一类非线性抛物型方程解的熄灭

一类抛物方程猝灭解的数值计算B方法霍冠泽;林亭秀;王林君【期刊名称】《吉林大学学报（理学版）》【年(卷),期】2018(056)002【摘要】应用一种改进的变异常数法——B方法,研究一类抛物型偏微分方程猝灭解和猝灭时间的近似性,证明了数值解的存在性,并通过数值模拟验证了该方法在求解方程猝灭解时的有效性.%By using an improved variation constant method:B-mehtod,we studied approximation of the quenching solution and quenching time for a class of parabolic partial differential equation.We proved the existence of the numerical solution and validity of the method in solving quenching equation was proved by numerical simulation.【总页数】5页(P281-285)【作者】霍冠泽;林亭秀;王林君【作者单位】吉林大学数学学院,长春130012;吉林大学数学学院,长春130012;江苏大学理学院,江苏镇江212013【正文语种】中文【中图分类】O241.82【相关文献】1.一类含奇异项的退缩抛物型方程组解的存在性与猝灭 [J], 陆求赐;江秋香2.一类时滞非线性抛物型方程时间周期解的有限差分方法 [J], 舒阿秀3.解一类抛物方程反问题的有限元方法 [J], 张铁4.针对一类抛物微分方程的解非存在性的方法 [J], 熊威5.解一类抛物方程反问题的数值方法 [J], 张铁因版权原因，仅展示原文概要，查看原文内容请购买。

课例研究引言：偏微分方程可以用来描述真实世界的实际问题。

简单的拋物型偏微分方程即热传导方程有效地表征了物体内温度随着时间的演化过程与温度分布。

对于具有简单边界条件的偏微分方程，解析解可以通过分离变量法或拉普拉斯变化得到[1]。

由于问题本身的复杂性，非线性偏微分方程目前主要采用数值方法求解且没有统一的求解方法。

因此，针对非线性微分方程的特点选取合理的求解方法是十分重要的。

有限差分法是求解偏微分方程普遍采用的数值方法之一。

基于有限差分法，目前已有很多学者针对偏微分方程的数值求解展开了相关研究[2-4]，如：二维波动方程的差分方法[5]，以及有限差分法在求解一类非线性微分方程时的稳定性问题[6]。

1　一类非线性偏微分方程的化简设函数(),f x t ，其自变量为x 和t ，考虑下面的非线性偏微分方程()22,mf f f h x t t x x ∂∂∂ =− ∂∂∂ ，a x b <<，0t <<∞ （1）()(),0=f x x ϕ（2）()()1,=f a t g t ，()()2,=f b t g t（3）其中m 为幂指数。

上述的非线性偏微分方程若直接按照有限差分法进行离散求解会出现不收敛的情形。

由于该方程为非线性二阶偏微分方程，利用复合函数求导的关系，可以将上式右边进行化简。

化简后可以写为()11,1m f f h x t t m x x + ∂∂∂ =− ∂+∂∂（4）非线性微分方程由于收敛较为困难，目前普遍采用隐式方法求解。

在下面的计算中，将针对非线性微分方程采用显式求解。

为求解上述非线性偏微分方程，分别在时间和空间进行离散.假定变量x 的区间为a x b ≤≤，将x 划分为n 个网格，则i b ax ia n−=−，0,1,i n = （5）其中每一网格的宽度b ax n−∆=。

同理，可以对时间进行离散k t k t =∆，t ∆为时间步长，k 为时间步数。

利用时间的向前差分和空间的中心差分法可以将方程（4）进行离散()1,k kiik i f f f tt+−∂=∂∆ （6）()22,i x i x k k k i f f f x x+∆−∆−∂=∂∆ （7）其中i 表示节点编号。

非线性抛物型方程解的唯一性和比较原理张继兵;高云柱【摘要】利用微分方程边值问题上下解定义及相关理论,给出了一类非线性抛物型方程φ(u)t-divA(x,u,u)+B(x,u,u)=f(x,t)的两类边值问题在适宜的条件下解的唯一性和比较原理.【期刊名称】《北华大学学报（自然科学版）》【年(卷),期】2008(009)005【总页数】5页(P403-407)【关键词】非线性抛物型方程;上下解;唯一性;比较原理【作者】张继兵;高云柱【作者单位】北华大学,师范分院,吉林,吉林,132033;北华大学,数学学院,吉林,吉林,132033【正文语种】中文【中图分类】O175.81 引言我们考虑下列一类非线性抛物型方程的两类边值问题(1.1)和(1.2)其中，Ω是n上的有界区域，函数φ(x)是严格单调增的，向量函数A(x，z，ξ)，B(x，z，ξ)满足适当的条件，ν为∂Ω关于Ω的单位外法线方向，β(z)为单调的光滑函数，f(x，t)，g(x，t)，u0(x)为相应区域上的已知函数且充分光滑.受文献[1-2]的启发，同时参考文献[3-8]，我们考察了上述一类非线性抛物型方程解的唯一性和比较原理.我们的方法是利用上下解定义及一些基本公式讨论问题. 为叙述方便，作如下定义及假设：ΩT∂Ω×(0，T]， T>0.(H1)A是椭圆的，函数A(x，z，ξ)：Ω××n→在Ω××n内连续，在n内当|ξ|>0时，关于z，ξ连续可微.(H2)对于x∈Ω，函数B(x，z，ξ)关于变量z是非减的，且B(x，z，ξ)：Ω××n→在Ω××n内连续，在n内当|ξ|>0时，关于ξ连续可微.2 预备知识考虑非线性抛物型算子L(u)=φ(u)t-divA(x，u，▽u)+B(x，u，▽u)， (x，t)∈ΩT.定义2.1 我们称函数及分别是问题(1.1)，(1.2)的一个上解，如果u及u*分别满足(2.1)和(2.2)称u及u*分别是问题(1.1)，(1.2)的一个下解，如果式(2.1)，式(2.2)不等号方向相反；若u及u*既是上解又是下解，则称u及u*分别是问题(1.1)，(1.2)的解.引理2.1[9] 设是Ω的紧子集，且向量ξ，η∈n，对于某两个正常数b，d，及所有的λ∈(0，1)，满足|ξ|≤b，|η|≤b，|λξ+(1-λ)η|≥d.若|z|≤l，则存在仅依赖于b，d，l和的常数μ，使得{A(x，z，ξ)-A(x，z，η)}·(ξ-η)≥μ.(2.3)引理2.2 若(H2)成立，则B(x，z，ξ)关于z满足单调性条件，即-[B(x，z1，ξ)-B(x，z2，ξ)]≤μ*[φ(z1)-φ(z2)]，∀z1≥z2，(2.4)其中μ*是某正常数.证明由(H2)及φ的单调性，引理显然成立.由Green[10]公式易得下面两个引理：引理2.3 设u是问题(1.1)的下(上)解，则对于任意非负函数有(φ(u)tw+A(x，u，▽u)▽w)dx≤(≥)A(x，u，▽u)·νwds+(-B(x，u，▽u)+f(x，t))wdx，这里ν为∂Ω关于Ω的单位外法线方向.引理2.4 设u是问题(1.2)的下(上)解，则对于任意非负函数有(x，u，▽u)▽(x，u，▽u)+f(x，t))wdx.3 主要结果定理3.1 假设条件(H1)，(H2)满足，且A(x，z，ξ)是与z无关的函数，函数B(x，z，ξ)关于ξ是一致李普希兹的.设u，v分别是问题(1.1)，(1.2)的下解和上解，则在ΩT中u≤v.证明(ⅰ)设分别是边值问题(1.1)的下、上解，则由引理2.3有(φ(u)tw+A(x，u，▽u)▽w)dx≤A(x，u，▽u)·νwds+(-B(x，u，▽u)+f(x，t))wdx，(φ(v)tw+A(x，v，▽v)▽w)dx≥A(x，v，▽v)·νwds+(-B(x，v，▽v)+f(x，t))wdx，于是得到u，v满足下列积分不等式(x，u，▽u)-A(x，v，▽v)]▽w}dx≤(A(x，u，▽u)-A(x，v，▽v))·νwds+-(B(x，u，▽u)-B(x，v，▽v))wdx,(3.1)其中是任意非负函数，ν为∂Ω关于Ω的单位外法线方向.对于δ>0定义上的函数Ψδ(z)如下：取w=Ψδ(u-v)代入积分不等式(3.1)，并注意到w|∂Ω=0及Ψδ的定义，得(x，u，▽u)-B(x，v，▽v))Ψδ(u-v)dx.(3.2)再根据引理2.1，引理2.2和Ψδ的定义式(3.2)可化为(3.3)由Lebesgue控制收敛定理(3.4)类似地(x，u，▽u)-B(x，v，▽u))Ψδ(u-v)dx=(x，u，▽u)-B(x，v，▽u))dx≤(3.5)以及(x，v，▽u)-B(x，v，▽v))Ψδ(u-v)dx≤|▽u-▽v|(u-v)dx，(3.6)其中，式(3.6)的最后不等式是根据B(x，z，ξ)关于ξ是一致李普希兹的，>0是李普希兹常数.根据Cauchy不等式|▽u-▽v|(u-v)dx≤(3.7)2·δ·mes(Ω).于是由式(3.3)～式(3.7)，取δ→0，得应用Gronwall引理得其中τ(t)+=max{0，τ(t)}.从而φ(u)≤φ(v)，也即u≤v.(ⅱ)设分别是边值问题(1.2)的下、上解.类似于式(3.3)的推导过程，结合引理2.4，得(x，u，▽u)-B(x，v，▽v)]Ψδ(u-v)dx.令δ→0，得到(3.8)式(3.8)中最后不等式是由于β(z)的单调性，可去掉该项.于是同上亦可导出u≤v.定理3.2 假设条件(H1)，(H2)满足，且A(x，z，ξ)是与z无关的函数，函数B(x，z，ξ)关于ξ是一致李普希兹的.则问题(1.1)，(1.2)至多只有一个解.证明若问题(1.1)有两个解为u1和u2，则取u1是上解，u2是下解.于是由定理1.1，得u1≥u2，反过来，取u1是下解，u2是上解，得u1≤u2，因此有u1=u2.问题(1.2)同理可证.定理3.3 假设条件(H1)，(H2)满足，且A(x，z，ξ)是与z无关的函数，B(x，z，ξ)是与ξ无关的函数，设u，v分别是问题(1.1)，(1.2)的下解和上解，则在ΩT中u≤v.证明先考虑问题(1.1)，同定理3.1中问题(1.1)的证明过程，可得(x，u，▽u)-A(x，v，▽v)]▽(u-v)dx+(x，u，▽u)-B(x，v，▽v)]Ψδ(u-v)dx≤(x，u，▽u)-B(x，v，▽v)]Ψδ(u-v)dx.注意到(x，u，▽u)-A(x，v，▽v)]▽(u-v)dx≤0，且(x，u，▽u)-B(x，v，▽v)]Ψδ(u-v)dx=(x，u，▽u)-B(x，v，▽v)]dx≤以下同定理3.1的推导方法，易得结论.对于问题(1.2)同理可证.类似定理3.2的证明，同样可证下面定理：定理3.4 假设条件(H1)，(H2)满足，且(x，z，ξ)是与z无关的函数，B(x，z，ξ)是与ξ无关的函数，则问题(1.1)，(1.2)至多只有一个解.注3.1 若取A(x，u，Du)为p-Lapacian算子，即A(x，z，ξ)=A(z)=|▽z|，满足ρρA(ρ)为增函数，则上述相关的结论均成立.【相关文献】[1] G Gripenberg.On the Strong Maximum Principle for Degenerate Parabolic Equations[J].Journal of Differential Equation，2007,242:27-85.[2] Su Ning.Extinction in Finite Time of Solutions to Degenerate Parabolic Equations with Nonlinear Boundary Conditions[J].J Math Anal Appl，2000,246:503-519.[3] Lucio Boccardo，Thierry Gallou⊇t，Juan Luis Vazquez.Solutions of Nonlinear Parabolic Equations without Growth Restrictions on the Data[J].Electronic J Differential Equations，2001,60:1-20.[4] 高云柱，裴明鹏.高阶m-点边值问题多个正解的存在性[J].北华大学学报：自然科学版，2007，8(1)：1-7.[5] Agnieszka Bartlomiejczyk，Henryk parison Principles for Parabolic Differential-functional Initial-value Problems[J].Nonlinear Analysis，2004，57:63-84. [6] 张继兵.非线性n阶n点边值问题解的存在性和唯一性[J].北华大学学报：自然科学版，2007，8(6):484-487.[7] Jeffrey R Anderson，Su Ning ，Zhang Hongfei.Existence and Uniqueness of Solutions of Degenerate Parabolic Equations in Exterior Domains[J].Nonlinear Analysis，2001,44:453-468.[8] G A philippin，S Vernier-Piro.Applications of the Maximum Principle to a Variety of Problems Involving Elliptic and Parabolic Equations[J].Nonlinear Analysis，2001,47:661-679.[9] Patrizia Puucci，James Serrin.The Strong Maxiumum Priciple Revisited[J].Journal of Differential Equations，2004,196:1-66.[10] David Gilbarg，Neil S Trudinger.Elliptic Partial Differential Equations of Second Order[M].New York：Spring-Verlag Press,1977.。

偏微分方程中的非线性方程与解的存在性偏微分方程是数学领域中的重要研究对象之一，它描述了自然界中很多现象和过程的规律。

在偏微分方程的研究中，非线性方程是一类具有重要意义的方程类型。

本文将探讨偏微分方程中的非线性方程以及解的存在性。

一、非线性方程的定义与特点在数学中，非线性方程指的是未知量与其导数或高阶导数之间存在乘法关系的方程。

与线性方程相比，非线性方程的求解更加困难，因为它们无法简化为一次项的代数方程。

在偏微分方程中，非线性方程常常具有复杂的形式和行为，往往需要借助数值或变分方法进行求解。

二、非线性方程的分类根据方程的次数和形式，偏微分方程中的非线性方程可以分为多种类型。

常见的有非线性椭圆方程、非线性抛物方程和非线性双曲方程等。

1. 非线性椭圆方程非线性椭圆方程在物理学和几何学中具有广泛的应用。

它们可以描述领域内的稳定状态和平衡问题，如椭圆型偏微分方程的存在性问题。

非线性椭圆方程的研究困难主要体现在非线性项的存在，这使得常用的求解技术不再适用。

2. 非线性抛物方程非线性抛物方程描述了许多动态和演化过程，如热传导、扩散和泛函状态的变化。

非线性抛物方程的求解面临着时间和空间复杂性的挑战，例如非线性项会引起方程的发散或者不稳定。

3. 非线性双曲方程非线性双曲方程常用于描述波动现象，如声波、电磁波等。

非线性双曲方程的求解存在着多个挑战，如波的衰减、非线性项的影响等。

解的存在性是非线性双曲方程研究中的核心问题之一。

三、解的存在性针对偏微分方程中的非线性方程，解的存在性是一个重要的问题。

解的存在性研究的目标是确定方程在给定条件下是否存在解，以及解的性质和稳定性。

对于某些非线性方程，解的存在性可以通过使用分析工具和数学推理得出。

例如，利用不动点定理、变分法和轨道理论等数学工具，可以证明某些非线性方程在一定条件下存在唯一解。

然而，对于更一般和复杂的非线性方程，求解存在性问题往往需要借助数值计算和数值方法。

通过将偏微分方程离散化为差分方程或代数方程，然后利用数值迭代等方法求解，可以得到偏微分方程的数值解，从而验证解的存在性。