａ在 ＝ 跌手（１＋。（１）（Ａ－－￣＋∞）
时达到最小值
。 。 （１＋Ｄ（１））（ ～），
其中， （ｒ）是定义１中的型函数，ｒ：Ｉｖ（ｔ）与 ：， （，）互为反函数，且 （ ）＝ １（１＋。（１））Ｉｖ（ｔ）
引理２ 设。＞。， ＞。，则 （ ）＝ ｂ ｘ — 在 ：（ ） １・ （吉）。（１＋。（１））（ 一。 ）
时达到最大值‘
（ ）“ 吉）．（ （１））（ 一 ，
其中， （ｔ）与ｕ（ｒ）同引理１． 定理１设Ｌａｐｌａｃｅ－Ｓｔｉｅｌｔｊｅｓ变换（１）满足（２）一（４），且为ｏ（ｏ＜ｐ＜＋∞）级，则
：１： ，
・ 一 吉） 一” （南） 、１ｎ ４’
其中，ｎ＝（１＋ｐ）¨ ・Ｐ一，Ｕ（ｒ）为Ｉｎ Ｍ （ＩＴ，Ｆ）的型函数．
证明：由型函数的性质知，—ｌｉｍ— ：１，下证 — 一：１． 一 吉） 一 （鑫ｒｌ Ａ） 、１’ ’
对任意 ＞０，存在 。＞０，当０＜ ＜ 。时，１ｎ 肘 （ ，Ｆ）＜（１＋占） （吉）・由（５）与ｇ（ｉＴ，Ｆ）
ｌｎ Ａ：＜（１＋８） （ ｏｒ）＋Ａ ＋Ｉｎ４＜（１＋２ ） （吉）＋Ａ ｎ ・
用引理１，取充分大的Ｎｏ，当ｎ＞Ｎｏ时，有
ｌｎ ：≤志 （１＋２占） ｌ＋ ・
≤ （１＋２ １＋Ｄ（１
第９期 张洪申等：关于右半平面上Ｌａｐｌａｃｅ－Ｓｔｉｅｌｔｊｅｓ变换
Ａ ≤ 南（１＋２ ）南（１＋。（１）） ‘ｉ ａ七（１＋２ ）南（１＋。（１）））
由Ｕ（ｒ）的性质得
Ａ ≤南 （ ） ＋２ ｌ＋Ｄ（１））．
这样
： ≤（１＋２占）（１＋０（１））． 一≤（１＋Ｚ占）（１＋ （１ Ｊ Ｊ． （ ）
所以
： ≤１． 一 ａＵ（ （－ ）
若 — ： ＜ｌ，则对任意ｓ，＞０，存在Ｎ＞０，当ｎ＞Ⅳｎ时 ｏ 一” （南）
ｌｎ ： ｙ¨，） （南）・ ’
即
Ａ ＜ ｃ志 ．
即 （ ）
ｌｎ Ａ ＜ （＿ ａ【 对任意小 ＞０，用（５）， （ ，Ｆ）的意义，（６），引理２
由（７）得 Ａ
－）
与 （ｒ）的性质得
ｌｎ Ｍ （ ，Ｆ）≤１ｎ＋Ｃ＋１ｎ ＋ｍａｘ｛１ｎ＋Ａ 一Ａ．ｔｒ（１— ）｝≤ １《／ｉ，＜＋
１ｎ＋Ｃ＋１ｎ １＋ １ 南《ｎ＜＋∞ Ａ （ ） Ｕ、ｙ Ｔ ６，
２ｌｎ ＋，ｍａｘ｛ａ（ ＋ ，） ‘ ｆ
在（８）中，令 一０，ｓ一０得 一Ａ （１一 ）｝≤ ・３・
（６）
一 （１一占）ａ（ ＋８ ）｝≤‘７’
）ｐ‘ ｌ一硒）
（１＋Ｄ（１）） 等ｕ（吉）＋２・ｎ吉．
ｌｎ Ｍ （ ，Ｆ）
Ｕ 。 ｆ ） （８）
＜ ・４・ 南阳师范学院学报 第１１卷
矛盾，本定理得证． ｌｉｍ Ｕ 一 （ ）
参 考 文 献
余家荣．Ｌａｐｌａｃｅ－Ｓｔｉｅｌ０ｅｓ变换所定义的整函数之Ｂｏｒｅｌ线［Ｊ］．数学学报，１９６３，１３（３）：４７１—４８４．
Ｋｏｎｇ Ｙ Ｙ，Ｓｕｎ Ｄ Ｃ．Ｏｎ ｔｙｐｅ－ｆｕｎｃｔｉｏｎ ａｎｄ ｔｈｅ ｇｒｏｗｔｈ ｏｆ Ｌａｐｌａｃｅ－Ｓｔｉｅｌ０ｅｓ ｔｒａｎｓｆｏｒｍｓ ｃｏｎｖｅｒｇｅｎｔ ｉｎ ｔｈｅ ｒｉｇｈｔ ｈａｌｆ－ｐｌａｎｅ［Ｊ］． Ａｄｖａｎｃｅｓ ｉｎ Ｍａｔｈｅｍａｔｉｃｓ，２００７，３７（２）：１９７—２０５． Ｋｏｎｇ Ｙ Ｙ，Ｓｕｎ Ｄ Ｃ．Ｏｎ ｔｈｅ ｇｒｏｗｔｈ ｏｆ ｚｅｒｏ ｏｒｄｅｒ Ｌａｐｌａｃｅ—Ｓｔｉｅｌｆｉｅｓ ｔｒａｎｓｆｏｒｍｓ ｃｏｎｖｅｒｇｅｎｔ ｉｎ ｔｈｅ ｒｉｇｈｔ ｈａｌｆ－ｐｌａｎｅ［Ｊ］．Ａｃｔａ Ｍａｔｈｅｍａｔｉｃａ Ｓｃｉｅｎｔｉａ，２００８，２８Ｂ（２）：４３１—４４０． 尚丽娜，高宗升．Ｌａｐｌａｃｅ—Ｓｔｉｅｌｔｊｅｓ变换所表示的解析函数的值分布［Ｊ］．数学学报：中文版，２００８，５１（５）：９９３—１０００． 李云霞，邓冠铁．Ｌａｐｌａｃｅ－Ｓｔｉｅｌ￣ｅｓ变换所定义的有限级整函数的增长性［Ｊ］．北京师范大学学报：自然科学版，２０１０， ４６（２）：１１５—１１８． 尚丽娜，高宗升．Ｌａｐｌａｃｅ・Ｓｔｉｅｌ０ｅｓ变换所定义的无限级整函数的增长性［Ｊ］．数学物理学报，２００７，２７Ａ（６）：１０３５
—１０４３． 庄圻泰．亚纯函数的奇异方向［Ｍ］．北京：科学出版社，１９８２：１１６—１１７． 余家荣．随机Ｄｉｒｉｃｈｌｅｔ级数的一些性质［Ｊ］．数学学报，１９７８，２１（２４）：９７—１１８． 刘名生．半平面上有限级Ｄｉｒｉｃｈｌｅｔ级数的正规增长［Ｊ］．系统科学与数学，２００２，２２ Ａ（２）：２２９—２３８．
Ｏｎ ｔｈｅ Ｌａｐｌａｃｅ－Ｓｔｉｅｌｔｊｅｓ ｔｒａｎｓｆｏｒｍｓ ｉｎ ｔｈｅ ｒｉｇｈｔ ｈａｌｆ ｐｌａｎｅ
ＺＨＡＮＧ Ｈｏｎｇ－ｓｈｅｎ，ＸＵ Ｓｈａｏ－ｘｉａｎ
（Ｓｃｈｏｏｌ ｏｆ Ｍａｔｈｅｍａｔｉｃｓ ａｎｄ Ｓｔａｔ￣ｔｗｓ，Ｎａｎｙａｎｇ Ｎｏｒｍａｌ Ｕｎｉｖｅｒｓｉｔｙ，Ｎａｎｙａｎｇ ４７３０６１，Ｃｈｉｎａ）
Ａｂｓｔｒａｃｔ：Ｔｈｅ ｇｒｏｗｔｈ ｏｆ ａｎａｌｙｔｉｃ ｆｕｎｃｔｉｏｎｓ ｏｆ ｐ（０＜ｐ＜＋∞）ｏｒｄｅｒ ｄｅｆｉｎｅｄ ｂｙ Ｌａｐｌａｃｅ－Ｓｔｉｅｌｔｊｅｓ ｔｒａｎｓｆｏｒｍｓ ｉｎ ｔｈｅ
ｒｉｇｈｔ ｈａｌｆ ｐｌａｎｅ ｉｓ ｉｎｖｅｓｔｉｇａｔｅｄ．Ｔｈｅ ｒｅｓｕｌｔ ｓｉｍｉｌａｒ ｔｏ Ｄｉｒｉｃｈｌｅｔ ｓｅｒｉｅｓ ｉｓ ｏｂｔａｉｎｅｄ ｗｈｉｃｈ ｉｍｐｒｏｖｅｓ ｔｈｅ ｐｒｏｏｆ ｏｆ ｔｈｅ ｒｅｓｕｌｔ ｓｉｍｉｌａｒ ｔｏ Ｄｉｒｉｃｈｌｅｔ ｓｅｒｉｅｓ．
Ｋｅｙ ｗｏｒｄｓ：Ｌａｐｌａｃｅ—Ｓｔｉｅｌｔｊｅｓ ｔｒａｎｓｆｏｒｍ；ｔｙｐｅ・ｆｕｎｃｔｉｏｎ；ｇｒｏｗｔｈ １ｉ １：１ｊ ｌ ２ ３ ４ ５ ６ ７ ８ ９ ｒ｝ｒ；ｒｌ
