【人教A版】高中数学重点难点突破：导数的概念 同步讲义

【人教A 版】高中数学重点难点突破：导数的计算 同步讲义（学生版）【重难点知识点网络】： 1．几个常用函数的导数 几个常用函数的导数如下表：（1）若()f x c =，则()0f x '=；（2）若()()f x x αα*=∈Q ，则()_______f x '=；（3）若()sin f x x =，则()cos f x x '=；（4）若()cos f x x =，则()______f x '=；（5）若()x f x a =，则()ln (01)x f x a a a a '=>≠且；（6）若()e x f x =，则()e x f x '=；（7）若()log a f x x =，则()______(01)f x a a '=>≠且；（8）若()ln f x x =，则1()f x x'=． 3．导数运算法则（1）[()()]___________f x g x '±=；（2）[()()]_____________f x g x '⋅=；（3）()[]____________(()0)()f xg x g x '=≠． 4．复合函数的导数 （1）复合函数的定义一般地，对于两个函数()y f u =和()u g x =，如果通过变量u ，y 可以表示成x 的函数，那么称这个函数为函数()y f u =和()u g x =的复合函数(composite function)，记作(())y f g x =． （2）复合函数的求导法则复合函数(())y f g x =的导数和函数()y f u =，()u g x =的导数间的关系为___________，即y 对x 的导数等于y 对u 的导数与u 对x 的导数的乘积． 【重难点题型突破】： 一、求函数的导数（1）基本初等函数的求导公式是求导的基本依据，一定要记清形式，学会使用公式求导． （2）应用导数运算法则求函数的导数的技巧：①求导之前，对三角恒等式先进行化简，然后再求导，这样既减少了计算量，又可少出错． ②利用代数恒等变形可以避开对商的形式求导．③在函数中有两个以上的因式相乘时，要注意多次使用积的求导法则，能展开的先展开成多项式，再求导．（3）应用导数运算法则求函数的导数的原则：结合函数解析式的特点先进行恒等变形，把一个函数化成几个基本初等函数的加、减、乘、除的形式，再用运算法则求导． 例1.下列求导运算正确的是（）A ．211()1x x x '+=+B ．21(log )ln 2x x '=C ．3(3)3log x xx '=D ．2(cos )2sin x x x x '=-【变式训练1-1】、已知函数2()(1)22(1)f x f x x f '=++，则(2)f '=（） A ．0 B ．2- C ．4-D ．6-【变式训练1-2】、已知函数2l ()n f x a x =的导函数是()f 'x ，且)8(4f '=，则实数a =______________．二、复合函数求导对于复合函数的求导，一般步骤为：（1）弄清复合关系，将复合函数分解成基本初等函数形式； （2）利用求导法则分层求导；（3）最终结果要将中间变量换成自变量． 例2.求下列函数的导数： （1）2()(11)y x x +-=；（2）22()ln f x x x =-； （3）e 1e 1x xy +=-．例3.求下列函数的导数：（1）221()(31)y x x =-+；（2）sin cos 22x x y x =-；（3）2359x x x x y x-+-=【变式训练3-1】．求下列函数的导函数： （1）3sin cos y x x x =；（2）1()23()()y x x x =+++．三、导数几何意义的应用利用导数的几何意义解题时需注意：（1）切点既在原函数的图象上也在切线上，则切点坐标既适合原函数的解析式，也适合切线方程，常由此建立方程组求解；（2）在切点处的导数值等于切线的斜率．例4.）已知曲线e ln x y a x x =+在点1e a （，）处的切线方程为y =2x +b ，则（） A ．a=e ，b =-1 B ．a=e ，b =1C ．a=e -1，b =1D ．a=e -1，1b =-例5.（2019天津文11）曲线cos 2xy x =-在点()0,1处的切线方程为__________.【变式训练5-1】、曲线sin 1sin cos 2x y x x =-+在点(,0)4M π处的切线的斜率为（ ）A ．12-B ．12C ．2-D ．2【变式训练5-2】．（2015新课标2）已知曲线x x y ln +=在点)1,1(处的切线与曲线1)2(2+++=x a ax y 相 切，则=a ．【人教A 版】高中数学重点难点突破：导数的计算 同步讲义（教师版）【重难点知识点网络】： 1．几个常用函数的导数 几个常用函数的导数如下表：（1）若()f x c =，则()0f x '=；（2）若()()f x x αα*=∈Q ，则()_______f x '=；（3）若()sin f x x =，则()cos f x x '=；（4）若()cos f x x =，则()______f x '=；（5）若()x f x a =，则()ln (01)x f x a a a a '=>≠且；（6）若()e x f x =，则()e x f x '=；（7）若()log a f x x =，则()______(01)f x a a '=>≠且；（8）若()ln f x x =，则1()f x x'=． 3．导数运算法则（1）[()()]___________f x g x '±=；（2）[()()]_____________f x g x '⋅=；（3）()[]____________(()0)()f xg x g x '=≠． 4．复合函数的导数 （1）复合函数的定义一般地，对于两个函数()y f u =和()u g x =，如果通过变量u ，y 可以表示成x 的函数，那么称这个函数为函数()y f u =和()u g x =的复合函数(composite function)，记作(())y f g x =． （2）复合函数的求导法则复合函数(())y f g x =的导数和函数()y f u =，()u g x =的导数间的关系为___________，即y 对x 的导数等于y 对u 的导数与u 对x 的导数的乘积． 【重难点题型突破】： 一、求函数的导数（1）基本初等函数的求导公式是求导的基本依据，一定要记清形式，学会使用公式求导． （2）应用导数运算法则求函数的导数的技巧：①求导之前，对三角恒等式先进行化简，然后再求导，这样既减少了计算量，又可少出错． ②利用代数恒等变形可以避开对商的形式求导．③在函数中有两个以上的因式相乘时，要注意多次使用积的求导法则，能展开的先展开成多项式，再求导．（3）应用导数运算法则求函数的导数的原则：结合函数解析式的特点先进行恒等变形，把一个函数化成几个基本初等函数的加、减、乘、除的形式，再用运算法则求导． 例1.下列求导运算正确的是（）A ．211()1x x x '+=+B ．21(log )ln 2x x '=C ．3(3)3log x xx '=D ．2(cos )2sin x x x x '=-【答案】：B【解析】：因为⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋1x ′＝x ′＋⎝ ⎛⎭⎪⎫1x ′＝1－1x 2，所以A 选项错误； 又(log 2x )′＝1x ln 2，所以选项B 正确； 又(3x)′＝3xln 3，所以选项C 错误；[来源:]又(x 2cos x )′＝(x 2)′cos x ＋x 2(cos x )′＝2x cos x －x 2sin x ，所以选项D 错误．【变式训练1-1】、已知函数2()(1)22(1)f x f x x f '=++，则(2)f '=（）A ．0B ．2-C ．4-D ．6-【答案】D【解析】由题可得(1)(1)22(1)f f f '=++，即(1)(1)2f f '=--，因为()2(1)2f x f x ''=+，所以(1)2(1)2f f ''=+，解得(1)2f '=-，故(1)0f =，所以2()22f x x x =-+，所以()42f x x '=-+，所以(2)6f '=-，故选D ．【变式训练1-2】、已知函数2l ()n f x a x =的导函数是()f 'x ，且)8(4f '=，则实数a =______________．【答案】42±【解析】由题意得22(l ()n )a x a x f 'x '==，因为)8(4f '=，所以284a =，解得42a =±．二、复合函数求导对于复合函数的求导，一般步骤为：（1）弄清复合关系，将复合函数分解成基本初等函数形式；（2）利用求导法则分层求导；（3）最终结果要将中间变量换成自变量． 例2.求下列函数的导数： （1）2()(11)y x x +-=；（2）22()ln f x x x=-；（3）e 1e 1x xy +=-． 【答案】（1）2321y x x '=+-；（2）341()f x x x=--'；（3）22e (e 1)x x y -'=-．【解析】（1）方法1：22[(1)]11()(1)()y x x x x '=+'-++-'2()()11)1(2x x x =+⋅-++ 2321x x =+-．方法2：因为232()(21)11y x x x x x x =++-=+--，所以32212(31)y x x x x x '=+--'=+-．（2）224322()141()x x f x x x x x''-=-'-=-． （3）222(e 1)(e 1)(e 1)(e 1)'e (e 1)(e 1)e 2e (e 1)(e 1)(e 1)x x x x x x x x xx x x y '+--+---+-===--'-． 例3.求下列函数的导数：（1）221()(31)y x x =-+；（2）sin cos 22x x y x =-；（3）25x x x y x=【参考答案】见试题解析．【试题解析】（1）方法1：∵232()()21316231y x x x x x =-+=+--, ∴()()3232262316231184 3.()()()y x x x x x x x x '=+--'='+'-'-'=+-方法2：22()()2131213()(1)y x x x x '=-'++-+'2224313211246()3()x x x x x x =++-=++- 21843x x =+-．（2）∵sincos 22x xy x =-， ∴111(sin )()(sin )1cos 222y x x '=x 'x 'x '=--=-． （3）∵3122359y x x x -=-+-， ∴31223)()(5)((9)y x 'x ''x'-'=-+-1322313109()22x x -=⨯-+-⨯-⋅21)1x=+-． 【变式训练3-1】．求下列函数的导函数： （1）3sin cos y x x x =；（2）1()23()()y x x x =+++．【答案】（1）233sin2cos22y x x x x '=+；（2）231211y x x '=++． 【解析】（1）3[(sin )cos ]y x x x '='33sin c ()()os sin cos x x x x x x ='+'333[()(sin sin cos sin sin )]()x x x x x x x x ='+'+-2333sin cos c (os si )n n )si (x x x x x x x x =++-232323sin cos cos sin x x x x x x x =+-233sin2cos2.2x x x x =+ （2）方法1：123[()()()]y x x x '=+++'()()()[12]3123()()()x x x x x x =++'+++++'213()()()()12x x x x x =+++++++2(23)33()2x x x x =+++++231211.x x =++方法2：因为2321233())())()()()236116x x x x x x x x x +++=+++=+++,所以322[()()()]()123611631211y x x x x x x x x '=+++'=+++'=++．三、导数几何意义的应用利用导数的几何意义解题时需注意：（1）切点既在原函数的图象上也在切线上，则切点坐标既适合原函数的解析式，也适合切线方程，常由此建立方程组求解；（2）在切点处的导数值等于切线的斜率．例4.）已知曲线e ln x y a x x =+在点1e a （，）处的切线方程为y =2x +b ，则（） A ．a=e ，b =-1B ．a=e ，b =1C ．a=e -1，b =1D ．a=e -1，1b =- 【解析】：e ln x y a x x =+的导数为'e ln 1x y a x =++，又函数e ln x y a x x =+在点(1,e)a 处的切线方程为2y x b =+，可得e 012a ++=，解得1e a -=，又切点为(1,1)，可得12b =+，即1b =-. 故选D ．例5.（2019天津文11）曲线cos 2x y x =-在点()0,1处的切线方程为__________.【解析】：由题意，可知1sin 2y x '=--.因为1sin 002y x '=--==所以曲线cos y x =)0,1处的切线方程112y x -=-，即220x y +-=． 【变式训练5-1】、曲线sin 1sin cos 2x y x x =-+在点(,0)4M π处的切线的斜率为（ ） A ．12- B ．12C．2- D．2 【解析】22cos (sin cos )sin (cos sin )1(sin cos )(sin cos )x x x x x x y x x x x +--'==++，所以 2112(sin cos )444y x πππ'===+。

5.1导数的概念及意义知识梳理1、函数y ＝f (x )在x ＝x 0处的导数（1）定义：称函数y ＝f (x )在x ＝x 0处的瞬时变化率0lim x ∆→f （x 0＋Δx ）－f （x 0）Δx＝0lim x ∆→ΔyΔx 为函数y ＝f (x )在x ＝x 0处的导数，记作f ′(x 0)或y ′|x ＝x 0，即f ′(x 0)＝0limx ∆→ΔyΔx ＝0lim x ∆→f （x 0＋Δx ）－f （x 0）Δx.（2）几何意义：函数f (x )在点x 0处的导数f ′(x 0)的几何意义是在曲线y ＝f (x )上点(x 0，f (x 0))处的切线的斜率2、函数y ＝f (x )的导函数如果函数y ＝f (x )在开区间(a ，b )内的每一点处都有导数，其导数值在(a ，b )内构成一个新函数，函数xx f x x f x f x ∆-∆+='→∆)()(lim)(0称为函数y ＝f (x )在开区间内的导函数.知识典例题型一增量例1已知函数y ＝f (x )＝－x 2＋x 的图像上一点(－1，－2)及邻近一点(－1＋Δx ，－2＋Δy )，则y x∆∆＝()A ．3B ．3Δx －(Δx )2C ．3－(Δx )2D ．3－Δx【答案】D 【分析】先计算Δy ，再求y x∆∆.【详解】Δy ＝f (－1＋Δx )－f (－1)＝－(－1＋Δx )2＋(－1＋Δx )－(－2)＝－(Δx )2＋3Δx ，∴()2Δ3Δxx y xx∆=∆∆－＋＝－Δx ＋3.选D.巩固练习已知函数()2f x x x =-+的图像上的一点()1,2A --及邻近一点()1,2B x y -+∆-+∆，则yx∆=∆______．【答案】3x -∆【分析】代入B 点坐标解得y ∆,再求比值.【详解】∵()()2211y x x -+∆=--+∆+-+∆，∴()()21123x x y x x x--+∆+-+∆+∆==-∆∆∆．题型二变化率例2直线运动的物体，从时刻t 到t t +∆时，物体的位移为s ∆，那么0limt st∆→∆∆为()A ．从时刻t 到t t +∆时，物体的平均速度B ．从时刻t 到t t +∆时位移的平均变化率C ．当时刻为t ∆时该物体的速度D ．该物体在t 时刻的瞬时速度【答案】D 【分析】根据题意，由变化率与导数的关系，分析可得答案.【详解】根据题意，直线运动的物体，从时刻t 到t t +∆时，时间的变化量为t ∆，而物体的位移为s ∆，那么0lim t st∆→∆∆为该物体在t 时刻的瞬时速度.故选：D.巩固练习物体自由落体的运动方程为s (t )＝12gt 2，g ＝9.8m/s 2，若Δt →0时，()()11s t s t+∆-∆→9.8m/s，那么下列说法中正确的是()A ．9.8m/s 是物体从0s 到1s 这段时间内的速率B ．9.8m/s 是1s 到(1＋Δt )s 这段时间内的速率C ．9.8m/s 是物体在t ＝1s 这一时刻的速率D ．9.8m/s 是物体从1s 到(1＋Δt )s 这段时间内的平均速率【答案】C 【分析】由函数瞬时变化率的定义知C 正确．【详解】由函数瞬时变化率的定义知Δt →0时，()()11s t s t+∆-∆表示物体在t ＝1s 这一时刻的速率，所以选C.题型三导数的概念例3若00x 03)()lim1(xx f x f x ∆→+∆-=∆，则0()f x '=________.【答案】13【详解】由极限的定义可得：()()0003limx f x x f x x∆→+∆-∆()()0003lim 33x f x x f x x ∆→+∆-⎡⎤=⨯⎢⎥∆⎣⎦()031f x ='=，()01'3f x ∴=.故答案为：13巩固练习已知f (x )＝x 2－3x ，则f ′(0)＝________.【答案】3-【分析】根据导数定义可得f′（0）=()()00x f x f lim x→+- ,即可得到答案.【详解】f′（0）=()()()000x 33x x f x f lim lim x→→+-==- ﹣故答案为-3题型四几何意义例4函数y ＝f （x ）的图象在A （2，f （2））处的切线方程是y ＝3x ﹣1，则)()(22f f '+＝__．【答案】8【分析】由切线方程和导数的几何意义求出f （2）和f '（2）的值，再相加即可．【详解】∵在点（2，f （2））处的切线方程为y ＝3x ﹣1，∴f （2）＝6﹣1＝5，f ′（2）＝3，∴f （2）+f ′（2）＝8，故答案为：8．巩固练习设()f x 为可导函数，()()112lim12x f f x x→--=，则在点()()1,1f 处的切线斜率为（）A ．2B ．1-C ．1D ．2-【答案】C 【分析】由导数的几何意义,求出在曲线()y f x =上点()()1,1f 处的导数,即求得在此点处切线的斜率.【详解】由已知得，函数在点()()1,1f 处的切线的斜率为()()()()01121lim 1112x f f x f x →--==--'．故选：C.巩固提升1、f (x )在x ＝x 0处可导，则xx f x x f x ∆-∆+→∆)()(lim000()A ．与x 0，Δx 有关B ．仅与x 0有关，而与Δx 无关C ．仅与Δx 有关，而与x 0无关D ．与x 0，Δx 均无关【答案】B 【解析】由定义知函数()f x 在0x 处的导数，只与0x 有关故选B2、已知函数f(x)＝－x 2＋2x ，函数f(x)从2到2＋Δx 的平均变化率为()A ．2－ΔxB ．－2－ΔxC ．2＋ΔxD ．(Δx)2－2·Δx【答案】B 【解析】∵f (2)＝－22＋2×2＝0，∴f (2＋Δx )＝－(2＋Δx )2＋2(2＋Δx )＝－2Δx －(Δx )2，∴(2)()2f x f x x+-+ ＝－2－Δx ，故应选B.3、函数y ＝x 2在区间[x 0,x 0+△x ]上的平均变化率为k 1，在[x 0﹣△x ，x 0]上的平均变化率为k 2，则k 1与k 2的大小关系是（）A ．k 1＞k 2B ．k 1＜k 2C ．k 1＝k 2D ．k 1与k 2的大小关系不确定【答案】A 【详解】由题意结合函数的解析式有：()()()()220000102f x x f x x x x k x x xx+∆-+∆-===+∆∆∆，()()()()220000202f x f x x x x x k x x xx--∆--∆===-∆∆∆，则124k k x -=∆，因为Δx 可大于零，所以k 1>k 2.4、已知函数y＝x 2＋1的图象上一点(1,2)及邻近一点(1＋Δx,2＋Δy)，则yx等于()A ．2B ．2xC ．2＋ΔxD ．2＋(Δx)2【答案】C 【解析】2(1)(1)[(1)1]2y f x f x x x x+-++-==＝2＋Δx .故应选C.5、在x＝1附近，取Δx＝0.3，在四个函数①y＝x、②y＝x 2、③y＝x 3、④1y x=中，平均变化率最大的是()A ．④B ．③C ．②D ．①【答案】B 【解析】Δx ＝0.3时，①y ＝x 在x ＝1附近的平均变化率k 1＝1；②y ＝x 2在x ＝1附近的平均变化率k 2＝2＋Δx ＝2.3；③y ＝x 3在x ＝1附近的平均变化率k 3＝3＋3Δx ＋(Δx )2＝3.99；④y ＝1x 在x ＝1附近的平均变化率k 4＝－11x + ＝－1013.∴k 3＞k 2＞k 1＞k 4，故应选B.6、蜥蜴的体温与阳光的照射有关，其关系为T ＝1205t +＋15，其中T 为体温(单位：℃)，t 为太阳落山后的时间(单位：min)，则从t ＝0到t ＝10min，蜥蜴的体温的平均变化率为_________.【答案】 1.6/min C ︒-【分析】根据平均变化率定义(10)(0)100T T --求结果.【详解】∵1201201515(10)(0)1050510010T T T t +--∆-++==∆-＝－1.6(℃/min)，∴从t ＝0到t ＝10min ，蜥蜴的体温的平均变化率为－1.6℃/min.7、将物体以速度v 0(v 0＞0)竖直上抛，t s 时的高度为s (t )＝v 0t －12gt 2，求物体在t 0时刻的瞬时速度．【答案】00v gt -【分析】先计算s t ∆∆,再根据Δt →0求st∆∆值.【详解】因为Δs ＝v 0(t 0＋Δt )－12g (t 0＋Δt )2－200012v t gt ⎛⎫- ⎪⎝⎭＝(v 0－gt 0)Δt －12g (Δt )2，所以s t ∆∆＝v 0－gt 0－12g Δt .当Δt 趋近于0时，st∆∆趋近于常数v 0－gt 0.故物体在t 0时刻的瞬时速度为v 0－gt 0.。