山西省朔州市平鲁区李林中学2018-2019学年高二上学期第一次月考数学(理)试卷+Word版含答案
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高二数学理科试卷 评卷人 得分 一、单项选择(每小题5分,共60分)
1、下列说法中正确的是( ) A.有两个面平行,其余各面都是三角形的几何体叫棱柱 B.有两个面平行,其余各面都是梯形的几何体叫棱台 C.有一个面是多边形,其余各面都是五边形的几何体叫棱锥 D.棱台各侧棱的延长线交于一点 2、将一个等腰梯形绕着它的较长的底边所在直线旋转一周,所得的几何体包括( ) A.一个圆台、两个圆锥 B.两个圆台、一个圆柱 C.两个圆台、一个圆锥 D.一个圆柱、两个圆锥
3、有一个几何体的三视图及其尺寸如下图(单位:cm),则该几何体的表面积为( )
A.12πcm2 B.15πcm2 C. 24πcm2 D.36πcm2 4、将棱长为2的正方体木块切削成一个体积最大的球,则该球的体积为 ( ) A. 34 B.32 C.23 D. 6 5、用符号表示“点A在直线l上,l在平面α外”,正确的是( ) A.,All B.,All C.,All D.,All 6、已知直线a//平面,直线b平面,则( ). A.a//b B.a与b异面 C.a与b相交 D.a与b无公共点
7、如图,是水平放置的的直观图,则的面积为
A. 6 B. C. 12 D. 8、长方体的一个顶点上三条棱长分别是3,4,5,且它的8个顶点都在同一球面上,则这个球的表面积是( ) A.25 B.50 C.125 D.都不对 9、已知,mn是两条不同的直线,,是两个不同的平面,则下列命题正确的是( )
A.若//,//mn,则//mn B.若//,mnm,则n C.若//,//mm,则// D.若//,m,则m 10.空间四边形的两条对角线互相垂直,顺次连接四边中点的四边形一定是( ) A.空间四边形 B.矩形C.菱形 D.正方形
11、在三棱锥中,,为等边三角形,,是的中点,则异面直线和所成角的余弦值为( )
A. B. C. D. 12、如图,在棱长为a的正方体ABCD﹣A1B1C1D1中,P为A1D1的中点,Q为A1B1上任意一点,E,F为CD上任意两点,且EF的长为定值b,则下面的四个值中不为定值的是( ) A.点P到平面QEF的距离 B.三棱锥P﹣QEF的体积 C.直线PQ与平面PEF所成的角 D.二面角P﹣EF﹣Q的大小
评卷人 得分 二、填空题(每小题5分,共20分)
13、某几何体的三视图如图所示,则其体积为__________。
14、若三个球的表面积之比是1:2:3,则它们的体积之比是________. 15、正四棱柱1111ABCDABCD中, 12AAAB,则1AD与平面11BBD所成角的正弦值为_________ 16、如图,以等腰直角三角形ABC的斜边BC上的高AD为折痕,把△ABD和△ACD折成互相垂直的两个平面后,某学生得出下列四个结论: ①BD⊥AC; ②△BAC是等边三角形; ③三棱锥D-ABC是正三棱锥; ④平面ADC⊥平面ABC。
其中正确的是___________ 评卷人 得分 三、解答题
17、(12分)如图1,在四棱锥P-ABCD中,底面为正方形,PC与底面ABCD垂直,图2为该四棱锥的正视图和侧视图,它们是腰长为6 cm的全等的等腰直角三角形.
(1)根据图2所给的正视图、侧视图,画出相应的俯视图,并求出该俯视图的面积; (2)求侧棱PA的长.
18、(10分)球的两个平行截面的面积分别是5π,8π,两截面间的距离为1,求球的半径. 19、(12分)如图四边形ABCD为梯形,0//,90,2,4ADBCABCADAB,5BC,图中阴影部分(梯形剪去一个扇形)绕AB旋转一周形成一个旋转体. (1)求该旋转体的表面积; (2)求该旋转体的体积. 20、(12分)如图,边长为4的正方形与矩形所在平面互相垂直,分别为的中点,.
(1)求证:平面; (2)求证:平面; (3)在线段上是否存在一点,使得?若存在,求出的长;若不存在,请说明理由. 21、(12分)如图,在三棱柱111ABCABC中,1AA平面ABC,ABC为正三角形,
16AAAB,D为AC的中点.
(Ⅰ)求证:平面1BCD平面11AACC;(Ⅱ)求三棱锥1CBCD的体积. 22、(12分)已知四棱锥ABCDP(如图)底面是边长为2的正方形. PA平面ABCD,2PA,M,N分别为AD,BC的中点,PDMQ于Q.
(Ⅰ)求证:平面PMN⊥平面PAD;(Ⅱ)求二面角QMNP的余弦值.
高二数学理科试卷 答案 一.选择题 1--5 DDCAB 6--10 DCBBB 11--12 BC 二.填空题
13.π3 14.1:22:33 15.1010 16.①②③ 三、解答题 17、解(1)该四棱锥的俯视图为内含对角线,边长为6 cm的正方形,如图,其面积为36 cm2.
(2)由侧视图可求得 由正视图可知AD=6且AD⊥PD, 所以在Rt△APD中,
18、解。设两个平行截面圆的半径分别为r1,r2,球半径为R,则由πr=5π,得r1=.由πr=8π,得r2=2. (1)如图所示,当两个截面位于球心O的同侧时,有-=1,所以=1+,解得R=3.
(2)当两个截面位于球心O的异侧时,有+=1.此方程无解. 所以球的半径是3
19、解:(1)
旋转后的几何体是一个圆台从上面挖去一个半球, 旋转体的表面积由三部分组成: 214282S半球
25535S
圆台侧
2525S
圆台底,
∴旋转体的表面积为8352568S表. (2)该旋转体的体积由两部分相减而得
525522322圆台V
341162323V半球,
∴旋转体的体积为161405233V. 20.解:(I)因为为正方形,所以。 因为平面,,,所以. (Ⅱ)连结
因为是的中点,且为矩形,所以也是的中点。因为是的中点,所以∥,因为,所以MN∥平面CDFE。 (Ⅲ)过点作交线段于点,则点即为所求。因为ABCD为正方形,所以∥。因为,所以,因为,所以。因为,且,所以,因为,所以。因为与相似,所
以,因为,所以。 21、解:(Ⅰ)证明:因为1AA底面ABC,所以1AABD 因为底面ABC正三角形,D是AC的中点,所以BDAC 因为AACAA1,所以BD平面11ACCA 因为平面BD平面1BCD,所以平面1BCD平面11ACCA (Ⅱ)由(Ⅰ)知ABC中,BDAC,sin6033BDBC 所以19333322BCDS 所以1119369332CBCDCCBDVV 22、1、【答案】方法一:(Ⅰ)证明:∵PA平面ABCD,MN平面ABCD,∴MNPA. ∵ M,N分别为AD,BC的中点,且四边形ABCD是正方形,∴.MNAD ∵PA平面PAD,AD平面PAD,且,PAADA ∴MN平面PAD. „„„„„„„„„„„„„3分 MN平面PMN,
∴平面PMN⊥平面PAD. „„„„„„„„4分 (Ⅱ)解:由(Ⅰ)MN平面PAD, 及PM平面PAD,MQ平面PAD 知,.MNPMMNNQ ∵平面PMN平面QMNMN ∴PMQ为二面角QMNP的平面角. „„„„„„„11分
在RtPAD中, PDMQ,225,PMPAAM22,PD 2,2PAMDMQPD1010cosPM
MQPMQ
故二面角QMNP的余弦值为10.10 „„„„12分
方法二: 解:∵四棱锥ABCDP的底面是边长为2的正方形, 且PA平面ABCD, ∴以A为原点,射线,,ABADAP分别为,,xyz轴的正半轴,可建立空间直角坐标系(如图).
2,PA∴
(0,0,0),(2,0,0),(2,2,0),(0,2,0),(0,0,2),(0,2,0),(0,0,2).ABCDPADAP
M
,N分别为AD,BC的中点,
∴(0,1,0),(2,1,0),(2,0,0).MNMN (Ⅰ)2002000,2000020.MNADMNAP
∴MNAD,.MNPA ∵PA平面PAD,AD平面PAD,且,PAADA ∴MN平面PAD. „„„„„„„„„„„„„„„„„„3分
(Ⅱ)设平面PMN的一个法向量为(,,)nxyz, 则200,nMNxx(,,)(0,1,2)202,nPMxyzyzyz 取(0,2,1)n. (0,2,2)(2,0,0)0,PDMNPDMN
PDMQ, MN平面MNQ,MQ平面MNQ,,MNMQM
∴PD平面MNQ,(0,2,2)PD 是平面MNQ的一个法向量. 由图形知二面角QMNP的平面角是锐角,
故210cos.1058nPDnPD
所以二面角QMNP的余弦值为10.10 „„„„12分