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第11章 约束问题的线性化方法

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机器学习原理及应用课件第11章

机器学习原理及应用课件第11章

出函数。
ReLU函数
2
ReLU (Rectified Linear Unit)函数是目前广泛使用的一种
激活函数。
Tanh函数
3
使用Tanh的神经网络往往收敛更快。
4
Softmax函数
Softmax函数常用于将函数的输出转化为概率分布。
Softmax可以看作是arg max的一个平滑近似。
多层感知机
梯度爆炸
梯度爆炸问题与梯度消失问题正好相反。如果神经网络的中参 数的初始化不合理，由于每层的梯度与其函数形式、参数、输 入均有关系，当连乘的梯度均大于1时，就会造成底层参数的梯 度过大，导致更新时参数无限增大，直到超出计算机所能表示 的数的范围。模型不稳定且不收敛。实际情况中，人们一般都 将输入进行规范化，初始化权重往往分布在原点周围，所以梯 度爆炸发生的频率一般要低于梯度消失。缓解梯度消失问题的 主要方法有：对模型参数进行合适的初始化，一般可以通过在 其他大型数据集上对模型进行预训练以完成初始化，例如图像 分类任务中人们往往会将在ImageNet数据集上训练好的模型参 数迁移到自己的任务当中；进行梯度裁剪，即当梯度超过一定 阈值时就将梯度进行截断，这样就能够控制模型参数的无限增 长。从而限制了梯度不至于太大；参数正则化，正则化能够对 参数的大小进行约束，使得参数不至太大等。
五、卷积神经网络
卷积
介绍卷积神经网络之前，首先介绍卷积的概念。由于卷积神经网络主要用于计算 机视觉相关的任务中，我们在这里仅讨论二维卷积，对于高维卷积，情况类似。
五、卷积神经网络
下一层使用卷积核在特征图上滑动并不断计算卷积输出而获得特征图每层卷积的计算
结果。卷积核可以视为一个特征提取算子。卷积神经网络的每一层往往拥有多个卷积

最优化方法-约束非线性最优化方法

最优化方法-约束非线性最优化方法

解: 令 极大点的必要条件:
L( X ) x12 x2 1 ( 2 x12 2 x1x2 24 )
* * * * * (L / x1 ) x*, * 2 x1 x2 41 x1 21* x2 0 x1 2 * *2 * * x2 4 (L / x2 ) x*, * x1 21 x1 0 * *2 * * * (L / 1 ) x*, * (2 x1 x2 2 x1 x2 24 ) 0 1 1
j 1
以及
h (x)=0， j=1,2, …,l
一、等式约束性问题的最优性条件： (续) 几何意义是明显的：考虑一个约束的情况：
－▽f(x*)
-▽f(ㄡ )
h(x)
这里 x* ---l.opt. ▽f(x*)与 ▽h(x*) 共线，而ㄡ非l.opt. ▽f(ㄡ )与▽h(ㄡ )不共线。
ㄡ ▽h(ㄡ )
充分条件: 如果 L( X *, ) 0 且行列式方程:
所有根Zj>0(j=1,2,…,n-l)，则X*为局部极小点；反 之所有Zj<0，为局部极大点；有正有负非极值点
例题4-1用拉格朗日乘子算法求解:
max f ( X ) x12 , s.t. h1 ( x) 2x12 2x1x2 24 0
2 i 1 j 1 m l
这里( M k , g ( X ), h( X ))是惩罚项： k CM k 1 M 0, 满足约束 ( M k , g ( X ), h( X )) 0, 不满足约束
例题４－３用外点法求解
2 min f ( X ) x12 x2 , s.t. 2x1 x2 4, x1 , x2 0

约束方程的建立方法

约束方程的建立方法

约束方程的建立方法
一、定义变量和参数
在建立约束方程之前，首先需要明确定义问题中的变量和参数。

变量通常包括决策变量、状态变量等，而参数则可以是常数或非常数。

决策变量通常是问题中需要求解的未知数，状态变量则是描述系统状态的变量。

二、建立数学模型
建立数学模型是约束方程建立过程中的重要步骤。

数学模型通常由方程式或不等式组成，用于描述变量之间的关系。

在建立数学模型时，需要选择适当的数学工具和方法，如微积分、线性代数、优化理论等。

三、考虑边界条件
边界条件是指对问题的某些约束或限制条件。

例如，某个变量的取值范围、函数的极值条件等。

在建立约束方程时，需要考虑这些边界条件并将其纳入方程中。

四、处理复杂模型
对于复杂模型，可能需要采用分治策略或逐步逼近法进行求解。

分治策略是将问题分解为若干个子问题，分别求解后再综合得到原问题的解。

逐步逼近法则是通过逐步改进逼近值来求解问题。

五、验证与求解
建立约束方程后，需要对所建立的方程进行验证，确保其正确性和可行性。

验证过程中可以采用代数方法、数值模拟等方法。

一旦验证通过，就可以采用适当的求解方法对约束方程进行求解，以得到问题的解。

约束优化方法

约束优化方法
约束优化方法
约束优化方法概述 约束优化问题的最优解及其必要条件 约束坐标轮换法 约束随机方向法 复合形法 惩罚函数法
教学要求： 1、掌握约束优化局部最优解的必要条件。 2、掌握复合形法得原理及程序设计。 3、掌握内点法和外点法的惩罚函数的构造原理及 程序设计。
约束优化方法概述
可行性：迭代点必须在约束条件所限制的可行域内，即满足 gu(x)0, u=1,2,…,p 适用性：当前迭代点的目标函数值较前一点是下降的，即 满 F(xk+1)<F(xk)
2、间接法
该方法可以求解等式约束优化问题和一般约束优化问题。 其基本思想是将约束优化问题通过一定的方法进行改变，将 约束优化问题转化为无约束优化问题，再采用无约束优化方 法进行求解。如：惩罚函数法
5.2 约束优化问题极小点的条件
约束优化问题极小点的条件，是指在满足约束条 件下，目标函数局部极小点的存在条件。 约束问题最优解的存在条件有两种：一是极小点在 可行域内部，二是极小点在可行域的一个或几个边界交 汇处。 5.2.1 不等式约束问题解的必要条件 第一种情况：如图所示， g1(x*)=0， g2(x*)>0， g3(x*)>0。所以g1(x)为起作用约束， g2(x)、 g3(x)为不 起作用约束。 由于约束最优点是目标函数与约束g1(x)边界的切点， 故目标函数与约束函数的梯度必共线，而且方向一致。
λu μv称为拉格朗日乘子 上式也称为约束优化问题局部最优点的必要条件。
在迭代点 为
处展开式的形式
一般情况下，其作用约束数J不大于问题的维数 其中 是待定系数矢量
……
解上式，得一组λj（j=1，2……J），如果λj（j=1， 2……J）均为非负，标志 满足K-T条件。该条件 是 为极小点的必要条件。 如果点 是最优点，则必须满足K-T条件； 反之，满足K-T条件的点则不一定是约束最优点。 只有当目标函数是凸函数，约束构成的可行域是凸集 时，则满足K-T条件的点 是全局极小点的必要而充 分条件。

约束问题的最优化方法

约束问题的最优化方法
(k ) (k ) m
1 u 1 g ( x ) u
m
其中：gu ( x) 0, u 1,2,...m
1 u 1 g ( x ) u m 1 (k ) (k ) ③ . ( x, r ) f ( x) ru u 1 g u ( x) m 1 (k ) (k ) ④ .( x, r ) f ( x) r 2 u 1 [ g ( x )] u
min . g k x s.t. x Rn gu x g k x gu x 0
0
0
u 1, 2,..., S 1 u S 1,..., m

以求得的设计点作为新初始点，继续其判断可行性，若仍有不
满足的约束，则重复上述过程，直至初始点可行。
的选择：
要求： ①
② 方法： ①
在可行域内；
不要离约束边界太近。 人工估算，需要校核可行性；
②
计算机随机产生，也需校核可行性。
§5.2 内点惩罚函数法
方法： ③ 搜索方法： 任意给出一个初始点； 判断其可行性，若违反了S个约束，求出不满足约束中的最大值： g k ( x 0 ) max{ gu x 0 } u 1,2,..., S； 应用优化方法减少违反约束：
uI


Z
I为违反约束的集合。
g u x ， 当 g u x 0时， maxg u x ,0 { 0 ，当g u x 0时， x, r

(k )
{
f x r k maxg u x ,0 f x
uI
Z
Z一般取2。
k
k
(k )
H [h ( x

第11章约束问题的线性化方法

第11章约束问题的线性化方法
11 约束问题的线性化方法
非线性约束问题求解策略
1. 转化为无约束问题
Lagrange乘子法 惩罚函数法
2. 线性化 3. 直接搜索等其它方法
线化方法：Taylor展开
11.1线性逐次逼近算法
线性约束问题 非线性约束问题
11.1.1线性约束问题
在初始点x0线化
线性约束问题算法
最优化准则：
线性搜索
基本解： 相对收益：
最优化准则： c%³ 0
凸单纯形算法
凸单纯形算法
11.3.3既约(Reduced)梯度方法
类似于无约束优化的梯度算法（Cauchy
算法）。搜索方向d 为梯度的负方向
约化梯度为 ，即凸单纯形算法中非基 本量的相对收益。可以证明，它实际上 是在约束条件(m个)下的以非基本变量为 独立变量(n-m)的梯度： ? f% ¶ f
11.3.2单纯形方法推广
单纯形方法回顾
约束标准型：
最优化准则： 所有非基本
变量的相对收益 大于或等于0
基本解： 相对收益： 基本变量的 选取与替换：
新的可行基本解：
单纯形方法推广到线性约束问题：凸单纯形方法
( ) m inimize Ñf x 0 x
勋f (x 0) c
约束标准型：
相对收益：
最优解可能不在顶点， 非基本变量可能不为0
步长限制，惩罚函数 适用于非线性不强的问题
分段线性逼近算法
精度随格点数增加而增加 要求函数可分离
11.3搜索方向的线性化生成
11.3.1可行方向算法
可行方向算法
例：可行方向算法
例：可行方向算法
例：可行方向算法
…
可行方向算法修正

正定式约束下广义几何规划的一种线性化方法_韩学锋


第1 期
韩学锋， 等： 正定式约束下广义几何规划的一种线性化方法
25
2
线性化过程
令 f1 （ x ） = f2 （ x ） = ∑ c0j exp ( ∑ a0ji x i ) ，
j =1 i =1 m n
A = （ a ji ） ∑ c0j exp ( ∑ a0ji x i ) ，
j =1 i =1
x∈ Z x∈ Z
假设 1 性质 4
（ GGP） 有最优解． * （ DCGGP ） 也有最优解， x * 为 （ DCGGP ） 的最 在假设 1 成立的条件下， 若 t 为 （ GGP ） 的最优解，
* x* * * * ^） ． ^， （ P y ） 也有最优解 x 且 y0 （ t ） = f（ x ） ， 同时对于 y∈Z， 优解， 则t =e ， 满足 f（ x ） ≤h（ x x 所以两者是一个等价的规划问题 ， 证明 因为（ DCGGP） 是由（ GGP） 在 t = e 的变换下得到的规划问题， * x* * * 所以 （ P y ） 一定有最优解， 再由性质 3 的 2 ） 知， 故有 t = e 且 y0 （ t ） = f （ x ） 成立． 因为 （ P y ） 为凸规划，
T （ y） （ x － y） ， y ∈Ｒ n ． L （ x ） = f2 （ y ） + g2
（ 5）
引入规划问题： 对于 y∈Ｒ ，
T min h（ x） = c0j exp ( ∑ a0ji x i ) － f2 （ y） － g2 （ y） （ x － y） ， ∑ j =1 i =1 Mλ n s． t h （ x） = ∑ c j exp ( 2， …， M． λ = 1， a λji x i ) － 1 ≤ 0 ， λ λ ∑ j =1 i =1 m n

现代设计方法-优化设计5-约束优化课件


x2
xc x
xr
x2 x xc xr
xh
xh
x1
学习交流PPT
x1 9
无约束单纯形法----（4）压缩
f(xr) 最少比第二最大值大.
4.如果f(xc)f(xh’),xc ->xh（上图） 否则（反射点和收缩点函数值都比较大），以xl 为中心压缩整个单纯形（极小值点在压缩的单纯 性内）：
xi=xi+0.5(xl-xi), i=0,1,2,…,n
n
x= 1 n
x i ---除最高点外的所有点的形心
i 0 ,i h
xr=x+a(x-xh)
x2
x
xr
---反射点，a反射系数，一般取 a=1.
xh
x1
学习交流PPT
6
无约束单纯形法 ---（2）扩张
f(xr)比所有单纯形点上值小
分三种情况产生新点: 1。如果f(xl)>f(xr), 进一步扩展
x2
x2
xh
x学习h 交流PPT
xl
10
2. 复合形法
(1) 算法思想
对于n维变量空间,单纯形是n+1个顶点. 复合形法是多个单纯形合并成的超多面体,顶点数n+1.
复合形法与单纯形极为相似,其不同之处: 1.复合形法不限制顶点个数为n+1,复合形法顶点个数是k,
2nkn+1.
2.复合形法需要检查顶点的可行性, 即是否满足约束.
➢ 单纯形与复合形法 ➢ 随机方向法 ➢ 可行方向法 ➢ SQP方法 ➢ 惩罚函数法
学习交流PPT
3
约束问题优化方法
➢ 直接法
➢复合形法 ➢随机方向法 ➢可行方向法 ➢序列二次规划

约束问题的最优化方法


m
⑤ .Φ ( x, r ) = f ( x) − r ∑ ln[− g u ( x)]
(k )
其中：惩罚（加权）因子 降低系数 c：
r ( 0 ) > r (1) > ....r ( k )
0< c <1
r ( k −1) ⋅ c = r ( k )
xk * → x *
当lim r ( k ) → 0
新目标函数： Φ ( x, r1 , r2 ) =
(k ) M
(k ) p
G[ g u ( x)] + r2 ∑ H [hv ( x)] f ( x) + r1 ∑ u =1 v =1
m
p
H [hv ( x)] 其中r ∑ G[g u ( x)] 和 r ∑ 称为加权转化项，并根据它们在惩 v =1 u =1 罚函数中的作用，分别称为障碍项和惩罚项。
2、等式约束优化问题（EP型）
x ∈ D ⊂ Rn s.t. hv ( x ) = 0, v = 1,2,..., q min F ( x )
3、一般约束优化问题（GP型）
x ∈ D ⊂ Rn s.t. g u ( x ) ≥ 0, u = 1,2,..., p hv ( x ) = 0, v = 1,2,..., q min F ( x )
(k ) u =1 m
lim r2 H [hv ( x ( k ) )] = 0
k →∞
lim[Φ ( x ( k ) , r1 , r2 ) − f ( x ( k ) )] = 0 k →∞
(k ) (k )
分类： 根据约束形式和定义的泛函及罚因子的递推方法等不同，罚函 数法可分为内点法、外点法和混合罚函数法三种。 这种方法是1968年由美国学者A．V．Fiacco和G．P．Mcormick 提出的，把不等式约束引入数学模型中，为求多维有约束非线性规 划问题开创了一个新局面。 适用范围：求解等式约束优化问题和一般约束优化问题。

约束优化算法PPT课件


令
，上述方程组即
给定初始点
，利用上面两式进行迭代
解等式约束问题的－ Lagrange-Newton法
定理 假设 x*是等式约束问题的满足二阶充分条件的局
部极小点, 且rank (A*)=m， 是惟一的Lagrange乘子.
则当
充分接近
时，Lagrange-Newton
法有定义，且由该方法产生的序列
二次
特点：在 x1=1 处不可微；进行整理，得
结论：对任一
罚函数的解与原问题的相同
第6讲 约束优化问题的算法
优化理论
数学与系统科学学院
精确罚函数法(续)
⊙ 先验确定惩罚参数很难；通常是计算一系列子问题， 并在计算过程中调整该参数
⊙ 与逐步二次规划法有密切联系；SQP的线搜索实现中 通常以 惩罚函数作为评价函数
则s*=0 (x*)是下列问题的惟一最优解
第6讲 约束优化问题的算法
优化理论
数学与系统科学学院
基本/局部逐步二次规划法(续)
算法9.2 基本SQP法
第6讲 约束优化问题的算法
优化理论
数学与系统科学学院
基本/局部逐步二次规划法(续)
例
第6讲 约束优化问题的算法
优化理论
数学与系统科学学院
基本/局部逐步二次规划法(续)
优化理论
数学与系统科学学院
二次惩罚函数法(续)
条件数
第6讲 约束优化问题的算法
优化理论
数学与系统科学学院
精确罚函数法 SQP中常用*****
一定条件下，
存在
，当
特点：不需要
时，求解 ；是非光滑的！
避免了无约束优化问题的病态性！
例
即可
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11.3.4广义既约梯度(GRG)方法
推广约化梯度方法到一般的非线性优化 问题 GRG基本思想：等式约束可以通过消元 的办法化为无约束问题
将等式约束线化 消元 化为无约束形式
应用无约)方法
首先考虑等式约束问题，目标函数和约 束都是非线性的：
基本GRG算法
( )
勋f x 0
( )
c
约束标准型：
相对收益： 最优解可能不在顶点， 非基本变量可能不为0 线性搜索 最优化准则： 最优化准则： % c³ 0 基本解： 相对收益：
凸单纯形算法
凸单纯形算法
11.3.3既约(Reduced)梯度方法
类似于无约束优化的梯度算法（Cauchy 算法）。搜索方向d 为梯度的负方向 约化梯度为 ，即凸单纯形算法中非基 本量的相对收益。可以证明，它实际上 是在约束条件(m个)下的以非基本变量为 独立变量(n-m)的梯度： % ¶ f
?f ¶x
称为约化梯度，是在非基本变量子空间中 的梯度。
11.3.3既约(Reduced)梯度方法
确 定 搜 索 方 向 基本量的 ： 非基本量子空间 中的搜索方向： 中的搜索方向：
x
：
11.3.3既约(Reduced)梯度方法
11.3.3既约(Reduced)梯度方法
约化梯度方法的加速
共轭梯度 准牛顿方法
1、约束的线化 、
2、选择独立变量，即分解为基本量与非基本变量 、选择独立变量， 基本量，即非 独立变量的系 数矩阵： 非基本量，即 独立变量的系 独立变量 数矩阵：
基本GRG算法
3、以非基本变量为独立变量，在线化的约束中解出基本量，实现消元 、以非基本变量为独立变量，在线化的约束中解出基本量，
4、计算目标函数的梯度（独立变量为非基本变量为），即线性规划中的相对收益 、计算目标函数的梯度（独立变量为非基本变量为），即线性规划中的相对收益 ），
惩罚逐次线性规划算法
例：惩罚逐次线性规划方法
限制步长求解
线化
例：惩罚逐次线性规划方法
x(1)点的惩罚函数计算
点线化求解： 在x(1)点线化求解：
例：惩罚逐次线性规划方法
点线化求解： 在x(2)点线化求解：
点线化求解： 在x(3)点线化求解：
…
11.2可分离规划：分段线性近似
分段线性逼近
单变量分段线性近似
解决办法：将 解决办法
往约束曲面上投影，在投影上进行线性搜索：
具体方法： 具体方法： （1）给定α，解出
（2）调变α，使f(x)最速下降
完整GRG算法
完整GRG算法
11.3.5 最一般情形的GRG算法
包含不等式约束，定义域有上下界
定义域边界处理：两种方法
① 将其作为不等式约束 ② 在基本GRG算法过程中对边界特殊处理
5、梯度为0即是最优化的必要条件，可作为收敛准则 、梯度为 即是最优化的必要条件 即是最优化的必要条件， ≤
基本GRG算法
6、确定搜索方向 、
7、在搜索方向上线性搜索 、
返回4 返回
基本GRG算法修正
问题：搜索方向d具有下降的性质，这是由于 是下降的，而 问题 一般不具有这个性质，因此会导致在d方向上搜索会违反约束
单纯形方法求解： 单纯形方法求解：
精确解
总结
逐次线性逼近算法
步长限制，惩罚函数 适用于非线性不强的问题
分段线性逼近算法
精度随格点数增加而增加 要求函数可分离
11.3搜索方向的线性化生成
11.3.1可行方向算法
可行方向算法
例：可行方向算法
例：可行方向算法
例：可行方向算法
…
可行方向算法修正
不等式约束的处理：两种方法
① 加入松弛变量，化为等式约束 ② 在基本GRG算法过程中对边界特殊处理
11 约束问题的线性化方法
非线性约束问题求解策略
1. 转化为无约束问题
Lagrange乘子法 惩罚函数法
2. 线性化 3. 直接搜索等其它方法
线化方法：Taylor展开
11.1线性逐次逼近算法
线性约束问题 非线性约束问题
11.1.1线性约束问题
在初始点x0线化
线性约束问题算法
例：三级压缩机优化设计
目标：选择中间级大力，最大限度节能
例：三级压缩机优化设计
11.1.2非线性约束问题
在点x(t)线化
例：弱非线性问题的逐次线化求解
线化
应用线性规划算法求解
例：弱非线性问题的逐次线化求解
…
11.1.2非线性约束问题
对于较强的非线性问题，逐次线化方法 会导致发散，解决办法：
① 限制步长：区域越小线性近似越准确 ② 使用惩罚函数
ε微扰法 Topkis–Veinott方法
11.3.2单纯形方法推广
单纯形方法回顾
约束标准型：
基本解： 相对收益： 基本变量的 选取与替换： 最优化准则： 所有非基本 变量的相对收益 大于或等于0
新的可行基本解：
单纯形方法推广到线性约束问题：凸单纯形方法 凸单纯形方法
m inimize Ñ f x 0 x
多变量可分离规划
前提：函数可分离
多变量可分离规划
例：多变量函数线性近似
% f2 (x 2 ) = L
例：可分离规划求解
例：可分离规划求解
x1的网格点选取： 的网格点选取： 的网格点选取
函数的分段线性近似： 函数的分段线性近似：
例：可分离规划求解
线化之后的线性规划标准形式： 线化之后的线性规划标准形式：