反证法ppt课件

成才之路 · 数学
人教A版 · 选修2-2
路漫漫其修远兮 吾将上下而求索
第二章
推理与证明
第二章 2.2 直接证明与间接证明
2.2.2 反证法
1
自主预习学案
2
典例探究学案
3
巩固提高学案
4
备 选 练 习
自主预习学案
理解反证法的概念，掌握反证法的特点及证题的步骤．
重点：反证法概念的理解以及反证法的证题步骤． 难点：反证法的应用．
已知p3＋q3＝2，求证p＋q≤2. [解析] 假设p＋q>2，那么p>2－q，所以p3>(2－q)3＝8－12q ＋6q2－q3，将p3＋q3＝2代入消去p，得6q2－12q＋6<0，即 6(q－1)2<0.这与6(q－1)2≥0矛盾，故假设错误．所以p＋q≤2. [点评] 本题已知条件为p、q的三次幂，而结论中只有p，q 的一次幂，若直接证明，应考虑到用立方根，同时用放缩法 ，但很难证，故考虑采用反证法.
[方法规律总结] 用反证法证明数学命题的步骤 第一步：审题，分清命题的条件和结论； 第二步：反设，做出与命题结论相矛盾的假设； 第三步：归谬，由假设出发，应用演绎推理方法，推出矛盾 的结果； 第四步：下结论，断定产生矛盾结果的原因，在于开始所做 的假设不真，于是原结论成立，从而间接地证明了命题为真 ．
典例探究学案
用反证法证明直接证明不易入手的问题
求证：若两条平行直线 a、b 中的一条与平面 α 相交，则另一条也与平面 α 相交．
[分析] 直接证明直线与平面相交比较困难，故可考虑用反 证法，注意该命题的反面情形不止一种，需一一驳倒，才能 推出命题结论正确．
[解析] 不妨设直线a与平面α相交，b与a平行，从而要证b 也与平面α相交．假设b不与平面α相交，则必有下面两种情 况：(1)b在平面α内．由a∥b，a⊄平面α，得a∥平面α，与题 设矛盾． (2)b∥平面α. 则平面α内有直线b′，使b∥b′. 而a∥b，故a∥b′，因为a⊄平面α，所以a∥平面α，这也与 题设矛盾． 综上所述，b与平面α只能相交．

一、创设情境------“扫雷”游戏
证明： ∵B写着个1， ∴B的周围有1个雷； ∵B周围八格除了红圈以外，
其他七个格都不是雷， ∴剩下的一个格红圈必然是雷。
证明：
假设红圈不是雷
则B周围八个格都不是雷
可是B写着1说明B周围有1个雷矛盾！
所以假设不对,所以红圈是雷
二、探究新知
《路边苦李》的故事:王戎7岁时,与小伙伴们外出游玩,看到路边的李树上结满了果子. 小伙伴们纷纷去摘取果子,只有王戎站在原地不动.有人问王戎为什么?
（A）a≠＞b
（B）a ＞b
2、试说出下列命题的反面：
（1）a是实数
a不是实数
（3）a小于2 a大于或等于２
（5）最多有一个 一个也没有
（7）a//b；
a∥b
（9）b是正数； b是0或负数
） （C）a=b
（D）a=b或a ＞b
（2 ) a大于2 a小于或等于２
（4）至少有2个 没有两个
（6）两条直线平行 两直线相交
（8） a≥0；
a<0
（10）a⊥b．
a不垂直于b
四、应用新知
3、用反证法证明“若a2≠ b2,则a ≠ b”的第一步是 假设a=b
。
4、用反证法证明“如果一个三角形没有两个相等的角， 那么这个三角形不是等腰三角形”的第一步 假设这个三角形是等腰三角形 。
四、应用新知
a
B
●
5、求证：两条直线相交只有一个交点.
假
（得
设
已出
结
知矛
论 推理论证 、 盾 得出结论
的
定
反
理
面
、
正
公
确
理
）

l3
P
l1
l2
所以过直线l2外一点P,有两条直线和l2平行,
这与“_经__过_直__线__外_一__点_,_有_且__只__有_一__条_直_
线__平__行_于__已_知__直__线_”矛盾.
所以假设不成立,即求证的命题正确.
理
求证:在同一平面内,如果两条直线都和第三 条直线平行,那么这两条直线也互相平行. (1)你首先会选择哪一种证明方法? (2)如果你选择反证法,先怎样假设?结果和什 么产生矛盾? (3)能不用反证法证明吗?你是怎样证明的?
中国古代有一个叫《路边苦李》的故事:王 戎7岁时,与小伙伴们外出游玩,看到路边的李树 上结满了果子.小伙伴们纷纷去摘取果子,只有王 戎王站戎在回原答地说不:“动树.在有道人边问而王多戎子为,什此么必?苦李.”
小伙伴摘取一个尝了一下果然是苦李. 王戎是怎样知道李子是苦的吗?他运用了怎样 的推理方法?
在证明一个命题时,人们有时先假设命题不成立, 从这样的假设出发,经过推理得出和已知条件矛 盾,或者与定义,公理,定理等矛盾,从而得出假设 命题不成立是错误的,即所求证的命题正确.这种 证明方法叫做反证法.
发生在身边的例子:
妈妈:小华,听说邻居小芳全家这几天下在 外出旅游.
小华:不可能,我上午还在学校碰到了她和 上述她对妈话妈中呢,小! 华要告诉妈妈的命题是什么? 小芳全家没外出旅游. 他是如何推断该命题的正确性的? 在你的日常生活中也有类似的例子吗?请举一
几何语言表示:∵a∥b,b∥c,
∴a∥c
学以致用:
已知:如图,直线l与l1,l2,l3都相交,且
l1∥l2,l2∥l3,
l
求证:∠1=∠2
1
l1
2

反证法的一般步骤:
假设
假设命题结论不成立 假设命题结论反面成立 与已知条件矛盾
所证命题成立 假设不 成立
推理得出的结论
或与定理，定义， 公理矛盾
试一试
你能说出下列结论的反面吗?
1. a⊥b
2.d是正数
a不垂直于b d不是正数,即d≤0 a＜ 0 a ∥b
3.a≥0
4.a∥b
常用的互为否定的表述方式： 不是—— 是 不存在—— 存在 不平行—— 平行 不垂直—— 垂直 不等于—— 等于 不都是—— 都是 不大于—— 大于
定理
求证:在同一平面内,如果两条直线都和第三条直线平行, 那么这两条直线也互相平行. （1）如果你选择反证法,先怎样假设?结果和什么产生矛盾? （2）能不用反证法证明吗？你是怎样证明的？
l１ 已知:如图，l1∥l2 ,l 2 ∥l 3 p l２ 求证：l１∥l３ l３ 证明：假设l１不平行l３，则l１与l３相交，设交点为p. ∵l１∥l２ , l２∥l３, 则过点p就有两条直线l１、 l３都与l２平行，这与“经过直线外一点，有且只 有一条直线平行于已知直线”矛盾． ∴假设不成立，所求证的结论成立， 即 l１∥l３
证明：假设所求证的结论不成立，
∠Ａ＋∠Ｂ＋∠Ｃ ＜ １８０度 则 ________________________________
Ｃ
即∠Ａ＿＿６０°， ∠Ｂ＿＿６０°，∠Ｃ＿＿６０° ＜ ＜ ＜
三角形的内角和等于１８０° 矛盾 这于＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿
不成立 所以假设命题＿＿＿＿＿＿， 所以，所求证的结论成立．
综上所述,假设不成立. ∴∠B一定是锐角.
已知:如图,直线l与l1,l2,l3都相交,且 l l1∥l3,l2∥l3, 求证: l1 ∥ l2