我所认识的应力和应变关系
在这之前我认识了应力和应变的概念、性质以及从静力学和几何学的角度出发所得到的平衡方程和几何方程。但是平衡方程仅反映了应力分量和外力分量的关系；几何方程仅建立了位移分量和应变分量的关系。
而谈到应力与应变的关系，对于可变形固体，在弹塑性力学中，在外力的作用下，其将发生变形。变形分为两个阶段，弹性阶段和塑性阶段。在弹性阶段，发生的弹性变形可以完全恢复，它是一个可逆过程。此时，应力与应变的关系是一一对应的，是单值函数关系。而在塑性阶段，所发生的塑性变形是不可以恢复的，是不可逆过程。相对应的，塑性阶段的应力应变的关系是非线性关系，不存在一一对应的关系。
我所认识的应力和应变的关系就是本构关系。本构关系也称为物理关系，它反应的是可变形材料的固有属性，实质上是一组联系力学参数和运动参数的方程式，也就是我们所说的本构方程。
在说应力与应变的关系之前，先说一下本构关系的相关影响因素，包括材料、环境、加载类型、以及加载速度。即，),,(T t f εσ=。另外，有各种各样的本构系，比如：弹性本构关系、塑性本构关系、粘弹性本构关系、粘塑性本构关系、各向同性本构关系、各向同性本构关系等等。
简单情况的本构关系：
应力和应变的关系包括弹性和塑性的应力应变关系。我们所说的是线性弹性体的应力应变关系，又分为简单应力状态和复杂应力状态。在简单拉伸情况下，理想弹性材料的应力和应变的关系很简单，就是材料力学中的胡克定律： 。 而在塑性阶段，应力应变之间不再是简单的胡克定律，而是 。
另外，简单拉伸情况下的卸载定律是 。在后继弹性阶段，也就是卸
载后重新加载的材料会继续发生新的塑性变形，在此时的屈服称为后继屈服，相应的屈服点称为后继屈服点。初始屈服和后继屈服的不同是：第一，应力的数值不一样，后继屈服的应力值更大；第二，屈服点的个数不一样。初始屈服点只有一个，而后继屈服点会有好多个，则其对应的应力值也会有很多个。最后，在卸载全部载荷后进行反向加载比如说把拉伸改成压缩，此时会产生Bauschinger 效应。对于该效应，说明材料在某一个方向的硬化将引起反方向的软化。也就是说，各向同性材料产生塑性变形之后会变成各向异性。此时的弹性阶段的卸载荷压缩
可表示： 。
总结一下材料弹塑性行为的特殊规律大致有以下三点：一是在弹性阶段应力应变的关系是线性的，在塑性阶段它们之间的关系是非线性的；二是应力应变在
εσE
=)(εσΦ=εσ?=?E -
+=s s σσ
弹性阶段的存在单值对应关系，而在塑性阶段，它们之间的关系与加载路径或者变形历史有关，是非线性的；对于简单应力状态下弹性阶段与塑性阶段的界限用
屈服点来判别，初始屈服 ，后继屈服 。 理想化模型：
在弹塑性力学中，应力应变常用的简化模型有：理想线弹性模型、理想刚塑性模型、线性强化刚塑性模型、理想弹塑性模型、线性强化弹塑性模型和幂强化模型等。
下面为上述几种模型的示意图：
理想线弹性模型 理想刚塑性模型
线性强化刚塑性模型 理想弹塑性模型
s σσ='
=s σ
σ
线性强化弹塑性模型 幂强化模型
应力应变关系的一般准则：
弹性体在外力作用下，不可避免的产生变形，同时外力的势能也要产生变化。根据热力学的观点，外力在变形过程中所做的功，一部分将转化为内能，一部分将转化为动能；另外变形过程中，弹性体的温度将发生变化，它必须向外界吸收或释放热量。外力在变形过程中所做的功将全部转化为内能存储在弹性体内部。这种贮存在弹性体内部的能量是因变形而获得的，故称之为弹性应变能。
根据能量关系，可以得到由于变形而存储于物体内的单位体积的弹性势能，即应变能函数。应变能函数是应变状态的单值函数，仅取决于应变状态的起始状态，而与最终状态无关。
由于应变能函数的存在，根据弹性体的应变能函数，如果将应力分量表达为应变分量的函数，可以得到应力和应变关系的一般表达式，即格林公式。也就是弹性体的应力分量等于应变能对相应应变分量的偏导数：ij
ij ij u εεσ??=
)(
线弹性体本构关系：
首先是线弹性体的判定：（1）完全弹性，也就是说在任意时刻，应力应变是
一一对应的。
（2）无处应力，即物体处于自然地状态下。 （3）小应变。 满足上述三个条件的属于线弹性体。
对线弹性体，把单向应力状态下得胡克定律推广到三维应力状态下。其一般形式为：
111213141516x x y z xy yz zx
C C C C C C σεεεγγγ=+++++
212223242526y x y z xy yz zx C C C C C C σεεεγγγ=+++++ 313233343536z x y z xy yz zx
C C C C C C σεεεγγγ=+++++ 414243444546xy x y z xy yz zx C C C C C C τεεεγγγ=+++++ 515253545556yz x y z xy yz zx C C C C C C τεεεγγγ=+++++ 616263646566zx x y z xy yz zx C C C C C C τεεεγγγ=+++++
该式可简写为：
其中，ijkl C 是一个三维四阶张量，称为弹性张量。由于
{}
{}{}19991
9???=kl ijkl ij C εσ ，所以独立的分量有81个。由于应力张量和应变张量
的对称性，弹性张量具有对称性： 及 ，所以在弹性张量中，独立的分量只有36个。再从弹性矩阵的对称性出发，实际上的独立分量只有21个。其中，ijkl C 是材料的弹性常数，它与弹性体内点的坐标、温度以及方向有关。
一些特殊情况下的线弹性本构关系：
（1）极端各向异性的线弹性体，独立的材料常数有21个； （2）具有一个弹性对称面的线弹性体，独立的材料常数有13个； （3）正交各向异性的线弹性体，独立的材料常数有9个； （4）横观各向同性的线弹性体，独立的材料常数有5个； （5）各向同性的线弹性体，独立的材料常数有2个。
各向同性体本构关系：
各向同性体是指材料的某点沿任意方向的力学性能相同，材料常数与方向无关。
1、各向同性体本构关系
（1）应力表示应变的广义胡克定律，用应力求应变； （2）应变表示应力的广义胡克定律，用应变求应力； （3）体积胡克定律：
ij ijkl kl
C σε==ijkl ijlk
C C =ijkl jikl
C C
一点的体积应变由平均应力引起并与平均应力成正比。
或
其中， ，
（4）应力强度、应变强度表示的胡克定律：
231232221)()()(2
1
σσσσσσσ-+-+-=
i 应力强度（相当应力） 231232221)()()(3
2
εεεεεεε-+-+-=
i 应变强度（相当应变） （5）球张量与偏张量表示的胡克定律：
???
???
?=-=ij ij ii ii S G E v 2121εσε 广义胡克定律对任意正交坐标系都能成立。
2、各向同性体本构关系的特点
正应力引起线应变，剪应力引起剪应变。 （1）应力主轴与应变主轴是重合的； （2）体积应力与体积应变成比例； （3）应力强度与应变强度成比例； （4）应力偏量与应变偏量成比例。 3、常用的工程弹性常数
常用的工程弹性常数有杨氏弹性模量E 、泊松比v 、拉梅常数λ、μ、剪切弹性模量G 、体积弹性模量K 等。
其中，λ、μ、
G 、K 分别满足：)21)(1(v v Ev -+=λ、)1(2v E +=μ、)
1(2v E
G +==μ、
Θ-=E v e 21K
e m σ=z
y x σσσ++=Θ3
3
Θ=
++=
z
y x m σσσσi
i E εσ=
)
21(3v E
K -=
。
屈服条件：
材料从自然状态受载变形，由弹性变为塑性的过程中必定会经历一个屈服过程，也就是区分材料处于弹性阶段还是塑性阶段的一个判别方式。 1.初始屈服函数及初始屈服曲面的形式
在简单应力状态下，初始屈服函数为： ，其中σ与应力分量有关，
s σ与材料常数有关。在复杂应力状态下，初始屈服函数为：C f j i =)(σ，其中j i σ与应力分量有关，C 与屈服有关的材料常数。
如果材料是各向同性的，屈服函数与坐标的选取无关，它可写成应力张量不
变量的函数 或写成主应力的函数 通过该假设，屈服面由六维空间中的一个超曲面简化为三维主应力空间中的一个曲面；
如果平均应力不影响塑性状态，则屈服函数只应与应力偏量的不变量有关，即 或者写成只是应力偏量主值的函数
在主应力空间中，屈服面必定是一个垂直与π平面的等截面的柱面，它的母线与矢量ON 平行。屈服面是一个等截面的柱面，它在任意垂直与ON 的平面上的投影曲线都是一样的，研究这个柱面的特征，只要研究它在π平面上的投影曲线即可，这条投影曲线称为屈服曲线。
关于屈服曲线有以下几个特点：一是它是包围原点的封闭曲线；二是它是外凸的；三是它关于三个坐标轴对称；四是它与垂线均匀对称。
s σσ=123(,,)0
f I I I =123(,,)0
f σσσ='
'23(,)0
f J J =123(,,)0
f S S S =
max k τ=???
????
=-=
ij ij ij ij S G e E v 2121σε)
1(2μ+=
E
G ????
?==ij ij
ij
i i ij GS
S e 323σσε2.常用的两个屈服条件
（1）Tresca 屈服条件
Tresca 屈服条件是指最大剪应力达到某一极限值时，材料发
生屈服。
其中k 是和屈服有关的材料常数，可由单向拉伸实验或纯剪切实验确定。
（2）Mises 屈服条件
Mises 屈服条件是指形状必能达到某一值时，材料开始发生屈服。 22132322212)()()(C W f =-+-+-=σσσσσσ，C 是和材料性质有关的一个常数。
两个屈服条件的特点分别为：对于Tresca 屈服条件：其没有反应中间主应力对屈服的影响，分段线性，不光滑，在主应力大小和顺序都已知时应用方便；对于Mises 屈服条件：能够很好地反应三个主应力的影响，非线性，光滑，而且与实验结果的吻合度很高。
3.后继屈服函数及后继屈服面的形式
后继屈服是指固体由后继弹性状态屈服进入塑性状态，在简单应力状态下， ，σ与应力分量有关，'
s σ非材料常数，与塑性变形历史有关，且比
初始屈服极限大。在复杂应力状态下，与瞬时应力状态、变形历史有关。后继屈服函数为：0),(=ΦK j i σ，其中j i σ与应力分量有关，K 是记录变形历史的常数。对于简单应力状态下的后继屈服的几何形式是一排点，在复杂应力下的后继屈服几何形式是一族与K 即变形历史有关的曲面。
塑性本构关系：
在谈到塑性本构关系时，要区分加载和卸载过程。各种描述塑性变形规律的理论大致可以分为两大类，即增量理论和全量理论。增量理论建立了塑性状态下塑性应变增量与应力及应力增量之间的关系。
在卸载过程中，用应力张量、应变张量的球张量及偏张量表示广义胡克定律，即：
'±=s
σσ
??????
?=-=ij ij ij ij dS G de d E
v d 2121σε
增量形式的广义胡克定律为：
在加载过程中，对于增量型的本构关系主要有Levy-Mises 理论和Prandtl-Reuss 理论。Levy-Mises 理论不包括弹性变形部分，适用于弹性变形小而塑性变形大的情况，即适用于理想刚塑性体。对理想弹塑性材料，按Levy-Mises 流动法则，有)0(≥=λλεd S d d ij ij ，其中λd 与点的位置和载荷水平有关。
Prandtl 将Levy-Mises 关系式推广应用于塑性平面应变的问题，他考虑了塑性状态的总应变中的弹性应变部分，认为弹性应变服从广义胡克定律，并假定塑性应变增量张量和应力偏量张量相似且同轴线。1930年，Reuss 又把Prandtl 应用在平面应变上的这一假设推广到一般三维问题。Prandtl-Reuss 理论适用于弹塑性变形，它可以表示为：)0(≥=λλεd S d d ij p
ij ，总应变又可以表示为
p ij e ij ij d d d εεε+=，该式中前者表示弹性应变，后者表示塑性应变。
加载过程中，全量性本构关系应用最多的是伊留辛理论。他提出：体积变化
是弹性的，即ij ij E
v
σε21-=；应力偏张量与应变偏张量成比例，即
)23(ij
ij ij ij S e σε??=
=；另外，他还提出应力应变满足单一函数,即)(i i εσΦ=。伊留
辛理论的适用范围是小变形、简单加载。其特点是简单加载情况下应力应变间有一一对应关系。
以上就是我对应力和应变关系的认识。
化工过程机械 徐婧 652080706028
一、应力与应变 1、应力 在连续介质力学里，应力定义为单位面积所承受的作用力。 通常的术语“应力”实际上是一个叫做“应力张量” (stress tensor)的二阶张量。 概略地说，应力描述了连续介质内部之间通过力（而且是通过近距离接触作用力）进行相互作用的强度。 具体说，如果我们把连续介质用一张假想的光滑曲面把它一分为二，那么被分开的这两部分就会透过这张曲面相互施加作用力。 很显然，即使在保持连续介质的物理状态不变的前提下，这种作用力也会因为假想曲面的不同而不同，所以，必须用一个不依赖于假想曲面的物理量来描述连续介质内部的相互作用的状态。 对于连续介质来说，担当此任的就是应力张量，简称为应力。 2、应变 应变在力学中定义为一微小材料元素承受应力时所产生的单位长度变形量。因此是一个无量纲的物理量。 在直杆模型中，除了长度方向由长度改变量除以原长而得“线形变”，另外，还定义了压缩时以截面边长（或直径）改变量除以原边长（或直径）而得的“横向应变”。 对大多数材料，横向应变的绝对值约为线应变的绝对值的三分之一至四分之一，二者之比的绝对值称作“泊松系数”。 3、本构关系 应力与应变的关系我们叫本构关系（物理方程）。E σε=（应力=弹性模量*应变） 4、许用应力（allowable stress ） 机械设计或工程结构设计中允许零件或构件承受的最大应力值。要判定零件或构件受载后的工作应力过高或过低，需要预先确定一个衡量的标准，这个标准就是许用应力。 凡是零件或构件中的工作应力不超过许用应力时，这个零件或构件在运转中是安全的，否则就是不安全的。 许用应力等于考虑各种影响因素后经适当修正的材料的失效应力除以安全系数。 失效应力为：静强度设计中用屈服极限（yield limit ）或强度极限（strength limit ）；疲劳强度设计中用疲劳极限（fatigue limit ）。 5、许用应力、失效应力及安全系数之间关系 塑性材料（大多数结构钢和铝合金）以屈服极限为基准，除以安全系数后得许用应力，即[]()/ 1.5~2.5s n n σσ==。（许用应力=屈服极限/安全系数） 脆性材料（铸铁和高强钢）以强度极限为基准，除以安全系数后得许用应力， 即[]()/2~5b n n σσ==。（许用应力=强度极限/安全系数） 表3机床静力学分析结果总结
1.应力 物体由于外因（受力、湿度、温度场变化等）而变形时，在物体内各部分之间产生相互作用的内力，以抵抗这种外因的作用，并试图使物体从变形后的位置恢复到变形前的位置。 在所考察的截面某一点单位面积上的内力称为应力。同截面垂直的称为正应力或法向应力，同截面相切的称为剪应力或切应力。 应力仪或者应变仪是来测定物体由于内应力的仪器。一般通过采集应变片的信号，而转化为电信号进行分析和测量。 方法是：将应变片贴在被测定物上，使其随着被测定物的应变一起伸缩，这样里面的金属箔材就随着应变伸长或缩短。很多金属在机械性地伸长或缩短时其电阻会随之变化。应变片就是应用这个原理，通过测量电阻的变化而对应变进行测定。一般应变片的敏感栅使用的是铜铬合金，其电阻变化率为常数，与应变成正比例关系。 通过惠斯通电桥，便可以将这种电阻的比例关系转化为电压。然后不同的仪器，可以将这种电压的变化转化成可以测量的数据。 对于应力仪或者应变仪，关键的指标有：测试精度，采样速度，测试可以支持的通道数，动态范围，支持的应变片型号等。并且，应力仪所配套的软件也至关重要，需要能够实时显示，实时分析，实时记录等各种功能，高端的软件还具有各种信号处理能力。另外，有一些仪器是通过光谱，膜片等原理设计的。 应力的单位：应力的单位是Pa，简称帕（这是为了纪念法国科学家帕斯卡Blaise· pascal而命名的），即牛顿/平方米（N/ ㎡）。 2.应变 物体在受到外力作用下会产生一定的变形，变形的程度称应变。应变有正应变（线应变），切应变（角应变）及体应变。正应变公式为 ，式中l是变形的前长度，Δl是其变形后的伸长量。 应变单位：应变是形变量与原来尺寸的比值，用ε表示，即ε=ΔL/L，无量纲，常用百分数表示。 3.弹性模量 一般地讲，对弹性体施加一个外界作用，弹性体会发生形状的改变（称为“应变”），“弹性模量”的一般定义是：应力除以应变。 材料在弹性变形阶段，其应力和应变成正比例关系（即符合胡克定律），其比例系数称为弹性模量。又称杨氏模量，弹性材料的一种最重要、最具特征的力学性质，是物体弹性变形难易程度的表征，用E表示。定义为理想材料有小
我所认识的应力应变关系 应力应变都是物体受到外界载荷产生的响应。物体由于受到外界载荷后，在物体内部各部分之间要产生互相之间的力的作用，由于受到力的作用就会产生相应的变形；或者由于变形引起相应的力的作用。则一定材料的物体其产生的应力和应变也必然存在一定的关系。 一 应力-应变关系 影响本构关系的因素有很多，例如材料、环境、加载类型（载荷、温度）、加载速度（动载荷、静载荷）等，当然，本构关系有很多类型，包括弹性、塑性、粘弹性、粘塑性、各向同性、各向异性本构关系，那么首先来叙述一下简单情况本构关系，所谓简单情况就是六个应力分量x y xy yz zx σσστττ、、z 、、、只有一个不为零， 六个应变分量x y xy yz zx εεεγγγ、、z 、、、只有一个自由变化，应力应变关系图1-1。 图1-1 应力应变关系图 图中OA 为线弹性阶段，AB 为非线弹性阶段，故OB 为初始弹性阶段，C 点位初始屈服点，()s σ+为初始屈服应力，CBA 为弹性阶段卸载，这一阶段中E σε=， 初始弹性阶段结束之后，应力继续增大，进入塑性阶段，CDE 为强化阶段，应变强化硬化，EF 为颈缩阶段，应变弱化软化。如果在进入塑性阶段卸载后再加载，
例如在D 点卸载至零，应力应变关系自D 点沿'DO 到达'O 点，且'DO ∥OA ，其中'O O 为塑性应变p ε，DG 为弹性应变e ε，总应变为它们之和。此后再继续加载，应力应变关系沿ODEF 变化，D 点为后继屈服点，OD 为后继弹性阶段，()'s σ+为后继屈服应力，值得一提的是初始屈服点只有一个，而后继屈服点有无数个（由加载历史决定）。若在卸除全部载荷后反向加载，弹性阶段'COC ，()()s s σσ+-=，而在强化阶段'DOD ，()()s s σσ+->，称为Bauschinger 效应。 从上述分析得出材料弹塑性行为有一定的特殊性，主要表现在：弹性应力应变关系是线性，且是单值对应关系，而塑性应力应变关系是非线性的非单值对应。 因为通常情况下物体不仅仅处于简单应力状态，那么复杂应力状态下应力应变关系又如何呢？如果我们将材料性质理想化即假设材料是连续的、均匀的、各向同性的，忽略T 、t 的影响，忽略净水压力对塑性变形的影响，可以将应力应变关系归结为不同的类型，包括理想线弹性模型、理想刚塑性模型、线性强化刚塑性模型、理想弹塑性模型、线性强化弹塑性模型、幂强化模型、等向强化模型、随动强化模型。各种材料的应力应变关系图如下图所示： 理想线弹性模型 理想刚塑性模型
土体应力计算 补充一、力学基础知识 材料力学研究物体受力后的内在表现，即变形规律和破坏特征。 一、材料力学的研究对象 材料力学以“梁、杆”为主要研究对象。
二、材料力学的任务 材料力学的任务：在满足强度、刚度、稳定性的要求下，以最经济的代价，为构件确定合理的形状和尺寸，选择适宜的材料，而提供必要的理论基础和计算方法。 强度:杆件在外载作用下，抵抗断裂或过量塑性变形的能力。刚度:杆件在外载作用下，抵抗弹性变形的能力。 稳定性:杆件在压力外载作用下，保持其原有平衡状态的能力。 如：自行车结构也有强度、刚度和稳定问题； 大型桥梁的强度、刚度、稳定问题 强度、刚度、稳定性
三、基本假设 1、连续性假设：物质密实地充满物体所在空间，毫无空隙。（可用微积分数学工具） 2、均匀性假设：物体内，各处的力学性质完全相同。 3、各向同性假设：组成物体的材料沿各方向的力学性质完全相同。（这样的材料称为各项同性材料；沿各方向的力学性质不同的材料称为各项异性材料。） 4、小变形假设：材料力学所研究的构件在载荷作用下的变形与原始尺寸相比甚小，故对构件进行受力分析时可忽略其变形。 假设
四、杆件变形的基本形式
五、内力?截面法?轴力 1、内力 指由外力作用所引起的、物体内相邻部分之间分布内力系的合成（附加内力）。 2、截面法 内力的计算是分析构件强度、刚度、稳定性等问题的基础。求内力的一般方法是截面法。
（1）截面法的基本步骤： ①截开：在所求内力的截面处，假想地用截面将杆件一分为二。 ②代替：任取一部分，其弃去部分对留下部分的作用，用作用在截开面上相应的内力（力或力偶）代替。 ③平衡：对留下的部分建立平衡方程，根据其上的已知外力来计算杆在截开面上的未知内力（此时截开面上的内力对所留部分而言是外力） 截面法
第一章 绪论 第一节 材料力学的任务 1、组成机械与结构的各组成部分，统称为构件。 2、保证构件正常或安全工作的基本要求：a)强度，即抵抗破坏的能力；b)刚度，即抵抗变形的能力；c)稳定性，即保持原有平衡状态的能力。 3、材料力学的任务：研究构件在外力作用下的变形与破坏的规律，为合理设计构件提供强度、刚度和稳定性分析的基本理论与计算方法。 第二节 材料力学的基本假设 1、连续性假设：材料无空隙地充满整个构件。 2、均匀性假设：构件内每一处的力学性能都相同 3、各向同性假设：构件某一处材料沿各个方向的力学性能相同。木材是各向异性材料。 第三节 内力 1、内力：构件内部各部分之间因受力后变形而引起的相互作用力。 2、截面法：用假想的截面把构件分成两部分，以显示并确定内力的方法。 3、截面法求内力的步骤：①用假想截面将杆件切开，一分为二；②取一部分，得到分离体；③对分离体建立平衡方程，求得内力。 4、内力的分类：轴力N F ；剪力S F ；扭矩T ；弯矩M 第四节 应力 1、一点的应力： 一点处内力的集（中程）度。 全应力0lim A F p A ?→?=?；正应力σ；切应力τ；p =2、应力单位： （112，11×106 ，11×109 ） 第五节 变形与应变 1、变形：构件尺寸与形状的变化称为变形。除特别声明的以外，材料力学所研究的对象均为变形体。 2、弹性变形：外力解除后能消失的变形成为弹性变形。 3、塑性变形：外力解除后不能消失的变形，称为塑性变形或残余变形。 4、小变形条件：材料力学研究的问题限于小变形的情况，其变形和位移远小于构件的最小尺寸。对构件进行受力分析时可忽略其变形。 5、线应变：l l ?=ε。线应变是无量纲量，在同一点不同方向线应变一般不同。
第 七 章 应力状态 强度理论 一、 判断题 1、平面应力状态即二向应力状态，空间应力状态即三向应力状态。 (√) 2、单元体中正应力为最大值的截面上，剪应力必定为零。 (√) 3、单元体中剪应力为最大值的截面上，正应力必定为零。 (×) 原因：正应力一般不为零。 4、单向应力状态的应力圆和三向均匀拉伸或压缩应力状态的应力圆相同，且均为应力轴 上的一个点。 (×) 原因：单向应力状态的应力圆不为一个点，而是一个圆。三向等拉或等压倒是为一个点。 5、纯剪应力状态的单元体，最大正应力和最大剪应力值相等，且作用在同一平面上。(×) 原因：最大正应力和最大剪应力值相等，但不在同一平面上 6、材料在静载作用下的失效形式主要有断裂和屈服两种。 (√) 7、砖,石等脆性材料式样压缩时沿横截面断裂。 (×) 8、塑性材料制成的杆件，其危险点必须用第三或第四强度理论所建立的强度条件来校核强度。 (×) 原因：塑性材料也会表现出脆性，比如三向受拉时，此时，就应用第一强度理论 9、纯剪应力状态的单元体既在体积改变，又有形状改变。(×) 原因：只形状改变，体积不变 10、铸铁水管冬天结冰时会因冰膨胀被胀裂，而管内的冰不会被破坏，只是因为冰的强度比铸铁的强度高。(×) 原因：铸铁的强度显然高于冰，其破坏原因是受到复杂应力状态 二、 选择题 1、危险截面是（ C ）所在的截面。 A 最大面积 B 最小面积 C 最大应力 D 最大内力 2、关于用单元体表示一点处的应力状态，如下论述中正确的一种是( D )。 A 单元体的形状可以是任意的 B 单元体的形状不是任意的，只能是六面体微元 C 不一定是六面体，五面体也可以，其他形状则不行 D 单元体的形状可以是任意的，但其上已知的应力分量足以确定任意方向面上的硬力 3、受力构件内任意一点，随着所截取截面方位不同，一般来说（ D ） A 正应力相同，剪应力不同 B 正应力不同，剪应力相同 C 正应力和剪应力均相同 D 正应力和剪应力均不同 4、圆轴受扭时，轴表面各点处于（ B ） A 单向应力状态 B 二向应力状态 C 三向应力状态 D 各向等应力状态 5、分析处于平面应力状态的一点，说法正确的是（ B ）。 A a σ=0时，必有a τ=max τ或a τ=min τ B a τ=0时，必有a σ=max σ或a σ=min σ C a σ+90a σ+及|a τ|+|90a τ+|为常量 D 1230σσσ≥≥≥
应力应变关系 我所认识的应力应变关系 一在前面两章的分别学习了关于应力与应变的学习，第三章的本构关系讲述了应力与应变的关系从而构成了弹塑性力学的本构关系。 在单向应力状态下，理想的弹塑性材料的应力应变关系及其简单满足胡克定律即 ,E ,,XX 在三维应力状态下需要9个分量，即应力应变需要9个分量，于是可以把单向应力应变关系推广到三维应力状态，及推广到广义的胡克定律 本式应该是91个应变分量单由于切应力互等定理，此时后面的三个应力与式中的切应力想等即现在剩余36个应变分量。 (1)具有一个弹性对称面的线弹性体的应力应变公式如下
(2)正交各向异性弹性体的弹塑性体公式如下 (3)各向同性弹性体的本构方程 各向同性弹性体在弹性状态下，主应力方向与主应变方向重合容易证明。在主应变空间里，由于应变主轴与应力主轴重合，各向同性弹性体体内任意一点的应力和应变之间满足: ,,,,,，，CCCxxyz111213 ,,,,,，，CCCyxyz212223 ,,,,,，，CCCzxyz313233 (2-3) ,,,,,,yyxzxz对的影响与对以及对的影响是相同的，即有 ,CCC==,CC=CC=,y112233x12132123z;和对的影响相同，即，同理有和CC=3132等，则可统一写为: CCCa==,112233 CCCCCCb=====,122113312332 (2-4) 所以在主应变空间里，各向同性弹性体独立的弹性常数只有2个。在任意的坐标系中，同样可以证明弹性体独立的弹性参数只有2个。 广义胡可定律如下式 ,,xy1,,,,,,,,,,，[()]xy,xxyz,2GE,,,,1,yz, ,,，[()],,,,,,,,yzyyxz 2GE,,
(2) 主应力大小及主平面位置，并将主平面标在单元体上。 解：(1) MPa 6.762sin 2cos 2 2 =--+ += ατασσσσσα x y x y x MPa 7.322cos 2sin 2 -=+-=ατασστα x y x (2) 2 2min max )2 (2xy y x y x τσσσσσσ+-±+=98.12198.81-=MPa 98.811=σMPa ，02 =σ，98.1213-=σ MPa 35.3940 200 arctan 21)2arctan( 2 10== --=y x xy σστα 2. 解：取合适坐标轴令25=x σ MPa ，9.129-=x τ由02cos 2sin 2 120 =+-= ατασστxy y x 得125-=y σMPa 所以2 2m in m ax )2 (2xy y x y x τσσσσσσ+-± += 200 100 15050)9.129(755022-= ±-=-+± -= MPa 1001=σ MPa ，02=σ，2003-=σ MPa 3. 一点处两个互成 45平面上的应力如图所示，其中σ未知，求该点主应力。 解：150=y σ MPa ，120-=x τ MPa
由 ατασστ2cos 2sin 2 45 xy y x +-= 802 150 -=-= x σ 得 10-=x σ MPa 所以 2 2min max )2 (2xy y x y x τσσσσσσ+-±+= 22 .7422.214-= MPa 22.2141=σ MPa ，02=σ，22.743-=σ 4. 图示封闭薄壁圆筒，内径100=d mm ，壁厚2=t mm ，承受内压4=p MPa ，外力偶矩192.0=e M kN ·m 。求靠圆筒内壁任一 点处的主应力。 解：75.505.032 ) 1.0104.0(π1019 2.0443 =?-?= x τ MPa 504==t pd x σ MPa 1002==t pd y σ MPa 35.497.100)2 (22 2min max =+-±+=xy y x y x τσσσσσσ MPa 7.1001=σ MPa ，35.492=σ MPa ，43-=σ MPa 5. 受力体某点平面上的应力如图示，求其主应力大小。 解：取坐标轴使100=x σMPa ，20=x τ α τασσσσσα2sin 2cos 2 2 x y x y x --+ += ' 45-M e
材料力学课程作业1<本科） 作业涉及教案内容：第一、二章 一、问答题： 1．材料力学的基本任务是什么？答：主要研究构件在外力作用下的变形、受力与破坏或失效的规律，为合理设计构件提供有关强度、刚度与稳定性分析的基本理论与方法。b5E2RGbCAP 2．材料力学对研究对象所做的基本假设是什么？答：1。连续性假设；2。均匀性假设。3。各向同性假设。 3、试简述材料力学中求解内力的基本方法？答：截面法。 4、试画出固体材料低碳钢轴向拉伸实验的应力应变曲线，并标明变形过程中各变 形阶段的极限应力？1。线性阶段的极限应力称为比例极限。用表示；p 2．屈服阶段的极限应力称为屈服应力或屈服极限。s 3．硬化阶段的极限应力称为强度极限。B 4缩径阶段 二、填空题： 1．计算内力的基本方法是_截面法________。 2．圆轴扭转时，轴内除轴线上各点处于________应力状态外，其余各点均处于___________应力状态。p1EanqFDPw 3、由杆件截面骤然变化<或几何外形局部不规则）而引起的局部应力骤然增加的
现象，称为应力聚中。 4．衡量固体材料强度的两个重要指标是轴力与扭矩。 三、选择题： 1．材料力学中内力<即轴力、扭矩）的符号规则是根据构件的 A 来规定的。 A．变形 B．运动 C．平衡 D．受载情况 2．材料力学求内力的基本方法是 C。 A．叠加法 B．能量法 C．截面法 D．解读法 3．材料力学中两个最基本力学要素是 D。 A．力和力偶 B．力和力矩 C．内力和外力 D．应力和应变4．长度和横截面面积相同的两根杆件，一为钢杆，一为铜杆，若在相同的轴向拉力作用下，_____B_______。<杆件的轴线方向为x轴）DXDiTa9E3d A 两杆的应力、应变均相同 Ｂ两杆应力相同，应变不同 Ｃ两杆的应力，应变均不相同 Ｄ两杆应力不同，应变相同 5．材料许用应力，式中为极限应力，对脆性材料应选 ____B________。 Ａ比例极限Ｂ弹性极限Ｃ屈服极限Ｄ强度极限 6．不属于材料力学的基本假设的是 D 。 A. 连续性； B. 均匀性； C. 各向同性； D. 各向异性； 7.以下说法错误的是C 。
材料力学应力状态
关键词：单元体的取法，莫尔应力圆的前提 有那么一个单元体后（单元体其中的一对截面上主应力=0（平面）或平衡（空间），也就是单元体的一对截面为主平面），才有这么 一个隔离体，才有那么一个莫尔应力圆和表达式 也就是：取的单元体不同，则单元体的应力特点不一样，从而用截面法求任意截面上的应力取隔离体列平衡方程时，隔离体的受力特点不同，从而球出来的表达式也不同，只有这种表达式才适合 莫尔应力圆。 因此拿到一个单元体后，不要急着应用莫尔应力圆，要先看它的特点适合不适合莫尔应力圆，也就是σα和τα的表达式球出来以后还是 不是下面的这个公式。
σy的形式。比如，面的外法线之间的夹角，这样公式中才是σx— 当α表示的是斜截面的外法线与σ1所在平面的夹角，那么公式就是σ1—σ2的形式；不论是谁减谁，应力圆的性状都不变； 1.首先，先有主平面和主应力的概念，剪应力为0的平面为主平面，主平面上的正应力为主应力； 2.然后，由于构件受力情况的不同，各点的应力状态也不一样，可以按三个主应力中有几个不等于零而将一点处的应力状态划分为三类： ?单向应力状态：只有一个主应力不等于零，如受轴向拉伸和压缩的直杆及纯弯曲的直杆内各点的应力状态。 ?二向应力状态(平面应力状态)：有两个主应力不等于零，如受扭的圆轴，低压容器器壁各点的应力状态。 ?三向应力状态：三个主应力都不等于零，如高压容器器壁内各点的应力状态。 3.然后，根据受力宏观判断是单轴应力状态还是平面应力状态还是三轴应力状态，取单元体关键，单元体取的不同，单元体上的应力也不同，做莫尔圆的繁简程度也不同，对于平面应力状态，当然要用主应力=0的那个截面参与单元体截取；
一、判断题（正确打“√”，错误打“X ”，本题满分为10分） 1、拉杆伸长后，横向会缩短，这是因为杆有横向应力的存在。( ) 2、圆截面杆件受扭时，横截面上的最大切应力发生在横截面离圆心最远处。( ) 3、两梁的跨度、承受载荷及支承相同，但材料和横截面面积不同，因而两梁的剪力图和弯矩图不一定相同。( ) 4、交变应力是指构件的应力，它随时间作周期性变化，而作用在构件上的载荷可能是动载荷，也可能是静载荷。( ) 5、弹性体的应变能与加载次序无关，只与载荷的最终值有关。（ ） 6、单元体上最大切应力作用面上必无正应力。( ) 7、平行移轴公式表示图形对任意两个相互平行轴的惯性矩和惯性积之间的关系。（ ） 8、动载荷作用下，构件的动应力与材料的弹性模量有关。( ) 9、构件由突加载荷所引起的应力，是由相应的静载荷所引起应力的两倍。( ) 10、包围一个点一定有一个单元体，该单元体各个面上只有正应力而无切应力。( ) 二、选择题（每个2分，本题满分16分） 1．应用拉压正应力公式A F N = σ的条件是（ ）。 A 、应力小于比例极限； B 、外力的合力沿杆轴线； C 、应力小于弹性极限；D 、应力小于屈服极限。 2．梁拟用图示两种方式搁置，则两种情况下的最大弯曲正应力之比 ) (m ax )(m ax b a σσ 为 （ ）。 A 、1/4； B 、1/16； C 、1/64； D (a) (b)
3、关于弹性体受力后某一方向的应力与应变关系有如下论述：正确的是。 A、有应力一定有应变，有应变不一定有应力； B、有应力不一定有应变，有应变不一定有应力； C、有应力不一定有应变，有应变一定有应力； D、有应力一定有应变，有应变一定有应力。 4、火车运动时，其轮轴横截面边缘上危险点的应力有四种说法，正确的是。 A：脉动循环应力：B：非对称的循环应力； C：不变的弯曲应力；D：对称循环应力 5、如图所示的铸铁制悬臂梁受集中力F作用，其合理的截面形状应为图（） 6、对钢制圆轴作扭转校核时，发现强度和刚度均比规定的要求低了20%，若安全因数不变，改用屈服极限提高了30%的钢材，则圆轴的（） A、强度、刚度均足够； B、强度不够，刚度足够； C、强度足够，刚度不够； D、强度、刚度均不够。 7、图示拉杆的外表面上有一斜线，当拉杆变形时，斜线将。 A：平动；B：转动 C：不动；D：平动加转动 8、按照第三强度理论，比较图中两个应力状态的相当应力正确的是（）。（图中应力单位为MPa） A、两者相同； B、（a）大； B、C、（b）大；D、无法判断 一、判断： ×√××√××√√√二、选择：B A C D B C D A
我所认识的应力应变关系 应力应变都是物体受到外界载荷产生的响应。物体由于受到外界载荷后，在 物体内部各部分之间要产生互相之间的力的作用，由于受到力的作用就会产生相 应的变形；或者由于变形引起相应的力的作用。则一定材料的物体其产生的应力 和应变也必然存在一定的关系。 一应力-应变关系 影响本构关系的因素有很多，例如材料、环境、加载类型（载荷、温度） 、 加载速度（动载荷、静载荷）等，当然，本构关系有很多类型，包括弹性、塑性、 粘弹性、粘塑性、各向同性、各向异性本构关系，那么首先来叙述一下简单情况 图中0A 为线弹性阶段，AB 为非线弹性阶段，故0B 为初始弹性阶段，C 点位 初始屈服点， J ?为初始屈服应力，CBA 为弹性阶段卸载，这一阶段中二=E ；, 初始弹性阶段结束之后，应力继续增大，进入塑性阶段， CDE 为强化阶段，应变 强化硬化，EF 为颈缩阶段，应变弱化软化。如果在进入塑性阶段卸载后再加载， 本构关系，所谓简单情况就是六个应力分量 J 、y 、z 、?邓* zx 只有一个不为零, 六个应变分量 1-
例如在D点卸载至零，应力应变关系自D点沿DO'到达O'点，且DO' II OA其中 00'为塑性应变；p，DG为弹性应变；e，总应变为它们之和。此后再继续加载，应力应变关系沿ODEF变化，D点为后继屈服点，0D为后继弹性阶段，Cs'.为后继屈服应力，值得一提的是初始屈服点只有一个，而后继屈服点有无数个（由加载历史决定）。若在卸除全部载荷后反向加载，弹性阶段COC'，、二s . - ；「s_，而在强化阶段DOD'，匚_，称为Bauschinger效应。 从上述分析得出材料弹塑性行为有一定的特殊性，主要表现在：弹性应力应变关系是线性，且是单值对应关系，而塑性应力应变关系是非线性的非单值对应。 因为通常情况下物体不仅仅处于简单应力状态，那么复杂应力状态下应力应变关系又如何呢？如果我们将材料性质理想化即假设材料是连续的、均匀的、各向同性的，忽略T、t的影响，忽略净水压力对塑性变形的影响，可以将应力应变关系归结为不同的类型，包括理想线弹性模型、理想刚塑性模型、线性强化刚塑性模型、理想弹塑性模型、线性强化弹塑性模型、幕强化模型、等向强化模型、随动强化模型。各种材料的应力应变关系图如下图所示：
材料力学习题(1)2-6章
材料力学习题 第2章 2-1 试求出图示各杆Ⅰ—Ⅰ截面上的内力。 2-2图示矩形截面杆，横截面上正应力沿截面高度线性分布，截面顶边各点 处的正应力均为 MPa 100 max = σ ，底边各点处的正应力均为零。杆件横截面 上存在何种内力分量，并确定其大小（C点为截面形心）。 2-3 试指出图示各单元体表示哪种应力状态。 2-4 已知应力状态如图所示（应力单位为MPa），试用解析法计算图中指定截面的应力。
2-5 试作应力圆来确定习题2-4图中指定截面的应力。 2-6已知应力状态如图所示（应力单位为MPa ），试用解析法求：（1）主应力及主方向；（2）主切应力及主切平面；（3）最大切应力。 2-7 已知应力状态如习题2-6图所示，试作应力圆来确定：（1）主应力及主方向； （2）主切应力及主切平面；（3）最大切应力。 2-8已知构件内某点处的应力状态为两种应力状态的叠加结果，试求叠加后所得 应力状态的主应力、主切应力。 2-9图示双向拉应力状态， σ σσ==y x 。试证明任一斜截面上的正应力均等 于σ，而切应力为零。 2-10 已知K 点处为二向应力状态，过K 点两个截面上的应力如图所示（应力单位为MPa ）。试分别用解析法与图解法确定该点的主应力。 2-11 一点处的应力状态在两种坐标系中的表示方法分别如图 a)和b)所示。 试确定未知的应力分量 y y x xy ' ''σττ、、的大小与方向。
2-12 图示受力板件，试证明尖角A 处各截面的正应力与切应力均为零。 2-13 已知应力状态如图所示（单位为MPa ），试求其主应力及第一、第二、第三不变量 321I I I 、、。 2-14 已知应力状态如图所示（单位为MPa ），试画三向应力圆，并求主应力、最大正应力与最大切应 力。 第3章 3-1 已知某点的位移分量u = A ， v = Bx +Cy +Dz ， w = Ex 2+Fy 2+Gz 2+Ixy +Jyz +Kzx 。A 、B 、C 、D 、E 、F 、G 、I 、J 、K 均为常数，求该点处的应变分量。 3-2 已知某点处于平面应变状态，试证明 2222,,Bxy y Ax y Bx Axy xy y x +===γεε（其中， B A 、为任意常数）可作为该点的三个应变分量。 3-3 平面应力状态的点O 处x ε=6×10-4 mm/m ，y ε=4×10 -4 mm/m ， xy γ=0；求:1)平面内以y x ' '、方向的线应变；2)以x '与 y '为两垂直线元的切应变；3）该平面内的最大切应变及其与x 轴 的夹角。 3-4 平面应力状态一点 处的 x ε= 0，y ε= 0， xy γ=-1× 10-8 rad 。试求:1）平面内以 y x ''、方 向的线应变；2)以x '与 y '为两垂直线 元的切应变；3）该平面内的最大切应 变及其与x 轴的夹角。 3-5 用图解法解习题3-3。 3-6 用图解法解习题3-4。 m/m ， y ε=2×10-8 m/m ， xy γ=1× 3-7 某点处的 x ε=8×10-8 10-8 rad ；分别用图解法和解析法求该点xy 面内的：1）与x 轴夹角为45°方向的线应变和以45°方向为 始边的直角的切应变；2）最大线应变的方向和线应变的值。 3-8 设在平面内一点周围任何方向上的线应变都相同，证明以此点为顶点 的任意直角的切应变均为零。
第七章应力和应变分析强度理论 1.单元体最大剪应力作用面上必无正应力 答案此说法错误（在最大、最小正应力作用面上剪应力一定为零；在最大剪应力作用面上正应力不一定为零。拉伸变形时，最大正应力发生在横截面上，在横截面上剪应力为零；最大剪应力发生在45度角的斜截面上，在此斜截面上正应力为σ/2。） 2. 单向应力状态有一个主平面，二向应力状态有两个主平面 答案此说法错误（无论几向应力状态均有三个主平面，单向应力状态中有一个主平面上的正应力不为零；二向应力状态中有两个主平面上的正应力不为零） 3. 弯曲变形时梁中最大正应力所在的点处于单向应力状态 答案此说法正确（最大正应力位于横截面的最上端和最下端，在此处剪应力为零。） 4. 在受力物体中一点的应力状态，最大正应力作用面上切应力一定是零 答案此说法正确（最大正应力就是主应力，主应力所在的面剪应力一定是零） 5.应力超过材料的比例极限后，广义虎克定律不再成立 答案此说法正确（广义虎克定律的适用范围是各向同性的线弹性材料。） 6. 材料的破坏形式由材料的种类而定 答案此说法错误（材料的破坏形式由危险点所处的应力状态和材料的种类综合决定的） 7. 不同强度理论的破坏原因不同 答案此说法正确（不同的强度理论的破坏原因分别为：最大拉应力、最大线应变、最大剪应力、形状比能。） 二、选择 1.滚珠轴承中，滚珠与外圆接触点为应力状态。
A：二向； B：单向C：三向D：纯剪切 答案正确选择C（接触点在铅垂方向受压，使单元体向周围膨胀，于是引起周围材料对接触点在前后、左右方向的约束应力。） 2.厚玻璃杯因沸水倒入而发生破裂，裂纹起始于。 A：内壁 B：外壁 C：内外壁同时 D：壁厚的中间 答案正确选择：B （厚玻璃杯倒入沸水，使得内壁受热膨胀，外壁对内壁产生压应力的作用；内壁膨胀使得外壁受拉，固裂纹起始于外壁。） 3. 受内压作用的封闭薄壁圆筒，在通过其壁上任意一点的纵、横两个截面中。 A：纵、横两截面均不是主平面； B：横截面是主平面、纵截面不是主平面； C：纵、横二截面均是主平面； D：纵截面是主平面，横截面不是主平面； 答案正确选择：C （在受内压作用的封闭薄壁圆筒的壁上任意取一点的应力状态为二向不等值 拉伸，其σ x =pD/4t、σ y =pD/2t。单元体上无剪应力的作用，固纵、横截面均为主平面。） 4.广义虎克定律ε i =(σ i -u(σ j +σ k )/E 适用于。 A：弹性体； B：线弹性体； C：各向同性弹性体； D：各向同性线弹性体； 答案正确选择：D（广义虎克定律的适用范围是各向同性的线弹性材料。） 5.在下列说法正确的是。 A：在有正应力的方向必有线应变； B：无正应力的方向必无线应变； C：线应变为零的方向正应力必为零； D：正应力最大的方向线应变也一定最大； 答案正确选择：D（根据广义虎克定律ε x =(σ x -u(σ z +σ y )/E可知，在正应力最大的方向线应 变也最大。） 6.已知图示中单元体的σ 1、σ 2 、E、μ,主应变ε 1 、ε 2 均已知，那么ε 3 ＝------。 A：-μ(ε 1+ε 2 ) B：-μ(σ 1 +σ 2 ) /E C：-μ(σ 1 +σ 2 ) /E D：0 答案正确选择：B (由图示中的单元体得到σ 3 ＝0，根据广义虎克定 律ε 3=(σ 3 -u(σ 1 +σ 2 )/E＝-μ(σ 1 +σ 2 ) /E ) 7.一个受静水压力的小球，下列结论中错误的是：。 A：球内各点的应力状态均为三向等压；B：球内各点不存在剪应力； C：小球的体应变为零；D：小球的形状改变比能为零。
第一章绪论第一节材料力学的任务 1、组成机械与结构的各组成部分，统称为构件。 2、保证构件正常或安全工作的基本要求：a)强度，即抵抗破坏的能力；b)刚度，即抵抗变形的能力；c)稳定性，即保持原有平衡状态的能力。 3、材料力学的任务：研究构件在外力作用下的变形与破坏的规律，为合理设计构件提 第五节变形与应变 1、变形：构件尺寸与形状的变化称为变形。除特别声明的以外，材料力学所研究的对象均为变形体。 2、弹性变形：外力解除后能消失的变形成为弹性变形。 3、塑性变形：外力解除后不能消失的变形，称为塑性变形或残余变形。 4、小变形条件：材料力学研究的问题限于小变形的情况，其变形和位移远小于构件的最小尺寸。对构件进行受力分析时可忽略其变形。 5、线应变： l l? = ε。线应变是无量纲量，在同一点不同方向线应变一般不同。
6、切应变：tan γγ≈。切应变为无量纲量，切应变单位为rad 。 第六节 杆件变形的基本形式 1、材料力学的研究对象：等截面直杆。 2、杆件变形的基本形式：拉伸（压缩）、扭转、弯曲 第二章 拉伸、压缩与剪切 第一节 轴向拉伸（压缩）的特点 1、受力特点：外力合力的作用线与杆件轴线重合。 σ。 限100% 7、卸载定律和冷作硬化：在卸载过程中，应力和应变按直线规律变化。预加塑性变形使材料的比例极限或弹性极限提高，但塑性变形和延伸率有所降低。 8、名义屈服极限0.2σ：对于没有明显屈服阶段的材料，工程上常以卸载后产生残余应 变为0.2%的应力作为屈服强度，称为名义屈服极限0.2σ 9、材料压缩时的力学性能：塑性材料的拉压性能相同。脆性材料在压缩时的强度极限远高于拉伸强度极限，脆性材料抗拉性能差，抗压性能好。（如图） 第四节 失效、许用应力与强度条件 低碳钢 铸铁
本章应力和应变分析与强度理论重点、难点、考点 本章重点是应力状态分析，要掌握二向应力状态下斜截面上的应力、主应力、主平面方位及最大切应力的计算。能够用广义胡克定律求解应力和应变关系。理解强度理论的概念，能够
按材料可能发生的破坏形式，选择适当的强度理论。 难点主要有 ① 主平面方位的判断。当由解析法求主平面方位时，结果有两个相差 90 ”的方位角，一般不容易直接判断出它们分别对应哪一个主应力，除去直接将两个方位角代人式中验算确定的方法外，最简明直观的方法是利用应力圆判定，即使用应力圆草图。还可约定y x σσ≥，则两个方位中绝对值较小的角度对应max σ所在平面。 ② 最大切应力。无论何种应力状态，最大切应力均为2/)(31max σστ-=，而由式（ 7 一 l ）中第二式取导数0d d =α τα得到的切应力只是单元体的极值切应力，也称为面内最大切应力，它仅对垂直于Oxy 坐标平面的方向而言。面内最大切应力不一定是一点的所有方位面中切应力的最大值，在解题时要特别注意，不要掉人“陷阱”中。 本章主要考点： ① 建立一点应力状态的概念，能够准确地从构件中截取单元体。 ② 二向应力状态下求解主应力、主平面方位，并会用主单元体表示。会计算任意斜截面上的应力分量。 ③ 计算单元体的最大切应力。 ④ 广义胡克定律的应用。 ⑤ 能够选择适当的强度理论进行复杂应力状态下的强度计算，会分析简单强度破坏问题的原因。 本章习题大致可分为四类： ( l ）从构件中截取单元体这类题一般沿构件截面截取一正六面体，根据轴力、弯矩判断横截面上的正应力方向，由扭矩、剪力判断切应力方向，单元体其他侧面上的应力分量由力平衡和切应力互等定理画完整。特别是当单元体包括构件表面（自由面）时，其上应力分量为零。 ( 2 ）复杂应力状态分析一般考题都不限制采用哪一种方法解题，故最好采用应力圆分析，它常常能快速而有效地解决一些复杂的问题。 ( 3 ）广义胡克定律的应用在求解应力与应变关系的题目中，不论构件的受力状态，均采用广义胡克定律，即可避免产生不必要的错误，因为广义胡克定律中包含了其他形式的胡克定律。 ( 4 ）强度理论的应用对分析破坏原因的概念题，一般先分析危险点的应力状态，根据应力状态和材料性质，判断可能发生哪种类型的破坏，并选择相应的强度理论加以解释。计算题一般为组合变形构件的强度分析（详见第 8 章）与薄壁容器的强度分析，薄壁容器可利用平衡条件求出横截面与纵向截面上的正应力，由于容器的对称性，两平面上无切应力，故该应力即为主应力，并选择第三或第四强度理论进行强度计算。
第七章应力状态和强度理论习题解 [习题7-1] 试从图示各构件中A点和B点处取出单元体，并表明单元体各面上的应力。 [习题7-1（a）] 解：A点处于单向压应力状态。 2 2 4 4 1 2 d F d F F A N Aπ π σ- = - = = [习题7-1（b）] 解：A点处于纯剪切应力状态。 3 3 16 16 1d T d T W T P Aπ π τ- = = = MPa mm mm N 618 . 79 80 14 .3 10 8 16 3 3 6 = ? ? ? ? = [习题7-1（b）] 解：A点处于纯剪切应力状态。 = ∑A M 4.0 2 8.0 2.1= ? - - ? B R ) ( 333 .1kN R B = A σ A τ
)(333.1kN R Q B A -=-= MPa mm N A Q A 417.01204013335.15.12-=??-=? =τ B 点处于平面应力状态 MPa mm mm mm N I y M z B B 083.21204012 130103.0333.1436=??????==σMPa mm mm mm N b I QS z z B 312.0401204012 145)3040(13334 33 *-=??????-== τ [习题7-1（d ）] 解：A 点处于平面应力状态 MPa mm mm N W M z A A 064.502014.332 1103.39333=????==σ MPa mm mm N W T P A 064.502014.316 1106.78333 =????== τ [习题7-2] 有一拉伸试样，横截面为mm mm 540?的矩形。在与轴线成0 45=α角的面上切应力MPa 150=τ时，试样上将出现滑移线。试求试样所受的轴向拉力F 。 解：A F x =σ；0=y σ；0=x τ 004590cos 90sin 2 0x y x τσστ+-= A F 20 45= τ 出现滑移线，即进入屈服阶段，此时， 15020 45≤= A F τ kN N mm mm N A F 6060000540/3003002 2 ==??== [习题7-3] 一拉杆由两段沿n m -面胶合而成。由于实用的原因，图中的α角限于0 60 ~0范围内。作为“假定计算”，对胶合缝作强度计算时，可以把其上的正应力和切应力分别与相应的许用应力比较。现设胶合缝的许用切应力][τ为许用拉应力][σ的4/3 ，且这一拉杆
材料力学习题册答案-第7章-应力状态
第七章应力状态强度理论 一、判断题 1、平面应力状态即二向应力状态，空间应力状态即三向应力状态。 (√) 2、单元体中正应力为最大值的截面上，剪应力必定为零。 (√) 3、单元体中剪应力为最大值的截面上，正应力必定为零。 (×) 原因：正应力一般不为零。 4、单向应力状态的应力圆和三向均匀拉伸或压缩应力状态的应力圆相同，且均为应力轴 上的一个点。 (×)原因：单向应力状态的应力圆不为一个点，而是一个圆。三向等拉或等压倒是为一个点。 5、纯剪应力状态的单元体，最大正应力和最大剪应力值相等，且作用在同一平面上。(×)原因：最大正应力和最大剪应力值相等，但不在同一平面上 6、材料在静载作用下的失效形式主要有断裂和屈服两种。 (√) 7、砖,石等脆性材料式样压缩时沿横截面断裂。 (×) 8、塑性材料制成的杆件，其危险点必须用第三或第四强度理论所建立的强度条件来校核强度。 (×) 原因：塑性材料也会表现出脆性，比如三向受拉时，此时，就应用第一强度理论 9、纯剪应力状态的单元体既在体积改变，又有形状改变。(×)原因：只形状改变，体积不变 10、铸铁水管冬天结冰时会因冰膨胀被胀裂，而管内的冰不会被破坏，只是因为冰的强度比铸铁的强度高。(×)原因：铸铁的强度显然高于冰，其破坏原因是受到复杂应力状态
二、 选择题 1、危险截面是（ C ）所在的截面。 A 最大面积 B 最小面积 C 最大应力 D 最大内力 2、关于用单元体表示一点处的应力状态，如下论述中正确的一种是( D )。 A 单元体的形状可以是任意的 B 单元体的形状不是任意的，只能是六面体微元 C 不一定是六面体，五面体也可以，其他形状则不行 D 单元体的形状可以是任意的，但其上已知的应力分量足以确定任意方向面上的硬力 3、受力构件内任意一点，随着所截取截面方位不同，一般来说（ D ） A 正应力相同，剪应力不同 B 正应力不同，剪应力相同 C 正应力和剪应力均相同 D 正应力和剪应力均不同 4、圆轴受扭时，轴表面各点处于（ B ） A 单向应力状态 B 二向应力状态 C 三向应力状态 D 各向等应力状态 5、分析处于平面应力状态的一点，说法正确的是（ B ）。 A a σ=0时，必有a τ=max τ或a τ=min τ B a τ=0时，必有a σ=max σ或a σ=min σ C a σ+90a σ+及|a τ|+|90a τ+|为常量 D 1230σσσ≥≥≥ 6、下列结论那些是正确的： ( A ) (1) 单元体中正应力为最大值的截面上，剪应力必定为零； （2）单元体中剪应力为最大值的截面上，正应力必定为零；