2015-2016学年山西省忻州市第一中学高一下学期期末考试数学(文)试题
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2015-2016学年度第二学期期末考试试题高 一 数 学（文）注意事项：1．考生务必用0.5mm 黑色中性笔答题.2．请把答案做在答题卡上，交卷时只交答题卡，不交试题，答案写在试题上无效。
3．满分150分，考试时间120分钟.一．选择题(本大题共12个小题，每小题5分，共60分，在每个小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．满足条件a=4，b=52，A=45o 的△ABC 的个数是 ( ) A ．1B ．2C ．无数个D ．不存在2．已知数列{a n }满足a 1＝1，a n ＋1＝a n ＋2n ，则a 10＝ ( ) A ．1024B ．1023C ．2048D ．20473．若0＜a ＜1，则不等式(x -a)(x -1a )>0的解集是 ( ) A ．{x|x ＜a 或x ＞1a } B ．{x|1a ＜x ＜a} C ．{x|a ＜x ＜1a }D ．{x|x ＜1a 或x ＞a} 4．在△ABC 中，sin 2A ≤sin 2B ＋sin 2C －sin Bsin C ，则A 的取值范围是 ( )A ．⎝⎛⎦⎤0，π6 B ．⎣⎡⎦⎤π6，πC ．⎝⎛⎦⎤0，π3 D ．⎣⎡⎭⎫π3，π5．在数列{a n }中，a n ＝－2n 2＋29n ＋3，则此数列最大项的值是 ( ) A ．102B ．8658C ．8178D ．1086．在△ABC 中，角A 、B 、C 所对的边分别为a 、b 、c ，且b 2＋c 2＝a 2＋bc . 若sin B ·sin C ＝sin 2A ，则△ABC 的形状是 ( ) A ．等腰三角形 B ．直角三角形 C ．等边三角形D ．等腰直角三角形7．设a ＝12cos6°－32sin6°，b ＝2sin13°cos13°，c ＝1－cos50°2，则有 ( ) A ．a ＞b ＞cB ．a ＜b ＜cC ．b ＜c ＜aD ．a ＜c ＜b8．△ABC 的三内角A 、B 、C 所对边的长分别为a ，b ，c ，设向量p →＝(a ＋c ，b)， q →＝(b －a ，c －a)，若p →∥q →，则角C 的大小为 ( ) A ．π6B ．π3C ．π2D ．2π39．已知f(x)是周期为2的奇函数，当0＜x ＜1时，f(x)＝lgx ，设a ＝f ⎝⎛⎭⎫65，b ＝f ⎝⎛⎭⎫32， c ＝f ⎝⎛⎭⎫52，则a 、b 、c 的大小关系是 ( )A ．c ＜a ＜bB ．a ＜b ＜cC ．b ＜a ＜cD ．c ＜b ＜a10．数列{a n }中，若S n =3n +m -5，数列{a n }是等比数列，则m= ( ) A ．2B ．1C ．－1D ．411．在区间[0，π]上随机取一个数x ，则事件“sinx ≥|cosx |”发生的概率为( ) A ．14B ．12C ．34D ．112．设函数f (x )的定义域为R ，周期是2，f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x ， 0≤x ≤1，⎝⎛⎭⎫12x －1，－1≤x ＜0.，若在区间[－1，3]上函数g (x )＝f (x )－mx －m 恰有四个不同零点，则实数m 的取值范围是( ) A ．⎣⎡⎦⎤0，12 B ．⎣⎡⎭⎫0，14 C ．⎝⎛⎦⎤0，12 D ．⎝⎛⎦⎤0，14 二．填空题：（本大题共4小题,每小题5分，共20分）13．函数f (x )＝sin 2⎝⎛⎭⎫2x －π4的最小正周期是______________. 14．设a>-38，P ＝a+41－a+40，Q ＝a+39－a+38，则P 与Q 的大小关系为 15．数列{a n }中，a 1＝1，对于所有的n ≥2，n ∈N *，都有a 1·a 2·a 3·…·a n ＝n 2， 则a 3＋a 5＝______________. 16．给出下列结论:①2ab 是a 2+b 2的最小值;②设a>0，b>0，2ab 的最大值是a+b;③x 2+4 + 1x 2+4的最小值是2；④若x>0，则cosx+1cosx ≥2cosx·1cosx =2；⑤若a>b>0，a+b 2>ab>2aba+b ．其中正确结论的编号是______________.（写出所有正确的编号） 三．解答题：（本大题共6小题，共70分）17．(本小题满分10分)已知1≤lg x y ≤2，2≤lg x 3y ≤3，求lg x 33y的取值范围．18．(本小题满分12分)为了让学生了解更多“奥运会”知识，某中学举行了一次“奥运知识竞赛”，共有800名学生参加了这次竞赛，为了解本次竞赛成绩情况，从中抽取部分学生的成绩(得分均为整数，满分为100分)(1)000,001,002，…，799，试写出第二组第一位学生的编号；(2)求频率分布表格中a,b 的值，并估计800学生的平均成绩；(3)若成绩在85～95分的学生为二等奖，问参赛学生中获得二等奖的学生约为多少人？ 19．(本小题满分12分)已知{a n }是单调递增的等差数列，首项a 1＝3，前n 项和为S n ，数列{b n }是等比数列，首项b 1＝1，且a 2b 2＝12，S 3＋b 2＝20. (1)求{a n }和{b n }的通项公式；(2)设c n ＝1a n a n+2，求{c n }的前n 项和T n ．20．(本小题满分12分)ΔABC 中,角A,B,C 所对边分别是a,b,c 且cosA ＝13.(1)求cos 2B ＋C2＋cos2A 的值； (2)若a ＝3,求ΔABC 面积的最大值．21．(本小题满分12分)向量a →＝(2，2)，向量b →与向量a →的夹角为3π4，且a →·b →＝－2. (1)求向量b →；(2)若t →＝(1，0)，且b →⊥t →，c →＝⎝⎛⎭⎫cos A ，2cos 2 C 2，其中A 、B 、C 是△ABC 的内角，若△ABC的内角A 、B 、C 依次成等差数列，试求|b →＋c →|的取值范围．22．(本小题满分12分)已知二次函数f(x)满足f(x+1)－f(x)＝2x －1，且f(0)＝3 (1)求函数f(x)的解析式；(2)若函数y ＝f(log 3x+m)，x ∈[13,3]的最小值为3，求实数m 的值；附加题：(本题每题5分，共15分)1．已知x ＞0，y ＞0，且2x ＋8y －xy ＝0，则x ＋y 的最小值为 ． 2．数列{a n }满足a n ＋1＋(－1)n a n ＝2n －1，则{a n }的前60项和为 ． 3．已知函数f (x )＝|x 2－4x ＋3|，若关于x 的方程f (x )－a ＝x 至少有三个不相等的实数根，则实数a 的取值范围是 ．2015-2016学年度第二学期期末考试文科数学答案一．选择题题号1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 答案D B A C D C D B A D B D二．填空题 13. π2 14. P<Q15. 611616. ⑤三．解答题17．(本小题满分10分)已知1≤lg x y ≤2，2≤lg x 3y ≤3，求lg x 33y 的取值范围．【解析】由⎩⎪⎨⎪⎧1≤lg xy ≤2，2≤lg x 3y≤3变形，得⎩⎪⎨⎪⎧1≤lg x －lg y≤2，2≤3lg x －12lg y≤3， …………3分 ∴lg x 33y ＝3lg x －13lg y ＝m(lg x －lg y)+n(3lg x －12lg y)⇒⎩⎨⎧m=-315n=1615…………7分⎩⎨⎧-615≤-315(lg x －lg y)≤-3153215≤1615(3lg x －12lg y)≤4815⇒2615≤lg x33y ≤3，∴lg x 33y 的取值范围是⎣⎡⎦⎤2615，3.……10分18．(本小题满分12分)为了让学生了解更多“奥运会”知识，某中学举行了一次“奥运知识竞赛”，共有800名学生参加了这次竞赛，为了解本次竞赛成绩情况，从中抽取部分学生的成绩(得分均为整数，满分为100分)(1)000,001,002，…，799，试写出第二组第一位学生的编号；(2)求频率分布表格中a,b 的值，并估计800学生的平均成绩；(3)若成绩在85～95分的学生为二等奖，问参赛学生中获得二等奖的学生约为多少人？ 【解析】(1)编号为016. ………2分(2)a=8；b=0.28 ………4分平均成绩约为82.6 ………8分(3)在被抽到的学生中获二等奖的人数9＋7＝16(人)，占样本的比例是1650＝0.32，即获二等奖的概率为32%，所以获二等奖的人数估计为800×32%＝256(人)．答：获二等奖的大约有256人． ………12分19．(本小题满分12分)已知{a n }是单调递增的等差数列，首项a 1＝3，前n 项和为S n ，数列{b n }是等比数列，首项b 1＝1，且a 2b 2＝12，S 3＋b 2＝20. (1)求{a n }和{b n }的通项公式；(2)设c n ＝1a n a n+2，求{c n }的前n 项和T n ．【解析】(1)设数列{a n }的公差为d ，数列{b n }的公比为q ，则a 2b 2＝(3＋d)q ＝12， S 3＋b 2＝3a 2＋b 2＝3(3＋d)＋q ＝9＋3d ＋q ＝20，3d ＋q ＝11，q ＝11－3d ， 则(3＋d)(11－3d)＝33＋2d －3d 2＝12，即3d 2－2d －21＝0⇒(3d ＋7)(d －3)＝0. ………3分 ∵{a n }是单调递增的等差数列，∴d>0，∴d ＝3，q ＝2，a n ＝3＋(n －1)×3＝3n ，b n ＝2n-1. ………6分 (2)c n ＝1a n a n+2＝19n(n+2)＝118(1n -1n+2) ………9分T n ＝118(1-13)+118(12-14)+118(13-15)+……+118(1n-1-1n+1)+118(1n -1n+2)＝118(1+12-1n+1-1n+2)＝112-2n+318(n+1)(n+2) ………12分20．(本小题满分12分)ΔABC 中,角A,B,C 所对边分别是a,b,c 且cosA ＝13.（1）求cos 2B ＋C2＋cos2A 的值; （2）若a ＝3,求ΔABC 面积的最大值. 【解析】（1）()22221cos 1cos cos cos 22cos 12cos 12222111142122339B C B C AA A A ++++=+-=-+-⎛⎫=-⋅+⋅-=- ⎪⎝⎭……6分 （2）由余弦定理:2222222242cos 2333a b c bc A b c bc bc bc bc ==+-=+-≥-=.∴49≤bc ,……8分当且仅当23==c b 时bc 有最大值49，()1cos ,0,,sin 3A A A π=∈===……10分∴()max119sin 224ABCS bc A ==⋅=……12分21．(本小题满分12分)向量a →＝(2，2)，向量b →与向量a →的夹角为3π4，且a →·b →＝－2. (1)求向量b →；(2)若t →＝(1，0)，且b →⊥t →，c →＝⎝⎛⎭⎫cos A ，2cos 2 C 2，其中A 、B 、C 是△ABC 的内角，若△ABC的内角A 、B 、C 依次成等差数列，试求|b →＋c →|的取值范围． 【解析】(1)设b →＝(x ，y)，则a →·b →＝2x+2y=-2，且a →·b →＝|a →|·|b →|·cos 3π4⇒-2＝22×(-22)|b →|⇒x 2+y 2＝1，得⎩⎨⎧x=－1y=0或⎩⎨⎧x=0y=－1∴b →＝(－1，0)或b →＝(0，－1) ……………5分 (2)∵b →⊥t →，t →＝(1，0)，∴b →＝(0，－1) ∵A 、B 、C 依次成等差数列，∴B ＝π3，A+B ＝2π3b →＋c →＝(cosA,2cos 2C 2-1)＝(cosA,cosC) ……………7分 ∴|b →＋c →|2＝cos 2A+cos 2C ＝1+12(cos2A+cos2C)＝1+12(cos2A+cos(4π3-2A)) ＝1+12(cos2A-12cos2A-32sin2A)＝1+12cos(2A+π3) ……………10分 ∵2A+π3∈(π3,5π3)，∴－1≤cos(2A+π3)<12⇒12≤|b →＋c →|2<54⇒22≤|b →＋c →|2<52 ……………12分22.(本小题满分12分)已知二次函数f(x)满足f(x+1)－f(x)＝2x -1，且f(0)＝3 (1)求函数f(x)的解析式；(2)若函数y ＝f(log 3x+m)，x ∈[13,3]的最小值为3，求实数m 的值； 【解析】(1)设f(x)＝ax 2+bx+c ，则f(x+1)＝a(x+1)2+b(x+1)+c∵f(x+1)－f(x)＝2x-1，∴a=1,b= -2,c=3，即：f(x)＝x 2-2x+3 ………5分 (2)令t= log 3x+m ，则t ∈[m-1,m+1]，则y ＝f(log 3x+m)＝f(t)＝t 2-2t+3＝(t-1)2+2 当1≤m-1⇔m ≥2时，则f(m-1)＝3⇒ m ＝3 当1≥m+1⇔m ≤0时，则f(m+1)＝3⇒ m ＝-1当m-1<1<m+1⇔0<m<2时，f(1)＝3不成立，所以m ＝-1或m ＝3 ………12分附加题：(本题每题5分，共15分)1．已知x ＞0，y ＞0，且2x ＋8y －xy ＝0，则x ＋y 的最小值为 ． 答案：182．数列{a n }满足a n ＋1＋(－1)n a n ＝2n －1，则{a n }的前60项和为 ． 答案：18303．已知函数f (x )＝|x 2－4x ＋3|，若关于x 的方程f (x )－a ＝x 至少有三个不相等的实数根，则实数a 的取值范围是 ． 答案[-1，-34]。
