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第五章精确线性化方法2012年4月12日星期四5时0非线性控制系统理论与应用本章安排SISO系统输入/输出线性化，SISO非线性系统的标准形，状态反馈精确线性化，系统零动态MIMO系统输入输出精确线性化，状态精确线性化，MIMO系统的动态扩展鲁棒输入/输出线性化问题2012年4月12日星期四非线性控制系统理论与应用本章重点精确线性化的含义精确线性化的要精确线性化的主要思想输入输出精确线性化状态反馈精确线性化2012年4月12日星期四非线性控制系统理论与应用精确线性化方法含义在线性化过程中没有忽略掉任何高阶非线性项, 因此这种线性化不仅是精确的, 而且是整体的, 即线性化对变换有定义的整个区域都适用个区域都适用。
2012年4月12日星期四非线性控制系统理论与应用精确线性化主要思想通过适当的非线性状态和反馈变换,实现状态或输入/输出的精确线性化，将复杂输出的精确线性化将复杂的非线性系统综合问题转化为线性系统的综合问题综合问题。
2012年4月12日星期四非线性控制系统理论与应用微分几何回顾切空间向量场李括号李导数李括号、李导数分布和协分布定理一个正则分布完全可积的 Frobinus定理：一个正则分布完全可积的充要条件是它是对合的。
----某些类型分布或向量场对于的偏微分方程解的存在性定理。
2012年4月12日星期四非线性控制系统理论与应用SISO 非线性系统的标准形定义()()⎪⎫==x h L x Φx h x Φ152()()()()⎪⎪⎭⎪⎬=−x h L x Φf f 12γγM 结论5.2（部分坐标变换）()()1,,2,1−=U i x d Φi γ中是线性无关的。
在导数L ()()()011 0110≠−=−=+−−−x h L L x h L L j i f g j j f g ad ifγγγ时，当()()⎤⎡⎤⎡−0001x h L x dh g ad γL ()()()()()[]()()⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎢⎢⎢⎢⎢⎣=⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎢⎢⎢⎢⎢⎣−−−−****001001000102x h L L x h L L x g ad x g ad x g x h dL x h dL f g f g ad f f f f f fγγγγM M L M 非线性控制系统理论与应用2012年4月12日星期四SISO 非线性系统的标准形结论5.3则向量场定义如下非线性变换为局部微分同胚变换）。
自动控制原理反馈线性化知识点总结自动控制原理中，反馈线性化是一种重要的技术手段，用于对非线性系统进行线性化处理，以便于运用线性控制理论进行分析和设计。
本文将对反馈线性化的知识点进行总结。
一、反馈控制的基本原理反馈控制是指系统通过测量输出信号并与期望信号进行比较，从而产生控制信号作用于系统，使其输出信号趋近于期望值。
反馈控制可以提高系统的稳定性、精度和鲁棒性。
二、非线性系统的线性化1. 线性化的概念线性化是指通过近似处理使非线性系统在某一工作点附近表现出线性系统的特性。
线性化可以使非线性系统的分析和设计更加简化。
2. 线性化方法（1）泰勒级数展开法：通过对非线性函数进行泰勒级数展开，并保留一阶或二阶项，得到线性化后的系统模型。
（2）局部仿射变换法：通过适当的仿射变换，将非线性系统线性化为线性系统。
（3）偏微分方程法：对非线性系统的偏微分方程进行线性化处理，得到线性系统的模型。
三、反馈线性化的基本原理1. 概念反馈线性化是指通过设计反馈控制器，将非线性系统转化为线性系统。
2. 反馈线性化的步骤（1）选择工作点：选择一个具有良好控制性能的工作点作为线性化的基准。
（2）线性化建模：使用线性化方法得到系统在工作点附近的线性模型。
（3）设计反馈控制器：设计合适的反馈控制器，使得线性化后的系统具有期望的响应特性。
（4）验证和优化：通过仿真或实验验证线性化的效果，并对控制器进行优化。
四、反馈线性化的应用1. 飞行器控制在飞行器自动控制系统中，应用反馈线性化技术可以将飞行器的动力学模型线性化，从而进行姿态控制、航迹控制等任务。
2. 汽车悬挂系统控制反馈线性化技术可以将汽车悬挂系统的非线性特性线性化，实现对车身姿态的控制，提高汽车行驶的稳定性和舒适性。
3. 机器人控制在机器人的运动控制中，通过反馈线性化技术可以实现对机器人姿态和轨迹的精确控制，提高机器人的定位和导航能力。
五、反馈线性化的优缺点1. 优点（1）能够将非线性系统转化为线性系统，利用线性控制理论进行设计和分析。
常微分方程的线性化与稳定性常微分方程是数学中的一个重要分支，它描述了自变量的函数对其导数的依赖关系。
许多实际问题可以通过求解常微分方程来得到数学模型，并从中获得有关系统行为的重要信息。
其中，线性化和稳定性是常微分方程研究中的两个关键概念。
本文将介绍常微分方程的线性化方法，并讨论稳定性的概念及其应用。
一、常微分方程的线性化线性化是一种将非线性常微分方程转化为线性常微分方程的方法，通过线性化，我们可以使得原方程的解与线性化方程的解近似相等，从而简化问题的求解过程。
在实际应用中，常常需要对非线性系统进行线性化，以便更好地研究其稳定性、解的性质等。
线性化的基本思想是利用泰勒展开将非线性函数在某点处进行线性近似。
设考虑的非线性方程为：$$\frac{{d^2y}}{{dt^2}} = f(y, \frac{{dy}}{{dt}})$$在某点$(y_0, \frac{{dy}}{{dt}}_0)$处，对$f(y,\frac{{dy}}{{dt}})$进行二阶泰勒展开得到：$$f(y, \frac{{dy}}{{dt}}) = f(y_0, \frac{{dy}}{{dt}}_0) +\frac{{df}}{{dy}}(y-y_0) +\frac{{df}}{{d\frac{{dy}}{{dt}}}}(\frac{{dy}}{{dt}}-\frac{{dy}}{{dt}}_0)$$其中，$\frac{{df}}{{dy}}(y-y_0)$与$\frac{{df}}{{d\frac{{dy}}{{dt}}}}(\frac{{dy}}{{dt}}-\frac{{dy}}{{dt}}_0)$为一阶的线性项。
将其代入原方程得到线性化方程：$$\frac{{d^2y}}{{dt^2}} = f(y_0, \frac{{dy}}{{dt}}_0) +\frac{{df}}{{dy}}(y-y_0) +\frac{{df}}{{d\frac{{dy}}{{dt}}}}(\frac{{dy}}{{dt}}-\frac{{dy}}{{dt}}_0)$$若将$\Delta y=y-y_0$和$\Delta \frac{{dy}}{{dt}}=\frac{{dy}}{{dt}}-\frac{{dy}}{{dt}}_0$作为新的变量，线性化的方程可以写成更简洁的形式：$$\frac{{d^2\Delta y}}{{dt^2}} = \frac{{df}}{{dy}}\Delta y +\frac{{df}}{{d\frac{{dy}}{{dt}}}}\Delta \frac{{dy}}{{dt}}$$这样，我们就将原非线性问题转化为了线性问题。
凯恩斯消费理论的线性化解释摘要：凯恩斯所提出的绝对收入假说消费理论的核心是“边际消费倾向递减”规律，但是现今有关绝对收入假说的解释研究中都没有将这一定律表现在消费函数中。
本文对凯恩斯的绝对收入假说消费理论重新加以解释，并对其消费函数进行修正，最后得出消费函数的一般形式。
关键词：消费函数；边际消费倾向（MPC)消费理论是研究一个经济体所有影响消费的相关因素如何影响消费水平的经济学理论。
对消费理论的研究，西方始于凯恩斯（Keynes,1936）的绝对收入假说（Absolute Income Hypothesis, AIH）。
凯恩斯是第一个把收入和消费联系在一起的经济学家，他的绝对收入假说对以后的经济学家研究收入和消费之间的关系有着非常重要的作用。
在以后的消费理论发展方面出现了几个重要理论，包括由杜森贝里（J.S. Duesenberry，1968）提出的相对收入假说、由弗里德曼(Friedman,1957)提出的永久收入假说、由莫迪格利亚尼（Modigliani,1954）提出的生命周期假说和由霍尔（Hall,1978）提出的随即游走假说。
消费理论的线性化分析即研究能够正确表达该消费理论的消费函数代数表达式。
消费函数是分析一个经济体中所有消费部门在一定条件下消费行为的一般函数，即反映消费与其各个决定因素之间的一般函数关系。
凯恩斯消费理论提出了影响消费水平的最重要因素为收入水平，并建立了基于绝对收入水平的消费函数。
本文主要研究分析凯恩斯消费理论中的“边际消费倾向递减”规律，并对凯恩斯消费函数的线性化形式重新修正，最后对边际消费倾向的取值及政策意义做一些探讨。
一、凯恩斯绝对收入假说消费函数的提出约翰·梅纳德·凯恩斯在1936年出版的《就业、利息和货币通论》曾对其消费理论进行了详细说明，他是这样严谨地描述了他的消费理论：“我们把消费倾向定义为：存在于Yw和Cw之间的函数关系x”①，“消费倾向是一个比较稳定的函数，总消费量一般取决于总收入量。
linearization数学含义一、引言线性化是数学中一个非常重要的概念，它是指将非线性函数或方程转化为线性函数或方程的过程。
通过线性化，我们可以对非线性问题进行近似求解，从而更好地理解和分析问题的本质。
本文将详细解析线性化的数学含义及其应用。
二、线性化的定义线性化是指将一个非线性函数或方程转化为线性函数或方程的过程。
在数学中，线性函数是指函数或方程的输出与输入成正比，而与输入的量纲无关。
而非线性函数则是指函数或方程的输出与输入不成正比，或者与输入的量纲有关。
三、线性化的方法1.泰勒级数展开法泰勒级数展开法是一种常用的线性化方法。
该方法是将一个非线性函数在某一点处展开成泰勒级数，并截取其中线性部分，从而得到该点的局部线性化模型。
截取的项数越多，线性化模型越精确。
2.分段插值法分段插值法是一种基于插值理论的线性化方法。
该方法是将一个非线性函数在每一段区间内用插值多项式进行逼近，从而得到每一段区间的局部线性化模型。
这种方法通常适用于具有明显分段特性的非线性函数。
3.牛顿插值法牛顿插值法是一种利用牛顿差分公式构造插值多项式的方法。
该方法首先需要在数据点处构造差分表，然后利用差分表中的数据构造插值多项式，从而得到局部线性化模型。
牛顿插值法具有较高的计算效率，适用于需要快速求解的情况。
四、线性化的应用1.控制系统设计在控制系统设计中，通常需要将复杂的非线性系统转化为线性系统进行处理。
通过线性化技术，我们可以对非线性系统进行近似处理，从而简化控制器的设计和分析过程。
2.金融风险管理在金融风险管理中，通常需要利用非线性模型对风险进行评估和预测。
通过线性化技术，我们可以将非线性模型转化为线性模型进行计算和分析，从而简化风险管理的过程并提高计算效率。
3.图像处理和计算机视觉在图像处理和计算机视觉领域，非线性模型通常被用于图像增强、特征提取和目标检测等方面。
通过线性化技术，我们可以将非线性模型转化为线性模型进行优化和分析，从而提高图像处理和计算机视觉的性能和精度。
常微分方程知识点总结1. 常微分方程的定义：常微分方程是指包含未知函数及其导数的方程。
一般形式为：dy/dx=f(x,y)。
其中，y为未知函数，x为自变量，f为已知函数。
2.常微分方程的分类：常微分方程可分为一阶常微分方程和高阶常微分方程。
一阶常微分方程包含未知函数的一阶导数，高阶常微分方程则包含未知函数的高阶导数。
3.一阶常微分方程的解法：一阶常微分方程的解法有几种常见的方法。
一种是分离变量法，即将方程两边进行变量分离，然后进行积分。
另一种是齐次方程法，将方程进行变量替换后化为齐次方程，然后进行求解。
还有一种是线性方程法，将方程化为线性方程，然后进行求解。
4.高阶常微分方程的解法：对于高阶常微分方程，常用的方法是特征根法。
通过求解其特征方程得到特征根，然后根据特征根的个数和重数，确定齐次线性微分方程的通解形式。
再根据待定系数法确定非齐次线性微分方程的一个特解，进而得到非齐次线性微分方程的通解。
5.常微分方程的初值问题：常微分方程的初值问题指的是给定一个初始条件，求解满足该条件的函数。
在求解过程中，需要将初始条件代入方程，得到特定的常数，从而确定唯一的解。
6.常微分方程的数值解法：对于一些难以求解的常微分方程，可以采用数值解法进行求解。
常见的数值解法包括欧拉法、龙格-库塔法、亚当斯法等。
这些方法通过将微分方程转化为差分方程，然后进行迭代计算，逼近微分方程的解。
7.常微分方程的稳定性分析：稳定性分析是研究常微分方程解的长期行为。
可以通过线性化理论、相图等方法进行稳定性分析。
线性化理论通过线性化方程，判断非线性常微分方程解的稳定性。
相图是一种可视化的方法，通过绘制解的轨迹图，观察解的长期行为。
8.常微分方程的应用：常微分方程在各个领域都有广泛的应用。
在物理学中，常微分方程可以描述运动学问题、电路问题等。
在工程学中，可以应用于控制系统、电力系统等。
在生物学中，可以用于建立生物模型、研究生物过程等。
总结起来，常微分方程是数学中的一门重要学科，研究的是包含未知函数及其导数的方程。
微分方程线性微分方程线性化后，实际上就变成了一个系数含有p、 q、 r三个变量，另外还含有第四个变量u的一元四次微分方程。
这样的方程对于解决实际问题没有意义。
I们知道，二元系统已知一个变量值（ y=u），那么只要将另一个变量输入，即可算出它的另一个值（ y=b）。
也就是说，要想解决实际问题，只需求出该问题所关心的变量的值即可，而不需求出全部变量的值，这就是线性化方法在微分方程中应用的基本思想。
虽然我们已经使用了两个月的线性化方法，但对于矩阵的线性化，大家还是感到有些困惑。
如何使用线性代数理论将两个变量同时进行线性化呢？因为以前接触过矩阵，对线性代数理论和相关知识有一定的认识，所以我下面从另外一个角度谈谈这个问题。
ado all，要想把两个变量同时进行线性化，必须确保一个矩阵为方阵，并且在每一列都含有一个元素。
对于上面的表达式x=v y=b，其中， y=b是定值，所以，我们只要找出函数v，满足下面两个条件，就可以把两个变量线性化。
Vy都是正定的，那么， v和v的差肯定是正定的。
于是，我们可以把以前的表达式改写成x=vy=k x的形式，如果v=k v，那么，上述两式就变成x=v y=b。
如果v=0，那么， x=v y=0，上面两式又变成x=v y=k，从上面的分析，可以看出，矩阵只有正定性才能满足条件，但是，并非所有矩阵都是正定矩阵，一般情况下，当b=0， k=-1，Vy=0，但是，当b不等于0， k=-1时， vy不可能是0，所以不能用来作为原始函数的参数，也就是说，可以把这种矩阵视为一个原始函数。
因此，必须把上面的表达式按照正定的形式转化成原始函数的形式。
也就是说，在使用矩阵的线性化之前，首先要使用线性代数中的正定性来判断矩阵是否是正定矩阵，如果是，才可以把原始函数按照正定的形式线性化。
由此可见，学好线性代数非常重要。
Vy都是正定的，那么，根据线性化理论，就可以把两个变量同时进行线性化了，方法是：首先要把它们线性化成正定矩阵的形式，再利用线性代数中的正定性把它们线性化成原始函数的形式。
数学中的动力系统理论在数学中的动力系统理论是研究动力学系统行为的数学分支。
这个理论的发展深深地影响了现代数学和其他学科的发展，并为解释自然界的现象提供了强大的工具。
本文将介绍动力系统理论的基本概念和一些重要的应用。
一、动力系统的基本概念动力系统是指随时间演化的系统。
它可以用一组微分方程或差分方程来描述系统的演化规律。
一个动力系统通常由状态空间、演化规律和初始条件三个要素组成。
1. 状态空间状态空间是描述系统可能状态的集合。
通常用一个n维欧几里得空间来表示，其中n代表系统的自由度。
状态空间中的每一点代表着系统某一时刻的状态。
2. 演化规律演化规律是表示系统状态如何随时间变化的规则。
在连续动力系统中，演化规律由一组微分方程表示；而在离散动力系统中，演化规律由一组差分方程表示。
3. 初始条件初始条件是系统在某一时刻的状态。
它决定了整个系统在之后的演化过程中的行为。
二、动力系统的稳定性分析动力系统理论的一个重要方面是研究系统的稳定性。
稳定性分析可以帮助我们判断系统在长时间演化中的行为，并预测系统的未来状态。
1. 平衡点和不动点平衡点是指系统中状态不随时间变化的点。
在连续动力系统中，平衡点满足微分方程的右端为零；在离散动力系统中，平衡点满足差分方程的右端为零。
2. 稳定性类型根据线性化理论，可以将平衡点分为不同的稳定性类型。
其中最常见的类型是稳定点、不稳定点和半稳定点。
稳定点指的是当初始条件足够接近平衡点时，系统状态会趋向于平衡点；不稳定点指的是当初始条件足够接近平衡点时，系统状态会远离平衡点；半稳定点指的是当初始条件足够接近平衡点时，系统状态会在某些方向上趋向平衡点，而在其他方向上远离平衡点。
三、动力系统的应用动力系统理论在科学和工程领域有着广泛的应用。
以下列举几个重要的应用领域：1. 天体力学动力系统理论被广泛应用于研究行星运动、天体轨道、恒星动力学等天文学问题。
通过分析动力系统的稳定性和轨道形状，科学家能够预测行星和其他天体的未来运动。
对于非线性特征明显的对象，需要先将非线性系统进行线性化，才能应用常见的线性分析方法。
IAS 系统中，空气弹簧的作用力与所施加激励之间存在明显的非线性关系，而减振器作用力与施加激励也存在非线性关系，所以IAS 系统是典型的非线性系统。
精确线性化方法通过恰当的非线性状态反馈和非线性坐标变换（或动态补偿），将一个非线性系统变换成(部分或全部地)线性系统。
精确线性化方法基于微分几何理论，通过对系统输入输出的解耦，实现非线性系统的线性化。
在非线性系统线性化后，可引入相关的控制理论实现对减振器阻尼的切换。
在介绍精确线性化方法前，先介绍两个概念：李导数、相对阶。
设如下n 阶非线性系统
()()()
x f x g x u y h x =+⎧⎨=⎩ 其中，状态量0x X ∈，,f g 为n 维光滑向量场h 为光滑函数。
n x ∈R ，系统的输入1u ∈R ，系统的输出1y ∈R 。
(1) 李导数（Lie Derivative ）
对系统（3.25）的输出方程求导数
(()())()()f g dh
dh
y x f x g x u L h x L h x u dx dx ==+=+ (0.1)
在式（3.17）中，定义()()f dh L h x f x dx ∆
=，()()g dh L h x g x dx ∆=为李导数，f L 代表()h x 沿着
系统的轨迹的导数。
(2) 相对阶（relative degree ） 定义3.2（相对阶）： 0x X ∈，如果存在0x 的邻域V 及正整数r 使（3.16）满足以下两个条件：
① ()0k g f L L h x =,x V ∀∈,01k r ≤<-；
② 1()0r g f L L h x -≠, x V ∀∈；
则称系统（3.16）的相对阶为r 。
以单输入单输出系统（SISO ）为例，说明精确线性化原理：利用系统的输出方程得到所需要的坐标变化和状态反馈，实现系统的精确线性化【徐兴大论文，89-91】。
对输出y 求导，假如在1r -次及以前不出现u ，而在r 次时方程中出现输入量u ，即
. (0.2)
如果继续对式3-18求导，则会出现u 的高阶导数，此时r 就是系统式（3.16）的相对阶数。
由此可以发现，相对阶r 就是系统输入和输出之间的积分次数，更加直观地揭示其物理意义错误！未找到引用源。
假如r n =，此时可以选择如下的坐标变换()x φ
(1)()r y
y z x y φ-⎧⎪⎪==⎨⎪
⎪⎩ (0.3)
则原系统简化成如下形式
12231(,,)n n n z
z z z z f z z u =⎧⎪=⎪⎨
⎪⎪=⎩
(0.4)
对于其中的最后一式，再引入“虚拟输入量”v ，令
1(,,)()n f z z u v t = (0.5)
则原系统可以完全线性化为如下的一组积分器串联的最简形式
1223n z
z z z z v =⎧⎪=⎪⎨⎪
⎪=⎩ (0.6)
对于系统（3.22），可以按照线性系统理论来设计其输入()v t 。
然后由式（3.21）可以解得原系统的精确线性化控制律为
1()(,,)n u t g z z u = (0.7)
而对于相对次数r n <的系统，可以按照类似的方法进行设计。
