高中数学同步练习讲义(必修4全部视频)

典例剖析
例1
(1)如图(1)，利用向量加法的三角形法则作出a＋b；
(2)如图(2)，利用向量加法的平行四边形法则作出a＋b.
解析
→ (1)如图(a)所示，设 OA ＝a，∵a与b有公共点，故
→ → 过A点作AB＝b，连接OB即为a＋b. → → (2)如图(b)，设 OA ＝a，过O点作 OB ＝b，则以OA、OB为 → → → 邻边作▱OACB，连接OC，则OC＝OA＋OB＝a＋b.
→ → → 解析 a＋b＝AB＋AD＝AC＝c，∴A、D正确； → → → a＋d＝AB＋BD＝AD＝b，∴B正确； → → → b＋d＝AD＋BD≠AB＝a，∴C错误．
答案 C
4．若向量a，b满足|a|＝8，|b|＝12，则|a＋b|的最大值是 ________，最小值是________．
解析
解析
→ → → → → (1)原式＝AB＋BC＋CD＋DF＋FA
→ → → → → → → → → ＝AC＋CD＋DF＋FA＝AD＋DF＋FA＝AF＋FA＝0. → → → → → → → → → (2)原式＝ PM ＋ MN ＋ NS ＋ ST ＋ TQ ＝ PN ＋ NS ＋ ST ＋ TQ ＝ → → → → → → PS＋ST＋TQ＝PT＋TQ＝PQ.
解析
→ → → → (1)原式＝(AB＋BO)＋(OM＋MB)
→ → → ＝AO＋OB＝AB. → → → → → → (2)原式＝(BO＋OA)＋(OC＋CO)＝BA＋0＝BA.
规律技巧 律．
向量的加法运算满足加法交换律和加法结合
变式训练2
计算下列各式的值
→ → → → → (1)AB＋DF＋CD＋BC＋FA； → → → → → (2)NS＋MN＋TQ＋ST＋PM.

的坐标，然后求解或证明．
解析
(1)∵AC＝5，∴x－(－1)＝5，∴x＝4.
→ (2)∵|BD|＝3.∴|y－2|＝3. ∴y－2＝3 或 y－2＝－3，∴y＝5 或 y＝－1. → → (3)∵AC＝－3AD，∴AC＝－3AD. AC＝x＋1，AD＝y＋1，∴x＋1＝－3(y＋1)， ∴x＝－3y－4. CD＝y－x＝y－(－3y－4)＝4y＋4， ∴3CD＝12y＋12.
第二章 平面向量
2．1 向量的线性运算
2．1.5 向量共线的条件与轴上向量坐标运算
课前预习目标
课堂互动探究
课前预习目标
梳理知识 夯实基础
学 习 目 标 掌握数乘向量的运算，并理解其几何意义.
自 学 导 航 1.向量共线的条件 (1)平行向量基本定理： 如果 a＝λb，那么 a∥b；反之，如果 a∥b(b≠0)，那么一 定 存在唯一一个实数 λ ，使 a＝λb.
②已知轴 l，取单位向量 e，使 e 的方向与 l 的方向 相同 ， 对轴上任意向量 a，一定存在唯一实数 x，使 a＝xe，x 叫做 a 在 l 上的坐标(或数量)．向量 e 叫做轴 l 的基向量． ③给定单位向量 e， 能生成与它平行的所有向量的集合{xe|x ∈R}． ④x 的绝对值等于 a 的长，当 a 与 e 同方向 时，x 是正数， 当 a 与 e 反方向 时，x 是负数．
答案
C
→ → → 3．已知向量 a，b，且AB＝a＋2b，BC＝－5a＋6b，CD＝ 7a－2b，则一定共线的三点是( A．A、B、D C．B、C、D )
B．A、B、C D．A、C、D
解析
→ → → BD＝BC＋CD＝(－5a＋6b)＋(7a－2b)
→ ＝2a＋4b＝2(a＋2b)＝2AB. ∴A、B、D 三点共线．

解：（1） 原式 =
tan 60∘ − tan 15∘ 1 + tan 60∘ ⋅ tan 15∘ = tan(60∘ − 15∘ ) = tan 45∘ = 1.
（2）根据tan α + tan β = tan(α + β)(1 − tan α tan β) ，则有 原式 = tan 120 ∘ (1 − tan 55∘ tan 65∘ ) − √3 tan 55∘ tan 65∘
π )，向左平移 m 个单位后，得到的函数为 3 π π π y = 2 sin (x + + m)，若所得到的图像关于 y 轴对称，则 + m = + kπ, k ∈ Z ，所以 3 3 2 π π m = + kπ ，k ∈ Z．取 k = 0 时，m = ． 6 6
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和差角公式 辅助角公式
三、知识讲解
1.和差角公式 描述： 两角差的余弦公式 对于任意角α，β 有cos(α − β) = cos α cos β + sin α sin β，称为差角的余弦公式，简记C(α−β) ． 两角和的余弦公式 对于任意角α，β 有cos(α + β) = cos α cos β − sin α sin β，称为和角的余弦公式，简记C(α＋β) ． 两角和的正弦公式 对于任意角α，β 有sin(α + β) = sin α cos β + cos α sin β，称为和角的正弦公式，简记S (α＋β) ． 两角差的正弦公式 对于任意角α，β 有sin(α − β) = sin α cos β − cos α sin β，称为差角的正弦公式，简记S (α−β) ． 两角和的正切公式 对于任意角α，β 有tan(α + β) = 两角差的正切公式 对于任意角α，β 有tan(α − β) =

《弧度制和弧度制与角度制的换算》同步练习1、若α是第四象限角，则απ-是（ ）。

A ．第一象限角B ．第二象限角C ．第三象限角D ．第四象限角2、若α＝－3，则角α的终边在（ ）。

A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限3、求值：1333-tansin cos πππ·· 等于（ ）。

A ．14 B ．34 C ．12 D ．324、下列各组角中，终边相同的角是（ ）。

A ．π2k 与)(2Z k k ∈+ππ B ．)(3k 3Z k k ∈±πππ与 C ．ππ)14()12(±+k k 与 )(Z k ∈ D ．)(66Z k k k ∈±+ππππ与5、若角α与角β的终边关于y 轴对称，则（ ）。

A ．B ．C ．D ． 6、集合⎭⎬⎫⎩⎨⎧∈==Z k k A ,6παα与⎭⎬⎫⎩⎨⎧∈+==Z n n B ,63ππββ的关系是（ ）。

A 、B A ⊂ B 、B A ⊃ C 、B A = D 、B A ⊆7、已知弧度数为2的圆心角所对的弦长也是2，则这个圆心角所对的弧长是（ ）。

A ．2B ．1sin 2C ．1sin 2D ．2sin8、某扇形的面积为12cm ，它的周长为4cm ，那么该扇形圆心角的度数为（ ）。

A ．2°B ．2C ．4°D ．49、一个半径为R 的扇形，它的周长是4R ，则这个扇形所含弓形的面积是（ ）。

2222)1cos 1sin D.(1 21.1cos 1sin 21B. )1cos 1sin 2(21A R R C R R -- 10、下列命题中，正确的命题是（ ）。

A ．若两扇形面积的比是1∶4，则两扇形弧长的比是1∶2。

B ．若扇形的弧长一定，则面积存在最大值。

C ．若扇形的面积一定，则弧长存在最小值。

D ．任意角的集合可以与实数集R 之间建立一种一一对应关系。

第一章 三角函数1.5 函数()sin y A x ωϕ=+的图象一、,,A ϕω对函数()sin y A x ωϕ=+的图象的影响 1．(0)ϕϕ≠对函数sin()y x ϕ=+的图象的影响()sin y x ϕ=+（其中φ≠0）的图象，可以看作是把正弦曲线上所有的点向 （当φ<0时）或向 （当φ>0时）平行移动ϕ个单位长度而得到的. 2．(0)ωω>对函数sin()y x ωϕ=+的图象的影响函数sin()y x ωϕ=+（其中ω>0)的图象，可以看作是把函数sin()y x ϕ=+的图象上所有点的横坐标伸长（当0<ω<1时）或 （当ω>1时）到原来的1ω倍（纵坐标不变）而得到的.3．(0)A A >对函数sin()y A x ωϕ=+的图象的影响函数sin()y A x ωϕ=+（其中A >0）的图象，可以看作是把函数sin()y x ωϕ=+的图象上所有点的纵坐标伸长（当A >1时）或缩短（当0<A <1时）到原来的 倍（横坐标不变）而得到的. 4．函数sin y x =到函数sin()y A x ωϕ=+(其中0,0A ω>>)的图象变换将函数sin y x =的图象变换得到函数sin()y A x ωϕ=+（其中0,0A ω>>）的图象的过程为: （1）作出函数sin y x =在长度为2π的某闭区间上的简图;（2）将图象沿x 轴向左或向右平移ϕ个单位长度，得到函数sin()y x ϕ=+的简图； （3）把曲线上各点的横坐标伸长或缩短到原来的1ω倍，得到函数sin()y x ωϕ=+的简图;（4）把曲线上各点的纵坐标伸长或缩短到原来的A 倍，得到函数sin()y A x ωϕ=+的简图; （5）沿x 轴扩展得到函数sin()y A x ωϕ=+，x ∈R 的简图. 由y ＝sin x 变换得到y ＝A sin(ωx ＋φ)(A >0，ω>0)的方法：（1）先平移后伸缩：（2）先伸缩后平移：二、函数(),[)sin 0,y A x x ωϕ∈++∞=(其中0,0A ω>>)中各量的物理意义物理中，描述简谐运动的物理量，如振幅、周期和频率等都与函数sin()y A x ωϕ=+中的常数有关： A ：它表示做简谐运动的物体离开平衡位置的最大距离，称为 （amplitude of vibration ）. T ：2πT ω=,它表示做简谐运动的物体往复运动一次所需要的时间，称为 (period).f ：12πf T ω==，它表示做简谐运动的物体在单位时间内往复运动的次数，称为 (frequency). x ωϕ+：称为 (phase).ϕ：x =0时的相位，称为 (initial phase).简记图象变换名称及步骤（1）函数y ＝sin x 到y ＝sin(x ＋φ)的图象变换称为相位变换； （2）函数y ＝sin x 到y ＝sin ωx 的图象变换称为周期变换； （3）函数y ＝sin x 到y ＝A sin x 的图象变换称为振幅变换．（4）函数y ＝sin x 到y ＝A sin(ωx ＋φ)的图象的变换途径为相位变换→周期变化→振幅变换或周期变换→相位变化→振幅变换．K 知识参考答案：一、1．右 左2．缩短3．A二、振幅 周期 频率 相位 初相K —重点 函数图象的变换以及由图象确定函数解析式 K —难点 函数()sin y A x ωϕ=+的性质的应用 K —易错不能正确理解三角函数图象的变换规律致错1．函数图象的变换函数图象的平移变换解题策略：（1）对函数sin y x =，(n )si y A x ωϕ=＋或y =A cos(ωx ＋φ)的图象，无论是先平移再伸缩，还是先伸缩再平移，只要平移|φ|个单位，都是相应的解析式中的x 变为x ±|φ|，而不是ωx 变为ωx ±|φ|. （2）注意平移前后两个函数的名称是否一致，若不一致，应用诱导公式化为同名函数再平移.（3）确定函数sin y x =的图象经过变换后所得图象对应的函数的解析式,关键是明确左右平移的方向和横纵坐标伸缩的量,确定出,,A ωϕ的值.（4）由(n )si y A x ωϕ=＋的图象得到sin y x =的图象，可采用逆向思维，将原变换反过来逆推得到. 【例1】要得到函数y ＝sin ⎝⎛⎭⎫4x －π3的图象，只需将函数y ＝sin 4x 的图象 A ．向左平移π12个单位B ．向右平移π12个单位C ．向左平移π3个单位D ．向右平移π3个单位【答案】B【解析】因为y ＝sin(4x －π3)＝sin[4(x －π12)]，所以要得到y ＝sin[4(x －π12)]的图象，只需将函数y ＝sin 4x的图象向右平移π12个单位．故选B ．【例2】将函数sin y x =的图象沿x 轴向右平移10π个单位长度，再将图象上所有点的横坐标变为原来的2倍（纵坐标不变），所得图象的函数解析式是A ．sin(2)10y x π=- B ．sin(2)5y x π=-C ．1sin()210y x π=-D ．1sin()220y x π=-【答案】C【解析】将函数sin y x =的图象沿x 轴向右平移10π个单位长度，得sin()10y x π=-的图象，再将图象上所有点的横坐标变为原来的2倍（纵坐标不变），得1sin()210y x π=-．故选C ．【名师点睛】三角函数图象的平移变换要注意平移方向与φ的符号之间的对应，横坐标的变化与ω的关系，此类问题很容易混淆规律导致错误. 2．由函数图象确定函数解析式结合图象及性质求解析式y =A sin(ωx ＋φ)＋B (A >0，ω>0)的方法： （1）求A ，B ，已知函数的最大值M 和最小值m ，则,22M m M mA B -+==. （2）求ω，已知函数的周期T ，则2πTω=. （3）求φ，常用方法有：【例3】如图是函数y ＝A sin(ωx ＋φ)A >0，ω>0，|φ|<π2的图象的一部分，求此函数的解析式．【解析】(逐一定参法)由图象知A ＝3，T ＝5π6－⎝⎛⎭⎫－π6＝π，∴ω＝2πT ＝2， ∴y ＝3sin(2x ＋φ)．∵点⎝⎛⎭⎫－π6，0在函数图象上，∴0＝3sin ⎝⎛⎭⎫－π6×2＋φ， ∴－π6×2＋φ＝k π，得φ＝π3＋k π(k ∈Z)．∵|φ|<π2，∴φ＝π3，∴y ＝3sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π3. 【名师点睛】给出y ＝A sin(ωx ＋φ)的图象的一部分，确定A ，ω，φ的方法：（1）第一零点法：如果从图象可直接确定A 和ω，则选取“第一零点”(即“五点法”作图中的第一个点)的数据代入“ωx ＋φ＝0”(要注意正确判断哪一点是“第一零点”)求得φ.（2）特殊值法：通过若干特殊点代入函数式，可以求得相关待定系数A ，ω，φ.这里需要注意的是，要认清所选择的点属于五个点中的哪一点，并能正确代入列式．（3）图象变换法：运用逆向思维的方法，先确定函数的基本解析式y ＝A sin ωx ，再根据图象平移规律确定相关的参数．【例4】已知函数f (x )＝A sin(ωx ＋φ)(A 、ω、φ为常数，A >0，ω>0)的部分图象如图所示，则f (0)的值是________．【答案】62【解析】由图可知：A ＝2，T 4＝7π12－π3＝π4，所以T ＝π，ω＝2πT ＝2.又函数图象经过点(π3，0)，所以2×π3＋φ＝π，则φ＝π3，故函数的解析式为f (x )＝2sin(2x ＋π3)，所以f (0)＝2sin π3＝62.【名师点睛】根据函数图象确定函数解析式，关键是准确把握解析式中的各个参数在图象中的特征体现. 确定φ一般采用函数图象上的最值点的坐标来处理，也可用五点作图法中的五点来解决，这样避免产生增解.3．函数()sin y A x ωϕ=+的性质的应用 函数sin()y A x ωϕ=+（A >0,ω>0）的性质：（1）奇偶性：=k ϕπ时，函数sin()y A x ωϕ=+为奇函数；=2k ϕππ+时，函数sin()y A x ωϕ=+为偶函数.（2）周期性：sin()y A x ωϕ=+存在周期性，其最小正周期为T =2ωπ.（3）单调性：根据y =sin t 和t =x ωϕ+的单调性来研究，由+22,22k x k k ωϕππ-π≤+≤+π∈Z 得单调增区间；由+22,22k x k k ωϕπ3ππ≤+≤+π∈Z 得单调减区间. （4）对称性： ①对称轴与正弦曲线、余弦曲线一样，函数y ＝A sin(ωx ＋φ)和y ＝A cos(ωx ＋φ)的图象的对称轴通过函数图象的最值点且垂直于x 轴．函数y ＝A sin(ωx ＋φ)对称轴方程的求法：令sin(ωx ＋φ)＝±1，得ωx ＋φ＝k π＋π2(k ∈Z)，则x ＝(2k ＋1)π－2φ2ω(k ∈Z )，所以函数y ＝A sin(ωx ＋φ)的图象的对称轴方程为x ＝(2k ＋1)π－2φ2ω(k ∈Z )．函数y ＝A cos(ωx ＋φ)对称轴方程的求法：令cos(ωx ＋φ)＝±1，得ωx ＋φ＝k π(k ∈Z )，则x ＝k π－φω(k ∈Z )，所以函数y ＝A cos(ωx ＋φ)的图象的对称轴方程为x ＝k π－φω(k ∈Z )．②对称中心与正弦曲线、余弦曲线一样，函数y ＝A sin(ωx ＋φ)和y ＝A cos(ωx ＋φ)图象的对称中心即函数图象与x 轴的交点．函数y ＝A sin(ωx ＋φ)对称中心的求法：令sin(ωx ＋φ)＝0，得ωx ＋φ＝k π(k ∈Z)，则x ＝k π－φω(k ∈Z )，所以函数y ＝A sin(ωx ＋φ)的图象关于点⎝⎛⎭⎫k π－φω，0(k ∈Z )成中心对称．函数y ＝A cos(ωx ＋φ)对称中心的求法：令cos(ωx ＋φ)＝0，得ωx ＋φ＝k π＋π2(k ∈Z )，则x ＝(2k ＋1)π－2φ2ω(k ∈Z )，所以函数y ＝A cos(ωx ＋φ)的图象关于点⎝⎛⎭⎫(2k ＋1)π－2φ2ω，0(k ∈Z )成中心对称．【例5】已知函数f (x )＝sin(ωx ＋φ)(ω>0，|φ|<π2)的最小正周期为π，图象关于直线x ＝π3对称．（1）求函数f (x )的解析式； （2）求函数f (x )的单调递增区间；（3）在给定的坐标系中画出函数y ＝f (x )在区间[0，π]上的图象．（2）由－π2＋2k π≤2x －π6≤π2＋2k π，k ∈Z ，得－π6＋k π≤x ≤π3＋k π，k ∈Z .∴函数f (x )的单调递增区间为[k π－π6，k π＋π3]，k ∈Z .（3）列表如下：x 0 π12 π3 7π12 5π6 π y－121－1－12描点、作图．【例6】已知函数f (x )＝sin(ωx ＋φ)(ω>0,0≤φ≤π)是R 上的偶函数，其图象关于点M (3π4，0)对称，且在区间[0，π2]上是单调函数，求φ和ω的值．【解析】由f (x )是偶函数，得f (－x )＝f (x )，即函数f (x )的图象关于y 轴对称， ∴当x ＝0时f (x )取得最值，即sin φ＝1或－1. 依题设0≤φ≤π，解得φ＝π2.由f (x )的图象关于点M 对称，可知sin(3π4ω＋π2)＝0，解得ω＝4k 3－23，k ∈Z .又f (x )在[0，π2]上是单调函数，∴T ≥π，即2πω≥π，∴ω≤2.又ω>0，∴当k ＝1时，ω＝23；当k ＝2时，ω＝2.故φ＝π2，ω＝2或23.【名师点睛】此类题目是函数y ＝A sin(ωx ＋φ)的性质的综合应用，往往涉及单调性、奇偶性、对称性、最值等．求解时要充分结合函数的性质，把性质转化为参数的方程或不等式． 4．不能正确理解三角函数图象变换规律【例7】为得到函数y ＝cos(2x ＋π3)的图象，只需将函数y ＝sin2x 的图象 A ．向左平移5π12个长度单位 B ．向右平移5π12个长度单位 C ．向左平移5π6个长度单位D ．向右平移5π6个长度单位【错解】选B ．y ＝cos(2x ＋π3)＝sin(2x ＋π3＋π2)＝sin2(x ＋5π12)，因此向右平移5π12个长度单位，故选B ．【错因分析】没有注意到变换方向导致了错解，目标是y ＝cos(2x ＋π3)的图象．【答案】A【试题解析】y ＝cos(2x ＋π3)＝sin(2x ＋π3＋π2)＝sin(2x ＋5π6)＝sin2(x ＋5π12)，因此将函数y ＝sin2x 的图象向左平移5π12个长度单位即可．故选A ．1．要得到y =sin2x 的图象，只需将y =cos2x 的图象A ．向左平移π4个单位 B ．向右平移π4个单位 C ．向左平移π8个单位D ．向右平移π8个单位 2．将函数y =2sin （ωx +π6）（ω>0）的图象向右移2π3个单位后，所得图象关于y 轴对称，则ω的最小值为 A ．2B ．1C ．12D ．143．已知函数f （x ）=sin （2x +φ）（–π<φ<0），将函数f （x ）图象向左平移π3个单位长度后所得的函数图象过点P （0，1），则函数f （x ）=sin （2x +φ） A ．在区间[–ππ63，]上单调递减B ．在区间[–ππ63，]上单调递增C ．在区间[ππ36-，]上单调递减D ．在区间[ππ36-，]上单调递增4．已知函数f (x )＝2sin(ωx ＋φ)(ω>0，|φ|<π2)的图象如图所示，则函数f (x )的解析式是A ．f (x )＝2sin(1011x ＋π6)B ．f (x )＝2sin(1011x －π6)C ．f (x )＝2sin(2x ＋π6)D ．f (x )＝2sin(2x －π6)5．将函数πcos 3y x ⎛⎫=+⎪⎝⎭的图象上各点的横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变），再向左平移π3个长度单位，所得函数图象的一个对称中心为 A ．()0,0B ．π,04⎛⎫⎪⎝⎭C ．π,02⎛⎫⎪⎝⎭D ．(π,0)6．已知ω>0,0<φ<π，直线x ＝π4和x ＝5π4是函数f (x )＝sin(ωx ＋φ)图象的两条相邻的对称轴，则φ＝________.7．已知函数f (x )＝3sin(3x ＋π3)表示一个振动．（1）求这个振动的振幅、周期、初相；（2）说明函数y ＝sin x 的图象经过怎样的变换可得到函数f (x )的图象．8．若函数y ＝A sin(ωx ＋φ)＋b (其中A >0，ω>0，|φ|<π2)在其一个周期内的图象上有一个最高点(π12，3)和一个最低点(7π12，－5)，求这个函数的解析式．9．函数f (x )＝3sin(2x ＋π6)的部分图象如图所示．（1）写出f (x )的最小正周期及图中x 0、y 0的值； （2）求f (x )在区间[－π2，－π12]上的最大值和最小值．10．要得到函数π2sin(2)4y x =+的图象，只需将函数2sin y x =的图象上所有点A ．向左平移π8个单位长度，再把横坐标缩短为原来的12倍（纵坐标不变） B ．向左平移π4个单位长度，再把横坐标缩短为原来的12倍（纵坐标不变）C ．向左平移π8个单位长度，再把横坐标伸长为原来的2倍（纵坐标不变）D ．向左平移π4个单位长度，再把横坐标伸长为原来的2倍（纵坐标不变）11．函数()f x 的图象如图所示，为了得到函数2sin y x =的图象，可以把函数()f x 的图象A ．每个点的横坐标缩短到原来的12（纵坐标不变），再向左平移π3个单位长度 B ．每个点的横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变），再向左平移π6个单位长度C ．先向左平移π6个单位长度，再把所得各点的横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变）D ．先向左平移π3个单位长度，再把所得各点的横坐标缩短到原来的12（纵坐标不变）12．先把函数()πsin 23f x x ⎛⎫=-⎪⎝⎭的图象上各点的横坐标变为原来的2倍(纵坐标不变),再把新得到的图象向左平移π6个单位长度,得到y =g (x )的图象，当π5π,66x ⎛⎫∈- ⎪⎝⎭时,函数g (x )的值域为A ．3⎛⎤⎥ ⎝⎦B ．1,12⎛⎤-⎥⎝⎦C ．33⎛ ⎝⎭D ．[)1,0-13．已知函数()()()sin 0,0πf x x ωϕωϕ=+>≤≤是R 上的偶函数，其图象关于点3π,04M ⎛⎫⎪⎝⎭对称，且在区间[]0,π上是单调函数，则ωϕ+=A ．π223+ B ．π22+ C ．π322+D ．π1023+14．已知函数()π2sin 26f x x ⎛⎫=+⎪⎝⎭的图象为M ，则下列结论中正确的是 A ．图象M 关于直线π12x =-对称 B ．将2sin2y x =的图象向左平移π6个单位长度得到MC ．图象M 关于点π,012⎛⎫-⎪⎝⎭对称D ．()f x 在区间π5π,1212⎛⎫-⎪⎝⎭上单调递增 15．已知函数()()sin f x A x ωϕ=+（0ω>，π2ϕ<）的部分图象如图所示，将函数()f x 的图象向右平移7π24个单位长度后得到函数()g x 的图象，若函数()g x 在区间π,3θ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦(π3θ>-)上的值域为[]1,2-，则θ等于A ．π6 B ．π4 C ．2π3D ．7π1216．已知函数()()sin (0,0π)f x A x A ϕϕ=+><<的最大值是1，其图象经过点π1,32M ⎛⎫⎪⎝⎭，则3π4f ⎛⎫= ⎪⎝⎭__________． 17．已知把函数x x g 2sin 2)(=的图象向右平移π6个单位，再向上平移一个单位得到函数)(x f 的图象． （1）求)(x f 的最小值及取最小值时x 的集合； （2）求)(x f 在π[0,]2x ∈时的值域；（3）若)()(x f x -=ϕ，求)(x ϕ的单调增区间．18．某同学用“五点法”画函数()()πsin (0,0,)2f x A x A ωϕωϕ=+>><在某一个周期内的图象时，列表并填入了部分数据，如下表：（1）请将上表数据补充完整，函数()f x 的解析式为()f x = （直接写出结果即可）； （2）求函数()f x 的单调递增区间；（3）求函数()f x192y =的两相邻交点之间的距离为π，且（1）求()y f x =的解析式；（2）先将函数()f x 2倍，得到函数()g x 的图象.求()g x 的单调递增区间以及()g x ≥x 的取值范围.20．函数f (x )＝A sin(ωx ＋φ)⎝⎛⎭⎫A >0，ω>0，|φ|<π2的一段图象如图所示． （1）求f (x )的解析式；（2）把f (x )的图象向左至少平移多少个单位长度，才能使得到的图象对应的函数为偶函数？21．已知函数y ＝2cos ⎝⎛⎭⎫2x ＋2π3. （1）在该函数的图象的对称轴中，求离y 轴距离最近的那条对称轴的方程；（2）将该函数的图象向右平移φ个单位长度后，图象关于原点对称，求φ的最小正值．22．已知曲线y ＝A sin(ωx ＋φ)(A ＞0，ω＞0)上的一个最高点的坐标为⎝⎛⎭⎫π2， 2，由此点到相邻最低点间的曲线与x 轴交于点⎝⎛⎭⎫3π2，0，若φ∈⎝⎛⎭⎫－π2，π2.（1）试求这条曲线的函数解析式；（2）写出函数的单调区间．23．已知函数f（x）=A sin（ωx+φ），（A>0，ω>0，|φ|<π2）的部分图象如图所示．（1）求函数f（x）的解析式及f（x）图象的对称轴方程；（2）把函数y=f（x）图象上点的横坐标扩大到原来的2倍（纵坐标不变），再向左平移π6个单位，得到函数y=g（x）的图象，求关于x的方程g（x）=m（0<m<2）在x∈[π11π33，]时所有的实数根之和．24．已知函数f（x）=sin（ωx+φ）–b（ω>0，0<φ<π）的图象两相邻对称轴之间的距离是π2，若将f（x）的图象先向右平移π63g（x）为奇函数．（1）求f（x）的解析式；（2）求f（x）的对称轴及单调增区间；（3）若对任意x∈[0，π3]，f 2（x）–（2+m）f（x）+2+m≤0恒成立，求实数m的取值范围．25．（2018•新课标Ⅱ）若f（x）=cos x–sin x在[0，a]是减函数，则a的最大值是A．π4B．π2C．3π4D．π26．（2017•新课标Ⅰ）已知曲线C1：y=cos x，C2：y=sin (2x+2π3)，则下面结论正确的是A．把C1上各点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向右平移π6个单位长度，得到曲线C2B．把C1上各点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向左平移π12个单位长度，得到曲线C2C．把C1上各点的横坐标缩短到原来的12倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向右平移π6个单位长度，得到曲线C2D．把C1上各点的横坐标缩短到原来的12倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向左平移π12个单位长度，得到曲线C227．（新课标Ⅰ）已知函数ππ()sin()(0),24f x x+x，ωϕωϕ=>≤=-为()f x的零点，π4x=为()y f x=图象的对称轴，且()f x 在π5π()1836，单调，则ω的最大值为 A ．11 B ．9 C ．7D ．528．（新课标Ⅰ）将函数y =2sin (2x +π6)的图象向右平移14个周期后，所得图象对应的函数为 A ．y =2sin(2x +π4) B ．y =2sin(2x +π3)C ．y =2sin(2x –π4)D ．y =2sin(2x –π3)29．（新课标Ⅱ）函数y ＝A sin(ωx ＋φ)的部分图象如图所示，则A ．y ＝2sin(2x －π6)B ．y ＝2sin(2x －π3)C ．y ＝2sin(x ＋π6)D ．y ＝2sin(x ＋π3)30．（新课标Ⅱ）若将函数y =2sin 2x 的图象向左平移12π个单位长度，则平移后图象的对称轴为 A ．x =26k ππ-(k ∈Z ) B ．x =26k ππ+(k ∈Z )C ．x =212k ππ-(k ∈Z )D ．x =212k ππ+(k ∈Z )31．（2018•江苏）已知函数y =sin （2x +φ）（–π2<φ<π2）的图象关于直线x =π3对称，则φ的值为______．32．（2018•北京）设函数f （x ）=cos （ωx –π6）（ω>0），若f （x ）≤f （π4）对任意的实数x 都成立，则ω的最小值为_____________．1 2 3 4 5 10 11 12 13 14 15 26 27 28 29 30 BBBCABCAACBDBDAB1．【答案】B【解析】y =cos2x =sin （2x +π2）=sin2（x +π4）．所以将函数y =cos2x 的图象向右平移π4个单位，可得函数y =sin[2（x –π4）+π2]=sin2x 的图象，故选B ． 2．【答案】B【解析】将函数y =2sin （ωx +π6）（ω>0）的图象向右移2π3个单位后，可得y =2sin （ωx –2π3ω+π6）的 图象，再根据所得图象关于y 轴对称，∴–2π3ω+π6=k π+π2，k ∈Z ，即ω=–31–22k ，∴当k =–1时，ω取得最小值为1，故选B ．4．【答案】C【解析】∵f (0)＝1，∴2sin φ＝1，∴sin φ＝12，又∵|φ|<π2，∴φ＝π6，又ω×11π12＋π6＝2π，∴ω＝2，∴f (x )＝2sin(2x ＋π6)．5．【答案】A【解析】将函数πcos 3y x ⎛⎫=+⎪⎝⎭的图象上各点的横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变），得到1πcos 23y x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭的图象,再向左平移π3个长度单位，得到1π1cos sin 222y x x ⎛⎫⎛⎫=+=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭的图象.将选项代入验证可知A 选项符合.6．【答案】π4【解析】由题意可知，函数f (x )的最小周期T ＝2(5π4－π4)＝2π，∴ω＝1，∴f (x )＝sin(x ＋φ)．又∵x ＝π4是函数f (x )的图象的一条对称轴，∴π4＋φ＝k π＋π2，k ∈Z ，∴φ＝k π＋π4，k ∈Z .∵0<φ<π，∴φ＝π4.7．【解析】（1）振幅A ＝3，周期T ＝2π3，初相φ＝π3.（2）先将函数y ＝sin x 的图象向左平移π3个单位，得到y ＝sin(x ＋π3)的图象；再将所得图象上所有点的横坐标缩短到原来的13倍(纵坐标不变)，得到y ＝sin(3x ＋π3)的图象；最后将所得图象上所有点的纵坐标扩大到原来的3倍(横坐标不变)，即可得到f (x )＝3sin(3x ＋π3)的图象．8．【解析】由一个周期内的图象上有一个最高点(π12，3)和一个最低点(7π12，－5)，得A ＝12(y max －y min )＝12×(3＋5)＝4，b ＝12(y max ＋y min )＝12×(3－5)＝－1，T 2＝7π12－π12＝π2，即T ＝π.由T ＝2πω，得ω＝2. ∴y ＝4sin(2x ＋φ)－1. ∴2×π12＋φ＝π2+2kπ，k ∈Z ，又|φ|<π2，∴φ＝π3，故所求函数的解析式为y ＝4sin(2x ＋π3)－1.【思路点拨】函数y ＝A sin(ωx ＋φ)＋b (其中A >0，ω>0)的图象可看作把y ＝A sin(ωx ＋φ)(其中A >0，ω>0)的图象向上(b >0)或向下(b <0)平移|b |个长度单位得到的．由图象可知，取最大值与最小值时相应的x 值之差的绝对值只是半个周期，由此可得出A 、b ，进而再求ω、φ. 9．【解析】（1）f (x )的最小正周期为2π2＝π.∵(x 0，y 0)是最大值点，令2x ＋π6＝π2＋2k π，k ∈Z ，结合图象得x 0＝7π6，y 0＝3.（2）因为x ∈[－π2，－π12]，所以2x ＋π6∈[－5π6，0]．于是，当2x ＋π6＝0，即x ＝－π12时，f (x )取得最大值0；当2x ＋π6＝－π2，即x ＝－π3时，f (x )取得最小值－3.10．【答案】B【解析】由题可知，正弦型为sin()y A x ωϕ=+，其中，A 代表振幅，ω用来控制函数的横坐标变化，ϕ用来控制函数的左右移动，本题是先平移再伸缩，先向左平移π4个单位长度，得到π2sin()4y x =+的图象，再把横坐标缩短为原来的12倍，得到π2sin(2)4y x =+，故选B ．【名师点睛】（1）进行三角函数的图象变换时，要注意无论进行什么样的变换都是变换变量本身；要注意平移前后两个函数的名称是否一致，若不一致，应先利用诱导公式化为同名函数；（2）在图象变换过程中务必分清是先相位变换，还是先周期变换．变换只是相对于其中的自变量x 而言的，如果x 的系数不是1，就要把这个系数提取后再确定变换的单位长度和方向． 11．【答案】C【解析】根据函数(f 故可以把函数()f x 再把所得各点的横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变），即可得到2sin y x =函数的图象，故选C ． 12．【答案】A【解析】依题意得()1πππsin 2sin 2636g x x x ⎡⎤⎛⎫⎛⎫=⨯+-=- ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦，当π5π,66x ⎛⎫∈- ⎪⎝⎭时，x －π6∈π2π()33-，，所以πsin 6x ⎛⎫- ⎪⎝⎭∈⎛⎤ ⎥ ⎝⎦，即函数g (x )的值域是.⎛⎤ ⎥ ⎝⎦ 【名师点睛】对于三角函数图象变换问题，首先要将不同名函数转换成同名函数，利用诱导公式，需要重点记住ππsin cos ,cos sin 22αααα⎛⎫⎛⎫=-=+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭；另外，在进行图象变换时，提倡先平移后伸缩，而先伸缩后平移在考试中也经常出现，无论平移还是伸缩变换，总是对变量x 而言. 13．【答案】A【解析】由于()f x 是R 上的偶函数，且0πϕ≤≤()f x 在区间[]0,π上是单调函数，且0ω>A ． 【方法点睛】本题主要通过求三角函数的解析式考查三角函数的性质，属于中档题.利用三角函数性质求解析式的方法： （1）利用最值求出A ； （2）利用周期公式求出ω； （3）利用特殊点或对称性求出ϕ.在求解每一个参数时，一定根据题设条件，考虑参数的范围，这样才能保证解析式的唯一性. 14．【答案】C【解析】将2sin 2y x =的图象向左平移,故B 错；()f x D 错；π12f ⎛⎫- ⎪⎝⎭M A 错误，C 正确， 故选C ． 15．【答案】B【解析】由图象可知，π2,π,2,4A T ωϕ=-===， 所以()()()π7πππ2sin 22sin 2,2sin 242443f x x g x x g x x ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-+=--+=-- ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦，， 当π,3x θ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦（π3θ>-）时，ππ2π,233x θ⎡⎤-∈--⎢⎥⎣⎦，因为值域里有12，所以ππ236θ-=，π4θ=，选B ． 【名师点睛】本题学生容易经验性的认为2A =,但此时ϕ在π2ϕ<内无解，所以2A =-. 已知函数()sin (0,0)y A x B A ωϕω=++>>的图象求解析式：(1)max min maxmin,22y y y y A B -+==. (2)由函数的周期T 求2π,.T ωω=(3)利用“五点法”中相对应的特殊点求ϕ，一般用最高点或最低点求.16．【答案】2-【解析】由函数()()sin (0,0π)f x A x A ϕϕ=+><<，x ∈R 的最大值是1，得1A =； 又其图象经过点π1,32M ⎛⎫⎪⎝⎭，∴π1sin 32ϕ⎛⎫+= ⎪⎝⎭，∴ππ2π36k ϕ+=+或π5π2π36k ϕ+=+，k ∈Z ；∴π2π6k ϕ=-+或π2π2k ϕ=+，k ∈Z ，又0πϕ<<，∴π2ϕ=，∴()πsin cos 2f x x x ⎛⎫=+= ⎪⎝⎭.∴3π3πcos 442f ⎛⎫==-⎪⎝⎭.故答案为2-． 17．【解析】（1）由已知得π()2sin(2)13f x x =-+．当πsin(2)13x -=-时，()f x 取得最小值211-+=-，此时ππ22π,32x k k -=-+∈Z ，即ππ,12x k k =-∈Z ， 故)(x f 取最小值时x 的集合为π{|π,}12x x k k =-∈Z ．（2）当π[0,]2x ∈时，ππ2π2[,]333x -∈-，所以πsin(2)13x ≤-≤，从而π12sin(2)133x ≤-+≤，即)(x f 的值域为[1,3]． （3）()()ππ2sin 212sin 2133φxf x x x ⎛⎫=-=--+=-++ ⎪⎝⎭(),即求函数πy x =+2sin(2)3的单调递减区间． 令πππππk x k k +≤+≤+∈Z 3222,232，解得ππππk x k k +≤≤+∈Z 7,1212，故)(x ϕ的单调增区间为()ππππk k k ⎡⎤++∈⎢⎥⎣⎦Z 7,1212． 18．【解析】（1）故解析式为()π2sin 26f x x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭. （2，k ∈Z ， 所以函数()f x 的单调递增区间为πππ,π36k k ⎡⎤-++⎢⎥⎣⎦，k ∈Z .（3）因为π02x -≤≤， 所以5πππ2666x -≤+≤，所以π11sin 262x ⎛⎫-≤+≤ ⎪⎝⎭.所以当ππ262x +=-，即π3x =-时，()f x 2-.当ππ266x +=，即0x =时，()f x 1. 【名师点睛】本题主要考查由函数sin y A x ωϕ=+（）的部分图象求解析式，并研究函数的性质，属于基础题．（1）由函数的最值求出A ，由周期求出ω，由五点法作图求出ϕ的值，可得函数的解析式． （2）利用正弦函数的单调性，求得函数()f x 的单调递增区间．（3）利用正弦函数的定义域、值域，求得函数()f x 在区间π,02⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上的最大值和最小值.（2）由（1）可得()π2sin 26f x x ⎛⎫=-⎪⎝⎭， ∴()π2sin 6g x x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭， 由πππ2π2π262k x k -≤+≤+，得2ππ2π2π33k x k -≤≤+，k ∈Z ， ∴()g x 的单调递增区间为2ππ2π,2π33k k ⎡⎤-+⎢⎥⎣⎦，k ∈Z ， ∵π2sin 36x ⎛⎫+≥ ⎪⎝⎭， ∴π3sin 62x ⎛⎫+≥ ⎪⎝⎭， ∴ππ2π2π2π363k x k +≤+≤+，k ∈Z ， ∴x 的取值范围为ππ|2π2π, 62x k x k k ⎧⎫+≤≤+∈⎨⎬⎩⎭Z . 【名师点睛】本题考查了函数的基本性质的综合应用问题，解答中涉及正弦型函数的单调性、周期和对称性的综合应用，试题有一定的综合性，属于中档试题，着重考查了学生分析问题和解答问题的能力，以及推理、运算能力.其中熟记三角函数的图象与性质是解答的关键. （1）由已知可得πT =，进而求解ω值，再根据()f x 的图象关于π3x =对称，求解ϕ的值，即可求得函数()f x 的解析式；（2）由（1）可得()π2sin 6g x x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，利用三角函数的图象与性质，即可求解()g x 的单调递增区间以及()3g x ≥时x 的取值范围.21．【解析】（1）由2x ＋2π3＝k π，得函数的对称轴方程是x ＝－π3＋k π2，k ∈Z .所以函数的图象离y 轴距离最近的那条对称轴方程为x ＝π6.（2）将函数y ＝2cos ⎝⎛⎭⎫2x ＋2π3的图象向右平移φ个单位长度后，得到函数图象的解析式是y ＝2cos ⎝⎛⎭⎫2x ＋2π3－2φ. 因为y ＝2cos ⎝⎛⎭⎫2x ＋2π3－2φ的图象关于原点对称，所以2π3－2φ＝π2＋k π.所以φ＝π12－k π2，k ∈Z . 所以φ的最小正值是π12．22．【解析】（1）依题意，A ＝2，T ＝4×⎝⎛⎭⎫3π2－π2＝4π， ∵T ＝2π|ω|＝4π，ω＞0，∴ω＝12.∴y ＝2sin ⎝⎛⎭⎫12x ＋φ.∵曲线上的最高点为⎝⎛⎭⎫π2，2，∴sin ⎝⎛⎭⎫12×π2＋φ＝1. ∴φ＋π4＝2k π＋π2，k ∈Z .∵－π2＜φ＜π2，∴φ＝π4.∴y ＝2sin ⎝⎛⎭⎫12x ＋π4.（2）令2k π－π2≤12x ＋π4≤2k π＋π2，k ∈Z ，∴4k π－3π2≤x ≤4k π＋π2，k ∈Z .∴函数f (x )的单调递增区间为4k π－3π2，4k π＋π2(k ∈Z )．令2k π＋π2≤12x ＋π4≤3π2＋2k π，k ∈Z ，∴4k π＋π2≤x ≤4k π＋5π2，k ∈Z .∴函数f (x )的单调递减区间为4k π＋π2，4k π＋5π2(k ∈Z )．23．【解析】（1）由图象知，周期T =11π12–（–π12）=π，∴ω=2πT=2．∵点（–π12，0）在函数图象上， ∴A sin （–2×π12+φ）=0，即sin （φ–π6）=0，又∵–π2<φ<π2，∴–2π3<φ–ππ63<，从而φ=π6． 又∵点（0，1）在函数图象上，∴1=A sinπ6，∴A =2． 故函数f （x ）的解析式为f （x ）=2sin （2x +π6）． 令2x +π6=k π+π2，k ∈Z ，解得x =π2k +π6，k ∈Z ． 即为函数f （x ）图象的对称轴方程．（2）依题意，得g （x ）=2sin （x +π3）， ∵g （x ）=2sin （x +π3）的周期T =2π， ∴g （x ）=2sin （x +π3）在x ∈[–π3，11π3]内有2个周期． 令x +π3=k ππ2+（k ∈Z ），则x =π6+k π（k ∈Z ）， 即函数g （x ）=2sin （x +π3）的对称轴为x =π6+k π（k ∈Z ）． 又x ∈[π11π33-，]，则x +π3∈[0，4π]，且0<m <2，所以g （x ）=m ，（0<m <2）在x ∈[π11π33-，]内有4个实根，不妨从小到大依次设为x i （i =1，2，3，4）， 则12π26x x +=，3413π26x x +=． ∴关于x 的方程g （x ）=m （0<m <2）在x ∈[π11π33-，]时，所有的实数根之和为x 1+x 2+x 3+x 4=14π3． 24．【解析】（1）由2ππ22ω=⨯可得ω=2，则f （x ）=sin （2x +φ）+b ，又()πsin 26g x x b ϕ⎡⎤⎛⎫=-+-+ ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦0<φ<π，则π3b ϕ==，()πsin 23f x x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭．（2）结合（1）的结论可得对称轴满足ππ2π32x k k +=+∈Z ，， 据此可得对称轴方程为ππ122k x k =+∈Z ，， 函数的增区间满足()πππ22π2π322x k k k ⎡⎤+∈-+∈⎢⎥⎣⎦Z ，， 故增区间为()5ππππ1212k k k ⎡⎤-++∈⎢⎥⎣⎦Z ，．（3）因为π03x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，，所以()()111f x f x ≤--≤而f 2（x ）–（2+m ）f （x ）+2+m ≤0恒成立，整理可得()()111m f x f x ≤+--，由()1313f x --≤-≤-，得()()13314311f x f x --≤+-≤--， 故133m --≤，即m 取值范围是133⎛⎫---∞ ⎪ ⎪⎝⎭，． 25．【答案】C【解析】f （x ）=cos x –sin x =–（sin x –cos x ）=–2sin （x –π4），由–π2+2k π≤x –π4≤π2+2k π，k ∈Z ，得–π4+2k π≤x ≤3π4+2k π，k ∈Z ，取k =0，得f （x ）的一个减区间为[–π4，3π4]，由f （x ）在[0，a ]是减函数，得a ≤3π4．则a 的最大值是3π4．故选C ．26．【答案】D【解析】因为12,C C 函数名不同，所以先将2C 利用诱导公式转化成与1C 相同的函数名，则22π2πππ:sin(2)cos(2)cos(2)3326C y x x x =+=+-=+，则由1C 上各点的横坐标缩短到原来的12倍变为cos 2y x =，再将曲线向左平移π12个单位长度得到2C ，故选D ．【名师点睛】对于三角函数图象变换问题，首先要将不同名函数转换成同名函数，利用诱导公式，需要重点记住ππsin cos(),cos sin()22αααα=-=+；另外，在进行图象变换时，提倡先平移后伸缩，而先伸缩后平移在考试中也经常出现，无论哪种变换，记住每一个变换总是对变量x 而言.【名师点睛】本题将三角函数的单调性与对称性结合在一起进行考查,题目新颖,是一道考查能力的好题.注意本题求解中用到的两个结论：①()()()sin 0,0f x A x A ωϕω=+≠≠的单调区间长度是最小正周期的一半;②若()()()sin 0,0f x A x A ωϕω=+≠≠的图象关于直线0x x =对称,则()0f x A =或()0f x A =-. 28．【答案】D【解析】函数2sin(2)6y x π=+的周期为π，将函数2sin(2)6y x π=+的图象向右平移14个周期即4π个单位，所得图象对应的函数为2sin[2())]2sin(2)463y x x πππ=-+=-，故选D.【名师点睛】函数图象的平移问题易错点有两个,一是平移方向,注意“左加右减”；二是平移多少个单位是对x 而言的,不要忘记乘以系数. 29．【答案】A【解析】由题图知，2A =，最小正周期ππ2[()]π36T =--=，所以2π2πω==，所以2sin(2)y x ϕ=+.因为图象过点π(,2)3，所以π22sin(2)3ϕ=⨯+，所以2πsin()13ϕ+=，所以2ππ2π()32k k ϕ+=+∈Z ，令0k =，得π6ϕ=-，所以π2sin(2)6y x =-，故选A. 【名师点睛】根据图象求解析式问题的一般方法是：先根据函数=sin()y A x h ωϕ++图象的最高点、最低点确定A ，h 的值，由函数的周期确定ω的值，再根据函数图象上的一个特殊点确定φ值． 30．【答案】B【解析】由题意，将函数2sin 2y x =的图象向左平移π12个单位长度得函数ππ2sin 2()2sin(2)126y x x =+=+的图象，则平移后函数图象的对称轴为ππ2π,62x k k +=+∈Z ，即ππ,62k x k =+∈Z ，故选B. 【名师点睛】平移变换和伸缩变换都是针对x 而言，即x 本身加或减多少值，而不是依赖于ωx 加或减多少值． 31．【答案】D【解析】由图象可知，1π++2π42()53π++2π42m m m ωϕωϕ⎧=⎪⎪∈⎨⎪=⎪⎩Z ，解得=πω，π=+2π()4m m ϕ∈Z ，所以ππ()cos(π+2π)=cos(π)()44f x x m x m =++∈Z ，令π2ππ2ππ,4k x k k <+<+∈Z ，解得124k -<x <324k +,k ∈Z ,故函数()f x 的单调减区间为（124k -，324k +）,k ∈Z ,故选D ． 31．【答案】–π6【解析】∵y =sin （2x +φ）（–π2<φ<π2）的图象关于直线x =π3对称，∴2×π3+φ=k π+π2，k ∈Z ，即φ=k π–π6，∵–π2<φ<π2，∴当k =0时，φ=–π6，故答案为：–π6．32．【答案】23【解析】函数f （x ）=cos （ωx –π6）（ω>0），若f （x ）≤f （π4）对任意的实数x 都成立，可得：ππ2π46k ω⋅-=，k ∈Z ，解得ω=283k +，k ∈Z ，ω>0，则ω的最小值为：23．故答案为：23．。

→ → 因为AF＝(－4,3)，BE＝(2，－6)， → → AF· BE → → 所以 cos〈AF，BE〉＝ → → |AF||BE| 13 ＝－50 10. 13 即两直角边中线所成钝角的余弦值为－ 10. 50
例2 程． 剖析
求通过 A(－2，－1)，且平行向量 a＝(3,2)的直线方
→ 在所求直线上任取一点 P(x，y)，则AP∥a，利用向
规律技巧
要证明三点共线，只需要证明包含这三个点的
两个向量共线，从而把点共线问题转化成向量共线问题．
变式训练 1
已知直角三角形的两直角边长为 4 和 6， 求两
直角边中线所成钝角的余弦值．
解析
以直角三角形的顶点为坐标原点，两直角边所在的
直线为 x 轴、 y 轴， 建立如图所示的直角坐标系， 则 A(4,0)， B(0,6)， 设 AF、BE 为直角边 OB、OA 的中线，则 E(2,0)，F(0,3)．
解析
小船的实际速度大小为
102＋22＝ 104＝2 26 m/s.
答案 B
3．过点(－1,3)且与向量 a＝(2,1)垂直的直线方程为( A．2x＋y－1＝0 B．2x＋y－5＝0
)
C．x＋2y－5＝0 D．x－2y＋7＝0
解析
设所求直线方程为 2x＋y＋C＝0，
∵该直线过(－1,3)，∴C＝－1. ∴所求直线方程为 2x＋y－1＝0.
(3)法向量： 如果表示向量的基线与一条直线 垂直 ， 那么称这个向量
垂直 该直线．这个向量称为这条直线的法向量．
2．特殊向量 设直线 l 的一般方程 Ax＋By＋C＝0，则向量(A，B)与直线 l 垂直 ，向量(－B，A)与 l 平行． 3．力向量 力向量与自由向量不同，它包括 大小、方向、作用点 三个 要素，在不考虑 作用点 的情况下，可利用向量运算法则进行 计算．

第一章 基本初等函数(Ⅱ)
1．3 三角函数的图象与性质
1．3.1 正弦函数的图象与性质
第三课时
正弦型函数y＝Asin(ω x＋φ )
课前预习目标
课Hale Waihona Puke 互动探究课前预习目标梳理知识 夯实基础
学习目标 1.结合具体实例，了解y＝Asin(ωx＋φ)的实际意义． 2．会用图象变换法画出函数y＝Asin(ωx＋φ)的图象.
自学导航 1.正弦型函数 2π (1)对于函数y＝Asin(ωx＋φ)(ω＞0)中，周期T＝ ω ，频率f 1 ω ＝ ＝ . φ 叫做初相． T 2π (2)一般地，函数y＝Asinx的值域为[－|A|，|A|]φ，最大值为
|A| ，最小值为 －|A|， |A| 的大小，反映曲线y＝Asinx波动的大
课堂互动探究
剖析归纳 触类旁通
典例剖析
例1
π 指出将 y＝sinx 的图象变换为 y＝sin(2x＋3)的图象的
两种方法． 剖析 1 π π x→2x→2(x＋ )＝2x＋ . 6 3
解析 1 y＝sinx
y＝sin2x
π π y＝sin 2 x＋6 ＝sin(2x＋3)．
)
A．最小正周期是π π B．直线x＝ 是f(x)图象的一条对称轴 12
π C．函数f(x)图象关于点－6，0对称
π D．f(x)的图象向右平移3个单位，可得到y＝sin2x的图象
π π 解析 f(x)的图象向右平移3个单位，得到函数y＝fx－3＝ π π π sin2 x－3＋3＝sin2x－3.
答案
D
4．函数y＝Asin(ωx＋φ)
π A＞0，ω＞0，|φ|＜ 2

[0，π] 上有唯一的x值和它对应，记为 x＝arccosy 1,1])，那么在
(其中－1≤y≤1,0≤x≤π)，即 arccosy表示[0，π]上余弦值等于y 的那个角． 3．一般地，对于正切函数y＝tanx，x∈ 每一个正切值y，在开区间
π π － ， 2 2 π π － ， 2 2
π π (1)α∈－2，2；
(2)α∈[0,2π]； (3)α为第三象限角； (4)α∈R.
解析
π π (1)∵正弦函数在闭区间 －2，2 上是增函数，∴符
1 合sinα＝－2条件的角只有一个．
π 1 π 又∵sin－6＝－2，∴α＝－6.
1 (2)∵sinα＝－ 2 <0，∴α是第三或第四象限角，由正弦函数 1 的单调性，符合sinα＝－2条件的角有两个．
第一章 基本初等函数(Ⅱ)
1．3 三角函数的图象与性质
1．3.3 已知三角函数值求角
课前预习目标
课堂互动探究
课前预习目标
梳理知识 夯实基础
学习目标 1.会由已知三角函数值求角． 2．了解反正弦、反余弦、反正切的意义，并会用符号 arcsinx，arccosx，arctanx表示角.
自学导航 已知三角函数值求角的相关概念 1．一般地，对于正弦函数y＝sinx，如果已知函数值y(y∈
π π 1 根据诱导公式sinπ＋6＝－sin6＝－2和 π π 1 7 11 sin2π－6＝－sin6＝－2得α＝6π或α＝ 6 π.
7 (3)∵α是第三象限角，在闭区间[0,2π]内有α＝ 6 π，∴符合
7π 1 . x | x ＝ ＋ 2 k π ， k ∈ Z 条件sinα＝－2的第三象限角的集合是 6

＋tanB)＝2，则 A＋B 等于( π A.4 5π C. 4 3π B. 4
cos15° －sin15° (2) ； cos15° ＋sin15° (3) tan17° ＋tan28° ＋tan17° · tan28° . 剖析 本题主要考查两角和与差的正切公式，重点考查逆
用、变式的能力．
解析 ＝ 3.
tan45° ＋tan15° (1) 原式＝ ＝ tan(45° ＋ 15° ) ＝ tan60° 1－tan45° tan15°
本题从公式逆用、变形思想出发，灵活地运用
了两角和与差的正切公式．
变式训练 1
计算：
(1) tan57° －tan12° －tan57° tan12° ； 1－ 3tan75° (2) ； 3＋tan75° 3－tan105° (3) . 1＋ 3tan105°
解析 (1)解法 1： 原式＝tan(57° －12° )(1＋tan57° tan12° )－tan57° tan12° ＝1＋tan57° tan12° －tan57° tan12° ＝1. tan57° －tan12° 解法 2：∵tan(57° －12° )＝ ， 1＋tan57° · tan12° ∴1＋tan57° · tan12° ＝tan57° －tan12° . ∴tan57° －tan12° －tan57° tan12° ＝1.
tanα－tanβ 2．tan(α－β)＝ 1＋tanαtanβ
.
思 考 探 究 两角和与差的正切公式对任意的 α，β 均成立吗？ 提示 不是的． 在两角和的正切公式中， 使用的条件是： α，
π β，α＋β≠kπ＋2(k∈Z)；使用两角差的正切公式时条件是：α， π β，α－β≠kπ＋2(k∈Z).

精品 "正版〞资料系列 ,由本公司独创 .旨在将 "人教版〞、〞苏教版 "、〞北师 大版 "、〞华师大版 "等涵盖几乎所有版本的教材教案、课件、导学案及同步练习和 检测题分享给需要的朋友 .本资源创作于2021年8月 ,是当前最||新版本的教材资源 .包含本课对应 内容 ,是您备课、上课、课后练习以及寒暑假预习的最||正确选择 .学业分层测评(九) (建议用时：45分钟)[学业达标]一、选择题1．要得到函数y ＝sin ⎝⎛⎭⎫2x －π3的图象 ,只需将函数y ＝sin 2x 的图象( ) A ．向左平移π12个单位B ．向右平移π12个单位C ．向左平移π6个单位D ．向右平移π6个单位【解析】 y ＝sin ⎝⎛⎭⎫2x －π3＝sin ⎣⎡⎦⎤2⎝⎛⎭⎫x －π6 ,故要得到函数y ＝sin ⎝⎛⎭⎫2x －π3的图象 ,只需将函数y ＝sin 2x 的图象向右平移π6个单位．【答案】 D2．要得到y ＝tan 2x 的图象 ,只需把y ＝tan ⎝⎛⎭⎫2x －π6的图象( ) A ．向左平移π6个单位得到B ．向左平移π12个单位得到C ．向右平移π12个单位得到D ．向右平移π6个单位得到【解析】 设向左平移φ个单位得到y ＝tan 2x 的图象 ,y ＝tan ⎣⎡⎦⎤2(x ＋φ)－π6 ＝tan ⎝⎛⎭⎫2x ＋2φ－π6 ,∴2φ－π6＝0 ,∴φ＝π12 , ∴向左平移π12个单位得到．【答案】 B3．函数y ＝sin(ωx ＋φ)⎝⎛⎭⎫ω>0且|φ|<π2在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤π62π3上单调递减 ,且函数值从1减小到－1 ,那么此函数图象与y 轴交点的纵坐标为( ) 【导学号：00680026】A.12B.22C.32D.6＋24【解析】 因为函数的最||大值为1 ,最||小值为－1 ,且在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤π62π3上单调递减 ,又函数值从1减小到－1 ,所以2π3－π6＝π2为半周期 ,那么周期为π ,ω＝2πT ＝2ππ＝2 ,此时原式为y ＝sin(2x ＋φ) ,又由函数过⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫π6 1点 ,代入可得φ＝π6 ,因此函数为y ＝sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π6 ,令x ＝0 ,可得y ＝12. 【答案】 A4．假设函数f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎫ωx ＋π6－1(ω>0)的周期为2π3 ,那么函数f (x )图象的对称轴方程为( )A ．x ＝k π＋π3(k ∈Z )B ．x ＝k π－π3(k ∈Z )C ．x ＝k π3＋π9(k ∈Z )D ．x ＝k π3－π9(k ∈Z )【解析】 由函数y ＝sin ⎝⎛⎭⎫ωx ＋π6－1的周期为2π3 ,知2π|ω|＝2π3 ,又ω>0 ,所以ω＝3 ,那么对称轴方程为3x ＋π6＝π2＋k π ,k ∈Z ,即x ＝π9＋k π3,k ∈Z .【答案】 C5．以下函数中 ,图象的一局部是如图1-5-3的是( )图1-5-3A ．y ＝sin ⎝⎛⎭⎫x ＋π6B ．y ＝sin ⎝⎛⎭⎫2x －π6C ．y ＝cos ⎝⎛⎭⎫4x －π3D ．y ＝cos ⎝⎛⎭⎫2x －π6 【解析】 由图象知 ,14T ＝π12－⎝⎛⎭⎫－π6＝π4 ,∴T ＝π＝2πω ,∴ω＝2 ,把y ＝cos 2x 的图象向右平移π12个单位即得所给图象 ,∴所求函数为y ＝cos 2⎝⎛⎭⎫x －π12＝cos ⎝⎛⎭⎫2x －π6. 【答案】 D 二、填空题6．函数y ＝sin(ωx ＋φ)(ω>0 ,－π<φ≤π)的图象如图1-5-4所示 ,那么φ＝________.图1-5-4【解析】 由题意得T 2＝2π－34π ,∴T ＝52π ,ω＝45.又由x ＝34π时 ,y ＝－1 ,得－1＝sin ⎝⎛⎭⎫35π＋φ , －2π5<35π＋φ<85π , ∴35π＋φ＝32π , ∴φ＝910π.【答案】910π7．假设g (x )＝2sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π6＋a 在⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤0 π3上的最||大值与最||小值之和为7 ,那么a ＝________. 【解析】 当0≤x ≤π3时 ,π6≤2x ＋π6≤5π6 ,12≤sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π6≤1 ,所以1＋a ≤2sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π6＋a ≤2＋a ,由1＋a ＋2＋a ＝7 ,得a ＝2.【答案】 2 三、解答题8．函数y ＝A sin(ωx ＋φ)⎝ ⎛⎭⎪⎫A >0ω>0 0≤φ≤π2在x ∈(0,7π)内只取到一个最||大值和一个最||小值 ,且当x ＝π时 ,y max ＝3；当x ＝6π时 ,y min ＝－3.(1)求此函数的解析式； (2)求此函数的单调递增区间．【解】 (1)由题意得A ＝3 ,12T ＝5π ,所以T ＝10π ,所以ω＝2πT ＝15 ,那么y ＝3sin ⎝⎛⎭⎫15x ＋φ. 因为点(π ,3)在此函数图象上 , 那么3sin ⎝⎛⎭⎫π5＋φ＝3. 又因为0≤φ≤π2 ,有φ＝π2－π5＝3π10 ,所以y ＝3sin ⎝⎛⎭⎫15x ＋3π10.(2)当－π2＋2k π≤15x ＋3π10≤π2＋2k π ,k ∈Z ,即－4π＋10k π≤x ≤π＋10k π ,k ∈Z 时 , 函数y ＝3sin ⎝⎛⎭⎫15x ＋3π10单调递增．所以此函数的单调递增区间为[－4π＋10k π ,π＋10k π](k ∈Z )．9．函数f (x )＝sin(ωx ＋φ)(ω>0,0≤φ≤π)是R 上的偶函数 ,其图象关于点M ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫3π4 0对称 ,且在区间⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤0 π2上是单调函数 ,求φ和ω的值．【解】 由f (x )是偶函数 ,得f (－x )＝f (x ) , 即函数f (x )的图象关于y 轴对称 ,∴f (x )在x ＝0时取得最||值 , 即sin φ＝1或sin φ＝－1. 依题设0≤φ≤π ,解得φ＝π2.由f (x )的图象关于点M 对称 ,可知 sin ⎝⎛⎭⎫3π4ω＋π2＝0 , ∴3π4ω＋π2＝k π(k ∈Z ) , 解得ω＝4k 3－23,k ∈Z ,又f (x )在⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤0 π2上是单调函数 ,所以T ≥π ,即2πω≥π ,又ω>0 ,∴0<ω≤2. ∴当k ＝1时 ,ω＝23；当k ＝2时 ,ω＝2. ∴φ＝π2 ,ω＝2或23.[能力提升]1．为了得到函数y ＝sin ⎝⎛⎭⎫2x －π6的图象 ,可以将函数y ＝cos 2x 的图象( ) A ．向右平移π6个单位长度B ．向右平移π3个单位长度C ．向左平移π6个单位长度D ．向左平移π3个单位长度【解析】 y ＝sin ⎝⎛⎭⎫2x －π6 ＝cos ⎣⎡⎦⎤π2－⎝⎛⎭⎫2x －π6＝cos ⎝⎛⎭⎫2π3－2x ＝cos ⎝⎛⎭⎫2x －2π3＝cos 2⎝⎛⎭⎫x －π3. 应选B. 【答案】 B2．将函数f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π6的图象分别向左、向右平移φ个单位后 ,所得的图象都关于y 轴对称 ,那么φ的最||小值分别为( )A.π6 ,π3 B.π3 ,π6 C.2π3 ,5π6D.π6 ,π12【解析】 函数f (x )的图象向左平移φ个单位得到函数g (x )＝sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋2φ＋π6的图象 ,向右平移φ个单位得函数h (x )＝sin ⎝⎛⎭⎫2x －2φ＋π6的图象 ,于是 ,2φ＋π6＝π2＋k π ,k ∈Z ,－2φ＋π6＝π2＋k π ,k ∈Z ,于是φ的最||小值分别为π6 ,π3.应选A. 【答案】 A3．定义在区间⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤－π 23π上的函数f (x )＝A sin(ωx ＋φ)(A >0 ,ω>0,0<φ≤π)的图象关于直线x ＝－π6对称 ,当x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π6 2π3时 ,f (x )的图象如图1-5-5所示．图1-5-5(1)求f (x )在⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤－π 23π上的解析式；(2)求方程f (x )＝22的解. 【导学号：70512021】 【解】 (1)由题图知：A ＝1 , T ＝4⎝⎛⎭⎫2π3－π6＝2π ,那么ω＝2πT＝1 , 在x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π62π3时 ,将⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫π6 1代入f (x )得 , f ⎝⎛⎭⎫π6＝sin ⎝⎛⎭⎫π6＋φ＝1 ,因为0<φ≤π ,所以φ＝π3,所以在x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π62π3时 ,f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎫x ＋π3. 同理在x ∈⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤－π －π6时 ,f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎫x －23π. 综上 ,f (x )＝⎩⎪⎪⎨⎪⎪⎧sin ⎝⎛⎭⎫x ＋π3 x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π62π3sin ⎝⎛⎭⎫x －23π x ∈⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤－π －π6.(2)由f (x )＝22在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π62π3内可得x 1＝5π12 ,x 2＝－π12. 因为y ＝f (x )关于x ＝－π6对称 ,有x 3＝－π4 ,x 4＝－3π4.那么f (x )＝22的解为－π4 ,－3π4 ,5π12 ,－π12.精品 "正版〞资料系列 ,由本公司独创 .旨在将 "人教版〞、〞苏教版 "、〞北师大版 "、〞华师大版 "等涵盖几乎所有版本的教材教案、课件、导学案及同步练习和检测题分享给需要的朋友 .本资源创作于2021年8月 ,是当前最||新版本的教材资源 .包含本课对应 内容 ,是您备课、上课、课后练习以及寒暑假预习的最||正确选择 .。

π π 4 已知 cosα＝5，α∈－2，0，求 cosα－4.
先根据条件求出 sinα 的值， 再根据公式求
π cosα－4
解析
π 4 ∵cosα＝5，α∈－2，0.
3 ∴sinα＝－5，
π π π cosα－4＝cosαcos4＋sinαsin4
6＋ 2 π π π π ＝cos3cos4＋sin3sin4＝ 4 .
答案
D
2．cos70° cos335° ＋sin110° sin25° 的值为( A．1 3 C. 2 2 B. 2 1 D. 2
)
解析
原式＝cos70° cos25° ＋sin70° sin25°
2 ＝cos(70° －25° )＝cos45° ＝ . 2
名 师 点 拨 对公式的理解 (1)上述公式中的 α、β 都是任意角． (2)公式的特点：公式左边是差角的余弦，公式右边的式子 含有同名弦函数之积的和 (差)式，可用口诀“余余、正正，号 相反”记忆公式． (3)要注意和(差)角的相对性， 掌握角的变化技巧， 如 2α＝(α ＋β)＋(α－β)，α＝(α＋β)－β，α＝(α－β)＋β 等．
5 3 ∴sin(α＋β)＝ 14 . ∴cosβ＝cos[(α＋β)－α] ＝cos(α＋β)cosα＋sin(α＋β)sinα 11 1 5 3 4 3 1 ＝－ × ＋ × ＝ . 14 7 14 7 2
答案 B
4 5 3．△ABC 中，cosA＝5，cosB＝13，则 cosC 的值为( 33 A．－65 16 C.65 33 B.65 16 D．－65
)
解析
4 5 ∵A、B 是△ABC 的内角，cosA＝5，cosB＝13.

7．在△ABC中，a,b，c分别为三内角A，B，C所对的边,若B＝2A，则b∶2a的取值范围是__________．
8．在△ABC中，若三角形的面积S＝ (a2＋b2－c2），则角C的大小为__________．
9．在△ABC中,a,b,c分别为内角A，B，C所对的边长， ， ，1＋2cos（B＋C)＝0，求边BC上的高．
A． B．
C． D．
4．在△ABC中，若 ，则△ABC的形状是（ ）．
A．直角三角形B．等腰三角形或直角三角形
C．不能确定D．等腰三角形
5．在△ABБайду номын сангаас中，内角A，B，C的对边分别是a，b,c，若a2－b2＝ bc,sinC＝ sinB，则A＝( ）．
A．30°B．60°C．120° D．150°
6．在△ABC中，周长是20，面积是 ，A＝60°，则BC边的长等于__________．
2.答案：B解析:设中间角为θ,它是长为7的边所对的角，则 ，θ＝60°，180°－60°＝120°为所求。
3。答案：A解析 ：c2＝a2＋b2－2abcosC＝42＋62－2×4×6×cos 120°＝76，∴ 。由 。
4.答案:B解析： ， ，sinAcosA＝sinBcosB，sin2A＝sin 2B，2A＝2B或2A＋2B＝π，
所以△ABC是等腰三角形或直角三角形。
5。答案:A解析：由sinC＝ sinB及正弦定理得c＝ b,代入 a2－b2＝ bc得a2－b2＝ b· b＝6b2,即a2＝7b2,又c2＝12b2，由余弦定理 ，所以A＝30°。
6.答案：7解析:由已知得a＋b＋c＝20， bcsin 60°＝ , ，解得b2＋c2－a2＝bc，从而(20－a）2－2bc－a2＝bc，把bc＝40代入得a＝7 。

高中数学必修4同步练习(2.1-2.2平面向量的概念及线性运算)(A 卷)姓名______班级______学号______ 一.选择题(每题5分)1.设b →是a →的相反向量,则下列说法错误的是( ) A .a →与b →的长度必相等 B .a bC .a →与b →一定不相等 D .a →是b →的相反向量2.已知一点O 到平行四边形ABCD 的三个顶点A 、B 、C 的向量分别为a →、b →、c →,则向量OD 等于( )A .a b c ++B .a b c -+C .a b c + -D .a b c--3.(如图)在平行四边形ABCD 中,下列正确的是( ).A .AB CD = B .AB AD BD -=C .AD AB AC += D .AD BC 0+=4.CO BO OC OA +++等于( ) A . B . C . D .5.化简++-的结果等于( ) A 、QP B 、OQ C 、 D 、SQ6.(如图)在正六边形ABCDEF 中,点O 为其中心,则下列判断错误的是( )A AB OC = B AB ∥DEC AD BE =D AD FC =7.下列等式中,正确的个数是( ) ①a b b a +=+ ②a b b a = --③0a a -=-④(a )a --= ⑤a (a )0+-=A .5B .4C .3D .28.在△ABC 中,AB a = ,AC b = ,如果a||b|=|, 那么△ABC 一定是( ). A .等腰三角形B .等边三角形 C .直角三角形D .钝角三角形9.在ABC ∆中,BC a = ,CA b =,则AB 等于( ) A .a b + B .(a b )-+C .a b -D .b a -10.已知a 、b 是不共线的向量,AB a b λ=+,AC a b μ=+(λ、R μ∈),当且仅当( )时, A 、B 、C 三点共线.()1A λμ+=()1B λμ-=()1C λμ=-()1D λμ=二.填空题(每题5分)11.把平面上一切单位向量归结到共同的始点,那么这些向量的终点所构成的图形是______12.ABCD 的两条对角线相交于点M ,且AB a,AD b ==,则MA =______,MB = ______,MC = ______,MD =______.13.已知向量a 和b不共线,实数x ,y 满足b y x a b a y x)2(54)2(-+=+-,则=+y x ______14.化简:①AB BC CD ++=______;②AB AD DC --=______;③()()AB CD AC BD ---= ______15.化简下列各式:(1)=++++______; (2)()()AB MB BO BC OM ++++=______.16.在ABCD 中,AB a,AD b ==,则AC = ______,DB =______.17.在四边形ABCD 中有AC AB AD =+,则它的形状一定是______18.已知四边形ABCD 中,1AB DC 2=,且AD BC= 则四边形ABCD 的形状是______.19.化简:=-++-)()(______.20.在△ABC 中,设BC a →=,CA b →=,则AB=______三.解答题(每题10分)21.某人从A 点出发向西走了10m ,到达B 点,然后改变方向按西偏北︒60走了15m 到达C 点,最后又向东走了10米到达D 点.(1)作出向量,,(用1cm 长线段代表10m 长);(2)求DACDA BN M22.如图,在梯形ABCD 中,对角线AC 和BD 交于点O ,E 、F 分别是AC 和BD 的中点,分别写出 (1)图中与EF 、CO 共线的向量;(2)与相等的向量.23.在直角坐标系中,画出下列向量:(1)a 2= ,a的方向与x 轴正方向的夹角为 60,与y轴正方向的夹角为 30;(2)a 4=,a的方向与x 轴正方向的夹角为 30,与y轴正方向的夹角为 120;(3)a =,a的方向与x 轴正方向的夹角为 135,与y 轴正方向的夹角为 135.14.已知,是不共线的两个向量，设μλ+=,且R ∈=+μλμλ，，1。

新人教A 版高中数学必修四全册课时练习任意角(建议用时：45分钟)[基础达标练]一、选择题1．角－870°的终边所在的象限是( ) A ．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限D ．第四象限C [－870°＝－3×360°＋210°，∴－870°是第三象限角，故选C .] 2．在－360°～0°范围内与角1 250°终边相同的角是( ) A ．170° B ．190° C ．－190°D ．－170°C [与1 250°角的终边相同的角为α＝1 250°＋k ·360°，k ∈Z ，因为－360°＜α＜0°，所以－16136＜k ＜－12536，因为k ∈Z ，所以k ＝－4，所以α＝－190°.]3．把－1 485°转化为α＋k ·360°(0°≤α＜360°，k ∈Z )的形式是( ) A ．45°－4×360° B ．－45°－4×360° C ．－45°－5×360°D ．315°－5×360°D [∵1 485°÷360°＝4.125，∴－1 485°＝－4×360°－45°或写成－1 485°＝－5×360°＋315°.∵0°≤α＜360°，故－1 485°＝315°－5×360°.] 4．若α＝k ·180°＋45°，k ∈Z ，则α所在象限是( ) A ．第一或第三象限 B ．第一或第二象限 C ．第二或第四象限D ．第三或第四象限A [当k ＝0时，α＝45°为第一象限角，当k ＝1时，α＝225°为第三象限角．] 5．已知角α＝45°，β＝315°，则角α与β的终边( ) A ．关于x 轴对称B ．关于y 轴对称C ．关于直线y ＝x 对称D ．关于原点对称A [α是第一象限角，β是第四象限角且45°＝0°＋45°与360°＋45°终边相同，315°＝360°－45°.]二、填空题6．若时针走过2小时40分，则分针走过的角是________．－960° [40分＝23小时，23×360°＝240°，因为时针按顺时针旋转，故形成负角，－360°×2－240°＝－960°.]7．与2 013°角的终边相同的最小正角是________，绝对值最小的角是________．213°－147°[与2 013°角的终边相同的角为2 013°＋k·360°(k∈Z)．当k＝－5时，213°为最小正角；当k＝－6时，－147°为绝对值最小的角．]8．若α，β两角的终边互为反向延长线，且α＝－120°，则β＝________．k·360°＋60°(k∈Z)[在0°～360°范围内与α＝－120°的终边互为反向延长线的角是60°，所以β＝k·360°＋60°(k∈Z)．]三、解答题9．已知角β的终边在直线3x－y＝0上．(1)写出角β的集合S；(2)写出集合S中适合不等式－360°＜β＜720°的元素．[解](1)因为角β的终边在直线3x－y＝0上，且直线3x－y＝0的倾斜角为60°，所以角β的集合S＝{β|β＝60°＋k·180°，k∈Z}．(2)在S＝{β|β＝60°＋k·180°，k∈Z}中，取k＝－2，得β＝－300°，取k＝－1，得β＝－120°，取k＝0，得β＝60°，取k＝1，得β＝240°，取k＝2，得β＝420°，取k＝3，得β＝600°.所以S中适合不等式－360°＜β＜720°的元素分别是－300°，－120°，60°，240°，420°，600°.10．已知集合A＝{α|k·180°＋45°＜α＜k·180°＋60°，k∈Z}，集合B＝{β|k·360°－55°＜β＜k·360°＋55°，k∈Z}．(1)在平面直角坐标系中，表示出角α终边所在区域；(2)在平面直角坐标系中，表示出角β终边所在区域；(3)求A∩B.[解](1)角α终边所在区域如图①所示．(2)角β终边所在区域如图②所示．图① 图②(3)由(1)(2)知A ∩B ＝{γ|k ·360°＋45°＜γ＜k ·360°＋55°，k ∈Z } .[能力提升练]1．角α与角β的终边关于y 轴对称，则α与β的关系为( ) A ．α＋β＝k ·360°，k ∈Z B ．α＋β＝k ·360°＋180°，k ∈Z C ．α－β＝k ·360°＋180°，k ∈Z D ．α－β＝k ·360°，k ∈ZB [法一：(特殊值法)令α＝30°，β＝150°，则α＋β＝180°.故α与β的关系为α＋β＝k ·360°＋180°，k ∈Z .法二：(直接法)因为角α与角β的终边关于y 轴对称，所以β＝180°－α＋k ·360°，k ∈Z ，即α＋β＝k ·360°＋180°，k ∈Z .]2．若角α满足180°<α<360°，角5α与α有相同的始边，且又有相同的终边，那么角α＝________．270° [由于5α与α的始边和终边相同，所以这两角的差应是360°的整数倍，即5α－α＝4α＝k ·360°.又180°<α<360°，令k ＝3，得α＝270°.]弧度制(建议用时：45分钟)[基础达标练]一、选择题1．下列说法中，错误的是( )A ．“度”与“弧度”是度量角的两种不同的度量单位B ．1°的角是周角的1360，1 rad 的角是周角的12πC ．1 rad 的角比1°的角要大D ．用角度制和弧度制度量角，都与圆的半径有关D [ 无论是角度制度量角还是弧度制度量角，都与圆的半径没有关系．] 2.29π6是( )A ．第一象限角B ．第二象限角C ．第三象限角D ．第四象限角B [29π6＝4π＋5π6.∵56π是第二象限角，∴29π6是第二象限角．]3．在0到2π范围内，与角－4π3终边相同的角是( )A ．π6B ．π3C ．2π3D ．4π3C [与角－4π3终边相同的角是2k π＋⎝ ⎛⎭⎪⎫－4π3，k ∈Z ，令k ＝1，可得与角－4π3终边相同的角是2π3，故选C.]4．下列表示中不正确的是( )A ．终边在x 轴上角的集合是{α|α＝k π，k ∈Z }B ．终边在y 轴上角的集合是⎩⎨⎧α⎪⎪⎪⎭⎬⎫α＝π2＋k π，k ∈Z C ．终边在坐标轴上角的集合是⎩⎨⎧α⎪⎪⎪⎭⎬⎫α＝k π2，k ∈ZD ．终边在直线y ＝x 上角的集合是⎩⎨⎧α⎪⎪⎪⎭⎬⎫α＝π4＋2k π，k ∈ZD [对于A ，终边在x 轴上角的集合是{α|}α＝k π，k ∈Z ，故A 正确；对于B ，终边在y 轴上的角的集合是⎩⎨⎧α⎪⎪⎪⎭⎬⎫α＝π2＋k π，k ∈Z ，故B 正确；对于C ，终边在x 轴上的角的集合为{α|}α＝k π，k ∈Z ，终边在y 轴上的角的集合为⎩⎨⎧α⎪⎪⎪⎭⎬⎫α＝π2＋k π，k ∈Z ， 故合在一起即为{α|}α＝k π，k ∈Z ∪⎩⎨⎧α⎪⎪⎪⎭⎬⎫α＝π2＋k π，k ∈Z ＝⎩⎨⎧α⎪⎪⎪⎭⎬⎫α＝k π2，k ∈Z ，故C 正确；对于D ，终边在直线y ＝x 上的角的集合是⎩⎨⎧α⎪⎪⎪⎭⎬⎫α＝π4＋k π，k ∈Z ，故D 不正确．]5．已知扇形的弧长是4 cm ，面积是2 cm 2，则扇形的圆心角的弧度数是( ) A ．1 B ．2 C ．4D ．1或4C [因为扇形的弧长为4 cm ，面积为2 cm 2， 所以扇形的面积为12×4×r ＝2，解得r ＝1(cm)，则扇形的圆心角的弧度数为41＝4.故选C.]二、填空题6．把角－274π用角度制表示为________．－1 215° [－274π＝－274×180°＝－1 215°.]7．在△ABC 中，若A ∶B ∶C ＝3∶5∶7，则角A ，B ，C 的弧度数分别为______________． π5，π3，7π15 [因为A ＋B ＋C ＝π， 又A ∶B ∶C ＝3∶5∶7，所以A ＝3π3＋5＋7＝π5，B ＝5π3＋5＋7＝π3，C ＝7π15.]8．圆的一段弧长等于该圆外切正三角形的外边，则这段弧所对圆心角的弧度数是________．2 3 [设圆的半径为r ，外切正三角形边长为a ，则32a ×13＝r ，则r ＝36a ，又弧长为a ，所以圆心角为：ar＝a36a ＝63＝2 3.]三、解答题9．已知角α＝2 010°.(1)将α改写成β＋2k π(k ∈Z ，0≤β＜2π)的形式，并指出α是第几象限的角； (2)在区间[－5π，0)上找出与α终边相同的角． [解] (1)2 010°＝2 010×π180＝67π6＝5×2π＋7π6.又π＜7π6＜3π2，∴α与7π6终边相同，是第三象限的角．(2)与α终边相同的角可以写成γ＝7π6＋2k π(k ∈Z )，又－5π≤γ＜0，∴当k ＝－3时，γ＝－296π；当k ＝－2时，γ＝－176π；当k ＝－1时，γ＝－56π.∴在区间[－5π，0)上与α终边相同的角为－296π，－176π，－56π.10．已知半径为10的圆O 中，弦AB 的长为10. (1)求弦AB 所对的圆心角α的大小；(2)求α所在的扇形的弧长l 及弧所在的弓形的面积S . [解] (1)由⊙O 的半径r ＝10＝AB ， 知△AOB 是等边三角形， ∴α＝∠AOB ＝60°＝π3.(2)由(1)可知α＝π3，r ＝10，∴弧长l ＝α·r ＝π3×10＝10π3，∴S 扇形＝12lr ＝12×10π3×10＝50π3，而S △AOB ＝12·AB ·53＝12×10×53＝253，∴S ＝S 扇形－S △AOB ＝25⎝⎛⎭⎪⎫2π3－3.[能力提升练]1．若角α与角x ＋π4有相同的终边，角β与角x －π4有相同的终边，那么α与β间的关系为( )A ．α＋β＝0B ．α－β＝0C ．α＋β＝2k π(k ∈Z )D ．α－β＝π2＋2k π(k ∈Z )D [∵α＝2k 1π＋x ＋π4，β＝2k 2π＋x －π4(k 1，k 2∈Z )，∴α－β＝2(k 1－k 2)π＋π2，也即α－β＝π2＋2k π(k ∈Z )．]2．已知集合A ＝{x |2k π≤x ≤2k π＋π，k ∈Z }，集合B ＝{x |－4≤x ≤4}，则A ∩B ＝________________．[－4，－π]∪[0，π] [如图所示，∴A ∩B ＝[－4，－π]∪[0，π]．]任意角的三角函数(建议用时：60分钟)[基础达标练]一、选择题1．sin(－1 380°)的值为( ) A ．－12B ．12C ．－32D ．32D [sin(－1 380°)＝sin(－4×360°＋60°)＝sin 60°＝32.] 2．如果角α的终边过点P (2sin 30°，－2cos 30°)，则sin α的值等于( ) A ．12 B ．－12C ．－32D ．－33C [sin 30°＝12，cos 30°＝32，∴P 点坐标为(1，－3)，r ＝12＋（－3）2＝2，∴sin α＝－32.] 3．已知角α的终边在函数y ＝－|x |的图象上，则cos α的值为( ) A ．22B ．－22C ．22或－22D ．12C [由y ＝－|x |的图象知，α的终边落在第三、四象限的角平分线上，当α终边落在第三象限时，cos α＝－22；当α终边落在第四象限时，cos α＝22.] 4．θ是第二象限角，则下列选项中一定为正值的是( ) A ．sin θ2B ．cos θ2C ．tan θ2D ．cos 2θC [∵θ是第二象限角，则θ2一定是第一或第三象限角，这时tan θ2一定为正值，故选C.]5．某点从(1，0)出发，沿单位圆x 2＋y 2＝1按逆时针方向运动2π3弧长到达Q 点，则Q 点的坐标为( )A ．⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，32 B ．⎝ ⎛⎭⎪⎫－32，－12 C ．⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，－32D ．⎝⎛⎭⎪⎫－32，12 A [点(1，0)在x 轴正半轴，由题意可知，θ一定在α＝2π3的终边上，∵OQ ＝1，∴Q 点的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫cos 2π3，sin 2π3即⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，32.] 二、填空题6．在平面直角坐标系中，以x 轴的非负半轴为角的始边，如果角α，β的终边分别与单位圆交于点⎝ ⎛⎭⎪⎫513，1213和⎝ ⎛⎭⎪⎫－35，45，那么sin α·tan β＝ ．－1613[由任意角的正弦、正切函数的定义知 sin α＝1213，tan β＝45－35＝－43，所以sin α·tan β＝1213×⎝ ⎛⎭⎪⎫－43＝－1613.]7．点P (tan 2 018°，cos 2 018°)位于第 象限． 四 [因为2 018°＝5×360°＋218°， 所以2 018°与218°终边相同，是第三象限角， 所以tan 2 018°＞0，cos 2 018°＜0， 所以点P 位于第四象限．]8．已知角α的终边经过点P (x ，－6)且cos α＝－45，则x ＝ ．－8 [因为|OP |＝x 2＋（－6）2＝x 2＋36， 所以cos α＝xx 2＋36，又cos α＝－45，所以xx 2＋36＝－45，整理得x ＝－8.]三、解答题 9．化简下列各式：(1)sin 72π＋cos 52π＋cos(－5π)＋tan π4；(2)a 2sin 810°－b 2cos 900°＋2ab tan 1 125°. [解] (1)原式＝sin 32π＋cos π2＋cos π＋1＝－1＋0－1＋1＝－1.(2)原式＝a 2sin 90°－b 2cos 180°＋2ab tan 45°＝a 2＋b 2＋2ab ＝(a ＋b )2. 10．已知1|sin α|＝－1sin α，且lg cos α有意义．(1)试判断角α的终边所在的象限；(2)若角α的终边上一点M ⎝ ⎛⎭⎪⎫35，m ，且|OM |＝1(O 为坐标原点)，求m 的值及sin α的值．[解] (1)由1|sin α|＝－1sin α，可知sin α<0.由lg cos α有意义，可知cos α>0， ∴角α的终边在第四象限．(2)∵|OM |＝1，∴⎝ ⎛⎭⎪⎫352＋m 2＝1，解得m ＝±45.又α是第四象限角，故m <0，从而m ＝－45.由正弦函数的定义可知 sin α＝y r ＝m |OM |＝－451＝－45.[能力提升练]1．函数y ＝sin x ＋－cos x 的定义域是( ) A ．(2k π，2k π＋π)，k ∈Z B ．⎣⎢⎡⎦⎥⎤2k π＋π2，2k π＋π，k ∈Z C ．⎣⎢⎡⎦⎥⎤k π＋π2，k π＋π，k ∈Z D ．[]2k π，2k π＋π，k ∈ZB [由sin x ≥0，－cos x ≥0，得x 为第二象限角或y 轴正半轴上的角或x 轴负半轴上的角，所以2k π＋π2≤x ≤2k π＋π，k ∈Z .]2．若角α满足sin α·cos α＜0，cos α－sin α＜0，则α在( )A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限B [由sin α·cos α＜0知α是第二或第四象限角，由cos α－sin α＜0，得cos α＜sin α，所以α是第二象限角．]3．已知角α的终边过点(－3cos θ，4cos θ)，其中θ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，π，则cos α＝ ．35 [因为θ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，π，所以cos θ＜0，r ＝（－3cos θ）2＋（4cos θ）2＝5|cos θ|＝－5cos θ，所以cos α＝－3cos θ－5cos θ＝35.]4．函数y ＝|cos x |cos x ＋tan x|tan x |的值域为 ．{－2，0，2} [已知函数的定义域为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ∈R ⎪⎪⎪x ≠k π2，k ∈Z ，即角x 的终边不能落在坐标轴上，当x 是第一象限角时，cos x ＞0，tan x ＞0，y ＝cos x cos x ＋tan xtan x ＝1＋1＝2；当x 是第二象限角时，cos x ＜0，tan x ＜0，y ＝－cos x cos x ＋－tan xtan x ＝－1－1＝－2；当x 是第三象限角时，cos x ＜0，tan x ＞0，y ＝－cos x cos x ＋tan xtan x ＝－1＋1＝0；当x 是第四象限角时，cos x ＞0，tan x ＜0，y ＝cos x cos x ＋－tan xtan x ＝1－1＝0.综上知原函数的值域是{－2，0，2}．] 5．已知sin θ＜0，tan θ＞0. (1)求角θ的集合； (2)求θ2的终边所在的象限；(3)试判断sin θ2cos θ2tan θ2的符号．[解] (1)因为sin θ＜0，所以θ为第三、四象限角或在y 轴的负半轴上， 因为tan θ＞0，所以θ为第一、三象限角，所以θ为第三象限角，θ角的集合为⎩⎨⎧⎭⎬⎫θ⎪⎪⎪2k π＋π＜θ＜2k π＋3π2，k ∈Z .(2)由(1)可得，k π＋π2＜θ2＜k π＋3π4，k ∈Z .当k 是偶数时，θ2终边在第二象限；当k 是奇数时，θ2终边在第四象限．(3)由(2)可得当k 是偶数时，sin θ2＞0，cos θ2＜0，tan θ2＜0，所以sin θ2cos θ2tan θ2＞0；当k 是奇数时sin θ2＜0，cos θ2＞0，tan θ2＜0，所以sin θ2cos θ2tan θ2＞0.综上知，sin θ2cos θ2tan θ2＞0.三角函数及其应用(建议用时：45分钟)[基础达标练]一、选择题1．对三角函数线，下列说法正确的是( ) A ．对任意角都能作出正弦线、余弦线和正切线 B ．有的角的正弦线、余弦线和正切线都不存在C ．任意角的正弦线、正切线总是存在的，但余弦线不一定存在D ．任意角的正弦线、余弦线总是存在的，但正切线不一定存在D [终边在y 轴上的角的正切线不存在，故A ，C 错，对任意角都能作正弦线、余弦线，故B 错，因此选D .]2．有三个命题：①π6和5π6的正弦线长度相等；②π3和4π3的正切线相同；③π4和5π4的余弦线长度相等．其中正确说法的个数为( )A ．1B ．2C ．3D ．0C [π6和5π6的正弦线关于y 轴对称，长度相等；π3和4π3两角的正切线相同；π4和5π4的余弦线长度相等．故①②③都正确，故选C.]3．角α(0＜α＜2π)的正弦线、余弦线的长度相等，且正弦、余弦符号相异，那么α的值为( )A ．π4B ．3π4C ．7π4D ．3π4或7π4D [由已知得角α的终边应落在直线y ＝－x 上， 又0＜α＜2π，所以α＝3π4或7π4.]4．cos 1，cos 2，cos 3的大小关系是( ) A ．cos 1＞cos 2＞cos 3 B ．cos 1＞cos 3＞cos 2 C ．cos 3＞cos 2＞cos 1D ．cos 2＞cos 1＞cos 3A [作出已知三个角的余弦线(如图)，观察图形可知cos 1＞0＞cos 2＞cos 3.] 5．使sin x ≤cos x 成立的x 的一个区间是( )A ．⎣⎢⎡⎦⎥⎤－3π4，π4B ．⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π2，π2C ．⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π4，3π4 D ．[0，π]A [如图，画出三角函数线sin x ＝MP ，cos x ＝OM ，由于sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫－3π4＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫－3π4， sin π4＝cos π4，为使sin x ≤cos x 成立，由图可得在[－π，π]范围内，－3π4≤x ≤π4.]二、填空题6．已知θ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π4，π2，在单位圆中角θ的正弦线、余弦线、正切线分别是MP ，OM ，AT ，则它们从大到小的顺序为 ．AT>MP>OM [如图：因为θ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π4，π2，所以θ>π4，根据三角函数线的定义可知AT >MP >OM .]7．利用三角函数线写出满足tan x ＜3且x ∈(0，2π)的x 的取值范围为 ． ⎝⎛⎭⎪⎫0，π3∪⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，4π3 [由tanx ＜3得k π－π2＜x ＜k π＋π3(k ∈Z )，又∵x ∈(0，2π)， ∴x 的取值范围为⎝⎛⎭⎪⎫0，π3∪⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，4π3.]8．函数y ＝2cos x －1的定义域为 ．⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π3＋2k π，π3＋2k π(k ∈Z ) [因为2cos x －1≥0，所以cos x ≥12.如图：作出余弦值等于12的角：－π3和π3，在图中所示的阴影区域内的每一个角x ，其余弦值均大于或等于12，因而满足cos x ≥12的角的集合为⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π3＋2k π，π3＋2k π(k ∈Z )．所以函数定义域为⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π3＋2k π，π3＋2k π(k ∈Z )．]三、解答题9．已知－12≤sin θ＜32，利用单位圆中的三角函数线，确定角θ的范围．[解] 画出三角函数线如图．由图可知角θ的范围是⎩⎨⎧θ⎪⎪⎪⎭⎬⎫2k π－π6≤θ＜2k π＋π3或2k π＋2π3＜α≤2k π＋7π6，k ∈Z . 10．求下列函数的定义域： (1)f (x )＝sin x ·tan x ； (2)f (x )＝lg sin x ＋9－x 2. [解] (1)∵要使函数f (x )有意义，∴sin x ·tan x ≥0，∴sin x 与tan x 同号或sin x ·tan x ＝0， 故x 是第一、四象限的角或终边在x 轴上的角． ∴函数的定义域为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |2k π－π2＜x ＜2k π＋π2或x ＝（2k ＋1）π，k ∈Z .(2)由题意，要使f (x )有意义，则⎩⎪⎨⎪⎧sin x ＞0，9－x 2≥0. 由sin x ＞0得2k π＜x ＜2k π＋π(k ∈Z )， ① 由9－x 2≥0得－3≤x ≤3，②由①②得：f (x )的定义域为{x |0＜x ≤3}．[能力提升练]1．在(0，2π)内，使得|sin x |＞|cos x |成立的x 的取值范围是( ) A ．⎝ ⎛⎭⎪⎫π4，π2∪⎝⎛⎭⎪⎫π，5π4B ．⎝ ⎛⎭⎪⎫π4，πC ．⎝ ⎛⎭⎪⎫π4，3π4∪⎝ ⎛⎭⎪⎫5π4，7π4D ．⎝ ⎛⎭⎪⎫π4，π2∪⎝ ⎛⎭⎪⎫5π4，3π2C [|sin x |＞|cos x |可转化为x 的正弦线的长度大于余弦线的长度，观察图形可知：在(0，2π)内，使得|sin x |＞|cos x |成立的x 的取值范围是⎝ ⎛⎭⎪⎫π4，3π4∪⎝ ⎛⎭⎪⎫5π4，7π4.]2．点P (sin 3－cos 3，sin 3＋cos 3)所在的象限为( ) A ．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限D ．第四象限D [∵56π＜3＜π，作出单位圆如图所示．设MP ，OM 分别为a ，b . sin 3＝a ＞0，cos 3＝b ＜0， 所以sin 3－cos 3＞0. 因为|MP |＜|OM |，即|a |＜|b |， 所以sin 3＋cos 3＝a ＋b ＜0.故点P (sin 3－cos 3，sin 3＋cos 3)在第四象限．]同角三角函数的基本关系(建议用时：45分钟)[基础达标练]一、选择题1．已知α是第三象限角，且sin α＝－13，则3cos α＋4tan α＝( )A ．－ 2B ． 2C ．－ 3D ． 3A [因为α是第三象限角，且sin α＝－13，所以cos α＝－1－sin 2α＝－1－⎝ ⎛⎭⎪⎫－132＝－223， 所以tan α＝sin αcos α＝122＝24，所以3cos α＋4tan α＝－22＋2＝－ 2.] 2．化简sin 2α＋cos 4α＋sin 2αcos 2α的结果是( ) A ．14 B ．12 C ．1 D ．32C [原式＝sin 2α＋cos 2α(cos 2α＋sin 2α)＝sin 2α＋cos 2α＝1.]3．若α是三角形的一个内角，且sin α＋cos α＝23，则这个三角形是( )A ．正三角形B ．直角三角形C ．锐角三角形D ．钝角三角形D [sin α＋cos α＝23得1＋2sin αcos α＝49，所以sin αcos α＝－518＜0，又因α∈(0，π)，所以α为钝角，故三角形为钝角三角形．]4.⎝ ⎛⎭⎪⎫tan x ＋1tan x cos 2x 等于( ) A ．tan x B ．sin x C ．cos x D ．1tan xD [原式＝⎝⎛⎭⎪⎫sin x cos x ＋cos x sin x ·cos 2x＝sin 2x ＋cos 2x sin x cos x ·cos 2x ＝1sin x cos x ·cos 2x ＝cos x sin x ＝1tan x.]5．已知sin θ＋cos θ＝43⎝ ⎛⎭⎪⎫0＜θ＜π4，则sin θ－cos θ的值为( )A ．23B ．－23C ．13D ．－13B [因为sin θ＋cos θ＝43⎝ ⎛⎭⎪⎫0＜θ＜π4，所以两边平方可得：1＋2sin θcos θ＝169，即sin θ·cos θ＝718，所以(sin θ－cos θ)2＝1－2sin θcos θ＝1－79＝29，又因为0＜θ＜π4，所以sin θ＜cos θ，所以sin θ－cos θ＜0，所以sin θ－cos θ＝－23，故应选B .]二、填空题 6．化简11＋tan 220°的结果是 ．cos 20° [11＋tan 220°＝11＋sin 220°cos 220°＝1cos 220°＋sin 220°cos 220°＝11cos 220°＝|cos 20°|＝cos 20°.] 7．已知sin αcos α＝12，则sin α－cos α＝ ．0 [(sin α－cos α)2＝1－2sin αcos α＝1－2×12＝0，∴sin α－cos α＝0.]8．已知tan α＝2，则4sin 2α－3sin αcos α－5cos 2α＝ ． 1 [4sin 2α－3sin αcos α－5cos 2α ＝4sin 2α－3sin αcos α－5cos 2αsin 2α＋cos 2α ＝4tan 2α－3tan α－5tan 2α＋1 ＝4×4－3×2－54＋1＝55＝1.]三、解答题 9．化简下列各式： (1)sin α1＋sin α－sin α1－sin α； (2)⎝⎛⎭⎪⎫1sin α＋1tan α(1－cos α)．[解] (1)原式＝sin α（1－sin α）－sin α（1＋sin α）（1＋sin α）（1－sin α）＝－2sin 2α1－sin 2α＝－2sin 2αcos 2α＝－2tan 2α.(2)原式＝⎝⎛⎭⎪⎫1sin α＋cos αsin α(1－cos α) ＝1＋cos αsin α(1－cos α)＝sin 2αsin α＝sin α.10．已知2cos 2α＋3cos αsin α－3sin 2α＝1，α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫－3π2，－π.求：(1)tan α；(2)2sin α－3cos α4sin α－9cos α. [解] (1)2cos 2α＋3cos αsin α－3sin 2α ＝2cos 2α＋3cos αsin α－3sin 2αsin 2α＋cos 2α＝2＋3tan α－3tan 2αtan 2α＋1＝1， 即4tan 2α－3tan α－1＝0， 解得tan α＝－14或tan α＝1.∵α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫－3π2，－π，∴α为第二象限角， ∴tan α＜0，∴tan α＝－14.(2)原式＝2tan α－34tan α－9＝720.[能力提升练]1.1－2sin 10°cos 10°sin 10°－1－sin 210°的值为( ) A ．1 B ．－1 C ．sin 10°D ．cos 10°B [1－2sin 10°cos 10°sin 10°－1－sin 210° ＝（cos 10°－sin 10°）2sin 10°－cos 210°＝|cos 10°－sin 10°|sin 10°－cos 10°＝cos 10°－sin 10°sin 10°－cos 10°＝－1.]2．已知sin θ，cos θ是方程2x 2－mx ＋1＝0的两根，则sin θ1－1tan θ＋cos θ1－tan θ＝ ．±2 [sin θ1－1tan θ＋cos θ1－tan θ＝sin θ1－cos θsin θ＋cos θ1－sin θcos θ＝sin 2θsin θ－cos θ＋cos 2θcos θ－sin θ＝sin 2θ－cos 2θsin θ－cos θ＝sin θ＋cos θ，又因为sin θ，cos θ是方程2x 2－mx ＋1＝0的两根，所以由根与系数的关系得sin θcos θ＝12，则(sin θ＋cos θ)2＝1＋2sinθcos θ＝2，所以sin θ＋cos θ＝± 2.]三角函数的诱导公式（1）(建议用时：45分钟)[基础达标练]一、选择题1．已知sin(π＋θ)＝45，则角θ的终边在( )A ．第一或第二象限B ．第二或第三象限C ．第一或第四象限D ．第三或第四象限D [sin(π＋θ)＝－sin θ＝45，∴sin θ＝－45＜0，所以θ为第三或第四象限角．]2．sin 2(2π－α)＋cos(π＋α)cos(π－α)＋1的值是( ) A ．1 B ．2 C ．0 D ．－1 B [原式＝sin 2α＋(－cos α)·(－cos α)＋1 ＝sin 2α＋cos 2α＋1＝1＋1＝2.]3．已知600°角的终边上有一点P (a ，－3)，则a 的值为( ) A ． 3 B ．－ 3 C.33 D ．－33B [由题意得tan 600°＝－3a，又因为tan 600°＝tan(360°＋240°) ＝tan 240°＝tan(180°＋60°) ＝tan 60°＝3，所以－3a＝3，所以a ＝－ 3.]4．已知点(－4，3)是角α终边上的一点，则sin(π－α)＝( ) A ．35 B ．－35 C ．－45 D ．45A [x ＝－4，y ＝3，∴r ＝（－4）2＋32＝5，∴sin(π－α)＝sin α＝y r ＝35.故选A.]5．已知sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α－π4＝32，则sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫5π4－α的值为( ) A ．12 B ．－12 C ．32 D ．－32 C [sin ⎝⎛⎭⎪⎫5π4－α＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π＋π4－α＝－sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－α ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α－π4＝32.]二、填空题6．若P (－4，3)是角α终边上一点，则cos （α－3π）·tan （α－2π）sin 2（π－α）的值为________． －53 [由条件可知sin α＝35，cos α＝－45，tan α＝－34， ∴cos （α－3π）·tan （α－2π）sin 2（π－α）＝－cos α·tan αsin 2α＝－sin αsin 2α＝－1sin α＝－53.] 7．已知cos(508°－α)＝1213，则cos(212°＋α)＝________．1213[由于cos(508°－α)＝cos(360°＋148°－α) ＝cos(148°－α)＝1213，所以cos(212°＋α)＝cos(360°＋α－148°) ＝cos(α－148°)＝cos(148°－α)＝1213.]8．已知sin(α＋π)＝45，且sin αcos α＜0，则2sin （α－π）＋3tan （3π－α）4cos （α－3π）＝________．－73 [因为sin(α＋π)＝－sin α＝45， 且sin αcos α＜0，所以sin α＝－45，cos α＝35，tan α＝－43，所以2sin （α－π）＋3tan （3π－α）4cos （α－3π）＝－2sin α－3tan α－4cos α＝85＋4－4×35＝－73.] 三、解答题 9．化简下列各式：(1)sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫－193πcos 76π；(2)sin(－960°)cos 1 470°－cos(－240°)sin(－210°)．[解] (1)sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫－193πcos 76π＝－sin ⎝⎛⎭⎪⎫6π＋π3cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π＋π6＝sin π3cos π6＝34. (2)sin(－960°)cos 1 470°－cos(－240°)sin(－210°) ＝－sin(180°＋60°＋2×360°)cos(30°＋4×360°)＋ cos(180°＋60°)sin(180°＋30°) ＝sin 60°cos 30°＋cos 60°sin 30°＝1.10．已知f (α)＝sin （π＋α）cos （2π－α）tan （－α）tan （－π－α）sin （－π－α）.(1)化简f (α)；(2)若α是第三象限角，且sin(α－π)＝15，求f (α)的值；(3)若α＝－31π3，求f (α)的值．[解] (1)f (α)＝－sin αcos α（－tan α）（－tan α）sin α＝－cos α.(2)∵sin(α－π)＝－sin α＝15，∴sin α＝－15.又α是第三象限角，∴cos α＝－265，∴f (α)＝265.(3)∵－31π3＝－6×2π＋5π3，∴f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－31π3＝－cos ⎝⎛⎭⎪⎫－6×2π＋5π3＝－cos 5π3＝－cos π3＝－12.[能力提升练]1．已知a ＝tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫－7π6，b ＝cos 23π4，c ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫－33π4，则a ，b ，c 的大小关系是( )A ．a ＞b ＞cB ．b ＞a ＞cC ．b ＞c ＞aD ．c ＞a ＞bB [a ＝－tan 7π6＝－tan π6＝－33，b ＝cos ⎝⎛⎭⎪⎫6π－π4＝cos π4＝22， c ＝－sin33π4＝－sin π4＝－22， ∴b ＞a ＞c .]2．已知f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧sin πx （x ＜0），f （x －1）－1（x ＞0），则f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－116＋f ⎝ ⎛⎭⎪⎫116的值为________．－2 [f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－116＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫－11π6＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫－2π＋π6＝sin π6＝12，f ⎝ ⎛⎭⎪⎫116＝f ⎝⎛⎭⎪⎫116－1－1＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫56－1＝f ⎝⎛⎭⎪⎫56－1－2 ＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－16－2 ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫－π6－2＝－sin π6－2＝－12－2＝－52， 所以f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－116＋f ⎝ ⎛⎭⎪⎫116＝12－52＝－2.]三角函数的诱导公式（2）(建议用时：45分钟)[基础达标练]一、选择题1．若sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＋θ＜0，且cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－θ＞0，则θ是( ) A ．第一象限角 B ．第二象限角 C ．第三象限角D ．第四象限角B [sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＋θ＝cos θ＜0，且cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－θ＝sin θ＞0， ∴θ为第二象限角．]2．若sin(3π＋α)＝－12，则cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫7π2－α等于( )A ．－12B ．12C ．32D ．－32A [∵sin(3π＋α)＝－sin α＝－12，∴sin α＝12.∴cos ⎝⎛⎭⎪⎫7π2－α＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫3π2－α＝－cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－α ＝－sin α＝－12.]3．已知sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α－π4＝13，则cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋α等于( ) A ．－13 B ．13 C ．223 D ．－223A [cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋α＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫α－π4＋π2＝－sin ⎝⎛⎭⎪⎫α－π4＝－13.故选A.]4．若sin(180°＋α)＋cos(90°＋α)＝－a ，则cos(270°－α)＋2sin(360°－α)的值是( )A ．－2a 3B ．－3a 2C ．2a 3D ．3a2B [由sin(180°＋α)＋cos(90°＋α)＝－a ， 得－sin α－sin α＝－a ，即sin α＝a2，cos(270°－α)＋2sin(360°－α) ＝－sin α－2sin α＝－3sin α＝－32a .]5．化简：sin （θ－5π）cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫－π2－θcos （8π－θ）sin ⎝⎛⎭⎪⎫θ－3π2sin （－θ－4π）＝( )A ．－sin θB ．sin θC ．cos θD ．－cos θA [原式＝sin （θ－π）cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＋θcos （－θ）cos θsin （－θ）＝（－sin θ）（－sin θ）cos θcos θ（－sin θ）＝－sin θ.]二、填空题6．(2019·天一大联考)在平面直角坐标系xOy 中，角α的终边经过点P (3，4)，则sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α－2 019π2＝________． 35 [∵角α的终边经过点P (3，4)，∴sin α＝45，cos α＝35，∴sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α－2 019π2＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－α＝cos α＝35.]7．化简sin(π＋α)cos ⎝⎛⎭⎪⎫3π2＋α＋sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＋αcos(π＋α)＝________．－1 [原式＝(－sin α)·sin α＋cos α·(－cos α) ＝－sin 2α－cos 2α＝－1.]8．已知函数f (x )＝2cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π12，x ∈R .若cos θ＝35，θ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫3π2，2π，则f ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ－5π12＝________．－425 [由f (x )＝2cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π12得f ⎝⎛⎭⎪⎫θ－5π12＝2cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ－5π12－π12＝2cos ⎝⎛⎭⎪⎫θ－π2＝2sin θ.又∵cos θ＝35，θ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫3π2，2π，∴sin θ＝－45，故f ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ－5π12＝－425.]三、解答题9．已知角α的终边经过点P ⎝ ⎛⎭⎪⎫45，－35.(1)求sin α的值；(2)求sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－αtan （α－π）sin （α＋π）cos （3π－α）的值．[解] (1)因为点P ⎝ ⎛⎭⎪⎫45，－35，所以|OP |＝1，sin α＝－35.(2)sin ⎝⎛⎭⎪⎫π2－αtan （α－π）sin （α＋π）cos （3π－α） ＝cos αtan α－sin α（－cos α）＝1cos α，由三角函数定义知cos α＝45，故所求式子的值为54.10．求证：2sin ⎝⎛⎭⎪⎫θ－3π2cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ＋π2－11－2sin 2θ＝tan （9π＋θ）＋1tan （π＋θ）－1. [证明] 左边＝－2cos θ·sin θ－1sin 2θ＋cos 2θ－2sin 2θ ＝－（sin θ＋cos θ）2（cos θ＋sin θ）（cos θ－sin θ） ＝sin θ＋cos θsin θ－cos θ，右边＝tan ·（8π＋π＋θ）＋1tan （π＋θ）－1＝tan （π＋θ）＋1tan （π＋θ）－1＝tan θ＋1tan θ－1＝sin θcos θ＋1sin θcos θ－1＝sin θ＋cos θsin θ－cos θ， 所以左边＝右边， 所以等式成立．[能力提升练]1．计算sin 21°＋sin 22°＋sin 23°＋…＋sin 289°＝( ) A ．89 B ．90 C ．892D ．45C [原式＝(sin 21°＋sin 289°)＋(sin 22°＋sin 288°)＋…＋(sin 244°＋sin 246°)＋sin 245°＝44＋12＝892.]2．已知f (α)＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＋αsin ⎝ ⎛⎭⎪⎫3π2－αcos （－π－α）tan （π－α），则f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－26π3的值为________．－12 [f (α)＝（－sin α）·（－cos α）（－cos α）·（－tan α）＝sin αcos αsin α＝cos α，所以f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－26π3＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫－263π＝cos 263π＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫9π－π3＝－cos π3＝－12.]正弦函数余弦函数的图像(建议用时：60分钟)[基础达标练]一、选择题1．用“五点法”作y ＝sin 2x 的图象时，首先描出的五个点的横坐标是( ) A ．0，π2，π，3π2，2πB ．0，π4，π2，3π4，πC ．0，π，2π，3π，4πD ．0，π6，π3，π2，2π3B [令2x ＝0，π2，π，3π2，2π可得x ＝0，π4，π2，3π4，π，故选B.]2．若点M ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，－m 在函数y ＝sin x 的图象上，则m 等于( ) A ．0 B ．1 C ．－1 D ．2 C [当x ＝π2时，y ＝sin π2＝1，故－m ＝1，m ＝－1.]3．已知f (x )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π2，g (x )＝cos ⎝⎛⎭⎪⎫x －π2，则f (x )的图象( )A ．与g (x )的图象相同B ．与g (x )的图象关于y 轴对称C ．向左平移π2个单位，得g (x )的图象D ．向右平移π2个单位，得g (x )的图象D [f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫x ＋π2，g (x )＝cos ⎝⎛⎭⎪⎫x －π2＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－x ＝sin x ， f (x )图象向右平移π2个单位得到g (x )图象．]4.如图是下列哪个函数的图象( )A ．y ＝1＋sin x ，x ∈[0，2π]B ．y ＝1＋2sin x ，x ∈[0，2π]C ．y ＝1－sin x ，x ∈[0，2π]D ．y ＝1－2sin x ，x ∈[0，2π]C [根据图象上特殊点进行验证，可知C 正确．]5．将余弦函数y ＝cos x 的图象向右至少平移m 个单位，可以得到函数y ＝－sin x 的图象，则m ＝( )A ．π2B ．πC ．3π2D ．3π4C [根据诱导公式得，y ＝－sin x ＝cos ⎝⎛⎭⎪⎫3π2－x ＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －3π2，故欲得到y ＝－sin x的图象，需将y ＝cos x 的图象向右至少平移3π2个单位长度．]二、填空题6．用“五点法”作函数y ＝1－cos x ，x ∈[0，2π]的图象时，应取的五个关键点分别是______________．(0，0)，⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，1，(π，2)，⎝ ⎛⎭⎪⎫3π2，1，(2π，0) [x 依次取0，π2，π，3π2，2π得五个关键点(0，0)，⎝⎛⎭⎪⎫π2，1，(π，2)，⎝ ⎛⎭⎪⎫3π2，1，(2π，0)．]7．函数y ＝1＋sin x ，x ∈[0，2π]的图象与直线y ＝32的交点个数是________．2 [在同一坐标系内画出y ＝1＋sin x 和y ＝32的图象(如图所示)，观察可得交点的个数为2.]8．函数y ＝lg(2－2cos x )的定义域是________．⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪⎪π4＋2k π＜x ＜7π4＋2k π，k ∈Z [由2－2cos x ＞0得cos x ＜22，作出y ＝cos x 的图象和直线y ＝22，由图象可知cos x ＜22的解集为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪⎪π4＋2k π＜x ＜7π4＋2k π，k ∈Z .] 三、解答题9．用“五点法”画出y ＝－2cos x ＋3(0≤x ≤2π)的简图． [解] 列表：10．若函数y ＝2cos x (0≤x ≤2π)的图象和直线y ＝2围成一个封闭的平面图形(如图)，求这个封闭图形的面积．[解] 观察图形可知：图形S 1与S 2，S 3与S 4都是两个对称图形，有S 1＝S 2，S 3＝S 4. 因此函数y ＝2cos x 的图象与直线y ＝2所围成的图形面积，可以等价转化为求矩形OABC 的面积．∵|OA |＝2，|OC |＝2π， ∴S 矩形OABC ＝2×2π＝4π， ∴所求封闭图形的面积为4π.[能力提升练]1．若sin θ＝1－log 2x ，则实数x 的取值范围是( )A ．[1，4]B ．⎣⎢⎡⎦⎥⎤14，1C ．[2，4]D ．⎣⎢⎡⎦⎥⎤14，4A [由sin θ∈[－1，1]得－1≤1－log 2x ≤1，解得0≤log 2x ≤2，即1≤x ≤4.]2．方程sin x ＝x10的根的个数是( )A ．7B ．8C ．9D ．10A [在同一坐标系内画出y ＝x10和y ＝sin x 的图象如图所示：根据图象可知方程有7个根．]3．在(0，2π)内，使sin x >cos x 成立的x 的取值范围是________．⎝⎛⎭⎪⎫π4，5π4 [在同一坐标系中画出y ＝sin x ，x ∈(0，2π)与y ＝cos x ，x ∈(0，2π)的图象如图所示，由图象可观察出当x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π4，5π4时，sin x >cos x ．]4．函数y ＝cos x ＋4，x ∈[0，2π]的图象与直线y ＝4的交点的坐标为________．⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，4，⎝ ⎛⎭⎪⎫3π2，4 [由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝cos x ＋4，y ＝4得cos x ＝0， 当x ∈[0，2π]时，x ＝π2或3π2，∴交点为⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，4，⎝ ⎛⎭⎪⎫3π2，4.]5．函数f (x )＝sin x ＋2|sin x |，x ∈[0，2π]的图象与直线y ＝k 有且仅有两个不同的交点，求k 的取值范围．[解] f (x )＝sin x ＋2|sin x |＝⎩⎪⎨⎪⎧3sin x ，x ∈[0，π]，－sin x ，x ∈（π，2π].图象如图所示，若使f (x )的图象与直线y ＝k 有且仅有两个不同的交点，根据上图可得k 的取值范围是(1，3)．正弦余弦函数的周期性与奇偶性(建议用时：60分钟)[基础达标练]一、选择题1．函数f (x )＝x ＋sin x ，x ∈R ( ) A ．是奇函数，但不是偶函数 B ．是偶函数，但不是奇函数 C ．既是奇函数，又是偶函数 D ．既不是奇函数，又不是偶函数A [函数y ＝x 为奇函数且y ＝sin x 也是奇函数，故f (x )＝x ＋sin x ，x ∈R 是奇函数．] 2．下列函数中最小正周期为π的偶函数是( ) A ．y ＝sin x2B ．y ＝cos x2C ．y ＝cos xD ．y ＝cos 2xD [A 中函数是奇函数，B 、C 中函数的周期不是π，只有D 符合题目要求．] 3．函数f (x )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫ωx ＋π6的最小正周期为π5，其中ω＞0，则ω等于( ) A ．5 B ．10 C ．15 D ．20 B [由已知得2π|ω|＝π5，又ω＞0，所以2πω＝π5，ω＝10.]4．函数y ＝－x cos x 的部分图象是下图中的( )A B C DD [y ＝cos x 为偶函数，y ＝x 为奇函数，∴y ＝－x cos x 为奇函数，排除A 、C ，又x ∈⎝⎛⎭⎪⎫0，π2时cos x ＞0，x ＞0，∴y ＜0，故排除B ，选D.]5．定义在R 上的函数f (x )周期为π，且是奇函数，f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＝1，则f ⎝ ⎛⎭⎪⎫3π4的值为( )A ．1B ．－1C ．0D ．2B [由已知得f (x ＋π)＝f (x )，f (－x )＝－f (x )， 所以f ⎝⎛⎭⎪⎫3π4＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫3π4－π＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－π4＝－f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＝－1.]二、填空题6．关于x 的函数f (x )＝sin(x ＋φ)有以下说法： ①对任意的φ，f (x )都是非奇非偶函数； ②存在φ，使f (x )是偶函数； ③存在φ，使f (x )是奇函数； ④对任意的φ，f (x )都不是偶函数． 其中错误的是________(填序号)．①④ [φ＝0时，f (x )＝sin x ，是奇函数，φ＝π2时，f (x )＝cos x 是偶函数．]7．若函数f (x )＝2cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫ωx ＋π3的最小正周期为T ，且T ∈(1，4)，则正整数ω的最大值为________．6 [T ＝2πω，1＜2πω＜4，则π2＜ω＜2π，∴ω的最大值是6.]8．函数y ＝sin x 的图象关于原点对称，观察正弦曲线的形状，结合正弦函数的周期性可知，正弦曲线的对称中心为________．(k π，0)(k ∈Z ) [∵y ＝sin x 是奇函数，∴(0，0)是其对称中心，又正弦函数的周期为2k π，结合正弦曲线可知，对称中心为(k π，0)(k ∈Z )．]三、解答题9．已知函数y ＝12sin x ＋12|sin x |.(1)画出函数的简图；(2)此函数是周期函数吗？若是，求其最小正周期． [解] (1)y ＝12sin x ＋12|sin x |＝⎩⎪⎨⎪⎧sin x ，x ∈[2k π，2k π＋π]（k ∈Z ），0，x ∈[2k π－π，2k π]（k ∈Z ），图象如下：(2)由图象知该函数是周期函数，且周期是2π.[能力提升练]1．函数f (x )＝sin x1＋cos x 的奇偶性是( )A ．奇函数B ．偶函数C ．既是奇函数又是偶函数D ．既不是奇函数也不是偶函数A [首先1＋cos x ≠0，即x ≠2k π＋π(k ∈Z )，定义域关于原点对称，又y ＝sin x 是奇函数，y ＝1＋cos x 是偶函数，所以f (x )＝sin x1＋cos x是奇函数．]2．设函数f (x )＝sin π3x ，则f (1)＋f (2)＋f (3)＋…＋f (2 018)＝( )A ．32 B ．－32C ．0D ． 3 D [∵f (x )＝sin π3x 的周期T ＝2ππ3＝6，∴f (1)＋f (2)＋f (3)＋…＋f (2 018)＝336[f (1)＋f (2)＋f (3)＋f (4)＋f (5)＋f (6)]＋f (2 017)＋f (2 018) ＝336⎝ ⎛⎭⎪⎫sin π3＋sin 23π＋sin π＋sin 43π＋sin 53π＋sin 2π＋f (336×6＋1)＋f (336×6＋2)＝336×0＋f (1)＋f (2)＝sin π3＋sin 23π＝ 3.]3．已知f (x )是定义在(－3，3)上的奇函数，当0＜x ＜3时，f (x )的图象如图所示，那么不等式f (x )cos x ＜0的解集是________．⎝ ⎛⎭⎪⎫－π2，－1∪(0，1)∪⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，3 [∵f (x )是(－3，3)上的奇函数，∴g (x )＝f (x )·cosx 是(－3，3)上的奇函数，从而观察图象(略)可知所求不等式的解集为⎝ ⎛⎭⎪⎫－π2，－1∪(0，1)∪⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，3.]4．设f (x )是定义域为R ，最小正周期为3π2的函数，若f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧cos x ，－π2≤x ≤0，sin x ，0＜x≤π，则f ⎝⎛⎭⎪⎫－15π4的值等于________．22 [因为函数f (x )的周期为3π2，∴f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－154π＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－154π＋3π2×3＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫3π4，又∵3π4∈(0，π]，∴f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－154π＝sin 3π4＝22.]5．已知函数f (x )＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π3，若函数g (x )的最小正周期是π，且当x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π2，π2时，g (x )＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2，求关于x 的方程g (x )＝32的解集．[解] 当x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π2，π2时， g (x )＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2＝cos ⎝⎛⎭⎪⎫x ＋π3. 因为x ＋π3∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π6，5π6，所以由g (x )＝32解得x ＋π3＝－π6或π6，即x ＝－π2或－π6. 又因为g (x )的最小正周期为π，所以g (x )＝32的解集为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪⎪x ＝k π－π2或x ＝k π－π6，k ∈Z .正弦余弦函数的单调性与最值(建议用时：60分钟)[基础达标练]一、选择题1．下列函数中，周期为π，且在⎣⎢⎡⎦⎥⎤π4，π2上为减函数的是( ) A ．y ＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π2 B ．y ＝cos ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π2C ．y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π2D ．y ＝cos ⎝⎛⎭⎪⎫x ＋π2A [对于选项A ，注意到y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π2＝cos 2x 的周期为π，且在⎣⎢⎡⎦⎥⎤π4，π2上是减函。

数学必修（4）同步练习参考答案§1.1任意角和弧度制一、CDDCBA二、7.{x |x =k ·3600+1800, k ∈Z }, {x |x =k ·1800+450,k ∈Z } ; 8.-345°; 9.31; 10.第二或第四象限, 第一或第二象限或终边在y 轴的正半轴上 三、11.{ α|α=k ·3600+1200或α=k ·3600+3000, k ∈Z } -60° 120°12.由7θ=θ+k ·360°，得θ=k ·60°（k ∈Z ）∴θ=60°，120°，180°，240°，300°13.∵l =20－2r ,∴S =21lr =21(20-2r )·r =－r 2+10r =-(r -5)2+25 ∴当半径r =5 cm 时，扇形的面积最大为25 cm 2,此时，α=rl =55220⨯-=2(rad) 14.A 点2分钟转过2θ，且π＜2θ＜23π,14分钟后回到原位，∴14θ=2k π,θ=72πk ，且2π<θ<43π，∴ θ=74π或75π§1.2.1 任意角的三角函数一、CCDBCD二、7.一、三； 8. 0 ； 9.4π或54π； 10.二、四 三、11.[2kπ, 2kπ,+2)3π( k ∈Z)12.13.∵sin θ= -55，∴角θ终边与单位圆的交点（cos θ，sin θ）=（,-55） 又∵P (-2, y )是角θ终边上一点, ∴cos θ<0,∴cos θ= -525.14.略.§1.2.2同角三角函数的基本关系式一、BCDBBA 二、7.1611; 8.0; 9.αsin 2- ; 10.322 三、11.512-12.原式=x x x cos sin sin 2-－x x x x x 2cos sin cos )cos (sin -+=xx xx x x x x 22cos sin cos )cos (sin )cos (sin sin -⋅+-+=sin x +cos x13.左边=tan 2θ－sin 2θ=θθ22cos sin －sin 2θ=sin 2θ·θθ22cos cos 1-=sin 2θ·θθ22cos sin =sin 2θ·tan 2θ=右边14.(1)当m =0时, α=k π, k ∈Z ,cos α=±1, tan α=0 (2)当|m |=1时, α=k π+2π, k ∈Z ,cos α=0, tan α=0不存在 (3)当0<|m |<1时,若α在第一或第四象限,则cos αtan若α在第二或第三象限,则cos αtan α=§1.3 三角函数的诱导公式一、BBCCBC 二、7.23; 8.1 ; 9.1 ; 10. 1516三、11. 112. f (θ)=3222cos 1cos cos 322cos cos θθθθθ+-+-++ = 22(cos 1)(2cos cos 2)2cos cos 2θθθθθ-++++=cos θ-1∴f (3π)=cos 3π-1=-1213.∵cos(α+β)=1, ∴α+β=2k π, k ∈Z. ∴cos(2α+β)= cos(α+α+β)= cos(π+α)=- cos α= -13.14. 由已知条件得：sin αβ①, αβ②，两式推出sin α=，因为α∈(-2π,2π)，所以α=4π或-4π；回代②，注意到β∈(0,π)，均解出β=6π，于是存在α=4π，β=6π或α=-4π，β=6π，使两等式同时成立。

21 24 7.9 11.1
经长期观察，函数 y = f (t) 的图象可以近似地看成函数 y = k + A sin (ωt + φ) 的图象．下面的函数 中，最能近似表示表中数据间对应关系的函数是 ( A．y = 11 + 3 sin (
)
π π t + ) , t ∈ [0, 24] 12 2 π B．y = 11 + 3 sin ( t + π) , t ∈ [0, 24] 6 π C．y = 11 + 3 sin t , t ∈ [0, 24] 12 π D．y = 11 + 3 sin t , t ∈ [0, 24] 6
π π t + ) ， t ∈ [0, 24] 12 2 π B． y = 11 + 3 sin ( t + π) ， t ∈ [0, 24] 6 π C． y = 11 + 3 sin t ， t ∈ [0, 24] 6 π D． y = 11 + 3 sin t ， t ∈ [0, 24] 12
3. 某城市一年中 12 个月的平均气温与月份的关系可近似地用三角函数 y = a + A cos
π (x − 6) ( 6
x = 1, 2, 3, ⋯ , 12 ) 来表示，已知 6 月份的月平均气温最高，为 28∘ C ， 12 月份的月平均气温最
低，为 18∘ C ，则 10 月份的平均气温值为
B．[1, 7]
D．[0, 1] 和 [7, 12]
2π π π 弧度，从而经过 t 秒转了 = t 弧度． 12 6 6 1 √3 π 而 t = 0 时， 点 A ( , ．经过 t 秒后点 A 的纵坐标为 ) ，则 ∠xOA = 2 2 3

3．角α与α＋(2k＋1)π(k∈Z)的三角函数关系(公式三) sin[α＋(2k＋1)π]＝－sinα ； cos[α＋(2k＋1)π]＝ －cosα tan[α＋(2k＋1)π]＝ tanα . ；
思考探究 1.诱导公式一、二各有什么作用？ 提示 诱导公式一将角转化到(0,2π)上求值；诱导公式二 将角转化为正角求值． 2．怎样记忆三组诱导公式？ 提示 诱导公式的记忆口诀是“函数名不变，符号看象 限”．其含义是诱导公式两边的函数名称一致，符号则是将α 看成锐角时原角所在象限的三角函数值的符号．α看成锐角， 只是公式记忆的方便，实际上α可以是任意角.
4 ∵α是第三象限角，∴cosα＝－5， 4 cos(π＋α)＝－cosα＝5.
答案 D
名师点拨 1.公式(三)可以化简为 cos[α＋(2k＋1)π]＝cos(α＋π)＝－cosα， sin[α＋(2k＋1)π]＝sin(α＋π)＝－sinα， tan[α＋(2k＋1)π]＝tan(α＋π)＝tanα. 即cos(α＋π)＝－cosα， sin(α＋π)＝－sinα， tan(α＋π)＝tanα. 这样看起来更简单、易记，要求熟练记忆和应用．
π π π 1 1 ＝sin6＋cos3－tan4＝2＋2－1＝0.
2π 5π π (2)原式＝sin6π＋ 3 ＋cos2π＋ 6 －tan2π－4 π 2π 5π ＝sin 3 ＋cos 6 －tan－4 π π π ＝sinπ－3＋cosπ－6＋tan4
典例剖析
例1
求下列各式的值．
16π 17π 29π (1)sin－ 3 ＋cos－ 4 －tan－ 6 ；
19π 10π 15π (2)sin ＋cos ＋tan . 6 3 4