反证法(课件)

3.反证法中常用的“结论词”与“反设词”如下：
结论词 至少有一个 至__多__有__一__个__ 至少有n个 至多有_n_个
一__个__也__没__有___
至多有
反设词
至少有两个
(不存在)
_(_n_－__1_) _个
至少有 (n＋1)个
结论词 只有一个 对所有x成立
对_任__意___x不成立
没有或至少 存在_某__个___x
题型三 用反证法证明结论中含有“至多”“至少”“都”等词语的问题 例3 用反证法证明：如果函数f(x)在区间[a，b]上是增函数，那么方程 f(x)＝0在区间[a，b]上至多有一个实数根.(不考虑重根) 证明 假设方程f(x)＝0在区间[a，b]上至少有两个实数根， 设α，β为它的两个实数根， 则f(α)＝f(β)＝0. 因为α≠β，不妨设α＜β，又因为函数f(x)在[a，b]上是增函数， 所以f(α)＜f(β)，这与f(α)＝f(β)＝0矛盾， 所以方程f(x)＝0在区间[a，b]上至多有一个实数根.
反设词
有两个
不成立
存在某个x成立
结论词 ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ是
_一__定__是___
p或q
p_且_ q
反设词 _不__都__是__ 不一定是 綈p且__綈q 綈p或綈q
思考 (1)有人说反证法就是通过证明逆否命题来证明原命题，这种 说法对吗？为什么？ 答案 这种说法是错误的，反证法是先否定命题，然后再证明命题的 否定是错误的，从而肯定原命题正确，不是通过逆否命题证题. 命题的否定与原命题是对立的，原命题正确，其命题的否定一定不对. (2)反证法主要适用于什么情形？ 答案 要证的结论与条件之间的联系不明显，直接由条件推出结论的 线索不够清晰；如果从正面证明，需要分成多种情形进行分类讨论， 而从反面进行证明，只要研究一种或很少的几种情形.

这四个步骤正确的顺序应是( C)
A.(1)(2)(3)(4) B.(3)(4)(2)(1) C.(3)(4)(1)(2) D.(4)(3)(2)(1)
例1
用反证法证明：圆的两条不是直径 的相交弦不能互相平分。
已知：如图，在⊙O中，弦AB、
CD交于点P，且AB、CD不是直径. A
求证：弦AB、CD不被P平分.
O
D
证明：假设弦AB、CD被P平分，
P
连结 AD、BD、BC、AC,
C
因为弦AB、CD被P点平分，所以四边形ABCD是平行四B边形
所以 ACB ADB,CAD CBD
因为 ABCD为圆内接四边形
所以 ACB ADB 180 , CAD CBD 180
因此 ACB 90 , CAD 90
反设 归谬 结论
适宜使用反证法的情况 （1）结论以否定形式出现 （2）结论以“至多------，” ，“至少------”
“有无穷多个------”形式出现 （ 3）唯一性、存在性问题 （4） 结论的反面比原结论更具体更容易
研究的命题,如结论需分成很多类进 行讨论．
常见否定用语
是－－－不是
有－－－没有
3.求证： 2 是无理数。
证：假设 2是有理数，
则存在互质的整数m，n使得 2 = m ， n
∴ m = 2n ∴ m2 = 2n2
∴m2是偶数，从而m必是偶数，故设m = 2k（k∈N）
从而有4k2 = 2n2，即n2 = 2k2 ∴n2也是偶数， 这与m，n互质矛盾！
所以假设不成立，2是有理数成立。
等－－－不等
成立－－不成立
都是－－不都是，即至少有一个不是
都有－－不都有，即至少有一个没有

写出下列结论的否定：
p是偶数
——
p不是偶数
2不是有理数
—— 2是有理数
a,b,c中至少有一个大于0 —— a,b,c都小于等于0
这几个三角形不可能都是
锐角三角形
——
这几个三角形 都是锐角三角形
例2.证明：设p为整数，如果p2是偶数, 则p 也是偶数。 证明：假设p不是偶数，又p是整数
则p是奇数 可令p=2k+1，k∈Z. 得 p2=4k2+4k+1，
它的对角线 2却不能用整数之比来表达。这就触犯
了这个学派的信条，于是规定了一条纪律：谁都不
准泄露 是无2 理数的秘密。
• 天真的希帕索斯无意中向别人谈到了他的发现，结
果被杀害。但 2很快就引起了数学思想的大革命。
科学史上把这件事称为“第一次数学危机”。
证明: 2 不是有理数。
,
, 已知a，b，c都为实数，a x2 2y ,b y2 2z ,
此式表明，p²是奇数，这与已知矛盾， 因此假设p不是偶数不成立， 从而证明p为偶数。
希帕索斯－－无理数的发现者， 科学的殉难者
• 希帕索斯，毕达哥拉斯的得意门生。
• 公元前5世纪，毕达哥拉斯学派认为“数即万物”， 也就是说宇宙间各种关系都可以用整数或整数之比 来表达。但是，希帕索斯发现，边长为1的正方形，
法—— 反证法
例1、已知： ∠Ａ，∠Ｂ，∠Ｃ是△ＡＢＣ的内角 求证： ∠Ａ，∠Ｂ，∠Ｃ不都小于60°. Ａ
Ｂ Ｃ
反证法的定义：
一般地，由证明pq转向证明：
q q r t
t 与假设矛盾，或
与某个真命题矛盾，
反设结论 演绎归谬
从而判定 q为假， 推出 q 为真的方法，

偏离。
推理要严密，避免循环论证
总结词
推理的严密性是反证法成功的关键，任何疏 漏或循环论证都可能导致结论的错误。
详细描述
在反证法的应用中，推理过程必须严谨，每 一步的推导都要有明确的依据。特别是在使 用反证法时，我们经常会用到一些已知的事 实或定理，这些都必须准确无误。此外，要 特别注意避免循环论证，即用假设证明假设 的情况。
04
反证法的注意事项
正确否定假设
总结词
在反证法的应用中，正确否定假设是至关重要的步骤，因为如果假设没有被正确否定， 那么推导出的结论可能不准确。
详细描述
在反证法的第一步，我们需要对原命题进行否定，得到假设。这个假设必须是明确的， 并且与原命题形成对立。在后续的推理中，我们必须始终围绕这个假设进行，确保没有
在否定假设时，需要注意逻辑的严谨性，确保否定假设的 依据是充分的。同时，也需要确保得出的结论与原命题一 致，没有偏离原命题的讨论范围。
03
反证法的应用实例
应用在不等式证明中
总结词
反证法在不等式证明中应用广泛，通过假设相反的不等式关系，推导出矛盾，从而证明不等式成立。
详细描述
在证明不等式时，反证法常常被用来证明一个不等式是否成立。首先，我们假设相反的不等式关系成 立，然后通过逻辑推理和数学计算，推导出矛盾。最后，根据反证法的原理，原不等式成立。
《高一数学反证 法》ppt课件
目录
• 反证法简介 • 反证法的证明步骤 • 反证法的应用实例 • 反证法的注意事项 • 反证法练习题及解析
01
反证法简介
反证法的定义
01
反证法是一种证明方法，通过否 定待证明的命题，推理出与已知 事实或公理相矛盾的结论，从而 证明原命题的正确性。

推理不严谨，结论不成立
推理过程中存在漏洞
在使用反证法时，需要确保推理过程的严谨性。如果推理过程中存在漏洞，就可 能导致结论不成立。
未能正确运用逻辑规则
在反证法中，需要正确运用逻辑规则进行推理。如果未能正确运用逻辑规则，就 可能导致推理结果出现错误。
05 练习题与拓展思考
针对性练习题
证明
若$a,b,c in mathbb{R}$，且$a=b+c$，则$a,b,c$中至少有一个数不小于$frac{a}{3}$ 。
错误地否定原命题
在反证法中，需要假设原命题的否定 形式成立，然后进行推理。如果错误 地否定了原命题，就会导致推理方向 偏离正确轨道。
未能找到矛盾点或突破口
对已知条件理解不足
在使用反证法时，需要充分利用已知条件进行推理。如果对 已知条件理解不足，就可能无法找到矛盾点或突破口。
缺乏解题经验
对于一些较为复杂的题目，需要具备一定的解题经验才能找 到矛盾点或突破口。如果缺乏解题经验，就可能无法有效地 运用反证法。
假设$x,y$都不大于$1$，即$x leq 1, y leq 1$，则$x+y leq 2$，与已知条件 $x+y>2$矛盾，故假设不成立，原命题成立。
答案及解析
• 假设在这$99$个数中，任意三个数的和都不是$3$的倍数。 考虑这$99$个数除以$3$的余数，只能为$0,1,2$。由于 $99$个数中任意三个数的和都不是$3$的倍数，故余数为 $0,1,2$的数应各出现$33$次。但在这$99$个连续自然数中 ，必有一个数能被$3$整除，即余数为$0$的数至少有$34$ 个，与假设矛盾，故原命题成立。
高中数学选修～课件 第三章§反证法
汇报人：XX 20XX-01-30

不等式的证明
反证法
先假设要证明的命题不成立，以此为出发点, 结合已知条件,应用公理、定义、定理、性质等， 进行正确的推理，得到矛盾，说明假设不正确， 从而间接说明原命题成立的方法。
例1 已知x, y 0, 且x y 2,试证 : 1 x ,1 y中至少
yx 有一个小于2.
另外,如果从正面 证明,需要对某一 个分式小于2或两 个分式都小于2等 进行分类讨论,而
证明 假设 a,b, c 不全是正数,即其中至少有 一个不是正数.不妨先设a 0.下面分a 0和 a 0 两种情况讨论.
1 如果 a 0,则 abc 0,与abc 0 矛盾. 所以
a 0 不可能.
2 如果 a 0,那么由abc 0,可得 bc 0.
又因为a b c 0.所以b c a 0.
与①矛盾∴结论成立
例2 已知 a,b, c为实 假设a,b, c不全是正数, 数 , a b c 0 , ab 这时需要逐个讨论a , bc ca 0, abc 0,求 b, c不是正数的情形.但 证 : a 0,b 0, c 0. 注意到条件的特点(任 分析 要证的结论与 意交换a,b, c 的位置不 条件之间的联系不明 改变命题的条件),我们 显,直接由条件推出结 只要讨论其中一个(例 论的线索不 够清晰,于 如a), 其他两个(例如b, 是考虑采用反证法. c)与这种情形类似.
▪
论成立的方法。
反证法
先假设要证的命题不成立,以此为出发点,结合已知条 件,应用公理,定义,定理,性质等,进行正确的推理,得到 和命题的条件(或已证明的定理,性质,明显成立的事实 等)矛盾的结论,以说明假设不正确,从而证明原命题成 立,这种方法称为反证法.对于那些直接证明比较困难
的命题常常用反证法证明. （正难则反）

2.反证法可以适用的两种情形 (1)要证的结论与条件之间的联系不明显，直接由条件推出结 论的线索不够清晰. (2)如果从正面证明，需要分成多种情形进行分类讨论，而从 反面进行证明，只要研究一种或很少的几种情形.
用反证法证明否定性命题 【技法点拨】
1.用反证法证明否定性命题的适用类型 结论中含有“不”“不是”“不可能”“不存在”等词语的命 题称为否定性命题，此类问题的正面比较模糊，而反面比较具 体，适合使用反证法
【归纳】 (1)用反证法证题时，若原命题的反面不唯一时怎么 办？(2)宜用反证法证明的题型有哪些？ 提示：(1)用反证法证明命题时，若原命题的反面不唯一，这 时要把每一种情况一一否定，不能遗漏. (2)宜用反证法证明的题型有： ①易导出与已知矛盾的命题； ②“否定性”命题；
③“唯一性”命题； ④“必然性”命题； ⑤“至多”“至少”类的命题； ⑥涉及“无限”结论的命题等.
用反证法证明唯一性命题 【技法点拨】
用反证法证明唯一性命题的一般思路 证明“有且只有一个”的问题，需要证明两个命题，即存在性 和唯一性.当证明结论以“有且只有”“只有一个”“唯一存 在”等形式出现的命题时，由于假设结论易导出矛盾，所以用 反证法证其唯一性比较简单明了.
【典例训练】(建议教师以第2题为例重点讲解) 1.在用反证法证明“两条相交直线有且只有一个交点”时的反 证应分为________和___________________. 2.求证方程2x=3有且只有一个根.
【解析】1.两条直线的交点个数包括：没有交点，有且只有一 个交点和不只有一个交点.故“有且只有一个交点”的反设应为 无交点和不只有一个交点. 答案：无交点 不只有一个交点
2.因为2x=3，所以x=log23.这说明方程有一个根.下面用反证 法证明方程2x=3的根是唯一的. 假设方程2x=3有两个根x1,x2(x1≠x2)， 则 2x1 3, 2两x2 式3,相除，得 =1.2x1x2 若x1-x2＞0，则2x1x＞2 1,这与 2x=1x12 矛盾； 若x1-x2＜0，则2x1x＜2 1,这也与 2=x11x2矛盾， 因此只能x1-x2=0，这与x1≠x2矛盾. 如果方程的根多于两个，同样可推出矛盾.故2x=3只有一个根.

2.2直接证明与间接证明
2.2.2
间接证明
一、复习
1、直接证明的两种基本证法：综合法和分析法 2、这两种基本证法的推证过程和特点： 综合法 — —已知条件⇒ ⇒ ⇒ 结论 由因导果 分析法 — —结论 已知条件 执果索因
3、在实际解题时，两种方法如何运用？ 通常用分析法提供思路，再由综合法写过程
二.练习
1.已知a,b,c是不全相等的正数，且0 < x < 1. 求证： a+b b+c c+a log x + log x + log x 2 2 2 < log x a + log x b + log xc
2.设a,b是异面直线，在a上任取两点A,C， 在b上任取两点B,D， 试证：AB和CD也是异面直线.
否定结论q
逻辑矛盾
为
假
为
真
注3.反证法的证明过程可以概括为： 否定结论——推出矛盾——肯定结论， 即三个步骤：反设—归谬—存真 注4.用反证法证明的步骤：
（1）假设命题结论不成立，即假设结论的反面成立 （反设） （2）从反设和已知条件出发，经过一系列正确的推理， 得出矛盾结果（归谬） （3）由矛盾结果，断定反设不真，从而肯定结论成立 （存真）
例2.已知四面体S－ABC中，SA⊥底面ABC， △ABC是锐角三角形，H是点A在面SBC上 的射影． 求证：H不可能是△SBC的垂心．
解题反思：
证明该问题的关键 是哪一步？ 本题中得到的逻辑 矛盾归属哪一类？
例3：求证：正弦函数没有比2π 小的正周期.
解题反思：
证明该问题的关键是哪一步？ 本题中得到的逻辑矛盾归属哪一类？
A
C a

难 题
的小球分发给小雅、小明和小刚三个同学，其中有一个小球
型 突
颜色是红色．小雅说：“红色球在我手上”；小明说：“红
破 色球不在我手上”；小刚说：“红色球肯定不在小雅手上”.
三个同学只有一个说对了，则红色球在 __小__明__ 的手上.
破 证明：假设∠A，∠B，∠C 中有两个角是钝角，不妨设
∠A，∠B 为钝角，∴∠A+∠B＞180°，这与三角形内角和
定理相矛盾，故假设不成立，原命题正确，即在一个三角形
中不能有两个角是钝角．
17.5 反 证 法
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重 思路点拨 作出假设→推出矛盾→否定假设→结论成立.
难
题 型
解题通法 用反证法证明与平面几何有关的命题时，一般
突 先根据命题写出已知、求证，并画出相应的图形，再证明.
破
17.5 反 证 法
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重 ■题型二 用反证法证明代数问题
难 题
例 2 设 a，b，c 是不全相等的任意实数，若 x=b2-ac
型 突
，y=c2-ab，z=a2-bc.求证：x，y，z
至少有一个大于零.
破
17.5 反 证 法
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重 ［答案］解：假设 x，y，z 都小于或等于零，则 b2-
60°，∠FAG ＞60°，∠GAB＞60°，所以∠BAC+∠CAD+
∠DAE+∠EAF+∠FAG+∠GAB＞360°，这与周角为 360°相矛
盾，所以每名同学最多被击中 5 枪.
17.5 反 证 法
重 难 题 型 突 破
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17.5 反 证 法
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重 变式衍生 2 在一次游戏活动中，钟老师将三个颜色不同

【解析】 (1)假设的内容应为结论“a3>b3”的否定 “a3≤b3”，故选C． (2)根据反证法证题的三步骤：否定结论、导出矛盾、 得出结论．
跟踪练习 1 已知三个正数 a，b，c 成等比数列但不成 等差数列．求证： a， b， c不成等差数列． 证明：假设 a， b， c成等差数列，则 a＋ c＝2 b， 即 a＋c＋2 ac＝4b， 又 a，b，c 成等比数列，所以 b2＝ac，即 b＝ ac. 所以 a＋c＋2 ac＝4 ac，即( a－ c)2＝0，所以 a＝c，
这与①矛盾．
所以假设不成立，故不存在实数 k，使得 A、B 关于直线
y＝ax 对称．
课堂验收
1．命题“△ABC 中，若∠A>∠B，则 a>b”的结论的否定
应该是 ( B )
A．a<b
B．a≤b
C．a＝b
D．a≥b
【解析】 “a>b”的对立面为“a≤b”．
2．“实数 a，b，c 不全为 0”等价于 ( D ) A．a，b，c 均不为 0 B．a，b，c 中至多有一个为 0 C．a，b，c 中至少有一个为 0 D．a，b，c 中至少有一个不为 0 【解析】 “不全为 0”的对立面为“全为 0”，故“不全为 0” 的含义为“至少有一个不为 0”．
4．设 a，b，c，d∈R，且 ad－bc＝1.求证：a2＋b2＋c2＋ d2＋ab＋cd≠1. 证明：假设 a2＋b2＋c2＋d2＋ab＋cd＝1，则 a2＋b2＋c2 ＋d2＋ab＋cd－ad＋bc＝0，即(a＋b)2＋(c＋d)2＋(a－d)2 ＋(b＋c)2＝0，所以 a＋b＝0 且 c＋d＝0 且 a－d＝0 且 b ＋c＝0，所以 a＝b＝c＝d＝0 与 ad－bc＝1 矛盾． 所以假设不成立，原结论成立．

事实上树上的李子很多,这与事实相矛 盾。
造成矛盾的原因是：假设李子是甜的，这个假设是错误 的，说明本来的结论：路边的李子是苦的是正确的。
先假设结论的反面是正确 的，然后通过逻辑推理，推出 与公理、已证的定理、定义或 已知条件相矛盾，说明假设不 成立，从而得到原结论正确．
这种证明方法叫做反证法
方法迁移
.
成
立
，
原
结论
四、作业
1、试说出下列命题的反面： （1）a是实数。a不是实数 （2)a大于2。a小于或等于２ （3）a小于2。a大于或等于２ （4）至少有没2个有两个
（5）最多有一个 一个也没有（6）两条直线平行。 两直线相交
2、用反证法证明“若a2≠ b2,则a ≠ b”的第一步是 假设a=。b
反证法
实例：南方某风水先生到北方看风水，恰逢天降大 雪。乃作一歪诗：“天公下雪不下雨，雪到地上变 成雨；早知雪要变成雨，何不起初就下雨。”他的 歪诗又恰被一牧童听到，亦作一打油诗讽刺风水先 生 ：“先生吃饭不吃屎，饭到肚里变成屎；早知饭
要变成屎，何不起初就吃屎。”
实际上，小牧童正是奇妙运用了反证法，驳斥了风水先生否定 事物普遍运动的规律，只强调结果，不要变化过程的形而上学 的错误观点：假设风水先生说的是真理，只强调变化最后的结 果，不要变化过程也可，那么，根据他的逻辑，即可得出先生 起初就应吃屎的荒唐结论。风水先生当然不会承认这个事实了。 那么，显然，他说的就是谬论了。
证明： 反证法：假设∠A，∠B，∠C都大于60度，
那么∠A+∠B+∠C>180度。 这与三角形内角和定理矛盾 所以，假设不成立。 所以，在一个三角形中，至少有一个内角小于或 等于60°。
课堂小结
假 设

与两个数之和为正数矛盾，所以两个实数至少有一个 正数，故应选C.
作为条件使用
()
①结论相反判断，即假设 ②原命题的结论
③公理、定理、定义等 ④原命题的条件
A．①④
B．①②③
C．①③④
D．②③
[答案] C
[解析] 由反证法的规则可知①③④都可作为条件使用， 故应选C.
2．命题“三角形中最多只有一个内角是直角”的结论
的否定是
()
A．两个内角是直角
B．有三个内角是直角
公或式 定义 已矛被证明了的盾结论
，
与
公认的简单事实矛盾．
[例 2] 设 f(x)＝x2＋bx＋c，x∈[－1,1]，证明：b<－2 时，在其定义域范围内至少存在一个 x，使|f(x)|≥12成立．
[证明] 假设不存在 x∈[－1,1]上一个 x 满足|f(x)|≥12. 则对于 x∈[－1,1]上任意 x，都有－12<f(x)<12成立．当 b< －2 时，其对称轴 x＝－b2>1， f(x)在 x∈[－1,1]上是单调递减函数，
∴ff((－1)＝1)＝1＋1－b＋b＋c>c－<1212
⇒b>－12与 b<－2 矛盾．
假设不成立，因此当 b<－2 时在其定义域范围内至
[少点评存] 在1.反一证个法是x利，用原使命|题f(的x)否|≥命题12不成成立立则．原命题一定成立来进行证明的，在使用反证
法时，必须在假设中罗列出与原命题相异的结论，缺少任何一种可能，反证法都是不完全 的．
2．对于否定性命题或结论中出现“至多”、“至少”、“不可能”等字样时，常用反证法．
3．常用的“原结论词”与“反设词”归纳如下表：

已知:如图，l1∥l2 ,l 2 ∥l 3
求证： l１∥l３
p
l１ l２ l３
证明：假设l１不平行l３，则l１与l３相交,设交点为p.
∵l１∥l２ , l２∥l３, 则过点p就有两条直线l１、 l３都与l２平行，这与“经过直线外一点，有 且只有一条直线平行于已知直线”矛盾．
所以假设不成立，所求证的结论成立， 即 l１∥l３
定理
求证:在同一平面内,如果两条直线都和第三条直线平行,那
么这两条直线也互相平行.
l
(3)不用反证法证明
已知:如图，l1∥l2 ,l 2 ∥l 3 求证: l1∥l3
2 l1
p1
l2
证明:作直பைடு நூலகம்l交直线l2于点p，
3
l3
∵l1∥l2 ,l 2∥l 3
∴直线l必定与直线l2，l3相交（在同一平面内，
小芳全家没外出旅游.
假设小芳全家外出旅游, 那么今天不可能碰到小芳, 与上午在学校碰到小芳和她妈妈矛盾, 所以假设不成立, 所以小芳全家没有外出旅游.
在证明一个命题时,有时先假设命题 不成立,从这样的假设出发,经过推理得出 和已知条件矛盾,或者与定义,公理,定理 等矛盾,从而得出假设命题不成立是错误 的,即所求证的命题正确。这种证明方法 叫做反证法。
已知：如图，四边形ABCD 求证：四边形ABCD中至少有
一个角是钝角或直角. 证：假设四边形中没有一个角是钝角或直角.
即A 90, B 90, C 90, D 90
于是A+B+C+D 360
这与四边形内角和等于360度相矛盾
所以四边形中至少有一个角是钝角或直角.
试一试
用反证法证明（填空）:在三角形的内角中， 至少有一个角大于或等于60°. 已知: ∠A，∠B，∠C是△ABC的内角. 求证: ∠A，∠B，∠C中至少有一个角大 于

小故事:
路边苦李
王戎7岁时,与小伙伴 们外出游玩,看到路边的 李树上结满了果子.小伙 伴们纷纷去摘取果子,只 有王戎站在原地不动.王 戎回答说:“树在道边而多 子,此必苦李.” 小伙伴摘取一个尝了一 下果然是苦李.
王戎是怎样知道李子是苦的呢?请 说明你的理由。
假如李子不是苦的，也就是说李子是甜的， 那么按照惯例长在大路边的李子应该经常会被 过路人吃掉，那么，树上的李子还会有这么多 吗？
（2）推理过程必须完整，否则不能说明命题 的真伪性；
（3）在推理过程中，要充分使用已知条件， 否则推不出矛盾，或者不能断定推出的结果是 错误的。
独立 作业
作业： 练习：学案中巩固提高
习题91页：A组
谢谢大家
长风破浪会有时，直挂云帆济沧海。努力，终会有所收获，功夫不负有心人。以铜为镜，可以正衣冠；以古为镜，可以知兴替；以人为镜，可以明得失。前进的路上 照自己的不足，学习更多东西，更进一步。穷则独善其身，达则兼济天下。现代社会，有很多人，钻进钱眼，不惜违法乱纪；做人，穷，也要穷的有骨气！古之立大 之才，亦必有坚忍不拔之志。想干成大事，除了勤于修炼才华和能力，更重要的是要能坚持下来。士不可以不弘毅，任重而道远。仁以为己任，不亦重乎?死而后已， 理想，脚下的路再远，也不会迷失方向。太上有立德，其次有立功，其次有立言，虽久不废，此谓不朽。任何事业，学业的基础，都要以自身品德的修炼为根基。饭 而枕之，乐亦在其中矣。不义而富且贵，于我如浮云。财富如浮云，生不带来，死不带去，真正留下的，是我们对这个世界的贡献。英雄者，胸怀大志，腹有良策， 吞吐天地之志者也英雄气概，威压八万里，体恤弱小，善德加身。老当益壮，宁移白首之心；穷且益坚，不坠青云之志老去的只是身体，心灵可以永远保持丰盛。乐 其乐；忧民之忧者，民亦忧其忧。做领导，要能体恤下属，一味打压，尽失民心。勿以恶小而为之，勿以善小而不为。越是微小的事情，越见品质。学而不知道，与 行，与不知同。知行合一，方可成就事业。以家为家，以乡为乡，以国为国，以天下为天下。若是天下人都能互相体谅，纷扰世事可以停歇。志不强者智不达，言不 越高，所需要的能力越强，相应的，逼迫自己所学的，也就越多。臣心一片磁针石，不指南方不肯休。忠心，也是很多现代人缺乏的精神。吾日三省乎吾身。为人谋 交而不信乎?传不习乎?若人人皆每日反省自身，世间又会多出多少君子。人人好公，则天下太平；人人营私，则天下大乱。给世界和身边人，多一点宽容，多一份担 为生民立命，为往圣继绝学，为万世开太平。立千古大志，乃是圣人也。丹青不知老将至，贫贱于我如浮云。淡看世间事，心情如浮云天行健，君子以自强不息。地 载物。君子，生在世间，当靠自己拼搏奋斗。博学之，审问之，慎思之，明辨之，笃行之。进学之道，一步步逼近真相，逼近更高。百学须先立志。天下大事，不立 川，有容乃大；壁立千仞，无欲则刚做人，心胸要宽广。其身正，不令而行；其身不正，虽令不从。身心端正，方可知行合一。子曰:“知者不惑，仁者不忧，勇者不惧 进者，不会把时间耗费在负性情绪上。好学近乎知，力行近乎仁，知耻近乎勇。力行善事，有羞耻之心，方可成君子。操千曲尔后晓声，观千剑尔后识器做学问和学 次的练习。第一个青春是上帝给的；第二个的青春是靠自己努力当眼泪流尽的时候，留下的应该是坚强。人总是珍惜未得到的，而遗忘了所拥有的。谁伤害过你，谁 要。重要的是谁让你重现笑容。幸运并非没有恐惧和烦恼；厄运并非没有安慰与希望。你不要一直不满人家，你应该一直检讨自己才对。不满人家，是苦了你自己。 久的一个人，而是心里没有了任何期望。要铭记在心；每一天都是一年中最完美的日子。只因幸福只是一个过往，沉溺在幸福中的人；一直不知道幸福却很短暂。一 看他贡献什么，而不应当看他取得什么。做个明媚的女子。不倾国，不倾城，只倾其所有过的生活。生活就是生下来，活下去。人生最美的是过程，最难的是相知， 幸福的是真爱，最后悔的是错过。两个人在一起能过就好好过！不能过就麻利点分开。当一个人真正觉悟的一刻，他放下追寻外在世界的财富，而开始追寻他内心世 若软弱就是自己最大的敌人。日出东海落西山，愁也一天，喜也一天。遇事不转牛角尖，人也舒坦，心也舒坦。乌云总会被驱散的，即使它笼罩了整个地球。心态便 明灯，可以照亮整个世界。生活不是单行线，一条路走不通，你可以转弯。给我一场车祸。要么失忆。要么死。有些人说：我爱你、又不是说我只爱你一个。生命太 了明天不一定能得到。删掉了关于你的一切，唯独删不掉关于你的回忆。任何事都是有可能的。所以别放弃，相信自己，你可以做到的。、相信自己，坚信自己的目 受不了的磨难与挫折，不断去努力、去奋斗，成功最终就会是你的！既然爱，为什么不说出口，有些东西失去了，就在也回不来了！对于人来说，问心无愧是最舒服 表明他人的成功，被人嫉妒，表明自己成功。在人之上，要把人当人；在人之下，要把自己当人。人不怕卑微，就怕失去希望，期待明天，期待阳光，人就会从卑微 存梦想去拥抱蓝天。成功需要成本，时间也是一种成本，对时间的珍惜就是对成本的节约。人只要不失去方向，就不会失去自己。过去的习惯，决定今天的你，所以 定你今天的一败涂地。让我记起容易，但让我忘记我怕我是做不到。不要跟一个人和他议论同一个圈子里的人，不管你认为他有多可靠。想象困难做出的反应，不是 而是面对它们，同它们打交道，以一种进取的和明智的方式同它们奋斗。他不爱你，你为他挡一百颗子弹也没用。坐在电脑前，不知道做什么，却又不想关掉它。做 让时间帮你决定。如果还是无法决定，做了再说。宁愿犯错，不留遗憾。发现者，尤其是一个初出茅庐的年轻发现者，需要勇气才能无视他人的冷漠和怀疑，才能坚 并把研究继续下去。我的本质不是我的意志的结果，相反，我的意志是我的本质的结果，因为我先有存在，后有意志，存在可以没有意志，但是没有存在就没有意志 类的福利，可以使可憎的工作变为可贵，只有开明人士才能知道克服困难所需要的热忱。立志用功如种树然，方其根芽，犹未有干；及其有干，尚未有枝；枝而后叶 的出现不是对愿望的否定，而是把愿望合并和提升到一个更高的意识无论是美女的歌声，还是鬓狗的狂吠，无论是鳄鱼的眼泪，还是恶狼的嚎叫，都不会使我动摇。 灾难，已经开始了的事情决不放弃。最可怕的敌人，就是没有坚强的信念。既然我已经踏上这条道路，那么，任何东西都不应妨碍我沿着这条路走下去。意志若是屈 它都帮助了暴力。有了坚定的意志，就等于给双脚添了一对翅膀。意志坚强，只有刚强的人，才有神圣的意志，凡是战斗的人，才能取得胜利。卓越的人的一大优点 的遭遇里百折不挠。疼痛的强度，同自然赋于人类的意志和刚度成正比。能够岿然不动，坚持正见，度过难关的人是不多的。钢是在烈火和急剧冷却里锻炼出来的， 么也不怕。我们的一代也是这样的在斗争中和可怕的考验中锻炼出来的，学习了不在生活面前屈服。只要持续地努力，不懈地奋斗，就没有征服不了的东西。

－32<a<12， ⇒ a>13或a<－1，
－2<a<0
⇒－32<a<－1，这与已知 a≥－1 矛盾，所以假设不成立， 故三个方程中至少有一个方程有实数解．
探究点三 用反证法证明“唯一性”命题 [典例精析]
已知：一点 A 和平面 α.求证：经过点 A 只能有一条直线和
平面 α 垂直． [解] 根据点 A 和平面 α 的位置关系，
分两种情况证明． (1)如图，点 A 在平面 α 内，假设经过点
A 至少有平面 α 的两条垂线 AB，AC，那么 AB，AC 是两条相交直线，它们确定一个平面 β，平面 β 和平面 α 相交于经过点 A 的一条直线 a.
因为 AB⊥平面 α，AC⊥平面 α，a⊂α，
所以 AB⊥a，AC⊥a，在平面 β 内经过点 A 有两条直线都和 直线 a 垂直，这与平面几何中经过直线上一点只能有已知直线的 一条垂线相矛盾．
探究点二 用反证法证明“至多”、“至少”型命题
[典例精析] 已知 a≥－1，求证三个方程：x2＋4ax－4a＋3＝0，x2＋(a －1)x＋a2＝0，x2＋2ax－2a＝0 中至少有一个方程有实数解．
[解] 假设三个方程都没有实数解，则三个方程的判别式都小
于 0，即4aa－21－24－－4a42a<＋0，3<0， 2a2＋4×2a<0
(1)反证法解题的实质是什么？
提示：反证法解题的实质就是否定结论，导出矛盾，从而证 明原命题结论正确． (2)用反证法证明命题时，“a、b、c 都是偶数”的否定是什么？ 提示：a、b、c 不都是偶数．
探究点一 用反证法证明“否定性”命题 [典例精析] 已知 f(x)＝ax＋xx－ ＋21(a>1)，证明方程 f(x)＝0 没有负实根． [解] 假设方程 f(x)＝0 有负实根 x0， 则 x0<0 且 x0≠－1 且 ax0＝－xx00－ ＋21， 由 0<ax0<1⇒0<－xx00－ ＋21<1， 解得12<x0<2，这与 x0<0 矛盾．故方程 f(x)＝0 没有负实根．

14.1 勾股定理
第3课时 反证法
学习目标
➢ 通过证明具体实例，体会反证法的含义. ➢ 知道证明一个命题除用直接证法外，还有间
接证法. ➢ 了解用反证法证明命题的一般步骤，发展逻
辑思维能力.
回顾导入
还记得之前学习“两直线平行，同
位角相等”时，我们是怎么证明这
一结论的吗？
E
已知：如图，直线AB∥CD， A
已知：△ABC. 求证：在∠A、∠B、∠C这三个内角中，至少有两个锐角.
证明：假设△ABC的三个内角中至多有一个锐角， 不妨设0°＜∠A＜90°， 则90°≤∠B＜180°，90°≤∠C＜180°. ∴∠A+∠B+∠C＞180°，这与“三角形内角和等于 180°”相矛盾. ∴一个三角形中至少有两个锐角.
用反证法证明一个命题，一般有三个步骤：
（1）否定结论----假设命题的结论不成立；
（2）推出矛盾----从假设出发，根据已知条件，经过推 理论证，得出一个与命题的条件或已知的定义、 基本事实、定理等相矛盾的结果；
（3）肯定结论----由矛盾判定假设不正确，从而肯定命 题的结论正确.
典例精讲
例1 用反证法证明“在△ABC中，若∠A＞∠B＞∠C，
用反证法证明时需注意的两点： （1）否定结论：原结论的反面一 定要找准确、全面； （2）注意步骤：先进行合理的假 设，再推出矛盾，最后得出结论.
课堂小结
反证法的含义： 一种间接的证明方法
反证法
反证法证明的步骤
否定结论 推出矛盾 肯定结论
结论反面找准找全 反证法证明时需注意
注意步骤
当堂检测
1.用反证法证明“在同一平面内，若a⊥c，b⊥c，则
感谢观看！
则∠A＞60°”时，第一步应假设（ D ）

避免偷换概念
在推导过程中，要避免将不同的 概念混为一谈，以确保推导的逻 辑严密性。
掌握反证法的适用范围
适用于直接证明困难的情况
反证法常常适用于直接证明某个命题很困难的情况，通过假设原命题的结论不成立，找到矛盾，从而证明原命题 的正确性。
适用于真假较易判断的命题
反证法适用于真假较易判断的命题，因为一旦找到矛盾，就可以很容易地判断原命题的真假。
它是一种间接的证明方法，常 常用于那些直接证明比较困难 的问题。
在数学中，反证法是一种常用 的证明技巧，尤其在初等数学 中。
反证法的起源与发展
反证法的思想可以追溯到古希腊的哲 学家和数学家，如亚里士多德等。
随着数学的发展，反证法的应用越来 越广泛，成为数学证明中的重要方法 之一。
在中国古代的数学著作中，也出现了 反证法的应用，如《九章算术》等。
反证法的应用场景
在几何学中，反证法常常用于证明一些与图形有关的命题，如线段的性质、角的性 质等。
在代数中，反证法可以用于证明一些不等式、恒等式等。
在初等数学中，反证法是一种非常常用的证明方法，尤其在竞赛数学中更为常见。
01
反证法的证明步骤
假设命题结论不成立
提出与原命题相反的 假设。
确保假设与原命题的 结论相矛盾。
《初二数学反证法》 ppt课件
THE FIRST LESSON OF THE SCHOOL YEAR
目录CONTENTS
• 反证法简介 • 反证法的证明步骤 • 反证法的应用实例 • 反证法的注意事项 • 练习与思考
01
反证法简介
反证法的定义
反证法是一种证明方法，通过 否定待证明的命题，然后推导 出矛盾，从而肯定原命题。
总结词

反证法的第一步假设，假设时要特别注意命题 的反面成立，当反面不止一种情形时，应把所有可 能情形都列出来，然后再分类证明列举出来的各种 情形均不成立，从而肯定原命题成立．
1 用反证法证明命题：“如图，如果AB∥CD， AB∥EF，那么CD∥EF”，证明的第一步是( ) A．假设CD∥EF B．已知AB∥EF C．假设CD不平行于EF D．假设AB不平行于EF
知识点 2 反证法的假设
易错警示：若结论的反面只有一种情况，则反设 单一，只需驳倒这种情况，即可到达反证的目的； 若结论的反面不止一种情况，那么要各种情况一 一驳倒，才能肯定原命题正确．
运用反证法证明命题时，常见的结论词的否定情势有：
结论 词
是
都是
大(小) 于
能
至少 至少 至多 相等 有一 有n 有一 负数
解： 已知：在△ABC中 ，AB＝AC，求证：∠B，∠C一定是锐角． 证明：假设∠B，∠C不是锐角，则∠B，∠C是直角或钝角． 若∠B，∠C是直角，即∠B＝∠C＝90°， 故∠A＋∠B＋∠C＞180°，这与三角形的内角和定理矛盾． 所以∠B，∠C不是直角． 若∠B，∠C是钝角，即∠B＝∠C＞90°， 故∠A＋∠B＋∠C＞180°，这与三角形的内角和定理矛盾． 所以∠B，∠C不是钝角． 综上所述，∠B，∠C不是直角，也不是钝角，即∠B，∠C是 锐角． 所以等腰三角形的底角一定是锐角．
反证法证明命题的一般步骤：反设——归谬——结论， 即： 假设命题的结论不成立； 从这个假设出发，经过推理论证，得出与公理、定
理、定义或已知条件相矛盾； 由矛盾断定所作假设不正确，从而得出原命题成立．
读一读 反证法是数学证明的一种重要方法，历史上许多著
名的命题都是用反证法证明的.一个命题，当正面证明有 困难或者不可能 时，就可以尝试运用反证法，有时该问 题竟能轻易地被解决，此即所谓“正难则反”.因此，牛 顿就说过：“反证法是数学家最精良的 武器之一.”用反 证法不是直接证明结论，而是间接地去否定与结论相反 的一面，从而得出事物真实的一面.反证法是一种间接的 证明方法.