第四章应力和应变关系
一. 内容介绍
前两章分别从静力学和运动学的角度推导了静力平衡方程，几何方程和变形协调方程。由于弹性体的静力平衡和几何变形是通过具体物体的材料性质相联系的，因此，必须建立了材料的应力和应变的内在联系。应力和应变是相辅相成的，有应力就有应变；反之，有应变则必有应力。对于每一种材料，在一定的温度下，应力和应变之间有着完全确定的关系。这是材料的固有特性，因此称为物理方程或者本构关系。
对于复杂应力状态，应力应变关系的实验测试是有困难的，因此本章首先通过能量法讨论本构关系的一般形式。分别讨论广义胡克定理；具有一个和两个弹性对称面的本构关系一般表达式；各向同性材料的本构关系等。
本章的任务就是建立弹性变形阶段的应力应变关系。
二. 重点
1. 应变能函数和格林公式；
2. 广义胡克定律的一般表达式；
3. 具有一个和两个弹性对称面的本构关系；
4. 各向同性材料的本构关系；
3. 材料的弹性常数。
§4.1 弹性体的应变能原理
弹性体在外力作用下产生变形，因此外力在变形过程中作功。同时，弹性体内部的能量也要相应的发生变化。借助于能量关系，可以使得弹性力学问题的求解方法和思路简化，因此能量原理是一个有效的分析工具。
本节根据热力学概念推导弹性体的应变能函数表达式，并且建立应变能函数表达的材料本构方程。
根据能量关系，容易得到由于变形而存储于物体内的单位体积的弹性势能，即应变能函数。
探讨应变能的全微分，可以得到格林公式，格林公式是以能量形式表达的本构关系。
如果材料的应力应变关系是线性弹性的，则单位体积的应变能必为应变分量的齐二次函数。因此由齐次函数的欧拉定理，可以得到用应变或者应力表示的应变能函数。
学习要点：
1. 应变能；
2. 格林公式；
3. 应变能原理。
1. 应变能
弹性体发生变形时，外力将要做功，内部的能量也要相应的发生变化。本节通过热力学的观点，分析弹性体的功能变化规律。
根据热力学的观点，外力在变形过程中所做的功，一部分将转化为内能，一部分将转化为动能；另外变形过程中，弹性体的温度将发生变化，它必须向外界吸收或释放热量。设弹性体变形时，外力所做的功为d W，则
d W=d W1+d W2
其中，d W1为表面力F s所做的功，d W2为体积力F b所做的功。变形过程中，由外界输入热量为d Q，弹性体的内能增量为d E，根据热力学第一定律,
d W1+d W2=d E - d Q
因为
将上式代入功能关系公式，则
2. 格林公式
如果加载很快，变形在极短的时间内完成，变形过程中没有进行热交换，称为绝热过程。绝热过程中，d Q=0，故有
d W1+d W2=d E
对于完全弹性体,内能就是物体的应变能，设U0为弹性体单位体积的应变能，则由上述公式，可得
即
设应变能为应变的函数，则由变应能的全微分
对上式积分，可得U0=U0（e ij），它是由于变形而存储于物体内的单位体积的弹性势能，通常称为应变能函数或变形比能。在绝热条件下，它恒等于物体的内能。
比较上述公式，可得
以上公式称为格林公式，格林公式是以能量形式表达的本构关系。
3. 应变能原理
如果加载缓慢，变形过程中物体与外界进行热交换，但物体的温度保持不变，称为等温过程。设等温过程中，输入物体的单位体积热量为d Q，熵的增量为d S，对于弹性变形等可逆过程，根据热力学第二定律，有
因为，d Q=TdS，所以，Q=TS。上式中，T 为绝对温度，TS为输入单位体积的热能。代入公式可得
所以
。
上式中，E0为物体单位体积的内能，TS为输入的热能，即U0=E0 - TS 。所以在等温条件下，功能公式仍然成立。
上述公式是从热力学第一和第二定律出发得到的，因此它不受变形的大小和材料的性质的限制。
如果材料的应力应变关系是线性弹性的，则由格林公式，单位体积的应变能必为应变分量的齐二次函数。因此根据齐次函数的欧拉定理，可得
即
用张量表示，写作
设物体的体积为V，整个物体的应变能为
§4.2 广义胡克定义
根据弹性体的应变能函数，可以确定本构方程的能量表达形式。本节的任务是利用应变能函数推导应力和应变的一般关系。
如果将应力分量表达为应变分量的函数，可以得到应力和应变关系的一般表达式。对于小变形问题，这个一般表达式可以展开为泰勒级数。
对于各向同性材料，根据应力与应变的性质，可以得到具有36个常数的广义胡克定理。
学习要点：
1. 应力应变关系的一般表达式；
2. 广义胡克定理。
1. 应力应变关系的一般表达式
由于应变能函数的存在，通过格林公式就可求出应力。本节将通过应变能的推导应力和应变的一般关系。若将应力表达为应变的函数，则应力和应变关系的一般表达式为
这里的函数f i（i=1，2,…，6）取决于材料自身的物理特性。对于均匀的各向同性材料，单向拉伸或压缩时，应力应变关系可以通过实验直接确定。但是对于复杂的应力状态，即使是各向同性的材料，也很难通过实验直接确定其关系。
这里不去讨论如何建立一般条件下的应力应变关系，仅考虑弹性范围内的小变形问题。
对于小变形问题，上述一般表达式可以展开成泰勒级数，并且可以略去二阶以上的高阶小量。
例如将的第一式展开，可得
上式中（f 1）0表达了函数f 1在应变分量为零时的值，根据应力应变的一般关系式可知，它代表了初始应力。
2. 广义胡克定理
根据无初始应力的假设，（f 1）0应为零。对于均匀材料，材料性质与坐标无关，因此函数f 1对应变的一阶偏导数为常数。因此应力应变的一般关系表达式可以简化为
