第五章 精确线性化方法

g,
ad
n −1 g
f
= n;
1)
2. （能精确线性化条件）
{ } ∑ 分布
D
=
span
g, ad
f
g,L, ad
n−2 g
f
=
⎧ ⎨
p
⎩
|
p
=
n−2 k =0
ck
ad
k f
g
⎫ ⎬
⎭
是对合分布。
2)
h(x)可解的充要条件 a) 线性无关 b) 对合性
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⎢ ⎢ ⎢
L2f
h(x) ⎥
M
⎥ ⎥
⎢⎣ ( Lnf−1h x)⎥⎦
( ) 及反馈变换u
=
1
( ) Lg Lnf−1h x
− Lnf h(x)+ v
即可将单输入仿射非线性系统化为线性系统的能控标准形。
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例5.3
考虑以下系统
x&
⎜⎛ =⎜
单输入仿射非线性系统的精确
线性化
1.
计算ad f
g,L, ad n−2 g, ad n−1g,并检验条件1)是否满足，如满足进行下一步；
f
f
[ ] 2. 计算 ad i g, ad j g (i < j,i, j = 0,1,L, n − 2), 并检验是否满足
f
f
( [ ] ) rank
g
,
ad
x& = f (x)+ g(x)u
能否找到y=h(x)使其具有相对阶n？
系统在点x0具有相对阶n的条件
[ ] ∂h
∂x
g
(
x
),
ad
f
g
(x
),L,
ad
n−2 f
g
(x)
=0
☆
保证上式有解的充要条件
1)
g
(x
),
ad
f
g
(x
),L
,
ad
n−2 f
g
(x
),
ad
n f
−1 g
(x
)在x0线性无关
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精确线性化主要思想
通过适当的非线性状态和反馈变换,实现 状态或输入/输出的精确线性化，将复杂 的非线性系统综合问题转化为线性系统的 综合问题。
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微分几何回顾
切空间 向量场 李括号、李导数 分布和协分布 Frobinus定理：一个正则分布完全可积的
第五章 精确线性化 方法
2012年4月12日星期四5时0 分6秒
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本章安排
SISO系统 输入/输出线性化，SISO非线性系统的标 准形，状态反馈精确线性化，系统零动态
MIMO系统 输入输出精确线性化，状态精确线性化，
MIMO系统的动态扩展 鲁棒输入/输出线性化问题
⎜⎝
x1 x1
0 − +
x3 x32
⎟⎞ ⎟ ⎟⎠
+
⎛⎜ex2 ⎜0 ⎜⎜⎝ex2
⎞⎟ ⎟⎟u ⎟⎠
输出为 y = h ( x ) = x 2
。则有
L f h(x) = x1 − x3; Lg h(x) = 0
y& = Lf h(x)+ Lgh(x)u
Lg h(x )
≠
0时，u
=
1
Lg h(x )
(−
Lf
h(x)+
v)⇒
y&
=
v
Lgh(x) ≡ 0？
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SISO系统的输入输出线性化
相对阶
对于单输入单输出系统5.1，当x0 ∈U时，如果存在整数γ使得
状态反馈精确线性化的目的
通过反馈u = α (x)+ β (x)u及状态变换z = Φ(x)使得系统变化为能控的线性系统：
z& = Az + bv
也即寻求α (x), β (x),Φ(x)使得
⎜⎛ ∂Φ ( f (x)+ g(x)α (x))⎟⎞
= Az
⎝ ∂x
⎠ x=Φ−1 (z )
⎜⎛ ∂Φ g(x)β (x)⎟⎞
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本章重点
精确线性化的含义 精确线性化的主要思想 输入输出精确线性化 状态反馈精确线性化
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精确线性化方法含义
在线性化过程中没有忽略掉任何高阶非线 性项, 因此这种线性化不仅是精确的, 而 且是整体的, 即线性化 对变换有定义的整 个区域都适用。
2)
g(x), ad f
g
(x),L,
ad
n−3 f
g
(x
),
ad
n−2 f
g
(x)张成的分布（局部）具有常数秩n
−
1
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单输入仿射非线性系统精确状 态线性化问题有解的条件
1. （能控性条件）
{ } rank
g,
ad
f
g,L,
ad
n−2
f
其中
( ) b(ξ ,η ) = Lγf h, a(ξ ,η ) = Lg Lγf−1h, q(ξ ,η ) = (qi (ξ ,η )) = Lfηi
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SISO非线性系统的标准形
⎡ h(x) ⎤
⎡ h(x) ⎤
⎢ ⎢
L
f
h(x
)
⎥ ⎥
⎪ ⎪
y = ξ1
⎪⎭
(5.31)
选取反馈律
u
=
1
a(ξ
)
[−
b(ξ
)+
v]
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状态反馈精确线性化
( ) 状态变换 Φ : x → ξ = h,L, Lnf−1h T
[ ]
反馈变换
u
=
1
( ) Lg
Ln−1h f
x
− Lnf h(x)+ v
Lg
M
( Lγf−1h x0
)
L
( ) L L h x ad
γ f
−2
g
f
0
M
*
( ) L h ad
γ f
−1
g
*
x0
⎤ ⎥ ⎥
*⎥ ⎥
* ⎥⎦
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SISO非线性系统的标准形
结论5.3
假设单输入单输出非线性系统具有相对阶γ，则向量场
g, ad f
充要条件是它是对合的。
----某些类型分布或向量场对于的偏微分 方程解的存在性定理。
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SISO系统的输入输出线性化
单输入单输出仿射非线性控制系统
x&
=
f y
(x
=
)+ g(x h(x)
)u
⎬⎫，x ⎭
∈
Rn , f , g是Rn上充分光滑的向量场 h是充分光滑的非线性函数
=
0
Lf
h(x)
=
∂h ∂x
f
(x)
=
x2
, 则可得
Lg L f h(x) = 1
因此，对于该输出，系统在x0为任何值时有相对阶2
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SISO非线性系统的标准形
SISO非线性系统在x0相对阶γ≤n
李括号
ad f g
=[f ,g]=
g
,L,
ad
γ f
−1
g是线性无关的（γ
≤
n）。
定义如下非线性变换：Φ为局部微分同胚变换
⎡ h(x) ⎤
Φ
:
x
→
⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢
L Lγf
f
h(x
)
⎥ ⎥
M⎥
−1h(x)⎥⎥,
η1
⎥ ⎥
M⎥
⎡ ⎢
令ξ＝⎢⎢
⎢ ⎢⎣
h(x) ⎤
L
f
h(x
M
)
⎥
⎥⎥,η
Lγf ( −1h x)⎥⎦⎥
=
选取输入 v = −α0ξ1 − α1ξ2 −L − αn−1ξn 使原非线性系统具有期望动态特性的非线性状态
反馈为
[ ] u
=
1
( ) Lg
Ln f
−1h
x
−
Lnf
h(x)－α0h(x)−L−αn−1 ( Lnf−1h x)
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状态反馈精确线性化
η& = q(ξ ,η )
⎪ ⎪
y = ξ1
⎪⎭
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例5.2 考虑下列控制系统