2020届高中数学分册同步讲义(选修2-3) 第1章 1.2.2 第1课时 组合与组合数公式
- 格式：docx
- 大小：262.60 KB
- 文档页数：13
1．2.2 组 合
第1课时 组合与组合数公式
学习目标 1.理解组合的定义，正确认识组合与排列的区别与联系.2.理解排列数与组合数之间的联系，掌握组合数公式，能运用组合数公式进行计算.3.会解决一些简单的组合问题．
知识点一 组合的定义
一般地，从n个不同元素中取出m(m≤n)个元素合成一组，叫做从n个不同元素中取出m个元素的一个组合．
知识点二 组合数与组合数公式
组合数定义及表示 从n个不同元素中取出m(m≤n)个元素的所有不同组合的个数，叫做从n个不同元素中取出m个元素的组合数，用符号Cmn表示.
组合数公式 乘积形式 Cmn＝nn－1n－2…n－m＋1m！
阶乘形式 Cmn＝n！m！n－m！
性质 Cmn＝Cn－mn
Cmn＋1＝Cmn＋Cm－1n
备注 规定C0n＝1
1．从a1，a2，a3三个不同元素中任取两个元素组成一个组合是C23.( × )
2．从1,3,5,7中任取两个数相乘可得C24个积．( √ )
3．C35＝5×4×3＝60.( × )
4．C2 0192 020＝C12 020＝2 020.( √ )
一、组合概念的理解
例1 给出下列问题：
(1)a，b，c，d四支足球队之间进行单循环比赛，共需比赛多少场？
(2)a，b，c，d四支足球队争夺冠、亚军，有多少种不同的结果？
(3)从全班40人中选出3人分别担任班长、副班长、学习委员三个职务，有多少种不同的选法？
(4)从全班40人中选出3人参加某项活动，有多少种不同的选法？
在上述问题中，哪些是组合问题，哪些是排列问题？
解 (1)单循环比赛要求两支球队之间只打一场比赛，没有顺序，是组合问题．
(2)冠、亚军是有顺序的，是排列问题．
(3)3人分别担任三个不同职务，有顺序，是排列问题．
(4)3人参加某项相同活动，没有顺序，是组合问题．
反思感悟 区分排列与组合的办法是首先弄清楚事件是什么，区分的标志是有无顺序，而区分有无顺序的方法是：把问题的一个选择结果写出来，然后交换这个结果中任意两个元素的位置，看是否产生新的变化，若有新变化，即说明有顺序，是排列问题；若无新变化，即说明无顺序，是组合问题．
跟踪训练1 判断下列问题是排列问题还是组合问题，并求出相应的结果．
(1)集合{0,1,2,3,4}的含三个元素的子集的个数是多少？
(2)某小组有9位同学，从中选出正、副班长各一个，有多少种不同的选法？若从中选出2名代表参加一个会议，有多少种不同的选法？
解 (1)由于集合中的元素是不讲次序的，一个含三个元素的集合就是一个从0,1,2,3,4中取出3个数组成的集合．这是一个组合问题，组合的个数是C35＝10.
(2)选正、副班长时要考虑次序，所以是排列问题，排列数是A29＝9×8＝72，所以选正、副班长共有72种选法；选代表参加会议是不用考虑次序的，所以是组合问题，所以不同的选法有C29＝36(种)．
二、组合数公式的应用
命题角度1 化简与求值
例2－1 求值：
(1)3C38－2C25；
(2)C38－n3n＋C3n21＋n.
解 (1)3C38－2C25＝3×8×7×63×2×1－2×5×42×1＝148.
(2)∵ 38－n≤3n，3n≤21＋n，
∴9.5≤n≤10.5.
∵n∈N*，∴n＝10，
∴C38－n3n＋C3n21＋n＝C2830＋C3031＝C230＋C131＝466.
命题角度2 与组合数有关的证明
例2－2 证明：mCmn＝nCm－1n－1.
证明 mCmn＝m·n！m！n－m！
＝n·n－1！m－1！n－m！
＝n·n－1！m－1！n－m！＝nCm－1n－1.
命题角度3 与组合数有关的方程或不等式
例2－3 (1)已知1Cm5－1Cm6＝710Cm7，求Cm8＋C5－m8；
(2)解不等式：C4n>C6n.
解 (1)∵1Cm5－1Cm6＝710Cm7， ∴m！5－m！5！－m！6－m！6！＝7×7－m！m！10×7！，
即m！5－m！5！－m！6－m5－m！6×5！
＝7×m！7－m6－m5－m！10×7×6×5！，
∴1－6－m6＝7－m6－m60，
即m2－23m＋42＝0，
解得m＝2或21.
∵0≤m≤5，m∈N*，∴m＝2，
∴Cm8＋C5－m8＝C28＋C38＝C39＝84.
(2)由C4n>C6n得
n！4！n－4！>n！6！n－6！，n≥6⇒ n2－9n－10<0，n≥6⇒ －1
∴该不等式的解集为{6,7,8,9}．
反思感悟 (1)组合数公式Cmn＝nn－1n－2…n－m＋1m！一般用于计算，而组合数公式Cmn＝n！m！n－m！一般用于含字母的式子的化简与证明．
(2)要善于挖掘题目中的隐含条件，简化解题过程，如组合数Cmn的隐含条件为m≤n，且m，n∈N*.
(3)计算时应注意利用组合数的两个性质：
①Cmn＝Cn－mn；②Cmn＋1＝Cmn＋Cm－1n.
跟踪训练2 (1)计算：C98100＋C199200；
(2)证明：Cmn＝nn－mCmn－1.
(1)解 C98100＋C199200＝C2100＋C1200＝100×992＋200 ＝4 950＋200＝5 150.
(2)证明 nn－mCmn－1＝nn－m·n－1！m！n－1－m！
＝n！m！n－m！＝Cmn.
三、简单的组合问题
例3 有10名教师，其中6名男教师，4名女教师．
(1)现要从中选2名去参加会议，有________种不同的选法；
(2)选出2名男教师或2名女教师参加会议，有________种不同的选法；
(3)现要从中选出男、女教师各2名去参加会议，有________种不同的选法．
答案 (1)45 (2)21 (3)90
解析 (1)从10名教师中选2名去参加会议的选法种数，就是从10个不同元素中取出2个元素的组合数，即C210＝10×92×1＝45(种)．
(2)可把问题分两类情况：
第1类，选出的2名是男教师有C26种方法；
第2类，选出的2名是女教师有C24种方法．
根据分类加法计算原理，共有C26＋C24＝15＋6＝21(种)不同选法．
(3)从6名男教师中选2名的选法有C26种，从4名女教师中选2名的选法有C24种，根据分步乘法计数原理，共有不同的选法C26×C24＝6×52×1×4×32×1＝90(种)．
反思感悟 (1)解简单的组合应用题时，首先要判断它是不是组合问题，组合问题与排列问题的根本区别在于排列问题与取出元素之间的顺序有关，而组合问题与取出元素的顺序无关．
(2)把一个实际问题转化为组合问题，体现了数学抽象的核心素养．
跟踪训练3 一个口袋内装有大小相同的7个白球和1个黑球．
(1)从口袋内取出3个小球，共有多少种取法？
(2)从口袋内取出3个球，使其中含有1个黑球，有多少种取法？
(3)从口袋内取出3个球，使其中不含黑球，有多少种取法？
解 (1)从口袋内的8个球中取出3个球， 取法种数是C38＝8×7×63×2×1＝56.
(2)从口袋内取出3个球有1个是黑球，于是还要从7个白球中再取出2个，取法种数是C27＝7×62×1＝21.
(3)由于所取出的3个球中不含黑球，也就是要从7个白球中取出3个球，取法种数是C37＝7×6×53×2×1＝35.
1．排列与组合的联系与区别
(1)联系：二者都是从n个不同的元素中取m(m≤n)个元素．
(2)区别：排列问题中元素有序，组合问题中元素无序．
2．关于组合数的计算
(1)涉及具体数字的可以直接用公式Cmn＝AmnAmm＝nn－1n－2…n－m＋1m！计算；
(2)涉及字母的可以用阶乘式Cmn＝n！m！n－m！计算；
(3)计算时应注意利用组合数的性质Cmn＝Cn－mn简化运算．
1．把三张游园票分给10个人中的3人，则分法有( )
A．A310种 B．C310种 C．C310A310种 D．30种
答案 B 解析 三张票没区别，从10人中选3人即可，即C310.
2．C26＋C57的值为( )
A．72 B．36
C．30 D．42
答案 B
解析 C26＋C57＝C26＋C27
＝6×52×1＋7×62×1＝15＋21＝36.
3．已知a，b，c，d这四个元素，则每次取出2个元素的所有组合为________．
答案 ab，ac，ad，bc，bd，cd
解析 可按a→b→c→d顺序写出，即
所以所有组合为ab，ac，ad，bc，bd，cd.
4．若C2n＝10，则n的值为________．
答案 5
5．计算C37＋C47＋C58＋C69＝________.
答案 210
一、选择题
1．计算：C28＋C38＋C29等于( )
A．120 B．240
C．60 D．480
答案 A
解析 C28＋C38＋C29＝7×82×1＋6×7×83×2×1＋8×92×1＝120.
2．在1,2,3,4,5这五个数字组成的没有重复数字的三位数中，各数位之和为偶数的共有( )
A．36个 B．24个
C．18个 D．6个
答案 A
解析 若各位数字之和为偶数，则只能两奇一偶，故有C23C12A33＝36个．
3．将2名教师、4名学生分成2个小组，分别安排到甲、乙两地参加社会实践活动，每个小组由1名教师和2名学生组成，不同的安排方案共有( )
A．12种 B．10种
C．9种 D．8种
答案 A
解析 先安排1名教师和2名学生到甲地，再将剩下的1名教师和2名学生安排到乙地，共有C12C24＝12种安排方案．
4．对于所有满足1≤m≤n≤5的自然数m，n，方程x2＋Cmny2＝1所表示的不同椭圆的个数为( )
A．15 B．7 C．6 D．0
答案 C
