抛物型方程的差分方法

向后差分法求解二位抛物方程的初边值问题下载提示：该文档是本店铺精心编制而成的，希望大家下载后，能够帮助大家解决实际问题。

文档下载后可定制修改，请根据实际需要进行调整和使用，谢谢！本店铺为大家提供各种类型的实用资料，如教育随笔、日记赏析、句子摘抄、古诗大全、经典美文、话题作文、工作总结、词语解析、文案摘录、其他资料等等，想了解不同资料格式和写法，敬请关注！Download tips: This document is carefully compiled by this editor. I hope that after you download it, it can help you solve practical problems. The document can be customized and modified after downloading, please adjust and use it according to actual needs, thank you! In addition, this shop provides you with various types of practical materials, such as educational essays, diary appreciation, sentence excerpts, ancient poems, classic articles, topic composition, work summary, word parsing, copy excerpts, other materials and so on, want to know different data formats and writing methods, please pay attention!向后差分法求解二维抛物方程的初边值问题1. 引言在数值计算领域，求解偏微分方程（PDEs）是一项重要的任务。

文章标题：向后Euler法在三维抛物型方程中的应用及ADI差分格式探讨在数学和科学计算领域，求解三维抛物型方程是一个重要且复杂的问题。

本文将从数值方法的角度出发，讨论如何使用向后Euler法来求解三维抛物型方程，并探讨ADI差分格式在该过程中的应用。

1. 三维抛物型方程的数值求解在数学建模和科学计算中，三维抛物型方程的数值求解是一个广泛应用的问题。

三维抛物型方程一般具有形如$\frac{\partial u}{\partial t} = \nabla \cdot (D\nabla u) + f$的形式，其中$D$为扩散系数，$f$为源项函数。

由于方程复杂性，传统的解析方法难以得到精确解，因此需要借助数值方法来进行求解。

2. 向后Euler法向后Euler法是一种常用的数值方法，用于离散化时间导数。

其基本思想是将时间导数用差分近似替代，通过迭代计算得到时间步数上的解。

对于三维抛物型方程，可以将时间方向的偏导数用向后Euler法进行离散化，从而得到数值解。

3. ADI差分格式ADI（Alternating Direction Implicit）差分格式是一种常用的隐式差分方法，用于求解多维偏微分方程。

其核心思想是将多维偏微分方程拆分为一维方程的求解，通过交替方向隐式差分得到整体方程的数值解。

在三维抛物型方程的求解中，ADI差分格式能够有效地提高计算效率和数值稳定性。

4. 主题回顾与总结通过本文的介绍，我们了解了向后Euler法在三维抛物型方程求解中的重要性和应用。

ADI差分格式作为一种高效的数值方法，为复杂方程的求解提供了可行的途径。

对于三维抛物型方程，我们可以利用向后Euler法结合ADI差分格式，得到高质量、深度和广度兼具的数值解。

5. 个人观点与理解在数值计算中，选择合适的数值方法对于求解复杂方程至关重要。

向后Euler法作为一种简单而有效的数值方法，为我们提供了一种直观且可行的思路。

而ADI差分格式则在多维问题的求解中发挥着重要作用，其交替方向求解的思想能够有效地提高计算效率和数值稳定性。

（） ２
边 值条件 ： （ ，） Ｍ Ｌ，） ０ ０≤ ｔ Ｔ。 （） “ ０ ｔ一 （ ｔ一 ， ≤ ３ 利用加 耗散项 的思想来构 造偏微 分方程 的差分
本 文对 高阶抛物 型方 程 （ ） 出如 下 的三 层 多 １提 参数差 分格式 ：
收 稿 臼期 ：０ ８ ９～０ ２ ０ ～０ ５
科
学 ｍ
版
Ａ ｉ ｈ Ａｃ ｕ ａ ｙ Ｄｉ ｆ ｒ ｎ ｅ Ｓ ｈ ｍｅ ｆ ｒ Ｓ ｌ ｉ ｇ Ｈ ｇ ｃ ｒ ｃ ｆｅ ｅ ｃ ｃ ｅ ｏ ｏｖ ｎ
ｔ ｔ ｄ ｒ Ｐａ ａ ｏ ｉ ｒ ｉ ｌＤｉｆ ｒ ｎｔａ ｈｅ ４ ｈ Ｏｒ ｅ ｒ ｂ ｌｃ Ｐａ ｔａ ｆ ｅ ｅ ｉ ＩＥｑｕ ｔｏ ａ ｉｎ
Ｗ Ａ ＮＧ ａ － ｎ ＬＩ Ｐｉ ｇ， ＡＮＧ Ｘｉ ｏ Ｆｅ ｇ， Ｕ ｎ Ｗ Ｂｏ
（ ． ｐ ｒ ｍｅ ｔｏ ｔ ｅ ｔ ｓ Ｘｉ ｘ ａ ｇ Ｕｎ ｖ ｒ ｉｙ Ｘｉ￣ａ ｇ ４ ３ ０ Ｃｈ ｎ ； １ Ｄｅ ａ ｔ ｎ ｆＭａ ｈ ｍａ ｉ ， ｎ ｉｎ ｉｅ ｓｔ ， ｎ ｎ ５ ０ ３， ｉ ａ ｃ
０问题 的提 出
格 式是 一个 重要 而有 效 的方法 ， 文献 ［ ，］对 四 阶 １２
抛 物型方 程 （ ） 造 了若 干显式 、 １构 隐式和半显 式差分
在渗流 、 扩散 、 热传 导等领域 中经 常会 遇 到求 解 四阶抛物型方程 的 问题 ， 一维情 形 ， 在 其模 型为 如下 初 边值 问题 ：
合 的。
关键 词 ： 物 型 方 ； 稳 粮一类 号 ： ２４程８待 定 系数 法 ； 志 码 ： ． 抛 Ｏ １．２ 文 献 标 定性 中 图分 Ａ
自
文 章 编 号 ：６ ４ ３ ６ ２ ０ ） ３ ０ ０ － ０ １ ７ —３ ２ （ ０ ８ ０ － ０ ６ ３

高阶抛物型偏微分方程的一个高精度差分格式
高精度差分格式用于解决高阶抛物型偏微分方程（HOMPDE），它比基本差分方法具有更高的精度。

它包括两个主要的部分：一是前向差分格式；二是后向差分格式，这些部分协同工作以提高HOMPDE的解决精度。

一、前向差分格式：
1. 用于处理纯时间序列的差分运算；
2. 具有稳定低误差的高精度；
3. 通过连续时间变化把高阶抛物型方程简化为多个简单的一阶抛物型方程；
4. 在进行差分运算时，可以使用差分系数表和多项式去估计函数的梯度，以极大提高计算精度；
5. 从决定非线性HOMPDE解的复杂性角度出发，可以采用Chebyshev范数来评估精度，从而消除除数分母的误差。

二、后向差分格式：
1. 适用于空间拓扑变化的元素；
2. 对处理多个变量的显式方程时，可用来准确识别和估计隐式变量；
3. 可使用各种数值技术，如快速傅里叶变换、反射矩阵等，根据拓扑变化进行多重变量运算；
4. 同时尝试多种方法，基于非线性反应的代数展开及全局正定性来
改进后向差分精度；
5. 对变化的边界条件使用可靠的边界条件模型来建立精确且实用的解。

以上就是高精度差分格式用于解决高阶抛物型偏微分方程（HOMPDE）的基本原理以及方法。

高精度差分格式可以有效地改进微分方程的解
精度，并为实现计算机模拟研究提供了良好参考框架。

二维抛物方程的有限差分法二维抛物方程的有限差分法摘要二维抛物方程是一类有广泛应用的偏微分方程，由于大部分抛物方程都难以求得解析解，故考虑采用数值方法求解。

有限差分法是最简单又极为重要的解微分方程的数值方法。

本文介绍了二维抛物方程的有限差分法。

首先，简单介绍了抛物方程的应用背景，解抛物方程的常见数值方法，有限差分法的产生背景和发展应用。

讨论了抛物方程的有限差分法建立的基础，并介绍了有限差分方法的收敛性和稳定性。

其次，介绍了几种常用的差分格式，有古典显式格式、古典隐式格式、Crank-Nicolson隐式格式、Douglas差分格式、加权六点隐式格式、交替方向隐式格式等，重点介绍了古典显式格式和交替方向隐式格式。

进行了格式的推导，分析了格式的收敛性、稳定性。

并以热传导方程为数值算例，运用差分方法求解。

通过数值算例，得出古典显式格式计算起来较简单，但稳定性条件较苛刻；而交替方向隐式格式无条件稳定。

关键词：二维抛物方程；有限差分法；古典显式格式；交替方向隐式格式FINITE DIFFERENCE METHOD FORTWO-DIMENSIONAL PARABOLICEQUATIONAbstractTwo-dimensional parabolic equation is a widely used class of partial differential equations. Because this kind of equation is so complex, we consider numerical methods instead of obtaining analytical solutions. finite difference method is the most simple and extremely important numerical methods for differential equations. The paper introduces the finite difference method for two-dimensional parabolic equation.Firstly, this paper introduces the background and common numerical methods for Parabolic Equation, Background and development of applications. Discusses the basement for the establishment of the finite difference method for parabolic equation And describes the convergence and stability for finite difference method.Secondly, Introduces some of the more common simple differential format,for example, the classical explicit scheme, the classical implicit scheme, Crank-Nicolson implicit scheme, Douglas difference scheme, weighted six implicit scheme and the alternating direction implicit format. The paper focuses on the classical explicit scheme and the alternating direction implicit format. The paper takes discusses the derivation convergence,and stability of the format . The paper takes And the heat conduction equation for the numerical example, using the differential method to solve. Through numerical examples, the classical explicit scheme is relatively simple for calculation, with more stringent stability conditions; and alternating direction implicit scheme is unconditionally stable.Keywords:Two-dimensional Parabolic Equation; Finite-Difference Method; Eclassical Explicit Scheme; Alternating Direction Implicit Scheme1绪论1.1课题背景抛物方程是一类特殊的偏微分方程，二维抛物方程的一般形式为u Lu t ∂=∂ (1-1)其中1212((,,))((,,))(,,)(,,)(,,)u u u u u u L a x y t a x y t b x y t b x y t C x y t x x y y x y∂∂∂∂∂∂=++++∂∂∂∂∂∂ 120,0,0a a C >>≥。

第 ３３卷 第 ３期
２０１３ 正 ５月
高 师 理 科 学 刊
Ｊｏｕｒｎａｌ ｏｆ Ｓｃｉｅｎｃｅ ｏｆ Ｔｅａｃｈｅｒｓ Ｃｏｌｌｅｇｅ ａｎｄ Ｕｎｉｖｅｒｓｉｔｙ
文章编 号 ：１００７—９８３１（２０１３）０３—０００７—０２
Ｖｏ１．３３ ＮＯ．３ Ｍａｙ ２０１３
一 类二维抛物 型方程 的有 限差分方法
０ｕ ａ Ｕ ａ Ｕ
＿ — ＋’ — ＋‘ ＣＵ
， Ｙ，ｆ）∈
ｕ（ｘ，Ｙ， ０）＝ｏ（ｘ， ） ０ ，Ｙ≤ １ ｕ（Ｏ，Ｙ，ｆ）＝ （ｙ，ｆ） ０ Ｙ≤１： ０ ｔ Ｔ ｕ（１，Ｙ，ｆ）＝ｒＰ２（Ｙ，ｆ） ０≤ Ｙ １： ０≤ｔ Ｔ ｕ（ｘ， ０，ｆ）＝ｏ）１（ ，ｆ） ０ ≤１： ０≤ｔ Ｔ ｕ（ｘ， １，ｆ）＝ ！（ ，ｆ） ０ ≤１： ０≤ ｔ≤Ｔ
其中：Ｕ ｏ＝ ； 最 ＝ 一 ； ：， ＝仍； ＝ｑ； ＝ ．
２ 稳定性分析
采用 Ｖｏｎ Ｎｅｗｍａｎｎ方法ｕｐ 对式 （３）进行稳定性分析． ＼、 ●● ＿、、
令 ＝ ｅ ‘属肌岛 ＋ ，代人差分格式 （３），得
Ｄ ，Ｊ ＿
［１＋２ｒ一一ｌ２ｃｋ １ ｒ、２（ｌ ， ｅ堋）］箭 ＝ｆ１＿２ｒ＋＿１ 十＿１ｒ（
收 稿 日期 ：２０１３－－０１—２０ 基金项 目：安徽省教育厅 自然科学基金重点项 目 （ＫＪ２０１０Ａ２２４）；安庆师范学院青年科研基金项 目 （ＫＪ２０１０２０） 作 者 简介 ：舒 阿秀 （１９７７一），女 ，安徽 旌德 人 ，副教 授 ，硕 士 ，从 事偏 微分 方程 数值 解 研究 ．Ｅ—ｍａｒｌ
Ａ ｆｉｎｉｔｅ ｄｉｆｆｅｒｅｎｃｅ ｍｅｔｈｏｄ ｆｏｒ ａ ｋｉｎｄ ｏｆ ｔｗｏ－ｄｉｍ ｅｎｓｉｏｎａｌ ｐａｒａｂｏｌｉｃ ｅｑｕａｔｉｏｎ

偏微分方程数值解复习提纲一.基本内容:(1)椭圆型方程差分方法;(2)抛物型方程差分方法;(3)双曲型方程差分方法;(4)椭圆型方程的有限元方法.二.基本概念:(1)显式和隐式差分格式,网格比和加密路径;(2)差分格式的截断误差、相容性、稳定性、收敛性、逼近精度阶和收敛阶;(3)双曲型方程(组)的特征与Riemann不变量,差分格式的依赖区域和CFL条件;(4)差分格式的增长因子和增长矩阵、振幅误差与相位误差、耗散与色散、群速度；(5)双曲守恒方程的弱解与激波传播速度；(6)守恒性与守恒型差分格式、有限体积法；(7)差分格式的Fourier分析与L2稳定性、最大值原理与L∞稳定性、实用稳定性和强稳定性、网格的P`e clet数;(8)椭圆边值问题的变分形式与弱解、强制边界条件与自然边界条件；(9)Galerkin方法与Ritz方法,协调与非协调有限元方法；(10)有限元与有限元空间,有限元插值算子与插值函数,有限元方程与有限元解；(11)有限元的仿射等价与等参等价,有限元剖分的正则性和拟一致性.三.基本方法与技巧:(1)比较函数与利用最大值原理的误差分析;(2)Taylor展开、Fourier分析、最大值原理；(3)修正方程分析、能量法分析；(4)充分利用解的守恒性和特征,以及适当处理初始条件与边界条件；(5)Sobolev空间及其基本性质，如嵌入定理、迹定理,Poincar´e-Friedrichs不等式;(6)仿射等价、多项式不变算子、商空间与商范数、Sobolev空间半范数的关系;(7)Aubin-Nische技巧,bramble-Hilbert引理,双线性引理.四.基本格式:(1)二维Poisson方程的五点差分格式;(2)抛物型方程的显式差分格式、隐式差分格式、Crank-Nicolson格式和θ-方法；(3)具有热守恒性质的格式；(4)ADI格式与LOD格式；(5)双曲型方程的迎风格式、Lax-Wendroff格式、盒式格式和蛙跳格式；(6)守恒型格式、有限体积格式；(7)二阶椭圆型方程C0-类协调有限元方法.五.基本定理与结论:(1)最大值原理,比较定理;(2)Lax等价定理;(3)CFL条件、von Neumann条件、实用稳定性和强稳定性条件;(4)Lax-Milgram引理、C´e a引理、第一和第二Strang引理；(5)椭圆型方程有限元解的先验误差估计与收敛性.。

～ （ 手 ＋ ＋ （ 手 ＝ 旨一）ｌ５ｒ“旨一 ） ｎ‘ ）＋ ＋ “ 上 ２ （ ＋ ）＋ 一“（ 手 ＋（ Ｉ 手ｕ （ ｒ＋ Ｌ ： ） 吉＋ ） ｝ 。 ： 。 审＋ Ｊ ） ． （ ５ ）
ｏ
‘
＋
＋
＋
即 （ ） 可 以写 成 尸 ５式
Ｑ
．
将（ ） ４ 式按 （ ） ２ 式展 开， 且令 ， ： ， 代入并整理得 ： ２
Ⅱ ， ）西 ， （ Ｏ＝ （） Ｍ ０ ｔ＝ （，） ０ （ ，） Ｍ Ｚｔ＝ ．
Ｏ ， ≤ ≤１ ｆ ． ≥０
＂
对 上述 问题 ， 献日 出 了一 种 无 条 件 稳 定 双 层格 式 ， 文 给 用
（ 治学 院 数 学 系， 西 长 治 长 山 ０６ １ ） ４ ０ １
摘
要： 文章提 出了数值 求解一维抛物型方程的四阶 紧致差分 一 ＭＧ算法 ， Ｆｒ ｒ 法证 明该格式是 无条件稳 定的． 用 ｏｅ方 ｉ 并
且利用 了多重网格方法 ， 采用数值试验验证 了方法的精确性 与可靠性 。
关键 词 ： 维抛 物 型 方程 ； 阶 紧致 差分 ； 一 四 多重 网格 法
３ 数值 例 子
利用 Ｆｒ ｒ ｏ ｅ 方法 ， ｉ 令
ｅ （） ７ 其中 ｉ 为虚数单位．
为 了 验证 格 式 的精 确 性 和多 重 网 格 方 法 的 效果 ， 们 考 我 察 如 下初 边 值 问题 ：
将（ ） ７ 代人（ ） ， ５ 式 消去 ， 则得增长 因子 ：
０５ ．
０． ７
０２ ０ ７ ６ ２ ６ ．９ ８ ８
０． ０ ７３ ７７ ３９ ７ ４
ｌ
注 意到 （

关 键 词 ： 迟 抛 物 偏 微 分 方 程 ； ｒｎ － ｉ ｌ ｎ差 分 格 式 ； 敛 性 延 Ｃ ａ ｋＮ ｃ ｓ ｏｏ 收
中图分类号 ： ７．９ Ｏ１ ５ ２ 文 献 标 识 码 ：Ａ
Ａ ｆ ｅ ｅ ｅ Ｓ ｈｅ ｅ ｆ ｒ ａ Ｃｌ ｓ ｆ Ｄｅ ａ ｒ ｂ ｌｃ Ｅｑｕ ｔｏ ｓ Ｄｉ ｆ ｒ ｎｃ ｃ ｍ ｏ ａ ｓ ｏ ｌ ｙ Ｐａ ａ ｏ ｉ ａ ｉｎ
ｅ ａ ｐｌ ｓ ｐ ｏ ｄ ｄ ｔ ｅ ｔｆ ｈｅ ｒ ｓ ｔ． ｘ ｍ ｅｉ ｒ ｖｉｅ ｏ ｔｓ ｉｙ ｔ ｅ ｕｌｓ Ｋｅ ｒ ｙ ｗｏ ｄｓ：ｄ ｌ ｙ ｐａ ａ ｅ ａ ｒ ｂｏｌ ｒｉ ｌｄｉｆ ｒ ｎｔａ ｑｕ ｔｏｎｓ；Ｃｒ ｎｋ Ｎｉｏｌｏｎ ｄｉｆ ｒ ｎｃ ｃ ｍ ｅ；ｃ ｎｖ ｒ ｎｃ ｉ ｐａ ｔａ ｆｅ ｅ ｉ ｌｅ ａ ｉ ｃ ａ — ｃ ｓ ｆｅ ｅ ｅ ｓ ｈｅ ｏ ｅ ｇｅ ｅ
ＪＮ ａ —ｅ ｇ ， Ｈ ＯＵ ｅ ｇ ｒ ｉ ， ＣＵＩＨ ａ—ａ Ｉ Ｙｕ ｎ ｆｎ Ｃｈ ｎ — ｎ ａ ｌｌｎ
（１ Ｄｅ ｒｍｅ ｔ ｆ ａｈ ｍａ ｉｓ，Ｃｏｌｇ ｆ Ｓ ｉｎ ｅ ． ｐａ ｔ ｎ Ｍ ｔ ｅ ｔｃ ｏ ｌｅ ｅｏ ｃｅ ｃ ，Ｙａ ｂａ ｉｅ ｓｔ ｎ ｉｎ Ｕｎ ｖ ｒｉｙ，Ｙ ｎ ｉ１ ３ ０ ａ ｊ ３ ０ ２，Ｃｈｎ ｉａ：
时滞 抛 物型 方程 在物 理学 、 化学 、 物学 和生 态学 等 领域 中有 着 广 泛 的应 用 ， 由于 只有 非常 少 的 生 但
时滞 抛 物型方 程 可 以得 到 解析解 的表达 式 ， 且 时滞项 的存 在又 使 得 时滞 抛 物 型方 程 的理 论 分析 具 有 并
一
定 的 困难 ， 而数 值方 法 的研究 可 以极 大地弥 补 理论研 究 的不 足 ， 因此研 究时滞 抛物 型方程 的数 值计 算

二维抛物方程的有限差分法二维抛物方程的有限差分法摘要二维抛物方程是一类有广泛应用的偏微分方程，由于大部分抛物方程都难以求得解析解，故考虑采用数值方法求解。

有限差分法是最简单又极为重要的解微分方程的数值方法。

本文介绍了二维抛物方程的有限差分法。

首先，简单介绍了抛物方程的应用背景，解抛物方程的常见数值方法，有限差分法的产生背景和发展应用。

讨论了抛物方程的有限差分法建立的基础，并介绍了有限差分方法的收敛性和稳定性。

其次，介绍了几种常用的差分格式，有古典显式格式、古典隐式格式、Crank-Nicolson隐式格式、Douglas差分格式、加权六点隐式格式、交替方向隐式格式等，重点介绍了古典显式格式和交替方向隐式格式。

进行了格式的推导，分析了格式的收敛性、稳定性。

并以热传导方程为数值算例，运用差分方法求解。

通过数值算例，得出古典显式格式计算起来较简单，但稳定性条件较苛刻；而交替方向隐式格式无条件稳定。

关键词：二维抛物方程；有限差分法；古典显式格式；交替方向隐式格式FINITE DIFFERENCE METHOD FORTWO-DIMENSIONAL PARABOLICEQUATIONAbstractTwo-dimensional parabolic equation is a widely used class of partial differential equations. Because this kind of equation is so complex, we consider numerical methods instead of obtaining analytical solutions. finite difference method is the most simple and extremely important numerical methods for differential equations. The paper introduces the finite difference method fortwo-dimensional parabolic equation.Firstly, this paper introduces the background and common numerical methods for Parabolic Equation, Background and development of applications. Discusses the basement for the establishment of the finite difference method for parabolic equation And describes the convergence and stability for finite difference method.Secondly, Introduces some of the more common simple differential format,for example, the classical explicit scheme, the classical implicit scheme, Crank-Nicolson implicit scheme, Douglas difference scheme, weighted six implicit scheme and the alternating direction implicit format. The paper focuses on the classical explicit scheme and the alternating direction implicit format. The paper takes discusses the derivation convergence,and stability of the format . The paper takes And the heat conduction equation for the numerical example, using the differential method to solve. Through numerical examples, the classical explicit scheme is relatively simple for calculation, with more stringent stability conditions; and alternating direction implicit scheme is unconditionally stable.Keywords:Two-dimensional Parabolic Equation; Finite-Difference Method; Eclassical Explicit Scheme; Alternating Direction Implicit Scheme目录摘要........................................................................................................................... .. (I)Abstract .............................................................................................................. ............................ II 1绪论. (1)1.1课题背景 (1)1.2发展概况 (1)1.2.1抛物型方程的常见数值解法 (1) 1.2.2有限差分方法的发展 (2)1.3差分格式建立的基础 (3)1.3.1区域剖分 (3)1.3.2差商代替微商 (3)1.3.3差商代替微商格式的误差分析 (4) 1.4本文主要研究容 (5)2显式差分格式 (7)2.1常系数热传导方程的古典显式格式 (7) 2.1.1古典显式格式格式的推导 (7)2.1.3古典显式格式的算法步骤 (8)3隐式差分格式 (10)3.1古典隐式格式 (10)3.2 Crank-Nicolson隐式格式 (12)3.3 Douglas差分格式 (13)3.4加权六点隐式格式 (14)3.5交替方向隐式格式 (15)3.5.1 Peaceman-Rachford格式 (15) 3.5.2 Rachford-Mitchell格式 (15)3.5.3 Mitchell-Fairweather格式 (15) 3.5.4交替方向隐式格式的算法步骤 (16) 4实例分析与结果分析 (17)4.1算例 (17)4.1.1已知有精确解的热传导问题 (17) 4.1.2未知精确解的热传导问题 (19)4.2结果分析 (20)5稳定性探究与分析 (21)5.1稳定性问题的提出 (21)5.2 几种分析稳定性的方法 (21)5.3 r变化对稳定性的探究 (23)5.3.1 古典显式格式的稳定性 (23)5.3.2 P-R格式格式的稳定性 (24)结语 (26)参考文献 (27)附录P-R格式的C++实现代码 (28)致谢 (30)1绪论1.1课题背景抛物方程是一类特殊的偏微分方程，二维抛物方程的一般形式为u Lu t=? (1-1) 其中1212((,,))((,,))(,,)(,,)(,,)u u u u u u L a x y t a x y t b x y t b x y t C x y t x x y y x y=++++ 120,0,0a a C >>≥。

解二阶抛物型方程含参数高精度两层差分格式引言在数值计算中，抛物型偏微分方程是一类重要的方程，涉及到热传导、扩散、反应扩散等许多实际问题的数值模拟。

而解二阶抛物型方程含参数的问题则更具有挑战性，建立高精度的差分格式成为研究的重点之一。

本文将详细探讨解二阶抛物型方程含参数的高精度两层差分格式。

二阶抛物型方程含参数先考虑一个边界平滑、参数依赖的二阶抛物型方程：其中，u(x,t)是未知函数，a(x)是参数函数，f(x,t)是外力项。

本文的目标是构建一个高精度的差分格式来求解这个方程。

高精度差分格式的结构由于我们要构建高精度的差分格式，自然而然地思路是采用两层差分格式的结构。

两层差分格式具有更高的精度和更好的稳定性，对于求解复杂的偏微分方程尤为有效。

一维差分格式首先，我们先介绍一维的差分格式。

对于一维问题，我们可以将区域进行离散化，将连续的问题转换为离散的问题。

一维差分格式可以表示为：这个差分格式包含三个部分，分别是时间项、空间项和外力项。

其中，时间项计算了时间导数，空间项使用中心差分方法计算了空间导数，外力项贡献了外力。

多维差分格式对于二维问题，我们可以将其推广为多维差分格式。

多维差分格式的基本思想是利用乘积形式构造更高维的差分格式。

在这里，我们只考虑二维情况：这个差分格式在时间、x方向和y方向都有相应的差分项。

同样，时间项计算了时间导数，空间项使用了中心差分方法计算了空间导数，外力项贡献了外力。

参数依赖的高精度两层差分格式在介绍了一维和多维差分格式后，我们接下来考虑含参数的高精度两层差分格式。

对于含参数的问题，我们需要在空间项中考虑该参数的影响。

高精度的两层差分格式可以表示为：其中，αi,j n是参数依赖的系数。

高精度差分格式的稳定性和收敛性分析在构建高精度差分格式时，我们不仅需要关注其精度，还需要考虑其稳定性和收敛性。

在这一部分，我们将对所构建的高精度差分格式进行稳定性和收敛性的分析。

稳定性稳定性是差分格式是否收敛的重要条件之一。

解二阶抛物型方程含参数高精度两层差分格式
解二阶抛物型偏微分方程是许多领域中非常重要的问题，例如热传导、扩散、化学反应等。

然而，在实际计算中，由于参数的存在，往往需要使用高精度的差分格式来保证数值计算的准确性。

以下是一种含参数的高精度两层差分格式，可以用于解决二阶抛物型偏微分方程：
1. 先验估计
为了使用高精度两层差分格式，我们首先需要进行先验估计，以确定合适的时间步长和空间步长。

具体来说，我们可以使用稳定性分析来确定时间步长和空间步长的上限值。

2. 差分格式
在确定了时间步长和空间步长之后，我们可以开始使用高精度两层差分格式来求解二阶抛物型偏微分方程。

该差分格式通常包括以下几个步骤：
（1）先用向前差分公式求解第一层，得到一个中间解。

（2）再采用Crank-Nicolson格式对第二层进行差分，同时使用前一步得到的中间解进行修正。

（3）最后，将得到的数值解反推回到未知函数的值域中，得到方程的
数值解。

需要注意的是，在使用这种高精度差分格式进行计算时，我们需要使
用高精度的算法来保证计算的准确性。

3. 参数调节
由于实际问题中经常存在参数不确定性的情况，因此，在进行数值计
算时，我们需要对参数进行调节和优化。

具体来说，我们可以通过多
次求解不同的二阶抛物型偏微分方程，来不断调节参数并逐步优化计
算结果。

以上是一个含参数的高精度两层差分格式，可以用于解决二阶抛物型
偏微分方程的计算问题。

该方法能够保证数值计算的高精度和准确性，同时也能够应对实际问题中的参数不确定性。

crank nicolson差分格式
Crank-Nicolson差分格式是常用的数值求解偏微分方程的方法之一，它在时间和空间两个维度上均使用了中心差分。

对于二维抛物型偏微分方程，假设其形式为：
∂u/∂t = D(∂²u/∂x² + ∂²u/∂y²) + f(x,y,t)
其中，D为扩散系数，f(x,y,t)为源项。

我们将时间和空间离散化，得到差分格式：
u(i,j,n+1) - u(i,j,n) / Δt = D(u(i+1,j,n+1)-
2u(i,j,n+1)+u(i-1,j,n+1))/Δx² + D(u(i,j+1,n+1)-
2u(i,j,n+1)+u(i,j-1,n+1))/Δy² + 1/2(f(i,j,n)+f(i,j,n+1)) 其中，i,j表示空间中的网格点，n表示时间层的编号。

此格式是一个隐式格式，需要求解一个线性方程组来获得下一时间层的解。

这个方程组可以用追赶法（Tri-diagonal Matrix Algorithm）解决，复杂度为O(N)，其中N为网格点总数。

Crank-Nicolson差分格式精度较高，对于时间步长Δt和空间步长Δx,Δy的选择有一定的限制，一般而言，Δt应该小于Δx²/(4D)。

Ａ ［ ｌ ＋ ２； ３“＋ ＋ １ ／ ＋１ “＋ ＋ ；１ ２ ＝ ［５？ ＋（一 ５ ７） ７“一］ ， “ “ 一 ＋ （ ｌ “一 ）２ ７（ｎ｝ ｕ２） ］ 口 ｒ“ ） ４ － ／ ／ １ —１ “ ＋１ ； ６ ６
（） ２
其 中 Ａ， 关 于 ｔ的 一阶 向前 差商 ， 是 关 于 的 二 阶中心 差商 ， ～ 是 待定 参数 ． 是 ６ ｌ ６ 将 （） ２ 中各节 点 上的 “以其 在节 点处 展开 的 Ｔ ｙ ｒ 数代入 ， 利用方 程 （ ） ａｌ 级 ｏ 并 １可得
均达 ０（ ￡ ＋ △ ） 在 不增 加节 点所 在 区间宽 度 的情况 下 ， ． 是否 存在精 度更 高 的－ ， 线型 隐格 式 ？文 ［ ］ －ｘ 角 ￣ ３ 曾给 出 了一个 截 断 误差 为 ０（ ＋ △￡ ） 隐 格 式， 由于 作 者 算 错 了 一个 误 差 项【 格 式 的 精 度 仍 为 ｔ ｈｓｐ ｐｒ Ｔ ｅｌ ａ ｔ ｎ ａｉｎｅｒｒｉ Ｏ （ ｔ ｅｅ ｔ ｌ ｕ ｔ ｎ ｒ ｒ ｎｅ ｉ ｔｉ ａｅ ． ｈ ｃｌ ｒ ｃｔ ｒ Ａ ＋ ａｅ ｏ ｓ ｄｎ ｏ ｕ ｏ ｏ ｓ
ａ ｓ ｌ ｅ ｙ ｓａ ｌ ｎｄ ｃ ｎ ａ ｉｙ ｓ ｌ ｅ ｏ ｂｌ ｗｅ ｐ ｎ ｔ ｏ ｂ ｕｔ ｌ ｔ ｂ ｅ ａ ａ ｂｅｅ ｓｌ ｖ ｄ ｂｙ ｄ ｕ ｅ ｓ ｅ ｉ ｇ ｍｅ ｈ ｄ． ｏ ｏ Ｋｅ ｒ ： ｎｅ ｄ ｍｅ ｉｎ ｌｐ ｒ ｂ ｉ ｑ ａ ｉｎ； ｉ ｈ ａ ｃ ａ ｙ；ｍｐｌ ｉ ｉｆｒ ｎｃ ｃ ｍｅ ｙ ｗｏ ｄｓ ｏ — ｉ ｎｓｏ ａ ａ ａ ｏｌ ｅ ｕ ｔｏ ｈ ｇ ｃ ｕｒ ｃ ｉ ｃ ｉ ｔｄ ｆｅ ｅ ｅｓ ｈｅ ｃ
维普资讯
第 １ 第 ５期 ８卷

对 问题 （ ） １ 的求解 ， 限差 分法 是 解决 此 类 问题 的常用 方 法 ， 见 的差 分 格式 如 古 典 隐格 式 、 有 常
Ｃａｋ Ｎｃｌ ｎ格 式和 Ｄ ｆ ｔＦａｋｌ 式 等 ， 都是 绝对 稳 定 的 ， ｒｎ — ｉ ｓ ｏｏ ｕｏ — ｒｎｅ格 ｒ 虽 但其 截 断误 差均 较低 ， 两者 分 别是 前
３ 数 值 例 子
考 虑扩散 方程
＝
Ｍ ．）：ｓ （ ０ ｉ ｎ似 ， ≤ １ ０≤ ，
、 Ｊ
（ ｅａ ｍ ｎ ｔｅ ａ ｃ Ｅ ｕａｏ ， ｕｎｚｏ ｏｅｅｏ Ｓｕ ｈ ａＵ ｉ ｒ ｔ ｏ Ｔｃｎｌ ｙＧ ａｇｈｕ １ ０ ， ｈ ａ Ｄ ｐｒ ｅｔ ｆ ｈｍ ｔｓ ｄｃｔｎ Ｇ ａｇｈｕＣ ｌｇ ｏｔ Ｃ ｉ ｎ ｅ ｉ ｅｈｏ ｇ ，ｕｎ ｚｏ￣５０ ０ Ｃ ｉ ） ｔ ｏ Ｍａ ｉ ｉ ｌ ｆ ｈ ｎ ｖ ｓｙ ｆ ｏ ８ ｎ
在 渗流 、 扩散 、 热传 导等领 域 中经常会 遇到 求解抛 物 型方程 的 问题． 一维 的情形 ， 在 其模 型 为初边 值
Ｏ ２ Ｏ — ｔ
＿ ＿ ＿
ｕ ０ ≤ ≤
，
０ ≤ ￡≤ ， ＞ ０， 口
ｕ ｘ ０ ＝ ） ０≤ ≤ Ｌ （ ，） （ ， ，
ｕ Ｏ，） （ ｔ ＝０ ０≤ ｔ （ ￡ ＝ｕ Ｌ，） ， ≤
＋丁ａ ０Ｉ ＋Ｄ ｒ ） ｈ ｒ ＂） Ｚ ＋ Ｌ （ ，
：
△ ＋ ： ｃ ＋ 吐ｃ ｎ 雾
＝
（ ） （ ） ＋Ｏ（ ， ＋ ｈ ）
＝
（ （ ０ ｎ ， 》 ｒ ＋ ４ Ｕ ． ， ￣ ） 其 ＝ ＝ ¨ ＝ 等丑 ， ． 其 推
ｄ ｆｅ ｅ ｃ ｃ ｅ ｓ ｐ ｏ ｅ ｏ ｂ ｎ ｏ ｄｉ ｏ ａｌ ｔｂ ｅ ｉ ／２ ≤ ０ ≤ １．ａ ｄ ｔ ｅ ｔ ｂｌｔ ｏ ｄ ｔｏ ｓ ｉｆｒ ｎ ｅ ｓ ｈ ｍｅ ｗａ ｒ ｖ ｄ ｔ ｅ ｕ ｃ ｎ ｔ ｎ ｌｙ ｓａ ｌ ｆ１ ｉ ｎ ｈ ｓａ ｉ ｙ ｃ ｎ ｉｉｎ ｗａ ｉ

（ 器） ＋ （
ｃｌ ｌ
一） 。 ≤ ： 一］
Ｉ ×
ｌ ｌ ｌ ｆ＋ △ ｌｌ ｌ
ＲＩ （ “ ＋ｃ Ｉ
６ 一
＝∑ ｌ 一 ｌ ； ６ Ｊ １ ＝
Ｉ Ｉ ２ 靠ｌ ？ ＋ 一 Ｉ ｌｌ Ｉ
；Ｉ ；ｌ ２ 一 一 ～ Ｉ 。 ｌ
第 ８卷
第２ ３期
２０ ０８年 １ ２月
科
学
技
术
与
工
程
Ｖｏ＿ Ｎｏ ２ ｌ８ ．３
Ｄｅ ． ２ ０８ ｃ ０
１７ —８ ９ ２０ ）３６ ２ —３ ６ １ １１ （０ ８ ２ —３ １０
Ｓ ｉｎ ｅ Ｔ ｃ ｎ ｌｇ ｎ ｎ ｉ ｅ ｒｎ ｃ ｅ ｃ ｅ ｈ ｏ ｏ ｙ ａ ｄ Ｅ ｇｎ ｅｉ ｇ
６＋ ＝ ＋ ６一 － Ｌ
，
＿ ， ， ， 一ｌ 『 ＝ｌ ２ … － ； ，
Ｇ ｌｋｉ ｖ和 Ｐ ｈ ｚｅ 讨 论 了 下 述 方 程 的 ａ ｔｎ ａ ｏ ｏｏａｖ
Ｃ ｕｈ （Ｚ ， ａ ｃｙ ／ ＞１Ｐ＞１ 问题 ： ／ ＇ ） 艿 ＝ √＝ ， ， ， 一 ； 。 ｌ … － ２ ，
关键词 四阶抛物方程
中图法分类号
Ｏ ４ ．２ ２ １８ ；
文献标志码
Ａ
本文研究 文献 ［ ］ ｕ＝ 时 的 四阶半 线 性抛 １ 中“ ” 物 型方程 的初 边值 问题 。 ｆ ＋ ｌ／ Ｉ， ｔ ∈ ×（ ， ］ ｚＺ ＝Ｉ （ ） ｐ ， ０Ｔ ，
区间［ ， ］ －等 分 ， 长 ＝ 满 足 △ ＝Ｏ（ ； ０１作 ， 步 ￡ ｈ ）
＋ ＝
＿ 。
，
＝
０， ， ， １… ． ，一１ ；