弹塑性力学定理和公式
应力应变关系
弹性模量||广义虎克定律
1.弹性模量
对于应力分量与应变分量成线性关系的各向同性弹性体,常用的弹性常数包括:a弹性模量单向拉伸或压缩时正应力与线应变之比,即b切变模量切应力与相应的切应变之比,即
c体积弹性模量三向平均应力
与体积应变θ(=ε某+εy+εz)之比,即
d泊松比单向正应力引起的横向线应变ε
的绝对值与轴向线应变ε的绝对值之比,即
此外还有拉梅常数λ。对于各向同性材料，这五个常数中只有两个是独立的。常用弹性常数之间的关系见表3-1弹性常数间的关系。室温下弹性常数的典型值见表3-2弹性常数的典型值。
2.广义虎克定律
线弹性材料在复杂应力状态下的应力应变关系称为广义虎克定律。它是由实验确定，通常称为物性方程，反映弹性体变形的物理本质。
A各向同性材料的广义虎克定律表达式（见表3-3广义胡克定律表达式）对于圆柱坐标和球坐标，表中三向应力公式中的某、y、z分别用r、
θ、z和r、θ、θ代替。对于平面极坐标，表中平面应力和平面应变公式中的某、y、z用r、θ、z代替。
B用偏量形式和体积弹性定律表示的广义虎克定律应力和应变张量分解为球张量和偏张量两部分时，虎克定律可写成更简单的形式，即体积弹性定律
应力偏量与应变偏量关系式
在直角坐标中，i,j=某,y,z；在圆柱坐标中，i,j=r,θ,z,在球坐标中i,j=r,θ,θ。
弹性力学基本方程及其解法
弹性力学基本方程||边界条件||按位移求解的弹性力学基本方法||按应力求解的弹性力学基本
方程||平面问题的基本方程||基本方程的解法||二维和三维问题常用的应力、位移公式
1.弹性力学基本方程
在弹性力学一般问题中，需要确定15个未知量，即6个应力分量，6个应变分量和3个位移分量。这15个未知量可由15个线性方程确定，即
(1)3个平衡方程[式（2-1-22）]，或用脚标形式简写为
(2)6个变形几何方程[式（2-1-29）]，或简写为
(3)6个物性方程[式（3-5）或式（3-6）]，简写为
或
2.边界条件
弹性力学一般问题的解，在物体内部满足上述线性方程组，在边界上必须满足给定的边界条件。弹性力学问题按边界条件分为三类。
a应力边界问题在边界Sζ表面上作用的表面力分量为F某、Fy、Fz.。面力与该点在物体内的应力分量之间的关系，即力的边界条件为式中，lnj=co(n,j)为边界上一点的外法线n对j轴的方向余弦。
这一类问题中体积力和表面力是已知的，求解体内各点的位移、应变和应力。b位移边界问题在边界S某上给定的几何边界条件为式中，Ui为表面上给定的位移分量。
某
这一类问题是已知体积力和表面各点的位移，求解体内各点的位移、应变和应力。c混合问题部分边界上给定力，部分边界上给定位移。
3.按位移求解的弹性力学基本方法
按位移求解时，以3个位移分量为基本未知量，利用几何方程和物性方程，15个基本方程简化为以位移表
示的平衡方程：
求解时位移分量在物体内部满足式（3-14），在位移边界Su上满足式（3-13），在应力边界Sζ上满足式（3-12），但式中的应力分量应利用应力-应变关系和应变-位移关系变换为位移的形式。求出位移分量后，再利用几何方程和物性方程，求出应变和应力分量。
4.按应力求解的弹性力学基本方程
按应力求解时，以6个应力分量为基本未知量。它们必须满足平衡方程，同时还要满足以应力表示的协调方程，即
式（3-15）和平衡方程式（2-1-22）一起，成为按应力求解弹性问题
的基本方程组。按应力求解弹性问题，就是寻求满足基本方程式（2-1-22）和式（3-15），以及边界条件[式（3-12）]的解。
5.平面问题的基本方程
弹性力学平面问题，包括平面应力和平面应变问题两类。通常利用应
力函数将弹性力学平面问题简化为解双调和方程的边值问题。平面问题基
本方程的直角坐标和极坐标表达式见表3-4平面问题的基本方程。表中除
物性方程外，对于其他方程，平面应力和平面应变问题中的形式是相同的。比较一下这两类问题的基本方程后
2
可知，只要将平面应力问题的解中的弹性常数E、v改为E/（1-V）、V/（1-V）后，就得到对应的平面应变问题的解。因此，对于截面形状和
边界条件相同的物体，平面应力问题与平面应变问题中的应力分布（ζ
某、ζy、η某y、ζz除外）是相同的。
6.基本方程的解法
15个弹性力学基本方程简化为以位移表示的3个平衡方程[式（3-14）]或以应力表示的6个协调方程[式（3-15）]。求解上述方程时，类
似在平面问题中应用艾雷应力函数所用的方法，常引用应力函数或位移函数，以消去应力分量或位移分量，求解以应力函数表示的协调方程，或以
位移函数表示的平衡方程。
表3-5帕普科维奇-诺埃伯谢函数和勒夫谢函数列出用帕普科维奇-诺埃伯函数和勒夫函数表示的无体积力时平衡方程的齐次解。勒夫函数常用于求解轴对称问题。
7.二维和三维问题常用的应力、位移公式
（见表3-6二维和三维问题常用的应力、位移公式）
能量原理
应变能、应变余能与应变能定理||虚位移定理||最小势能原理||虚力原理||最小余能原理||卡氏定理||互等定理||李兹法
直接求解弹性力学基本方程在数学上存在困难，只有一些比较简单的问题已求得精确解。而能量法把求解问题的过程转变为一种极值问题，它比直接求解偏微分方程边值问题能更方便地得到近似解。因此能量原理是目前广泛应用的近似计算方法的基础。1.应变能、应变余能与应变能定理a应变能单位体积的应变能称为应变能密度，以W表示。W为应变分量εij的函数，W可用脚标形式表示为
对于线弹性体，其值为
线弹性体的总应变能为
对各向同性材料，利用虎克定律，应变能密度可用单一的应力分量或应变分量表示为
b应变余能单位体积的应变余能W某为应力分量ζij的函数，W某（ζij）定义为
对线弹性体，
c用应变能和应变余能表示力与应变的关系应变能密度函数W
（εij），表示因弹性变形而储存于单位体积内的弹性势能。应力与应变
之间的关系，通过弹性势函数W表示为
如果把应变分量表示为应力分量的函数时，则存在如下关系式，即
对线弹性体，W某=W，式（3-34）变为
d应变能定理如果弹性体在变形过程中无能量耗损，则弹性体内的应
变能在数值上等于外力在变形过程中所作的功，即
式中，A为外力所作的功，包括体积力和面力所作的功。2.虚位移定
理
弹性体在外力作用下处于平衡状态时，体内各点如果发生一虚位移
δui(所谓虚位移，是指几何约束容许的任意、微小的位移，也就是指符
合物体的连续条件和位移边界条件的可能位移)，则外力对虚位移所作的
功（虚功），等于虚位移所引起的弹性体的虚应变能，即
式中，虚功δA包括体积力fi和面力pi在虚位移δui上所作的功，即
因虚位移而引起的虚应变能为
式（3-37）称为虚功原理或虚位移原理。虚位移原理等价于平衡条件。如结构上的外力在虚位移上所作的虚功等于结构的应变能，则结构必处于
平衡状态。在虚位移原理推导过程中并未应用虎克定律，虚位移原理也适
用于非弹性体。3.最小势能原理
如果外力可由一个势函数V导出，外力势V=-A,则δV=-δA.由式
（3-37），得变分方程
式中,
称为系统的总势能，是位移的函数。式（3-38）表明：弹性体处于平
衡状态时，其内力和外力的总势能取驻值。可以证明，线弹性体处于平衡
状态时，其总势能取最小值。因此，式（3-38）称为最小势能原理。也就
是说，在所有几何容许位移中，满足势能驻值条件δⅡ=0的位移解，使
总势能Ⅱ取最小值。在应用中，可根据势能驻值条件去求解弹性力学问题。
在分析结构稳定问题时，在平衡状态（δⅡ=0），总势能Ⅱ可能取极
大值（δ2Ⅱ<0，不稳定平衡），驻值（δ2Ⅱ=0，临界状态）或极小值
（δ2Ⅱ>0，稳定平衡）。4.虚力原理
如对变形协调的弹性体施加某种虚力（即平衡条件所容许的，任意微
小的力的改变，包括虚应力δζij和虚面力δpI）,则虚外力在真实位
移上的虚余功δA某等于虚应变余能，即
物体内的热应力为
图3-6半无限体表面上的点热源
塑性力学基本方程
屈服条件||塑性应力应变关系||滑移线场理论||极限分析定理
1.屈服条件
对于处于单向拉伸（或压缩）的物体，当应力达到屈服极限时，材料
开始进入塑性状态，对于处于复杂应力状态的物体，由弹性状态过渡到塑
性状态的临界条件称为屈服条件。在应力空间将初始屈服的应力点连成的
弹性和塑性的分界面称为屈服面。描述屈服面的数学表达式称为屈服函数。常用的各向同性金属材料的屈服试验表明，屈服应力数据点介于屈雷斯卡
（Treca）屈服条件和密赛斯（Mie）屈服条件之间，而更接近于密赛斯屈服条件。
A屈雷斯卡屈服条件（最大切应力条件）屈雷斯卡屈服条件为：当最大切应力达到某一极限值时，材料开始进入塑性状态，即
在主应力空间，当差值∣ζ1-ζ2∣、∣ζ2-ζ3∣、∣ζ3-ζ1∣中任一个达到2k时，材料进入塑料性状态。因此用屈雷斯卡条件表示的屈服面为由下列六个平面组成的正六边形柱体（图3-7a），即材料常数k由实验确定。在拉伸试验时，ζ1=2k=ζ，即k=ζ/2。在纯剪切试验时，ζ1-ζ3=2k=2η，即k=η。如果屈雷斯卡条件成立，必有η=1/2ζ
图3-7屈服面
B密赛斯屈服条件密赛斯条件为：:当切应力强度η
I
等于剪切屈服极限η
时，材料开始屈服；或者当
应力强度ζI等于拉伸屈服极限ζ时，材料开始屈服，即
或
式中，j′2为应力偏量第二不变量对于密赛斯条件，η=ζ
。密赛斯条件与屈雷斯卡条件的最大差别不超过15%。
在主应力空间，密赛斯屈服面为一外接于屈雷斯卡屈服面的圆柱面。
在平面应力状态，设ζ＝0，则在ζ1、ζ2应力平面上，密赛斯条件为
一椭圆，屈雷斯卡条件为内接六边形（图3-7b）。
C后继屈服函数（加载函数）已产生塑性变形的材料，继续塑性变形
的条件，称为后继屈服条件。在主应力空间满足后继屈服条件的应力点所
连成的曲面，称为后继屈服面（加载面）。对于理想塑性材料，后继屈服
面即为初始屈服面；对于强化材料，后继屈服面随塑性变形的历史而变化。描述后继屈服面的函数，称为后继屈服函数或加载函数，一般可写成式中，H为应变历史和材料性质的函数。在应力空间，加载面随H的
变化而改变其形状、大小和位置。目前应用较多的两种简单的强化模型为
等向强化模型和随动强化模型。图3-8表示按照屈雷斯卡屈服条件在π
面（ζ1+ζ2+ζ3=0的面）上的屈服曲线和加载曲线。
图3-8屈服曲线和加载曲线
等向强化模型的加载函数表示为
式中，H为决定于塑性应变历史的单调递增正函数。加载面是初始屈
服面等向扩大，屈服面中心位置不变。这种模型不考虑材料的包辛格效应。随动强化模型的加载函数表示为
式中，ζij表示初始屈服面中心在应力空间的残茶剩饭量。加载面
的大小，形状保持不变。2.塑性应力应变关系
塑性应力应变关系有增量（流动）理论和全量（形变）理论两种类型。
A增量理论材料在塑性变形时，应力与应变之间一般不存在一一对应
的关系。增量理论假设在塑性流动的任一瞬时，塑性应变增量矢量与加载
面正交，即
对理想塑性材料，ψ＝f。若取f为密赛斯屈服函数时，上式变为
对于刚塑性材料，式（3-70）写成完全表达式为
式中，
式（3-71）称为列维-密赛斯（levy-Mie）关系式。若考虑弹性变形，则对密赛斯理想塑性材料有
式中，塑性功增量
式（3-73）称为普朗特-劳埃斯(prandtl-Reu)关系式。
对于具有密赛斯等向强化加载面的强化材料，增量理论公式中的比例
因子dλ为与材料强化性质有关的非负标量，当加载时
式中H′为强化函数H对其自变量的导数。
B全量理论全量理论用应力和应变的瞬时值表示的塑性应力应变关系，是塑性应力应变增量关系沿加载途径的积分形式。当满足小变形及简单加
载（应力分量成比例增长）条件，应力强度ai和应变强度εi之间存在
单一的函数关系。这时全量理论表达为
式中，应变强度
3.滑移线场理论
滑移线场理论，是基于塑性材料在屈服流动时，沿最大切应力方向，
成为塑性变形区内的特征性质。据此来对整个变形区进行应力分布的数值
分析。
此处所讨论的滑移线场理论，只限于各向同性的理想刚塑性材料的平
面应变问题，并假设屈服条件与静水压力无关。
A应力方程不滑移线场的几何性质
(1)应力方程在塑性变形区内，连接最大切应变方向的线，称为滑移线。两族正交的滑移线组成的网络，称为滑移线场。这两簇曲线，分别称
为α簇和β簇。从α线到β逆时针转动时，最大主应力方向在α线
和β线之间。从某轴到α线的逆时针转角用θ表示（图3-9）。α、
β的曲线方程为
图3-9α、β线和应力图
由于主切应力面上的切应力k=η，如果正应力ζ(ζ=ζ某+ζy/2)
和θ角已知时，滑移线场内任一点的应力仅取决于ζ、θ的变化，即由单元体平衡条件，应力沿滑移线变化规律为
式（3-80）称为汉基（Hencky）应力方程(2)滑移线场的几何性质
1.沿线性质由应力方程,沿同一滑移线移动时,ζ和θ的变换成正比,即
在直线段上,ζ和θ都是常量。
2.跨线性质（图3-10）位于两根同簇滑移线之间的另一簇滑线段上，θ的变化相等，即
相应地，ζ的变化也相等，即
图3-10跨线性质
B速度方程和速端曲线在刚塑性体平面应变问题中，沿滑移线上的线
应变为零。因此将任一点处的质点速度沿α线和β线分解为vα和vβ（图3-11），得到速度沿线变化规律为
图3-11速度的分解
式（3-84）称为盖林格（Geiringer）速度方程。
可以把速度方程改写成差分方程，求出节点速度，建立速度场。也可
以用作图法作速度图（速度矢端曲线）来表示速度分布。由于沿滑移线上
线应变为零，同一滑线相邻两点的相对速度必与该滑移线线元正交。因此
滑移线上各点的速度矢端曲线与该滑移线线元正交。图3-12中代表P1点
的速度平面上的映象即为速度图。
图3-12速度场和速端曲线(a)物理平面(b)速端曲线
4.极限分析定理
在设计中把加载的极限状态作为设计准则的分析方法，称为极限分析。理想刚塑性结构的极限载荷，是指载荷增加到某一数值时，结构达到极限
状态，这时即使载荷不再增加，塑性变形继续发展。由于求解弹塑性结构
极限状态对应的极限载荷比较复杂，因此需要寻求一种计算极限载荷的近
似方法，即利用极限分析上下限定理，来估计极限载荷的近似值范围。在
分析中，把材料假定为理想刚塑性体。
B上限定理任一与运动许可速度场相对应的载荷，恒大小或等于极限
载荷。在塑性状态下，任一运动许可速度场上所作的功率，恒大于或等于
极限载荷表面力，在真实应变速度场上所作的功率，即
式中，V某I--任一运动许可速度场
k--剪切屈服应力
S某D--速度不连续面ΔV某--S某D面上速度不连续量ζ
某ij
和ε
某ij
——由V某i导出的应力和应变速度率如果塑性机构按刚性块在速度
不连续面上相互移动，
则上式左边第一项为零，在许多实际问题中，力的边界条件
，这时式（3-86）简化为
粘弹性
粘弹性模型与本构关系||三维性粘弹性理论的基本方程与对应原理
弹性理论和塑性理论中的应力应变关系，都不考虑时间和速率的影响。近代某些工程材料，在一定条件下，显示出与时间有关的性质。例如，金属、陶瓷和高聚合物在较高温度下发生蠕变，即在不就应力下应变随时间
绶慢增加的现象。在定应变下，应力随时间绶慢衰减的现象，称为松弛。
具有明显时间效应的本构关
系的物体，称为粘弹性理论。1.粘弹性模型与本构关系
A基本元件粘弹性体的力学模型，可看作具有理想弹性元件（弹簧，
用S表示）的组合体。
在简单拉伸情况下，理想弹性元件（图3-14a）的应力应变关系为
ζ=Eε
而理想粘性元件（图3-14b）的应力应变率关系为
图3-14弹簧阻尼器
式中,η--粘性系数
B马克思威尔体由S和D串联的粘弹性模型称为马克思威尔体（图3-15a）。用字母M或S-D表示，
其本构方程为
式中，p1、q1为材料常数，p1＝η/E，q1＝η。方程的解含有时间t 在定应力下应变随时间的变化规律，即蠕变特性为
变形随时间t线性（图3-15b），表现出流体粘性性质。
在定应变ε0下的松弛特性（图3-15c）为
图3-15马克思威尔体
(a)粘弹性模型(b)蠕变曲线(c)松弛曲线
C开尔文体（图3-16a）为S和D并联组成的粘弹性模型。用字母K 或S/D表示。开尔文体的本构方程
为
图3-16开尔文体
(a)粘弹性模型(b)蠕变曲线(c)松弛曲线
式中q0=Eq1=η
开尔文体在定应力ζ0下蠕变特性（图3-16b）为
式中η=q1/q0
在定应变εo的松弛特性（图3-16c）为
ζ=q0ε0+q1ε0·δ(t)
其中，δ（t）为狄拉克函数，即当t≠0时，δ（t）＝0；t＝0时，δ（t）＝+∞
D多元件模型的本构方程实际材料的粘弹性特性与上述两种模型往往
不符，因此寻求由更多元件组成
的模型。其本构关系列在表4.5-10中。多元件模型的本构方程的一
般形式为
式中，P，Q为线性微分运算算子。引入算子符号D后，
E蠕变柔度和松弛模量除了用式（3-91）微分形式的本构方程来描述
粘弹性体的流变性质外，可以用蠕变柔度J（t）和松弛模量Y（t）来表
示粘弹性体在定应力下的蠕就特性和定应变下的松弛特性。在定应力ζ=ζ0△(t)作用下[Δ（t）为单位阶跃函数，当t＜0时，Δ（t）
＝0；t＞0时，Δ（t）＝1]，应变ε随
时间的变化关系为。
式中蠕就柔度J（T）为在单位应力ζ(t)=1某Δ(t)作用下，应变
ε随时间的变化规律。
在定应变ε＝εoΔ（t）作用下，应力ζ时间的变化关系为
式中松弛模量Y（t）为在单位应变ε（t）＝1某Δ（t）作用下，
应力ζ随时间的规律。
各种粘弹性模型的J（t）和Y(t)，见表3-10粘弹性材料。
F记忆积分在就应力ζ(t)情况下，可用叠加原理把ζ(t)看作是
ζ0Δ（t）和一系列无限小阶跃函数dζ′Δ(t-η)和叠加，其中dζ′
＝dζ（η）=(dζ/dt)t=ηdη（图3-17）。因而与任意变化的应力ζ(t)相对应的应变ε（t）等于这两部分独立作用的结果。于是得到以蠕变柔度J（t）表示的积分形式的本构关
系
图3-17记忆积分的推导
式（3-94）表示在整个应力历史上应变的变化。这个积分称为记忆积分。同样，在变应ε（t）情况下，以松弛模量Y（t）表示的应力ζ(t)的表达式为
在实验室中蠕变试验和松弛试验，为研究粘弹性材料常用的标准静载试验。用蠕变柔度J(t)和松弛模量Y(t)表示的积分形式的本构关系在拟
合曲线方面往往更为方便。除了用静载试验研究粘弹性特性外，还有用按简
谐变化的应力（或应变）下研究应变（或应力）的粘弹性响应。
2.三维性粘弹性理论的基本方程与对应原理
A基本方程三维线性粘弹性理论的基本方程组中，三个平衡方程，六个几何方程，以及应力和位移
的边界条件弹性理论中相同。
根据实验结果，对于各向同性粘弹性材料，应变球张量只与应力球张量有关，应变偏量只与应力偏量有关。
因此以积分形式用松弛模量表示的三维本构关系为
式中，ζ=ζ某+ζy+ζz,e=ε某+εy+εzG(t)和K(t)分别为纯剪切和各向等压试验时的松弛模量。
B对应原理对式（3-96）作关于时间t的拉普拉斯变换后，得到
将式（3-97）中的()()置换为K、G后所得的方程和用体积弹性模量K和切变模量G表示的
线弹性方程完全相同。因此，可以在求解某一粘弹性问题时，先找出相应的弹性问题的解，经拉普拉斯变换求出弹性问题在象平面上的解。将其中所含的弹性常数K、G替换后得到粘弹性问题在象平面上的解。最后再经拉普拉斯逆变换，得到所要求的粘弹性问题的解。这种粘弹性问题在象平面上的解。最后再经拉普拉斯逆
变换，得到所要求的粘弹性问题的解。这种粘弹性问题和弹性问题的对应关系，称为对应原理。
弹塑性力学基本内容 本课程是以物体的应力、应变理论以及在工程中的应用主要对象的一门基础性、实践性很强的应用学科。 教学目标为在强化物体的应力、应变理论基础的同时，关注物体的弹性力学模型的建立、分析和应用，并兼顾塑性理论的建立。在深度和广度上力求体现学科专业发展的前沿，有利于研究生掌握弹性理论专门知识，了解塑性理论的思想和方法，并着重在基础理论和实践应用两方面进行科研能力的培养。其基本要求为：使学生掌握弹性理论的建立、分析、应用，初步掌握塑性力学理论，使其具有从事弹性力学分析的知识和初步能力。 （1）弹塑性力学的研究对象和内容、弹塑性力学的分析方法和体系、弹塑性力学的基本假定 应力矢量、应力张量、Cauchy公式、平衡微分方程、力边界条件、应力分量的坐标变换、主应力、应力张量不变量、最大切应力、Mohr应力圆、偏应力张量及其不变量、八面体上的应力和等效应力、主应力空间与π平面 （2）位移分量和应变分量、两者的关系、物体内无限邻近两点位置的变化、转动分量、转轴时应变分量的变换、应变张量、主应变应变张量不变量、应变协调方程、应力和应变的关系、应力率和应变增量 （3）弹性力学的基本方程及其边值问题、位移解法（以位移表示的平衡微分方程）、应力解法（以应力表示的应变协调方程）、解的唯一性定理、局部性原理、逆解法和半逆解法、几个简单问题的求解 （4）平面应变问题、平面应力问题、应力解法（把平面问题归结为双调和方程的边值问题）、用多项式解平面问题、悬臂梁一端受集中力作用、简支梁受均匀分布荷载作用（5）平面问题的极坐标方程、轴对称应力问题和对应的位移、圆筒受均匀压力作用、曲梁的纯弯曲、具有小圆孔的平板的均匀拉伸 （6）薄板弯曲的基本概念及基本假设、弹性曲面的基本公式、薄板横截面上的内力、边界条件、圆形薄板弯曲问题 （7）塑性力学的基本概念、材料在简单拉压时的实验结果、应力-应变关系的简化模型、轴向拉伸时的塑性失稳、塑性本构关系的主要内容和研究方法 （8）应变张量和应力张量、屈服条件、几个常用的屈服条件、屈服条件的实验验证、加载条件 （9）塑性应变增量、加卸载判别准则、Drucker公设和Ilyushin公设、加载面外凸性和正交流动法则、塑性势理论、简单弹塑性问题
第七章 柱体的扭转 §7—1 任意等截面直杆的自由扭转 所谓柱体的扭转，是指任意形状等截面直杆只在端部横截面上作用着大小相等指向相反的力偶矩矢时的变形。 力偶矩矢（即扭矩矢）与柱体的轴线 z 相重合； 若杆件横截面的变形不受约束，则称为自由扭转。 通常约束扭转对于实体杆件影响不大，而对于开口或闭口薄壁杆件，将伴随有纵向弯曲。 本章讨论自由扭转问题。 圆形截面柱体的自由扭转，在材料力学课程中已经进行过讨论。 非圆形截面柱体的情况则要复杂得多。由于截面的非对称形式，在扭转过程中，截面将不再保持为平面，横截面上各点产生轴向位移，而发生截面的翘曲变形，即： 0),,( z y x w 上述函数 ),,(z y x w 称为翘曲函数，翘曲函数在一些弹性力学教科书中亦称为扭转函数 。 翘曲函数（扭转函数）在自由扭转问题中可进一步证明，仅是x 、y 的函数。 下面我们在讨论柱体的扭转问题中采用应力解法应力函数解法求解。 设有一任意截面柱体，受扭矩M T 作用，如图7—1所示，在计算中为简便起见，可假定杆的右端不能转动，但可以自由翘曲。这样就限制了柱体的刚性位移。 选取右手坐标系，坐标原点o 为右端横截面的形心，z 轴与杆轴重合，x 、y 轴为左端面内相互垂直的一对形心轴。
根据截面的翘曲变形与z 无关，即各截面的翘曲都一样，可以取z 为任意值处的横截面mn 研究，这就是说，翘曲函数w 仅为x ，y 的函数，即： ) ,(y x w w = （7—1） 此外，假设：柱体发生变形后截面只有绕z 轴的刚周边的刚性转动。单位长度的（相对）扭转角 θ 是一个常数。 因而，截面的总扭转角与该截面到右端固定端坐标原点 o 的距离z 成正比 （固定端没有转动但有翘曲），即 z 处截面的扭转角为 z θ 。 显然：总扭转角包括有累积的刚性转动位移； 而所引起的角应变 γ与柱体截面的位置坐标z 无关； 在图7—2中表示了 z θγ与 的关系。 现在考察离固定端为z 的截面上离形心o '为r 的任一点M (x , y , z ) ，扭转后位 移到 M '点，沿x , y 方向的位移分量（图7—3）有： z y z r u θαθ-=-=sin )( ； z x z r v θαθ==cos )( （7—2） 式中 α 为 o ' M 与x 轴正方向所成的角。
第四章应力和应变关系 一. 内容介绍 前两章分别从静力学和运动学的角度推导了静力平衡方程，几何方程和变形协调方程。由于弹性体的静力平衡和几何变形是通过具体物体的材料性质相联系的，因此，必须建立了材料的应力和应变的内在联系。应力和应变是相辅相成的，有应力就有应变；反之，有应变则必有应力。对于每一种材料，在一定的温度下，应力和应变之间有着完全确定的关系。这是材料的固有特性，因此称为物理方程或者本构关系。 对于复杂应力状态，应力应变关系的实验测试是有困难的，因此本章首先通过能量法讨论本构关系的一般形式。分别讨论广义胡克定理；具有一个和两个弹性对称面的本构关系一般表达式；各向同性材料的本构关系等。 本章的任务就是建立弹性变形阶段的应力应变关系。 二. 重点 1. 应变能函数和格林公式； 2. 广义胡克定律的一般表达式； 3. 具有一个和两个弹性对称面的本构关系； 4. 各向同性材料的本构关系； 3. 材料的弹性常数。
§4.1 弹性体的应变能原理 弹性体在外力作用下产生变形，因此外力在变形过程中作功。同时，弹性体内部的能量也要相应的发生变化。借助于能量关系，可以使得弹性力学问题的求解方法和思路简化，因此能量原理是一个有效的分析工具。 本节根据热力学概念推导弹性体的应变能函数表达式，并且建立应变能函数表达的材料本构方程。 根据能量关系，容易得到由于变形而存储于物体内的单位体积的弹性势能，即应变能函数。 探讨应变能的全微分，可以得到格林公式，格林公式是以能量形式表达的本构关系。 如果材料的应力应变关系是线性弹性的，则单位体积的应变能必为应变分量的齐二次函数。因此由齐次函数的欧拉定理，可以得到用应变或者应力表示的应变能函数。 学习要点： 1. 应变能； 2. 格林公式； 3. 应变能原理。
《弹塑性力学》课程 第一篇 基础理论部分 第一章 应力状态理论 1.1 基本概念 1． 应力的概念 应力：微分面上内力的分布集度。从数学上看，应力s P F s ??=→? 0lim ν 由于微分面上的应力是一个矢量，因此，它可以分解成微分面法线方向的正应力ν σ和微分面上的剪应力ντ。 注意弹塑性力学中正应力和剪应力的正负号规定。 2． 一点的应力状态 （1）一点的应力状态概念 凡提到应力，必须同时指明它是对物体内哪一点并过该点的哪一个微分面。物体内同一点各微分面上的应力情况，称为该点的应力状态。 （2）应力张量 物体内任一点不同微分面上的应力情况一般是不同的，这就产生了一个如何描绘一点的应力状态的问题。应力张量概念的提出，就是为了解决这个问题。在直角坐标系里，一点的应力张量可表示为 ????? ? ? ?=z zy zx yz y yx xz xy x ij στττστττσσ 若已知一点的应力张量，则过该点任意微分面ν上的应力矢量p 就可以由以下公式求出： n m l p xz xy x x ττσν++= （1-1’a ） n m l p yz y yx y τστν++= （1-1’b ） n m l p z zy zx z σττν++= （1-1’c ） 由式（1-1），还可进一步求出该微分面上的总应力p 、正应力νσ和剪应力v τ： 2 22z y x p p p p ++= （1-2a ） nl mn lm n m l zx yz xy z y x τττσσσσν222222+++++= （1-2b ）
22ννστ-=p （1-2c ） （3）主平面、主方向与主应力 由一点的应力状态概念可知，通过物体内任一点都可能存在这样的微分面：在该微分面上，只有正应力，而剪应力为零。这样的微分面即称为主平面，该面的法线方向即称为主方向，相应的正应力称为主应力。 主应力、主方向的求解在数学上归结为求解以下的特征问题： }{}]{[i n i ij n n σσ= （1-3） 式中，][ij σ为该点应力张量分量构成的矩阵，n σ为主应力，}{i n 为主方向矢量。 由于应力张量矩阵是实对称方阵，根据线性代数知识可知，式（1-3）必定存在实数的特征值，即主应力n σ必然存在。求解主应力n σ的特征方程如下： 032213=---I I I n n n σσσ （1-4a ） 式中，I 1、I 2和I 3分别称为应力张量的第一、第二和第三不变量。并且， 3211σσσσσσ++=++=z y x I （1-4b ） ) (1332212 222σσσσσστττσσσσσσσττσσττσσττσ++-=+++---=- -- =zx yz xy x z z y y x x zx zx z z yz yz y y xy xy x I （1-4c ） 3213σσσστττστττσ==z zy zx yz y yx xz xy x I （1-4d ） 应注意在主应力求出之后，相应的主方向的求解方法。 （5）最大剪应力 在与主方向成450角的微分面内，剪应力取极值。若规定321σσσ≥≥，则最大剪应力出现在过2σ主应力轴而平分1σ和3σ轴的微分面上，并且 2 3 1max σστ-= （1-5） （6）应力球量与应力偏量——应力张量的分解 ij ij s +=σσ （1-6） 式中，??? ?? ? ?=m m m σσσσ0 000 00 和????? ? ??---=m z zy zx yz m y yx xz xy m x ij s σστττσστττσσ分别称为应力球量和 应力偏量，并且 3/)(3/1z y x m I σσσσ++==。
弹塑性力学读书笔记 弹塑性力学是固体力学的一个重要分支学科，是从宏观尺度研究可变形固体受到外载或温度变化等因素的影响而发生的应力、应变和位移及其分布规律的一门科学，是研究固体在受载过程中，产生的弹性变形和塑性变形阶段这两个紧密相连的变形阶段力学响应的一门科学，是研究固体在外力作用下产生变形、流动和断裂的一门科学。 弹塑性力学分析解决问题的基本思路是： （1）静力平衡受力分析：受力处于平衡状态的物体，应当满足什么条件？（静力平衡条件） （2）几何协调变形分析：材料受力变形前是连续的，变形后仍然是连续的。在小变形的前提条件下，固体内既不出现“空隙”，也不产生“重叠”。材料的变形应满足什么协调条件？（几何相容条件） （3）力与变形间物理关系分析：对固体材料不同的变形形式，受力与变形之间应满足不同的物理关系。这些物理关系是什么？（本构关系）弹塑性力学的基本研究方法：首先在物体（即研究对象）内任选一点（单元体）为研究对象；然后对单元体根据基本思路进行：（1）受力分析；（2）几何变形分析；（3）受力与变形的物理分析；经过这三方面分析，从而建立起普遍适用的弹塑性基本理论，并根据不同的边值问题提出不同的解法，最终使问题得以解决。 弹塑性力学的研究对象和基本假设：弹塑性力学研究对象是可变形固体，是不受几何尺寸与形态限制的能适应各种工程技术问题需求的物体。弹塑性力学对其研究对象所做的基本假设是： （1）连续性假设：是基本假设，是利用数学工具研究力学问题的前提； （2）均匀性假设：有利于材料力学性质的测试和本构关系的简化； （3）各向同性的假设：有利于材料力学性质的测试和本构关系的简化； （4）小变形假设（或小变形前提条件）：限制了力学问题的研究范围，有利于力学问题分析计算过程的简化； 应力的概念：一点的应力状态·应力分量转换方程，由于在同一截面上各点处的分布内力有强弱之分和方向之别，因此当谈及一个应力时，不仅要说明该应力分量是受力物体内哪一点处的应力，而且还要表明该应力是作用在该点的哪一个截面上，其指向又同那个方向平行。为了表明以上情况，我们给应力分量符号两个下脚标字母记号，第一个字母表示该应力作用截面的外法线方向同那一个坐标轴相平行，第二字母表示该应力的指向同那个坐标轴相平行。由于表示正应力分量符号的两个下脚标字母总是相同的，故缩记为一个字母表示这两层含意。 图1-1 在图一中，和，就分别表示受力物体内C点处外法线为n的K截面
弹性力学基础知识点复习 固体力学的重要分支，它研究弹性物体在外力和其他外界因素作用下产生的变形和内力，又称弹性理论。它是材料力学、结构力学、塑性力学和某些交叉学科的基础，广泛应用于建筑、机械、化工、航天等工程领域。 弹性体是变形体的一种，它的特征为：在外力作用下物体变形，当外力不超过某一限度时，除去外力后物体即恢复原状。绝对弹性体是不存在的。物体在外力除去后的残余变形很小时，一般就把它当作弹性体处理。 人类从很早时就已经知道利用物体的弹性性质了，比如古代弓箭就是利用物体弹性的例子。当时人们还是不自觉的运用弹性原理，而人们有系统、定量地研究弹性力学，是从17世纪开始的。 弹性力学所依据的基本规律有三个：变形连续规律、应力-应变关系和运动(或平衡)规律，它们有时被称为弹性力学三大基本规律。弹性力学中许多定理、公式和结论等，都可以从三大基本规律推导出来。连续变形规律是指弹性力学在考虑物体的变形时，只考虑经过连续变形后仍为连续的物体，如果物体中本来就有裂纹，则只考虑裂纹不扩展的情况。这里主要使用数学中的几何方程和位移边界条件等方面的知识。 弹性力学所依据的基本规律有三个：变形连续规律、应力-应变关系和运动（或平衡）规律，它们有时被称为弹性力学三大基本规律。弹性力学中许多定理、公式和结论等，都可以从三大基本规律推导出来。 ①变形连续规律弹性力学（和刚体的力学理论不同）考虑到物体的变形，但只限于考虑原来连续、变形后仍为连续的物体，在变形过程中，物体不产生新的不连续面。如果物体中本来就有裂纹，则弹性力学只考虑裂纹不扩展的情况。 反映变形连续规律的数学方程有两类：几何方程和位移边界条件。几何方程反映应变和位移的联系，它的力学含义是，应变完全由连续
应力应变关系: 弹性模量 || 广义虎克定律 1.弹性模量 a 弹性模量 单向拉伸或压缩时正应力与线应变之比,即 E σε = b 切变模量 切应力与相应的切应变 之比,即 G τγ= c 体积弹性模量 三向平均应力 0() 3 x y z σσσσ++= 与体积应变θ(=εx +εy +εz )之比, 即 K σθ= d 泊松比 单向正应力引起的横向线应变ε1的绝对值与轴向线应变ε的绝对值之比,即 1 ε νε= 2.广义虎克定律 a.弹性力学基本方程 在弹性力学一般问题中，需要确定15个未知量，即6个应力分量，6个应变分量和3个位移分量。这15个未知量可由15个线性方程确定，即 (1)3个平衡方程(或用脚标形式简)写 为: 22()0 j ij i i x u f t σρ∂∂++-=∂∂ (,,,)i j x y z = (2)6个变形几何方程,或简写为: 1()2j i ij j i u u E x x ∂∂= +∂∂ (,,,)i j x y z = (3)6个物性方程简写为: 0132ij ij E G E ν σσδ= - 2ij ij ij G σελθδ=+ (,,,)i j x y z = { 1() 0() () i j ij i j δ=≠= 2.边界条件 x x xx xy xy xz xz F l l l σττ=++ y yz xx y xy yz xz F l l l τσσ=++ z zz xx xy xy z xz F l l l ττσ=++ 式中，l nj =cos(n,j)为边界上一点的外 法线n 对j 轴的方向余弦 b 位移边界问题 在边界S x 上给定的几何边界条件为 *x x u u = *y y u u = * z z u u = 式中，u i 为表面上给定的位移分量 Cauchy 公式： T x = σ x l + τ xy m +τ zx n T y = τ xy l+σ y m +τ zy n T y =τ xz l+τ y z m +σ z n (n z n T n T στ= 边界条件： ()()()x xy xz s x xy y yz s y xz yz z s z l m n T l m n T l m n T στττστττσ++=++=++= 平衡微分方程： 000yx x zx x xy y zy y yz xz z z F x y z F x y z F x y z τσττστττσ∂∂∂+++=∂∂∂∂∂∂+++=∂∂∂∂∂∂+++=∂∂∂ 主应力、不变量，偏应力不变量 321231230 x y z x xy y z zx yz yx y zy xz x z x xy xz yx y yz zx zy z I I I I I I σσσσσσστσσττσττσσστττστττσ-+-==++=++ = 1231 ();3 m i i m s σσσσσσ=++=- ()()()1123222222230 16()6x y y z z x xy yz zx J s s s J J σσσσσστττ=++=⎡⎤=-+-+-+++⎢⎥⎣⎦=偏应力张量行列式的秩 八面体 812381 () 3σσσστ=++ 等效应力σ体积应变x y z θεεε=++ 12312()E v v εσσσ-= ++ 几何方程： ;;;x xy y yz z xy u u v x y x v v w y z y w u w z z x εγεγεγ∂∂∂= =+∂∂∂∂∂∂==+ ∂∂∂∂∂∂==+ ∂∂∂ 1 2 ij ij εγ= 变形协调方程22 222y xy x xy y x ετε∂∂∂+=∂∂∂ 物理方程 ()()()12(1) ;12(1);12(1) ;x x y z xy xy y y x z yz yz z z y x zx zx v v E E v v E E v v E E εσσσγτεσσσγτεσσσγτ+⎡⎤=-+=⎣⎦+⎡⎤=-+=⎣⎦+⎡⎤=-+=⎣⎦
弹塑性力学公式合集(总4页) -本页仅作为预览文档封面，使用时请删除本页-
弹性力学假设：连续性假设、均匀性假设、各向同性假设、完全弹性假设、小变形假设、无初应力假设 任意斜截面上的应力Cauchy 公式：T = σ l+ τ m+ τ n 、T = τ l+ σ m+τ n 、T =τ l+τ m+σ n 弹性体的应力边界条件：x yx zx xy y zy xz yz z l m n X l m n Y l m n Z στττστττσ⎫ ++=⎪⎪++=⎬⎪ +++⎪⎭ 主应力、应力张量、不变量 当一点处于某种应力状态时， 在过该点的所有截面中， 一般情况下存在着三个互相垂直的特殊截面， 在这些截面上没有剪应力, 这种剪应力等于零的截面称为过该点的 主平面 ， 主平面上的正应力称为该点的 主应力 ， 主平面的法线所指示方向称为该点的 主方向 。 静力平衡方程 几何方程： 物理方程 三个基本原理：解的唯一性原理、叠加原理、圣维 南原理。 圣维南原理：由作用在物体局部边界表面上的自平衡力系，所引起的应力和应变，在远离作用区的地方将衰减到可以忽略不计的程度。另一种提法：如果把物体局部边界表面上的力系，使用分布不同但静力等效（主失相等，绕一点的主矩也相等）的力系来代替，则这种等效代换处理使得物体内的应力分布仅在作用区附近有显着影响，而在远离作用区 的地方所受影响很小，可以忽略不计。 为什么要用：1、在弹性力学的边值问题中，要求在边界上任意点，应力与面力相等，方向一致，往往难以满足。2、有时只知道边界面上的合力和合力矩，并不知道面力的分布形式。因此，在弹性力学问题的求解过程中，一些边界条件可以通过某种等效形式提出。 其要点有两处： 一、两个力系必须是按照刚体力学原则的“等效”力系（主矢量和主矩分别等于对应面力的主矢量和主矩）； 二、替换所在的表面必须小，并且替换导致在小表 面附近失去精确解。
弹性力学： 1.应力：应力是描述一点内力各个方向上单位面积上的作用力的极限值，由于内力具有多重方向性因而应力也有多重方向性，需要用9个量描述，但表面独立的量有6个，实际上这6个量之间真正独立的只有3个。 2.应变；应变是描述一点的变形程度的物理量，变形包括伸缩和方向改变。一点的应变是一个复杂的物理现象，需要6个量描述，但独立的量只有3个。 3.体积力：作用在物体每一点的外力。比如每一点都有的重力。 4.面力：作用在物体表面的外力。比如水给大坝表面的压力。 5.斜面应力公式：一点任一方向的面上的应力与这一点的6个坐标应力之间的关系，这个关系用于应力边界条件和斜面应力的计算。物体表面的任一点的应力和该点的面力是相同的大小和方向。 6.平衡微分方程：分析一点：反映一点的体积力与该点的6个坐标应力之间的受力平衡的方程，方程是偏微分形式的方程。直角坐标下的方程形式上简单，其它坐标的复杂些。 7.可能应力：满足应力边界条件和平衡微分方程的应力场（该点进入弹塑性阶段时还要满足应力形式的屈服条件），因为应力对应的应变不一定是真实应变，因此只满足应力方程的应力只是可能应力而不一定是真实应力。 8.位移：分析一点：一点变形前后的位置差值。变形体研究的位移是该点空间位置的连续函数。 9.几何方程：分析一点：反映一点位移与该点应变之间关系的方程。直角坐标的几何方程形式上是最简单的，而其它坐标的复杂些。 10.变形协调方程：变形体不出现开裂或堆叠现象，即一点变形后产生的位移是唯一的，这时对一点的应变分量之间的相互约束关系。直角坐标下的方程形式上简单，其它坐标的复杂些。 11.物理方程：这是材料变形的固有性质，反映一点应力与应变之间的约束关系，这种约束关系和坐标选取无关，即各种坐标下的物理关系都是相同的函数。 12.弹性：弹性指物体在外界因素(外荷载、温度变化等)作用下引起变形，在外界因素撤除后，完全恢复其初始的形状和尺寸的性质。 13.完全弹性：材料变形性质只有弹性而没有其他如流变、塑性等变形性质。 14.线弹性：材料变形性质是弹性，且应力应变关系是线性的。 15.应力函数：用于计算应力的函数，该函数满足无体力的平衡微分方程。用应力函数求解弹性力学问题可以减少基本方程的数目，但缺点是方程升阶。 16.平面问题:任何弹性体都是具有一定空间的，但忽略一些次要因素而按平面问题分析，使分析过程变得简单且能满足工程的精度要求，就可以简化为平面问题。 17.平面应力问题：薄板受板面方向的外力且外力沿厚度方向不变，这类问题可以简化为平面应力问题，
第二章 弹性力学的基本原理 §2.1 应力分析 2.1.1应力与应力张量 应力被定义为：用假想截面将物体截开，在截面上一点P 的周围取一微元S ∆, 设S ∆的外法线为ν, S ∆上的力为T ∆，如极限ν∆∆∆T S T S =→/lim 0 存在，则称νT 为P 点在该截面上的应力矢量。 考察三个面为与坐标面平行的截面(即以321,,x x x 三个坐标轴为法线的三个截面), )3()2()1( , ,T T T 分别表示三个截面上的应力矢量。每一个应力矢量又分解为沿三个坐标轴的应力分量，有 j ij i e T σ=)( (i ,j =1,2,3) (2.1) 这里的张量运算形式满足“求和约定”，即凡是同一指标字母在乘积中出现两次时，则理解为对所有同类求和，即j ij e σ应理解为∑=3 1j j ij e σ。这样的求和指标j 称之为假指标或哑指标。由此得到 九个应力分量表示一点的应力状态，这九个分量组成应力张量： ⎪ ⎪⎪ ⎭⎫ ⎝⎛=333231232221131211σσσσσσσσσσij 或⎪⎪⎪ ⎭ ⎫ ⎝⎛=zz zy zx yz yy yx xz xy xx ij στττστττσσ (2.2) 在本书第一章致第九章，应力分量符号(正负号)规定如下：对于正应力，我们规定张应力为正，压应力为负。对于剪应力，如果截面外法向与坐标轴的正方向一致，则沿坐标轴正方向的剪应力为正，反之为负。如果沿截面外法向与坐标轴的正方向相反，则沿坐标轴正方向的剪应力为负。 2.1.2 柯西(Cauchy)方程 记S 为过P 点的外法向为n 的斜截面。外法线n 的方向可由其方向余弦记为),,cos(11x n n =α ),cos(22x n n =α, ),cos(33x n n =α。 设此斜截面ABC ∆的面积为S , 则如图2.1, 过此点所取的小四面体OABC 另外三个面为与坐标面平行的截面(即以321,,x x x 三个坐标轴为法线的三个截面), 其面积分别为 ⎪⎪⎪ ⎭⎫ ⋅=⋅=⋅=⋅=⋅=⋅=333222111),cos(:),cos(:),cos(:n n n S x S S OAB S x S S OAC S x S S OBC α∆α∆α∆n n n (2.3) 此截面上的应力矢量记为)(n T , 即 j n j n T e T )()(= (2.4) 另外三个面上的应力矢量分别为)1(T -, )2(T -, )3(T -。 考虑此微元(四面体OABC 的平衡，其平衡方程为 ()031 3)3(2)2(1)1()(=⋅⋅+⋅+⋅+⋅-⋅h S S S S S n f T T T T (2.5) 其中f 为作用于此单元上的体力，h 为O 点至截面ABC 的垂直距离，h S ⋅3 1 为此微元的体积。当
应力应变关系 弹性模量 |｜广义虎克定律 1。弹性模量 对于应力分量与应变分量成线性关系的各向同性弹性体,常用的弹性常数包括： a 弹性模量单向拉伸或压缩时正应力与线应变之比，即 b 切变模量切应力与相应的切应变之比，即 c 体积弹性模量三向平均应力 与体积应变θ(=εx+εy+εz）之比,即 d 泊松比单向正应力引起的横向线应变ε1的绝对值与轴向线应变ε的绝对值之比，即 此外还有拉梅常数λ。对于各向同性材料，这五个常数中只有两个是独立的。常用弹性常数之间的关系见表3-1 弹性常数间的关系。室温下弹性常数的典型值见表3—2 弹性常数的典型值。 2。广义虎克定律 线弹性材料在复杂应力状态下的应力应变关系称为广义虎克定律。它是由实验确定，通常称为物性方程，反映弹性体变形的物理本质. A 各向同性材料的广义虎克定律表达式（见表3—3 广义胡克定律表达式）对于圆柱坐标和球坐标，表中三向应力公式中的x 、y、z分别用r、θ、z和r、θ、φ代替。对于平面极坐标，表中平面应力和平面应变公式中的x、y、z用r、θ、z代替。 B 用偏量形式和体积弹性定律表示的广义虎克定律应力和应变张量分解为球张量和偏张量两部分时，虎克定律可写成更简单的形式,即 体积弹性定律 应力偏量与应变偏量关系式 在直角坐标中，i，j=x，y，z;在圆柱坐标中，i,j=r，θ，z，在球坐标中i，j=r，θ，φ。 弹性力学基本方程及其解法
弹性力学基本方程｜| 边界条件｜｜按位移求解的弹性力学基本方法｜｜按应力求解的弹性力学基本方程｜| 平面问题的基本方程 || 基本方程的解法 || 二维和三维问题常用的应力、位移公式 1.弹性力学基本方程 在弹性力学一般问题中,需要确定15个未知量,即6个应力分量，6个应变分量和3个位移分量。这15个未知量可由15个线性方程确定,即 (1）3个平衡方程[式（2-1—22)］，或用脚标形式简写为 （2）6个变形几何方程［式（2—1—29）］，或简写为 (3）6个物性方程［式（3-5）或式（3—6）］,简写为 或 2.边界条件 弹性力学一般问题的解，在物体内部满足上述线性方程组，在边界上必须满足给定的边界条件。弹性力学问题按边界条件分为三类。 a 应力边界问题在边界Sσ表面上作用的表面力分量为F x、F y、F z..面力与该点在物体内的应力分量之间的关系,即力的边界条件为 式中,l nj=cos（n,j)为边界上一点的外法线n对j轴的方向余弦。 这一类问题中体积力和表面力是已知的，求解体内各点的位移、应变和应力. b 位移边界问题在边界S x上给定的几何边界条件为 式中,U＊i为表面上给定的位移分量。 这一类问题是已知体积力和表面各点的位移，求解体内各点的位移、应变和应力。 c 混合问题部分边界上给定力，部分边界上给定位移。 3。按位移求解的弹性力学基本方法 按位移求解时，以3个位移分量为基本未知量,利用几何方程和物性方程，15个基本方程简化为以位移
材料力学公式大全pdf 材料力学公式大全PDF。 材料力学是研究材料在外力作用下的力学性能和行为的学科，它是材料科学的 重要组成部分。在材料力学的研究中，我们经常需要用到各种各样的公式来描述材料的力学性能，这些公式既可以帮助我们理解材料的行为，也可以指导我们在工程实践中的应用。因此，掌握材料力学的公式是非常重要的。 在本文档中，我将为大家整理一份材料力学公式大全PDF，希望能够帮助大家 更好地学习和应用材料力学知识。这份文档将包括材料力学中常用的各种公式，涵盖静力学、动力学、弹性力学、塑性力学、断裂力学等多个方面，希望能够为大家的学习和工作提供便利。 首先，我们将介绍静力学中常用的公式。静力学是研究物体在静止状态下受力 和受力平衡条件的学科，它是材料力学的基础。在静力学中，我们经常会用到受力分析、力的合成与分解、力矩等公式，这些公式是理解和分析物体受力情况的基础。在本文档中，我们将为大家整理这些公式，并给出相应的应用实例，希望能够帮助大家更好地理解和掌握这些知识。 其次，我们将介绍动力学中常用的公式。动力学是研究物体在运动状态下受力 和受力平衡条件的学科，它对于材料的运动和振动行为有着重要的意义。在动力学中，我们经常会用到牛顿运动定律、动量定理、功和能量等公式，这些公式是分析物体运动和振动行为的基础。在本文档中，我们将为大家整理这些公式，并给出相应的应用实例，希望能够帮助大家更好地理解和运用这些知识。 另外，我们还将介绍弹性力学、塑性力学和断裂力学中常用的公式。这些公式 涉及材料在受力作用下的变形、强度和断裂行为，对于材料的设计和应用具有重要的指导意义。在本文档中，我们将为大家整理这些公式，并给出相应的应用实例，希望能够帮助大家更好地理解和应用这些知识。
我所认识的应力和应变关系 在这之前我认识了应力和应变的概念、性质以及从静力学和几何学的角度出发所得到的平衡方程和几何方程。但是平衡方程仅反映了应力分量和外力分量的关系；几何方程仅建立了位移分量和应变分量的关系。 而谈到应力与应变的关系，对于可变形固体，在弹塑性力学中，在外力的作用下，其将发生变形。变形分为两个阶段，弹性阶段和塑性阶段。在弹性阶段，发生的弹性变形可以完全恢复，它是一个可逆过程。此时，应力与应变的关系是一一对应的，是单值函数关系。而在塑性阶段，所发生的塑性变形是不可以恢复的，是不可逆过程。相对应的，塑性阶段的应力应变的关系是非线性关系，不存在一一对应的关系。 我所认识的应力和应变的关系就是本构关系。本构关系也称为物理关系，它反应的是可变形材料的固有属性，实质上是一组联系力学参数和运动参数的方程式，也就是我们所说的本构方程。 在说应力与应变的关系之前，先说一下本构关系的相关影响因素，包括材料、环境、加载类型、以及加载速度。即，),,(T t f εσ=。另外，有各种各样的本构系，比如：弹性本构关系、塑性本构关系、粘弹性本构关系、粘塑性本构关系、各向同性本构关系、各向同性本构关系等等。 简单情况的本构关系： 应力和应变的关系包括弹性和塑性的应力应变关系。我们所说的是线性弹性体的应力应变关系，又分为简单应力状态和复杂应力状态。在简单拉伸情况下，理想弹性材料的应力和应变的关系很简单，就是材料力学中的胡克定律： 。 而在塑性阶段，应力应变之间不再是简单的胡克定律，而是 。 另外，简单拉伸情况下的卸载定律是 。在后继弹性阶段，也就是卸 载后重新加载的材料会继续发生新的塑性变形，在此时的屈服称为后继屈服，相应的屈服点称为后继屈服点。初始屈服和后继屈服的不同是：第一，应力的数值不一样，后继屈服的应力值更大；第二，屈服点的个数不一样。初始屈服点只有一个，而后继屈服点会有好多个，则其对应的应力值也会有很多个。最后，在卸载全部载荷后进行反向加载比如说把拉伸改成压缩，此时会产生Bauschinger 效应。对于该效应，说明材料在某一个方向的硬化将引起反方向的软化。也就是说，各向同性材料产生塑性变形之后会变成各向异性。此时的弹性阶段的卸载荷压缩 可表示： 。 总结一下材料弹塑性行为的特殊规律大致有以下三点：一是在弹性阶段应力应变的关系是线性的，在塑性阶段它们之间的关系是非线性的；二是应力应变在 εσE =)(εσΦ=εσ∆=∆E - +=s s σσ
弹性力学基本方程 平衡微分方程： 0⋅+=σ∇f 指标符号写为 ,0 ji j i f σ+= 在直角坐标系中分量形式 31 112111 23 32 122221 23 132333 3123000f x x x f x x x f x x x σσσσσσσσσ⎧∂∂∂+++=⎪ ∂∂∂⎪⎪∂∂∂+++=⎨ ∂∂∂⎪⎪∂∂∂+++=⎪ ∂∂∂⎩ 在柱坐标系中分量形式 1012010r r r rz r r z r z zr z rz z f r r z r f r r z r f r r z r θθ θθθθθθτσσστθτσττθ ττστθ∂-∂∂⎧++++=⎪∂∂∂⎪ ∂∂∂⎪++++=⎨ ∂∂∂⎪∂∂∂⎪++++=⎪∂∂∂⎩ 在球坐标系中分量形式 211cot 0sin 113cot 0sin 1132cot 0sin r r r r r r r r r r f r r r r r f r r r r r f r r r r r ϕθϕ θθθϕθϕθθ θθϕϕθϕ ϕϕθϕτσσσττσθθθϕτσστστθθθϕττσττθθθϕ∂--⎧∂∂+++++=⎪∂∂∂⎪⎪∂-∂∂⎪+++++=⎨ ∂∂∂⎪⎪∂∂∂+++++=⎪ ∂∂∂⎪⎩
几何方程： 1 () 2=+ε∇∇u u 指标符号写为 ,,1 () 2ij i j j i u u ε=+ 在直角坐标系中分量形式 12 1 12211121 1 3 222223322 33 331 3331133131( )21( )21( )2u u u x x x u u u x x x u u u x x x εεεεεεεεε⎧⎧∂∂∂==+= ⎪⎪∂∂∂⎪⎪⎪⎪∂∂∂= ==+⎨⎨∂∂∂⎪⎪⎪⎪∂∂∂= ==+⎪⎪∂∂∂⎩ ⎩ 在柱坐标系中分量形式 111r r z z zr u u v v r r r r v u v w r r z r w w u z r z θθθεγθεγθθεγ∂∂∂⎧ ⎧==+-⎪⎪∂∂∂⎪⎪ ∂∂∂⎪ ⎪= +=+⎨⎨∂∂∂⎪ ⎪∂∂∂⎪ ⎪==+⎪⎪∂∂∂⎩⎩ 在球坐标系中分量形式 1111sin 11sin sin r r r r r r r r u u u u r r r r u u u u ctg u r r r r r u u ctg u u u u r r r r r r θθθϕθθθθϕϕϕϕϕϕθϕγεθθεγθθϕθθεγθϕθϕ⎧⎧∂∂∂=+-=⎪⎪∂∂∂⎪⎪ ⎪∂∂∂⎪ =+= +-⎨⎨∂∂∂⎪⎪ ∂⎪⎪∂∂= ++=+-⎪⎪∂∂∂⎩⎩
工程弹塑性力学课后答案 【篇一：弹塑性力学思考题答案】 一点的应力状态？ 答：通过一点p 的各个面上应力状况的集合⒉一点应变状态？答：[受力物体内某点处所取无限多方向上的线应变与剪应变(任意两相互 垂直方向所夹直角的改变量)的总和，就表示了该点的应变状态。] 代表一点 p 的邻域内线段与线段间夹角的改变 ⒊应力张量？应力张量的不变量？应力球张量？体积应力？平均应力？应力偏张量？偏应力第二不 变量j2的物理意义？单向应力状态、纯剪应力状态的应力张量？给 出应力分分量，计算第一，第二不变量。 答：应力张量：代表一点应力状态的应力分量，当坐标变化时按一 定的规律变化，其变换关系符合 ??x?xy?xz???????????yxyyz???zx?zy?z???。其 中：?=?，?=?，?=?。 xzzxxyyxyzzy 应力张量的不变量：对于一个确定的应力状态,只有一组(三个)主应 力数值,即j1,j2,j3是不变量,不随 着坐标轴的变换而发生变化。所以j1,j2,j3分别被称为应力张量的第一、第二、第三不变量。 应力张量可分解为两个分量 0???x-?m?xy?xz???m0 ??+???ij??0?0????mymyz?，等式右端第一个张量称为应力球张量，第二个张量称为应???yx ?0?m??zy?z??m??0????zx? 力偏张量。 应力球张量：应力球张量，表示球应力状态（静水应力状态），只 产生体积变形，不产生形状变形，任何切面上的切应力都为零，各 方向都是主方向。 应力偏张量：应力偏张量，引起形状变形，不产生体积变形，切应 力分量、主切应力、最大正应力 11 平均应力：?m?(?x??y??z)?(?1??2??3)，?m为不变量,与坐标无关。
第八章 能量原理及其应用 弹塑性力学问题实质上是边值问题，即求解满足一定边界条件的偏微分方程组。然而只有对一些特殊的结构在特定加载条件下才能找到精确解，而对于一般的力学问题，如空间问题，泛定方程为含有15个未知量的6个偏微分方程，在给定边界条件时．求解是极其困难的，而且往往足小对能的。因此，为了解决具体的工程结构力学问题，目前都广泛应用数值方法，如有限元法、无限元法、边界元法、无网格化法及样条元法等等。这些解法的依据都是能量原理。本章将讨论利用能量原理和极值原理求解弹塑性力学问题的近似解法。 本章共讨论五个能量原理。首先是虚位移原理，由虚位移原理推导出最小势能原理，其次介绍虚应力原理，和由虚应力原理推导出最小余能原理。另外，还简单介绍最大耗散能原理。本章还讲述了根据上述的能量原理建立的有关弹性力学问题的数值解法。 8.1 基本概念 1.1 物体变形的热力学过程 由第四章知，物体在外界因素影响下的变形过程，严格来说都是一个热力学过程。因此研究物体的状态，不仅要知道物体的变形状态，而且还要知道物体中每一点的温度。如果物体在变形过程中，各点的温度与其周围介质的温度保持平衡，则称这一过程为等温过程；若在变形过程中，物体的温度没有改变，即既没有热量损失也没有热量增加，则称这一过程为绝热过程。物体的瞬态高频振动，高速变形过程都可视为绝热过程。 令物体在变形过程中的动能为E ，应变能为U ，则在微小的t δ时间间隔内，物体从一种状态过渡到另一种状态时，根据热力学第一定律，总能量的变化为 Q W U E δδδδ+=+ (a) 其中，W δ为作用于物体上的体力和面力所完成的功；Q δ是物体由其周围介质所吸收(或向外发散)的热量，并以等量的功度量。假定弹性变形过程是绝热的，则对于静力平衡问题有 00==Q ，E δδ (b) 将式(b)代入式(a)，则有 W U δδ= (8.1-1)
第四章本构方程 在前面的章节中,已经建立了变形体的平衡微分方程和几何方程，分别是从静力学方面和从几何学方面考察了变形体的受力和变形。但是只有这些方程还不足以解决变形体内的应力和变形问题.对于变形体，未知变量包括6个应力分量，6个应变分量和3个位移分量，一共有15个未知函数，而平衡方程和几何方程一共是9个，未知函数的个数多于方程数。因此还必须研究物体的物理性质，即应力与应变之间的关系。通常称这种关系为变形体的本构方程,或称为物性方程. 塑性本构包括三个方面：1、屈服条件，2、流动法则，3、硬化关系；其中屈服条件:判断何时达到屈服,流动法则:屈服后塑性应变增量的方向，也即各分量的比值,硬化规律：决定给定的应力增量引起的塑性应变增量大小。以上构成塑性本构关系。 4。1弹性应变能函数 变形固体的平衡问题不仅需要运动微分方程、应变—位移方程(即变形几何方程）还需要将应变分量和应力张量分量联系起来，方能给定物体的材料抵抗各种形式变形的规律。该规律的理论解释需要对分子间力的本质有深入的认识，该分子力力图使固体粒子间保持—定的距离，也就是需要对固体中应力分量和应变分量有深入的认识。这种作用机理在非常接近稳定状态的气体中己弄清楚，但对于弹性体情况，目前科学技术发展水平还不能解决这一难题.如要通过实验探求物体内部的应力和应变的关系，则总是从一些量的测量来推理得到，在一般情况下，这些量并非应力或应变的分量（例如平均应变、体积压缩、物体表面一线元的伸长等等)．因此，在现时应力与应变关系主要是通过直接实验建立。然而该关系中的某些固有的一般特性可以在理沦上加以说朋，如能量守恒定律为应力—应变关系的理论研究提供了基础。 1。1应变能密度 假设变形的过程是绝热的，也就是在变形过程中系统没有热的损失，而且假设物体中任意无穷小单元改变其体积和形状所消耗的功与其从未变形状态到最终变形状态的转换方式无关。这个条件是弹性的另一种定义.换句话说,就是假设物体粒子互相作用过程中的耗散(非保守)力的作用与保守力的作用相比是可以忽略的。满足这个假设的物体在卸载后一定回到其初始尺寸和形状，也就是说该物体是理想弹性的。