山西省忻州市第一中学2020-2021学年高二上学期开学考试数学试题

高二理科数学（Ⅰ类）试题注意事项：1.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号等填写在答题卡和试卷指定位置上.2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效.3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回.一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一．．．项．是符合题目要求的. 1.在ABC ∆中，“tan 1A =”是“45A ︒=”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件【答案】C 【解析】 【分析】根据三角函数表，在三角形中，当tan 1A =时，45A ︒=即可求解【详解】在三角形中，tan 145A A ︒=⇔=，故在三角形中，“tan 1A =”是“45A ︒=”的充分必要条件 故选：C【点睛】本题考查充要条件的判断，属于基础题2.已知抛物线2:8C y x =上的点P 到焦点的距离为6，则P 到y 轴的距离是（ ）A. 2B. 4C. 6D. 8【答案】B 【解析】 【分析】结合抛物线第一定义即可求解 【详解】如图：由2822py x =⇒=，根据抛物线第一定义， 66624PF PH PG GH PG GH ==+=⇒=-=-=，则P 到y 轴的距离是4故选：B【点睛】本题考查抛物线定义的运用，属于基础题3.过点(1,2)，并且在两轴上的截距相等的直线方程是（ ） A. 20x y -=或30x y -+= B. 30x y +-= C. 20x y -=或30x y +-= D. 30x y -+=【答案】C 【解析】 【分析】需要进行分类讨论，分为直线过原点和不过原点两种情况进行求解【详解】当直线过原点时，设y kx =，将(1,2)点代入可得2k =，则直线方程为：20x y -=； 当直线不过原点时，可设直线方程为1x ya a+=，将(1,2)点代入可得3a =，则直线方程为：30x y +-=； 综上所述，直线方程为：20x y -=或30x y +-= 故选：C【点睛】本题考查由截距相等求直线方程，不要忽略直线过原点的情况，属于基础题 4.如图是一个空间几何体的三视图，则该几何体的体积为（ ）A.3B.3C.D. 【答案】B 【解析】 【分析】，结合锥体体积公式求解即可【详解】如图，该几何体为正四棱锥，底面积为224S =⨯=底，高h =，则四棱锥的体积为：114333V S h =⋅=⨯=底故选：B【点睛】本题考查由三视图还原几何体，锥体体积公式的应用，属于基础题5.圆22:4440C x y x y ++-+=关于直线20x y -+=对称的圆的方程是（ ）A. 224x y += B. 22(2)(2)4-++=x yC. 22(2)4x y -+= D. 22(2)4x y ++=【答案】A 【解析】 【分析】先将圆用配方法写成标准式，求出圆心，再求出圆心关于直线的对称点，根据半径相等即可求解【详解】()()2222:4440:224C x y x y C x y ++-+=⇒++-=，故圆心坐标为()2,2C -，半径为2，设圆心C 关于直线对称的点为()',C x y ，则有212222022y x x y -⎧=-⎪⎪+⎨-+⎪-+=⎪⎩，解得0x y ==，则圆22:4440C x y x y ++-+=关于直线20x y -+=对称的圆的方程是224x y +=故选：A【点睛】本题考查点关于直线的对称点的求法，由圆心和半径求圆的标准方程，属于基础题6.已知椭圆221169x y +=与双曲线2214x y m+=有相同的焦点，则m =（ ）A. 3-B. 1-C. 1D. 3【答案】A 【解析】 【分析】可通过椭圆标准方程求得27c =，结合双曲线中222c a b =+即可求解【详解】由题知，椭圆的21697c =-=，又在双曲线中，222473c a b m m =+=-=⇒=-（需注意0m <） 故选：A【点睛】本题考查由椭圆和双曲线共焦点求参数值，属于基础题7.在空间直角坐标系O xyz -中，若(0,0,0),(0,2,0),(2,0,0),O A B C ，则异面直线AC 与OB 所成角的大小为（ ） A. 30° B. 45°C. 60°D. 90°【答案】C 【解析】 【分析】直接采用空间向量的夹角公式求解【详解】由题知：设两直线夹角为θ，(()2,0,,2,0,0AC OB ==u u u r u u u r，则41cos 422AC OB AC OB θ⋅===⨯⋅u u u r u u u r u u u r u u u r ，3πθ= 故选：C【点睛】本题考查异面直线夹角的向量求法，属于基础题8.在空间中，四个两两不同的平面,,,αβγλ，满足,,αββγγλ⊥⊥⊥，则下列结论一定正确的是（ ） A. αλ⊥ B. //αλC. α与λ既不垂直也不平行 D . α与λ位置关系不确定 【答案】D 【解析】 【分析】可借助条件判断α与γ可能平行也可能相交，而γλ⊥，则α与λ的位置关系不确定【详解】若，四个两两不同的平面,,,αβγλ，满足,,αββγγλ⊥⊥⊥，则α与γ可能平行也可能相交，γλ⊥Q ，∴α与λ的位置关系不能确定故选：D【点睛】本题考查面与面位置关系的判定，空间的直观想象能力，属于中档题9.从椭圆22221(0)x y a b a b+=>>上一点P 向x 轴作垂线，垂足恰为左焦点1F ，A 是椭圆与x 轴正半轴的交点，B 是椭圆与y 轴正半轴的交点，且//(AB OP O 是坐标原点)，则该椭圆的离心率是( )A.4B.12C.2【答案】C 【解析】 【分析】依题意，可求得点P 坐标2b P c,a ⎛⎫- ⎪⎝⎭，由AB OP AB //OP k k b c ⇒=⇒=，从而可得答案．【详解】依题意，设()00P c,y (y 0)->，的则22022y (c)1a b-+=，20b y a∴=， 2b P c,a ⎛⎫∴- ⎪⎝⎭，又()A a,0，()B 0,b ，AB//OP ，ABOP k k ∴=，即22b b b a a c ac==---， b c ∴=．设该椭圆的离心率为e ，则22222222c c c 1e a b c 2c 2====+，∴椭圆的离心率e =． 故选C ．【点睛】本题考查椭圆的简单性质，求得点P 的坐标2b c,a ⎛⎫- ⎪⎝⎭是关键，考查分析与运算能力，属于中档题．10.已知等轴双曲线的焦距为8，左、右焦点1F ，2F 在x 轴上，中心在原点，点A 的坐标为(2,，P 为双曲线右支上一动点，则1||PF PA +的最小值为（ ）A. 2B. 4+C. 2D. 4【答案】D 【解析】 【分析】先画出图像，再结合双曲线第一定义122PF PF a -=，三角形三边关系22PA PF AF +≥，当点P 为2AF 与双曲线的交点时，1||PF PA +取到最小值【详解】如图，由双曲线第一定义得122PF PF a -=①，又由三角形三边关系可得22PA PF AF +≥②（当点P 为2AF 与双曲线的交点时取到等号），①+②得：12||2PF PA a AF +≥+，故()12min ||2PF PA a AF +=+，由双曲线为等轴双曲线，且焦距为8可得，228a b ==，则22216c a b =+=，4a c ==，()24,0F ，24AF ==则()12min||24PF PA a AF +=+=故选：D【点睛】本题考查利用双曲线第一定义求解到两定点之间距离问题，数形结合与转化思想，属于中档题 11.在三棱锥P ABC -中，2,90,AC AB BAC PC ︒==∠=⊥平面,1ABC PC =，则该三棱锥外接球的体积为（ ） A. 36π B. 12πC. 8πD. 92π【答案】D 【解析】 【分析】画出图形，将几何体补全为长方体，则将问题转化为求对应长方体外接球体积问题，结合体积公式即可求解【详解】如图所示，三棱锥实际上为长方体上四点组合而成，则外接球半径为32r ==，则该三棱锥外接球的体积为3442793382V r πππ==⨯= 故选：D【点睛】本题考查锥体外接球体积算法，对于这类问题，我们都可考虑把锥体还原成对应的长方体或圆柱体，再求对应的外接球半径，这样会简化求解难度，属于中档题12.已知椭圆22:154x y C +=的焦点为1F ，2F ，过1F 的直线l 与C 交于,A B 两点.若1122,||||AF F B AB BF ==u u u r u u u r u u u r u u u r，则l 的方程为（ ）A. 220x y --=B. 220x y +-=或220x y -+=C. 220x y ++=D. 220x y ++=或220x y --=【答案】B 【解析】 【分析】先做出图形，由1122,||||AF F B AB BF ==u u u r u u u r u u u r u u u r再结合椭圆第一定义，可得出四条线段的比例关系，判断出点A 过椭圆的上顶点，根据斜率定义得到bk c =，再考虑图形的对称性，即可求解 【详解】如图，不妨设1BF x =，由1122,||||AF F B AB BF ==u u u r u u u r u u u r u u u r，可得122,3AF x BF x ==， 由椭圆第一定义可得211222BF BF AF AF AF x +=+⇒=，可判断点A 过椭圆的上顶点，则121ABOA b k OF c ===，则直线l 的方程为()2122y x x =+=+， 再由椭圆对称性可知，当2k =-时，经过椭圆的右焦点，则直线l 的方程为()2122y x x =--=-+综上所述，直线方程为：220x y +-=或220x y -+=故选：B【点睛】本题考查椭圆基本性质的应用，数形结合思想，属于中档题二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.13.命题“2000,10x R x x ∃∈-+≤”的否定是_______.【答案】2,10x R x x ∀∈-+> 【解析】 【分析】存在改全称，再否定结论即可【详解】命题“2000,10x R x x ∃∈-+≤”的否定是“2,10x R x x ∀∈-+>”故答案为：2,10x R x x ∀∈-+>【点睛】本题考查存在命题的否定，属于基础题14.已知平行于x 轴的直线l 交抛物线24x y =于,A B 两点，且||8AB =，则l 的方程为_____________.【答案】4y = 【解析】 【分析】先画出图像，由||8AB =可求出B 点横坐标，代入抛物线方程可求得B y ，即可求解直线l 的方程【详解】如图，||84B AB x =⇒=，将4B x =代入24x y =得4B y =，则直线l 的方程为4y =故答案：4y =【点睛】本题考查由直线与抛物线的位置关系求抛物线上的点，属于基础题15.已知双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b-=>>的左、右焦点分别为12,F F ，以12F F 为直径的圆与C 的渐近线在第一象限内交于点P ，若12PF b =，则C 的渐近线方程为_____________________.【答案】y = 【解析】 【分析】画出图形，可先求出焦点到渐近线距离2NF b =，再作12PQ F F ⊥，由由等面积法可得PQ b =，结合1PF Q ∆可推出60POQ ∠=︒，则可求出直线斜率OP k ，进而求解【详解】如图，作12PQ F F ⊥，双曲线焦点()2,0F c ，设双曲线一条渐近线方程为by x a=，则点2F 到渐近线距离2bcNF b c==，2OPF ∆为等腰三角形，故腰上的高也相等，故PQ b =，则 111302PQ PFQ PF =⇒∠=︒，又1260POQ PFQ ∠=∠=︒，故OP k =y =故答案为：y =【点睛】本题考查双曲线的几何性质，双曲线的焦点到渐近线的距离为b 可作为常用结论，结合几何关系求解渐近线对应斜率是解题的关键，属于中档题16.知正方体1111ABCD A B C D -的棱长为2，,E F 分别是,AB BC 的中点，过点1,,D E F 的截面将正方体分割成两部分，则较大部分几何体的体积为___________. 【答案】479【解析】 【分析】先画出图形，需采用补形法延长EF ，分别交,DA DC 延长线于,N M 点，则一部分几何体可通过求四棱锥1D MND V -，再减去两小三棱锥体积的方法求得【详解】如图，由,E F 分别是,AB BC 的中点，四边形ABCD 时正方形可得3DM DN ==，则111332=332D MNDV -=⨯⨯⨯⨯，又在1MDD ∆中，1112333MC PC PC MD DD =⇒=⇒=， 则小四棱锥1121113239P CFM V -=⨯⨯⨯⨯=，则一部分被切几何体体积为 11253299V =-⨯=，正方体体积为：8，则另一部分几何体体积为：2547899-=故较大部分几何体体积为：479故答案为：479【点睛】本题考查截面问题中几何体体积的计算问题，补形法是解题的关键，属于难题三、解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17.已知:p 函数()2()lg 24f x x ax =-+的定义域为R ，2:[0,1],1q x a x ∀∈+„，若,p q 有且只有一个成立，求实数a 的取值范围. 【答案】(](),21,2a ∈-∞-U 【解析】 【分析】分别求出命题,p q 中对应参数a 的取值范围，再根据题意若,p q 有且只有一个成立，判断需进行分类讨论，分p q ⌝I和p q ⌝I 进一步求解参数a 的范围【详解】:p 函数()2()lg 24f x x ax =-+的定义域为R ()241602,2a a ⇒∆=-<⇒∈-；2:[0,1],11q x a x a ∀∈+⇒≤„，当p 成立q 不成立时，q ⌝对应的()1,a ∈+∞，故p q ⌝I对应的()1,2a ∈；当p 不成立q 成立时，p ⌝对应的(][),22,a ∈-∞-+∞U ，故p q ⌝I 对应的(],2a ∈-∞-；综上所述，(](),21,2a ∈-∞-U【点睛】本题考查逻辑用语中命题的等价形式的转化，命题的否定，由命题的交集求参数的范围，属于中档题18.已知圆C 的圆心在直线320x y +=上，C 经过点(2,0)A -，且与直线4380x y -+=相切. （1）求C 的标准方程；（2）直线:230l x y --=与C 相交于,M N 两点，求CMN △的面积. 【答案】（1）()()222325x y -++=（2）10 【解析】 【分析】（1）不妨设圆心为(),C a b ，半径为r ，结合待定系数法和点到直线距离公式即可求解； （2）由圆心到直线距离公式求得弦心距d ，再由几何性质和勾股定理求得弦长，利用12S MN d =⋅即可求解【详解】（1）设圆心为(),C a b ，半径为r ，则圆的标准方程为;()()222x a y b r -+-=,由题可得()22233202485a a b a b r rb ⎧⎪+=⎪-+⎪⎪++=⎨⎪⎪=⎩，解得235a b r =⎧⎪=-⎨⎪=⎩，则圆C 的标准方程为()()222325x y -++=； （2）如图，可求出圆心到直线:230l x y --=的距离d ==则半弦长2l===，l =111022CMNS MN d =⨯⋅=⨯=△【点睛】本题考查待定系数法求圆的标准方程，由圆的几何性质求弦长，属于中档题19.如图，把正方形纸片ABCD 沿对角线AC 折成直二面角，点,E F 分别为,AD BC 的中点，点O 是原正方形ABCD 的中心.（1）求证：//AB 平面EOF ；（2）求直线CD 与平面DOF 所成角的大小. 【答案】（1）证明见详解（2）30° 【解析】 【分析】（1）由OF 是ABC ∆中位线，易证AB OF ∥，进而得证；（2）结合线面角的定义先求证,CF OF CF OD ⊥⊥，进而得到CDF ∠为CD 与平面DOF 所成角，结合几何关系求解即可【详解】（1）由,O F 为,AC BC 中点可知，线段OF 为ABC ∆中位线，则OF AB P ，又OF ⊂Q 平面EOF ，AB ⊄平面EOF ，∴//AB 平面EOF ；（2）由（1）可得OF AB P ，90CFO ∴∠=︒，CF OF ⊥，又Q D AC B --为直二面角，O 为AC 中点，∴DO AC ⊥，DO ⊥底面ABC ，又CF ⊂Q 平面ABC ，DO CF ∴⊥，DO OF F =I ，CF ∴⊥平面DOF ，CF DF ^，故CDF ∠为CD 与平面DOF 所成角，设正方形边长为2，则1CF =，2CD =，1sin 2CF CDF CD ∠==，故30CDF ∠=︒ 【点睛】本题考查线面垂直证明，线面角的求法，属于中档题20.在平面直角坐标系中，直线l 的方程为2y =-，过点(0,2)A 且与直线l 相切的动圆圆心为点P ，记点P 的轨迹为曲线E . （1）求E 的方程；（2）若直线y x b =+与E 相交于,B C 两点，与x 轴的交点为M .若4MC MB =u u u u r u u u r，求||BC .【答案】（1）28x y =（2）【解析】 【分析】（1）结合抛物线第一定义即可求解；（2）需要将问题转化，设,B C 的中点为()00,D x y ，结合4MC MB =u u u u r u u u r 可得532MD BC =，联立直线y x b =+和抛物线方程28x y =，表示出对应的BC 弦长，由点到点距离公式求得MD 长度，解方程即可解得b ，进而求解弦长BC【详解】（1）由题可知，圆心轨迹P 到定点(0,2)A 的距离等于到定直线的距离2y =-，故点P 的轨迹为抛物线，抛物线焦点为(0,2)A ，则E 的方程为28x y =；（2）由4MC MB =u u u u r u u u r可知，线段3BC BM =，设,B C 的中点为()00,D x y ，则532MD BC =，联立212212888808x x x y x x b x x b y x b+=⎧=⎧⇒--=⇒⎨⎨⋅=-=+⎩⎩，则12042x x x +==，将0x =代入直线y x b =+得()4,4D b +，直线与x 轴交点为：(),0b -，则)4MD b +，由弦长公式可得BC ==532MD BC =，联立化简可得291282560b b --=，解得16b =（负值舍去），则8BC ==【点睛】本题考查抛物线标准方程的求法，由直线与抛物线相交的线段比例关系求解参数，韦达定理与弦长公式的应用，计算能力与转化能力，数形结合思想，属于难题21.已知四棱锥P ABCD -的底面是边长为1的正方形，侧棱PC ⊥底面ABCD ，且2,PC E =是侧棱PC上的动点.（1）求证：BD AE ⊥；（2）若点E 为PC 的中点，求平面PDA 与平面EAB 所成二面角的正弦值.【答案】（1）证明见详解（2【解析】 【分析】（1）连接AC ，利用正方形性质证明AC BD ⊥，结合，侧棱PC ⊥底面ABCD 可证PC BD ⊥，通过线面垂直可证；（2）采用建系法，以CD 为x 轴，CB 为y 轴，CP 为z 轴，建立空间直角坐标系，通过求两平面夹角的余弦值进而求解；【详解】（1）Q 底面ABCD 为正方形，BD AC ∴⊥，又Q 侧棱PC ⊥底面ABCD ，BD ⊂平面ABCD ，PC BD ∴⊥，PC AC C =I ，BD ∴⊥平面PAC ，又AE ⊂平面PAC ，∴BD AE ⊥；（2）以CD 为x 轴，CB 为y 轴，CP 为z 轴，建立空间直角坐标系，则()()1,0,0,0,1,0,D B()()()0,0,2,0,0,1,1,1,0P E A ，()()()()0,1,0,1,0,2,1,0,0,1,1,1DA DP AB AE ==-=-=--u u u r u u u r u u u r u u u r设平面PDA 的法向量为()1111,,n x y z =u r ，则有111020y x z =⎧⎨-+=⎩，令12x =111201x y z =⎧⎪⇒=⎨⎪=⎩，则()12,0,1n =u r ；设平面EAB 的法向量为()2222,,n x y z =u u r ，则有22200x y z =⎧⎨-+=⎩，令21y =22211x y z =⎧⎪⇒=⎨⎪=⎩，则()20,1,1n =u u r ；121212cos ,10n n n n n n ⋅===⋅u r u u ru r u u r u r u u r，则12sin ,10n n =u r u u r【点睛】本题考查线面垂直的证明，建系法求二面角夹角问题，属于中档题22.已知椭圆的焦点坐标是12(1,0),(1,0)F F -，过点1F 且垂直于长轴的直线交椭圆于,P Q 两点，且||3PQ =. （1）求椭圆的标准方程；（2）过点2F 的直线l 与椭圆交于不同的两点,M N ，问三角形1F MN 内切圆面积是否存在最大值？若存在，请求出这个最大值及此时直线的方程；若不存在，请说明理由.【答案】（1）22143x y +=（2）存在；916π；1x = 【解析】 【分析】（1）由通径长度可求得232b a =，再结合2221,c a b c ==+即可求解；（2）设直线方程为1x my =+，联立直线和椭圆方程可得关于y 的一元二次方程，求解出韦达定理，又由几何性质可得，1122112MNF S F F y y ∆=⋅-，再由三角形的内切圆的面积公式()11112MNF S MN MF NF r ∆=++⋅，1F MN ∆内切圆面积为2S r π=圆，结合三个关系式可知，要使r 最大，即使21y y -最大，最终结合换元法和对勾函数可求最值；【详解】设(),,0p p P c y y ->，代入标准方程22221x y a b +=可得2p b y a=，又||3PQ =，故232p b y a ==，又2221,c a b c ==+，求得224,3a b ==，故椭圆的标准方程为：22143x y +=；（2）由题可知要使三角形内切圆面积最大，即使内切圆半径最大，而三角形面积的两个等价公式有1122112MNF S F F y y ∆=⋅-①，()11112MNF S MN MF NF r ∆=++⋅②， 其中1148MN MF NF a ++==，联立两式可得2114r y y =-，设过2F 的直线方程为1x my =+，显然直线斜率不为0，联立()2222134690431x y m y my x my ⎧+=⎪⇒++-=⎨⎪=+⎩122122634934m y y m y y m ⎧+=⎪⎪+⇒⎨-⎪⋅=⎪+⎩，则2114r y y =-==令()21,1t m t =+≥，则r =由对勾函数性质可知，当且仅当19t t =时，即13t =时，196t t ++取到最小值，又1t ≥，[)1,t ∈+∞时，196y t t=++单增，故min19691616t t⎛⎫++=++= ⎪⎝⎭，max34⎛ = ⎝，2916S r ππ==圆， 此时2110t m m =+=⇒=，直线方程为：1x =【点睛】本题考查椭圆标准方程的求法，椭圆的几何性质，三角形面积公式的等价转化，韦达定理在解析几何中的应用，换元法，对勾函数求最值，转化与化归思想，计算能力，逻辑推理能力，属于难题。

一中2021--2021年〔下〕高二学年开学(k āi xu é)考试试题数学〔文科〕〔考试时间是是：120分钟 试卷满分是：150分〕一、选择题 (每一小题5分，满分是60分)1.在中，角的对边分别是，假设，那么( ). A. B. C. D.2.以下说法正确的选项是〔 〕. A.那么 B. 那么 C.，那么 D. d c ,b a >>，那么3.假设数列的前项和，那么= ( ). A. 7 B. 8 C. 9 D. 174.直线与直线平行，那么的值是 ( ).A. 1B. -1C. 0D. -1或者15.等差数列的前n 项和为，且，那么〔 〕. A ．104 B. 78C. 52D. 39 6.一个空间几何体的三视图如图，根据图中标出的尺寸〔单位：cm 〕，可得这个几何体的体积是〔 〕.A. 4cm 3B. 5 cm 3C. 6 cm 3D. 7 cm 37.设等差数列的前项和为，假设，，那么等于〔 〕．A ．B ．C ．D．8.正方体ABCD－A1B1C1D1中，异面直线(zhíxiàn)BD1，AC所成的角等于( ). A．30° B．45°C．60°D．90°9.数列{}n a是等比数列，且其前n项和，那么的值是〔〕.A. B. C. D.10.正四棱锥的顶点均在球上，且该正四棱锥的各个棱长均为，那么球的外表积为〔〕.A. B. C. D.11.如图，要测量底部不能到达的某铁塔AB的高度，在塔的同一侧选择C、D两观测点，且在C、D两点测得塔顶的仰角分别为45°、30°．在程度面上测得∠BCD=120°，C、D两地相距600m，那么铁塔AB的高度是〔〕.A．120m B．480mC．240m D．600m12.且假设恒成立，那么实数的取值范围是〔〕.A. B. C.D.二、填空题〔每一小题5分，满分是20分〕13.不等式的解集是 .且与直线垂直的直线方程为 .15.如图，在三棱锥中，平面(píngmiàn)平面.①;②;③平面⊥ABC平面;④平面平面ABD上面四个结论中正确的选项是 .16.中，且，，成等比数列，那么的取值范围是 .三、解答题 (一共6个小题，满分是70分)17.〔10分〕等比数列{}n a中, ,. 〔1〕求数列{}n a的通项公式；S.〔2〕假设,求数列的前n项和n18.〔12分〕的顶点，直角顶点,顶点在轴上. 〔1〕求边所在直线的方程；〔2〕求ABCRt的斜边中线所在的直线的方程.Δ19.〔12分〕〔1〕解关于a的不等式〔2〕假设不等式的解集为，务实数的值.20.〔12分〕如图，四棱锥(léngzhuī)的底面是边长为1的菱形，,是的中点，底面ABCD，.〔1〕证明：平面平面;〔2〕求二面角的大小.21.〔12分〕在中，，角、、所对的边分别是、、．〔1〕假设a、b、c依次成等差数列，且公差为2．求c的值；〔2〕假设，求周长的最大值．22.〔12分〕如图，四棱锥的底面为菱形，且，是中点.〔1〕证明：平面；〔2〕假设，，求三棱锥的体积(tǐjī).一中2021--2021年〔下〕高二学年开学考试数学〔文科(wénkē)〕答案一、选择题 (每一小题5分，满分是60分)1--5 BDAAC 6--10 ACDDC 11--12 DB二、填空题 (每一小题5分，满分是20分)13. 14. 15.①③④16.三、解答题 (一共6个小题，满分是70分)17.〔10分〕〔1〕〔2〕18.〔12分〕〔1〕〔2〕19.〔12分〕〔1〕〔2〕20.〔12分〕〔1〕略〔2〕21.〔12分〕〔1〕〔2〕22.〔12分〕〔1〕略〔2〕取AB中点F，连PF,FC,因为PA=PB,AC=CB,所以，所以为二面角，,所以,所以.内容总结。

命题人：杨爱正 高世军一．选择题(每小题给出的四个选项中，只有一个选项正确.每小题5分，共60分)1．已知全集集合, ,则A. B. C. D.2．命题：，则是A. B.C. D.3. 在中，“”是“为锐角三角形”的A.充分不必要条件B. 必要不充分条件C.充要条件D. 既不充分也不必要条件4．执行如图所示的程序框图，若输入x 的值为2+log 23，则输出y 的值为A. B. C. D.5. 已知椭圆方程为)0(12222>>=+b a by a x ,为其左、右焦 点，分别为其左、右顶点，若，则该椭圆的离心率为A. B. C. D.6．设函数，则A.为的极小值点B. 为的极大值点C. 为的极小值点D.为的极大值点7．定义在R 上的偶函数，当时，)1(log )(22++=x x x f ，若，则的取值范围是A. B. C. D.8. 已知双曲线的焦距为10，点在其渐近线上，则该双曲线的方程为A. B. C. D.9. 在中，角的对边分别为， ),(),,(a c c b a c b +-=-=，若， 则的值为A. B. C.3 D. 10. 某几何体的三视图如图所示，且该几何体的体积是， 则正视图中的的值是A. B. C.3 D.11. 已知函数，，则下列结论正确的是A.把函数图象上各点的横坐标缩短到原来的一半（纵坐标不变），再向右平移个单位长度，可得到函数的图象B. 两个函数的图象均关于直线对称C. 两个函数在区间上都是单调递增函数D.函数在上只有4个零点12．三棱锥中，底面为等腰直角三角形， 侧棱，，则此三棱锥外接球的表面积为A. B. C. D.二.填空题:(本大题共4小题,每小题5分,共20分,把答案填在答卷纸的相应位置上)13．已知,，则=___________.1 侧视图 正视图 俯视图 x14．已知变量满足⎪⎩⎪⎨⎧-≥≤+≥11y y x y x ，则的最大值为___________.15. 设函数，曲线在点处的切线方程为7x-4y-12=0，则___________.16．已知椭圆的中心在坐标原点，对称轴为坐标轴，其一个焦点与抛物线的焦点重合；过点且斜率为的直线交椭圆于两点，且是线段的中点，则椭圆的方程为___________.三.解答题(本大题6小题,共70分,解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤，并把解答写在答卷纸的相应位置上.只写最终结果的不得分)17. (本小题满分10分)等差数列中，为其前项和，已知.（1）求数列的通项公式；（2）设,求数列的前项和的表达式.18. (本小题满分12分)在平面直角坐标系中，已知圆：和点，过点的直线交圆于两点（1）若,求直线的方程；（2）设弦的中点为,求点的轨迹方程.19. (本小题满分12分)从一批苹果中随机抽取100个作为样本，其重量（单位：克）的频数分布表如下：分组（重量）频数（个） 15 30 35 20（1）在频率分布直方图中，求分组重量在对应小矩形的高；（2）利用频率估计这批苹果重量的平均数.（3）用分层抽样的方法从重量在和的苹果中抽取5个，从这5个苹果任取2个，求重量在这两个组中各有1个的概率.20. (本小题满分12分)如图，直三棱柱（侧棱垂直于底面）中，，点棱的中点，且.（1）求证：；（2）若，求四棱锥的体积.21. (本小题满分12分)抛物线的焦点为，为上的一点，已知，直线的斜率为（为坐标原点）.（1）求抛物线的方程；（2）过焦点作两条互相垂直的直线，设与交于两点，与交于两点，求四边形面积的最小值.22. (本小题满分12分)函数∈+-+=a x a ax x x f ,3)(223R（1）若，求函数的单调减区间；（2）若关于x 的不等式1)(ln 22++'≤a x f x x 恒成立，求实数的范围.附加题（每小题5分，共15分）23． 已知球是棱长为6的正方体的内切球，则平面截球的截面面积为___________.24．过点的直线交抛物线于两点，若与的面积比为∶，则直线的斜率为___________.25．在ABC ∆中，若,||53)(2AB AB CB CA =⋅+则的值为___________.忻州一中2014−2015学年度第一学期期末考试高二数学(文科)参考答案及评分标准一.选择题(每小题5分,共60分) 1—5 ABBDB 6—10 CDCBD 11—12 CA二.填空题(每小题5分,共20分) 13. 14.3 15.4 16.（2）∵ ………6分 ∴3232)14(3212-=-=+n n ………10分 18(12分)解：(1)当直线l 的斜率不存在时，l 的方程为 此时)3,1(),3,1(---B A ,满足 ………2分当直线l 的斜率存在时，设其方程为即圆心O 到直线l 的斜率为：由得： 此时直线l 的方程为：∴所求直线l 的方程为：或。

山西省忻州市静乐县第一中学2020-2021学年高二上学期期始考试数学试题学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________一、单选题1．8π5弧度化为角度是 A ．278° B ．280° C ．288° D ．318° 2．n S 是等差数列{}n a 的前n 项和，如果10120s = ，那么110a a + 的值是 ( ) A ．12 B ．24 C ．36 D ．483．已知sin cos 2αα-=-，则1tan tan αα+的值为（ ） A ．5- B ．6-C ．7-D ．8- 4．已知0a <，10b -<<，那么（ ）A ．2a ab ab >>B ．2ab ab a >>C ．2ab a ab >>D ．2ab ab a >> 5．在ABC ∆中，已知D 是边AB 上的一点，若2AD DB =，13CD CA CB λ=+，则λ=A ．13B ．23C ．12D ．346．已知1,1x y >>,且11ln ,,ln 44x y 成等比数列，则xy 的最小值是 A ．1 B ．1eC ．eD ．2 7．设x ，y R ∈，向量(),1a x =，()1,b y =，()2,4c =-，且a c ⊥，//b c ，则a b +=（ ）A B C ．D ．10 8．若扇形OAB 半径为2，面积为π，则它的圆心角为（ ）A ．π4B ．π3C ．π2D ．π 9．在ABC 中，内角A ，B ，C 的对边分别是a 、b 、c ，若cos cos A b B a =，则ABC 的形状是（ ）A ．等腰三角形B ．钝角三角形C ．直角三角形D ．等腰三角形或直角三角形10．将函数sin(2)5y x π=+的图象向右平移10π个单位长度，所得图象对应的函数 A ．在区间35[,]44ππ上单调递增 B ．在区间3[,]4ππ上单调递减 C ．在区间53[,]42ππ上单调递增 D ．在区间3[,2]2ππ上单调递减 11．等比数列{}n a 各项为正，3a ，5a ，4a -成等差数列.n S 为{}n a 的前n 项和，则63S S =（ ）A ．2B ．78C ．98D ．5412．设函数2()sin sin f x x b x c =++，则()f x 的最小正周期A ．与b 有关，且与c 有关B ．与b 有关，但与c 无关C ．与b 无关，且与c 无关D ．与b 无关，但与c 有关二、填空题13．在平面直角坐标系xOy 中，角α与角β均以Ox 为始边，它们的终边关于y 轴对称，若1sin 3α=，则()cos αβ+=______. 14．设函数sin (0)y x ωω=>在区间,54ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上是增函数，则ω的取值范围为_____．15．已知()ππcos 26n f n ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，则()()()122020f f f ++⋅⋅⋅+=______. 16．已知,,a b c 分别为ABC 三个内角,,A B C 的对边，2a =，且(2)(sin sin )()sin b A B c b C +-=-，则ABC 面积的最大值为____________.三、解答题17．已知ABC 中，a 、b 、c 分别为角A ，B ，C 的对边，若8a =，60B =︒，75C =°，求b 的值以及ABC 的面积S .18．设集合A 为函数y ＝ln(－x 2－2x ＋8)的定义域，集合B 为函数y ＝x ＋11x +的值域，集合C 为不等式(ax －1a)(x ＋4)≤0的解集． (1)求A∩B ； (2)若C ⊆∁R A ，求a 的取值范围．19．已知函数()()()sin 0,0f x A x A ωϕω=+>>的部分图象如图所示.（1）求函数()f x 的解析式；（2）若函数()1f x >，求x 的取值集合.20．已知平面向量(cos ,3),(sin ,1)m x n x x =-=+，函数()f x m n =⋅. （1）求函数()f x 的最小正周期及其图象在区间0,2π⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的对称中心；（2）若0,2πθ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，且3()5f θ+=，求cos2θ的值. 21．设n S 为数列{}n a 的前n 项和，已知10a ≠，112n n a a S S -=⋅，n *∈N ． （Ⅰ）求1a ，2a ，并求数列{}n a 的通项公式；（Ⅱ）求数列{}n na 的前n 项和n T ．22．在ABC 中，已知内角3A π=，边BC =设内角B x =，周长为y .（1）求函数()y f x =的解析式和定义域；（2）求y 的最大值．参考答案1．C【解析】法1：∵1rad =（180π）°，∴8π8π55=×（180π）°=（8π1805π⨯⨯）°=288°．故选C ． 法2：∵π=180°，∴8π5 81805=⨯︒=288°．故选C ． 2．B【分析】由等差数列的性质：若m+n=p+q,则m n p q a a a a +=+ 即可得.【详解】()10110110512024S a a a a =+=∴+=故选B【点睛】 本题考查等比数列前n 项和的求解和性质的应用，是基础题型，解题中要注意认真审题，注意下标的变化规律，合理地进行等价转化.3．D【分析】由sin cos αα-=平方求得1sin cos 8αα=-，再化简1tan ta n n cos 1si αααα+=，即可求解.【详解】因为sin cos 2αα-=-512sin cos 4αα-=，可得1sin cos 8αα=-， 又由221sin cos sin cos 1tan 8tan cos sin sin cos sin cos αααααααααααα++=+===-. 故选：D.【点睛】本题主要考查了三角函数的基本关系式的化简、求值，其中解答中熟练应用三角函数的基本关系式进行化简、运算是解答的关键，着重考查运算与求解能力.4．D【分析】本题根据题意先确定0ab >是最大的数，再确定最小的数a ，从而得出正确的结论.【详解】解：0a <，10b -<<，0ab ∴>，210b >>，20ab a ∴>>，2ab ab a ∴>>.故选：D.【点睛】本题考察不等式的基本性质，是基础题.5．B【解析】试题分析：由已知得，因此，答案选B. 考点：向量的运算与性质6．C【解析】 试题分析：因为11ln ,,ln 44x y 成等比数列,则1ln ln ,4x y = 由1,1x y >>,则ln 0,ln 0,x y >>所以()ln ln ln 1,xy x y =+≥=当且仅当1ln ln ,2x y x y ====即号所以e xy ≥,xy 的最小值是e ．考点：等比数列的性质，基本不等式．7．B【分析】由a c ⊥可得0a c x y ⋅=+=，由//b c 可得()1420y ⨯--=，解出,x y ，求出a b +，即可由坐标求出模.【详解】a c ⊥，0a c x y ∴⋅=+=，//b c ，()1420y ∴⨯--=，解得2,2-==y x ，()3,1a b ∴+=-，23a b ∴+==故选：B.【点睛】本题考查向量平行、垂直的坐标表示，考查坐标法求向量的模，属于基础题.8．C【分析】利用扇形面积计算公式即可得出．【详解】设扇形的圆心角为θ，由题意可得：π2122θ=⨯⋅，解得θ2π=． 故选：C ．【点睛】该题考查了扇形面积计算公式，考查了推理能力与计算能力，属于基础题目．9．D【分析】由cos cos A b B a =，根据正弦定理求得sin 2sin 2A B =，进而得到22A B =或22A B π=-，即可求解.【详解】因为cos cos A b B a=，可得cos cos a A b B =， 由正弦定理得sin cos sin cos A A B B =，即sin 2sin 2A B =，又因为,(0,)A B π∈，则2,2(0,2)A B π∈，所以22A B =或22A B π=-，即A B =或2A B π+=，所以ABC 为等腰三角形或直角三角形.故选：D.【点睛】 本题主要考查了三角形的形状的判定，以及正弦定理的应用，其中解答中合理利用正弦定理和正弦的倍角公式是解答的关键，着重考查推理与运算能力.10．A【分析】由题意首先求得平移之后的函数解析式，然后确定函数的单调区间即可.【详解】由函数图象平移变换的性质可知： 将sin 25y x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭的图象向右平移10π个单位长度之后的解析式为： sin 2sin 2105y x x ππ⎡⎤⎛⎫=-+= ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦. 则函数的单调递增区间满足：()22222k x k k Z ππππ-≤≤+∈， 即()44k x k k Z ππππ-≤≤+∈，令1k =可得一个单调递增区间为：35,44ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦. 函数的单调递减区间满足：()322222k x k k Z ππππ+≤≤+∈， 即()344k x k k Z ππππ+≤≤+∈， 令1k =可得一个单调递减区间为：57,44ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦，本题选择A 选项. 【点睛】本题主要考查三角函数的平移变换，三角函数的单调区间的判断等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.11．C【分析】设{}n a 的公比为()q q 0,q 1≠≠，利用3a ，5a ，4a -成等差数列结合通项公式，可得4231112a q a q a q =-，由此即可求得数列{}n a 的公比，进而求出数列的前n 项和公式，可得答案．【详解】设{}n a 的公比为q(q 0,q 1)>≠3a ，5a ，4a -成等差数列，4231112a q a q a q ∴=-，1a 0≠，q 0≠，22q q 10∴+-=， 解得1q 2=或q 1(=-舍去) 6363311()S 1921()1S 281()2-∴==+=- 故选C ．【点睛】本题考查等差数列与等比数列的综合，熟练运用等差数列的性质，等比数列的通项是解题的关键．12．B【解析】 试题分析：21cos 2cos 21()sin sin sin sin 222x x f x x b x c b x c b x c -=++=++=-+++，其中当0b =时，cos 21()22x f x c =-++，此时周期是π；当0b ≠时，周期为2π，而c 不影响周期．故选B ．【考点】降幂公式，三角函数的最小正周期．【思路点睛】先利用三角恒等变换（降幂公式）化简函数()f x ，再判断b 和c 的取值是否影响函数()f x 的最小正周期．13．1-【分析】根据题设条件，得到角α为第一象限角，且2k βππα=+-，再结合诱导公式和特殊角的三角函数值，即可求解.【详解】由题意，角α与角β均以Ox 为始边，它们的终边关于y 轴对称，且1sin 3α=， 可得角α为第一或第二象限角，且2k βππα=+-，则()cos cos(2)cos 1k αβαππαπ+=++-==-.故答案为：1-.【点睛】本题主要考查了终边相同角的表示，以及诱导公式的化简求值，其中解答中熟记终边相同角的表示，以及诱导公式是解答的关键，着重考查了运算与求解能力.14．(0,2]【解析】函数sin (0)y x ωω=>在区间[,]54ππ-上是增函数， 52{420ππωππωω-≥-∴≤> 解得02ω<≤;故本题正确答案为02ω<≤.15．0【分析】首先根据题中()ππcos 26n f n ⎛⎫=+⎪⎝⎭求出()f n 的周期，然后利用周期性即可求出答案. 【详解】 由题知()cos 26n f n ππ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，有242T ππ==，故()cos 26n f n ππ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭的周期为4， 故()()()122020f f f ++⋅⋅⋅+=()()()()()2505134f f f f +=++，又因为()()()()275cos cos c 12os cos(2)643363f f f f πππππ+++++++=11022=-+=， 有()()()0122020f f f +++=.故答案为：0.【点睛】本题考查了三角函数的周期性，属于基础题.16【分析】先利用正弦定理将条件()(sin sin )()sin a b A B c b C +-=-中的角转化为边的关系，再利用余弦定理求解出角A 的值，再利用边a 的余弦定理和均值不等式求出bc 的最大值后即可求解出面积的最大值.【详解】因为()(sin sin )()sin a b A B c b C +-=-，所以根据正弦定理得:(a b)()(c b)a b c +-=-，化简可得:222b c a bc +-=， 即2221cos 22b c a A bc +-==，(A 为三角形内角) 解得:60A ︒=，又22b c 4bc bc +-=≥，(b =c 时等号成立)故1sin 2ABC S bc A ∆=≤【点睛】本题考查了正弦定理和余弦定理在解三角形中的应用，属于中档题目，解题的关键有两点，首先是利用正余弦定理实现边角之间的互化，其次是利用余弦定理和均值不等式求出三角形边的乘积的最大值.17．b =24S =+【分析】由正弦定理可求出b ，再根据面积公式即可求出面积.【详解】由题可知角45A =︒， 由正弦定理sin sin a b A B =，可得8sin sin a B b A === ()6sin 75sin 3045sin 30cos 45cos30sin 45+︒=︒+=+=︒ 1sin 2ABC S ab C ∴=24=+. 【点睛】本题考查正弦定理解三角形，考查三角形面积公式的应用，属于基础题.18．(1)A∩B ＝{x|－4<x≤－3或1≤x<2} (2)⎡⎫⎪⎢⎪⎣⎭【解析】本题主要考查了集合的交并补混合运算，较为简单，关键是将各集合的元素计算出来． （1）分别计算出几何A ，B ，再计算A∩B 即可；（2）根据条件再由（1）容易计算．解：(1)由－x 2－2x ＋8>0，解得A ＝(－4,2)，又y ＝x ＋11x +＝(x ＋1)＋11x +－1， 所以B ＝(－∞，－3]∪ [1，＋∞)．所以A∩B ＝(－4，－3]∪[1,2)．(2)因为∁R A ＝(－∞，－4]∪[2，＋∞)．由1()ax a - (x ＋4)≤0，知a≠0.①当a>0时，由21()x a -(x ＋4)≤0，得C ＝21[4,]a -，不满足C ⊆∁R A ； ②当a<0时，由21()x a - (x ＋4)≥0，得C ＝(－∞，－4)∪21[,]a +∞，欲使C ⊆∁R A ，则21a ≥2，解得－2≤a<0或0<a≤2.又a<0≤a<0.综上所述，所求a 的取值范围是 [,0]2-. 19．（1）()π2sin 26f x x ⎛⎫=+⎪⎝⎭；（2）ππ,π3k k ⎛⎫+ ⎪⎝⎭，k Z ∈. 【分析】 （1）根据函数的最大值可得A ，根据周期可得ω，根据最高点的横坐标可得ϕ，求得结果； （2）由()1f x >，得到π1sin 262x ⎛⎫+> ⎪⎝⎭，从而有ππ5π2π22π666k x k +<+<+，k Z ∈，进而求得x 的取值集合.【详解】（1）2A = ππ4612T =+，进而可知2ω= 由π26f ⎛⎫= ⎪⎝⎭可得π6ϕ= 所以()π2sin 26f x x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭ （2）因为()1f x >，所以π1sin 262x ⎛⎫+> ⎪⎝⎭， 所以ππ5π2π22π666k x k +<+<+，k Z ∈ 所以ππ,π3x k k ⎛⎫∈+ ⎪⎝⎭，k Z ∈.【点睛】该题考查的是有关三角函数的问题，涉及到的知识点有根据函数图象确定函数解析式，求三角不等式，属于简单题目.20．（1）最小正周期π；对称中心为,32π⎛- ⎝⎭（2）410 【分析】（1）先根据平面向量数量积的坐标运算和三角恒等变换将()f x 化简，再根据三角函数的图象和性质求()f x 的最小正周期和其图象在区间0,2π⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的对称中心即可；（2）根据3()5f θ+=得到sin 23πθ⎛⎫+ ⎪⎝⎭的值，再根据角θ的取值范围求得cos 23πθ⎛⎫+ ⎪⎝⎭的值，最后利用两角差的余弦公式即可求出cos2θ的值.【详解】解：（1）由题意得，(cos ,3),(sin ,1)m x n x x =-=+所以()f x m n =⋅cos (sin )x x x =+-2sin cos x x x =+-11cos2sin 222x x +=-sin 23x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，即()sin 23f x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭ ∴函数()f x 的最小正周期22T ππ==. 当0,2x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时，42,333x πππ⎡⎤+∈⎢⎥⎣⎦， 令23x ππ+=，解得3x π=，∴函数()f x 的图象在区间0,2π⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的对称中心为,32π⎛- ⎝⎭. （2）∵3()25f θ+=，∴3sin 235πθ⎛⎫+= ⎪⎝⎭ 又02πθ<<，∴42233πππθ<+<，∴4cos 235πθ⎛⎫+==- ⎪⎝⎭， ∴cos2cos 2cos 2cos sin 233333πππππθθθθ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+-=+++ ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦. 413sin 3525π=-⨯+=. 【点睛】本题主要考查平面向量的数量积、三角恒等变换、三角函数的图象和性质等，考查考生的恒等变形能力、运算求解能力.试题以平面向量的数量积、三角函数的图象和性质、三角恒等变换等为依托，考查直观想象、数学运算等核心素养.21．（Ⅰ）1,2,12n n a ；（Ⅱ）(1)21n n T n =-+. 【分析】（Ⅰ）代入数据计算得到1a ，2a ，利用公式1n n n a S S -=-得到12n n a a -=，计算得到答案. （Ⅱ）直接利用错位相加法得到答案.【详解】(I)11S a = .∴当1n =时，11112a a S S -=⋅1101a a ≠∴=,当2n =时 2222112a a a -=+∴= ，11111112222n n n n n n n a a a a a S S a a S S -----=-=-=-,12n n a a -∴= , {}n a ∴是首项为1=1a 公比为2q的等比数列.12,n n a n N -*=∈ ,（II ）设123123n n T a a a n a =⋅+⋅+⋅++⋅ 则123123n n qT qa qa qa n qa =⋅+⋅+⋅++⋅ 即2341123n n qT a a a n a +=⋅+⋅+⋅++⋅ ,上式错位相减: 12311)n n n q T a a a a n a +-=++++-⋅（1112121nn n n q a na n q+-=-=--⋅-, (1)21,n n T n n N *∴=-+∈.【点睛】本题考查了关系式1n n n a S S -=-求通项公式，错位相加法，意在考查学生对于数列公式的灵活运用.22．（1）2))63y x x ππ=++<<，（2）最大值. 【分析】（1）根据题意，利用正弦定理求得,AC AB ，由此求得y 的解析式和定义域，利用两角差的正弦公式和辅助角公式化到最简；（2）由（1）2))63y x x ππ=++<<，根据x 的范围求得π+6x 的范围，由此求得y 的最大值.【详解】（1）因为3A π=，且πA B C ++=，所以23B C π+=， 由0,0B C >>，得2π03B <<，即2π03x <<.由正弦定理得：4πsin sin sin s in 3BC AB AC A C B ====， 所以2π4sin ,4sin 3AC x AB x ⎛⎫==- ⎪⎝⎭，所以2π4sin 4sin 2sin 4sin 3y x x x x x ⎛⎫=-++=+++ ⎪⎝⎭6sin )6x x x π=++=++，所以2))63y x x ππ=++<<.（2）由（1）得2))63y x x ππ=++<<， 因为2π03x <<，所以ππ5π666x <+<，所以当πππ,623x x +==时，y 取得最大值为=. 【点睛】该题考查的是有关三角函数以及解三角形的问题，涉及到的知识点有正弦定理解三角形，两角差的正弦函数公式，辅助角公式化简函数解析式，求三角函数的最值，属于简单题目.。

姓名，年级：时间：数学试题一、单项选择题:本题共8小题，每小题5分,共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．已知复数z＝(1﹣i）+m（1+i）是纯虚数，则实数m＝( ）A．﹣2 B．﹣1 C．0 D．12.如图所示的直观图中,O′A′＝O′B′＝2，则其平面图形的面积是（）A．4 B． C．D．83.设l是一条直线,α，β是两个不同的平面，下列命题正确的是（）A．若l∥α，l∥β,则α∥βB．若α⊥β，l∥α，则l⊥βC．若l∥α,l⊥β，则α⊥βD．若α⊥β，l⊥α，则l∥β4．已知在平行四边形ABCD中，点M、N分别是BC、CD的中点，如果＝，＝，那么向量＝( ）A．B．C．D．5．已知圆锥的表面积为3π，它的侧面展开图是一个半圆，则此圆锥的体积为（)A．B．C．D．6．《史记》中讲述了田忌与齐王赛马的故事．其中，田忌的上等马优于齐王的中等马，劣于齐王的上等马；田忌的中等马优于齐王的下等马,劣于齐王的中等马；田忌的下等马劣于齐王的下等马．若双方各自拥有上等马、中等马、下等马各1匹,且双方各自随机选1匹马进行1场比赛，则田忌的马获胜的概率为（）A．B．C． D．7．如图所示，为了测量山高MN，选择A和另一座山的山顶C作为测量基点，从A点测得M点的仰角∠MAN＝60°，C点的仰角∠CAB＝45°，∠MAC＝75°，从C点测得∠MCA＝60°．已知山高BC＝500m，则山高MN（单位：m)为( )A．750 B．750 C．850 D．8508．如图，在平面直角坐标系xOy中，原点O为正八边形P1P2P3P4P5P6P7P8的中心，P1P8⊥x轴，若坐标轴上的点M(异于点O）满足＝(其中1≤i，j≤8，且i，j∈N＊），则满足以上条件的点M的个数为（）A．2 B．4 C．6 D．8二、多项选择题：本题共4小题,每小题5分,共20分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分,部分选对的得3分，有选错的得0分.9．已知复数z满足（1﹣i)z＝2i,则下列关于复数z的结论正确的是（ ) A ．B ．复数z 的共轭复数为＝﹣1﹣iC ．复平面内表示复数z 的点位于第二象限D ．复数z 是方程x 2+2x +2＝0的一个根10．某市教体局对全市高三年级的学生身高进行抽样调查,随机抽取了100名学生，他们的身高都处在A ，B ，C ，D ，E 五个层次内，根据抽样结果得到统计图表，则下面叙述正确的是（ ）A ．样本中女生人数多于男生人数B ．样本中B 层人数最多C ．样本中E 层次男生人数为6人D ．样本中D 层次男生人数多于女生人数11．已知事件A ，B ，且P （A )＝0。

数学试题本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷(非选择题)两部分，满分150分．考试时间120分钟．第Ⅰ卷（选择题 共60分）一、选择题（每小题5分，共60分。

下列每小题所给选项只有一项符合题意，请将正确答案的序号填涂在答题卡上） 1．8π5弧度化为角度是（ ） A ．278°B ．280°C ．288°D ．318°2．在等差数列{a n }中，S 10＝120，则a 1＋a 10的值是( ) A ．12 B ．24 C ．36 D ．483.已知sin α－cos α＝－52，则tan α＋1tan α的值为( ) A ．－5 B ．－6 C ．－7 D ．－84．若a<0，－1<b<0，则有( ) A ．a>ab>ab 2 B ．ab 2>ab>a C ．ab>a>ab 2D ．ab>ab 2>a5.在△ABC 中，已知D 是边AB 上一点，若AD →＝2DB →，CD →＝13CA →＋λCB →，则λ＝( )A.13B.23C.12D.346.已知x>1，y>1，且14lnx ，14，lny 成等比数列，则xy 的最小值是( )A ．e B. 2 C ．1D ．1e7.设x ，y ∈R ，向量a ＝(x ，1)，b ＝(1，y)，c ＝(2，－4)，且a ⊥c ，b ∥c ，则|a ＋b |＝( ) A. 5 B.10 C ．2 5D ．108.若扇形OAB 半径为2，面积为π，则它的圆心角为（ ） A ．4π B ．3π C ．2π D ．π9.在三角形ABC 中，内角A,B,C 的对边分别是 a 、b 、c ，若abB A =cos cos ，则ABC ∆的形状是（ ）A .等腰三角形B .钝角三角形C .直角三角形D .等腰三角形或直角三角形10.将函数)52sin(π+=x y 的图象向右平移10π个单位长度，所得图象对应的函数( )A ．在区间]45,43[ππ上单调递增B ．在区间],43[ππ上单调递减C ．在区间]23,45[ππ上单调递增D ．在区间]2,23[ππ上单调递减11.等比数列{a n }的各项均为正数，453,,a a a -成等差数列，Sn 为{a n }的前n 项和，则36S S 等于( )A ．2B .78C .98D .5412. 设函数f (x )＝sin 2x ＋b sin x ＋c ，则f (x )的最小正周期( ) A.与b 有关，但与c 无关 B.与b 有关，且与c 有关 C.与b 无关，且与c 无关 D.与b 无关，但与c 有关第Ⅱ卷（非选择题 共90分）二、填空题（每题5分，共20分。

山西省忻州市静乐县第一中学2020-2021学年高二数学上学期入学考试试题注意事项：1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。

2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。

如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号。

回答非选择题时，将答案写在答题卡上。

写在本试卷上无效。

3．考试结束后，将答题卡交回。

一、选择题：本大题共12小题，每小题4分，共48分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．若a ＞b ，则下列各式中正确的是（ ） A ．ac ＞bcB ．ac 2＞bc 2C ．a +c 2＞b +c 2D ．11a b＜2．等差数列{}n a 中，34a =，公差2d =-，则5a =（ ） A ．1-B ．12-C ．1D ．03．已知向量()5,a m =，()2,2b =-，若()a b b -⊥，则实数m = ( ) A ．-1B ．1C ．2D ．-24．在△ABC 中，D 为BC 上一点，E 为线段AD 的中点，若2BD ＝DC ，且BE ＝xAB ＋y AC ，则x ＋y ＝（ ） A ．－23B ．－12C ．13D ．－135．九连环是我国从古至今广泛流传的一种益智游戏，它用九个圆环相连成串，以解开为胜．据明代杨慎《丹铅总录》记载：“两环互相贯为一，得其关捩，解之为二，又合面为一“．在某种玩法中，用a n 表示解下n （n ≤9，n ∈N *）个圆环所需的移动最少次数，若a 1＝1．且a n ＝1121,22,n n a n a n ---⎧⎨+⎩为偶数为奇数，则解下5个环所需的最少移动次数为（ ）A ．7B ．13C ．16D ．226．设a ，b 是两条不同的直线，α，β是两个不同的平面，则下列四个命题：①若b a ⊥，a α⊥，b α⊄，则//b α；②若//a α，a β⊥，则αβ⊥；③若a β⊥，αβ⊥，则//a α或aα⊂；④若ba⊥，aα⊥，bβ⊥，则αβ⊥．其中正确命题的个数为（）A．1 B．2 C．3 D．47．设x，y满足约束条件2330233030x yx yy+-≤⎧⎪-+≥⎨⎪+≥⎩则z＝2x＋y的最小值是（）A．－15 B．－9 C．1 D．98．《九章算术》中，将底面是直角三角形的直三棱柱称之为“堑堵”.已知某“堑堵”的三视图如图所示，俯视图中间的实线平分矩形的面积，则该“堑堵”的侧面积为（）A．2B．242+C．422+D．442+9．若△ABC中，2sin()sin()sinA B A B C+-=，则此三角形的形状是（）A．直角三角形B．等腰三角形C．等边三角形D．等腰直角三角形10．记S n为等比数列{a n}的前n项和．若a5–a3=12，a6–a4=24，则nnSa=（）A．2n–1 B．2–21–n C．2–2n–1D．21–n–111．设锐角三角形ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若2a=，2B A=，则b 的取值范围为（）A．()0,4B．(2,23C．(22,23D．()22,412．在ABC中，内角A，B，C的对边分别是a，b，c，()()sin sin sin sina c A Cb B a B+-+=，24b a+=，点D在边AB上，且2AD DB=，则线段CD长度的最小值为（）A．33B．223C．3 D．2二、填空题：本大题共4小题，每小题3分，共12分． 13．在ABC △中，2AB =，7AC =，23ABC π∠=，则BC =______________. 14．如图是棱长为a 的正方体的平面展开图，则在这个正方体中，直线EF 与MN 所成角的余弦值为________．15．某省每年损失耕地20万亩，每亩耕地价值24000元，为了减小耕地损失，决定按耕地价格的%t 征收耕地占用税，这样每年的耕地损失可减少t 25万亩，为了既减少耕地的损失又保证此项税收一年不少于9000万元，t 变动的范围是________．16．已知圆O 是边长为2的正方形的内切圆，MN 为圆O 的一条直径，点P 为正方形四条边上的一个动点，则PM PN ⋅的取值范围是______．三、解答题：本大题共4小题，每小题10分，共40分。

山西省忻州市高二上学期开学数学试卷姓名:________ 班级:________ 成绩:________一、选择题 (共12题；共24分)1. （2分）已知递增数列{an}各项均是正整数，且满足=3n，则a5的值为（）A . 2B . 6C . 8D . 92. （2分）已知实数a,b,c,d成等比数列，且对函数y=ln(x+2)-x，当x=b时取到极大值c，则ad等于（）A . -1B . 0C . 1D . 23. （2分） (2019高三上·汕头期末) 在等差数列中，前项和满足，则＝（）A . 7B . 9C . 14D . 184. （2分） (2016高一下·锦屏期末) 在△ABC中，A=60°，AB=1，AC=2，则S△ABC的值为（）A .B .C .D . 25. （2分）在△ABC 中，sinA:sinB:sinC=3:2:4，则cosC的值为（）A .B . －C .D . －6. （2分）(2020·嘉兴模拟) 已知数列，满足且设是数列的前n项和，若，则a的值为（）A .B .C .D .7. （2分）(2020·邵阳模拟) 在数列中，若，则该数列的前50项之和是（）A . 18B . 8C . 9D . 48. （2分） (2016高一上·惠城期中) 某种计算机病毒是通过电子邮件进行传播的，下表是某公司前5天监测到的数据：第x天12345被感染的计算机数量y（台）10203981160若用下列四个函数中的一个来描述这些数据的规律，则其中最接近的一个是（）A . f（x）=10xB . f（x）=5x2﹣5x+10C . f（x）=5•2xD . f（x）=10log2x+109. （2分） (2016高一下·台州期末) 在△ABC中，角A、B、C的对边分别为a，b，c，a=1，b= ，∠A=则∠B等于（）A .B .C . 或D .10. （2分）已知实数构成一个等比数列,则圆锥曲线的离心率为（）A .B .C .D .11. （2分）关于数列{an}有以下命题，其中错误的命题为（）A . 若且an+1+an-1=2an,则｛an}是等差数列B . 设数列{an}的前n项和为Sn,且2Sn=1+an,则数列｛an}的通项为an=(-1)n-1C . 若且an+1an-1=an2 ，则｛an}是等比数列D . 若｛an}是等比数列，且则12. （2分）在中，角所对的边分别为，且，若，则的形状是（）A . 等腰三角形B . 直角三角形C . 等边三角形D . 等腰直角三角形二、填空题 (共4题；共4分)13. （1分） (2016高二下·南阳开学考) 观察下面的算式：，，，则12+22+…+n2=________（其中n∈N*）．14. （1分） (2017高一下·怀仁期末) 已知是递增的等比数列，若，，则此数列的公比 ________．15. （1分） (2019高二上·郑州期中) 在中，角所对的边分别为，若，则 ________．16. （1分）如图，已知点D在△ABC的BC边上，且∠DAC=90°，cosC= ，AB=6，BD= ，则ADsin∠BAD=________．三、解答题 (共6题；共40分)17. （5分） (2016高三上·翔安期中) Sn为数列{an}的前n项和，已知an＞0，an2+2an=4Sn+3（I）求{an}的通项公式；（Ⅱ）设bn= ，求数列{bn}的前n项和．18. （10分） (2019高一下·哈尔滨月考) 在中，角所对的边分别为，已知（1）求的值；（2）若，求的值19. （5分）已知数列是递增的等差数列，，，，成等比数列．（I）求数列的通项公式；（II）若，求数列的前项和 .20. （10分）设,求解下列问题：（1）求的单调区间；（2）在锐角△ AB C 中，角∠ A , B , C ,的对边分别为 a , b , c ,若 = 0 , a = 1 ,求△ A B C 面积的最大值.（1）求的单调区间；（2）在锐角中，角,的对边分别为,若,求面积的最大值.21. （5分）商场销售某一品牌的羊毛衫，购买人数是羊毛衫标价的一次函数，标价越高，购买人数越少．把购买人数为零时的最低标价称为无效价格，已知无效价格为每件300元．现在这种羊毛衫的成本价是100元/件，商场以高于成本价的价格（标价）出售．问：（1）商场要获取最大利润，羊毛衫的标价应定为每件多少元？（2）通常情况下，获取最大利润只是一种“理想结果”，如果商场要获得最大利润的75%，那么羊毛衫的标价为每件多少元？22. （5分）已知等比数列{an}满足an+1+an=4×3n﹣1（n∈N*）．（I）求数列{an}的通项公式；（Ⅱ）若bn=log3an ，求Tn=b1b2﹣b2b3+b3b4﹣b4b5+…+b2n﹣1b2n﹣b2nb2n+1 ．参考答案一、选择题 (共12题；共24分)1-1、2-1、3-1、4-1、5-1、6-1、7-1、8-1、9-1、10-1、11-1、12-1、二、填空题 (共4题；共4分)13-1、14-1、15-1、16-1、三、解答题 (共6题；共40分)17-1、18-1、18-2、19-1、20-1、20-2、21-1、22-1、。

山西省忻州市高二上学期开学数学试卷姓名:________ 班级:________ 成绩:________一、选择题 (共12题；共24分)1. （2分）已知角θ的终边上一点P（a，﹣1）（a≠0），且tanθ=﹣a，则sinθ的值是（）A . ±B . ﹣C .D . ﹣2. （2分）集合的真子集总共有（）A . 8个B . 7个C . 6个D . 5个3. （2分） (2016高二上·宾阳期中) 若﹣1＜a＜b＜1，则下列不等式中成立的是（）A . ﹣2＜a﹣b＜0B . ﹣2＜a﹣b＜﹣1C . ﹣1＜a﹣b＜0D . ﹣1＜a﹣b＜14. （2分）某篮球队甲、乙两名运动员练习罚球，每人练习10组，每组罚球40个．每组命中个数的茎叶图如下．则下面结论中错误的一个是（）A . 甲的极差是29B . 乙的众数是21C . 甲罚球命中率比乙高D . 甲的中位数是245. （2分）已知数列的通项公式，则数列的前n项和取得最小值时n的值为（）A . 3B . 4C . 5D . 66. （2分） (2017高二下·雅安开学考) 按流程图的程序计算，若开始输入的值为x=3，则输出的x的值是（）A . 6B . 21C . 156D . 2317. （2分）(2014·湖南理) 已知函数f（x）=sin（x﹣φ），且 f（x）dx=0，则函数f（x）的图象的一条对称轴是（）A . x=B . x=C . x=D . x=8. （2分）= （）A .B .C .D . 49. （2分）已知非零向量、满足2| |=3| |，| ﹣2 |=| + |，则与的夹角的余弦值为（）A .B .C .D .10. （2分）(2018·南充模拟) 为了从甲、乙两人中选一人参加数学竞赛，老师将二人最近的6次数学测试的分数进行统计，甲、乙两人的得分情况如茎叶图所示，若甲、乙两人的平均成绩分别是，，则下列说法正确的是（）A . ，乙比甲成绩稳定，应选乙参加比赛B . ，甲比乙成绩稳定，应选甲参加比赛C . ，甲比乙成绩稳定，应选甲参加比赛D . ，乙比甲成绩稳定，应选乙参加比赛11. （2分） (2016高一下·岳池期末) 二次不等式ax2+bx+1＞0的解集为{x|﹣1＜x＜ }，则ab的值为（）A . ﹣5B . 5C . ﹣6D . 612. （2分）(2017·广西模拟) 某居民小区拟将一块三角形空地改造成绿地．经测量，这块三角形空地的两边长分别为32m和68m，它们的夹角是30°．已知改造费用为50元/m2 ，那么，这块三角形空地的改造费用为（）A . 元B . 元C . 27200元D . 54400元二、填空题 (共4题；共4分)13. （1分） (2016高一下·南市期末) 在区间[﹣， ]上任取一个数x，则函数f（x）=3sin（2x﹣）的值不小于0的概率为________．14. （1分） (2017高二下·中原期末) 知函数f（x）是R上的偶函数，g（x）是R上的奇函数，且g（x）=f（x﹣1），若f（﹣2）=2，则f（2018）=________．15. （1分） (2016高一上·沈阳期中) 已知log3[log4（log2x）]=0，则x=________．16. （1分） (2016高三上·洛阳期中) 等差数列{an}中，Sn为其前n项和，若a5=10，S5=30，则 + ++…+ =________．三、解答题 (共6题；共55分)17. （5分）袋中有五张卡片，其中红色卡片三张，标号分别为1，2，3；蓝色卡片两张，标号分别为1，2．（Ⅰ）从以上五张卡片中任取两张，求这两张卡片颜色不同且标号之和小于4的概率；（Ⅱ）现袋中再放入一张标号为0的绿色卡片，从这六张卡片中任取两张，求这两张卡片颜色不同且标号之和小于4的概率．18. （10分） (2015高一下·万全期中) 若△ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且满足asinB﹣bcosA=0（1）求A；（2）当a= ，b=2时，求△ABC的面积．19. （10分） (2018高一上·长春月考) 求下列函数的定义域：（1）；（2）已知的定义域为，求的定义域.20. （10分） (2019高二上·中山月考) 某化工企业2018年年底投入100万元，购入一套污水处理设备。

山西忻州实验中学2020学年度第一学期高二数学第一次综合测试卷一、选择题：(本题满分60分,每小题5分) 1. 过点(－2,3)和点(1,－3)的直线的倾斜角是A ．－arctan2B ．π－arctan2C ．π+arctan2D ．arctan2 2. 已知直线l 的倾斜角为α，并且0≤α<32π，则直线l 的斜率k 的范围是 A.-3<k ≤0 B.k>-3 C.k ≥0或k<-3 D.k ≥0或k<-33 3. 直线012=++y x 的截距式方程是 A ．12=--y xB ．1211-=+yx C ．121=--yx D ．1211=-+-yx4. R m ∈，直线012)1(=++--m y x m 恒过定点 A ．)21,1(B ．)0,2(-C ．(2,1)-D ．)3,2(-5. 直线013:1=++y ax l ，01)1(2:2=+++y a x l ，若21//l l ，则a 的值为 A ．－3或2B ．2C ．－3D ．2或36. 直线1:(2)(1)30l a x a y ++-+=，2:(1)(23)20l a x a y -+++=互相垂直，则a 的值为 A ．－1B ．1C ．1±D ．23 7. ABC ∆的一个顶点)1,3(-A ，B ∠、C ∠的平分线方程0=x ，x y =，则直线BC 的方程是 A ．250x y --= B ．032=+-y x C ．053=+-y xD ．052=-+y x8. x 2+y 2≤1是｜x ｜+｜y ｜≤1的A.充分非必要条件B.必要非充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件 9. 已知平面区域如图1所示，z =mx +y (m ＞0)在 平面区域内取得最大值的最优解有无数多个， 则m 的值为图1A ．－207 B ．207C ．21 D ．不存在 10. 若02)1(22=++-++λλλy x y x 表示圆，则λ的取值范围是 A ．0>λB ．151≤≤λC ．1>λ或51<λ D ．R11. 圆心为（1，－2），半径为52的圆在x 轴上截得的弦长为 A ．8B ．4C ．26D ．3412. 如果实数x 、y 满足3)2(22=+-y x ，那么xy的最大值是 A ．21 B ．33 C ．32D ．3二、填空题：(本题满分16分,每小题4分)13. 等腰三角形一腰所在直线1l 的方程为022=--y x ，底边所在的直线2l 的方程为01=-+y x ，点)0,2(-在另一腰上，则另一腰所在直线方程为_________．14. 已知05≥-+y x ，010≤-+y x ．则22y x +的最小值为_________．15. 已知圆422=+y x O ：，则过点()42，P 的圆O 的切线方程为_________． 16. 已知圆M ：（x ＋cos θ）2＋（y －sin θ）2＝1，直线l ：y ＝kx ，下面四个命题：（A ） 对任意实数k 与θ，直线l 和圆M 相切； （B ） 对任意实数k 与θ，直线l 和圆M 有公共点；（C ） 对任意实数θ，必存在实数k ，使得直线l 和圆M 相切； （D ） 对任意实数k ，必存在实数θ，使得直线l 和圆M 相切. 其中真命题的代号是______________（写出所有真命题的代号） 三、解答题：(本题满分74分) 17. （本小题满分12分）若x 、y 满足条件⎪⎩⎪⎨⎧≤+-≥+-≤-+.0104010230122y x y x y x ，，求y x z 2+=的最大值和最小值．18. （本小题满分12分）已知圆228x y +=内有一点0(1,2)P -,AB 为过点0P 且倾斜角为α的弦. (Ⅰ)当34πα=时,求AB 的长;(Ⅱ)当弦AB 被点0P 平分时,写出直线AB 的方程.19.（本小题满分12分）设(,0),(,0)(0)A c B c c ->为两定点,动点P 到A 点的距离与到B 点的距离的比为定值(0)a a >,求P 点的轨迹.20．（本小题满分１2分）已知圆0622=+-++m y x y x 与直线032=-+y x 相交于P 、Q 两点，O 为原点，且||||OP OQ OP OQ +=-u u u r u u u r u u u r u u u r，求实数m 的值．21．（本小题满分12分）如图,三定点A(2,1),B(0,－1),C(－2,1); 三动点D,E,M 满足AD →=tAB →, BE → = t BC →, DM →=t DE →, t ∈[0,1].(Ⅰ)求动直线DE 斜率的变化范围; (Ⅱ)求动点M 的轨迹方程.22．（本小题满分14分）在ABC ∆中，,,A B C ∠∠∠所对应的边分别为,,a b c ，且10,c =cos 4.cos 3A bB a ==P 为ABC ∆的内切圆上的动点.(Ⅰ)建立适当的坐标系，求ABC ∆的内切圆的方程； (Ⅱ)求P 到顶点,,A B C 的距离的平方和的最大值与最小值.[参考答案]一、选择题： 题号 1 23 4 5 6 7 8 9 10 11 12 答案BCDDCCABBCAD二、填空题：13.2x-y+4=0;14.50;15. 01043=+-y x ，2=x ;16.（B ）（D ）;三、解答题：17. 作出约束条件所表示的平面区域，即可行域，如图所示．作直线z y x l =+2:，即z x y 2121+-=，它表示斜率为21-，纵截距为2z的平行直线系，当它在可行域内滑动时，由图可知，直线l 过点时，z 取得最大值，当l 过点B 时，z 取得最小值．∴18822max =⨯+=z ∴2222min =⨯+-=z18.参考课本第85页例119. 设动点P 的坐标为(,)x y ,由||(0)||PA a a PB =>,得a =,化简得2222222(1)2(1)(1)(1)0a x c a x c a a y -+++-+-=.当1a ≠时,得222222(1)01c a x x c y a ++++=-整理得22222212()()11a ac x c y a a +-+=--;当1a =时,化简得0x =.所以当1a ≠时,点的轨迹是以221(,0)1a c a +-为圆心, 22||1aca -为半径的圆;当1a =时, P 点的轨迹是以为y 轴20. 设点P 、Q 的坐标为),(11y x 、),(22y x ．一方面，由OQ OP ⊥，得1-=⋅OQ OP k k ，即12211-=⋅x y x y ，也即：02121=+y y x x ． ① 另一方面，),(11y x 、),(22y x 是方程组⎩⎨⎧=+-++=-+0603222m y x y x y x 的实数解，即1x 、2x 是方程02741052=-++m x x ② 的两个根．∴221-=+x x ，527421-=m x x ． ③ 又P 、Q 在直线032=-+y x 上， ∴])(39[41)3(21)3(2121212121x x x x x x y y ++-=-⋅-=．将③代入，得51221+=m y y ．④将③、④代入①，解得3=m ，代入方程②，检验0>∆成立，∴3=m ．21. (Ⅰ)设D(x 0,y 0),E(x E ,y E ),M(x,y).由AD →=tAB →, BE → = t BC →, 知(x D －2,y D －1)=t(－2,－2). ∴⎩⎨⎧x D =－2t+2y D =－2t+1 同理 ⎩⎨⎧x E =－2t y E =2t －1. ∴k DE = y E －y D x E －x D = 2t －1－(－2t+1)－2t －(－2t+2) = 1－2t.∴t∈[0,1] ,∴k DE ∈[－1,1].(Ⅱ) ∵DM →=t DE → ∴(x+2t －2,y+2t －1)=t(－2t+2t －2,2t －1+2t －1)=t(－2,4t －2)=(－2t,4t 2－2t). ∴⎩⎨⎧x=2(1－2t)y=(1－2t)2 , ∴y=x 24 , 即x 2=4y. ∵t∈[0,1],即所求轨迹方程为: x 2=4y, x∈[－2,2]22．(Ⅰ)由已知cos cos A bB a=及正弦定理得 cos sin cos sin A BB A=，sin 2sin 2A B ∴=. A B ≠Q ,22180A B ∴+=︒, 90A B ∴+=︒即ABC ∆为Rt ∆.又由410,,3b c a ==得6,a = 8,b =ABC ∴∆内切圆半径22a b cr +-==，建立如图所示的直角坐标系，则内切圆的方程为：22(2)(2)4x y -+-=(Ⅱ)设圆上的动点P 的坐标为(22cos ,22sin )θθ++，则222||||||S PA PB PC =++=222(22cos )(62sin )(42cos )θθθ++-++-++ 222(22sin )(22cos )(22sin )θθθ+++++=808sin θ-,max min 88,72S S ==。