我所认识的应力应变关系
一 在前面两章的分别学习了关于应力与应变的学习，第三章的本
构关系讲述了应力与应变的关系从而构成了弹塑性力学的本构关系。 在单向应力状态下，理想的弹塑性材料的应力应变关系及其简单满足胡克定律即
εσ
X X
E =
在三维应力状态下需要9个分量，即应力应变需要9个分量，于是可以把单向应力应变关系推广到三维应力状态，及推广到广义的胡克定律
本式应该是91个应变分量 单由于切应力互等定理，此时后面的三个应力与式中的切应力想等即现在剩余36个应变分量。
(1)具有一个弹性对称面的线弹性体的应力应变公式如下
(2)正交各向异性弹性体的弹塑性体公式如下
(3)各向同性弹性体的本构方程
各向同性弹性体在弹性状态下，主应力方向与主应变方向重合容易证明。在主应变空间里，由于应变主轴与应力主轴重合，各向同性弹性体体内任意一点的应力和应变之间满足：
111213x x y z
C C C σεεε=++ 212223y x y z C C C σεεε=++
313233z x y z
C C C σεεε=++ （2-3）
x ε对x σ的影响与y ε对y σ以及z ε对z σ的影响是相同的，即有
112233==C C C ；y ε和z ε对x σ的影响相同，即1213=C C ，同理有2123=C C 和
3132=C C 等 ，则可统一写为：
112233==C C C a =
122113312332=====C C C C C C b = （2-4）
所以在主应变空间里，各向同性弹性体独立的弹性常数只有2个。在任意的坐标系中，同样可以证明弹性体独立的弹性参数只有2个。
广义胡可定律如下式
1[()]1[()]1[()]x x y z y y x z z z x y E E E εσνσσεσνσσεσνσσ⎧
=-+⎪⎪
⎪
=-+⎨⎪⎪=-+⎪⎩ 222xy xy yz yz zx zx G G G τγτγτγ⎧=⎪⎪⎪=⎨⎪
⎪=⎪⎩
v 泊松比 2(1)
E
G ν=
+剪切模量 E ：弹性模量/杨氏模量 虎克定律
E G σε
τγ==
对于应变能函数理解有点浅在此就不多做介绍了。
2 屈服条件
拉伸与压缩时的应力——应变关系曲线
P A l l l στ=-=
BC CD DE ⎫⎪
⎬⎪⎭
：屈服阶段
：强化阶段塑性阶段：局部变形阶段
弹性变形时应力应变关系的特点
1.应力与应变完全成线性关系；即应力主轴与全量应变主轴重合
2.弹性变形是可逆的，与应变历史(加载过程)无关，即某瞬时的物体形状、尺寸只与该瞬时的外载有关，而与该瞬时之前各瞬间的载荷情况无关。
单向拉伸塑性变形下的应力-应变关系
1.应力、应变为非线性关系
2.塑性变化不可逆——无单值一一对应关系
3.对于应变硬化材料，卸载后的屈服应力比初始屈服应力高
弹塑性力学常用的简化模型 1. 理想弹性力学模型
E σε
=
2. 理想弹塑性力学模型
3. 线性强化弹塑性力学模型（双线性强化力学模型）
s s
s
E εεεσσεε≤⎧=⎨
>
⎩
4. 幂强化力学模型
n ：强化指数：0 ≤ n ≤ 1
5. 理想塑性力学模型（刚塑性力学模型）
6. 线性强化刚塑性力学模型
塑性变形时应力和应变的关系
弹性力学是以应力与应变成线性关系的广义Hooke 定律为其基础的；而在塑性力学的范围内，一般来说，应力与应变间的关系是非线性的，同时这种非线性的特征，又与所研究的具体材料和塑性应变有关。
1()s s s s
E E εεεσσεεεε≤⎧
=⎨
+->
⎩n
A σε
=s
σσ
=1s E σσε
=
+
塑性变形过程中的应力应变关系十分复杂，相关的理论较多，但可将它们分为两大类，即增量理论和全量理论。
增量理论
在弹性极限范围内，弹性全量应变与当时的应力状态有确定的一一对应关系，而与加载的历程无关。但由于塑性变形的不可恢复性，塑性全量应变与当时的应力状态不是单值关系，而与加载的历史有关。因此，当材料发生塑性变形时，即使应力水平相同，不同加载历程所对应的应变值也会不同。同样，对于同一应变值，不同加载历程所对应的应力值也会不同。因此，只有明确了加载历程，才能得到应力应变间的对应关系。
既然塑性变形时的应变与加载历史有关，而且也不容易得到全量应变与应力状态间的对应关系，人们自然想到建立塑性变形每一瞬时应变增量与当时应力状态之间的关系，又因为金属塑性变形过程中体积的变化可以忽略，人们又会想到建立每一瞬时应变增量与当时应力偏量之间的关系，增量理论便建立了这样的关系，这里的“增量”指的是应变增量，是相对全量应变而言的。
增量理论又称流动理论，是历史上最早提出来的阐述塑性变形过程应力应变关系的理论，代表性的有Levy-Mises（列维－米赛斯）理论和Prandtl-Reuss（普朗特－劳斯）理论。
需要说明的是，Levy-Mises理论和Prandtl-Reuss理论都只能在加载的情况下使用，卸载时须按Hooke定律计算。
全量理论
全量理论又称形变理论，它所建立的是应力与应变全量之间的关系，这一点和弹性理论极为相似，但全量理论要求变形体受简单加载，即要求各应力分量在加载过程中按同一比例增加，因而变形体内各点的应力主轴方向不发生变化，显然，这一要求限定了全量理论的应用范围。
有代表性的全量理论是Hencky （汉基）理论和Ильющин（依留辛）简单加载定理。
在Hencky 和Nadai （纳代依）工作的基础上，A.Ильющин于1943年将形变理论的形式和所必须满足的条件进行了整理，提出了物体内每个单元都处于简单加载的具体条件，并认为物体处于简单加载状态，即当外荷载从一开始即按同一比例系数增加时，由形变理论计算的结果是正确的。
满足简单加载的四个具体条件是：
(1) 小变形，即塑性变形和弹性变形属于同一量级； (2) 12ν=，即材料为不可压缩体；
(3) 荷载（包括体力）按比例单调增长，变形体处于主动变形过程，即应力强度不断增加，在变形过程中不出现中间卸载的情况，如有位移边界条件，只能是零位移边界条件；
(4) 材料的应力——应变曲线具有n
e e A σε=的幂函数形式。
卸载时的应力应变关系
对于外力按比例减小的简单卸载，复杂应力状态下应力和应变分量的改变量之间也存在类似的线性关系。
由于加载时应力和应变改变量按弹塑性体计算，而卸载时则按弹性体计算，故当全部荷载卸除后物体内会有残余应力和应变存在，显然，其数值为卸载前后值之差。
四．加载条件加载和卸载准则
1．理想塑性材料加载和卸载
由于理想塑性材料的加载面和屈服面总是保持一致，所以，加载函数和屈服函数可以统一表示为
它们均与塑性变形的大小和加载历史无关。于是，在荷载改变的过程中，如果应力点保持在屈服面上，即df=0，此时塑性变形可以任意增长，就称为加载。当应力点从屈服面上退回屈服面内，即df<0，就表示变形状态从塑性变为弹性，此时不产生新的塑性变形，称为卸载。理想塑性材料的上述加载和卸载准则，可以用数学形式表示为
2.强化材料加载、卸载
以上两式是对应力应变的简单的总结还需要进一步学习巩固理解
深入解析材料力学中的应变应力关系 材料力学是研究物质在外力作用下的变形和破坏行为的学科，应变应力关系是 材料力学中的重要概念。本文将深入解析材料力学中的应变应力关系，从宏观和微观两个层面进行讨论。 一、宏观层面的应变应力关系 在宏观层面，我们常常使用应变和应力来描述材料的力学性能。应变是材料在 外力作用下发生的变形程度，而应力则是材料单位面积上所受的力。应变和应力之间的关系可以通过应力-应变曲线来描述。 应力-应变曲线通常包括弹性阶段、屈服阶段、塑性阶段和断裂阶段等不同阶段。在弹性阶段，材料受到外力后会发生弹性变形，即在去除外力后能够恢复原状。此时，应变与应力之间的关系符合胡克定律，即应力与应变成正比。 然而，在超过一定应力值后，材料会进入屈服阶段，此时应变不再与应力成正比，而是出现了非线性关系。这是因为材料开始发生塑性变形，晶体内部的位错开始运动并滑移，导致材料的形状发生改变。在塑性阶段，应变与应力之间的关系取决于材料的本构关系，不同材料具有不同的本构关系。 最终，当材料的应力达到其极限强度时，会发生断裂，即材料无法再承受更大 的应力而发生破坏。此时，材料的应力-应变曲线会突然下降。 二、微观层面的应变应力关系 在微观层面，我们需要考虑材料的晶体结构和原子之间的相互作用。晶体中的 原子通过键结合在一起，形成了晶格结构。当材料受到外力作用时，晶体内的原子会发生位移和滑移，从而导致材料的变形。 在弹性阶段，材料的变形主要是由原子之间的键的伸长和压缩引起的。当外力 去除后，原子会恢复到原来的位置，材料也会恢复到原来的形状。
然而，在塑性阶段，晶体内的位错开始运动并滑移，导致材料的形状发生改变。位错是晶体结构中的缺陷，它们能够在晶体中传递应力和吸收应变。位错的运动和滑移是材料发生塑性变形的基本机制。 位错运动和滑移导致了材料的塑性变形，同时也引起了材料的硬化现象。在塑 性变形过程中，位错会相互交互作用，形成更多的位错并堆积在晶体中。这些位错的堆积会导致晶体的内部应力增大，从而使材料更难发生塑性变形。 总结起来，材料力学中的应变应力关系涉及宏观和微观两个层面。在宏观层面，我们通过应力-应变曲线来描述材料的力学性能，包括弹性、屈服、塑性和断裂等 阶段。在微观层面，我们需要考虑材料的晶体结构和原子之间的相互作用，特别是位错的运动和滑移对材料的塑性变形和硬化现象的影响。 通过深入解析材料力学中的应变应力关系，我们可以更好地理解材料的力学性 能和变形行为，为材料设计和工程应用提供科学依据。
我所认识的应力与应变的关系 弹性与塑性应变的关系： 一维：胡克定律 弹性变形 三维：广义胡克定律 屈服条件应力曾变与增量之间的关系—增量理论 塑性变形 比例变形时全量理论 低碳钢拉伸应力应变曲线： σ O O’ O’’εOB：弹性阶段 BH：屈服阶段 HC:强化阶段 CE：局部变形阶段应力和应变的关系是本构关系，是物质特性的反映。在弹性变形阶段，应力 与应变之间的关系满足胡克定律，即：σ ij =C ijkl ε kl 。应力与应变的关系可以近 似看成线性的，其中C是材料弹性常数，与弹性体内各点的坐标有关，还与温度和方向有关。因此，对于常温下均匀弹性体，材料弹性常数是材料的特性常数。 J.Baushinger效应：强化材料随着塑性变形的增加，屈服极限在一个方向提高而在相反方向降低的效应。其中理想的J.Baushinger效应是：屈服极限在一个方向上提高的数值与在相反方向上降低的数值相等。 应变能函数是物体在外力作用下变形的过程，根本上是一个热力学过称。物体由一种变形状态到另一种变形状态，其中有外力对物体做功，物体与外界交换
能量，物体的总能量发生变化。热力学定律证明,理想弹性体存在应变能，即 udu U ?=。 应变能函数是应变状态的单值函数，仅取决于应变的起始状态和最终状态，与变形过程无关，对于线弹性体，ij ij u εσ21=。格林公式是弹性体的应力分量等于应变能对相应应变分量的偏导数，即ij ij ij u εεσ??=)(，该公式适用于所有弹性体。 应力分析、应变分析的结果适合于连续介质力学的所有问题，与材料物质特性无关。本构关系的影响因素有：材料、环境、加载类型、加载速度，用函数表达式表示为： ),,(T t f εσ= 单一曲线假设认为不管何种应力状态，加载时，应力强度和应变强度的关系是一种单一曲线关系，可由简单加载的应力应变获得。 等向强化模型是认为加载时，在各个方向强化的程度相同。 随动强化模型是认为一个方向强化的程度等于相反方向弱化的程度。 最后是加卸载问题。简单加载定理要满足四点：小变形；材料是不可压缩的；应力强度和应变强度具有幂函数关系，m i i A εσ=（A,m 为常数）；外载荷按比例单调增加。 当物体中一点的应力状态满足屈服条件时，则需要建立塑性状态下的应力—应变关系，即塑性本构方程。 塑性流动理论基本思想：它是用应变增量表示弹塑性本构方程的理论。其依据是塑性变形过程中，应力和应变之间没有一一对应的关系，为了反映变形的历史，本构关系应该是用增量的形式给出。 周怒潮 602080706051
我所认识的应力应变关系 应力应变都是物体受到外界载荷产生的响应。物体由于受到外界载荷后，在物体内部各部分之间要产生互相之间的力的作用，由于受到力的作用就会产生相应的变形；或者由于变形引起相应的力的作用。则一定材料的物体其产生的应力和应变也必然存在一定的关系。 一 应力-应变关系 影响本构关系的因素有很多，例如材料、环境、加载类型（载荷、温度）、加载速度（动载荷、静载荷）等，当然，本构关系有很多类型，包括弹性、塑性、粘弹性、粘塑性、各向同性、各向异性本构关系，那么首先来叙述一下简单情况 本构关系，所谓简单情况就是六个应力分量x y xy yz zx σσστττ、 、z 、、、只有一个不为零，六个应变分量x y xy yz zx εεεγγγ、 、z 、、、只有一个自由变化，应力应变关系图1-1。 图1-1 应力应变关系图 图中OA 为线弹性阶段，AB 为非线弹性阶段，故OB 为初始弹性阶段，C 点位初始屈服点，()s σ+为初始屈服应力，CBA 为弹性阶段卸载，这一阶段中E σε=， 初始弹性阶段结束之后，应力继续增大，进入塑性阶段，CDE 为强化阶段，应变强化硬化，EF 为颈缩阶段，应变弱化软化。如果在进入塑性阶段卸载后再加载，例如在D 点卸载至零，应力应变关系自D 点沿'DO 到达'O 点，且'DO ∥OA ，其中'O O 为塑性应变p ε，DG 为弹性应变e ε，总应变为它们之和。此后再继续加载，应力应变关系沿ODEF 变化，D 点为后继屈服点，OD 为后继弹性阶段，()'s σ+为后继屈服应力，值得一提的是初始屈服点只有一个，而后继屈服点有无数个（由加载历史决定）。若在卸除全部载荷后反向加载，弹性阶段'COC ，()()s s σσ+-=，而在强化阶段'DOD ，()()s s σσ+->，称为Bauschinger 效应。 从上述分析得出材料弹塑性行为有一定的特殊性，主要表现在：弹性应力
第四章应力和应变关系 一. 内容介绍 前两章分别从静力学和运动学的角度推导了静力平衡方程，几何方程和变形协调方程。由于弹性体的静力平衡和几何变形是通过具体物体的材料性质相联系的，因此，必须建立了材料的应力和应变的内在联系。应力和应变是相辅相成的，有应力就有应变；反之，有应变则必有应力。对于每一种材料，在一定的温度下，应力和应变之间有着完全确定的关系。这是材料的固有特性，因此称为物理方程或者本构关系。 对于复杂应力状态，应力应变关系的实验测试是有困难的，因此本章首先通过能量法讨论本构关系的一般形式。分别讨论广义胡克定理；具有一个和两个弹性对称面的本构关系一般表达式；各向同性材料的本构关系等。 本章的任务就是建立弹性变形阶段的应力应变关系。 二. 重点 1. 应变能函数和格林公式； 2. 广义胡克定律的一般表达式； 3. 具有一个和两个弹性对称面的本构关系； 4. 各向同性材料的本构关系； 3. 材料的弹性常数。 知识点 应变能原理 应力应变关系的一般表达式 完全各向异性弹性体 正交各向异性弹性体本构关系 弹性常数 各向同性弹性体应变能
格林公式 广义胡克定理 一个弹性对称面的弹性体本构关系 各向同性弹性体的应力和应变关系 应变表示的各向同性本构关系 §4.1 弹性体的应变能原理 学习思路: 弹性体在外力作用下产生变形，因此外力在变形过程中作功。同时，弹性体内部的能量也要相应的发生变化。借助于能量关系，可以使得弹性力学问题的求解方法和思路简化，因此能量原理是一个有效的分析工具。 本节根据热力学概念推导弹性体的应变能函数表达式，并且建立应变能函数表达的材料本构方程。 根据能量关系，容易得到由于变形而存储于物体内的单位体积的弹性势能，即应变能函数。 探讨应变能的全微分，可以得到格林公式，格林公式是以能量形式表达的本构关系。 如果材料的应力应变关系是线性弹性的，则单位体积的应变能必为应变分量的齐二次函数。因此由齐次函数的欧拉定理，可以得到用应变或者应力表示的应变能函数。 学习要点： 1. 应变能； 2. 格林公式； 3. 应变能原理。 弹性体发生变形时，外力将要做功，内部的能量也要相应的发生变化。本节通过热力学的观点，分析弹性体的功能变化规律。
材料力学中的应力与应变关系材料力学是研究材料在受力作用下的力学行为和性能的学科，应力与应变关系是其中的核心内容之一。本文将讨论材料力学中的应力与应变的概念及其数学表示，以及应力与应变之间的线性关系与非线性关系。 一、应力的概念及表示 应力是指材料单位面积上的内部力，常用符号σ表示。根据受力情况的不同，可以分为正应力、切应力和体积应力。正应力是指与作用力方向垂直的内部力，常用符号σ表示；切应力是指与作用力方向平行的内部力，常用符号τ表示；体积应力是指作用在体积内的内部力，常用符号p表示。 正应力的数学表示为σ = F/A，其中F为作用力的大小，A为受力面积。切应力的数学表示为τ = F/A，其中F为切力的大小，A为受力面积。体积应力的数学表示为p = F/V，其中F为体积力的大小，V为受力体积。 二、应变的概念及表示 应变是指材料在受力作用下产生的形变程度，常用符号ε表示。根据变形方式的不同，可以分为线性应变和体积应变。线性应变是指在受力作用下，材料产生的长度或角度发生变化，常用符号ε表示；体积应变是指在受力作用下，材料产生的体积发生变化，常用符号η表示。
线性应变的数学表示为ε = ΔL/L0，其中ΔL为长度变化量，L0为 原始长度。体积应变的数学表示为η = ΔV/V0，其中ΔV为体积变化量，V0为原始体积。 三、应力与应变的线性关系 在一定范围内，应力与应变之间可以表现为线性关系。根据胡克定 律（Hooke's Law），线性弹性材料的应力与应变之间满足σ = Eε，其 中E为弹性模量。 弹性模量是材料刚度的度量，表示材料单位应力产生的单位应变。 常见的弹性模量有杨氏模量、剪切模量和泊松比。杨氏模量的数学表 示为E = σ/ε，其中σ为应力，ε为线性应变。剪切模量的数学表示为G = τ/γ，其中τ为切应力，γ为切应变。泊松比的数学表示为ν = -εv/εh， 其中εv为垂直方向的线性应变，εh为水平方向的线性应变。 四、应力与应变的非线性关系 在超过线性弹性阶段后，材料的应力与应变之间将呈现非线性关系。当外力作用足够大时，材料将发生塑性变形。此时，应力与应变之间 的关系将不再满足胡克定律，而需引入塑性流动方程或本构方程来描 述材料的力学行为。 塑性流动方程或本构方程是材料力学中的一个重要方程，常用于描 述材料的应力与应变关系。不同的材料具有不同的本构方程，如极限 强度本构方程、拉伸本构方程等。这些方程对于工程设计和材料选择 具有重要的指导意义。
我所认识的应力和应变关系 在这之前我认识了应力和应变的概念、性质以及从静力学和几何学的角度出发所得到的平衡方程和几何方程。但是平衡方程仅反映了应力分量和外力分量的关系；几何方程仅建立了位移分量和应变分量的关系。 而谈到应力与应变的关系，对于可变形固体，在弹塑性力学中，在外力的作用下，其将发生变形。变形分为两个阶段，弹性阶段和塑性阶段。在弹性阶段，发生的弹性变形可以完全恢复，它是一个可逆过程。此时，应力与应变的关系是一一对应的，是单值函数关系。而在塑性阶段，所发生的塑性变形是不可以恢复的，是不可逆过程。相对应的，塑性阶段的应力应变的关系是非线性关系，不存在一一对应的关系。 我所认识的应力和应变的关系就是本构关系。本构关系也称为物理关系，它反应的是可变形材料的固有属性，实质上是一组联系力学参数和运动参数的方程式，也就是我们所说的本构方程。 在说应力与应变的关系之前，先说一下本构关系的相关影响因素，包括材料、环境、加载类型、以及加载速度。即，),,(T t f εσ=。另外，有各种各样的本构系，比如：弹性本构关系、塑性本构关系、粘弹性本构关系、粘塑性本构关系、各向同性本构关系、各向同性本构关系等等。 简单情况的本构关系： 应力和应变的关系包括弹性和塑性的应力应变关系。我们所说的是线性弹性体的应力应变关系，又分为简单应力状态和复杂应力状态。在简单拉伸情况下，理想弹性材料的应力和应变的关系很简单，就是材料力学中的胡克定律： 。 而在塑性阶段，应力应变之间不再是简单的胡克定律，而是 。 另外，简单拉伸情况下的卸载定律是 。在后继弹性阶段，也就是卸 载后重新加载的材料会继续发生新的塑性变形，在此时的屈服称为后继屈服，相应的屈服点称为后继屈服点。初始屈服和后继屈服的不同是：第一，应力的数值不一样，后继屈服的应力值更大；第二，屈服点的个数不一样。初始屈服点只有一个，而后继屈服点会有好多个，则其对应的应力值也会有很多个。最后，在卸载全部载荷后进行反向加载比如说把拉伸改成压缩，此时会产生Bauschinger 效应。对于该效应，说明材料在某一个方向的硬化将引起反方向的软化。也就是说，各向同性材料产生塑性变形之后会变成各向异性。此时的弹性阶段的卸载荷压缩 可表示： 。 总结一下材料弹塑性行为的特殊规律大致有以下三点：一是在弹性阶段应力应变的关系是线性的，在塑性阶段它们之间的关系是非线性的；二是应力应变在 εσE =)(εσΦ=εσ∆=∆E - +=s s σσ
一、应力与应变 1、应力 在连续介质力学里，应力定义为单位面积所承受的作用力。 通常的术语“应力"实际上是一个叫做“应力张量" （stress tensor ）的二阶张量. 概略地说,应力描述了连续介质内部之间通过力（而且是通过近距离接触作用力)进行相互作用的强度. 具体说,如果我们把连续介质用一张假想的光滑曲面把它一分为二，那么被分开的这两部分就会透过这张曲面相互施加作用力。 很显然，即使在保持连续介质的物理状态不变的前提下，这种作用力也会因为假想曲面的不同而不同，所以，必须用一个不依赖于假想曲面的物理量来描述连续介质内部的相互作用的状态。 对于连续介质来说，担当此任的就是应力张量，简称为应力。 2、应变 应变在力学中定义为一微小材料元素承受应力时所产生的单位长度变形量.因此是一个无量纲的物理量。 在直杆模型中，除了长度方向由长度改变量除以原长而得“线形变”，另外，还定义了压缩时以截面边长（或直径）改变量除以原边长（或直径）而得的“横向应变". 对大多数材料,横向应变的绝对值约为线应变的绝对值的三分之一至四分之一，二者之比的绝对值称作“泊松系数”。 3、本构关系 应力与应变的关系我们叫本构关系（物理方程）。E σε=（应力=弹性模量＊应变） 4、许用应力（allowable stress ） 机械设计或工程结构设计中允许零件或构件承受的最大应力值.要判定零件或构件受载后的工作应力过高或过低,需要预先确定一个衡量的标准，这个标准就是许用应力。 凡是零件或构件中的工作应力不超过许用应力时，这个零件或构件在运转中是安全的，否则就是不安全的。 许用应力等于考虑各种影响因素后经适当修正的材料的失效应力除以安全系数. 失效应力为：静强度设计中用屈服极限（yield limit ）或强度极限（strength limit ）;疲劳强度设计中用疲劳极限（fatigue limit ）. 5、许用应力、失效应力及安全系数之间关系 塑性材料（大多数结构钢和铝合金）以屈服极限为基准，除以安全系数后得许用应力，即[]()/ 1.5~2.5s n n σσ==.（许用应力=屈服极限/安全系数） 脆性材料(铸铁和高强钢）以强度极限为基准,除以安全系数后得许用应力， 即[]()/2~5b n n σσ==.（许用应力=强度极限/安全系数） 表3机床静力学分析结果总结 机床的位置 应力 应变 位移 油缸 27 9。79 0。47983 5号顶尖 10 3。91 0。29528
我所认识的应力与应变的关系 我所认识的本构关系可以从三个不同的受力条件下进行分析，第一是在弹性变形下的应力与应变的关系，第二是在屈服条件下的应力与应变的关系，第三是在塑性条件下的应力与应变的关系，而对应力与应变的关系的研究也可以归结为对本构关系的研究。 首先，弹塑性力学分别从静力学和几何学的角度出发，导出了平衡方程的和几何方程，这些方程均与物体的材料性质（物理性质）无关，因而适用于任何连续介质。但仅仅依靠平衡方程和几何方程来解决实际中的工程问题是不够的。由于平衡方程仅建立了力学参数（应力分量与外力分量）之间的联系，而几何方程也仅建立了运动学参数（位移分量与应变分量）之间的关系，所以平衡方程与几何方程式两类完全相互独立的方程，他们之间还缺乏必要的联系。对于所求解的问题来讲，因为您未知量的数目多于任何一类方程的个数，所以无法利用这两类方程求的全部未知量。 平衡方程： ⎪⎪⎪⎪ ⎭ ⎪⎪⎪ ⎪⎬⎫⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂=+∂∂+∂∂+∂∂⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂=+∂∂+∂∂+∂∂⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂=+∂∂+∂∂+∂∂222222000t w Z z y x t v Y z y x t u X z y x z zy zx yz y yx xz xy x ρσττρτστρττσ （1） 几何方程： ⎪⎪⎪ ⎭⎪⎪⎪⎬⎫∂∂+∂∂=∂∂=∂∂+∂∂=∂∂=∂∂+∂∂=∂∂= x w z u z w z v y w y v y u x v x u zx z yz y xy x γεγεγε （2） 为了求解具体的力学问题，还必须引进一些关系式，这些关系式即所谓的本构关系。本构关系反映可变形体材料的固有特此那个，故也称为物理关系，它实际上是一组联系力学参数和运动学参数的方程式，即所谓的本构方程。本构方程实际上就是一组反映可变形体材料应力和应变之间关系的方程。 在单向应力状态下，理想弹性材料的应力和应变之间的关系极其简单。这就是在材料力学中寻出的如下形式的胡克定律： x x E εσ= （3） 胡克定律是一个实验定律，在式（1.1）中的E 是材料性质有关的弹性常数，称为弹性模量和杨氏模量。 在三维应力状态下，描绘一点处的应力状态需要9个应力分量，相应的三维应力状态下，应力与应变之间仍然有类似式（1.1）的线性一一对应关系存在，则称这类弹性体为线性弹性体。对线弹性体，可以把单向应力状态下的胡克定律推广到三维应力状态。推广得到的式子形式形式为
流体力学中应力应变关系 流体力学是力学的一个分支，研究的是流体的运动、应力和应变。在流体力学中，应力和应变之间的关系是一个基础性问题，本文将对流体力学中应力应变关系进行讲解。 一、应力和应变的概念 应力是指在物体内部的任意一个点处，单位面积受到的力的大小。在流体力学中，应力分为正应力和剪应力两种。正应力是指垂直于物体表面的应力，它的方向和大小与物体表面的法线方向相同。剪应力是指平行于物体表面的应力，它的方向和大小与物体表面的切线方向相同。 应变是指物体受到应力作用后，形态发生改变的程度。在流体力学中，应变分为体积应变和剪应变两种。体积应变是指流体的体积在受到压力作用后发生的变化，它是指流体体积的变化与初始体积的比值。剪应变是指物体受到剪应力作用后，产生的形变的强度，它是指变形的尺寸与原始尺寸的比值。 流体在受到应力作用时，会发生形变，而应力和应变之间的关系便是描述形变程度的应变和导致形变的应力之间的关系。在流体力学中，应力和应变之间的关系有两种： 1. 线性应力应变关系 在一些情况下，流体的应变与应力之间具有线性关系。这种关系表示为： ε = K σ 其中，ε是流体的应变，K是常数，σ是流体的应力。这种关系在流体受到小应力时是适用的，通常称为胡克定律。 当流体所受到的应力超过一定的范围时，线性应力应变关系不再成立，流体的应变不再是应力的线性函数。这时，应力和应变的关系可以用更复杂的非线性关系进行描述。液滴的表面张力、黏度和压缩强度是非线性的。 流变学是研究物质的变形和流动行为的学科，它探究物体在不同的应力作用下，应变的变化规律。在流体力学的领域中，流体的应力应变关系可以被分成三类： 粘弹性流体是一种介于固体和液体之间的物质，它的应变不仅与应力有关，而且与应变历史有关。它们的应力应变关系可以用弹性模量、黏度和时间来描述。 塑性流体是指流体在受到一定应力作用后会发生永久变形的流体。在塑性流体中，应变随着应力的增大，在一定的应力范围内也是线性的，但超过一定的范围后便不再线性。 四、结论
弹性力学中的应力与应变关系 弹性力学是力学的一个重要分支，研究物体在外力的作用下产生的形变与应力 的关系。在弹性力学理论中，应力与应变关系是最为核心的概念之一。本文将探讨弹性力学中的应力与应变关系的基本原理，并从不同角度对其进行分析。 一、基本概念 在弹性力学中，应力是描述物体内部单位面积受力情况的物理量。它可以分为 正应力和剪应力。正应力表示物体在垂直于某一平面上的受力情况，剪应力表示物体在平行于某一平面上的受力情况。应力的大小一般采用希腊字母σ表示。 应变是描述物体形变情况的物理量。它可以分为线性应变和体积应变。线性应 变表示物体中某一方向上的长度相对变化，体积应变表示物体在各个方向上的体积变化。应变的大小可以用希腊字母ε表示。 二、胡克定律 胡克定律是描述弹性体材料中应力与应变关系最基本的定律。其数学表达式为σ = Eε，即应力等于弹性模量与应变之积。其中，弹性模量E是描述物体对应变的 抵抗能力的物理量。根据胡克定律，应力与应变之间的关系是线性的，即若应变增大，则应力也会相应增大。 胡克定律适用范围有限，对于非线性应力-应变关系的材料，需要采用其他力 学模型进行描述。例如，当外力作用超出一定范围时，弹性体会发生塑性变形，此时应力和应变之间的关系就无法再用胡克定律来描述。 三、材料力学模型 由于胡克定律的局限性，研究者们提出了各种各样的材料力学模型来描述应力 与应变之间的关系。其中，最常用的有线性弹性模型、非线性弹性模型和本构模型。
线性弹性模型是胡克定律的拓展，它适用于应力与应变关系呈线性关系的情况。在这种模型中，应力与应变之间的关系是单一的、唯一的。当外力作用停止后，物体能够完全恢复到初始状态。 非线性弹性模型适用于应力与应变关系不再呈线性关系的情况。它可以更好地 描述材料的实际变形情况。在这种模型中，应力与应变之间的关系可以是非线性的、曲线状的。 本构模型是一种综合考虑多种因素的力学模型，它可以更全面地描述材料的应 力与应变关系。常见的本构模型有胡克-简氏模型、麦克斯韦模型等。这些模型通 过引入多个参数，可以更准确地描述材料的变形特性。 四、工程应用 弹性力学中的应力与应变关系在工程领域中有着广泛的应用。工程师可以通过 对应力与应变关系的研究，预测材料在不同外力作用下的变形情况，从而设计出更安全、稳定的结构。 在土木工程中，应力与应变关系的研究可以用于设计和分析桥梁、建筑物等结 构的承载能力。通过计算结构体中的应力分布和形变情况，工程师们可以确定其是否满足规定的安全标准。 在材料工程中，应力与应变关系可以用于评估材料的性能。通过测试材料在不 同应力下的变形情况，可以确定其强度、韧性等指标，从而为材料的选择和设计提供依据。 在机械工程中，应力与应变关系可以用于设计和分析机械元件的可靠性。通过 对机械元件在工作过程中的应力与应变进行分析，可以预测其疲劳寿命和失效方式，提高机械系统的可靠性和安全性。 总结起来，弹性力学中的应力与应变关系是一个重要而复杂的课题。通过对其 进行研究与分析，可以揭示物体在外力作用下的变形规律，为工程设计和材料选择
应力分量应变分量关系公式 应力和应变是材料力学中重要的物理量，它们描述了材料在受力作用下的变形行为。在材料力学中，存在着应力分量和应变分量之间的关系，可以用一些公式来表示。下面将介绍一些常见的应力分量和应变分量关系公式。 1. 应力分量和应变分量的定义 应力是单位面积上的力，用σ表示，其分量包括正应力（正向作用的应力）和剪应力（平行于应力面的应力）。应变是物体变形程度的度量，用ε表示，其分量包括正应变（正向应变）和剪应变（平行于应变面的应变）。 2. 正应力和正应变的关系 正应力和正应变之间的关系可以用胡克定律来描述。胡克定律表明，在弹性范围内，正应力与正应变之间存在线性关系。具体而言，正应力等于弹性模量乘以正应变。即σ = Eε，其中E为杨氏模量，是材料的一种力学性质。 3. 剪应力和剪应变的关系 剪应力和剪应变之间的关系也可以用胡克定律来描述。胡克定律表明，在弹性范围内，剪应力与剪应变之间存在线性关系。具体而言，剪应力等于剪切模量乘以剪应变。即τ = Gγ，其中G为剪切模量，
是材料的一种力学性质。 4. 主应力和主应变的关系 主应力是在材料中存在的最大和最小应力，主应变是对应的最大和最小应变。主应力和主应变之间的关系可以用材料的泊松比来描述。泊松比表示材料在受力时沿一个方向的收缩相对于另一个方向的伸长的比值。具体而言，主应变等于主应力乘以材料的泊松比的倒数。即ε = νσ，其中ν为泊松比。 5. 应力切变和应变切变的关系 应力切变是指剪应力在材料中的切向分量，应变切变是指剪应变在材料中的切向分量。应力切变和应变切变之间的关系可以用应力切变模量来描述。应力切变模量表示材料在受力时沿一个方向的切变应力相对于切变应变的比值。具体而言，应变切变等于应力切变乘以应力切变模量的倒数。即γ = ητ，其中η为应力切变模量。 以上就是一些常见的应力分量和应变分量关系公式的介绍。这些公式在材料力学的研究和工程实践中具有重要的意义，可以帮助人们更好地理解和应用材料的变形行为。同时，了解这些公式还可以为材料的设计和优化提供理论依据。
我所认识的应力应变关系 一 在前面两章的分别学习了关于应力与应变的学习，第三章的本 构关系讲述了应力与应变的关系从而构成了弹塑性力学的本构关系。 在单向应力状态下，理想的弹塑性材料的应力应变关系及其简单满足胡克定律即 εσ X X E = 在三维应力状态下需要9个分量，即应力应变需要9个分量，于是可以把单向应力应变关系推广到三维应力状态，及推广到广义的胡克定律 本式应该是91个应变分量 单由于切应力互等定理，此时后面的三个应力与式中的切应力想等即现在剩余36个应变分量。 (1)具有一个弹性对称面的线弹性体的应力应变公式如下
(2)正交各向异性弹性体的弹塑性体公式如下 (3)各向同性弹性体的本构方程 各向同性弹性体在弹性状态下，主应力方向与主应变方向重合容易证明。在主应变空间里，由于应变主轴与应力主轴重合，各向同性弹性体体内任意一点的应力和应变之间满足： 111213x x y z C C C σεεε=++ 212223y x y z C C C σεεε=++ 313233z x y z C C C σεεε=++ （2-3） x ε对x σ的影响与y ε对y σ以及z ε对z σ的影响是相同的，即有 112233==C C C ；y ε和z ε对x σ的影响相同，即1213=C C ，同理有2123=C C 和 3132=C C 等 ，则可统一写为： 112233==C C C a =
122113312332=====C C C C C C b = （2-4） 所以在主应变空间里，各向同性弹性体独立的弹性常数只有2个。在任意的坐标系中，同样可以证明弹性体独立的弹性参数只有2个。 广义胡可定律如下式 1[()]1[()]1[()]x x y z y y x z z z x y E E E εσνσσεσνσσεσνσσ⎧ =-+⎪⎪ ⎪ =-+⎨⎪⎪=-+⎪⎩ 222xy xy yz yz zx zx G G G τγτγτγ⎧=⎪⎪⎪=⎨⎪ ⎪=⎪⎩ v 泊松比 2(1) E G ν= +剪切模量 E ：弹性模量/杨氏模量 虎克定律 E G σε τγ== 对于应变能函数理解有点浅在此就不多做介绍了。 2 屈服条件 拉伸与压缩时的应力——应变关系曲线 P A l l l στ=-= BC CD DE ⎫⎪ ⎬⎪⎭ ：屈服阶段 ：强化阶段塑性阶段：局部变形阶段
我所认识的应力应变关系 应力应变都是物体受到外界载荷产生的响应。物体由于受到外界载荷后，在物体内部各部分之间要产生互相之间的力的作用，由于受到力的作用就会产生相应的变形；或者由于变形引起相应的力的作用。则一定材料的物体其产生的应力和应变也必然存在一定的关系。 在力学上由于平衡方程仅建立了力学参数（应力分量与外力分量）之间的关系，而几何方程也仅建立了运动学参数（位移分量与应变分量）之间的连系。所以平衡方程与几何方程是两类完全相互独立的方程，它们之间还缺乏必要的联系，这种联系即应力和应变之间的关系。有了可变形材料应力和应变之间关系和力学参数及运动学参数即可分析具体的力学问题。由平衡方程和几何方程加上一组反映材料应力和应变之间关系的方程就可求解具体的力学问题。这样的一组方程即所谓的本构方程。讨论应力和应变之间的关系即可变为一定的材料建立合适的本构方程。简单归纳一下应力与应变关系框架为下图
一． 典型应力-应变关系 图1-1 典型应力-应变曲线 1） 弹性阶段（OC 段） 该弹性阶段为初始弹性阶段OC （严格讲应该为CA ’）,包括：线性弹性分阶段OA 段，非线性弹性阶段AB 段和初始屈服阶段BC 段。该阶段应力和应变满足线性关系，比例常数即弹性模量或杨氏模量，记作：εσE =，即在应力-应变曲线的初始部分（小应变阶段），许多材料都服从全量型胡克定律。 2）塑性阶段（CDEF 段） CDE 段为强化阶段，在此阶段如图1中所示，应力超过屈服极限，应变超过比例极限后，要使应变再增加，所需的应力必须在超出比例极限后继续增加，这一现象称为应变硬化。CDE 段的强化阶段在E 点达到应力的最高点，荷载达到最大值，相应的应力值称为材料的强度极限 （ultimate strength ），并用σb 表示。超过强度极限后应变变大应力却下降，直到最后试件断裂。这一阶段试件截面积的减小不是在整个试件长度范围发生，而是试件的一个局部区域截面积急剧减小。这一现象称为“颈缩”（necking ）。此时，由于颈缩现象的出现，在E 点以后荷载开始下降，直至在颈缩部位试件断裂破坏。这种应力降低而应变增加的现象称为应变软化（简称为软化）。 该阶段应力和应变的关系：)(εϕσ=。