我所认识的应力和应变之间的关系
在单向应力状态下，理想弹性材料的应力和应变之间的关系是满足胡克定律的一一对应的关系。在三维应力状态下描述一点处的应力状态需要9个分量，相应的应变状态也要用9个应变分量来表示。对于一个具体的理想弹性体来讲，如果在三维应力状态下，应力与应变之间仍然有线性一一对应关系存在，则称这类弹性体为线性弹性体。
所谓各向弹性体，从力学意义上讲，就是弹性体内的每一点沿各个方向的力学性质都完全相同的。这类线性弹性体独立的唐兴常数只有两个。
各向同性体本构关系特点：1.主应力与主应变方向重合。2.体积应力与体积应变成比例。
3.应力强度与应变强度成比例。
4.应力偏量与应变偏量成比例。工程应用中，常把各向同性弹性体的本构方程写下成11()11()11()x y z xy xy y x z yz yz z y x xz xz E G E G E G εσμσσγτεσμσσγτεσμσσγτ⎧⎡⎤=-+=⎣⎦⎪⎪⎪⎡⎤=-+=⎨⎣⎦⎪⎪⎡⎤=-+=⎪⎣⎦⎩
，式中分别为弹性模量、泊松比和剪切模量。在E G μ、、这三个参数之间，实际上独立的常量只有两个，它们之间存在关系为()
21E G μ=+。 屈服条件:弹性和塑性的最主要区别在于变形是可以恢复。习惯上，根据破坏时变形的大小把工程材料分为脆性材料和塑性材料两类。对于加载过程如图1
OA: 比例阶段；线性弹性阶段
AB: 非弹性变形阶段 BC ： 初始屈服阶段 s σσ≤ CDE ：强化阶段；应变强化硬化阶段
EF ： 颈缩阶段；应变弱化，软化阶段
s σσ≥ C 点为初始屈服点具有唯一性。在应力超过屈服应力后，如果在曲线上任意一点D 处卸
载，应力和应变之间将不再遵循原有的加载曲线规
律，而是沿一条接近平行于OA 的直线DO ’变化，直到应力下降为零，这时应变并不为零，即有塑性应变产生。如果用OD ’表示总应变ε，O ’D ’表示可以恢复的弹性应变e
ε，OO ’表示不能恢复的塑性应变p ε，则有e p εεε=+，即总应变等于弹性应变加上塑性应变。若在卸载后重新加载，则曲线基本上仍沿直线O ’D 变化，直至超过D 点的应力之后，才会产生新的塑性变形。由此看来，在经过前次塑性变形后，屈服应力提高了，这种现象称为应变强化现象。为了与初始屈服相区别，我们把机箱发生新的塑性变形时的材料的再次屈服称为后
继屈服，相应的屈服点，点D称为后继屈服点相应的应力称为后继屈服应力，它的大小和塑性变形的大小和历史有关。后继屈服点有多个。
从简单拉伸试验所观察到的现象可以知道，材料的塑性变形规律即塑性本构关系与弹性本构关系有很大的不同，它具有以下几个重要条件：1.需要判断材料处于弹性阶段还是塑性
()()()0()=0 d 0()=0 d 0 ( )ij ij ij ij ij ij ij f f f f d f f f d σσσσσσσ⎧⎪<⎪⎪∂⎪==⎨∂⎪⎪∂⎪=<∂⎪⎩
弹性状态加载卸载 对于应力状态从一个塑性状态过渡到另一个塑性状态这个变化过程为中性变载。加载和卸载主要以是否有新的塑性变形产生为依据。对于复杂加载，应力分量之间无一定的关系，应力分量的比值与应力主轴方向随在和变化而变化。
增量理论和全量理论：各种描述塑性变形规律的理论你大致可以分为两种即增量理论和全量理论。
材料在进入塑性状态之后，应力-应变关系的重要特点是线性和不唯一性。所谓非线性是指应力-应变不是线性关系；所谓唯一性是指应变不能由应力唯一确定。应力也不能由应变唯一确定。常用的增量理论：Levy-Mises 理论和Prandt-Reuss 理论。
Levy-Mises 理论与理想刚塑性材料的增量本构方程是假设应变张量增量各分量与相应的
应力偏分量称比例，用数学形式的表示为332233223322i i x x xy xy s s i i y y x yz s s i i z z x zx s s
d d d s d d d d s d d d d s d εεεετσσεεεετσσεεεετσσ⎧==⎪⎪⎪==⎨⎪⎪==⎪⎩。注意到对刚塑性体，材料是不可压缩的即体积变形为零。
Prandtl-Reuss 理论与理想弹塑性材料的增量本构方程，此假定塑性应变增量张量和应力
偏张量相似且同轴线。，这个关系式可表示为()0p p x x xy xy p p y y yz yz p p z z zx zx
d d s d d d d s d d d d d s d d ελελτελελτλελελτ⎧==⎪==≥⎨⎪==⎩。 全增量理论：
依留申提出一个强化材料在弹塑性小变形情况下的全量型塑性本构关系，材料服从如下的塑性变形规律：1.体积变化是弹性的即应变球张量和应力球张量成正比。2.应变偏张量和应力偏张量成比例。即方向关系是应变偏量主轴和应力偏量主轴重合。全量理论的适用的范围是简单加载定理。简单加载定理是在加载过程中，固体内任一点的应力张量各分量都按比例增长。
在小变形和简单加载的条件下，增量理论和全量理论是一致的，这就是说，在全量理论在小变形和简单加载条件下是适应的。
依留申指出，只要满足下列四个条件，则固体内各点均处于简单加载过程：1.小变形；
2.载荷按比例单调增加；
3.材料不可压缩。
4.应力强度i σ与应变强度i ε之间有幂函数的关系，即(,)i i A A m σε=均为常数，这就是简单加载定理。
应力应变关系 我所认识的应力应变关系 一在前面两章的分别学习了关于应力与应变的学习，第三章的本构关系讲述了应力与应变的关系从而构成了弹塑性力学的本构关系。 在单向应力状态下，理想的弹塑性材料的应力应变关系及其简单满足胡克定律即 ,E ,,XX 在三维应力状态下需要9个分量，即应力应变需要9个分量，于是可以把单向应力应变关系推广到三维应力状态，及推广到广义的胡克定律 本式应该是91个应变分量单由于切应力互等定理，此时后面的三个应力与式中的切应力想等即现在剩余36个应变分量。 (1)具有一个弹性对称面的线弹性体的应力应变公式如下
(2)正交各向异性弹性体的弹塑性体公式如下 (3)各向同性弹性体的本构方程 各向同性弹性体在弹性状态下，主应力方向与主应变方向重合容易证明。在主应变空间里，由于应变主轴与应力主轴重合，各向同性弹性体体内任意一点的应力和应变之间满足: ,,,,,，，CCCxxyz111213 ,,,,,，，CCCyxyz212223 ,,,,,，，CCCzxyz313233 (2-3) ,,,,,,yyxzxz对的影响与对以及对的影响是相同的，即有 ,CCC==,CC=CC=,y112233x12132123z;和对的影响相同，即，同理有和CC=3132等，则可统一写为: CCCa==,112233 CCCCCCb=====,122113312332 (2-4) 所以在主应变空间里，各向同性弹性体独立的弹性常数只有2个。在任意的坐标系中，同样可以证明弹性体独立的弹性参数只有2个。 广义胡可定律如下式 ,,xy1,,,,,,,,,,，[()]xy,xxyz,2GE,,,,1,yz, ,,，[()],,,,,,,,yzyyxz 2GE,,
我所认识的应力与应变的关系 机械与动力工程学院 我所认识的本构关系可以从三个不同的受力条件下进行分析，第一是在弹性变形下的应力与应变的关系，第二是在屈服条件下的应力与应变的关系，第三是在塑性条件下的应力与应变的关系，而对应力与应变的关系的研究也可以归结为对本构关系的研究。 首先，弹塑性力学分别从静力学和几何学的角度出发，导出了平衡方程的和几何方程，这些方程均与物体的材料性质（物理性质）无关，因而适用于任何连续介质。但仅仅依靠平衡方程和几何方程来解决实际中的工程问题是不够的。由于平衡方程仅建立了力学参数（应力分量与外力分量）之间的联系，而几何方程也仅建立了运动学参数（位移分量与应变分量）之间的关系，所以平衡方程与几何方程式两类完全相互独立的方程，他们之间还缺乏必要的联系。对于所求解的问题来讲，因为您未知量的数目多于任何一类方程的个数，所以无法利用这两类方程求的全部未知量。 平衡方程： ⎪⎪⎪⎪ ⎭ ⎪⎪⎪ ⎪⎬⎫⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂=+∂∂+∂∂+∂∂⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂=+∂∂+∂∂+∂∂⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂=+∂∂+∂∂+∂∂222222000t w Z z y x t v Y z y x t u X z y x z zy zx yz y yx xz xy x ρσττρτστρττσ （1） 几何方程： ⎪⎪⎪ ⎭⎪⎪⎪⎬⎫∂∂+∂∂=∂∂=∂∂+∂∂=∂∂=∂∂+∂∂=∂∂= x w z u z w z v y w y v y u x v x u zx z yz y xy x γεγεγε （2） 为了求解具体的力学问题，还必须引进一些关系式，这些关系式即所谓的本构关系。本构关系反映可变形体材料的固有特此那个，故也称为物理关系，它实际上是一组联系力学参数和运动学参数的方程式，即所谓的本构方程。本构方程实际上就是一组反映可变形体材料应力和应变之间关系的方程。 在单向应力状态下，理想弹性材料的应力和应变之间的关系极其简单。这就是在材料力学中寻出的如下形式的胡克定律： x x E εσ= （3） 胡克定律是一个实验定律，在式（1.1）中的E 是材料性质有关的弹性常数，称为弹性模量和杨氏模量。 在三维应力状态下，描绘一点处的应力状态需要9个应力分量，相应的三维应力状态下，应力与应变之间仍然有类似式（1.1）的线性一一对应关系存在，则称这类弹性体为线性弹性体。对线弹性体，可以把单向应力状态下的胡克定律
应力应变关系 弹性模量||广义虎克定律 1.弹性模量 对于应力分量与应变分量成线性关系的各向同性弹性体,常用的弹性常数包括: a弹性模量单向拉伸或压缩时正应力与线应变之比,即 b切变模量切应力与相应的切应变之比,即 c体积弹性模量三向平均应力 与体积应变θ(=εx+εy+εz)之比,即 d泊松比单向正应力引起的横向线应变ε1的绝对值与轴向线应变ε的绝对值之比,即 此外还有拉梅常数λ。对于各向同性材料，这五个常数中只有两个是独立的。常用弹性常数之间的关系见表3-1 弹性常数间的关系。室温下弹性常数的典型值见表3-2 弹性常数的典型值。 2.广义虎克定律 线弹性材料在复杂应力状态下的应力应变关系称为广义虎克定律。它是由实验确定，通常称为物性方程，反映弹性体变形的物理本质。 A各向同性材料的广义虎克定律表达式（见表3-3 广义胡克定律表达式）对于圆柱坐标和球坐标，表中三向应力公式中的x 、y、z分别用r、θ、z和r、θ、φ代替。对于平面极坐标，表中平面应力和平面应变公式中的x、y、z用r、θ、z代替。 B用偏量形式和体积弹性定律表示的广义虎克定律应力和应变张量分解为球张量和偏张量两部分时，虎克定律可写成更简单的形式，即 体积弹性定律 应力偏量与应变偏量关系式 在直角坐标中，i,j=x,y,z；在圆柱坐标中，i,j=r,θ,z,在球坐标中i,j=r,θ,φ。
弹性力学基本方程及其解法 弹性力学基本方程|| 边界条件|| 按位移求解的弹性力学基本方法|| 按应力求解的弹性力学基本方程|| 平面问题的基本方程|| 基本方程的解法|| 二维和三维问题常用的应力、位移公式 1.弹性力学基本方程 在弹性力学一般问题中，需要确定15个未知量，即6个应力分量，6个应变分量和3个位移分量。这15个未知量可由15个线性方程确定，即 (1)3个平衡方程[式（2-1-22）]，或用脚标形式简写为 (2)6个变形几何方程[式（2-1-29）]，或简写为 (3)6个物性方程[式（3-5）或式（3-6）]，简写为 或 2.边界条件 弹性力学一般问题的解，在物体内部满足上述线性方程组，在边界上必须满足给定的边界条件。弹性力学问题按边界条件分为三类。 a应力边界问题在边界Sσ表面上作用的表面力分量为F x、F y、F z.。面力与该点在物体内的应力分量之间的关系，即力的边界条件为 式中，l nj=cos(n,j)为边界上一点的外法线n对j轴的方向余弦。 这一类问题中体积力和表面力是已知的，求解体内各点的位移、应变和应力。 b位移边界问题在边界S x上给定的几何边界条件为
弹塑性力学总结 弹塑性力学是研究材料在受力后既有一部分弹性变形又有一部分塑性变形的力学学科。它是力学学科的分支之一，因为它研究的对象是材料，所以也可以看作是材料力学的一个方向。它的研究对象包括各种传统或新型材料——金属、高分子、陶 瓷等。本文将对弹塑性力学进行总结。 一、弹性力学与塑性力学的区别 弹性力学和塑性力学都是力学学科的重要分支。它们各自关注的是物体在受力后不同的反应。 （1）弹性力学 弹性力学研究的是物体在受到力的作用下，发生弹性变形而迅速恢复原状的力学原理。简单来说，就是物体在受力后可以发生弹性变形，如压缩变形或拉伸变形，但是在撤离力的影响之后能够回复原来的状态。弹性力学理论主要依赖于胡克定律，胡克定律可以表示为应力与应变之比等于恒定的常数。 （2）塑性力学 塑性力学研究的是物体在受到力的作用下，发生塑性变形而无法迅速完全恢复原状的力学原理。简单来说，就是物体在受力后可以发生塑性变形，但是在恢复撤离力的影响之后，不能完全返回原来的状态，仍有残余塑性变形。塑性力学理论主
要依赖于流动理论，流动理论可以用应变率表示材料变形时受到的应力。 二、弹塑性力学的基本概念 （1）应力 应力是单位面积上的力，通常用σ表示。应力有三种类型：拉应力、压应力和剪应力。 （2）应变 应变是材料的形变量，通常表示为ε。应变有三种类型： 拉伸应变、压缩应变和剪切应变。 （3）黏塑性 黏塑性是材料表现出的一种变形特性，它描述了物质在应力作用下的变形表现。 （4）弹性模量 弹性模量是材料在受力作用下相对于其初始长度相应变形程度的比率。弹性模量是一种力学参数，通常用E表示，单位是帕斯卡(Pa)。材料的弹性模量越大，其刚度就越高。 （5）屈服点 在达到一定的应力时，材料就会开始发生塑性变形。材料开始发生塑性变形的应力点称为屈服点。 三、弹塑性力学的应用
弹性材料本构方程简易推导 摘要：弹性力学问题的三大基本方程分别为平衡方程，几何方程，本构方程。文中主要介绍弹性材料弹性阶段的本构方程简要推导过程。 关键词：本构方程；增量理论；弹性 1 前言 本构方程描述的是材料应力与应变之间的关系，其具有更广泛的含义，凡是 描述介质的应力或应力率、应变或应变率等之间关系的物性方程，统称为本构方程。 2 弹性阶段本构方程推导 2.1 方程建立 弹塑性材料处于弹性阶段，即当应力小于屈服应力时，由材料力学相关 知识可知应力与应变之间符合Hooke定律：，其中E为弹性常数（杨氏弹性模量）。 三维应力状态下，材料内部一点处应力状态有9个应力分量，故对应于9个 应变分量。由应力张量与应变张量的对称性，，独立的应力分量与 应变分量各为6个。对于均匀的理想弹性体，假设应力应变关系式可表达如下： （1） 其中（m, n=1, 2,3, 4, 5,6）为弹性系数，由材料性质决定，与坐标x, y, z无关。 2.2 系数确定
2.2.1各向同性材料本构方程 对于各向同性材料，独立的弹性常数只有两个，故在最终得出的本构方程中 仅使用两个系数来表示应力应变关系。在弹性状态下主应力方向即为主应变方向。令坐标轴Ox, Oy, Oz与主应力方向相一致，此时，各应力面无剪应力，只有正 应力，故式（1）变化如下： （2） 各向同性材料中，对的影响与对及对的影响相同，即有。同理，和对的影响相同，即，类似有：，等，因而令 （3） 于是，对于应变主轴（用1, 2, 3代替x, y, z）来说，弹性常数有两个这 里设为P和Q。将式（3）带入式（2），并令，，（此 过程作者水平有限，目前尚不能完整导出，直接借助结论）可得出下列弹性本构 关系： （4） 其中，常数称为拉梅弹性常数，在此可以看出主轴坐标系下，本构方程 只含两个未知参数。 于是，在任意坐标系中弹性阶段本构方程为： （5） 利用求和约定，式（5）可改写成
第四章应力和应变关系 一. 内容介绍 前两章分别从静力学和运动学的角度推导了静力平衡方程，几何方程和变形协调方程。由于弹性体的静力平衡和几何变形是通过具体物体的材料性质相联系的，因此，必须建立了材料的应力和应变的内在联系。应力和应变是相辅相成的，有应力就有应变；反之，有应变则必有应力。对于每一种材料，在一定的温度下，应力和应变之间有着完全确定的关系。这是材料的固有特性，因此称为物理方程或者本构关系。 对于复杂应力状态，应力应变关系的实验测试是有困难的，因此本章首先通过能量法讨论本构关系的一般形式。分别讨论广义胡克定理；具有一个和两个弹性对称面的本构关系一般表达式；各向同性材料的本构关系等。 本章的任务就是建立弹性变形阶段的应力应变关系。 二. 重点 1. 应变能函数和格林公式； 2. 广义胡克定律的一般表达式； 3. 具有一个和两个弹性对称面的本构关系； 4. 各向同性材料的本构关系； 3. 材料的弹性常数。
§4.1 弹性体的应变能原理 弹性体在外力作用下产生变形，因此外力在变形过程中作功。同时，弹性体内部的能量也要相应的发生变化。借助于能量关系，可以使得弹性力学问题的求解方法和思路简化，因此能量原理是一个有效的分析工具。 本节根据热力学概念推导弹性体的应变能函数表达式，并且建立应变能函数表达的材料本构方程。 根据能量关系，容易得到由于变形而存储于物体内的单位体积的弹性势能，即应变能函数。 探讨应变能的全微分，可以得到格林公式，格林公式是以能量形式表达的本构关系。 如果材料的应力应变关系是线性弹性的，则单位体积的应变能必为应变分量的齐二次函数。因此由齐次函数的欧拉定理，可以得到用应变或者应力表示的应变能函数。 学习要点： 1. 应变能； 2. 格林公式； 3. 应变能原理。
第四章本构方程 在前面的章节中，已经建立了变形体的平衡微分方程和几何方程，分别是从静力学方面和从几何学方面考察了变形体的受力和变形。但是只有这些方程还不足以解决变形体内的应力和变形问题。对于变形体，未知变量包括6个应力分量，6个应变分量和3个位移分量，一共有15个未知函数，而平衡方程和几何方程一共是9个，未知函数的个数多于方程数。因此还必须研究物体的物理性质，即应力与应变之间的关系。通常称这种关系为变形体的本构方程，或称为物性方程。 塑性本构包括三个方面：1、屈服条件，2、流动法则，3、硬化关系；其中屈服条件：判断何时达到屈服，流动法则：屈服后塑性应变增量的方向，也即各分量的比值，硬化规律：决定给定的应力增量引起的塑性应变增量大小。以上构成塑性本构关系。 4.1弹性应变能函数 变形固体的平衡问题不仅需要运动微分方程、应变—位移方程(即变形几何方程)还需要将应变分量和应力张量分量联系起来，方能给定物体的材料抵抗各种形式变形的规律。该规律的理论解释需要对分子间力的本质有深入的认识，该分子力力图使固体粒子间保持—定的距离，也就是需要对固体中应力分量和应变分量有深入的认识。这种作用机理在非常接近稳定状态的气体中己弄清楚，但对于弹性体情况，目前科学技术发展水平还不能解决这一难题。如要通过实验探求物体内部的应力和应变的关系，则总是从一些量的测量来推理得到，在一般情况下，这些量并非应力或应变的分量(例如平均应变、体积压缩、物体表面一线元的伸长等等)．因此，在现时应力与应变关系主要是通过直接实验建立。然而该关系中的某些固有的一般特性可以在理沦上加以说朋，如能量守恒定律为应力-应变关系的理论研究提供了基础。 1.1应变能密度 假设变形的过程是绝热的，也就是在变形过程中系统没有热的损失，而且假设物体中任意无穷小单元改变其体积和形状所消耗的功与其从未变形状态到最终变形状态的转换方式无关。这个条件是弹性的另一种定义。换句话说，就是假设物体粒子互相作用过程中的耗散(非保守)力的作用与保守力的作用相比是可以忽略的。满足这个假设的物体在卸载后一定回到其初始尺寸和形状，也就是说该物体是理想弹性的。
我所认识的应力和应变关系 在这之前我认识了应力和应变的概念、性质以及从静力学和几何学的角度出发所得到的平衡方程和几何方程。但是平衡方程仅反映了应力分量和外力分量的关系；几何方程仅建立了位移分量和应变分量的关系。 而谈到应力与应变的关系，对于可变形固体，在弹塑性力学中，在外力的作用下，其将发生变形。变形分为两个阶段，弹性阶段和塑性阶段。在弹性阶段，发生的弹性变形可以完全恢复，它是一个可逆过程。此时，应力与应变的关系是一一对应的，是单值函数关系。而在塑性阶段，所发生的塑性变形是不可以恢复的，是不可逆过程。相对应的，塑性阶段的应力应变的关系是非线性关系，不存在一一对应的关系。 我所认识的应力和应变的关系就是本构关系。本构关系也称为物理关系，它反应的是可变形材料的固有属性，实质上是一组联系力学参数和运动参数的方程式，也就是我们所说的本构方程。 在说应力与应变的关系之前，先说一下本构关系的相关影响因素，包括材料、环境、加载类型、以及加载速度。即，),,(T t f εσ=。另外，有各种各样的本构系，比如：弹性本构关系、塑性本构关系、粘弹性本构关系、粘塑性本构关系、各向同性本构关系、各向同性本构关系等等。 简单情况的本构关系： 应力和应变的关系包括弹性和塑性的应力应变关系。我们所说的是线性弹性体的应力应变关系，又分为简单应力状态和复杂应力状态。在简单拉伸情况下，理想弹性材料的应力和应变的关系很简单，就是材料力学中的胡克定律： 。 而在塑性阶段，应力应变之间不再是简单的胡克定律，而是 。 另外，简单拉伸情况下的卸载定律是 。在后继弹性阶段，也就是卸 载后重新加载的材料会继续发生新的塑性变形，在此时的屈服称为后继屈服，相应的屈服点称为后继屈服点。初始屈服和后继屈服的不同是：第一，应力的数值不一样，后继屈服的应力值更大；第二，屈服点的个数不一样。初始屈服点只有一个，而后继屈服点会有好多个，则其对应的应力值也会有很多个。最后，在卸载全部载荷后进行反向加载比如说把拉伸改成压缩，此时会产生Bauschinger 效应。对于该效应，说明材料在某一个方向的硬化将引起反方向的软化。也就是说，各向同性材料产生塑性变形之后会变成各向异性。此时的弹性阶段的卸载荷压缩 可表示： 。 总结一下材料弹塑性行为的特殊规律大致有以下三点：一是在弹性阶段应力应变的关系是线性的，在塑性阶段它们之间的关系是非线性的；二是应力应变在 εσE =)(εσΦ=εσ∆=∆E - +=s s σσ
我所认识的应力和应变之间的关系 在单向应力状态下，理想弹性材料的应力和应变之间的关系是满足胡克定律的一一对应的关系。在三维应力状态下描述一点处的应力状态需要9个分量，相应的应变状态也要用9个应变分量来表示。对于一个具体的理想弹性体来讲，如果在三维应力状态下，应力与应变之间仍然有线性一一对应关系存在，则称这类弹性体为线性弹性体。 所谓各向弹性体，从力学意义上讲，就是弹性体内的每一点沿各个方向的力学性质都完全相同的。这类线性弹性体独立的唐兴常数只有两个。 各向同性体本构关系特点：1.主应力与主应变方向重合。2.体积应力与体积应变成比例。 3.应力强度与应变强度成比例。 4.应力偏量与应变偏量成比例。工程应用中，常把各向同性弹性体的本构方程写下成11()11()11()x y z xy xy y x z yz yz z y x xz xz E G E G E G εσμσσγτεσμσσγτεσμσσγτ⎧⎡⎤=-+=⎣⎦⎪⎪⎪⎡⎤=-+=⎨⎣⎦⎪⎪⎡⎤=-+=⎪⎣⎦⎩ ，式中分别为弹性模量、泊松比和剪切模量。在E G μ、、这三个参数之间，实际上独立的常量只有两个，它们之间存在关系为() 21E G μ=+。 屈服条件:弹性和塑性的最主要区别在于变形是可以恢复。习惯上，根据破坏时变形的大小把工程材料分为脆性材料和塑性材料两类。对于加载过程如图1 OA: 比例阶段；线性弹性阶段 AB: 非弹性变形阶段 BC ： 初始屈服阶段 s σσ≤ CDE ：强化阶段；应变强化硬化阶段 EF ： 颈缩阶段；应变弱化，软化阶段 s σσ≥ C 点为初始屈服点具有唯一性。在应力超过屈服应力后，如果在曲线上任意一点D 处卸 载，应力和应变之间将不再遵循原有的加载曲线规 律，而是沿一条接近平行于OA 的直线DO ’变化，直到应力下降为零，这时应变并不为零，即有塑性应变产生。如果用OD ’表示总应变ε，O ’D ’表示可以恢复的弹性应变e ε，OO ’表示不能恢复的塑性应变p ε，则有e p εεε=+，即总应变等于弹性应变加上塑性应变。若在卸载后重新加载，则曲线基本上仍沿直线O ’D 变化，直至超过D 点的应力之后，才会产生新的塑性变形。由此看来，在经过前次塑性变形后，屈服应力提高了，这种现象称为应变强化现象。为了与初始屈服相区别，我们把机箱发生新的塑性变形时的材料的再次屈服称为后
弹性力学： 1.应力：应力是描述一点内力各个方向上单位面积上的作用力的极限值，由于内力具有多重方向性因而应力也有多重方向性，需要用9个量描述，但表面独立的量有6个，实际上这6个量之间真正独立的只有3个。 2.应变；应变是描述一点的变形程度的物理量，变形包括伸缩和方向改变。一点的应变是一个复杂的物理现象，需要6个量描述，但独立的量只有3个。 3.体积力：作用在物体每一点的外力。比如每一点都有的重力。 4.面力：作用在物体表面的外力。比如水给大坝表面的压力。 5.斜面应力公式：一点任一方向的面上的应力与这一点的6个坐标应力之间的关系，这个关系用于应力边界条件和斜面应力的计算。物体表面的任一点的应力和该点的面力是相同的大小和方向。 6.平衡微分方程：分析一点：反映一点的体积力与该点的6个坐标应力之间的受力平衡的方程，方程是偏微分形式的方程。直角坐标下的方程形式上简单，其它坐标的复杂些。 7.可能应力：满足应力边界条件和平衡微分方程的应力场（该点进入弹塑性阶段时还要满足应力形式的屈服条件），因为应力对应的应变不一定是真实应变，因此只满足应力方程的应力只是可能应力而不一定是真实应力。 8.位移：分析一点：一点变形前后的位置差值。变形体研究的位移是该点空间位置的连续函数。 9.几何方程：分析一点：反映一点位移与该点应变之间关系的方程。直角坐标的几何方程形式上是最简单的，而其它坐标的复杂些。 10.变形协调方程：变形体不出现开裂或堆叠现象，即一点变形后产生的位移是唯一的，这时对一点的应变分量之间的相互约束关系。直角坐标下的方程形式上简单，其它坐标的复杂些。 11.物理方程：这是材料变形的固有性质，反映一点应力与应变之间的约束关系，这种约束关系和坐标选取无关，即各种坐标下的物理关系都是相同的函数。 12.弹性：弹性指物体在外界因素(外荷载、温度变化等)作用下引起变形，在外界因素撤除后，完全恢复其初始的形状和尺寸的性质。 13.完全弹性：材料变形性质只有弹性而没有其他如流变、塑性等变形性质。 14.线弹性：材料变形性质是弹性，且应力应变关系是线性的。 15.应力函数：用于计算应力的函数，该函数满足无体力的平衡微分方程。用应力函数求解弹性力学问题可以减少基本方程的数目，但缺点是方程升阶。 16.平面问题:任何弹性体都是具有一定空间的，但忽略一些次要因素而按平面问题分析，使分析过程变得简单且能满足工程的精度要求，就可以简化为平面问题。 17.平面应力问题：薄板受板面方向的外力且外力沿厚度方向不变，这类问题可以简化为平面应力问题，
我所认识的弹塑性力学 弹塑性力学作为固体力学的一门分支学科已有很长的发展历史，其理论与方法的体系基本完善，并在建筑工程、机械工程、水利工程、航空航天工程等诸多技术领域得到了成功的应用。 一绪论 1、弹塑性力学的概念和研究对象 弹塑性力学是研究物体在载荷（包括外力、温度变化或外界约束变动等）作用下产生的应力、变形和承载能力，包括弹性力学和塑性力学，分别用来研究弹性变形和塑性变形的力学问题。弹性变形指卸载后可以恢复和消失的变形，塑性变形时指卸载后不能恢复而残留下的变形。弹塑性力学的研究对象可以是各种固体，特别是各种结构，包括建筑结构、车身骨架、飞机机身、船舶结构等，也研究量的弯曲、住的扭转等问题。其基本任务在于针对实际问题构建力学模型和微分方程并设法求解它们，以获得结构在载荷作用下产生的变形，应力分布及结构强度等。 2、弹塑性简化模型及基本假定 在弹性理论中，实际固体的简化模型为理想弹性体，它的特征是：一定温度下，应力应变之间存在一一对应关系，而与加载过程以及时间无关。在塑性理论中，常用的简化模型为：理想塑性模型和强化模型。理想塑性模型又分为理想弹塑性模型和理想刚塑性模型；强化模型包括线性强化弹塑性模型、线性强化刚塑性模型和幂次强化模型。弹塑性力学有五个最基本的力学假定，分别为：连续性假定、均匀性
假定、各向同性假定、小变形假定和无初应力假定。 3、研究方法及其与初等力学理论的联系和区别 一般来说，弹塑性力学的求解方法有：经典方法、数值方法、试验方法和实验与数值分析相结合的方法。经典方法是采用数学分析方法求解，一般采用近似解法，例如，基于能量原理的Ritz法和伽辽金法；数值法常用的有差分法、有限元法及边界条件法；实验法是采用机电方法、光学方法、声学方法等来测定应力应变分布规律，如光弹性法和云纹法。 弹塑性力学与初等理论力学既有联系又有区别，如下表所示：表1、弹塑性力学与初等力学理论的联系和区别
材料力学知识点 材料力学是研究材料内部结构和材料在外力作用下的变形和破坏行为的学科。以下是材料力学的一些重要知识点： 1. 应力和应变：应力是单位面积上的力，可以分为正应力和剪应力；应变是物体长度或体积的相对变化，可以分为纵向应变和剪切应变。应力和应变之间的关系可以用本构关系来描述。 2. 弹性力学：弹性力学研究的是材料在外力作用下的弹性变形行为。经典弹性力学假设材料在小应变范围内具有线性弹性行为，可以通过胡克定律来描述。 3. 塑性力学：塑性力学研究的是材料在外力作用下的塑性变形行为。塑性变形主要包括应力的塑性变形和材料内部晶体结构的塑性变形。当应力超过材料的屈服强度时，材料会发生塑性变形。 4. 断裂力学：断裂力学研究的是材料在外力作用下发生破坏的行为。断裂可以分为静态断裂和疲劳断裂。静态断裂研究的是材料在静态加载下的破坏行为，疲劳断裂研究的是材料在循环加载下的破坏行为。 5. 损伤力学：损伤力学研究的是材料内部发生损伤的行为及其对材料性能的影响。材料的损伤可能包括裂纹、孔洞、位错等。损伤会导致材料的刚度和强度降低。 6. 微观结构与力学性能：材料的力学性能与其微观结构关系密
切。材料的晶体结构、晶界、孪晶、析出相等微观结构对材料的力学性能具有重要影响。 7. 强度理论和设计：强度理论研究的是材料的强度如何与其内部应力、应变和结构参数相联系。强度理论为材料的设计提供了基本依据，可以用来预测材料的破坏行为和使用寿命。 8. 材料的超塑变形：超塑变形是指在高温和大应变速率条件下，材料可以表现出很高的变形能力。超塑变形对材料的加工和成形具有重要意义。 综上所述，材料力学是工程领域中非常重要的学科，掌握材料力学的知识可以帮助我们更好地理解和应用材料的力学行为，从而设计和改进材料的性能。
有效应力原理的基本概念 有效应力原理是弹塑性力学的基本原理之一，它用于描述材料中的应力状态和变形情况。有效应力表示材料内的真正应力负荷，排除了由于材料中的孔隙、裂纹或微观缺陷引起的局部应力集中效应。有效应力原理的主要目的是通过假设材料中的应力分布是均匀的，并将材料中各部分应力之间的关系表示为一个统一的应力张量。 有效应力原理的基本概念如下： 1. 应力与变形关系：根据应力-应变曲线，可以将材料的力学行为划分为弹性和塑性阶段。弹性阶段中，应力与应变成正比，且应力释放后材料恢复到初始状态。而在塑性阶段，应力超过一定临界值时，材料开始发生可持续的形变，并且在去除外部应力后，材料只能恢复部分变形。 2. 应力状态：一个物体内的应力状态通常由一个代表应力的应力张量来描述。在三维空间中，应力张量由九个应力分量组成，分别表示正应力和剪应力。在有效应力原理中，这些应力分量被重新定义为有效应力分量，用于描述材料内部的真实应力状态。 3. Mohr-Coulomb准则：有效应力原理的基础是Mohr-Coulomb准则，它假设材料中的剪应力强度只与有效应力相关。Mohr-Coulomb准则是一种经验公式，可以用于计算不同材料在不同应变速率和温度下的剪切强度。
4. 孔隙和裂纹对应力的影响：孔隙和裂纹是材料中最常见的缺陷，它们会引起应力集中，导致局部应力增大。有效应力原理通过忽略这些缺陷的影响，将材料中的应力分布视为均匀的，从而简化了材料的力学分析。 5. 有效应力张量的计算：由于有效应力原理假设了均匀的应力分布，因此可以使用均匀应力分布的计算方法来计算有效应力张量。常见的计算方法包括：平均应力法、应力不变量法和应变能密度法等。 总结来说，有效应力原理是一种简化材料力学分析的方法，它排除了缺陷对应力分布的影响，用一个统一的应力张量来描述材料内的应力状态。在应用有效应力原理时，需要考虑材料的性质、受力情况和外部环境等因素，并结合真实的力学实验数据来计算有效应力张量，用于工程结构的设计与分析。
弹性力学与固体力学 在物理学领域中，弹性力学和固体力学是两个重要的分支。这两个学科都以研 究物体的力学性能为主，但却从不同的角度出发，并在不同的应用领域中发挥作用。本文将探讨弹性力学和固体力学的基本概念、应用领域以及它们之间的联系。 弹性力学是研究物体在外力作用下产生的形变和恢复到原始状态的能力的学科。弹性力学理论可以用来描述物体在受力作用下的变形和应力的分布情况。弹性力学的基本原理是胡克定律，该定律说明了物体受力后产生的应力与应变之间的线性关系。根据胡克定律，弹性材料在弹性极限之内应变正比于应力。这也意味着物体在去除外力后可以恢复到原始形状。弹性力学的应用广泛，涉及到工程、医学、建筑等领域。例如，在建筑设计中，工程师需要考虑材料的弹性性能，以确保建筑物在受力后能够保持稳定。 相比之下，固体力学更关注物体在外力下的变形和断裂行为。固体力学包括弹 性力学、塑性力学和断裂力学等分支。固体力学的研究对象主要是刚体和强度材料，这些物体在外力作用下会发生不可逆的形变和断裂。固体力学通过研究材料的应力和应变来描述物体的力学性能。它的基本原理是应力应变关系和刚体力学的定律。固体力学的应用广泛，包括材料科学、工程结构设计、机械工程等领域。例如，在航空航天工程中，固体力学被用来计算飞机结构的强度和刚度，以确保飞机在飞行过程中的安全性。 尽管弹性力学和固体力学研究的对象和方法有所不同，但它们之间有很多重要 的联系。首先，弹性力学是固体力学的一个重要分支，两者都研究物体的强度和变形行为。其次，固体力学可以作为弹性力学的一个特例，即弹性体在外力作用下的行为。当外力作用超过弹性极限时，材料会进入塑性变形或断裂状态。弹性力学无法完全描述这些不可逆的变形行为，而需要通过固体力学的塑性力学或断裂力学来分析。
劲和材院规律 一、引言 劲和材院规律是指在材料力学中所遵循的一些基本规律和原理。在工程实践中，了解和应用这些规律可以帮助我们更好地理解材料的力学行为，从而指导设计和分析工作。本文将从多个方面对劲和材院规律进行探讨，包括应力应变关系、弹性力学、塑性力学和断裂力学等内容。 二、应力应变关系 2.1 应力的定义和分类 应力是指单位面积上的力，常用符号为σ。根据力的作用方向和大小，应力可以 分为正应力、剪应力和法向应力等。正应力是指垂直于面积的力，剪应力是指平行于面积的力，法向应力是指作用在面积上的力的分量。 2.2 应变的定义和分类 应变是指材料在受力下发生的变形程度，常用符号为ε。根据变形方式的不同， 应变可以分为线性应变和体积应变。线性应变是指材料在受力下发生的长度变化与原始长度之比，体积应变是指材料在受力下发生的体积变化与原始体积之比。 2.3 应力应变关系的表示 应力应变关系可以通过应力应变曲线来表示。在弹性阶段，应力与应变呈线性关系，称为胡克定律。在超过材料弹性限度后，应力与应变的关系将不再是线性的，材料会发生塑性变形。 三、弹性力学 3.1 弹性模量 弹性模量是衡量材料抵抗变形的能力的物理量，常用符号为E。根据材料的不同， 弹性模量可以分为杨氏模量、剪切模量和泊松比等。杨氏模量描述了材料在拉伸或压缩时的应力与应变之间的关系，剪切模量描述了材料在受剪切力作用下的应力与应变之间的关系，泊松比描述了材料在受力时横向收缩与纵向伸长的比例关系。 3.2 弹性体的力学性质 弹性体是指在受力后能够完全恢复原来形状和大小的物体。在弹性体的力学性质中，除了弹性模量外，还包括拉伸强度、屈服强度和断裂强度等。拉伸强度是指材料在拉伸过程中最大的抗拉应力，屈服强度是指材料开始发生塑性变形时的应力，断裂强度是指材料发生断裂时的应力。
第二部分弹塑性问题的有限元法 第四章弹塑性体的本构理论 第五章弹塑性体的有限元法 第四章弹塑性体的本构理论 4-1塑性力学的基本内容和地位 塑性力学是有三大部分组成的：1) 塑性本构理论，研究弹塑性体的应力和应变之间的关系；2) 极限分析，研究刚塑性体的应力变形场，包括滑移线理论和上下限法；3) 安定分析，研究弹塑性体在低周交变载荷作用下结构的安定性问题。 塑性力学虽然是建立在实验和假设基础之上的，但其理论本身是优美的，甚至能够以公理化的方法来建立整个塑性力学体系。 塑性力学是最简单的材料非线性学科，有很多其它更复杂的学科，如损伤力学、粘塑性力学等，都是借用塑性本构理论体系而发展起来的。 4-2关于材料性质和变形特性的假定 材料性质的假定 1)材料是连续介质，即材料内部无细观缺陷； 2)非粘性的，即在本构关系中，没有时间效应； 3)材料具有无限韧性，即具有无限变形的可能，不会出现断裂。 常常根据材料在单向应力状态下的σ-ε曲线，将弹塑性材料作以下分类： 硬化弹塑性材料 理想弹塑性材料
弹塑性本构理论研究的是前三种类型的材料，但要注意对于应变软化材料，经典弹塑性理论尚存在不少问题。 变形行为假定 1) 应力空间中存在一初始屈服面，当应力点位于屈服面以内时，应力和应变增量的是线性的；只有当应力点达到屈服面时，材料才可能开始出现屈服，即开始产生塑性变形。因此初始屈服面界定了首次屈服的应力组合，可表示为 ()00=σf (1) 2) 随着塑性变形的产生和积累，屈服面可能在应力空间中发生变化而产生后继屈服面，也称作加载面。对于硬化材料加载面随着塑性变形的积累将不断扩张，对于理想弹塑性材料加载面就是初始屈服面，它始终保持不变，对于软化材料随着塑性变形的积累加载面将不断收缩。因此加载面实际上界定了曾经发生过屈服的物质点的弹性范围，当该点的应力位于加载面之内变化时，不会产生新的塑性变形，应力增量与应变增量的关系是线性的。只有当应力点再次达到该加载面时，才可能产生新的塑性变形。 软化弹塑性材料 刚塑性材料
弹塑性力学理论及其在工程上的应用 摘要：弹塑性力学理论在工程中应用十分的广泛，是工程中分析问题的一个重要手段，本文首先是对弹塑性力学理论进行了阐述，然后讨论了它在工程上面的应用。 关键词：弹塑性力学；工程；应用 第一章 弹塑性力学的基本理论 （一）应力理论 1、 应力和应力张量 在外力作用下，物体将产生应力和变形，即物体中诸元素之间的相对位置发生变化，由于这种变化，便产生了企图恢复其初始状态的附加相互作用力。用以描述物体在受力后任何部位的内力和变形的力学量是应力和应变。本章将讨论应力矢量和某一点处的应力状态。 为了说明应力的概念，假想把受—组平衡力系作 用的物体用一平面A 分成A 和B 两部分(图1.1)。如 将B 部分移去，则B 对A 的作用应代之以B 部分对A 部分的作用力。这种力在B 移去以前是物体内A 与B 之间在截面C 的内力，且为分布力。如从C 面上点P 处取出一包括P 点在内的微小面积元素S ∆，而S ∆上 的内力矢量为F ∆，则内力的平均集度为F ∆／S ∆， 如令S ∆无限缩小而趋于点P ，则在内力连续分布的条件下F ∆／S ∆趋于一定的极限σo ，即 σ=∆∆→∆S F S 0lim 2、二维应力状态与平面问题的平衡微分方程式 上节中讨论应力概念时，是从三维受力物体出发的，其中点P 是从一个三维空间中取出来约点。为简单起见，首先讨论平面问题。掌提了平面问题以后．再讨论空间问题就比较容易了。 当受载物体所受的面力和体力以及其应力都与某—个坐标轴(例如z 轴)无关。平面问题又分为平面应力问题与平面应变问题。
（1） 平面应力问题 如果考虑如图所示物体是一个很薄的 平板，荷载只作用在板边，且平行于板面，即 xy 平面，z 方向的体力分量Z 及面力分量z F 均 为零，则板面上(2/δ±=z 处)应力分量为 0)(2=±=δσz z 0)()(22==±=±=δ δ ττz zy z zx 图2.2平面应力问题 因板的厚度很小，外荷载又沿厚度均匀分布， 所以可以近似地认为应力沿厚度均匀分布。由此， 在垂直于z 轴的任一微小面积上均有 0=z σ， 0==zy zx ττ 根据切应力互等定理，即应力张量的对称性，必然有0==xz yx ττ。因而对于平面应力状态的应力张量为 ⎥⎥⎥⎦ ⎤⎢⎢⎢⎣⎡=00000y yx xy x ij σττσσ 如果z 方向的尺寸为有限量，仍假设0=z σ，0==zy zx ττ，且认为x σ，y σ和xy τ(yx τ)为沿厚度的平均值，则这类问题称为广义平面应力问题。 （2）平面应变问题 如果物体纵轴方向(oz 坐标方向)的尺寸很长，外荷载及体力为沿z 轴均匀分布地作用在垂直于oz 方向，如图1.4所示的水坝是这类问题的典型例子。忽略端部效应，则因外载沿z 轴方向为一常数，因而可以认为，沿纵轴方向各点的位
工程弹塑性力学课后答案 【篇一：弹塑性力学思考题答案】 一点的应力状态？ 答：通过一点p 的各个面上应力状况的集合⒉一点应变状态？答：[受力物体内某点处所取无限多方向上的线应变与剪应变(任意两相互 垂直方向所夹直角的改变量)的总和，就表示了该点的应变状态。] 代表一点 p 的邻域内线段与线段间夹角的改变 ⒊应力张量？应力张量的不变量？应力球张量？体积应力？平均应力？应力偏张量？偏应力第二不 变量j2的物理意义？单向应力状态、纯剪应力状态的应力张量？给 出应力分分量，计算第一，第二不变量。 答：应力张量：代表一点应力状态的应力分量，当坐标变化时按一 定的规律变化，其变换关系符合 ??x?xy?xz???????????yxyyz???zx?zy?z???。其 中：?=?，?=?，?=?。 xzzxxyyxyzzy 应力张量的不变量：对于一个确定的应力状态,只有一组(三个)主应 力数值,即j1,j2,j3是不变量,不随 着坐标轴的变换而发生变化。所以j1,j2,j3分别被称为应力张量的第一、第二、第三不变量。 应力张量可分解为两个分量 0???x-?m?xy?xz???m0 ??+???ij??0?0????mymyz?，等式右端第一个张量称为应力球张量，第二个张量称为应???yx ?0?m??zy?z??m??0????zx? 力偏张量。 应力球张量：应力球张量，表示球应力状态（静水应力状态），只 产生体积变形，不产生形状变形，任何切面上的切应力都为零，各 方向都是主方向。 应力偏张量：应力偏张量，引起形状变形，不产生体积变形，切应 力分量、主切应力、最大正应力 11 平均应力：?m?(?x??y??z)?(?1??2??3)，?m为不变量,与坐标无关。
应力应变关系 应力应变都是物体受到外界载荷产生的响应。物体由于受到外界载荷后，在物体内部各部分之间要产生互相之间的力的作用，由于受到力的作用就会产生相应的变形；或者由于变形引起相应的力的作用。则一定材料的物体其产生的应力和应变也必然存在一定的关系。 在力学上由于平衡方程仅建立了力学参数（应力分量与外力分量）之间的关系，而几何方程也仅建立了运动学参数（位移分量与应变分量）之间的连系。所以平衡方程与几何方程是两类完全相互独立的方程，它们之间还缺乏必要的联系，这种联系即应力和应变之间的关系。有了可变形材料应力和应变之间关系和力学参数及运动学参数即可分析具体的力学问题。由平衡方程和几何方程加上一组反映材料应力和应变之间关系的方程就可求解具体的力学问题。这样的一组方 程即所谓的本构方程。讨论应力和应变之间的关系即可变为一定的材料建立合适的本构方程。 一. 典型应力-应变关系 图1-1典型应力-应变曲线 1）弹性阶段（0C段） 该弹性阶段为初始弹性阶段0C （严格讲应该为CA '，包括：线性弹性分阶 段0A段，非线性弹性阶段AB段和初始屈服阶段BC段。该阶段应力和应变满
足线性关系，比例常数即弹性模量或杨氏模量，记作：E ，即在应力-应变曲线的初始部分（小应变阶段），许多材料都服从全量型胡克定律。2）塑性阶段（CDEF 段）
CDE 段为强化阶段，在此阶段如图 1 中所示，应力超过屈服极限，应变超 过比例极限 后，要使应变再增加，所需的应力必须在超出比例极限后继续增加， 这一现象称为应变硬化。 CDE 段的强化阶段在 E 点达到应力的最高点，荷载达 屈服，相应的屈服点D 称为后继屈服 点，相应的应力称为后继屈服应力，并c S' 用表示。显然，由于硬化作用，c S '>c S ,而且与c S 不同，c S '不是材料 常数，它的大小与塑性变形的大小和历史有关。 5）卸载全部载荷后反向加载 到最大值，相应的应力值称为材料的强度极限 (ultimate strength ),并用时 表示。超过强度极限后应变变大应力却下降， 截面积的减小不是在整个试件长度范围发生， 直到最后试件断裂。 这一阶段试件 而是试件的一个局部区域截面积急 剧减小。这一现象称为“颈缩” （necking ）。此时，由于颈缩现象的出现，在 E 点以后荷载开始下降， 直至在颈缩部位试件断裂破坏。 这种应力降低而应变增加 的现象称为应变软化（简称为软化） 该阶段应力和应变的关系： （ ） 3）卸载规律 如果应力没有超过屈服应力，即在弹性阶段 OC 上卸载，应力和应变遵循原来的加载 规律，沿 CBO 卸载。在应力超过屈服应力后，如果在曲线上任一点 D 处卸载，应力与应变 之间将不再遵循原有的加载曲线规律，而是沿一条接近平行于 0A 的直线DO '变化，直到 应力下降为零，这时应变并不为零，即有塑性应变产生。如果用 0D '表示总应变 8,0' D '表示可以恢复的弹性应变 e 00'表示不能恢复的塑性应变 出 则有 即总应变等 于弹性应变加上塑性应变。 该阶段应力和应变的关系满足 4）卸载后重新加载 D0'段若在卸载后重新加载， ep E 。 (1-1) 则c — 8曲线基本上仍沿直线0' D 变化，直 至应力超过 D 点的应力之后，才会产生新的塑性变形。由此看来，在经过前次 塑性变形后，屈服应力提高了，这种现象称为应变强化（简称为硬化）现象。为 了与初始屈服相区 别， 我们把继续发生新的塑性变形时材料的再度屈服称为后继