我所认识的应力与应变的关系
机械与动力工程学院
我所认识的本构关系可以从三个不同的受力条件下进行分析，第一是在弹性变形下的应力与应变的关系，第二是在屈服条件下的应力与应变的关系，第三是在塑性条件下的应力与应变的关系，而对应力与应变的关系的研究也可以归结为对本构关系的研究。
首先，弹塑性力学分别从静力学和几何学的角度出发，导出了平衡方程的和几何方程，这些方程均与物体的材料性质（物理性质）无关，因而适用于任何连续介质。但仅仅依靠平衡方程和几何方程来解决实际中的工程问题是不够的。由于平衡方程仅建立了力学参数（应力分量与外力分量）之间的联系，而几何方程也仅建立了运动学参数（位移分量与应变分量）之间的关系，所以平衡方程与几何方程式两类完全相互独立的方程，他们之间还缺乏必要的联系。对于所求解的问题来讲，因为您未知量的数目多于任何一类方程的个数，所以无法利用这两类方程求的全部未知量。
平衡方程：
⎪⎪⎪⎪
⎭
⎪⎪⎪
⎪⎬⎫⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂=+∂∂+∂∂+∂∂⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂=+∂∂+∂∂+∂∂⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂=+∂∂+∂∂+∂∂222222000t w Z z y x t v Y z y x t u X z y x z zy zx yz y yx xz xy x ρσττρτστρττσ （1） 几何方程：
⎪⎪⎪
⎭⎪⎪⎪⎬⎫∂∂+∂∂=∂∂=∂∂+∂∂=∂∂=∂∂+∂∂=∂∂=
x w z u z w z v y w y v y u x v x u zx z yz y xy x γεγεγε （2） 为了求解具体的力学问题，还必须引进一些关系式，这些关系式即所谓的本构关系。本构关系反映可变形体材料的固有特此那个，故也称为物理关系，它实际上是一组联系力学参数和运动学参数的方程式，即所谓的本构方程。本构方程实际上就是一组反映可变形体材料应力和应变之间关系的方程。
在单向应力状态下，理想弹性材料的应力和应变之间的关系极其简单。这就是在材料力学中寻出的如下形式的胡克定律：
x x E εσ= （3）
胡克定律是一个实验定律，在式（1.1）中的E 是材料性质有关的弹性常数，称为弹性模量和杨氏模量。
在三维应力状态下，描绘一点处的应力状态需要9个应力分量，相应的三维应力状态下，应力与应变之间仍然有类似式（1.1）的线性一一对应关系存在，则称这类弹性体为线性弹性体。对线弹性体，可以把单向应力状态下的胡克定律
推广到三维应力状态。推广得到的式子形式形式为
⎪⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎪⎨⎧+++++=+++++=+++++=+++++=+++++=+++++=zx
yz xy z y x zx zx yz xy z y x yz
zx
yz xy z y x xy zx yz xy z y x z zx
yz xy z y x y zx yz xy z y x x c c c c c c c c c c c c c c c c c c c c c c c c c c c c c c c c c c c c γγγεεετγγγεεετγγγεεετγγγεεεσγγγεεεσγγγεεεσ666564636261565554535251464544434241363534333231262524232221161514131211 (4) 由于应力张量和应变张量的对称性，所以式中只有6个应力分量和应变分量，式
（4）建立了复杂应力状态下得弹性体应力和应变之间的关系，由于它是胡克定律的推广式，故称为广义胡克定律。式中系数mn C （m,n=1,2……6）称为弹性系数，如果弹性体式有均匀材料组成的，则弹性系数mn C 与坐标无关，为取决于材料特性的常数。式（4）可以简写为
kl ijkl ij C εσ= （5） 式中ijkl C 是一个四阶张量，称为弹性张量。满足广义胡克定律的线性弹性体称为各向异性弹性体，各向异性弹性体是线性弹性体的最一般情况。实际上大多数线性弹性体都具有某种取向性，因此满足的本构关系也是简单的。常用的线性体及其相应的本构方程形式如下：
（1）具有一个弹性对称面的线性弹性体
如果线性弹性体内的每一点都存在这样一个平面，与该平面对称的两个方向具有相同的力学性质，则该平面称为线性弹性体的弹性对称面，而垂直于弹性对称面的方向，称为线性弹性体的弹性主方向，独立的弹性常数有13个，而且本构方程的形式如下
⎪⎪⎪⎪⎭
⎪⎪⎪⎪⎬⎫⎪⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎪⎨⎧⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡=⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡zx yz xy z y x zx yz xy z y x C C C C C C C C C C C C C γγγεεετττσσσ6656554434332423221413121100000000 (6) （2）正交各向异性弹塑体
如果线性弹性体内的每一点都存在三个相互垂直的弹性对称面，则称此类线性弹性体为正交各向异性弹性体，正交各向异性弹性体工程中常用的一种线性弹性体材料模型，对于此类线性弹性体，独立的弹性常数减少到9个，而且本构方程的形式如下：
⎪⎪⎪⎪⎭⎪⎪⎪⎪⎬⎫⎪⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎪⎨⎧⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡=⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡zx yz xy z y x zx yz xy z y x C C C C C C C C C C γγγεεετττσσσ66565544332322131211000000000
00 （7） 工程上正交各向异性弹性体的本构方程常采用如下表达式
⎪⎪⎪⎪⎭⎪⎪⎪⎪⎬⎫⎪
⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎪⎨⎧⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦
⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡---=⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡zx yz xy z y x zx yz xy z yz y xz xy x zx yz xy z y x G G G E E E τττσσσυυυγγγεεε101001000100010001 （8） （3）各向同性弹性体
所谓各向同性弹性体，从力学意义山讲，就是弹性体内的每一个点沿各个方向的力学性质都完全相同。这就意味着各向同性弹性体的力学特征的可知，这类弹性体独立的弹性常数只有两个。令μ2=-b a ，λ=b ，321εεε++=Θ则可得下列 本构方程：
⎪⎭
⎪⎬⎫+Θ=+Θ=+Θ=332211222μελσμελσμελσ （9） 式中：λ，μ称为lame 弹性常数
在任意的坐标系里，本构方程可以表示为如下的一般的形式，
⎪⎭
⎪⎬⎫=+Θ==+Θ==+Θ=zx zx yz yz xy xy μγτμελσμγτμελσμγτμελσ332211222 （10） 或者简写为ij ij ij ij ij μεδλμελεδσ22+Θ=+= （11） 工程中常把各向同性弹性体的本构方程写成如下形式：
