一类非线性伪抛物型方程解的性质

伪抛物型方程与抛物方程伪抛物型方程与抛物方程是数学中的两个重要概念，它们在不同领域的研究中发挥着重要的作用。

本文将介绍这两个方程的基本概念和特点。

首先，我们来了解一下伪抛物型方程。

伪抛物型方程是一类具有抛物型方程特点的偏微分方程，但其解的性质与传统的抛物型方程有所不同。

伪抛物型方程的一般形式可以表示为：\[u_t = \Delta u + f(u)\]其中，\(u_t\)表示关于时间的偏导数，\(\Delta u\)表示拉普拉斯算子作用在\(u\)上的结果，\(f(u)\)是一个关于\(u\)的非线性函数。

伪抛物型方程的特点是具有类似于抛物型方程的热传导性质，但其解的行为更加复杂，包括出现尖锐的激波和间断现象等。

相比之下，抛物方程是一类常见的偏微分方程，其一般形式可以表示为：\[u_t = \Delta u + g(u)\]其中，\(g(u)\)是一个关于\(u\)的非线性函数。

抛物方程的特点是具有热传导性质，即解在时间上的演化类似于热的传导过程。

抛物方程在物理学、工程学等领域中有广泛的应用，例如描述热传导、扩散等现象。

伪抛物型方程与抛物方程在形式上非常相似，但其解的性质却有所不同。

伪抛物型方程的解在时间和空间上的演化更加复杂，可能出现尖锐的激波和间断现象。

而抛物方程的解则更加平滑，不会出现类似的尖锐变化。

伪抛物型方程和抛物方程在数学理论和实际应用中都有重要的意义。

研究伪抛物型方程可以帮助我们更好地理解非线性偏微分方程的解的行为，揭示其内在的规律和性质。

而抛物方程的研究则可以为物理学、工程学等领域提供重要的数学工具和理论基础。

总之，伪抛物型方程与抛物方程是数学中的两个重要概念，它们在不同领域的研究中发挥着重要的作用。

伪抛物型方程具有类似于抛物方程的热传导性质，但其解的行为更加复杂；而抛物方程的解则更加平滑。

研究这两类方程可以帮助我们更好地理解非线性偏微分方程的解的行为，并为实际应用提供重要的数学工具和理论基础。

一类p-laplacian椭圆抛物型方程解的存在和唯一性本文将讨论一类p-laplacian椭圆抛物型方程的存在性和唯一性。

p-laplacian椭圆抛物型方程是一类形式为$u_{xx}+u_{yy}+p(x,y)u=f(x,y)$的非线性方程，其中$p(x,y)$是非负可积函数。

在定义域$\Omega$上，这个方程有可能有多个解，但我们需要证明方程在$\Omega$上只有一个解，即存在唯一性。

为了证明方程在$\Omega$上只有一个解，我们首先需要证明它在$\Omega$上存在解。

为此，我们可以使用拉普拉斯变换法，该方法把二阶偏微分方程转化为可以解决的线性方程组。

具体来说，我们可以把原方程的拉普拉斯变换后的形式写成：$$\int_{\Omega}\int_{\Omega} \hat{u}(x,y) (-\Delta+p(x,y))u(x,y)dxdy=\int_{\Omega}\int_{\Omega}\hat{f}(x, y)u(x,y)dxdy$$其中$\hat{u}$和$\hat{f}$分别是$u$和$f$的拉普拉斯变换。

由于$-\Delta+p(x,y)$是可积的，因此可以证明方程在$\Omega$上存在解。

接下来，我们需要证明方程在$\Omega$上只有一个解。

为此，我们可以采用变分法。

我们首先利用变分法将原方程转换成一个绝对最小值问题：$$\min \int_{\Omega}\left[\frac{1}{2}(u_{xx}+u_{yy})+p(x,y)u-f(x,y)\right]^2dxdy$$设$u_1$和$u_2$是方程的两个解，则有：$$\min \int_{\Omega}\left[\frac{1}{2}(u_{1xx}+u_{1yy})+p(x,y)u_1-f(x,y)\right]^2dxdy=\int_{\Omega}\left[\frac{1}{2}(u_{2xx}+u_{2yy})+p(x,y)u_2-f(x,y)\right]^2dxdy$$又因为$u_1$和$u_2$是方程的两个解，所以有：$$\int_{\Omega} \left[(u_{1xx}+u_{1yy})+p(x,y)u_1-f(x,y)\right]dxdy=\int_{\Omega}\left[(u_{2xx}+u_{2yy})+p(x,y)u_2-f(x,y)\right]dxdy$$从而可以得到$$\int_{\Omega} \left[(u_{1xx}+u_{1yy})-(u_{2xx}+u_{2yy})\right]dxdy=0$$这表明$u_1$和$u_2$在$\Omega$上的二阶偏微分是相等的，因此$u_1=u_2$，即方程在$\Omega$上只有一个解。

两类带非局部项的非线性抛物方程的理论分析非线性抛物方程是一类重要的非线性偏微分方程，广泛应用于物理学、化学、生物学等领域。

它们的解决具有重要的理论和实际意义。

在非线性抛物方程中，如果存在非局部项，即方程中的其中一项不仅依赖于该位置的解，还依赖于其他位置的解，那么问题会变得更为复杂。

本文将针对两类带非局部项的非线性抛物方程展开理论分析。

第一类带非局部项的非线性抛物方程是具有非线性时滞项的方程。

这类方程的特点是方程中的其中一项不仅依赖于当下时刻的解，还依赖于过去时刻的解。

具体形式如下：$$\frac{\partial u}{\partial t} = \Delta u + f(u) + g(u(t-\tau))$$其中，$u$是未知函数，$f$和$g$是非线性函数，$\Delta$是拉普拉斯算子，$\tau$是延迟时间。

这类方程描述了一些物理过程的时滞效应，比如生物体内的传感器反应时间等。

对于这类方程，理论分析的关键是研究方程的稳定性和解的存在性。

通过选择合适的函数空间和适当的变量变换，可以将方程转化为一个更为标准的抽象形式，然后利用相应的抽象理论进行分析。

第二类带非局部项的非线性抛物方程是具有非局部响应函数的方程。

这类方程的特点是方程中的其中一项不仅依赖于该位置的解，还依赖于其他位置的解。

具体形式如下：$$\frac{\partial u}{\partial t} = \Delta u + f(u) +\int_{\Omega} K(x, y)g(u(y)) dy$$其中，$K(x,y)$是非局部响应函数，描述了其他位置对该位置的影响。

这类方程可以描述一些具有长程相互作用的物理过程，比如热传导中的非局部效应。

对于这类方程，理论分析的关键是研究方程的解的存在性和唯一性，以及解的性质。

一种常用的方法是将方程转化为积分形式的方程，然后利用适当的函数空间和变分方法进行分析。

总结起来，带非局部项的非线性抛物方程具有一定的理论挑战，但也具有广泛的应用价值。

一类退化抛物方程解的性质
徐新英
【期刊名称】《厦门大学学报（自然科学版）》
【年(卷),期】2006(045)006
【摘要】对一类具有扰动项的退化抛物方程,考虑其解的性质.即证明扰动问题的解的极限(ε→0)是不含扰动项的退化抛物方程的解.本文是先把具扰动项的退化抛物方程正则化,然后证明正则化问题的解的H(o)lder连续性以及满足的两个不等式,由正则化问题解的性质得到原退化抛物方程的解的性质,最后证明ε→0时解的极限性质.【总页数】3页(P743-745)
【作者】徐新英
【作者单位】厦门大学数学科学学院,福建,厦门,361005
【正文语种】中文
【中图分类】O175
【相关文献】
1.一类非线性退化抛物方程解的性质 [J], 张志跃
2.一类具周期源的退化抛物方程解的渐近性态 [J], 关卫国;潘佳庆
3.一类具线性扩散作用的退化抛物方程解的存在性 [J], 梁波;高馨;汪颖;彭曦霆
4.一类带有非线性梯度源的双重退化抛物方程解的爆破 [J], 辛巧;郑攀
5.一类带有非线性记忆项和吸收项的退化抛物方程解的爆破和整体存在性 [J], 苏涵;李清栋
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第25卷　第3期2008年6月 黑龙江大学自然科学学报JOURNAL OF NAT URAL SC I E NCE OF HE I L ONGJ I A NG UN I V ERSI TYVol 125No 13June,2008一类非线性伪抛物型方程的初边值问题孙明丽,　刘亚成(哈尔滨工程大学理学院,哈尔滨150001)摘　要:研究了一类非线性伪抛物型方程的初边值问题。

首先利用了经典的Galerkin 方法的思想,构造了原问题的近似解,并对非线性伪抛物型方程中的非齐次项函数限定了如下条件:f ′下方有界且g ′上方有界,得到了近似解的几个先验估计;然后证明了原问题整体弱解的存在性与唯一性;最后利用Poincare 不等式及Gr onwall 不等式,得到了问题整体广义解的渐近性质。

关键词:非线性伪抛物方程;初边值问题;整体弱解;存在唯一性;渐近性中图分类号:O175126文献标志码:A 文章编号:1001-7011(2008)03-0343-04收稿日期:2007-07-01基金项目:国家自然科学基金资助项目(10271034);哈尔滨工程大学基础研究基金资助项目(HE UF04012)作者简介:孙明丽(1982-),女,硕士研究生,主要研究方向:非线性发展方程,E -mail:sunm ingli1221@yahoo 通讯作者:刘亚成(1942-),男,教授1　引　言非线性Sobolev -Gal pern 型方程是从实际问题中提出的一类重要的伪抛物型方程,这类方程出现在许多数学物理领域,例如用于模拟热力学过程,岩石裂缝中渗流,土壤中湿气的迁移,以及固体中的扩散问题。

因此,对此类方程的研究具有重要的理论与实际意义。

在文献[1-2]中研究的是如下拟抛物方程的初边值问题u t -Δu t =f (u ),x ∈Ω,t >0u (x,0)=u 0(x )u |5Ω=0其方法是利用Galerkin 方法,利用嵌入定理对f 限定条件后得到了问题的W k,p解。

课例研究引言：偏微分方程可以用来描述真实世界的实际问题。

简单的拋物型偏微分方程即热传导方程有效地表征了物体内温度随着时间的演化过程与温度分布。

对于具有简单边界条件的偏微分方程，解析解可以通过分离变量法或拉普拉斯变化得到[1]。

由于问题本身的复杂性，非线性偏微分方程目前主要采用数值方法求解且没有统一的求解方法。

因此，针对非线性微分方程的特点选取合理的求解方法是十分重要的。

有限差分法是求解偏微分方程普遍采用的数值方法之一。

基于有限差分法，目前已有很多学者针对偏微分方程的数值求解展开了相关研究[2-4]，如：二维波动方程的差分方法[5]，以及有限差分法在求解一类非线性微分方程时的稳定性问题[6]。

1　一类非线性偏微分方程的化简设函数(),f x t ，其自变量为x 和t ，考虑下面的非线性偏微分方程()22,mf f f h x t t x x ∂∂∂ =− ∂∂∂ ，a x b <<，0t <<∞ （1）()(),0=f x x ϕ（2）()()1,=f a t g t ，()()2,=f b t g t（3）其中m 为幂指数。

上述的非线性偏微分方程若直接按照有限差分法进行离散求解会出现不收敛的情形。

由于该方程为非线性二阶偏微分方程，利用复合函数求导的关系，可以将上式右边进行化简。

化简后可以写为()11,1m f f h x t t m x x + ∂∂∂ =− ∂+∂∂（4）非线性微分方程由于收敛较为困难，目前普遍采用隐式方法求解。

在下面的计算中，将针对非线性微分方程采用显式求解。

为求解上述非线性偏微分方程，分别在时间和空间进行离散.假定变量x 的区间为a x b ≤≤，将x 划分为n 个网格，则i b ax ia n−=−，0,1,i n = （5）其中每一网格的宽度b ax n−∆=。

同理，可以对时间进行离散k t k t =∆，t ∆为时间步长，k 为时间步数。

利用时间的向前差分和空间的中心差分法可以将方程（4）进行离散()1,k kiik i f f f tt+−∂=∂∆ （6）()22,i x i x k k k i f f f x x+∆−∆−∂=∂∆ （7）其中i 表示节点编号。

非线性抛物型方程解的唯一性和比较原理张继兵;高云柱【摘要】利用微分方程边值问题上下解定义及相关理论,给出了一类非线性抛物型方程φ(u)t-divA(x,u,u)+B(x,u,u)=f(x,t)的两类边值问题在适宜的条件下解的唯一性和比较原理.【期刊名称】《北华大学学报（自然科学版）》【年(卷),期】2008(009)005【总页数】5页(P403-407)【关键词】非线性抛物型方程;上下解;唯一性;比较原理【作者】张继兵;高云柱【作者单位】北华大学,师范分院,吉林,吉林,132033;北华大学,数学学院,吉林,吉林,132033【正文语种】中文【中图分类】O175.81 引言我们考虑下列一类非线性抛物型方程的两类边值问题(1.1)和(1.2)其中，Ω是n上的有界区域，函数φ(x)是严格单调增的，向量函数A(x，z，ξ)，B(x，z，ξ)满足适当的条件，ν为∂Ω关于Ω的单位外法线方向，β(z)为单调的光滑函数，f(x，t)，g(x，t)，u0(x)为相应区域上的已知函数且充分光滑.受文献[1-2]的启发，同时参考文献[3-8]，我们考察了上述一类非线性抛物型方程解的唯一性和比较原理.我们的方法是利用上下解定义及一些基本公式讨论问题. 为叙述方便，作如下定义及假设：ΩT∂Ω×(0，T]， T>0.(H1)A是椭圆的，函数A(x，z，ξ)：Ω××n→在Ω××n内连续，在n内当|ξ|>0时，关于z，ξ连续可微.(H2)对于x∈Ω，函数B(x，z，ξ)关于变量z是非减的，且B(x，z，ξ)：Ω××n→在Ω××n内连续，在n内当|ξ|>0时，关于ξ连续可微.2 预备知识考虑非线性抛物型算子L(u)=φ(u)t-divA(x，u，▽u)+B(x，u，▽u)， (x，t)∈ΩT.定义2.1 我们称函数及分别是问题(1.1)，(1.2)的一个上解，如果u及u*分别满足(2.1)和(2.2)称u及u*分别是问题(1.1)，(1.2)的一个下解，如果式(2.1)，式(2.2)不等号方向相反；若u及u*既是上解又是下解，则称u及u*分别是问题(1.1)，(1.2)的解.引理2.1[9] 设是Ω的紧子集，且向量ξ，η∈n，对于某两个正常数b，d，及所有的λ∈(0，1)，满足|ξ|≤b，|η|≤b，|λξ+(1-λ)η|≥d.若|z|≤l，则存在仅依赖于b，d，l和的常数μ，使得{A(x，z，ξ)-A(x，z，η)}·(ξ-η)≥μ.(2.3)引理2.2 若(H2)成立，则B(x，z，ξ)关于z满足单调性条件，即-[B(x，z1，ξ)-B(x，z2，ξ)]≤μ*[φ(z1)-φ(z2)]，∀z1≥z2，(2.4)其中μ*是某正常数.证明由(H2)及φ的单调性，引理显然成立.由Green[10]公式易得下面两个引理：引理2.3 设u是问题(1.1)的下(上)解，则对于任意非负函数有(φ(u)tw+A(x，u，▽u)▽w)dx≤(≥)A(x，u，▽u)·νwds+(-B(x，u，▽u)+f(x，t))wdx，这里ν为∂Ω关于Ω的单位外法线方向.引理2.4 设u是问题(1.2)的下(上)解，则对于任意非负函数有(x，u，▽u)▽(x，u，▽u)+f(x，t))wdx.3 主要结果定理3.1 假设条件(H1)，(H2)满足，且A(x，z，ξ)是与z无关的函数，函数B(x，z，ξ)关于ξ是一致李普希兹的.设u，v分别是问题(1.1)，(1.2)的下解和上解，则在ΩT中u≤v.证明(ⅰ)设分别是边值问题(1.1)的下、上解，则由引理2.3有(φ(u)tw+A(x，u，▽u)▽w)dx≤A(x，u，▽u)·νwds+(-B(x，u，▽u)+f(x，t))wdx，(φ(v)tw+A(x，v，▽v)▽w)dx≥A(x，v，▽v)·νwds+(-B(x，v，▽v)+f(x，t))wdx，于是得到u，v满足下列积分不等式(x，u，▽u)-A(x，v，▽v)]▽w}dx≤(A(x，u，▽u)-A(x，v，▽v))·νwds+-(B(x，u，▽u)-B(x，v，▽v))wdx,(3.1)其中是任意非负函数，ν为∂Ω关于Ω的单位外法线方向.对于δ>0定义上的函数Ψδ(z)如下：取w=Ψδ(u-v)代入积分不等式(3.1)，并注意到w|∂Ω=0及Ψδ的定义，得(x，u，▽u)-B(x，v，▽v))Ψδ(u-v)dx.(3.2)再根据引理2.1，引理2.2和Ψδ的定义式(3.2)可化为(3.3)由Lebesgue控制收敛定理(3.4)类似地(x，u，▽u)-B(x，v，▽u))Ψδ(u-v)dx=(x，u，▽u)-B(x，v，▽u))dx≤(3.5)以及(x，v，▽u)-B(x，v，▽v))Ψδ(u-v)dx≤|▽u-▽v|(u-v)dx，(3.6)其中，式(3.6)的最后不等式是根据B(x，z，ξ)关于ξ是一致李普希兹的，>0是李普希兹常数.根据Cauchy不等式|▽u-▽v|(u-v)dx≤(3.7)2·δ·mes(Ω).于是由式(3.3)～式(3.7)，取δ→0，得应用Gronwall引理得其中τ(t)+=max{0，τ(t)}.从而φ(u)≤φ(v)，也即u≤v.(ⅱ)设分别是边值问题(1.2)的下、上解.类似于式(3.3)的推导过程，结合引理2.4，得(x，u，▽u)-B(x，v，▽v)]Ψδ(u-v)dx.令δ→0，得到(3.8)式(3.8)中最后不等式是由于β(z)的单调性，可去掉该项.于是同上亦可导出u≤v.定理3.2 假设条件(H1)，(H2)满足，且A(x，z，ξ)是与z无关的函数，函数B(x，z，ξ)关于ξ是一致李普希兹的.则问题(1.1)，(1.2)至多只有一个解.证明若问题(1.1)有两个解为u1和u2，则取u1是上解，u2是下解.于是由定理1.1，得u1≥u2，反过来，取u1是下解，u2是上解，得u1≤u2，因此有u1=u2.问题(1.2)同理可证.定理3.3 假设条件(H1)，(H2)满足，且A(x，z，ξ)是与z无关的函数，B(x，z，ξ)是与ξ无关的函数，设u，v分别是问题(1.1)，(1.2)的下解和上解，则在ΩT中u≤v.证明先考虑问题(1.1)，同定理3.1中问题(1.1)的证明过程，可得(x，u，▽u)-A(x，v，▽v)]▽(u-v)dx+(x，u，▽u)-B(x，v，▽v)]Ψδ(u-v)dx≤(x，u，▽u)-B(x，v，▽v)]Ψδ(u-v)dx.注意到(x，u，▽u)-A(x，v，▽v)]▽(u-v)dx≤0，且(x，u，▽u)-B(x，v，▽v)]Ψδ(u-v)dx=(x，u，▽u)-B(x，v，▽v)]dx≤以下同定理3.1的推导方法，易得结论.对于问题(1.2)同理可证.类似定理3.2的证明，同样可证下面定理：定理3.4 假设条件(H1)，(H2)满足，且(x，z，ξ)是与z无关的函数，B(x，z，ξ)是与ξ无关的函数，则问题(1.1)，(1.2)至多只有一个解.注3.1 若取A(x，u，Du)为p-Lapacian算子，即A(x，z，ξ)=A(z)=|▽z|，满足ρρA(ρ)为增函数，则上述相关的结论均成立.【相关文献】[1] G Gripenberg.On the Strong Maximum Principle for Degenerate Parabolic Equations[J].Journal of Differential Equation，2007,242:27-85.[2] Su Ning.Extinction in Finite Time of Solutions to Degenerate Parabolic Equations with Nonlinear Boundary Conditions[J].J Math Anal Appl，2000,246:503-519.[3] Lucio Boccardo，Thierry Gallou⊇t，Juan Luis Vazquez.Solutions of Nonlinear Parabolic Equations without Growth Restrictions on the Data[J].Electronic J Differential Equations，2001,60:1-20.[4] 高云柱，裴明鹏.高阶m-点边值问题多个正解的存在性[J].北华大学学报：自然科学版，2007，8(1)：1-7.[5] Agnieszka Bartlomiejczyk，Henryk parison Principles for Parabolic Differential-functional Initial-value Problems[J].Nonlinear Analysis，2004，57:63-84. [6] 张继兵.非线性n阶n点边值问题解的存在性和唯一性[J].北华大学学报：自然科学版，2007，8(6):484-487.[7] Jeffrey R Anderson，Su Ning ，Zhang Hongfei.Existence and Uniqueness of Solutions of Degenerate Parabolic Equations in Exterior Domains[J].Nonlinear Analysis，2001,44:453-468.[8] G A philippin，S Vernier-Piro.Applications of the Maximum Principle to a Variety of Problems Involving Elliptic and Parabolic Equations[J].Nonlinear Analysis，2001,47:661-679.[9] Patrizia Puucci，James Serrin.The Strong Maxiumum Priciple Revisited[J].Journal of Differential Equations，2004,196:1-66.[10] David Gilbarg，Neil S Trudinger.Elliptic Partial Differential Equations of Second Order[M].New York：Spring-Verlag Press,1977.。

一类非线性抛物方程Cauchy问题解的存在性条件陈美珍;潘佳庆【摘要】研究了带源项的非线性抛物方程 Cauchy 问题解存在的必要条件以及解所应具有的性质，通过把文献中的线性算子推广到形式较一般的带源项的非线性抛物算子，利用其中处理线性问题的方法来处理非线性问题。

%This paper discusses the necessary conditions of solution to a class of nonlinear parabolic equation and the nature of the solution. By extending the linear operator to a more general form of nonlinear parabolic operator with the source term, we use the method in document which was used to handle the linear problem to handle the nonlinear problem.【期刊名称】《纯粹数学与应用数学》【年(卷),期】2013(000)006【总页数】7页(P654-660)【关键词】Cauchy问题;必要条件;L1 可积【作者】陈美珍;潘佳庆【作者单位】集美大学理学院，福建厦门 361021;集美大学理学院，福建厦门361021【正文语种】中文【中图分类】O175.26参考文献[1]张剑文,赵俊宁.非定常边界层问题整体解的存在唯一性[J].中国科学:A辑,2006,36(8):870-900.[2]王培林,谭忠.具有Neumann边界条件及临界Sobolev指数的半线性抛物方程整体解的渐近性及Lq估计[J].厦门大学学报:自然科学版,2004,43(1):17-20. [3]金春花,尹景学.具非线性源的非散度型扩散方程的临界指标[J].数学年刊:A辑,2009,30(4):525-538.[4]孙法国,薛应珍.一类非线性抛物型方程组解的整体存在及爆破[J].纯粹数学与应用数学,2007,23(3):304-310.[5]容跃堂,樊彩虹.一类带有非局部源的退化反应扩散方程组解的整体存在与爆破[J].纯粹数学与应用数学, 2009,25(1):39-46.[6]屈改珠,朱春蓉.(3+1)维带有源项的反应扩散方程的不变集和精确解[J].纯粹数学与应用数学,2009,25(3):580-585.[7]Daskalopoulos P,Pino M D.On nonlinear parabolic equations of very fast difusion[J].Arch.Rational Mech. Anal.,1997,137:363-380.[8]Kubo M,Lu Q Q.Nonlinear degenerate parabolic equations with Neumann boundary condition[J].J.Math. Anal.Appl.,2005,307:232-244. [9]Lair A V,Oxley M E.A necessary and sufcient condition for global existence for a degenerate parabolic boundary value problem[J].Journal of Mathematical Analysis and Applications,1998,221:338-348.[10]Taliaferro S D.Isolated singularities of nonlinear parabolic inequalities[J].Math.Ann.,2007,338:555-586.[11]谷超豪,李大潜,陈恕行,等.数学物理方程[M].2版.北京:高等教育出版社,2002.[12]Vazquez J L.An Introduction to the Mathematical Theory of the PorousMedium Equation[M]//Shape Optimization and FreeBoundaries.Dordrecht:Kluwer Academic,1992.[13]Mizoguchi N,Quiros F,Vazquez J L.Multiple blow-up for a porous medium equation with reaction[J]. Mathematische Annalen,2011,350:801-827.。