第25卷 第3期2008年6月 黑龙江大学自然科学学报JOURNALOFNATURALSCIENCEOFHEILONGJIANGUNIVERSITY Vol125No13June,2008
一类非线性伪抛物型方程的初边值问题孙明丽, 刘亚成(哈尔滨工程大学理学院,哈尔滨150001)
摘 要:研究了一类非线性伪抛物型方程的初边值问题。首先利用了经典的Galerkin方法的思想,构造了原问题的近似解,并对非线性伪抛物型方程中的非齐次项函数限定了如下条件:f′下方有界且g′上方有界,得到了近似解的几个先验估计;然后证明了原问题整体弱解的存在性与唯一性;最后利用Poincare不等式及Gronwall不等式,得到了问题整体广义解的渐近性质。关键词:非线性伪抛物方程;初边值问题;整体弱解;存在唯一性;渐近性中图分类号:O175126文献标志码:A文章编号:1001-7011(2008)03-0343-04
收稿日期:2007-07-01
基金项目:国家自然科学基金资助项目(10271034);哈尔滨工程大学基础研究基金资助项目(HEUF04012)作者简介:孙明丽(1982-),女,硕士研究生,主要研究方向:非线性发展方程,E-mail:sunmingli1221@yahoo.com.cn
通讯作者:刘亚成(1942-),男,教授
1 引 言非线性Sobolev-Galpern型方程是从实际问题中提出的一类重要的伪抛物型方程,这类方程出现在许多数学物理领域,例如用于模拟热力学过程,岩石裂缝中渗流,土壤中湿气的迁移,以及固体中的扩散问题。因此,对此类方程的研究具有重要的理论与实际意义。在文献[1-2]中研究的是如下拟抛物方程的初边值问题ut-Δut=f(u),x∈Ω,t>0u(x,0)=u0(x)u|5Ω=0其方法是利用Galerkin方法,利用嵌入定理对f限定条件后得到了问题的Wk,p解。在文献[3]中研究的是一维Sobolev-Galpern方程的初边值问题,所用的方法是先将问题化为一个非线性积分方程,利用压缩映像原理得到局部解,再用先验估计得到整体解。在文献[4]中研究的是多维Sobolev-Galpern方程的初边值问题ut-Δut=σ(ux)x,x∈Ω,t>0u(x,0)=u0(x)u|5Ω=0利用Galerkin方法,要求σ∈C
1
,σ′(s)下方有界,得到了整体解的存在和唯一性。
而本文研究下述一类非线性伪抛物方程[5]的初边值问题ut-uxxt-uxx=f(ux)x+g(u)(1)u(x,0)=u0(x)(2)u(0,t)=u(1,t)=0(3)利用Galerkin方法,证明了若f∈C
1,f′(s)下方有界;g∈C1,g′(s)上方有界,且u0(x)∈H2(Ω)∩H1
0
(Ω).则对任一T>0,问题(1)-(3)存在Ω×[0,T]上的弱解u(x,t),并且得到了解的渐近性质,
本文所研
究的方程是一般的拟抛物方程与Sobolev-Galpern型方程的综合,从实质上推广和改进了已有的结果。2 几个先验估计设w
j(x)为问题
-wjxx(x)=λjwj(x),wj(0)=wj(1)=0(4)的特征函数系,则{wj(x)}在L2(Ω)中成正交完备系,当Ω∈C2时,w
j(x)∈H2(Ω)∩H10(Ω),且{wj(x)
}
在
H10(Ω)中稠密。设问题(1)-(3)的近似解为
um(x,t)=∑mj=1ajm(t)wj(x)(m=1,2,…)
由Galerkin方法,u
m(x,t)即ajm(t)满足如下常微分方程的初值问题
(umt,ws)-(umxxt,ws)-(umxx,ws)=(f(umx)x,ws)+(g(um),ws)(5)ajm(0)=ajm(6)
其中s,j=1,2,…,m,(u,v)=∫Ωuvdx;初值ajm的选取应使u
0(x)在空间H2(Ω)∩H10(Ω)上有um(x,0)→
u0(x).引理1 设(H):f∈C
1
,f′(s)下方有界,即存在常数c0,使得f′(s)≥c0;
g∈C1,g′(s)上方有界,即存在常数d0,使得g′(s)≤d0.
u0(x)∈H10(Ω),并选取ajm,使um(x,0)H1u0(x).则对任一T>0,问题(5),(6)的任意解有估计‖um‖2+‖umx‖2≤E
1(T)(0
(本文中Ei(T)表示只与T有关的常数,i=1,…,5.M
l
也表示常数,l=1,…,10).
证明 定义f
1(s)=f(s)-c1s-f(0),c1=min{c0,0};g1(s)=g(s)-d1s-g(0),d1=max{d0,0},
由此可知f1(0)=0,f1′(s)≥0,从而f1(s)s≥0;g1(0)=0,g1′(s)≤0,从而g
1(s)
s≤0.
以a
sm(t)乘(5)
,两边对s从1到m求和,
分部积分可得
12ddt
(‖um‖2+‖umx‖2)+‖umx‖2=-(f(umx),umx)+(g(um),um)(8)
由于f(u
mx)=f1(umx)+c1umx+f(0);g(um)=g1(um)+d1um+g(0),又(-c1umx-f(0),umx)≤
M1‖umx‖2+M2;(d1um+g(0),um)≤M3‖um‖2+M4,代入(8)式,有ddt(‖um‖2+‖umx
‖2)≤
M5(‖um‖2+‖umx‖2)+M6.由于um(x,0)H1u0(x),所以‖um(0)‖2+‖umx(0)‖2≤const,由Gronwall不等式可得(7)
.
引理2 在(H)的条件下,且u
0(x)∈H2(Ω)∩H10(Ω),并选ajm,使um(x,0)H2u0(x)
,
则有估计
‖umxx‖2≤E
2(T)(0
证明 以λsasm(t)乘(5),两边对s从1到m求和,
分部积分可得
12ddt
(‖umx‖2+‖umxx‖2)+‖umxx‖2≤-c0‖umxx‖2+d
0
‖umx‖2
即ddt(‖umx‖2+‖umxx‖2)≤M7(‖umx‖2+‖umxx‖2),由Gronwall不等式可得到(9).
引理3 在引理2的条件下有估计‖umt‖≤E3(T),‖umxt‖2≤E
4(T)(0
证明 以asm′(t)乘(5),两边对s从1到m求和,分部积分可得‖umt‖2+‖umxt‖2=(umxx,umt)+(f(umx)x,umt)+(g(um),u
mt)(11)
所以有‖umt‖2≤‖umxx‖‖umt‖+‖f′(umx)‖∞‖umxx‖‖umt‖+‖g(um)‖‖umt‖≤M8‖umt‖,由此可得‖umt‖≤E3(T),再代入(11)得到‖umxt‖2≤E
4(T)
.
引理4 在引理2的条件下还有估计‖umxxt‖≤E
5(T)(0
证明 以λsasm′(t)乘(5),两边对s从1到m求和,分部积分可得 ‖umxxt‖2=(umt,umxxt)-(umxx,umxxt)-(f(umx)x,umxxt)-(g(um),u
mxxt))
・443・黑 龙 江 大 学 自 然 科 学 学 报 第25卷 ≤(‖umt‖+‖umxx‖+‖f(umx)x‖+‖g(um)‖)‖umxxt‖在引理3中已证‖f(umx)x‖∞≤M
9,再由引理2,
3知(12)式成立。
3 整体弱解的存在与唯一性定义 函数u(x,t)称为问题(1)-(3)在区域Ω×[0,∞)上的弱解,若对任一T>0
i)u(x,t)∈L∞(0,T;H2(Ω)∩H10(Ω));ut(x,t)∈L∞(0,T;H2(Ω)∩H10(Ω)).
ii)∫T0(ut-uxxt-uxx-f(ux)x-g(u),φ)dτ=0,对一切φ(x,t)∈C0(0,T;L
2(Ω))成立。
iii)u(x,0)=u0(x)于H2(Ω)∩H10(Ω).
定理1 在(H)的条件下,且u
0(x)∈H2(Ω)∩H10(Ω).则对任一T>0,问题(1)-(3)存在Ω×
[0,
∞)上的整体弱解。证明 由于f(u
x),g(u)连续,故问题(5)-(6)存在局部解,而由引理1-2可知,对任一T>0,问题
(5)-(6)都存在[0,T]上的整体解um(x,t).由引理1-4及紧致性原理知,存在{um(x,t)}的子序列,
仍记
为{u
m(x,t)
},
使得
um(x,t)→u(x,t)于L∞(0,T;H2(Ω)∩H10(Ω))弱3收敛;umt(x,t)→ut(x,t)于L∞(0,T;H2(Ω)∩H10(Ω))弱3收敛。
在(5)式两边同乘任一d(t)∈C
0
,并且对t在[0,T]上积分,再令m→∞,有
∫T0(umt-umxxt-umxx,d(t)ws)dt→∫T0(ut-uxxt-uxx,d(t)ws)d
t
而∫T0(f(umx)x,d(t)ws)dt=-∫T0(f(umx),d(t)wsx)dt,又umx,umxx在L
2(QT)中对m一致有界,则有子序列
{um(x,t)},使得umx(x,t)→ux(x,t)在L2(QT)中强收敛,且于QT几乎处处收敛(QT=Ω×[0,T]).又d(t)wsx∈L2(QT),在QT
上应用Lebesque逐项积分定理,有
∫T0(f(umx)x,d(t)ws)dt→∫T0(f(ux)x,d(t)ws)d
t
同理有∫T0(g(umx),d(t)ws)dt→∫T0(g(ux),d(t)ws)d
t
所以∫T0(ut-uxxt-uxx-f(ux)x-g(u),d(t)ωs)dτ=0(s=1,2,…).由{wj(x)}在L2(Ω)中成正交完备系
及d(t)∈C0的任意性,可知弱解定义中的i)、ii)都满足,而由引理1-2知,定义中的iii)也满足。从而u(x,
t)为问题(1)-(3)的整体弱解。定理2 在定理1的条件下,问题(1)-(3)的整体弱解是唯一的。证明 设u,v为问题(1)-(3)的任意两个弱解,令ω=u-v,则ω满足方程ωt-ωxxt-ωxx=f(ux)x
-f(vx)x+g(u)-g(v)及齐次初始条件,将上式两边乘ω于Ω积分,得到
12ddt
(‖ω‖2+‖ωx‖2)+‖ωx‖2=-(f～′ωx,ωx)+(g^′ω,ω)≤-c0‖ωx‖2+d
0
‖ω‖2
(其中“～”表示在ux与vx之间的取值,“^”表示在u与v之间的取值),因而ddt(‖ω‖2+‖ωx‖2)≤M10(‖ωx‖2+‖ω‖2),由Gronwall不等式可得‖ωx‖2+‖ω‖2=0,所以ω≡0.
4 解的渐近性质定理3 设-∞0,u
0(x)∈H10(Ω),u(x,t)
为问题(1)-(3)的整体广义解,则有‖u‖2+‖ux‖2≤(‖u0‖2+‖u0x‖2)e-λt(λ>0)(13)
证明 因f(s)s≥0,g(s)s≤0,将(1)式两端同乘u,在Ω上积分,分部积分得ddt
(‖u‖2+‖ux‖2)+2‖ux‖2=-2(f(ux),ux)+2(g(u),u)≤0
・543・第3期孙明丽等:一类非线性伪抛物型方程的初边值问题
