高三数学反证法PPT精品课件

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高三数学不等式的证明（比较法、综合法、分析法、反证法、放缩法）；不等式的应用知识精讲

（一）不等式的证明

1. 实数大小的性质

（1）abab0；

（2）abab0；

（3）abab0。

2. 比较法证明的步骤

（1）求差比较法

步骤：作差——变形——判别差的符号，在运用求差比较法证明时其关键是变形，通常变形方法是分解因式、配方、利用判别式及把差化为若干个非负数的和。（不能分解时证明有恒定符号可配方）

（2）求商比较法

步骤：作商——变形——判别商与1的大小，在运用求商比较法证明不等式时要根据已知条件灵活采用函数的单调性及基本不等式进行放缩。

3. 基本不等式

定理1：如果abR，，那么

abab222（当且仅当ab时取等号）。

定理2：如果abcR，，，那么abcabc3333（当且仅当abc时取等号）。

推论1：如果abR，，那么abab2（当且仅当ab时取“＝”号）。

推论2：如果abcR，，，那么abcabc33（当且仅当abc时取“＝”号）。

4. 综合法：利用某些已经证明过的不等式作为基础，再运用不等式的性质推导出所要求证的不等式，这种证明方法叫做综合法。

综合法的证明思路是：由因导果，也就是从一个（组）已知的不等式出发，不断地用必要条件替代前面的不等式，直到推导出要证的不等式。

5. 分析法：从求证的不等式出发分析这个不等式成立的充分条件，把证明这个不等式的问题转化为这些条件是否具备的问题，如果能够肯定这些条件都已具备，那么就可以判定所证的不等式成立。这种证明方法叫做分析法。

分析法的证明思路是：“执果索因”，即从求证的不等式出发，不断地用充分条件来代替前面的不等式，直至找到已知不等式为止。

用分析法证明不等式要把握以下三点：

（1）寻找使不等式成立的充分条件时，往往是先寻找使不等式成立的必要条件，再考虑这个必要条件是否充分。

第2讲 不等式的证明

[学生用书P272]

1．基本不等式

定理1：设a，b∈R，则a2＋b2≥2ab，当且仅当a＝b时，等号成立．

定理2：如果a，b为正数，则a＋b2≥ab，当且仅当a＝b时，等号成立．

定理3：如果a，b，c为正数，则a＋b＋c3≥3abc，当且仅当a＝b＝c时，等号成立．

定理3的推广：(一般形式的算术—几何平均不等式)如果a1，a2，…，an为n个正数，则a1＋a2＋…＋ann≥ na1a2…an，当且仅当a1＝a2＝…＝an时，等号成立．

2．不等式的证明方法

证明不等式常用的方法有比较法、综合法、分析法、反证法、放缩法、数学归纳法等．

常用结论

基本不等式及其推广

1．a2≥0(a∈R)．

2．(a－b)2≥0(a，b∈R)，其变形有a2＋b2≥2ab，a＋b22≥ab，a2＋b2≥12(a＋b)2. 3．若a，b为正实数，则a＋b2≥ab.特别地，ba＋ab≥2.

4．a2＋b2＋c2≥ab＋bc＋ca.

一、思考辨析

判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)比较法最终要判断式子的符号得出结论．( )

(2)综合法是从原因推导到结果的思维方法，它是从已知条件出发，经过逐步推理，最后达到待证的结论．( )

(3)使用反证法时，“反设”不能作为推理的条件应用．( )

答案：(1)× (2)√ (3)×

二、易错纠偏

常见误区|Ｋ不等式放缩不当致错.

已知三个互不相等的正数a，b，c满足abc＝1.试证明：

a＋b＋c<1a＋1b＋1c.

证明：因为a，b，c>0，且互不相等，abc＝1，所以a＋b＋c＝1bc＋1ac＋1ab<1b＋1c2＋1a＋1c2＋1a＋1b2＝1a＋1b＋1c，即a＋b＋c<1a＋1b＋1c.

[学生用书P273]

比较法证明不等式(师生共研)

设a，b是非负实数，求证：a3＋b3≥ab(a2＋b2)．

高考数学高三模拟考试试卷压轴题 反证法 一、知识与技能

1．了解命题、逆命题、否命题与逆否命题的概念；

2．能正确判断命题的真假，掌握四种命题的关系，能求一般命题的逆命题、否命题、逆否命题．合理进行思维的方法。

3．会用反证法证明简单的数学问题 二、过程与方法

1．从实例出发，抽象出命题、逆命题、否命题与逆否命题的概念；

2．由具体事例入手，让学生发现命题、逆命题、否命题与逆否命题的关系；

3．由互为逆否命题的真假一致引导学生学会准确地判断命题的真假。 三、情感态度与价值观

初步形成运用逻辑知识准确地表述问题的数学意识。

四、新课学习

1．反证法的逻辑依据

【师生互动】

【例7】证明：若Ryx,，且022yx，则0yx。

分析：对于该命题的证明，从正面着手：

∵Ryx,∴0,022yx

又∵022yx， ∴0x且0y，即0yx

直接证明也可以。但总给人一种说理不是那么很得劲，美中不足的感觉。如果采用了证明方法：

假设yx,不全为0，不妨设0x，则

∵02x∴022yx

这与已知的022yx矛盾，故0yx。

就会给人一种无可辩驳，不得不服的感觉。

【师】对于后一种证明方法，大家能把它以“若p则q”的形式表述出来再看看合原来要证明的命题是什么关系吗？

【生】后面要证明的命题写成“若p则q”的形式是：“若yx,不全为0，则022yx”原命题写成“若p则q”的形式是：“若022yx，则0yx”。

它们两者之间互为逆否命题，真假一致。

【师】像这样的证明方法我们把它叫做反证法。

2．反证法的概念

通过否定命题的结论而导出矛盾（可以是与原命题条件矛盾，也可以是与定义、定理、性质矛盾）来达到肯定命题的结论的一种数学证明方法.

关于反证法，实际上我们在初中学习平行线时，就早已遇到过了.

我们知道，在同一个平面内，两条直线的位置关系只有相交、平行两种.我们学过了平行公理：“经过直线外一点，有且只有一条直线与这条直线平行”.下面我们用反证法来证明它的一个推论：“如果两条直线都和第三条直线平行，那么这两条直线也互相平行”.

推理与证明经典问题回顾

主讲教师：丁益祥 北京陈经纶中学数学特级教师

开篇语

数学解题离不开推理与证明．这里的推理主要指合情推理和演绎推理，证明主要指直接证明、间接证明以及利用数学归纳法证明．

合情推理有归纳推理和类比推理两种形式：归纳推理是由特殊到一般的推理，类比推理是由特殊到特殊的推理；演绎推理是一般到特殊的推理．反证法是间接证明的主要形式，证明的思路是：通过否定结论，导出矛盾，进而说明原结论正确．

开心自测

题一：设等差数列{}na的前n项和为nS，则4S，84SS，128SS，1612SS成等差数列．类比以上结论有：设等比数列{}nb的前n项积为nT，则4T， ， ，1612TT成等比数列．

题二：设127,,,aaa是1，2，„，7的一个排列，求证：乘积127127Taaa为偶数．

考点梳理

1．合情推理的两种形式

（1）归纳推理：由某类事物的部分对象具有某些特征，推出该类事物的全部对象都具有这些特征的推理，或者由个别事实概括出一般结论的推理，称为归纳推理（简称归纳）。

归纳推理是由特殊到一般的推理。

（2）类比推理：由两类对象具有某些类似特征和已知其中一类对象的某些已知特征，推出另一类对象也具有这些特征的推理称为类比推理。

类比推理是由特殊到特殊的推理。

根据已有的事实，经过观察、分析、比较、联想，再进行归纳或类比，然后提出猜想的推理，统称为合情推理。

2．演绎推理

从一般性的原理出发，推出某个特殊情况下的结论，这种推理称为演绎推理。

演绎推理是一般到特殊的推理。

演绎推理的“三段论”模式：

（１）大前提——已知的一般原理；

（２）小前提——所研究的特殊情况；

（３）结论——根据一般原理，对特殊情况作出的判断。

3．直接证明与间接证明

（１）综合法：利用已知条件和某些数学定义、公理、定理等，经过一系列的推理论证，最后推导出所要证明的结论成立，这种证明方法叫做综合法。