弹塑性力学 第3章弹性与塑性应力应变关系

低碳钢在单向拉伸时的典型应力应变曲线
包辛格（Bauschinger）效应
具有强化性 当应力超
如果s+s =2s，则称为理想包辛格效应
过屈服点 质的材料随 后，拉伸 着塑性变形 （或压缩） 的增加，屈 应力的硬 服极限在一 化将引起 个方向上提 反向加载 时 压 缩 高，而在相 （或拉伸） 反方向降低 屈服应力 的弱化
屈服条件——屈服条件又称塑性条件，它
是判断材料处于弹性阶段还是处于塑性阶 段的准则。 在应力空间中，将从弹性阶段进入塑性阶 段的各个界限点（屈服应力点）连接起来 就形成一个区分弹性区和塑性区的分界面， 这个分界面即称为屈服面，而描述这个屈 服面的数学表达式称为屈服函数或称为屈 服条件。
特雷斯卡(Tresca)条件(1864)
平面的法线(等倾线)以及3轴平行的平面。
因此，Tresca屈服条件的屈服面是由三对 互相平行、垂直于 平面的平面组成的正六 角柱体表面。它与 平面的截线（屈服线） 是一个正六边形。它的外接圆半径是 2 / 3 2k （内切圆半径是 k / 2）。
Tresca屈服条件的几何表示(屈服面)
2
de1p de2p de3p 3 d ip d s1 s2 s3 2 i
d的物理意义
d 为比例系数，它在塑性变形过程中，随
着dip 和 i比值的变化而变化，但在变形的 某一瞬间，应变偏量增量的每一分量与相 对应的应力偏量分量的比值都相同为d。 对于理想塑性材料，i = s，因此，比例系 数d又可以写成 p p 莱维－米泽 deij 3 d ip 3 d i d , d 斯流动法则 斯本构方程 2 s sij 2 i 在塑性变形的过程中，比例系数d 不仅与 材料的屈服极限有关，而且还和变形程度 有关。
在 平面上，Mises屈服曲线为一圆。
在 3 = 0的平面上，Mises屈服曲线为一个
以原点为中心，以静水压力 m 与广义剪应 力i为长短轴的椭圆。 在主应力空间，Mises屈服面为一以等倾线 为轴的正圆柱体表面。
Mises屈服条件的几何表示(屈服面)
2
Mises条件
平面上的屈服轨迹
用主应力偏量与主应变偏量表示
e1 e2 e3 1 s1 s2 s3 2G
用主应力差与主应变差表示
1 2 2 3 3 1 1 1 2 2 3 3 1 2G
说明，在弹性阶段，应变莫尔圆与应力莫尔 圆成比例。 用3个主应力差与3个主应变差表示
塑性力学问题的特点
塑性力学问题有如下几个特点：
(1)应力与应变之问题的关系（本构关系）是非 线性的，其非线性性质与具体材料有关； (2)应力与应变之间没有一一对应的关系，它与 加载历史有关； (3)在变形体中有弹性变形区和塑性变形区，而 在求解问题时需要找出弹性区和塑性区的分界 线； (4)在分析问题时，需要区分是加载过程还是卸 载过程。在塑性区，在加载过程中要使用塑性 的应力应变关系，而在卸载过程中则应使用广 义的胡克定律。
于主应力方向已知且不改变的问题，应用 较方便，但忽略了中间主应力的影响，且 屈服线上有角点，给数学处理带来了困难， 没有考虑平均应力对屈服的影响。
米泽斯(von Mises)屈服条件(1913)
当应力强度达到一定数值时，材料进入塑
性状态。 Mises条件可看成为当形变比能达到一定值 时，材料进入屈服状态。 或认为只要应力偏张量的第二不变量达到 某一数值时（或八面体剪应力）达到一定 数值时，材料进入塑性状态。
在莱维－米泽斯理论中，若已知三个正应
力的值，便可确定deip（i = 1, 2 3）之间的 比值，但还不能确定各应变偏量的具体数 值。如果给出deip 的值，则可求出si 的值， 但却求不出应力i的值。只有给出0的值后， 才能求出i的值。
3－5 塑性应力应变关系
在塑性变形阶段，应力与应变关系是非线性的，应
变不仅和应力状态有关，而且还和变形历史有关。 如果不知道变形的历史，便不能只根据即时应力状 态唯一地确定塑性应变状态。而且如果只知道最终 的应变状态，也不能唯一地确定应力状态。
考虑应变历史，研究应力和应变增量之间的关系，
以这种关系为基础的理论称为增量理论。增量理论 是塑性力学中的基本理论。
s

B
理想刚塑性模型：
A
s
O

s

幂强化模型：
n = 1 n=1/2 n=1/3 n=0
O
=1

A n
3－3 广义胡克定律
各向同性材料的胡克(Hooke)定律(一维问题，
1678) 单向拉压
E——拉压弹性模量；
纯剪切 横向与纵向变形关系
G——剪切弹性模量；
2 2 1 3 1 3 2 2 1 3 1 3
说明， =，=
3－4 特雷斯卡和米泽斯屈服条件
塑性变形——当作用在物体上的外力卸去
后，物体中没有完全恢复的那部分永久变 形称为塑性变形。 塑性力学——研究塑性变形和作用力之间 的关系以及在塑性变形后物体内部应力分 布规律的学科称为塑性力学。
第3章 弹性与塑性应力应变关系
第3章 弹性与塑性应力应变关系
1. 拉伸和压缩时的应力应变曲线
2. 弹塑性力学中常用的简化力学模型 3. 广义胡克定律
4. 特雷斯卡和米泽斯屈服条件
5. 塑性应力应变关系
6. 德鲁克公设和伊柳辛公设
7. 塑性本构关系的内在联系
弹塑性力学 弹塑性力学 静力学 静力学
平衡微 分方程
当最大剪应力达到材料的某一定值时，材料就开
始屈服，进入塑性状态。表示为 max = k 当 1 > 2 > 3 时可写作 1 - 2 = 2k 在主应力的次序未知的情况下，Tresca屈服条件应 表示为： 1 2 2k 2 3 2k 3 1 2k 上式中至少一个等式成立时，材料就开始进入塑 性变形。
外切Tresca条件
O
1
内接Tresca条件
3
Mises屈服条件的几何表示(屈服面)
2
3= 0 平面上的屈服轨迹
Tresca条件
O
1
Mises条件
Tresca条件与Mises条件的比较
Tresca条件与Mises条件的比较
两种屈服条件的差别与确定常数的方法有
关。 若用单向拉伸时的屈服极限确定常数，则 在纯剪应力状态下两种屈服条件相差最大， Mises条件所确定的最大剪应力比Tresca条 件所确定的最大剪应力大15. 5%。 若用纯剪时的屈服极限确定常数，则在单 向拉伸时两种屈服条件相差最大，用Mises 条件所确定的最大拉应力比用Tresca条件 所确定的最大拉应力小13.4%。
Mises屈服条件数学表达式
1 2 2 3 3 1
2 2
2
2
2 s
或
( x y )2 ( y z )2 ( z x ) 2 6( xy yz zx ) 2
2 2 2 2 s
2.方程组在线弹性条件下成立。
体积应变与体积弹性模量
令： 则：
m称为平均应力;
q 称为体积应变
广义胡克定律的其他表示形式
物理方程：
物理方程：
用应变表示应力：
或：
各种弹性常数之间的关系
广义胡克定律——应力偏量与应变 偏量的关系
用应力偏量与应变偏量表示
e ij
1 sij 2G
几何学 几何学
几何方 程 应变与 位移的 关系 应变协 调方程 方程
物理学 物理学
物理方 程 应力应 变关系 本构方 程方程
韧性（塑性）金属材料单向拉伸试 验曲线
强度极限
屈服上限 屈服下限 弹性极限 残余变形
强化段
软化段
卸载 弹性变形
3－1 拉伸和压缩时的应力应变曲线
屈服上限 塑性流动阶段
弹性极限 强化阶段 比例极限 屈服下限 卸载 软化阶段
Tresca屈服条件参数
常数k由试验确定。如由单拉试验，一般取
k = s/2 (有时取k = s/ )。如由纯剪切试验， 3 k = s。因此，按照Tresca屈服条件，材料 的剪切屈服极限与拉伸屈服极限之间存在 s = s/2。
Tresca屈服条件的几何表示(屈服面)
在三维应力空间中，1 - 2 = 2k 是一对与
罗德（Lode）的试验结果
应力罗德参
数与塑性应 变增量罗德 参数相等：
d
p
d
2 2 1 3 1 3
p
2d 2p d 1p d 3p d 1p d 3p

由于
d
p
2 i cos 3 2 s2 i cos 120 3 2 s3 i cos 240 3 s1
Mises条件
平面上的屈服轨迹
Tresca条件
O
1
3
Tresca屈服条件的几何表示(屈服面)
2
3= 0 平面上的屈服轨迹
Tresca条件
O
1
Mises条件
Tresca屈服条件的几何表示(屈服面)
2
应力空间屈服面
o
3
1
对Tresca屈服条件的评价
Tresca屈服条件是主应力的线性函数，对
名义应力与真实应力
在体积不可压缩的假设前提下
拉伸（压缩）时的名义应力
荷载
P A0
初始截面积
拉伸时的真实应力 压缩时的真实应力
P T (1 ) A
变形后截面积
P T (1 ) A
3－2 弹塑性力学中常用的简化力学 模型
理想弹塑性


应力偏量张量第二不变量 1 J 2 ( 1 2 )2 ( 2 3 )2 ( 3 1 )2 6


2
八面体（等倾面）上的剪应力
1 0 3
1 2 2 3 3 1
2 2
Mises屈服条件几何表示
或 其中
i s
i
3 2
0 3J 2
按照Mises条件
s
s
3
应力强度、等效应力
i
1 2
1 2 2 2 3 2 3 1 2
形变比能
1 1 2 2 2 3 2 3 1 2 Ws 12G
得
d ip cos d p d ip cos d p 120 d ip cos d p 240 2 2 2 i cos i cos 120 i cos 240 3 3 3
de1p de2p de3p s1 s2 s3
——泊松比
广义胡克定律——对复杂应力状态，在弹性力学
假设条件下，应用叠加原理：
考虑x方向的正应变：
产生的x方向应变： 产生的x方向应变： 产生的x方向应变： 即 同理： 叠加后得
剪应变：
物理方程： 说明：
1.方程表示了各向同性材料的 应力与应变的关系，称为广义 Hooke定律。也称为弹性问题 物理方程。

A B
模型：
s
e E E s s e
O


线性强化弹
塑性模型：
A
B E1
s
E
O
s

e E E1 ( s ) s e

B
线性强化刚塑性
A
模型：
s
O

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E s
莱维－米泽斯塑性本构关系的基本 假设
圣维南认为，在材料达到塑性状态后，应力和应
变没有一一对应的关系，因而提出，在塑性变形 的过程中，应力和应变的关系式应以增量形式给 出，而塑性应变增量的主轴和应力偏量的主轴是 重合的。这个见解为塑性本构关系的建立奠定了 基础，塑性力学中的增量理论就是在这一假设的 前提下发展起来的。 在莱维－米泽斯理论中，包括了如下一些假设： (1) 应变偏量增量与应力偏量成比例； (2) 材料是不可压缩的； (3) 材料是理想刚塑性的； (4) 材料满足米泽斯屈服条件，即i = s。