反馈线性化设计方法_1(6)
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自动控制原理非线性分析知识点总结
自动控制原理非线性分析知识点总结自动控制原理是工程领域中的一门重要学科，它研究的是如何通过设备和技术手段，使得系统的运行能够自动控制并满足特定的性能要求。
非线性分析则是探讨系统在非线性条件下的行为特性。
在这篇文章中，我们将对自动控制原理中的非线性分析知识点进行总结。
一、非线性系统的定义与特点非线性系统是指系统的输出与输入之间的关系不是简单的比例关系，而是呈现出非线性的特征。
与线性系统相比，非线性系统具有以下几个特点：1. 非线性叠加性：系统的输出并不是输入信号的简单叠加，而是受到系统自身状态和非线性特性的影响。
2. 非线性失稳性：非线性系统可能会出现失稳现象，即系统的输出会趋向于无穷大或无穷小。
3. 非线性动态行为：非线性系统在输入信号发生变化时，其输出信号的变化可能是不连续的，出现跳跃、震荡等现象。
二、非线性系统的分析方法1. 相平面分析法：通过绘制相平面图，可以直观地了解系统的非线性行为。
相平面图可以显示出系统的轨迹、奇点等信息，帮助我们分析系统的稳定性和动态特性。
2. 频域分析法：利用频域分析方法，我们可以对非线性系统进行频谱分析，找出系统的频率响应和频率特性。
通过分析系统的幅频特性和相频特性，我们可以判断系统的稳定性和动态性能。
3. 时域响应分析法：时域分析是对系统的输入信号与输出响应进行时间上的观察和分析。
通过观察和分析系统的阶跃响应、脉冲响应、频率响应等，可以推断出系统的稳定性和动态特性。
4. 广义函数法：广义函数是处理非线性系统时常用的一种数学方法。
通过引入广义函数，我们可以简化非线性系统的数学描述，方便进行分析与计算。
5. 数值模拟方法：对于复杂的非线性系统，我们可以利用计算机进行仿真和数值模拟，通过对系统的模拟实验，得到系统的动态行为和性能参数。
三、非线性系统的稳定性分析1. 稳定性概念：稳定性是衡量系统响应的一种重要指标。
对于非线性系统，我们通常关注的是渐近稳定性和有界稳定性。
无人机飞行控制方法概述
2017-10-08 GaryLiu 于四川绵阳无人机的飞行控制是无人机研究领域主要问题之一。
在飞行过程中会受到各种干扰，如传感器的噪音与漂移、强风与乱气流、载重量变化及倾角过大引起的模型变动等等。
这些都会严重影响飞行器的飞行品质，因此无人机的控制技术便显得尤为重要。
传统的控制方法主要集中于姿态和高度的控制，除此之外还有一些用来控制速度、位置、航向、3D轨迹跟踪控制。
多旋翼无人机的控制方法可以总结为以下三个主要的方面。
1.线性飞行控制方法常规的飞行器控制方法以及早期的对飞行器控制的尝试都是建立在线性飞行控制理论上的，这其中就有诸如PID、H∞、LQR以及增益调度法。
1)PIDPID控制属于传统控制方法，是目前最成功、用的最广泛的控制方法之一。
其控制方法简单，无需前期建模工作，参数物理意义明确，适用于飞行精度要求不高的控制。
2)H∞H∞属于鲁棒控制的方法。
经典的控制理论并不要求被控对象的精确数学模型来解决多输入多输出非线性系统问题。
现代控制理论可以定量地解决多输入多输出非线性系统问题，但完全依赖于描述被控对象的动态特性的数学模型。
鲁棒控制可以很好解决因干扰等因素引起的建模误差问题，但它的计算量非常大，依赖于高性能的处理器，同时，由于是频域设计方法，调参也相对困难。
3)LQRLQR是被运用来控制无人机的比较成功的方法之一，其对象是能用状态空间表达式表示的线性系统，目标函数是状态变量或控制变量的二次函数的积分。
而且Matlab软件的使用为LQR的控制方法提供了良好的仿真条件，更为工程实现提供了便利。
4)增益调度法增益调度（Gain scheduling）即在系统运行时，调度变量的变化导致控制器的参数随着改变，根据调度变量使系统以不同的控制规律在不同的区域内运行，以解决系统非线性的问题。
该算法由两大部分组成，第一部分主要完成事件驱动，实现参数调整。
如果系统的运行情况改变，则可通过该部分来识别并切换模态；第二部分为误差驱动，其控制功能由选定的模态来实现。
自动控制原理反馈线性化知识点总结
自动控制原理反馈线性化知识点总结自动控制原理中，反馈线性化是一种重要的技术手段，用于对非线性系统进行线性化处理，以便于运用线性控制理论进行分析和设计。
本文将对反馈线性化的知识点进行总结。
一、反馈控制的基本原理反馈控制是指系统通过测量输出信号并与期望信号进行比较，从而产生控制信号作用于系统，使其输出信号趋近于期望值。
反馈控制可以提高系统的稳定性、精度和鲁棒性。
二、非线性系统的线性化1. 线性化的概念线性化是指通过近似处理使非线性系统在某一工作点附近表现出线性系统的特性。
线性化可以使非线性系统的分析和设计更加简化。
2. 线性化方法（1）泰勒级数展开法：通过对非线性函数进行泰勒级数展开，并保留一阶或二阶项，得到线性化后的系统模型。
（2）局部仿射变换法：通过适当的仿射变换，将非线性系统线性化为线性系统。
（3）偏微分方程法：对非线性系统的偏微分方程进行线性化处理，得到线性系统的模型。
三、反馈线性化的基本原理1. 概念反馈线性化是指通过设计反馈控制器，将非线性系统转化为线性系统。
2. 反馈线性化的步骤（1）选择工作点：选择一个具有良好控制性能的工作点作为线性化的基准。
（2）线性化建模：使用线性化方法得到系统在工作点附近的线性模型。
（3）设计反馈控制器：设计合适的反馈控制器，使得线性化后的系统具有期望的响应特性。
（4）验证和优化：通过仿真或实验验证线性化的效果，并对控制器进行优化。
四、反馈线性化的应用1. 飞行器控制在飞行器自动控制系统中，应用反馈线性化技术可以将飞行器的动力学模型线性化，从而进行姿态控制、航迹控制等任务。
2. 汽车悬挂系统控制反馈线性化技术可以将汽车悬挂系统的非线性特性线性化，实现对车身姿态的控制，提高汽车行驶的稳定性和舒适性。
3. 机器人控制在机器人的运动控制中，通过反馈线性化技术可以实现对机器人姿态和轨迹的精确控制，提高机器人的定位和导航能力。
五、反馈线性化的优缺点1. 优点（1）能够将非线性系统转化为线性系统，利用线性控制理论进行设计和分析。
6反馈线性化
• 模型要比较精确但易于处理 • 建模不仅仅是得到物理系统的标称模型，也要提供模型不确定性
的特性，以便进行鲁棒设计、自适应设计或仿真。模型不确定性 是模型和实际物理系统之间的差距。
（2）反馈和前馈
反馈在非线性系统控制器设计中也起着基本作用 和线性控制相比，前馈在非线性控制中的重要性更加明显
前馈用来抵消已知干扰的影响，提供预期的动作
全局微分同胚很少，经常使用局部微分同胚。
给定一个非线性映射，如何判断出它是否是局部微分同胚?
光滑映射 ( x)定义在R n中的一个区域上，如果雅可比矩阵 在中的一点x x0上是非奇异的，则(x)是定义在x0的一个邻域
上的局部微分同胚
判断\phi(x)是否局部微分同胚？
z1
z2
(x)
2
x1 3
注：如果控制目标是驱使状态到达某个非零点x_{d}，我们可以将 x-x_{d} 看作状态，将问题化为零点调节问题。
••
例：倒立摆镇定问题 J mgl sin
任务是将摆从 \theta 较大的角度控制到垂直的位置
•
可以选择镇定器为 kd k p mgl sin
••
•
得到全局稳定的闭环系统J kd k p 0
➢ 线性控制系统中，期望性态包括时域情形和频域情形
时域：上升时间、超调量、调节时间 频域：传递函数的低频和高频特性等
➢ 对非线性系统的规定没这么系统化、明显
非线性系统对一个指令的响应不能反映对其它指令的响应；
对其频域描述是不可能的
期望性态通常考虑下面性质： ① 稳定性 ② 响应的精度和速度
③ 鲁棒性（系统工作时，应当能够抵挡一些被忽略因素的影响） ④ 代价
代数变换把系统转变为能控标准形
的特性，以便进行鲁棒设计、自适应设计或仿真。模型不确定性 是模型和实际物理系统之间的差距。
（2）反馈和前馈
反馈在非线性系统控制器设计中也起着基本作用 和线性控制相比，前馈在非线性控制中的重要性更加明显
前馈用来抵消已知干扰的影响，提供预期的动作
全局微分同胚很少，经常使用局部微分同胚。
给定一个非线性映射，如何判断出它是否是局部微分同胚?
光滑映射 ( x)定义在R n中的一个区域上，如果雅可比矩阵 在中的一点x x0上是非奇异的，则(x)是定义在x0的一个邻域
上的局部微分同胚
判断\phi(x)是否局部微分同胚？
z1
z2
(x)
2
x1 3
注：如果控制目标是驱使状态到达某个非零点x_{d}，我们可以将 x-x_{d} 看作状态，将问题化为零点调节问题。
••
例：倒立摆镇定问题 J mgl sin
任务是将摆从 \theta 较大的角度控制到垂直的位置
•
可以选择镇定器为 kd k p mgl sin
••
•
得到全局稳定的闭环系统J kd k p 0
➢ 线性控制系统中，期望性态包括时域情形和频域情形
时域：上升时间、超调量、调节时间 频域：传递函数的低频和高频特性等
➢ 对非线性系统的规定没这么系统化、明显
非线性系统对一个指令的响应不能反映对其它指令的响应；
对其频域描述是不可能的
期望性态通常考虑下面性质： ① 稳定性 ② 响应的精度和速度
③ 鲁棒性（系统工作时，应当能够抵挡一些被忽略因素的影响） ④ 代价
代数变换把系统转变为能控标准形
6反馈线性化解析
第二部分 非线性控制系统设计
2
1 非线性控制问题
如果控制系统的任务涉及大范围或高速运动,动力学中的非线性
影响很重要.
设计问题：对于给定的被控物理系统，构造反馈控制规律，使得 闭环系统呈现出期望的性态。 控制系统的任务可分为两类: 镇定(或调节)和跟踪(或伺服) 镇定问题中,控制器称为镇定器(或调节器)使闭环系统的状态被 镇定到平衡点附近.如冰箱温度控制，飞行器高度控制 跟踪问题中，设计的目标是构造控制器（跟踪器），是系统的输 出跟上一个给定的时变轨线。如飞机沿指定的路线飞行
s 2 2s 2 u yd s 1
系统有一个极点恰好等于原系统的不稳定零点，造成u指数发散 即非最小相位系统的完全跟踪只能通过无穷大输入来实现。
所以，非最小相位系统的控制设计目标不应该是完全跟踪或渐
近跟踪，而应该满足于有界误差跟踪
6
2 期望性态的规定
线性控制系统中，期望性态包括时域情形和频域情形 时域：上升时间、超调量、调节时间 频域：传递函数的低频和高频特性等 对非线性系统的规定没这么系统化、明显 非线性系统对一个指令的响应不能反映对其它指令的响应；
12
6.1 直观概念
6.1.1 反馈线性化及其标准形
基本思想：消去一个非线性系统中的非线性部分，使闭环系统成 为一个线性系统。
例：控制水槽液位
考查控制一个水槽液面的高度h到一个特 定高度h_{d}.控制输入是水槽的输入流 量u,初始高度为h_{0}
水槽的系统模型为：
其中，A_{h}是水槽的横截面，a是出水管横截面
将被控对象动态 方程修改为所期 望的形式。
4
1.2 跟踪问题
给定非线性动力系统 x f ( x, u , t )， y h( x ) 和期望的输出轨线 yd , 寻找控制规律 u，使得系统从 中某个区域内的任意点 出发， 整个状态保持有界的同 时，跟踪误差 y (t ) yd (t )趋于零
2
1 非线性控制问题
如果控制系统的任务涉及大范围或高速运动,动力学中的非线性
影响很重要.
设计问题：对于给定的被控物理系统，构造反馈控制规律，使得 闭环系统呈现出期望的性态。 控制系统的任务可分为两类: 镇定(或调节)和跟踪(或伺服) 镇定问题中,控制器称为镇定器(或调节器)使闭环系统的状态被 镇定到平衡点附近.如冰箱温度控制，飞行器高度控制 跟踪问题中，设计的目标是构造控制器（跟踪器），是系统的输 出跟上一个给定的时变轨线。如飞机沿指定的路线飞行
s 2 2s 2 u yd s 1
系统有一个极点恰好等于原系统的不稳定零点，造成u指数发散 即非最小相位系统的完全跟踪只能通过无穷大输入来实现。
所以，非最小相位系统的控制设计目标不应该是完全跟踪或渐
近跟踪，而应该满足于有界误差跟踪
6
2 期望性态的规定
线性控制系统中，期望性态包括时域情形和频域情形 时域：上升时间、超调量、调节时间 频域：传递函数的低频和高频特性等 对非线性系统的规定没这么系统化、明显 非线性系统对一个指令的响应不能反映对其它指令的响应；
12
6.1 直观概念
6.1.1 反馈线性化及其标准形
基本思想：消去一个非线性系统中的非线性部分，使闭环系统成 为一个线性系统。
例：控制水槽液位
考查控制一个水槽液面的高度h到一个特 定高度h_{d}.控制输入是水槽的输入流 量u,初始高度为h_{0}
水槽的系统模型为：
其中，A_{h}是水槽的横截面，a是出水管横截面
将被控对象动态 方程修改为所期 望的形式。
4
1.2 跟踪问题
给定非线性动力系统 x f ( x, u , t )， y h( x ) 和期望的输出轨线 yd , 寻找控制规律 u，使得系统从 中某个区域内的任意点 出发， 整个状态保持有界的同 时，跟踪误差 y (t ) yd (t )趋于零
功率放大器的线性化技术
02 功率放大器线性化的技术 分类
前馈线性化技术
前馈线性化技术通过引入一个额外的反馈环路，将功率放 大器的输出信号反馈到输入端，与原始输入信号进行比较 和调整，以消除非线性失真。
前馈线性化技术具有较高的线性化效果，但需要精确的信 号匹配和调整，因此实现难度较大。
反馈线性化技术
01
反馈线性化技术通过将功率放大 器的输出信号反馈到输入端，并 利用负反馈原理对输入信号进行 修正，以减小非线性失真。
多项式预失真技术通过使用多项式函数来描述功率放大器的非线性特性。预失真器通过 调整多项式的系数来产生补偿信号，以抵消功率放大器的非线性。这种方法的优点是精
度高、计算复杂度低，但需要实时计算多项式函数，可能影响实时性能。
预失真线性化技术的优缺点
优点
预失真线性化技术具有较高的线性度和较低 的成本，适用于各种类型的功率放大器。此 外，由于预失真器位于功率放大器之前，因 此可以避免功率放大器内部的热损耗和可靠 性问题。
。
模拟预失真
适用于对实时性要求较高的系 统，能够快速响应信号的变化 ，但线性化效果可能略逊于数 字预失真。
前馈线性化
通过引入额外的反馈环路，降 低功率放大器的非线性失真， 适用于对噪声和失真性能要求 高的系统。
基带扩展
通过在基带信号上添加适当的 调制，改善功率放大器的线性 范围，适用于宽带信号传输系
多载波技术
通过将信号分割成多个子载波，降 低单个载波的幅度，减小非线性失 真。
THANKS FOR WATCHING
感谢您的观看
复合反馈技术则是结合前馈和反馈技术的优点， 通过引入前馈和反馈两个环节来进一步改善功率 放大器的线性度。
反馈线性化技术的优缺点
第六章非线性系统的反馈线性化
第六章非线性系统的反馈线性化反馈线性化方法的基本思想是用反馈的方法，将非线性被控对象补偿成为一个具有线性特性的系统，然后利用线性系统理论进行控制系统设计。
基于微分几何的反馈线性化方法是一种精确线性化方法。
6.1 反馈线性化基本概念反馈线性化设计步骤是：（1）通过反馈的方法将非线性系统转化为线性系统，这个过程可以微分几何方法；（2）经过线性化处理后的系统进行设计。
与泰勒级数展开的近视线性化方法不同，它是建立在系统状态变换与非线性反馈基础上的一种精确方法。
它是大范围有效的，而不是仅仅局限于工作点附近。
1水槽的系统模型为()()2h d A h dhu t a ⎡⎤=−∫4()f B =+ xx u 考虑如下系统x是系统状态，f(x)是光滑向量场，u是控制输入，B是输入矩阵且可逆。
设跟踪轨迹为x d 。
=d e x x−定义跟踪误差=f()B d ex x u −− 主要思路是设计如下的补偿控制算法1=(f())d u Bxx ke −−+ =-eke 补偿后的误差动态方程为稳定例2 两关节机械手111212121112122212220H H qhq hqhq q g H H qhq qg ττ−−−⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎡⎤++=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎣⎦&&&&&&&&&&（6.1）5其中，[]12,Tq q =q 为关节角，[]12,Tττ=τ为关节输入。
12222221222221111211222222221212122221211122122122122cos cos sin cos cos()cos cos()c c c c c c c c c c H m l I m l l l l q I H m l I H H m l l q m l I h m l l q g m l g q m g l q q l q g m l g q q ⎡⎤=+++++⎣⎦=+==++=⎡⎤=+++⎣⎦=+表示成向量形式()(,)()H q qC q q q g q τ++=&&&&两边同乘以1H −，可变成仿射非线性系统（6.1）。
基于反馈线性化的制导炮弹弹道控制系统设计
基于反馈线性化的制导炮弹弹道控制系统设计
杨荣军;王良明;孙瑞胜
【期刊名称】《火力与指挥控制》
【年(卷),期】2013(038)001
【摘要】为提高制导炮弹的控制性能,研究了一种非线性弹道控制系统设计方法.建立了弹道控制系统模型,针对该模型的非线性、耦合和不确定性问题,利用反馈线性化方法将复杂的非线性系统进行解耦,结合滑模控制原理给出了一种非线性鲁棒控制器设计方法,并应用于制导炮弹的弹道跟踪控制器设计.制导炮弹六自由度仿真表明:该模型和控制器设计方法是可行的,能有效地控制制导炮弹按预期弹道飞行,具有良好的动态跟踪性能,并对气动参数摄动表现出鲁棒性,有利于提高制导炮弹的大空域作战能力.
【总页数】4页(P123-125,137)
【作者】杨荣军;王良明;孙瑞胜
【作者单位】南京理工大学能源与动力工程学院,南京210094;南京理工大学能源与动力工程学院,南京210094;南京理工大学能源与动力工程学院,南京210094【正文语种】中文
【中图分类】TJ413.+6
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多旋翼无人机制导控制算法的设计开题报告
毕业设计（论文）开题报告题目多旋翼无人机制导控制算法的设计专业名称电子信息科学与技术班级学号********学生姓名王华指导教师何矞填表日期2017年3月25日一、选题的依据及意义：在如今高科技的现代战场上，无人机已开始从传统地执行侦察、评估等战斗支援任务，向着具备杀伤能力的方向迅速发展，作为能够执行攻击和拦截任务的作战装备，成为影响作战进程的重要力量。
2001年10月份，美军在阿富汗战场上首次使用“捕食者”无人机对塔利班目标进行了实弹攻击，开创了无人机执行对地攻击任务的先例，在世界上造成了很大的轰动。
无人机的价值一般是有人驾驶战斗机的几分之一，相比有人驾驶飞机具有经济优势，而且由于无人机无需考虑人的生理因素，因而可以进行大过载机动，能有效地进行突防和进攻，所以无人机更有作战优势。
在最近几场局部战争中无人机被大量应用，在未来战场上的用途也将越来越多，成为世界各军事大国武器装备的发展重点。
就目前来说，无人机用于空战还有很长的一段路要走,而无人机用于执行对地攻击任务已经成为现实。
一般来说无人机执行对地攻击任务的主要过程为：在巡航过程中进行搜索探查，进而发现并识别目标，然后由火控系统发射武器对目标进行攻击。
在无人机对地攻击中，一般都使用精确制导武器，如制导炸弹或战术导弹。
制导武器经点火发射后，经过制导与控制，以一定的弹道接近目标，最终命中并毁伤目标。
综合火力/飞行控制[4]是在上世纪 70 年代中期由美国空军提出的一种航空技术概念。
它的基本思想是通过火力/飞行耦合器把火控系统与飞行控制系统结合起来，形成一个闭环的武器自动攻击、投放系统。
以自动实现瞄准攻击为目的，采用综合火力/飞行控制系统的作战飞机能够实现机载武器的自动化攻击，可缩短瞄准攻击时间，提高武器的命中率，同时也增加作战飞机的生存机会。
精确打击在当前和未来战场中具有举足轻重的地位，美军在其二十一世纪联合作战的纲领性文件中，明确提出了在信息时代，美军为掌握现代战争的主动权所必须具备的四种作战理念，其中的第二项便是精确打击。
反馈线性化设计方法_1(6)
g3
=0
如果它的解 h(x1, x2 , x3 ) 存在，我们称这组矢量场 {f , g}为
完全可积的。
Frobenius定理提供了一个比较简单确定这些方程可解的
条件：
[f , g] = a1f + a2g
反馈线性化设计方法
这个条件称为矢量场 {f , g }的对合条件。
Frobenius定理断言一组矢量场当且仅当它满足对合条件 时是完全可积的。 定义1：线性无关的矢量场的可积性定义
0 k IJ 0 −k J2
−
k IJ
⎤ ⎥ ⎥
0⎥
⎥ k⎥
J2 ⎥
⎥
0 ⎥⎦
{ } g,
ad
f
g,
ad
2 f
g
,
ad
3 f
g
为常量，它构成一个对合集。
∇z1ad
i f
g
=
0, i
=
0,1,2
⇒
∇z1
⋅
g
=
0, ∇z1
⋅
ad
f
g
=
0, ∇z1
⋅
ad
2 f
g
=
0
∇z1ad
g n−1
f
≠
0
⇒
∇z1
⋅
ad
其中： 令：
f1 (x) = (x15 + x3 )(x3 + cos x2 ) + (x2 + 1)x12
u
=
1 (v − x2 +1
f1 )
有：
&y& = v
反馈线性化设计方法
利用线性控制方法对这个二重积分关系设计跟踪控制器：
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反馈线性化设计方法
Frobenius定理：令 f1,f2 ,L,fm 为一组线性无关的矢量场， 当且仅当这个集合为对合时它是完全可积的。
1、双线性： [a1f1 + a2f2 , g] = a1[f1 , g] + a2 [f2 , g] [f , a1g1 + a2g 2 ] = a1[f , g1 ] + a2 [f , g 2 ]
2、斜交换性： [f , g] = −[g, f ] 3、雅可比恒等式：Lad f g h = L f Lg h − Lg L f h 三、微分同胚与坐标变换 微分同胚的概念可看成是熟知的坐标变换概念的推广，其
⎤ ⎥⎦
=
φ(x)
=
⎡2 ⎢ ⎣
x1 3
+ 5x1 sin x2
x22
⎤ ⎥ ⎦
它对所有的 x1 和 x2都有定义，其雅可比矩阵为
∂φ
∂x
=
⎡2 ⎢ ⎣
+5 0
x22
10 x1 x2 2 cos x2
⎤ ⎥ ⎦
它在 x = (0,0) 的秩为2，这个函数在原点定义了一个局部
的微分同解 h(x1, x2 , x3 ) 存在，我们称这组矢量场 {f , g}为
完全可积的。
Frobenius定理提供了一个比较简单确定这些方程可解的
条件：
[f , g] = a1f + a2g
反馈线性化设计方法
这个条件称为矢量场 {f , g }的对合条件。
Frobenius定理断言一组矢量场当且仅当它满足对合条件 时是完全可积的。 定义1：线性无关的矢量场的可积性定义
2、由单独的一个矢量 f 组成的集合总是对合的；
3、由定义检验矢量场集合 {f1 , f 2 ,L , f m }是否对合等于就是检
验下式是否对于全体 x 和全体 i, j 都成立。
{ [ ] } rank {f1(x),L, fm (x)}= rank f1(x),L, fm (x), fi , f j (x)
Ω = {(x1 , x2 ), x2 < π / 2}
反馈线性化设计方法
四、Frobenius定理
Frobenius定理提供一类特殊的偏微分方程可解性的充分 必要条件。
例子：对一阶偏微分方程组
∂h ∂x1
f1
+
∂h ∂x 2
f2
+
∂h ∂x3
f3 = 0
∂h ∂x1
g1
+
∂h ∂x 2
g2
+
∂h ∂x 3
§5.1 数学基础
反馈线性化设计方法
一、基本术语
平滑的标量函数h(x) 的梯度记为：∇h
矢量场f (x) 雅可比矩阵记为：
=
∂h ∂x
∇f = ∂f ∂x
二、李导数和李括号
李导数定义：令 h ：R n → R 为一个平滑的标量函
数；f ： R n → R n 为 R n 上的一个平滑的矢量场，则 h 对 f 的李导数是一个定义为L f h = ∇hf 的标量函数。
[f , g] = ∇gf − ∇fg
李括号 [f , g] 通常写为 ad f g，多重李括号可以递归定义为：
ad
0 f
g
=
g
ad
i f
g
=
[f ,
ad
g i −1
f
]
i = 1,2,L
考虑系统
x&1 = −2x1 + ax2 + sin x1 x&2 = −x2 cos x1 + u cos(2x1 )
反馈线性化设计方法
第五章 反馈线性化设计方法
反馈线性化是近年来引起人们极大研究兴趣的一种非线 性控制设计方法。 基本思想：是用代数变换将一个非线性系统的动态特性 变换成（全部或部分地）线性的动态系统，从而可以应 用熟知的线性控制的方法。 本章讲述：什么是反馈线性化，如何将其应用于控制器 的设计，以及这个方法的局限性。
反馈线性化设计方法
写成为下列形式 x& = f (x) + g(x)u
f
=
⎡− ⎢ ⎣
2x1 + ax2 + sin − x2 cos x1
x1
⎤ ⎥,
g
⎦
=
⎡0⎤ ⎢⎣cos(2x1 )⎥⎦
[f
,
g]
=
⎡ ⎢⎣−
2
0 sin(2x1
)
0⎤ 0⎥⎦
⎡− ⎢⎣
2
x1 + ax2 + sin − x2 cos x1
x1
⎤ ⎥⎦
−
⎡− ⎢⎣
2 + cos x1 x2 sin x1
=
⎡ ⎢⎣cos
x1
cos(2x1 )
−
a cos(2x1 ) 2sin(2x1 )(−2x1
+
ax2
+
sin
⎤ x1 )⎥⎦
a ⎤⎡ 0 ⎤ − cos x1 ⎥⎦⎢⎣cos(2x1 )⎥⎦
反馈线性化设计方法
引理：李括号具有下列性质
正式的定义为：
定义：定义在区域 Ω 上的函数 φ ：R n → R n ，如果它是平
滑的，它的逆 φ −1 存在并且平滑，则称之为微分同胚。
反馈线性化设计方法
引理：令函数 φ (x)为在 R n 中的区域 Ω 内定义的一个平滑函
数，如果雅可比矩阵∇φ 在 Ω 内一点 x = x 0 非奇异，则
φ(x) 在 Ω 的一个子区域内为一个局部的微分同胚。
反馈线性化设计方法
定义2：线性无关的矢量场的对合性定义
线性无关的矢量场集合 {f 1 , f 2 , L , f m } 是对合的，当且仅
当存在标量函数 aijk : R n → R ，使：
说明：
[ ] ∑m
fi , f j (x) = aijk (x)fk (x)
k =1
∀i, j
1、恒矢量场总是对合的；
R n上的一组线性无关的矢量场 {f1 , f 2 ,L , f m }是完全可积的，
当且仅当存在 n − m 个标量函数 h1(x), h2 (x),L, hn−m (x) 满足 一组偏微分方程：
∇hif j = 0
其中 1 ≤ i ≤ n − m ,1 ≤ j ≤ m ，而梯度∇hi 是线性无关的。 偏微分方程共有 m(n − m) 个。
反馈线性化设计方法
多重李导数可以递归地定义为：
L0f h = h Lif h = ∇(Lif−1h)f
i =1,2,L
如果 g 是另一个矢量场，则标量函数 Lg L f h(x) = ∇(L f h)g。 李括号定义：令 f 与 g 为 R n上的两个矢量场， f 与 g 的
李括号是第三个矢量场，定义为：
例：动态系统 ： x& = f (x) + g(x)u y = h(x)
定义新的状态为： z = φ (x)
求微分得：
z&
=
∂φ
∂x
x&
=
∂φ
∂x
(f
(x)
+
g(x))u)
新的状态方程： z& = f * (z) + g* (z)u
y = h*(z)
反馈线性化设计方法
考虑非线性矢量函数
⎡ z1 ⎢⎣ z 2