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第4章_非线性系统线性化分解

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非线性系统分析-PPT课件可修改文字

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k(x a) y 0
k(x a)
x a | x | a xa
死区特性对系统性能的影响： （1）由于死去的存在，增大了系统的稳态误差，降低了 系统的控制精度； （2）若干扰信号落在死区段，可大大提高系统的抗干扰 能力。 2．饱和特性
y
M
a k
0a
x
M
M
y
kx
M
x a | x | a xa
1
2
平面，相应的分析法称为相平面法；
相平面上的点称为相点；
由某一初始条件出发在相平面上绘出的曲线称 为相平面轨迹，简称相轨迹；
不同初始条件下构成的相轨迹，称为相轨迹族， 由相轨迹族构成的图称为相平面图，简称相图。
2.相轨迹方程和平衡点
考察二阶非线性时不变微分方程:
x f (x, x)
引入相平面的概念，将二阶微分方程改写成二 元一阶微分方程组:
此时两个状态变量对时间的变化率 都为零，系统的状态不再发生变化，即 系统到达了平衡状态，相应的状态点 （相点）称为系统的平衡点。平衡点处 有的斜率
dx 2 dx2 dt 0 dx1 dx1 0
dt
则上式不能唯一确定其斜率，相轨迹上斜 率不确定的点在数学上也称为奇点，故平 衡点即为奇点。
奇点处，由于相轨迹的斜率dx2／dx1为 不定值，可理解为有多条相轨迹在此交汇 或由此出发，即相轨迹可以在奇点处相交。
初始条件不同时,上式表示的系统相轨迹是一 族同心椭圆，每一个椭圆对应一个等幅振动。在原 点处有一个平衡点(奇点)，该奇点附近的相轨迹是 一族封闭椭圆曲线，这类奇点称为中心点。
无阻尼二阶线性系统的相轨迹
2、欠阻尼运动（01）
系统特征方程的根为一对具有负实部的共 轭复根,系统的零输入解为
非线性系统分析 PPT课件

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1 A
2 A
1 ( 2 )2 1 AA
1
(
1 A
)
2
第15页/共24页
7.3 非线性系统的描述函数法
通过描述函数，一个非线性环节就可以看作是一个线性环节，而非 线性系统就近似成了线性系统，于是就可进一步应用线性系统的频率 法对系统进行分析。这种利用描述函数对非线性系统分析的方法称为 描述函数法。但这种方法一般只能用于分析系统的稳定性和自振荡。
可以近似认为非线性环节的稳态输出中只包含有基波分量，即
y(t) A1 cos nt B1 sinnt Y1 sin(t 1)
式中：A1
Y1
1 2
0
A12
y (t ) B12 ,
costd (t),
1
arctg
A1 B1
1
B1
2
y(t ) sintd (t )
0
（2）描述函数的定义
③自激振荡的计算
对于稳定的自激振荡，其振幅和频率是确定并且是可以测量的，具 体的计算方法是：振幅可由 1 N(A) 曲线的自变量A来确定，振荡频率
y
2 1 k2
x 12
由串联后的等效非线性特性，对照表7-1的死区加饱和非线性特性， 可见，k 2,a 2, 1
第14页/共24页
于是，等效非线性特性的描述函数为
N ( A)
2k
arcsin
a A
arcsin
A
a A
1 ( a )2 AA
1
(
A
)
2
4
arcsin
2 A
arcsin第3页ຫໍສະໝຸດ 共24页三、典型非线性特性
（1）饱和特性
第4章-非线性系统线性化(1)

第4章-非线性系统线性化(1)


其中 xd 为模型的状态向量；Ad

0
0

1

，bd




0
，
C 1 0 0 为常数。
1
2



n



单变量输入输出反馈线性化直接方法及 鲁棒设计
根据动平衡状态理论，我们可以将xd 作为被控系统的动平衡状态，通过设
计合适的控制律，使所构成的控制系统中被控状态x 对动平衡状态xd 在大范围 内渐近稳定。从而实x现 x对d ，亦y即 yd对 的渐近逼近，使被控系统具有所希
非线性系统反馈线性化绪论
为此，控制系统的设计可分为两步：首先，设计控制律使系统的平衡状态 按预定的方式运动。然后，按某一指标设计系统，使其状态按最佳方式向平衡 状态收敛，从而实现对状态的控制。这一方法很好地解决了将仅适用于自由动 态系统分析与设计的李亚普诺夫直接方法应用于跟踪控制问题所带来的理论冲 突，将稳定性问题（调节问题）与跟踪问题统一起来。为控制系统的分析与设 计提供了一条新的思路。
基于动平衡状态理论的非线性系统反馈 线性化直接方法
按上述方法，基本设计过程如下：
考虑一般的非线性系统
x f (x,u,t)
（1.1）
其中，x Rn 为状态向量，u Rm 为控制向量，f 为向量函数。
设希望的线性系统动态特性为
xd Ad xd Bd v
（1.2）
其中 xd Rn为状态向量，v Rm 为控制向量，Ad Rnn ,Bd Rnm 为常数矩 阵，并且 Ad 的所有特征值均具有负实部。则下述基于李雅普诺夫第二方法的设
按上述思想，提出如下的基于平衡状态控制原理的非线性控制系统反馈线 性化的直接方法：
非线性系统分析方法PPT课件

非线性系统分析方法PPT课件


相轨迹振荡远离原点，为 不稳定焦点
第30页/共52页
••
•
x 2n xn2 x 0
dx/dt x
0
中心点
相轨迹为同心圆，该奇点为 中心点
第31页/共52页
••
•
x 2n x n2 x 0
j s
dx/dt x
s 平面
鞍点
系统特征根一正一负，相轨 迹先趋向于——然后远离原 点，称为鞍点
第32页/共52页
•
x
x 0
相平面
•
x/ 0
x 0
•
(0,10) x
x 0
相平面 (0,-10)
第24页/共52页
4. 相轨迹的奇点
➢定义：二阶系统
••
•
x f (x, x) 0
在相平面上满足
x 0
f
(x,Βιβλιοθήκη x)0➢在奇点上相轨迹的斜率不定，为
的点
•
•
d x f (x, x) 0
dx
•
x
0
由奇点可以引出不止一条相轨迹
C(s)
+-
- -M
( j)(0.01 j 1)(0.005 j 1)
继电参数： M 1.7 死区参数：Δ 0.7 应用描述函数法作系统分析。
解：1. 死去继电特性的描述函数
4M N(X)
1 ( )2
X
X
第49页/共52页
2. 绘制描述函数的负倒数特性
1
X
N(X ) 4M 1 ( )2
•
相轨迹的等倾线方程 • f (x, x) x
第16页/共52页
•
• f (x, x)
x
非线性系统第三版教学设计

非线性系统第三版教学设计

非线性系统第三版教学设计课程简介非线性系统是控制科学中的一门重要课程，涵盖了非线性动力学和控制系统等多个方面。

本课程旨在通过讲解非线性动力学理论和实际控制系统的应用，培养学生对于复杂动态系统的理解和应用能力，同时为学生提供掌握非线性控制系统的基础。

课程目标1.掌握非线性动力学的基本理论和概念。

2.理解非线性系统的特点和行为。

3.学习非线性系统分析和控制的方法和技术。

4.掌握非线性系统应用实例和案例。

5.提高学生解决实际非线性控制问题的能力。

教材本课程教材使用《非线性系统第三版》（作者：Shen Shuyuan）。

该教材详细介绍了非线性系统理论和控制技术的基础，具有内容丰富、深度适中、语言简练等特点。

符合本课程的教学需求。

教学方法本课程采用课堂讲授与案例分析相结合的教学方法，辅以课件、PPT以及自主学习资料等辅助教学工具，重视教学效果和学生理解。

同时，本课程鼓励学生实践，通过小组讨论、课程设计、实验操作等方式，加深学生对于非线性系统的理论和实际应用的掌握。

教学内容第一章非线性动力学建模1.非线性动力学方程建模。

2.相图、相平面、轨迹描述法。

3.均衡点、周期解、混沌解等基本概念。

4.简单非线性系统的实例讲解。

第二章非线性系统分析1.系统稳定性分析及判据。

2.极端稳定性和周期振荡的分析。

3.反馈线性化、中心流形定理等分析方法。

4.分岔的概念和分类。

第三章非线性控制技术1.反馈控制原理和设计方法。

2.滑模控制、自适应控制和神经网络控制等进阶控制方法。

3.基于计算机仿真的非线性控制系统设计方法。

第四章非线性系统应用实例1.机器人控制系统、航空航天控制系统、车辆控制系统等应用案例剖析。

2.非线性电路系统、化学动力学系统、生物系统等应用案例研究。

3.基于MATLAB等计算机辅助工具的非线性系统建模和分析案例。

评分方式1.学生平时成绩（包括课堂参与、课程笔记等占比30%）。

2.期末考试成绩（占比70%）。

3.课题研究或小组项目作业（鼓励学生参与，不作为考核成绩依据）。

自动控制原理课件：非线性系统的分析

自动控制原理课件：非线性系统的分析


( ) 90 arctan arctan


4
求与负实轴的交点
90 arctan arctan

4
180
5

arctan arctan arctan 4 2 90
4

1
4

2
4
1 2
G ( j )
1
10
称 , 为相变量，它们构成二维平面称为相平面
相变量在相平面上运动的轨迹称为相轨迹, 即在一定
初始条件下满足上述微分方程的解.
相平面模型即 非线性二阶系统的状态空间模型.
x(t )
d x(t ) / dt d x(t ) f ( x(t ), x(t ))



dx(t )
x(t ) dx(t ) / dt
作用的基波分量，近似为“线性系统”。
01
描述函数是非线性特性的一种近似表示，是一种谐波线性化方法，忽略
非线性环节输出中的高次谐波，用基波分量表示其输出。
e(t ) X sin t
c1 (t )
N(X )
表示非线性环节的输出一次谐波分量对正弦输入信号的复数比。
N(X )
使用上常将描述函数表示为的函数.
的初始状态无关。
非线性系统的稳定性和零输入响应的性质不仅取决于系统的结构、参数，而且
与系统的初始状态有关。
2. 系统的自持振荡
线性系统只有两种基本运动形式：发散（不稳定）和收敛（稳定）。
非线性系统除了发散和收敛两种运动形式外，即使无外界作用，也可能会发生
自持振荡。
4
dx(t )
2

x
非线性系统线性化课件

非线性系统线性化课件


详细描述
倒立摆是一种典型的非线性系统，其动态行 为非常复杂。为了更好地分析和设计倒立摆 系统，可以使用线性化方法将其转化为线性 系统。通过这种方法，可以更好地理解倒立 摆系统的动态行为，并设计有效的控制策略 。
实例三：机器人系统线性化
总结词
机器人系统是一种复杂的非线性系统，其动 态行为可以通过使用线性化方法进行近似描 述。
非线性系统线性化的展望是通过不断的研究和发展，提高非 线性系统线性化的精度和稳定性，为实际工程应用提供更好 的理论支持和实践指导。
05
CATALOGUE
非线性系统线性化实例分析
实例一：非线性振荡器系统线性化
总结词
通过使用非线性振荡器系统的线性化方法，可以更好地理解非线性系统的动态行为，并 设计有效的控制策略。
02
解决数值稳定性问题的方法包括 采用高精度计算方法、引入阻尼 项、采用自适应控制策略等，以 提高数值计算的稳定性和精度。
近似误差问题
近似误差问题是指在进行非线性系统 线性化时，由于对非线性系统的近似 处理，导致线性化结果与实际非线性 系统的偏差。
解决近似误差问题的方法包括采用更 精确的近似方法、引入补偿控制策略 等，以减小近似误差对线性化结果的 影响。
泰勒级数展开法的基本思想是将非线性函数在某一参考点处进行幂次展开，形成 无穷级数。通过选取适当的参考点，可以使得级数的前几项近似于非线性函数， 从而得到近似的线性化模型。该方法适用于具有局部特性的非线性系统。
状态空间平均法
总结词
状态空间平均法是一种基于状态空间模型的非线性系统线性化方法，通过将非线性系统在平均状态空间上进行线 性化，可以得到近似的线性模型。
详细描述
描述函数法的基本思想是非线性系统的输入输出关系可以用一个描述函数来描述。描述函数具有一些 特定的特性，如频率响应和相位响应等。通过比较这些特性与线性系统的相应特性，可以得到近似的 线性化模型。该方法适用于具有特定特性的非线性系统。
现代控制理论第四章稳定性理论及Lyapunov方法

现代控制理论第四章稳定性理论及Lyapunov方法


【解】（1） 平衡状态为： xe 0 0 T
构造李雅普诺夫函数 V (x) x12 x22 V (x) (2x12 6x22 ) 0
系统在平衡状态渐近稳定，并且 x ,V (x) ,是
大范围渐近稳定。
（2） 平衡状态为： xe 0 0 T
主要知识点: 1、 BIBO (有界输入有界输出)稳定的定义、定理。
§4-3 李雅普诺夫稳定性的概念
主要知识点:
1、系统状态的运动和平衡状态
2、李雅普诺夫意义下稳定、渐近稳定、全局渐近稳 定和不稳定的定义
§4-4 李雅普诺夫间接法（第一法）/线性化局部稳定 主要知识点: 1、线性系统的稳定性判别定理 2、内部稳定和外部稳定的关系 3、非线性系统线性化方法和稳定性判别定理（李雅普诺夫间 接法/第一法）
1 2

x1 x2


x14

x12

2
x22

2
x1
x2

0
V(x) 4x13x1 2x1 x1 4x2 x2 2x1 x2 2x1 x2 2(x14 x22) 0
因此系统在坐标原点是渐近稳定的，并且 x ,V (x) ,
1 0 0
19/ 78 10/ 39 1/ 2
由方程 GT PG P I 解出 P 10 / 39 49 / 78
19
/13 26
不定号，因此系统不渐近稳定。
实际上，该系统的特征值为0.1173+2.6974i, 0.1173-2.6974i, -1.2346都在单位圆外，系统是不稳定的。
试确定其平衡状态的稳定性。
【解】 系统平衡状态为： xe 0 0 T
非线性系统线性化

非线性系统线性化

ϕ = ϕ0 + L ' f Δif
或 Δϕ = ϕ − ϕ0 = L ' f Δif
在平衡点附近，经过线性化处理 （忽略偏移量的高次项）后，原方 程的偏移量间已经具有线性关系了。 偏移愈小，这个关系愈准确。
13
线性化
非线性方程的线性化方法:例题
¾ 磁场控制的直流电动机。电枢电压ua为常值，输出为w ，控制 输入为uf 。研究它的小偏差过程，例如控制输入uf改变一个微 量Δuf引起的变化过程。
（平衡点）附近的性能，（如
图所示，(if0，ϕ0)为平衡点，受 Δ ϕ 到扰动后，if (t)偏离if0，产生 Δif (t)，Δif (t)的变化过程，表 Δ ϕ 征系统在平衡点附近的性能）。
非线性特性的线性化，实质上 就是以平衡点附近的直线代替
Δif
Δif
平衡点附近的曲线。
10
线性化
非线性方程的线性化方法
L := 100cm
T1(θ) := M⋅g⋅L⋅sin(θ)
( ) ( ) T2(θ) := M⋅g⋅L⋅cos θ0 ⋅ θ − θ0 + T0
θ0 := 0rad
10
线性化
θ := −π, −15π .. π 16
5 T 1( θ )
0 T 2( θ )
5
10
4
3
2
1
0
1
2
3
4
θ
Students are encouraged to investigate linear approximation accuracy for different values of θ0
+ dϕ0
dt
= uf0
非线性系统线性化综述翻译

非线性系统线性化综述翻译

⾮线性系统线性化综述翻译┊┊┊┊┊┊┊┊┊┊┊┊┊装┊┊┊┊┊订┊┊┊┊┊线┊┊┊┊┊┊┊┊┊┊┊┊┊⾮线性系统线性化综述程代展，李志强(中国科学院数学与系统科学研究院，北京100190)摘要：⾮线性系统的线性化是设计⾮线性系统控制的强有⼒⼯具。

这⼀⽅法已经在飞⾏器控制、电⼒系统的安全控制、化学反应器控制、经济系统、⽣物学系统和机器⼈控制等领域得到⼴泛应⽤。

本⽂阐述了⾮线性系统线性化的发展历史以及有深刻意义的结果。

⾸先回顾从⾮线性系统的近似线性化到精确线性化的发展。

主要内容Poincare线性化、系统能通过状态反馈线性化的充要条件和算法。

然后介绍各种不同的线性化⽅法：动态反馈线性化，近似线性化，Cralema3/l线性化等。

本⽂主要⽬的是对⾮线性系统线性化的历史，现状和⼀些重要问题进⾏⼀个较完整全⾯的介绍，从⽽提供从事线性化理论与应⽤研究的基础。

关键词：线性化；Poincare定理；状态反馈；⾮正则；部分线性化1 介绍⾮线性系统线性化处理与⾮线性（控制）系统是最有效的⽅法之⼀. 它已被⼴泛⽤于研究很长⼀段时间, 已获得许多有价值的理论成果. 线性化也已被⼴泛⽤于各种⼯程问题。

例如，飞机控制，动⼒系统，化学反应，经济系统，⽣物系统，神经⽹络，空调系统，⽣态系统，机器⼈控制系统等。

垂直起降飞⾏器模型不是静态状态反馈线性化⽽是动态状态反馈线性化。

双旋翼直升机模型的飞⾏控制器的设计。

局部线性化的设计⽅法主要运⽤静态反馈线性和较低的⼦系统层次实现。

输⼊输出反馈线性化⽅法被⽤来设计⼀个分散的⼤型电⼒系统的⾮线性控制器，事实证明，输⼊输出线性化类型的反馈可以接近反应器任意设定点的运动轨迹，即使有参数的不确定性。

状态空间精确线性化⽅法应⽤于Kaldor和Bonhoeffer-Van Der Pohl⾮线性控制系统的⾮线性反馈控制律的设计。

线性化的应⽤分别列举了⽣物系统和物理系统这两个系统的综合分析。

作为多输⼊多输出双线性系统的⼀个V AV AC电⼚的动态模型推导和制定。

非线性分解定理

非线性分解定理

非线性分解定理非线性分解定理（Nonlinear Decomposition Theorem）是一种数学方法，它可以将复杂的非线性问题分解为一系列更简单的子问题来求解。

该定理在实际问题的建模和优化求解中具有广泛的应用。

非线性问题是指包含非线性函数或非线性约束的数学问题，这些问题不能用线性方程或线性不等式来表示。

非线性问题的求解一般比较困难，因为非线性函数的性质往往更加复杂，求解过程可能涉及到局部极值、多个解等问题。

非线性分解定理的基本思想是将一个大的非线性问题分解为一系列小的子问题，并通过解决这些子问题来逐步逼近原始问题的解。

具体来说，非线性分解定理包括以下三个步骤：1. 分解：将原始非线性问题分解为若干个子问题。

这个步骤需要根据问题的特点和要求来确定分解的方式，可以是将问题分解为几个相互独立的子问题，也可以是将问题分解为一系列逐步求解的子问题。

2. 求解：分别求解每个子问题。

由于子问题通常比原始问题简单，因此可以采用更简单的方法来求解子问题。

求解子问题的方法可以是线性方法、近似解法或者其他适合的方法。

3. 综合：将子问题的解综合起来，得到原始非线性问题的解。

这一步骤需要将子问题的解通过某种方式进行组合，得到原始问题的解。

组合的方式可以是线性加权、迭代逼近或其他合适的方式。

非线性分解定理的优势在于将大的非线性问题分解为小的子问题，从而简化了求解过程。

通过逐步求解子问题，可以逐步逼近原始问题的解，避免了直接求解复杂非线性问题的困难。

而且，非线性分解定理可以根据实际问题的特点和要求进行灵活的分解和组合，使得求解过程更加可控和可靠。

非线性分解定理的应用非常广泛。

在工程问题中，非线性分解定理可以用于优化设计、系统建模、参数估计等方面。

在经济学和金融学中，非线性分解定理可以用于投资组合优化、风险管理等问题。

在科学研究中，非线性分解定理可以用于分子模拟、生物学建模等方面。

总之，非线性分解定理是一种将复杂的非线性问题分解为简单的子问题的数学方法，通过逐步求解子问题来逼近原始问题的解。

非线性系统课件


N (A )N (A )ej N (A )Y 1ej1B 1j1 A
A
A
非线性系统
2. 描述函数的求取步骤 （1） 取输入信号为，根据非线性环节的静态特性绘
制出输出非正弦周期信号的曲线形式，根据曲线形式 写出输出y(t)在一周期内的数学表达式。 （2）据非线性环节的静态特性及输出y(t)的数学表达 式，求相关系数A1、B1。 （3）用式(7-8)计算描述函数。
必须指出，长时间大幅度的振荡会造成机械磨损，增加
控制误差，因此在通常情况下，不希望系统产生自振，必
须设法抑制它。
非线性系统
３.频率响应复杂
线性系统的频率响应，即正弦信号作用下系统的稳态输 出是与输入同频率的正弦信号。而非线性系统的频率响应 除了含有与输入同频率的正弦信号分量（基频分量）外， 还含有关于ω的高次谐波分量。
形称为相平面图。
非线性系统
二、绘制相轨迹的方法
解析法
采用解析法绘制相轨迹通常有两种作法。一种方法是通过积分法， 直接由微分方程求解x(t)和的解析关系式。
0
2 Msintdt
1
2M
(c
os 1
c
os2
)
＝2M
1- mh2 A
1-
h
2
A
非线性系统
3） 死区滞环继电特性的描述函数为
N (A )＝ 2 M A1-m A2h1-A h2j2 M A2(m Ah -≥1h )（7-17）
取h=0可得理想继电特性的描述函数为
N(A)＝4M
取m=1可得死区继电特性的A描述函数为
足结构要求的一类非线性系统，通过谐波线性化，将非线性特性近似表 示为复变增益环节，分析非线性系统的稳定性或自激振荡 ３.李亚普诺夫第二法

《非线性系统分析与控制》资料教材


统，分析该平衡点的稳定性； 2）Lyapunov第二方法。
2.极限环
非线性系统能够在没有外激励时产生固定幅值和固定周 期的振荡，这种振荡叫极限环或自激振荡。
例 ：描述范德堡方程 的二阶微分方程（质量-弹簧-阻尼 器系统）为： 2c( x 2 1) x kx 0 m x
c 和 k 为正常数，分析该系统的特点） （ m、 • 非线性系统的极限环不同于线性系统的临界稳定或持 续振荡。 • 极限环代表了非线性系统的一种重要现象，分有害和 有益两种情况，应分别对待。
ax x 3 0 x
当
a 由正变负时，一个平衡点分裂为三个点
（x e 0, a , a ），这表明系统的动态特性的质变，
a 0 为一临界分叉值。
4.混沌
1）混沌的解释：由确定性方程（内因）直接得到的具 有随机性的运动状态。或者说，混沌是具有随机性的非 周期性振荡。 2）混沌对初始条件非常敏感，即初始条件的微小差别 常常使轨道按指数形式分开（蝴蝶效应）。 3）混沌是一种确定性运动：无周期而有序、已发现三 条通向混沌的道路、Feigenbaum普适常数、有界性和 对初值具有很强的敏感性。 4）具有通常确定性运动所没有的统计和几何特征： 5）局部不稳定而整体稳定、无限自相似、连续功率谱、 奇怪吸引子分维数、正的Lyapunov特征指数、正测度 熵等。
三、非线性控制理论
有一部分系统可以在基本满足工程需要的条件下 将其在某一平衡点处加以近似线性化； 也有一些系统，在分析它的大干扰稳定性与动态 品质时，就不宜把它近似地作为线性系统处理； 现代非线性科学所揭示的大量有意义的事实，例 如分叉、混沌、奇异吸引子等，均远远超过人们 熟知的非线性系统的自振现象，无法用线性系统 理论来解释。 非线性控制系统的研究几乎是与线性系统平行的， 并已经提出了许多具体方法，如相平面法、描述 函数法、绝对稳定性理论、Lyapunov稳定性理论、 输入输出稳定性理论等。

第4章-非线性系统线性化



dV dt
V e
T
Ad e
负定。
基于动平衡状态理论的非线性系统反馈 线性化直接方法
将V (e,t) 作为偏差控制系统（1.3）的可能的李亚普诺夫函数，有
V(e,t)
dV dt

V e
de dt

dV dt
V e
T

(Ad e [ f (x,u,t) (Ad x Bd v)]
基于动平衡状态理论的非线性系统反馈 线性化直接方法
按上述方法，基本设计过程如下：
考虑一般的非线性系统
x f (x,u,t)
（1.1）
其中，x Rn 为状态向量，u Rm 为控制向量，f 为向量函数。
设希望的线性系统动态特性为
xd Ad xd Bd v
（1.2）
其中 xd Rn为状态向量，v Rm 为控制向量，Ad Rnn ,Bd Rnm 为常数矩 阵，并且 Ad 的所有特征值均具有负实部。则下述基于李雅普诺夫第二方法的设
按上述思想，提出如下的基于平衡状态控制原理的非线性控制系统反馈线 性化的直接方法：
（1）按系统的动态性能要求设计一满足希望特性的线性动态系统作为模 型参考系统。
（2）以模型参考系统的状态作为实际被控系统的被控平衡状态。利用李 亚普诺夫直接方法设计控制律使系统对动平衡状态渐进稳定。从而被控系统近 似具有模型参考系统的动态特性，实现非线性系统的反馈线性化。
其中 xd 为模型的状态向量；Ad

0
0

1

，bd




0
，
C 1 0 0 为常数。
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非线性系统的线性化处理方法

非线性系统的线性化处理方法,√j}/Z非线性系大连晨光科技开发邮王士和Tp~?/,2.在各种电气设备,自动控制装置,检查与测线段联结,用于分f与”0,则得到分段线性量用仪器仪表中经常碰到线性或近似线性系统.但是,在很多情况下,也会碰到非线性系统问题关于线性系统的理论分析与计算方法在许多文献中已有讨论但是,非线性系统的理论分析与计算方法在近二十年来一直引起人们的关注还有许多线性系统问题尚待讨论.本文试图就非线性系统中一些分支问题,探讨若干处理方法这里讨论的是稳态情况下若干种非线性问题的处理方法:1.线性化法(或分段线性化法);2.函数化法(或分段函数化法),或称经验公式法;3.数字化法等等.‘一,线性化法(或分段线性化法)假设有一含非线性铁心的电路.其磁化曲线具有图1a所示形状.由图可以看出,这是非线性的但是,如果通过原点至急剧弯曲部分画一条斜线oa代替oa弯曲线时,在理论分析与计算上可以得到符合工程实际需要的分析结论与计算结果.这一类处理工程计算的方法.称谓线性化法.H图1如果将磁化曲线画分成若干段.如图1b所……示.将O1,12,23,34,蛎,56各弯曲段甩近似直线n《■气开曩》(199鼍蹄Io-●)化法显然.它比线性化法更逼真一步.在工程分析与计算上将给出更满意的结果.二,函数化法(或分段函数化法)函数化法是将非线性特性曲线近似地用一个经验公式表达,用来分析各种工程技术问题. 显然,它能够给出的计算精确度决定于经验公式与实际曲线逼近程度例如.图l给出的磁化曲线可以用下式表示,即B:,(H)(1)或H一()(2)详见参考文献1中表1—1所示由各作者给出的磁化曲线经验公式.分段函数法是将非线性曲线分割成若干段,然后对各小段分别用某一函数表示.用这些表达式分析与处理各种技术问题.显然,比前一种方法更逼真一步.但是,应用上会带来许多麻烦.计算机的出现,给解决这类工程问题带来了方便.可以看出,分段线性化方法可视作分段函数法的一个特倒.三,数字化方法数字化方法实际上是将一连续变化的非线性特性曲线实施离散化,将其储存在计算机内, 根据计算程序需要随时调用(详见文献2)以上讨论了非线性系统的直接处理方法.主要用于:非线性元件,非线性线路非线性控制,测量与检查等系统的分析与计算.下面讨论若干间接处理方法四,非线性系统的线性变换法图2中的A环节是一个非线性元件或网路,B环节是另一个非线性元件或网络.此方法的基本思想是A环节在系统中无法直接应用其非线性输入一输出特性用B环节具有另一种非线性输入输出特性来补偿.如果B环节设一25—._,●计合理.可使总的输入一输出特性线性化,如图3所示.因此B环节称作对-A环节的整直环节(或元件).设A环节具有非缉眭函数关系X2= f.(x),B环节具有另_非线性爵数关系Xa—f(x).经过综合后.得到总的输入一输出特性为X.一c.X+线性关系.这就是通过整直环节(或元件)B将非线性环节(或元件)A的菲线性系统实现线性化的线性变换法.如果得到图3的直线,再进行技术处理就很方便.例如.如欲得到X一O时.xf一0{在x正向增加时x也正向增加.只需要在B环节后再增设一级移位倒向环节C就可H实现如图4,5趼示,网?I警l3—26I4瞄5五,非线性系统的补偿网路法非线性元件(或装置)采用线性R,L,C或非线性半导体器件等组成元件或网路可以对其非线性逐段地进行朴偿,以l达到更精确的变换, 例如,目前工业上应用的热电偶上采用的各种温度一电压线性变换网路等.六,非线性系统的数字化处理方法此方法与第四章相似,只是将非线性元件(或装置)输出的模拟量用集成电路(模片)交换成数字量,即进行A/D转换.但此数字量尚须经过专用单片机(例如EPROM或EEPR0M)处理之后,才能整直,送给数字显示器或其他控制部件.这时显示器的指示量与非线性元件(或装置)的输入量呈线性关系,关于其它特殊类型的非线性元件(或装胃=)的非线性特性需要根据要求进行线性化,例如, 开关控制元件对发电机进行电压自动调整等需要特殊处理,而不一定要求对其作线性化处理, 关于这些问题,可参考文献3,4.综上所述.在遇到非线性系统问题时.可以参考上面提出的方法进行处理当然.还可根据不同的具体问题提出新的处理方法,对于这方面的具体理论和技术工作,不仅需要对控制系统及其控制的对象有深刻的了解.而且还要有丰富的元器件的理论与实际知识.参考文献[1]王士和缩自动电礁装置,大连铁道学院, 1985[2:张冠生主编电器学,规被】:业m版社】980_l3]扬自厚主编自动控制原理,精金1:业出暖社,198O[4]蔡尚峰主编.自动控制理沧,机被业m版社,198l[5]尤德裴主编数字化酬量技术眨但器.机械】= 业出版社1980[6]常健生缩.捡j羹I与转换技术.机被丁=业m版社,1981[7]王士和郭永波带热电阻捡渊播的解舟折法电杂志】99o3[8]王士和孝章武王常有智艟化湿度控制倥●气开善》(1995N0_4)。

《线性系统理论与设计》第四章

稳定性当系统承受这种干扰之后，能否稳妥地保持预定的运动轨迹或者工作状态，这就是稳定性。

使问题简化，而不得不忽略某些次要因素。

近似的数学模型能否如实反映实际的运动，在某种意义上说，也是稳定性（鲁棒性）问题。

平衡状态(4-2)受扰运动:平衡状态:(4-5)0 x t t"³？是李雅普诺夫意义下稳定的。

李雅普诺夫稳定性就是要研究微分方程的解在tÎ[t，+¥）上的有界性。

1. 此处d 随着e 、t 0而变化；时有‖x (t ；t 0，x 0)‖＜e "t ≥t 0成立初值变化充分小时，解的变化(t ≥ t 0)可任意小(不是无变化)；(t 0，e )£e 。

edt0x (t 0)d (t 0，e )x 0x (t )李雅普诺夫意义下稳定的几何意义(t 0)‖一致稳定：(4-9)00(,,)0(,,)T t T t m d m d >()S e ()H e 0x x()S d ()S e 0x ()x t T()S d t固定的吸引区，不是＜m ，t >t 0+ T(m ，t 0，x 0)t 0mt 0+ T(m , t 0, x 0)e00lim (,,)0®¥=t x t t x数量吸引区局部幸好，就我们所讨论的线性系统而言，全局和局部是一致的。

可见，即使初始值很大地偏离了平衡状态，系统最终0x1otl nx 非线性系统的解，),<。

故系统是李氏稳定的。

又与t d ddx xdt tttd<，,故其零解一致稳定。

又0t t 0t t()S e 0x ()x t ()S d cx ()e指数渐近稳定稳定渐近稳定一致渐近稳定一致稳定第一方法线性化的间接第二方法直接判断直接法李雅普诺夫第二方法目前仍是研究非线性、时变系统最有效的方法，是许多系统控制律设计李雅普诺夫第二法的主要定理(4-16)李雅普诺夫函数充分条件4-17)),则称系统原点平衡状态为大范围一致渐近稳定。

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第四章
非线性系统的线性化
1、传统近似线性化
2、精确线性化
3、现代近似线性化
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非线性系统线性化方法
传统近似 线性化 现代近似 线性化
精确线性化
基本思想： 一阶近似 适用于工作 条件苛刻， 计算复杂
基本思想：通过坐标 变换把强非线性系统 变换成弱非线性系统
点范围不大
情况
或通过状态反馈以保
持线性系统的部分特 点。
近似线性化
传统近似线性化方法
最小二乘法 误差最小
泰勒展开 传统近似线性化 雅可比矩阵
忽略高阶项
忽略高阶项
傅里叶级数展开
忽略高次谐波
非线性系统反馈线性化_主要内容
• • • 4.0 绪论 4.1 基于动平衡状态理论的非线性系统反馈线性化直接方法 4.2 单变量输入输出反馈线性化直接方法及鲁棒设计 – – – – 仿射非线性系统输入输出线性化及鲁棒设计 线性时变系统反馈线性化直接方法及鲁棒设计 线性定常系统设计—闭环极点配置 一般非线性系统的直接反馈线性化设计：逆系统方法 输入—状态线性化 输入—输出线性化 线性系统的内动态子系统 零动态子系统 微分同胚与状态变换 弗罗贝尼斯定理 单输入单输出系统的输入—状态线性化 单输入单输出系统的输入—输出线性化 多输入—多输出系统的反馈线性化
非线性系统反馈线性化绪论
模型参考方法在跟踪控制系统设计中是一种十分有效的方法。这一方法不 仅在相对复杂的非线性系统设计中得到应用，即使在线性定常系统的设计中同 样也得到大量的应用。 在非线性系统的模型参考方法中，基于李亚普诺夫直接方法的非线性系统 反馈线性化方法是最重要和最有效的一种设计方法，这类方法称为非线性系统 反馈线性化的直接方法。
（1.5）
T M eT P[ f ( x, u, t ) ( Ad x Bd v)]为标量函数。 其中 Q ( Ad P PAd ) Rnn ，
由式（1.1）和式（1.2）可得系统的状态偏差方程为：
x x d f ( x, u, t ) ( Ad xd Bd v) Ad e [ f ( x, u, t ) ( Ad x Bd v)] e
（1.3）
基于动平衡状态理论的非线性系统反馈 线性化直接方法
取状态偏差的二次型函数
基于动平衡状态理论的非线性系统反馈 线性化直接方法
按上述方法，基本设计过程如下： 考虑一般的非线性系统
f ( x, u, t ) x u R m 为控制向量，f 为向量函数。 其中，x R n 为状态向量，
设希望的线性系统动态特性为
d Ad xd Bd v x
n
（1.1）
非线性系统反馈线性化绪论
为此，控制系统的设计可分为两步：首先，设计控制律使系统的平衡状态 按预定的方式运动。然后，按某一指标设计系统，使其状态按最佳方式向平衡 状态收敛，从而实现对状态的控制。这一方法很好地解决了将仅适用于自由动 态系统分析与设计的李亚普诺夫直接方法应用于跟踪控制问题所带来的理论冲 突，将稳定性问题（调节问题）与跟踪问题统一起来。为控制系统的分析与设 计提供了一条新的思路。 按上述思想，提出如下的基于平衡状态控制原理的非线性控制系统反馈线 性化的直接方法： （1）按系统的动态性能要求设计一满足希望特性的线性动态系统作为模 型参考系统。 （2）以模型参考系统的状态作为实际被控系统的被控平衡状态。利用李 亚普诺夫直接方法设计控制律使系统对动平衡状态渐进稳定。从而被控系统近 似具有模型参考系统的动态特性，实现非线性系统的反馈线性化。
•
4.3 反馈线性化与标准型
– – – –
•
4.4 数学知识
– –
•
4.5 非线性系统反馈线性化 – – –
•
4.6 近似线性化方法
非线性系统反馈线性化绪论
非线性系统的反馈线性化是近年来引起人们极大兴趣的一种非线性控制系 统设计方法。这种方法的思路是通过状态或输出的反馈，将一个非线性系统的 动态特性变成（全部或部分）线性的动态特性，从而可以应用熟知的线性控制 的方法对系统进行设计与控制。反馈线性化通过严格的状态变换与反馈变换来 达到，线性化过程中没有忽略任何高阶非线性项，因而这种线性化是精确的。
V (e) eT Pe
T nn 其中 P P R ，且 P 0 。则有 V (e) 的导数为：
PA )e 2eT P[ f ( x, u, t ) ( A x B v)] eT Qe 2M V d d d d
运用控制系统动平衡状态的概念，提出一种建立在控制系统动平衡状态渐 近稳定概念上的新的设计方法。本方法认为：控制系统的输入直接控制的是系 统的动平衡状态。系统的输出和状态是在系统结构的约束下运动的。当系统对 其平衡状态大范围渐近稳定时，其状态将在系统结构约束下渐近收敛于系统的 平衡状态。当其平衡状态运动时，系统的状态亦将跟踪其平衡状态运动。因此 控制系统平衡状态的运动，即可实现对系统运动状态及输出的控制。
（1.2）
Ad Rnn , Bd Rnm 为常数矩 其中 xd R 为状态向量，v R m 为控制向量， 阵，并且 Ad 的所有特征值均具有负实部。则下述基于李雅普诺夫第二方法的设 计可以实现系统状态 x 对 xd 的渐近跟踪，从而实现非线性系统动态特性的线性 化。
x x d 令状态偏差为 e x xd ，则有 e
目前反馈线性化的方法主要有两种：
1）精确线性化方法(exact linearization method)，如微分几何方法，隐函数方 法和逆系统方法等； 2）基于参考模型的渐近线性化方法，如模型参考方法及模型参考自适应方法 等。而确切地说，这两种线性化方法都是模型参考方法，不过前者可称为隐含 模型参考方法（implicit model reference approach），而后者为实际模型参考 方法（real model refernce approach）。 精确线性化方法中，微分几何方法和逆系统方法已形成各自的理论体系并 在许多领域得到成功的应用。相比之下基于隐函数方法的直接线性化方法由 于其可应用的范围较窄，理论上又难以深入，被研究得要少得多。