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10 / 103.1.1 函数的概念一、知识点归纳知识点1. 函数的有关概念 (1)函数的概念(2)同一个函数：如果两个函数的定义域相同，并且对应关系完全一致，即相同的自变量对应的函数值相同，那么这两个函数是同一个函数．(3)函数的三要素：定义域、对应关系、值域是函数的三要素，缺一不可． 知识点2．知识点二 区间及相关概念 (1)区间的概念及记法设a ，b 是两个实数，而且a ＜b ，我们规定：(2)无穷大实数集R可以用区间表示为(－∞，＋∞)，“∞”读作“无穷大”，“－∞”读作“负无穷大”，“＋∞”读作“正无穷大”．(3)特殊区间的表示二、题型分析题型一函数的定义【例1】根据函数的定义判断下列对应关系是否为从集合A到集合B的函数：(1)A＝{1,2,3}，B＝{7,8,9}，f(1)＝f(2)＝7，f(3)＝8；(2)A＝{1,2,3}，B＝{4,5,6}，对应关系如图所示；(3)A＝R，B＝{y|y>0}，f：x→y＝|x|；10 / 10(4)A＝Z，B＝{－1,1}，n为奇数时，f(n)＝－1，n为偶数时，f(n)＝1.【答案】见解析【解析】对于集合A中的任意一个值，在集合B中都有唯一的值与之对应，因此(1)(4)中对应关系f是从集合A到集合B的一个函数．(2)集合A中的元素3在集合B中没有对应元素，且集合A中的元素2在集合B中有两个元素(5和6)与之对应，故所给对应关系不是集合A到集合B的函数．(3)A中的元素0在B中没有对应元素，故所给对应关系不是集合A到集合B的函数.【规律方法总结】(1)判断一个集合A到集合B的对应关系是不是函数关系的方法：∈A，B必须都是非空数集；∈A中任意一个数在B中必须有并且是唯一的实数和它对应．【注意】A中元素无剩余，B中元素允许有剩余．(2)函数的定义中“任意一个x”与“有唯一确定的y”说明函数中两变量x，y的对应关系是“一对一”或者是“多对一”，而不能是“一对多”．【变式1】. 下列对应或关系式中是A到B的函数的是()A．A＝R，B＝R，x2＋y2＝1 B．A＝{1,2,3,4}，B＝{0,1}，对应关系如图：C．A＝R，B＝R，f：x→y＝1 x－2D．A＝Z，B＝Z，f：x→y＝2x－1【答案】B【解析】：A错误，x2＋y2＝1可化为y＝±1－x2，显然对任意x∈A，y值不唯一．B正确，符合函数的定义．C错误，2∈A，在B中找不到与之相对应的数．D错误，－1∈A，在B中找不到与之相对应的数．10 / 1010 / 10题型二 求函数的定义域【例2】求下列函数的定义域．(1)y ＝3－12x ；(2)y ＝(x ＋1)0x ＋2；(3)y ＝5－x |x |－3；(4)f (x )＝x ＋1－x 2－3x ＋4. 【答案】见解析【解析】(1)函数y ＝3－12x 的定义域为R.(2)由于0的零次幂无意义，故x ＋1≠0，即x ≠－1. 又x ＋2＞0，即x ＞－2，所以x ＞－2且x ≠－1. 所以函数y ＝(x ＋1)0x ＋2的定义域为{x |x ＞－2且x ≠－1}．(3)要使函数有意义，自变量x 的取值必须满足⎩⎪⎨⎪⎧5－x ≥0，|x |－3≠0，解得x ≤5，且x ≠±3，所以函数y ＝5－x|x |－3的定义域为{x |x ≤5且x ≠±3}． (4)要使函数f (x )有意义，则⎩⎪⎨⎪⎧x ＋1≥0，－x 2－3x ＋4>0，即⎩⎪⎨⎪⎧x ≥－1，(x ＋4)(x －1)<0，解不等式组得－1≤x <1. 因此函数f (x )的定义域为{x |－1≤x <1}．10 / 10【规律方法总结】求函数定义域的常用方法 (1)若f (x )是分式，则应考虑使分母不为零； (2)若f (x )是偶次根式，则被开方数大于或等于零；(3)若f (x )是指数幂，则函数的定义域是使指数幂运算有意义的实数集合； (4)若f (x )是由几个式子构成的，则函数的定义域要使各个式子都有意义； (5)若f (x )是实际问题的解析式，则应符合实际问题，使实际问题有意义． 【变式2】．设全集为R ，函数f (x )＝2－x 的定义域为M ，则∈R M 为( ) A ．(2，＋∞) B ．(－∞，2) C ．(－∞，2] D ．[2，＋∞)【答案】A【解析】： 由2－x ≥0解得x ≤2，所以M ＝(－∞，2]，所以∈R M ＝(2，＋∞)． 【变式3】．函数f (x )＝x x －1的定义域为________．【答案】：{x |x ≥0且x ≠1}【解析】：要使x x －1有意义，需满足⎩⎪⎨⎪⎧x ≥0，x －1≠0，解得x ≥0且x ≠1，故函数f (x )的定义域为{x |x ≥0且x ≠1}．题型三 同一函数(2)两个注意点：10 / 10题型四 求函数的值、值域问题【例4】(1)f (x )＝2x 2＋2，g (x )＝1x ＋2，则f (2)＝________；g (f (2))＝________；g (a )＋g (0)(a ≠－2)＝________. (2)求下列函数的值域： ∈y ＝x ＋1，x ∈{1,2,3,4,5}； ∈y ＝x 2－2x ＋3，x ∈[0,3)； ∈y ＝2x ＋1x －3；∈y ＝2x －x －1.【答案】：10112 1a ＋2＋12【解析】(1)因为f (x )＝2x 2＋2， 所以f (2)＝2×22＋2＝10， 又因为g (x )＝1x ＋2，10 / 10所以g (f (2))＝g (10)＝110＋2＝112，g (a )＋g (0)＝1a ＋2＋12(a ≠2)．(2)∈观察法：因为x ∈{1,2,3,4,5}，分别代入求值，可得函数的值域为{2,3,4,5,6}．∈配方法：y ＝x 2－2x ＋3＝(x －1)2＋2，由x ∈[0,3)，再结合函数的图象(如图)，可得函数的值域为[2,6)． ∈分离常数法：y ＝2x ＋1x －3＝2(x －3)＋7x －3＝2＋7x －3，显然7x －3≠0，所以y ≠2.故函数的值域为(－∞，2)∈(2，＋∞)．∈换元法：设t ＝x －1，则t ≥0且x ＝t 2＋1，所以y ＝2(t 2＋1)－t ＝2⎝⎛⎭⎫t －142＋158，由t ≥0，再结合函数的图象(如图)，可得函数的值域为⎣⎡⎭⎫158，＋∞. 【规律方法总结】1．函数求值的方法(1)已知f (x )的表达式时，只需用a 替换表达式中的x 即得f (a )的值． (2)求f (g (a ))的值应遵循由里往外的原则． 2．求函数值域常用的4种方法(1)观察法：对于一些比较简单的函数，其值域可通过观察得到；(2)配方法：当所给函数是二次函数或可化为二次函数处理的函数时，可利用配方法求其值域；(3)分离常数法：此方法主要是针对有理分式，即将有理分式转化为“反比例函数类”的形式，便于求值域；10 / 10(4)换元法：即运用新元代换，将所给函数化成值域易确定的函数，从而求得原函数的值域．对于f (x )＝ax ＋b ＋cx ＋d (其中a ，b ，c ，d 为常数，且a ≠0)型的函数常用换元法． 【变式5】求下列函数的值域： (1)y ＝2x ＋1＋1；(2)y ＝1－x 21＋x 2.【解析】：(1)因为2x ＋1≥0，所以2x ＋1＋1≥1，即所求函数的值域为[1，＋∞)． (2)因为y ＝1－x 21＋x 2＝－1＋21＋x 2，又函数的定义域为R ，所以x 2＋1≥1， 所以0<21＋x 2≤2，则y ∈(－1,1]．所以所求函数的值域为(－1,1]．三、课堂达标检测1．下列各个图形中，不可能是函数y ＝f (x )的图象的是( )【答案】：A【解析】：对于1个x 有无数个y 与其对应，故不是y 的函数． 2.已知函数f (x )＝－1，则f (2)的值为( ) A ．－2 B ．－1 C ．0 D ．不确定 【答案】：B【解析】：因为函数f (x )＝－1，4．函数y＝1＋2－x的定义域为()A．[1，＋∞)B．(－∞，1]C．[2，＋∞)D．(－∞，2]【答案】D【解析】：要使函数式有意义，需2－x≥0，解得x≤2.5．用区间表示下列数集：(1){x|x≥1}＝________；(2){x|2<x≤4}＝________；(3){x|x>－1，且x≠2}＝________.【答案】：(1)[1，＋∞)(2)(2,4](3)(－1,2)∈(2，＋∞)6．已知函数f(x)＝2x－3，x∈{x∈N|1≤x≤5}，则函数f(x)的值域为________．【答案】：{－1,1,3,5,7}【解析】：定义域为{1,2,3,4,5}，逐一代入求值可得值域为{－1,1,3,5,7}．10 / 1010 / 107.下列各组函数是同一个函数的是________．(填序号) ∈f (x )＝－2x 3与g (x )＝x －2x ； ∈f (x )＝x 0与g (x )＝1x0；∈f (x )＝x 2－2x －1与g (t )＝t 2－2t －1. 【答案】∈∈【解析】∈f (x )＝－x －2x ，g (x )＝x －2x ，对应关系不同，故f (x )与g (x )不是同一个函数； ∈f (x )＝x 0＝1(x ≠0)，g (x )＝1x 0＝1(x ≠0)，对应关系与定义域均相同，故是同一个函数；∈f (x )＝x 2－2x －1与g (t )＝t 2－2t －1，对应关系和定义域均相同，故是同一个函数． 8.若f (x )＝1－x1＋x (x ≠－1)，求f (0)，f (1)，f (1－a )(a ≠2)，f (f (2))的值．【答案】2【解析】：f (0)＝1－01＋0＝1，f (1)＝1－11＋1＝0，f (1－a )＝1－(1－a )1＋(1－a )＝a2－a (a ≠2)，f (f (2))＝1－f (2)1＋f (2)＝1－1－21＋21＋1－21＋2＝2. 四、课后提升作业一、选择题1．已知f (x )＝x 2＋1，则f (f (－1))＝( ) A ．2 B ．3 C ．4D ．510 / 10【答案】D【解析】： 因为f (－1)＝(－1)2＋1＝2，所以f (f (－1))＝f (2)＝22＋1＝5.2．已知M ＝{x |－2≤x ≤2}，N ＝{y |0≤y ≤2}，函数f (x )的定义域为M ，值域为N ，则f (x )的图象可以是( )【答案】B【解析】： A 项中函数的定义域为[－2,0]，C 项中对任一x 都有两个y 值与之对应，D 项中函数的值域不是[0,2]，均不是函数f (x )的图象．故选B. 3．下列各组函数表示相等函数的是( ) A ．y ＝x 2－3x －3与y ＝x ＋3(x ≠3)B ．y ＝x 2－1与y ＝x －1C ．y ＝x 0(x ≠0)与y ＝1(x ≠0)D ．y ＝2x ＋1，x ∈Z 与y ＝2x －1，x ∈Z 【答案】C【解析】： 选项A 、B 及D 中对应关系都不同，故都不是相等函数． 4．函数f (x )＝3x 21－x －23x ＋1的定义域是( )A.⎣⎡⎦⎤－13，1 B.⎝⎛⎭⎫－13，1 C.⎝⎛⎭⎫－13，13 D.⎝⎛⎭⎫－∞，－13 【答案】B【解析】： 由⎩⎪⎨⎪⎧1－x ＞0，3x ＋1＞0，可得－13＜x ＜1，从而得B 答案．10 / 105．若函数f (x )＝ax 2－1，a 为一个正数，且f (f (－1))＝－1，那么a 的值是( ) A ．1 B ．0 C ．－1 D ．2【答案】A【解析】： ∈f (x )＝ax 2－1，∈f (－1)＝a －1， f (f (－1))＝f (a －1)＝a ·(a －1)2－1＝－1. ∈a (a －1)2＝0. 又∈a 为正数，∈a ＝1.6．已知函数y ＝f (x )，则函数与直线x ＝a 的交点个数有( ) A ．1个 B ．2个 C ．无数个 D ．至多一个【答案】D【解析】根据函数的概念，在定义域范围内任意一个自变量x 的值都有唯一的函数值与之对应，因此直线x ＝a 与函数y ＝f (x )的图象最多只有一个交点．7．已知等腰三角形ABC 的周长为10，底边长y 关于腰长x 的函数关系式为y ＝10－2x ，则此函数的定义域为( ) A ．RB ．{x |x >0}C ．{x |0<x <5} D.⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪52<x <5 【答案】 D【解析】 ∈∈ABC 的底边长显然大于0，即y ＝10－2x >0，∈x <5.又两边之和大于第三边，∈2x >10－2x ，∈x >52，∈此函数的定义域为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪52<x <5. 8.若一系列函数的解析式相同，值域相同，但其定义域不同，则称这些函数为“同族函数”，那么函数解析式10 / 10为y ＝x 2，值域为{1,4}的“同族函数”的个数为( )A ．6B ．9C ．12D ．16 【答案】B【解析】由题意知，问题的关键在于确定函数定义域的个数．函数解析式为y ＝x 2，值域为{1,4}，当x ＝±1时，y ＝1，当x ＝±2时，y ＝4，则定义域可以为{1,2}，{1，－2}，{－1,2}，{－1，－2}，{1，－1,2}，{1，－1，－2}，{－1,2，－2}，{1，－2,2}，{1，－1,2，－2}，因此“同族函数”共有9个．二、填空题9．设f (x )＝11－x ，则f (f (a ))＝________.【答案】：a －1a(a ≠0，且a ≠1)【解析】：f (f (a ))＝11－11－a ＝11－a －11－a ＝a －1a (a ≠0，且a ≠1)．10．函数y ＝2x ＋41－x 的值域为________(用区间表示)． 【答案】：(－∞，4]【解析】：令t ＝1－x ，则x ＝1－t 2(t ≥0)， y ＝2x ＋41－x ＝2－2t 2＋4t ＝－2(t －1)2＋4. 又∈t ≥0，∈当t ＝1时，y max ＝4. 故原函数的值域是(－∞，4]．11．设常数a ∈R ，函数f (x )＝|x －1|＋|x 2－a |，若f (2)＝1，则f (1)＝________. 【答案】3【解析】由f (2)＝1＋|22－a |＝1，可得a ＝4，所以f (1)＝|1－1|＋|1－4|＝3.12．若函数y ＝x 2－3x －4的定义域为[0，m ]，值域为⎣⎡⎦⎤－254，－4，则m 的取值范围为________．10 / 10【答案】 ⎣⎡⎦⎤32，3【解析】 ∈当x ＝0或x ＝3时，y ＝－4；当x ＝32时，y ＝－254，∈m ∈⎣⎡⎦⎤32，3. 13．已知函数f (x )＝2kx 2－4kx ＋k ＋3的定义域为R ，则k 的取值范围是________．【答案】 0≤k <1【解析】 由题意可得kx 2－4kx ＋k ＋3>0恒成立． ∈当k ＝0时，3>0恒成立，所以满足题意；∈当k ≠0时，须使⎩⎪⎨⎪⎧k >0，Δ＝(4k )2－4k (k ＋3)<0， 解得0<k <1.综上所得，k 的取值范围为0≤k <1.三、解答题14．试求下列函数的定义域与值域： (1)f (x )＝(x －1)2＋1，x ∈{－1,0,1,2,3}； (2)f (x )＝5x ＋4x －1； (3)f (x )＝x －x ＋1. 【答案】见解析【解析】：(1)函数的定义域为{－1,0,1,2,3}，则f (－1)＝[(－1)－1]2＋1＝5，同理可得f (0)＝2，f (1)＝1，f (2)＝2，f (3)＝5，所以函数的值域为{1,2,5}．(2)函数的定义域是{x |x ≠1}，y ＝5x ＋4x －1＝5＋9x －1，所以函数的值域为{y |y ≠5}．(3)要使函数式有意义，需x ＋1≥0，即x ≥－1，故函数的定义域是{x |x ≥－1}．设t ＝x ＋1，则x ＝t 2－1(t ≥0)，10 / 10于是f (t )＝t 2－1－t ＝⎝⎛⎭⎫t －122－54.又t ≥0，故f (t )≥－54.所以函数的值域是⎩⎨⎧⎭⎬⎫y ⎪⎪y ≥－54. 15．(1)已知函数f (x )的定义域为[－1,5]，求函数f (x －5)的定义域； (2)已知函数f (x －1)的定义域是[0,3]，求函数f (x )的定义域； (3)若f (x )的定义域为[－3,5]，求φ(x )＝f (－x )＋f (x )的定义域． 【答案】见解析【解析】 (1)由－1≤x －5≤5，得4≤x ≤10，所以函数f (x －5)的定义域是[4,10]． (2)由0≤x ≤3，得－1≤x －1≤2，所以函数f (x )的定义域是[－1,2]．(3)已知f (x )的定义域为[－3,5]，则φ(x )的定义域需满足⎩⎪⎨⎪⎧ －3≤－x ≤5，－3≤x ≤5，即⎩⎪⎨⎪⎧－5≤x ≤3，－3≤x ≤5，解得－3≤x ≤3.所以函数φ(x )的定义域为[－3,3]． 16．已知函数f (x )＝x 21＋x 2.(1)求f (2)＋⎪⎭⎫ ⎝⎛21f ，f (3)＋⎪⎭⎫ ⎝⎛31f 的值；(2)由(1)中求得的结果，你发现f (x )与⎪⎭⎫⎝⎛x 1f 有什么关系？并证明你的结论； (3)求f (2)＋⎪⎭⎫⎝⎛21f ＋f (3)＋⎪⎭⎫ ⎝⎛31f ＋…＋f (2 019)＋f ⎪⎭⎫⎝⎛20191f 的值． 【答案】见解析【解析】：(1)∈f (x )＝x 21＋x 2，∈f (2)＋f ⎝⎛⎭⎫12＝221＋22＋⎝⎛⎭⎫1221＋⎝⎛⎭⎫122＝1，10 / 10f (3)＋f ⎝⎛⎭⎫13＝321＋32＋⎝⎛⎭⎫1321＋⎝⎛⎭⎫132＝1. (2)由(1)可发现f (x )＋f ⎝⎛⎭⎫1x ＝1.证明：f (x )＋f ⎝⎛⎭⎫1x ＝x 21＋x 2＋⎝⎛⎭⎫1x 21＋⎝⎛⎭⎫1x 2＝x 21＋x 2＋1x 2＋1＝x 2＋1x 2＋1＝1. (3)由(2)知f (x )＋f ⎝⎛⎭⎫1x ＝1，∈f (2)＋f ⎝⎛⎭⎫12＝1，f (3)＋f ⎝⎛⎭⎫13＝1，f (4)＋f ⎝⎛⎭⎫14＝1，…，f (2 019)＋f ⎝⎛⎭⎫12 019＝1. ∈f (2)＋f ⎝⎛⎭⎫12＋f (3)＋f ⎝⎛⎭⎫13＋…＋f (2 019)＋f ⎝⎛⎭⎫12 019＝2 018.。
