非线性系统线性化

测试中非线性问题线性化处理的方法摘要：检测系统的组建要考虑的一个问题就是线性化及处理。

基于此，浅析检测系统非线性产生的原因，介绍对检测系统和装置输出和输入量之间非线性关系进行处理的几种方法，以期在实际应用中优化检测系统的性能、减小测量误差。

关键词：检测系统；非线性；传感器在工程测试中，力求测试结果能定性定量地表示出被测量，为了方便地标定和数据处理，便于检测系统的制造、调校和使用，通常希望检测系统有线性输出。

但是实际的检测系统输入输出关系往往呈现出非线性特性，为了提高测量精度，增大测量范围，减小读数误差，则有必要对检测系统进行线性化处理。

1 传感器的非线性误差及其处理传感器是检测系统的最前沿装置，它的特性往往影响整个检测系统的性能优劣，理想的传感器输入输出关系是呈线性关系，但绝大部分传感器的输出量与被测量之间的关系是非线性的。

造成非线性的原因主要有：（1）传感器的转换原理为非线性，例如：热电偶测温，其热电势与温度之间的关系为非线性；热电阻输出的电阻变化量与温度之间的关系为非线性；在流量检测中，孔板输出的差压与流量之间也呈非线性。

（2）传感器结构参数等因素引起的非线性，例如：应变式传感器测压力时弹性元件的挠性模变引起的非线性；电感式传感器，磁性材料的磁化曲线呈非线性等。

（3）传感器的间隙、松动、摩擦、蠕变以及外界条件的影响造成非线性。

为了得到较好的输入—输出线性关系，在传感器的选用上应尽可能选取适合的转换原理呈线性关系的传感器。

适当减小测量范围以提高测量系统的线性度，很多传感器在全量程的测量中，输入输出特性曲线呈非线性，特别是在量程的较小和较大区域，非线性特性明显。

在情况允许的条件下，可取非线性曲线上线性比较好的一段，这种选取与检测系统测量精度的要求有关，当精度要求不太高的情况下，可以在相当宽的范围内都可近似为线性关系，精度要求越高，线性范围越窄。

当测量范围与精度要求不可取舍的情况下，则可利用多传感器进行非线性补偿，例如在进行湿度测量时，为了扩大湿度测量范围，将多个LiCl含量不同的湿敏电阻组合使用，将测量范围分别为（10%～20%）RH、（20%～40%）RH、（40%～70%）RH、（70%～90%）RH、（80%～99%）RH这五个器件配合使用，就可自动转换成整个湿度范围的湿度测量；如磁敏二极管，其输入输出特性曲线在磁场正向与反向时不对称，正向灵敏度大，反向时小，若采用特性相近的两只磁敏二极管按相反磁极性组合，或采用磁敏对管，则磁场正、反向时特性曲线对称，且在弱磁场下有较好的线性。

对于非线性特征明显的对象，需要先将非线性系统进行线性化，才能应用常见的线性分析方法。

IAS 系统中，空气弹簧的作用力与所施加激励之间存在明显的非线性关系，而减振器作用力与施加激励也存在非线性关系，所以IAS 系统是典型的非线性系统。

精确线性化方法通过恰当的非线性状态反馈和非线性坐标变换（或动态补偿），将一个非线性系统变换成(部分或全部地)线性系统。

精确线性化方法基于微分几何理论，通过对系统输入输出的解耦，实现非线性系统的线性化。

在非线性系统线性化后，可引入相关的控制理论实现对减振器阻尼的切换。

在介绍精确线性化方法前，先介绍两个概念：李导数、相对阶。

设如下n 阶非线性系统()()()x f x g x u y h x =+⎧⎨=⎩ 其中，状态量0x X ∈，,f g 为n 维光滑向量场h 为光滑函数。

n x ∈R ，系统的输入1u ∈R ，系统的输出1y ∈R 。

(1) 李导数（Lie Derivative ）对系统（3.25）的输出方程求导数(()())()()f g dhdhy x f x g x u L h x L h x u dx dx ==+=+ (0.1)在式（3.17）中，定义()()f dh L h x f x dx ∆=，()()g dh L h x g x dx ∆=为李导数，f L 代表()h x 沿着系统的轨迹的导数。

(2) 相对阶（relative degree ） 定义3.2（相对阶）： 0x X ∈，如果存在0x 的邻域V 及正整数r 使（3.16）满足以下两个条件：① ()0k g f L L h x =,x V ∀∈,01k r ≤<-；② 1()0r g f L L h x -≠, x V ∀∈；则称系统（3.16）的相对阶为r 。

以单输入单输出系统（SISO ）为例，说明精确线性化原理：利用系统的输出方程得到所需要的坐标变化和状态反馈，实现系统的精确线性化【徐兴大论文，89-91】。

第六章非线性系统的反馈线性化反馈线性化方法的基本思想是用反馈的方法，将非线性被控对象补偿成为一个具有线性特性的系统，然后利用线性系统理论进行控制系统设计。

基于微分几何的反馈线性化方法是一种精确线性化方法。

6.1 反馈线性化基本概念反馈线性化设计步骤是：（1）通过反馈的方法将非线性系统转化为线性系统，这个过程可以微分几何方法；（2）经过线性化处理后的系统进行设计。

与泰勒级数展开的近视线性化方法不同，它是建立在系统状态变换与非线性反馈基础上的一种精确方法。

它是大范围有效的，而不是仅仅局限于工作点附近。

1水槽的系统模型为()()2h d A h dhu t a ⎡⎤=−∫4()f B =+ xx u 考虑如下系统x是系统状态，f(x)是光滑向量场，u是控制输入，B是输入矩阵且可逆。

设跟踪轨迹为x d 。

=d e x x−定义跟踪误差=f()B d ex x u −− 主要思路是设计如下的补偿控制算法1=(f())d u Bxx ke −−+ =-eke 补偿后的误差动态方程为稳定例2 两关节机械手111212121112122212220H H qhq hqhq q g H H qhq qg ττ−−−⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎡⎤++=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎣⎦&&&&&&&&&&（6.1）5其中，[]12,Tq q =q 为关节角，[]12,Tττ=τ为关节输入。

12222221222221111211222222221212122221211122122122122cos cos sin cos cos()cos cos()c c c c c c c c c c H m l I m l l l l q I H m l I H H m l l q m l I h m l l q g m l g q m g l q q l q g m l g q q ⎡⎤=+++++⎣⎦=+==++=⎡⎤=+++⎣⎦=+表示成向量形式()(,)()H q qC q q q g q τ++=&&&&两边同乘以1H −，可变成仿射非线性系统（6.1）。

⾮线性系统线性化综述翻译┊┊┊┊┊┊┊┊┊┊┊┊┊装┊┊┊┊┊订┊┊┊┊┊线┊┊┊┊┊┊┊┊┊┊┊┊┊⾮线性系统线性化综述程代展，李志强(中国科学院数学与系统科学研究院，北京100190)摘要：⾮线性系统的线性化是设计⾮线性系统控制的强有⼒⼯具。

这⼀⽅法已经在飞⾏器控制、电⼒系统的安全控制、化学反应器控制、经济系统、⽣物学系统和机器⼈控制等领域得到⼴泛应⽤。

本⽂阐述了⾮线性系统线性化的发展历史以及有深刻意义的结果。

⾸先回顾从⾮线性系统的近似线性化到精确线性化的发展。

主要内容Poincare线性化、系统能通过状态反馈线性化的充要条件和算法。

然后介绍各种不同的线性化⽅法：动态反馈线性化，近似线性化，Cralema3/l线性化等。

本⽂主要⽬的是对⾮线性系统线性化的历史，现状和⼀些重要问题进⾏⼀个较完整全⾯的介绍，从⽽提供从事线性化理论与应⽤研究的基础。

关键词：线性化；Poincare定理；状态反馈；⾮正则；部分线性化1 介绍⾮线性系统线性化处理与⾮线性（控制）系统是最有效的⽅法之⼀. 它已被⼴泛⽤于研究很长⼀段时间, 已获得许多有价值的理论成果. 线性化也已被⼴泛⽤于各种⼯程问题。

例如，飞机控制，动⼒系统，化学反应，经济系统，⽣物系统，神经⽹络，空调系统，⽣态系统，机器⼈控制系统等。

垂直起降飞⾏器模型不是静态状态反馈线性化⽽是动态状态反馈线性化。

双旋翼直升机模型的飞⾏控制器的设计。

局部线性化的设计⽅法主要运⽤静态反馈线性和较低的⼦系统层次实现。

输⼊输出反馈线性化⽅法被⽤来设计⼀个分散的⼤型电⼒系统的⾮线性控制器，事实证明，输⼊输出线性化类型的反馈可以接近反应器任意设定点的运动轨迹，即使有参数的不确定性。

状态空间精确线性化⽅法应⽤于Kaldor和Bonhoeffer-Van Der Pohl⾮线性控制系统的⾮线性反馈控制律的设计。

线性化的应⽤分别列举了⽣物系统和物理系统这两个系统的综合分析。

作为多输⼊多输出双线性系统的⼀个V AV AC电⼚的动态模型推导和制定。

非线性系统的线性方法
非线性系统的线性方法包括线性化方法和仿射变换方法。

1. 线性化方法
线性化方法是将非线性系统在某一工作点处进行线性近似，然后应用线性控制理论对其进行分析和控制。

线性化方法通常包括泰勒级数展开和雅可比矩阵的计算。

2. 仿射变换方法
仿射变换方法是将非线性系统通过一系列仿射变换，变换成一个线性系统，然后应用线性控制理论对其进行分析和控制。

仿射变换方法常用的变换包括积分变换、对数变换、指数变换等。

需要注意的是，虽然非线性系统可以通过线性化方法和仿射变换方法进行线性化处理，但当系统存在强非线性、硬约束、不可逆性等特点时，这些方法的适用性会受到严重限制，需要考虑其他非线性控制方法。

非线性系统的线性化处理方法,√j}/Z非线性系大连晨光科技开发邮王士和Tp~?/,2.在各种电气设备,自动控制装置,检查与测线段联结,用于分f与”0,则得到分段线性量用仪器仪表中经常碰到线性或近似线性系统.但是,在很多情况下,也会碰到非线性系统问题关于线性系统的理论分析与计算方法在许多文献中已有讨论但是,非线性系统的理论分析与计算方法在近二十年来一直引起人们的关注还有许多线性系统问题尚待讨论.本文试图就非线性系统中一些分支问题,探讨若干处理方法这里讨论的是稳态情况下若干种非线性问题的处理方法:1.线性化法(或分段线性化法);2.函数化法(或分段函数化法),或称经验公式法;3.数字化法等等.‘一,线性化法(或分段线性化法)假设有一含非线性铁心的电路.其磁化曲线具有图1a所示形状.由图可以看出,这是非线性的但是,如果通过原点至急剧弯曲部分画一条斜线oa代替oa弯曲线时,在理论分析与计算上可以得到符合工程实际需要的分析结论与计算结果.这一类处理工程计算的方法.称谓线性化法.H图1如果将磁化曲线画分成若干段.如图1b所……示.将O1,12,23,34,蛎,56各弯曲段甩近似直线n《■气开曩》(199鼍蹄Io-●)化法显然.它比线性化法更逼真一步.在工程分析与计算上将给出更满意的结果.二,函数化法(或分段函数化法)函数化法是将非线性特性曲线近似地用一个经验公式表达,用来分析各种工程技术问题. 显然,它能够给出的计算精确度决定于经验公式与实际曲线逼近程度例如.图l给出的磁化曲线可以用下式表示,即B:,(H)(1)或H一()(2)详见参考文献1中表1—1所示由各作者给出的磁化曲线经验公式.分段函数法是将非线性曲线分割成若干段,然后对各小段分别用某一函数表示.用这些表达式分析与处理各种技术问题.显然,比前一种方法更逼真一步.但是,应用上会带来许多麻烦.计算机的出现,给解决这类工程问题带来了方便.可以看出,分段线性化方法可视作分段函数法的一个特倒.三,数字化方法数字化方法实际上是将一连续变化的非线性特性曲线实施离散化,将其储存在计算机内, 根据计算程序需要随时调用(详见文献2)以上讨论了非线性系统的直接处理方法.主要用于:非线性元件,非线性线路非线性控制,测量与检查等系统的分析与计算.下面讨论若干间接处理方法四,非线性系统的线性变换法图2中的A环节是一个非线性元件或网路,B环节是另一个非线性元件或网络.此方法的基本思想是A环节在系统中无法直接应用其非线性输入一输出特性用B环节具有另一种非线性输入输出特性来补偿.如果B环节设一25—._,●计合理.可使总的输入一输出特性线性化,如图3所示.因此B环节称作对-A环节的整直环节(或元件).设A环节具有非缉眭函数关系X2= f.(x),B环节具有另_非线性爵数关系Xa—f(x).经过综合后.得到总的输入一输出特性为X.一c.X+线性关系.这就是通过整直环节(或元件)B将非线性环节(或元件)A的菲线性系统实现线性化的线性变换法.如果得到图3的直线,再进行技术处理就很方便.例如.如欲得到X一O时.xf一0{在x正向增加时x也正向增加.只需要在B环节后再增设一级移位倒向环节C就可H实现如图4,5趼示,网?I警l3—26I4瞄5五,非线性系统的补偿网路法非线性元件(或装置)采用线性R,L,C或非线性半导体器件等组成元件或网路可以对其非线性逐段地进行朴偿,以l达到更精确的变换, 例如,目前工业上应用的热电偶上采用的各种温度一电压线性变换网路等.六,非线性系统的数字化处理方法此方法与第四章相似,只是将非线性元件(或装置)输出的模拟量用集成电路(模片)交换成数字量,即进行A/D转换.但此数字量尚须经过专用单片机(例如EPROM或EEPR0M)处理之后,才能整直,送给数字显示器或其他控制部件.这时显示器的指示量与非线性元件(或装置)的输入量呈线性关系,关于其它特殊类型的非线性元件(或装胃=)的非线性特性需要根据要求进行线性化,例如, 开关控制元件对发电机进行电压自动调整等需要特殊处理,而不一定要求对其作线性化处理, 关于这些问题,可参考文献3,4.综上所述.在遇到非线性系统问题时.可以参考上面提出的方法进行处理当然.还可根据不同的具体问题提出新的处理方法,对于这方面的具体理论和技术工作,不仅需要对控制系统及其控制的对象有深刻的了解.而且还要有丰富的元器件的理论与实际知识.参考文献[1]王士和缩自动电礁装置,大连铁道学院, 1985[2:张冠生主编电器学,规被】:业m版社】980_l3]扬自厚主编自动控制原理,精金1:业出暖社,198O[4]蔡尚峰主编.自动控制理沧,机被业m版社,198l[5]尤德裴主编数字化酬量技术眨但器.机械】= 业出版社1980[6]常健生缩.捡j羹I与转换技术.机被丁=业m版社,1981[7]王士和郭永波带热电阻捡渊播的解舟折法电杂志】99o3[8]王士和孝章武王常有智艟化湿度控制倥●气开善》(1995N0_4)。