反证法 课件

摆好香案，端坐弹琴，态度从容，琴声幽雅，
司马懿见此情景，心中疑虑：“诸葛亮
一生精明过人，谨慎有余，从不冒险，
今天如此这般，城内恐怕必有伏兵，有
意诱我入城，绝不能中计也。”
数学中常见实例分析：
1.a 0, b 0, a b 1, 求证：a, b中至少有
1
一个不大于 .
2
2.a, b, c不全为零，a b c 0, 求证：a, b, c
只有一个根．
点评：“有且只有”包含了“有根”和“只有这个
根”两层意思．由于a≠0，因此方程至少有一

个根＝ .从正面较难说明为什么只有这个

根．故我们采用反证法．
试一试
求证：在一个三角形中，
至少有一个内角小于或等
于60°.
A
B
C
证明：假设结论不成立，即：
＜
＜
＜
∠A___ 60°, ∠B ___ 60°,
（1）a是实数。
（2)a大于2。
a小于或等于２
a不是实数
（3）a小于2。
（4）至少有2个
a大于或等于２
最多有1个
（5）最多有一个
（6）两条直线平行。
至少有两个
两直线不平行
巩固新知
2、用反证法证明“若a2≠ b2,则a ≠ b”
的第一步是 假设a=b 。
巩固新知
3、用反证法证明“如果一个三角形没有两个相
中至少有一个大于0.
定义
假设原命题 不成立 ，经过正确的推理，最后得出矛
假设错误
盾，因此说明________，从而证明了
这样的证明方法叫做反证法.
原命题成立，
反证法常见的矛盾类型

教材习题14.1第6题.
思考
杰瑞说：“我向空中扔了3枚硬币，如果它们落 地后全是正面朝上，我就给你10美分，如果全是反 面朝上，我也给你10美分，但是如果它们落地时是 其他情况，你得给我5美分.”
汤米说：“至少有两枚硬币必定情况相同.因为 如果有两枚硬币情况不同，则第三枚一定会与这两 枚之一情况相同，而如果两枚情况相同，则第三枚 不是与这两枚情况相同，就是与它们情况不同，第 三枚与其他两枚情况相同或情况不同的可能性是一 样的.因此3枚硬币完全相同或情况完全不同的可能性 一样.但是杰瑞以10美分对我5美分来赌它们的不完全 相同，这分明对我有利.好吧，杰瑞，我打这个赌！” 你认为汤米接受这样的打赌是明智的吗？
思考：（1）你首先会用哪一种证明方法？ （2）如果选择反证法，先怎样假设，结 果和什么产生矛盾？ （3）能不用反证法证明吗？你是怎样证 明的？
例2
试证明：如果两条直线都与第三条直线 平行，那么这两条直线也平行.
反证法：先假设结论不成立，即“这两条 直线不平行”，则有这两条直线相交. 两条直 线相交，而平行于它们的直线也必定相交，这 与条件矛盾，所以假设不成立，原结论成立.
综上所述，可知 a b.
小结
用反证法证明的常见题型： （1）命题的结论以否定形式出现时； （2）命题的结论以“至多”“至少”的形 式出现时； （3）命题的结论以“无限”的形式出现时； （4）命题的结论以“唯一”“共点”“共 线”“共面”的形式出现时.
巩固练习
练习
1.“a<b”的反面应是（ D）
他运用了怎样的推理方法？
引语
王戎采用了逆向思维，也就是今天所学 的反证法，反证法是数学中常用的一种方法. 人们在探求某一问题的解决方法而正面求解 又比较困难时，常采用从反面考虑的策略， 往往能达到柳暗花明又一村的境界.

3.反证法中常用的“结论词”与“反设词”如下：
结论词 至少有一个 至__多__有__一__个__ 至少有n个 至多有_n_个
一__个__也__没__有___
至多有
反设词
至少有两个
(不存在)
_(_n_－__1_) _个
至少有 (n＋1)个
结论词 只有一个 对所有x成立
对_任__意___x不成立
没有或至少 存在_某__个___x
题型三 用反证法证明结论中含有“至多”“至少”“都”等词语的问题 例3 用反证法证明：如果函数f(x)在区间[a，b]上是增函数，那么方程 f(x)＝0在区间[a，b]上至多有一个实数根.(不考虑重根) 证明 假设方程f(x)＝0在区间[a，b]上至少有两个实数根， 设α，β为它的两个实数根， 则f(α)＝f(β)＝0. 因为α≠β，不妨设α＜β，又因为函数f(x)在[a，b]上是增函数， 所以f(α)＜f(β)，这与f(α)＝f(β)＝0矛盾， 所以方程f(x)＝0在区间[a，b]上至多有一个实数根.
反设词
有两个
不成立
存在某个x成立
结论词 ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ是
_一__定__是___
p或q
p_且_ q
反设词 _不__都__是__ 不一定是 綈p且__綈q 綈p或綈q
思考 (1)有人说反证法就是通过证明逆否命题来证明原命题，这种 说法对吗？为什么？ 答案 这种说法是错误的，反证法是先否定命题，然后再证明命题的 否定是错误的，从而肯定原命题正确，不是通过逆否命题证题. 命题的否定与原命题是对立的，原命题正确，其命题的否定一定不对. (2)反证法主要适用于什么情形？ 答案 要证的结论与条件之间的联系不明显，直接由条件推出结论的 线索不够清晰；如果从正面证明，需要分成多种情形进行分类讨论， 而从反面进行证明，只要研究一种或很少的几种情形.

写出下列结论的否定：
p是偶数
——
p不是偶数
2不是有理数
—— 2是有理数
a,b,c中至少有一个大于0 —— a,b,c都小于等于0
这几个三角形不可能都是
锐角三角形
——
这几个三角形 都是锐角三角形
例2.证明：设p为整数，如果p2是偶数, 则p 也是偶数。 证明：假设p不是偶数，又p是整数
则p是奇数 可令p=2k+1，k∈Z. 得 p2=4k2+4k+1，
它的对角线 2却不能用整数之比来表达。这就触犯
了这个学派的信条，于是规定了一条纪律：谁都不
准泄露 是无2 理数的秘密。
• 天真的希帕索斯无意中向别人谈到了他的发现，结
果被杀害。但 2很快就引起了数学思想的大革命。
科学史上把这件事称为“第一次数学危机”。
证明: 2 不是有理数。
,
, 已知a，b，c都为实数，a x2 2y ,b y2 2z ,
此式表明，p²是奇数，这与已知矛盾， 因此假设p不是偶数不成立， 从而证明p为偶数。
希帕索斯－－无理数的发现者， 科学的殉难者
• 希帕索斯，毕达哥拉斯的得意门生。
• 公元前5世纪，毕达哥拉斯学派认为“数即万物”， 也就是说宇宙间各种关系都可以用整数或整数之比 来表达。但是，希帕索斯发现，边长为1的正方形，
法—— 反证法
例1、已知： ∠Ａ，∠Ｂ，∠Ｃ是△ＡＢＣ的内角 求证： ∠Ａ，∠Ｂ，∠Ｃ不都小于60°. Ａ
Ｂ Ｃ
反证法的定义：
一般地，由证明pq转向证明：
q q r t
t 与假设矛盾，或
与某个真命题矛盾，
反设结论 演绎归谬
从而判定 q为假， 推出 q 为真的方法，