第8章 拉普拉斯变换

记作： f (t ) ℒ1 F ( s)
f (t )
ℒ
F (s )
31 December 2013
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第七章拉普拉斯积分变换
例1. 求下列函数的拉普拉斯变换.
1 ( t 0), 1) u( t ) ; 0 ( t 0).
第七章拉普拉斯积分变换
第二章 Laplace变换
• Laplace变换的定义 • Laplace变换的性质 • Laplace变换的应用
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第七章拉普拉斯积分变换
§ 7.1 拉普拉斯变换的概念和存在定理


1.定义
place变换存在定理
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第七章拉普拉斯积分变换
1. Laplace变换的概念
设 数 f (t )u(t )e t ( 0)满 Fourier 变 存 定 条 ， 函 足 换 在 理 件
n
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第七章拉普拉斯积分变换
place变换存在定理和象函数的微分性质
定理1： 若函 f (t )满足 数 如下 两个 条件 ：
i ) f (t )在t 0有限区间上满足狄利克 即f (t )在[a, b]上连续或有有限个第一 雷 ( Dirichlet ) 条件 , 类间断点，且至多有有 限个极值点；

• 0=0，即F(s)的收敛边界为j轴
F (j ) lim F ( s )
0
如f(t)= (t)←→F(s)=1/s
F (j ) lim 1
0
j
lim

2 2
0
lim
j
0

2
2
= () + 1/j • 0>0，F(j)不存在。 例：f(t)=e2t(t)←→F(s)=1/(s –2), >2； 其傅氏变换不存在。

1 (s )
jω
[1 lim e
t
( ) t
e
j t
]
1 s 不定 无界
, ， ，
Re[ s ]

0 α σ
因果信号，仅Re[s]=>时， 拉氏变换存在，收敛域如图。
收敛边界
▲
收敛域
■ 第 6页
def


0
f (t ) e
st
dt
1 j st f (t ) j F ( s) e d s (t ) 2 j
简记：F(s)=£ [f(t)] ， f(t)=£-1[F(s)] 或
f(t) ←→ F(s)
▲
■
第 11 页
四.常见函数的拉普拉斯变换
解：
f 1 (t ) F1 ( s ) f 2 (t ) F2 ( s ) 1 s3 1 1 s2 1
Re[s]=>–2
Re[s]=<–3
s3 s2 1 1 f 3 (t ) F3 ( s ) s3 s2
–3<<–2

第7章采样第8章通信系统第9章拉普拉斯变换第10章Z变换第11章线性反馈系统第7章采样7.2连续时间信号x（t）从一个截止频率为的理想低通滤波器的输出得到，如果对x（t）完成冲激串采样，那么下列采样周期中的哪一些可能保证x（t）在利用一个合适的低通滤波器后能从它的样本中得到恢复？7.3在采样定理中，采样频率必须要超过的那个频率称为奈奎斯特率。

试确定下列各信号的奈奎斯特率：7.4设x（t）是一个奈奎斯特率为ω0的信号，试确定下列各信号的奈奎斯特率：7.5设x（t）是一个奈奎斯特率为ω0的信号，同时设其中。

7.6在如图7-1所示系统中，有两个时间函数x1（t）和x2（t）相乘，其乘积W （t）由一冲激串采样，x1（t）带限于ω17.7信号x（t）用采样周期T经过一个零阶保持的处理产生一个信号x0（t），设x1（t）是在x（t）的样本上经过一阶保持处理的结果，即7.8有一实值且为奇函数的周期信号x（t），它的傅里叶级数表示为7.9考虑信号x（t）为7.10判断下面每一种说法是否正确。

7.11设是一连续时间信号，它的傅里叶变换具有如下特点：7.12有一离散时间信号其傅里叶变换具有如下性质：7.13参照如图7-7所示的滤波方法，假定所用的采样周期为T，输入xc（t）为带限，而有7.14假定在上题中有重做习题7.13。

7.15对进行脉冲串采样，得到若7.16关于及其傅里叶变换7.17考虑理想离散时间带阻滤波器，其单位脉冲响应为频率响应在条件下为7．18假设截止频率为π/2的一个理想离散时间低通滤波器的单位脉冲响应是用于内插的，以得到一个2倍的增采样序列，求对应于这个增采样单位脉冲响应的频率响应。

7.19考虑如图7-11所示的系统，输入为x[n]，输出为y[n]。

零值插入系统在每一序列x[n]值之间插入两个零值点，抽取系统定义为其中W[n]是抽取系统的输入序列。

若输入x[n]为试确定下列ω1值时的输出y[n]：7.20有两个离散时间系统S1和S2用于实现一个截止频率为π/4的理想低通滤波器。

L[et (t)] et(t)estdt e(s)tdt
0
0
1 e(s)t
s
| 0
s1
f(t)et F(ss) 1
则指数f(衰 t )e减 t 函 F( 数 ss )1
5、求L[sinω t]、L[cosω t]
1.2
n
付氏级数的物理意义：用正弦函数的叠加来等效任意的
非正弦周期函数。
3、傅氏变换
当周期函数fT(t)在所讨论的区间上满足狄里克利条件, fT(t)可 展开为付氏级数：

fT t cnejn0t n
其中：
cn
1 T
T
2 T
2
fT
t ejn0tdt
解： L[(tT)](tT)estdtT0d t 1estdt
0
0
T
1 sest|T 1 sesT
L[tT]1esT
S
由此可推出如下结论：
如果f（t）→F（s）， 则 f(t-T)·ε (t-T)→F(s)·e-sT 。
4、求eα t·ε (t)的拉氏变换。
1、问题的提出：
①付氏变换说： 存在付氏变换的条件：一是满足狄里克利条件 （连续或有限个第一间断点，区间内收敛）；二是在(-∞,+∞)上 可积，就一定存在古典意义下的付氏变换。但绝对可积的条件是 很强的，许多函数，即使是很简单的函数（单位阶跃函数，正弦 函数，余弦，以及线性函数等）都不满足这个条件。
L[sin t] F(s)


sin
t e st dt


1

sin
td
e st
0
s 0