这里，f 就是在应力空间定义了屈服面的屈服函数。
对于强化材料，如果应力状态趋向于移出屈服面的趋势，则可获得一个加载过程，而且能观察到弹塑性变形；会产生附加的塑性应变且当前的屈服（或加载）面构形也会发生改变，使应力状态总保持在后继加载面上。如果应力状态有移进屈服面以内的趋向，则称为卸载过程，此时只有弹性变形发生，加载面仍然保持原样。应力从塑性状态开始改变的另一种可能就是应力点沿着当前屈服面移动，这个过程叫做中性变载，与其相关的变形是弹性的。
区分这些现象的数学表达式就叫做加载准则，可用下列式子表示
0=f 且
0>∂∂ij ij
d f
σσ时，加载 0=f 且
0=∂∂ij ij
d f
σσ时，中性变载
（6-1）
0=f 且
0<∂∂ij ij
d f
σσ时，卸载 通常，f 函数形式是这样定义的，使得梯度矢量
f ij ij
n f
=∂∂σ的方向总是沿着屈服面0=f 向外的法线方向。因此，这些加载准则能用图6-1作简单的说明。
（a ） （b ）
图6-1 加工强化材料的加载准则 （a ）单轴情况； （b ）多轴情况
对于理想塑性材料，当应力点沿着屈服面移动时，能观察到弹塑性变形。但是，它并不
总是引起塑性变形而有可能被归到中性变载情况，因此对这种材料的加载准则给出定义如下
0=f 且
0=∂∂ij ij
d f
σσ时，加载或中性变载 0=f 且
0<∂∂ij ij
d f
σσ时，卸载
（6-2）
应当指出，加载和中性变载过程不能用上述准则加以区别。
已经有人提出表述加载准则的不同的形式，可以用应变增量代替应力增量作出判断
0=f 且
0>∂∂kl ijkl ij
d C f
εσ时，加载 0=f 且
0=∂∂kl ijkl ij
d C f
εσ时，中性变载
（6-3）
0=f 且
0<∂∂kl ijkl ij
d C f
εσ时，卸载 在这里，ijkl C 是弹性刚度张量。在Chen 等（Chen 和Zhang ，1991）的论文中可以找到关于上述加载准则的进一步讨论。对于理想塑性材料来说，这种形式更具普遍性也更适用。例如即将在后面6.3.1节中看到的，对于理想塑性材料，即使当
0=∂∂ij ij
d f
σσ时也能找到塑性应变增量的值为零，也就是在式（6-4）中定义的0=λd 。这是在式（6-4）中定义的中性变载过程。
在有限元分析中，需要从给出的或已知的应变增量中算出应力增量，这个计算需要给出或知道发生的变形是哪种形式。式（6-1）和式（6-2）中惯用的准则并不很方便，因为要用他们就必须知道应力增量，而后面式（6-3）中的准则能使我们用很直接的方法去解决这个难点。
>ij d σ0
=ij
n 'σ
6.2 流动法则
在加载过程中会产生塑性应变，为了描述弹塑性变形的应力—应变关系，必须定义出塑
性应变增量矢量p ij d ε的方向和大小，即：（1）各分量的比率；（2）它们相应于应力增量ij
d σ的大小。
下面将以一个类似于理想流体流动问题的方式介绍塑性势能函数g 的概念，我们把流动法则规定如下：
ij
p ij g
d d σλ
ε∂∂= （6-4）
其中，λd 是一个贯穿于整个塑性加载历史的非负标量函数。梯度矢量ij g σ∂∂/规定了塑性应变增量矢量p
ij d ε的方向，也就是势能面0=g 在当前应力点的法线方向，由于这个原因，该流动法则也称作正交条件。另一方面，塑性应变增量矢量的长度或大小由λd 确定。
如果塑性势能面与屈服面有相同的形状，也就是f g =，那么流动法则与屈服条件是相关联的，可用下式表示为
ij
p ij f
d d σλ
ε∂∂= （6-5）
在这种情况下，塑性应变沿着当前加载面的法线方向产生。
式(6-5)中的正交条件虽很简单，但以此为基础建立的任何应力—应变关系，对一个给定的边界值问题有惟一解。
6.2.1 von Mises 形式的塑性势能函数
von Mises 函数在应力空间中表示为圆柱体，其偏截面如图6-2所示。这个塑性势能函数表示为
0)(2=-=k J g ij σ
（6-6）
其中，k 为常数。因此，由流动法则可得
λεd s d ij p ij =
（6-7）
此式表明，应力主轴和塑性应变增量张量相应主轴是一致的，从式（6-7）可得到
0==λεd s d kk p kk
（6-8）
所以，对这种类型的材料，体积变化是纯弹性的，不能产生塑性体积变化。
σ3
σ'
