第七章 拉普拉斯变换

x = at
+∞
0
f (at )e− st dt
s −( ) x 1 +∞ 1 s a == ∫ f ( x)e dx = F [ ]. 0 a a a
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二、位移性质
设f (t ) = u (t ) f (t ) ↔ F ( s ) (Re( s ) > c), 则对任意t0 > 0有 f (t - t0 )u (t - t0 ) ↔ F ( s )e −t0 s (Re( s ) > c)
f (t ) = 1的拉氏变换.
+∞ − st 0
解： (1) L[u (t )] = ∫
1 e dt = − e− st s
+∞ 0
1 = , Re( s ) > 0 s
1 即：L[u (t )] = , Re( s ) > 0； s
1/s的拉氏逆 变换为哪 个？？？
1 = , Re( s ) > 0 s
解：L[sin 2t sin 3t ]
=
附表第20式： a = 2, b = 3
12 s 12 s = 2 . 2 2 2 2 2 ( s + 5 )( s + 1 ) ( s + 25)( s + 1)
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•
e− bt 求函数 (cos bt − sin bt )的拉氏变换. 例6． 2
L L L
若f (t ) = u (t ) f (t ) ↔ F ( s ) (Re( s ) > c), 则有 f (t )e
± s0t
↔ F ( s m s0 ) (Re( s m s0 ) > c)
L
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四、微分性质
1．导数的象函数
设L[ f (t )] = F ( s)，则有 L[ f ′(t )] = sF ( s ) − f (0).
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1 1 1 s = [ + ]= 2 . 2 2 s − jω s + jω s +ω
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•
已知 例2． F (s) =
5s − 1 ，求L−1[ F ( s )]. ( s + 1)( s − 2)
解： ( s) = F
5s − 1 1 1 1 =2 +3 ,ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱL[e at ] = s +1 s−2 ( s + 1)( s − 2) s−a
解： 这个函数拉氏变换公式不能直接找到，
e − bt e −bt π e − bt 2 π (cos bt − sin bt ) = [cos bt − cos( − bt )] = (−2 sin( − bt )) 2 2 4 2 2 2
附表第17式： a = −b, b = π 4
e − bt ⇒ L[ (cos bt − sin bt )] = 2
t
推广： L[ dt dt LL f (t )dt ] = ∫ ∫ ∫
0 0 0
t
t
t
1 F ( s ). n s
２．象函数的积分
1 +∞ − +∞ 1 π −t 2 −u2 Γ( ) = ∫ e t dt = 2 ∫ e du, (t = u 2 , dt = 2udu ) = 2 = π. 0 0 2 2
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例4．求幂函数f (t ) = t m , (m > 0)的拉氏变换.
解：
L[t ] = ∫ e− st t m dt → Γ(m) = ∫ e−t t m−1dt , 0 0
kt
1 1 jωt L[e ] = , (Re( s ) > −k ), L[e ] = , (Re( s ) > 0). s+k s − jω
− kt
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2．拉氏变换的存在定理
定理1:(拉氏变换的存在定理) 若函数f (t )满足下列条件：
(1)在t ≥ 0的任一有限区间上分段连续； (2)当t → +∞时，f (t )的增长速度不超过某一指数函数， 即存在常数M > 0及c ≥ 0，使得 f (t ) ≤ Mect， ≤ t < +∞成立. 0 则函数f (t )的拉氏变换F ( s ) = ∫
此性质使我们有可能将函数的微分方程转化为的代数方 程，因此它对分析线性系统有重要的作用．
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•
求解微分方程y′′(t ) + ω 2 y (t ) = 0，y (0) = 0, y′(0) = ω. 例3．
对方程两边取拉氏变换，并利用线性性质及微分性质，有 解：
s 2Y ( s ) − sy (0) − y′(0) + ω 2Y ( s ) = 0, 其中Y ( s ) = L[ y (t )],
( s + b) sin
π
4 ( s + b) 2 + (−b) 2
+ (−b) cos
π
4 = 2s . 2 2 2( s + 2bs + 2b )
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第二节
一、线性与相似性质
1．线性性质
拉氏变换的性质
设α , β 为常数，且有L[ f1 (t )] = F1 (ω )，L[ f 2 (t )] = F2 (ω )， 则有： L[α f1 (t ) + β f 2 (t )] = α F1 (ω ) + β F2 (ω ),
d k s2 − k 2 同理 L[t cos kt ] = − [ 2 ]= 2 . 2 2 2 ds s + k (s + k )
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求函数f (t ) = t 2 cos 2 t的拉氏变换. 例5．
1 2 L[t cos t ] = L[t (1 + cos 2t )] 2
+∞ 0
=
k s2 + k 2
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3.Γ函数介绍
形如∫ e− t t m−1dt， > 0)的函数称为珈玛函数，记为Γ(m),即 (m
0 +∞
Γ(m) = ∫ e−t t m−1dt.
0
+∞
Γ函数性质：
Γ (m + 1) = mΓ(m), 特别当m为正整数时，Γ(m + 1) = m !
m +∞
+∞
=∫ e
0
+∞
− st
( st ) m d ( st ) = 1 s m +1 sm s
∫
+∞
0
t m e − t dt
=
Γ(m + 1) , (m > −1, Re( s ) > 0). m +1 s
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4．查表求拉氏变换（拉氏变换附表）
求函数 sin 2t sin 3t的拉氏变换. • 例5．
f F ( s )称为函数f (t )的拉氏变换， (t )称为函数F ( s )的拉氏逆变换， 记为：f (t ) = L[ F −1 (t )]. 函数f (t )， ≥ 0)的拉氏变换就是f (t )u (t )e − β t， > 0)的傅氏变换. (t (β
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1, t > 0 0, t < 0 求单位阶跃函数u (t ) = ，符号函数 sgn t = 0, | t |= 0， 例1． 1, t > 0 −1, t < 0
解：
因为 sin kt < e0t , M = 1, c = 0,
所以满足拉氏变换存在定理中的条件，
⇒ L[sin kt ] = ∫ sin kte − st dt
0 +∞
e − st = 2 [− sin kt − k cos kt ] 2 s +k
同理可以得到： [cos kt ] = L
s . 2 2 s +k
1 t
一般地有 F n ( s ) = ( −1) n L[t n f (t )].
求函数f (t ) = t sin kt的拉氏变换. • 例4．
解： [sin kt ] = L
k , 2 2 s +k
d k 2ks [ 2 ]= 2 . 2 2 2 (s + k ) ds s + k
⇒ L[t sin kt ] = −
1 (2) L[sgn t ] = ∫ (sgn t )e dt = ∫ e − st dt = − e − st 0 0 s
− st
+∞
+∞
+∞ 0
1 即：L[sgn t ] = , Re( s ) > 0； s
+∞ 1 (3) L[1] = ∫ e − st dt = − e − st 0 s +∞ 0
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第一节
拉普拉斯变换的概念
+∞
1．拉普拉斯变换的定义
定义1：设函数f (t )当t > 0时有定义，而积分∫
0
f (t )e− st dt，（s为一个复参量）
在s某一域内收敛， 则称F ( s) = ∫
+∞
0
f (t )e − st dt为函数f (t )的拉普拉斯变换式，
记为：F ( s ) = L[ f (t )].
L−1[α F1 (ω ) + β F2 (ω )] = α f1 (t ) + β f 2 (t ).