一类抛物型方程的能控性

分类号：O241.82本科生毕业论文（设计）题目：一类抛物型方程的计算方法作者单位数学与信息科学学院作者姓名专业班级2011级数学与应用数学创新2班指导教师论文完成时间二〇一五年四月一类抛物型方程的数值计算方法(数学与信息科学学院数学与应用数学专业2011级创新2班)指导教师摘要: 抛物型方程数值求解常用方法有差分方法、有限元方法等。

差分方法是一种对方程直接进行离散化后得到的差分计算格式，有限元方法是基于抛物型方程的变分形式给出的数值计算格式.本文首先给出抛物型方程的差分计算方法，并分析了相应差分格式的收敛性、稳定性等基本理论问题.然后，给出抛物型方程的有限元计算方法及理论分析.关键词：差分方法，有限元方法，收敛性，稳定性Numerical computation methods for a parabolic equationYan qian(Class 2, Grade 2011, College of Mathematics and Information Science)Advisor: Nie huaAbstract: The common methods to solve parabolic equations include differential method, finite element method etc. The main idea of differential method is to construct differential schemes by discretizing differential equations directly. Finite element scheme is based on the variational method of parabolic equations. In this article, we give some differential schemes for a parabolic equation and analyze their convergence and stability. Moreover, the finite element method and the corresponding theoretical analysis for parabolic equation are established.Key words: differential method, finite element method, convergence, stability1 绪 论1.1 引 言自然界里中热的传播，溶质在液体中弥散，多孔介质中渗流等随时间发展的现象和过程，都可以用抛物型方程来描述.因此，抛物型方程是刻画自然界的一类很重要的方程.然而，很多的方程我们并不能求出它的精解确，或者表达式过于复杂，所以需要采用数值方法去计算它们的近似解.抛物型方程最基本的计算方法当属有限差分法[1]，通过离散化便可得到计算格式，该方法构造简单，易于操作.但是在处理一些复杂的边值问题时计算会很复杂，因此我们需要探讨一些新的处理手段.有限元计算方法起源于椭圆型方程的计算，它将求解椭圆型方程的解转换为求解其变分形式的解[1],从而极大地丰富了偏微分方程的计算手段.正式由于其在椭圆型方程计算中的巨大优势，以及抛物型方程与椭圆型方程的密切联系，所以该方法很自然的被推广到了抛物型方程初边值问题的计算上[4].本文系统的总结了一类抛物型方程的计算方法，包括有限差分法和有限元方法.并且通过数值算例给出了两类方法的一个比较.为此,本文需要先给出一些基本的分析知识作为研究该问题的基础[6,7]，下来就给出了抛物型方程的变分形式，这个是构造有限元计算格式的基础，在此基础上，给出了有限元计算格式并讨论了其收敛性和稳定性. 1.2 准备知识抛物型偏微分方程是一类典型的发展方程，其一般形式如下：)()(x f u L tu=-∂∂ （1.1.1） 其中),(t x u 是空间自变量).....(1n x x x =和时间t 的未知函数，L 是关于空间变量的线性椭圆型微分算子，即f u c x b x x a L n i i i j i n j i ij=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+∂∂+∂∂±≡∑∂∑=21, 其系数的实函数为自变量和右端项)...(,,1n ij ij x x x f c b a =，且在方程（1.1.1）的定义域n R ∈Ω中满足椭圆性条件Ω∈∀∈=∀>≥∑∑==x x ix x aR nn ni j i nj i ij,}0{).....(,0)()()(1121,ξξξααξξξ（1.1.2）当L 是非线性椭圆型微分算子或者f 是u 的非线性函数时，则称相应的抛物型方程为非线性的.下面给出抛物型方程的定解条件： 初值条件，不妨设初始时刻0=t ,则Ω∈∀=x x u x u ),()0,(0 （1.1.3） 第一类边值条件：0,),,(),(>∀Ω∂∈∀=t x t x u t x u D （1.1.4） 第二类边值条件：0,),,(),(>∀Ω∂∈∀=∂∂t x t x g t x vu（1.1.5） 第三类边值条件：0,),,(),)((>∀Ω∂∈∀=+∂∂t x t x g t x u tuα （1.1.6） 其中00),(,,>≥ααα上，且至少在一部分边界的已知函数，是t x u g u D ，v 为的单位外法向量Ω∂.2，有限差分法本章将给出抛物型方程最基本的计算方法—有限差分法。

Vol. 42， No. 2May ， 2021第42卷第2期2021 年 5 月吉林师范大学学报(自然科学版)Journal of Jilin Normal University ( Natural Science Edition )doi ：10.16862/ki. issn1674-3873. 2021. 02. 008一类受控于bang-bang 控制的退化抛物系统的近似能控性杜润梅，刘亚新(长春工业大学数学与统计学院，吉林长春130012)摘要:选取作用在区域内部的bang-bang 控制作为控制函数，利用共轭系统的唯一延拓性证明了一类在边 界退化的抛物系统的近似能控性.结果表明，对任意的目标函数均存在一个控制函数，使该问题的解在有限 时间内可充分接近目标函数.关键词：退化抛物方程组;近似能控性;耦合方程组;bang-bang 控制中图分类号：0175.26 文献标志码：A 文章编号：1674-3873-(2021)02-0045-071预备知识本文考虑如下耦合系统:div( a 〕( ”) V u ) + 〃]( ”)V u +C ]]氐,(”，t ) w Q t ；(1)u + % v =d vdiv(。

2( ”)Vv) + &2 ( ”)V v + C 21 u + C 22 V 二 0 , ( ”，t) E. Q 丁 ； dt u( ”，t)二 0,v( ”，t)二 0 , ( ”，t) E dC X (0, T); u(”，0)二 u °(”),v(”，0)二v °(”)，” e C.(2)(3)(4)其中:Q t =C x (0,T) ,C 为］R "—有界域,T>0；控制函数hEl}( Q t ) ； X 为特征函数是C 的开子集,函数a t e C( C ) n c 1 (C)满足条件a t > 0,” e C ,且假设I a ；1 ( ”)d ”V+s , (5)C b i = (bm …,b n^E W" (C ；R n ),. inf lc,l > 0® UU®,u 0,”0EL 2( C).这里 i,j = 1,2.方程(1)3X ［0, T ］ 丿和(2)可以用来描述生物模型［1］.本文证明了控制函数h 可以选取为bang-bang 控制.该控制类似于开关，可以由一个值转换为另一 个值.在实际的生产生活中,bang-bang 控制更容易实现,所以对它的研究是必要的.目前，关于退化抛物方程组的研究取得了一些成果,见文献［2-9 ］.本文利用文献［10 ］的方法,首先 考虑控制系统(1),(2),(3)在零初值条件，即u(”，0)二0,v(”，0)二0,”e C (6)下的近似能控性，再证明系统(1)—(4)是近似能控的.收稿日期：2021-03-11基金项目：吉林省教育厅“十三五”科学技术项目(JJKH20200643KJ,JJKH20200679KJ)第一作者简介:杜润梅(1985—),女'吉林省长春市人'副教授'博士'博士生导师.研究方向:偏微分方程及其应用.46吉林师范大学学报（自然科学版）第42卷2适定性和近似能控性定义1如果对任意满足了，第eL2(Q t),<p(-,T)\°=*(-,T)1。

双曲线型方程
偏微分方程分类 抛物型方程
椭圆型方程
混合型方程
考虑拟线性方程组2222211111
f y v d x v c y u b x u a f y v d x v c y u b x u a =∂∂+∂∂+∂∂+∂∂=∂∂+∂∂+∂∂+∂∂
分类方法一：克莱姆法则
)
()()
(1221122112211221d b d b c c b c b d a d a b c a c a a -=-+--=-=
042>-ac b 方程组是双曲型
042=-ac b 方程组是抛物型
042<-ac b 方程组是椭圆型
分类方法二：特征值法
][][2
21112211
d b d b c a c a N -= N 的特征值是实数，方程是双曲型
N 的特征值是虚数，方程是椭圆型
N 的特征值是实数和虚数的混合，方程组是混合特性
二阶偏微分方程
AUxx+BUxy+CUyy+...= 0
Δ=B^2-4AC
Δ>0:双曲型
Δ=0:抛物型
Δ<0:椭圆型
双曲型方程
例如：
稳态无黏超声速流动
非定常无黏流动
波动方程是双曲形偏微分方程的最典型代表
抛物型
例如：
稳态边界层流动
非定常的热传导
双曲型和抛物型方程的主要数学特性是，她们可以借助自身从一个已知的初始平面或线出发推进求解。

椭圆型
例如：
稳态、亚声速无黏流动
不可压缩无黏流动
椭圆型方程，一给定点上的流动变量必须同时与流场中其他所有点上的流动变量一起求解。

一类退化抛物型可以被定义为在给定初边值下满足偏微分方程。

这类
方程常被用于在物理，天文学和其他学科中的应用，它们的解决方案
可以提供有关被研究系统的机制和行为的信息。

然而，这类方程可能会面临一个叫做blowup的挑战，这是指这一类的
解析解会在某个时刻爆炸，而不是一直收敛到某个常数值。

研究表明，在特定的初边值和参数中，抛物型方程的解可能会出现动力学爆炸行为，而不是一直收敛到某个常数值。

动力学爆炸通常可以由垂直双曲
分支解析地表示出来，其在偏微分方程解上存在极限行为。

抛物型方程的blowup在经典动力系统理论中得到广泛应用，它可以用
来模拟复杂现象，比如发散、涟漪、共振、数学不稳定性等。

空间上
可以表示为数学模型的抛物型就可以考虑物理系统的动力学，这些物
理系统会产生blowup的行为，并可以通过抛物型方程研究。

此外，blowup也在动力计算领域引入了新的挑战，由于抛物型方程具
有无限可变的对流特性，数值方法一般无法有效地解决。

为了解决这
一问题，研究者们提出了一些学术工作，他们提出了一些复杂的数值
方案，使用数值代替解析解，从而解决了抛物型方程的blowup问题。

因此，从多领域的角度来看，blowup仍然是重要的研究课题，从理论
到实践，它都给大家带来了新的挑战，同时也提供了新的突破口。

研
究者们也在不断努力完善已有的研究成果，希望能够更好地理解抛物
型方程blowup的机制和行为，从而潜心研究并获得成功。

求解一维抛物型方程的一类半隐格式及组显格式一维抛物型方程是数学中比较常见的一类方程，用来描述各种函数的性质，形式如下：$$ y=ax^2+bx+c $$半隐格式与组显格式是求解一维抛物型方程的两种经典技术，都能应用于解决一维抛物型方程中实数根的问题。

下面就分别介绍这两种技术：1. 半隐格式：半隐格式也称半陈述格式，是一类快速求解一维抛物型方程根的数值求解方法，可以给出一维抛物型方程的根，不必经过复杂的运算。

把一维抛物型方程$ax^2+bx+c=0$改为如下半隐格式：$$ \frac{x^2+\frac{b}{a}x+\frac{c}{a}=0}{a} $$显然，上式的两个根都是$\frac{-b \pm \sqrt{b^2-4ac}}{2a}$，需要注意的是，对于无解的情况，半隐格式也能给出无解的结果。

2. 组显格式：组显格式也称组文格式，是一类快速求解一维抛物型方程实数根的数值求解方法，可以给出一维抛物型方程根，不必经过复杂的运算。

将一维抛物型方程$ax^2+bx+c=0$改为如下组显格式：$$\left\{\begin{aligned}x^2+\frac{b}{a}x+\frac{c}{a}=0 \\x+\frac{c}{a}=0\end{aligned}\right.$$组显格式的两个根分别是$\frac{-b}{2a}$和$\frac{-c}{a}$。

由组显格式可以发现，由于组显格式具有更加直观的单实根示意，因此可以更加快速精确地获得一维抛物型方程的实数根。

总结来说，半隐格式和组显格式都是求解一维抛物型方程的常用技术，它们具有计算迅速、简单直观等优点，半隐格式能求出所有一维抛物型方程的根，而组显格式能够更迅速精确地求出实数根。

它们也常常被应用于应用于微积分、几何学等图形函数的计算。

各类抛物型微分方程的解法抛物型微分方程是一类常见的微分方程，在数学和物理学中具有重要意义。

本文将介绍一些常见的抛物型微分方程，并探讨它们的解法。

热传导方程热传导方程描述了热量在物体中的传导过程，它的一般形式为：$$\frac{\partial u}{\partial t} = k \cdot \frac{\partial^2 u}{\partialx^2}$$其中，$u$ 是温度分布函数，$t$ 是时间变量，$x$ 是空间变量，$k$ 是热传导系数。

热传导方程的解法主要基于分离变量法、傅里叶级数法和格林函数法。

扩散方程扩散方程描述了物质在空间中的扩散过程，它的一般形式为：$$\frac{\partial u}{\partial t} = D \cdot \frac{\partial^2 u}{\partial x^2}$$其中，$u$ 是物质浓度分布函数，$t$ 是时间变量，$x$ 是空间变量，$D$ 是扩散系数。

扩散方程的解法也可以利用分离变量法、傅里叶级数法和格林函数法。

波动方程波动方程描述了波在介质中的传播过程，它的一般形式为：$$\frac{\partial^2 u}{\partial t^2} = c^2 \cdot \frac{\partial^2u}{\partial x^2}$$其中，$u$ 是波函数，$t$ 是时间变量，$x$ 是空间变量，$c$ 是波速。

波动方程的解法可以利用分离变量法、傅里叶级数法和变换法等。

Navier-Stokes方程Navier-Stokes方程是描述流体运动的基本方程之一，它的一般形式为：$$\frac{\partial \mathbf{v}}{\partial t} + (\mathbf{v} \cdot \nabla) \mathbf{v} = -\frac{1}{\rho} \nabla p + \nu \nabla^2 \mathbf{v}$$其中，$\mathbf{v}$ 是流体速度矢量，$t$ 是时间变量，$p$ 是压力函数，$\rho$ 是密度，$\nu$ 是运动粘度。