拉普拉斯变换法

拉普拉斯变换法 Laplace Transform

§2 Properties of Laplace Transform
例1 如果原函数为为实函数，则显然，若

f (t ) u(t ) iv(t ), u, v
L[ f (t )] L[u(t )] iL[v(t )]

s 为实函数，
0 0 0
L[ f (t )] e st f (t )dt e st u (t )dt i e st v(t )dt
解
s3 s3 F ( s) 2 s 3s 2 ( s 1)(s 2) 2 1 s 1 s 2
2 1 1 f (t ) L [ F ( s)] L [ ] L [ ] s 1 s2
1 1
2e e
t
2t
t0
§3 Inverse of Laplace Transform
iwt ( s wi ) t
§2 Properties of Laplace Transform
2 原函数的微分性质如果
f (t ), f (t ),, f ( n) (t )
都是原函数，则有或
n 1
L[ f (t )] sL[ f (t )] f (0)
L[ f
( n)
练习求方程
x a 2 x sin at
x(0) x(0) 0
满足初始条件
的特解，其中 a 为非零常数。作业:用Laplace Transform 求 P.146 第 25, 26 题
c1L [ F1 (s)] c2 L [ F2 (s)]
1
1
§3 Inverse of Laplace Transform

电路的拉普拉斯变换分析法

E s2 2
E s2 2
- sT
e2
E s2 2
- sT
1 e 2
半波正弦周期函数的拉普拉斯变换为
- sT
L
f t
E s2 2
1e 2 1- e-sT
E s2 2
1
- sT
1-e 2
7.2.4 频率平移特性
若 f (t) L
F (s)
则 L{ f (t)e-s0t } F (s - s0 )
( a)
=0
lim e-(s-a)t 0
t
( a)
a 称为收敛域
拉氏反变换由F(s)到f(t)的变换称为拉普拉斯反变换，简称拉氏反变换
拉氏变换对
f (t) 1
j
F
(
s)e
st
ds
2j - j
F(s) L[ f (t)] 拉氏正变换 f (t) L-1[F(s)] 拉氏反变换
tf
tdt
f
0
可得
LAd
t
0
Ad
t e-st
dt
Ae0
A
对于单位冲激函数来说，可令上式 A=1，即得：
Ld t 1
书中表7 -1给出了一些常见函数的拉普拉斯变换
拉氏变换法的实质就是将微分方程经数学变换转变成代数方程，然后进行代数运算，再将所得的结果变换回去。它和应用对数计算数的乘除相类似。不同的只是在对数运算中变换的对象是数，而在拉氏变换中变换的对象是函数。
dt
0- dt
L[ f '(t)] L[ df (t)] df (t) e-st dt
dt
0- dt
由上式应用分部积分法，有
L[df (t)] dt

拉普拉斯变换法
拉普拉斯变换法是一种数学积分变换，其核心是把时间函数f(t) 与复变函数F(s) 联系起来，把时域问题通过数学变换为复频域问题，把时间域的高阶微分方程变换为复频域的代数方程，在求出待求的复变函数后，再作相反的变换得到待求的时间函数。

由于解复变函数的代数方程比解时域微分方程较有规律且有效，所以拉普拉斯变换在线性电路分析中得到广泛应用。

拉普拉斯变换的定义
一个定义在[0,+∞) 区间的函数f(t) ，它的拉普拉斯变换式F(s) 定义为
式中s=σ+jω为复数，被称为复频率；F(s)为f(t)的象函数，f(t)为F(s)的原函数。

由F(s) 到f(t) 的变换称为拉普拉斯反变换，它定义为
式中c 为正的有限常数。

留意：
1）定义中拉氏变换的积分从t=0-开头，即：
它计及t=0-至0+ ，f(t) 包含的冲激和电路动态变量的初始值，从而为电路的计算带来便利。

2）象函数F(s) 一般用大写字母表示, 如I(s)，U(s) ，原函数f(t)
用小写字母表示，如i(t),u(t)。

3）象函数F(s) 存在的条件：。

拉普拉斯变换

拉普拉斯变换 Prepared on 22 November 2020§13拉普拉斯变换重点：1.拉普拉斯反变换部分分式展开2.基尔霍夫定律的运算形式、运算阻抗和运算导纳、运算电路3.应用拉普拉斯变换分析线性电路的方法和步骤难点：1.拉普拉斯反变换的部分分式展开法2.电路分析方法及定理在拉普拉斯变换中的应用本章与其它章节的联系：是后续各章的基础，是前几章基于变换思想的延续。

预习知识：积分变换§13－1拉普拉斯变换的定义1.拉普拉斯变换法拉普拉斯变换法是一种数学积分变换，其核心是把时间函数f(t)与复变函数F(s)联系起来，把时域问题通过数学变换为复频域问题，把时间域的高阶微分方程变换为复频域的代数方程，在求出待求的复变函数后，再作相反的变换得到待求的时间函数。

由于解复变函数的代数方程比解时域微分方程较有规律且有效，所以拉普拉斯变换在线性电路分析中得到广泛应用。

2.拉普拉斯变换的定义一个定义在[0,+∞)区间的函数f(t)，它的拉普拉斯变换式F(s)定义为式中s=σ+jω为复数，被称为复频率；F(s)为f(t)的象函数，f(t)为F(s)的原函数。

由F(s)到f(t)的变换称为拉普拉斯反变换，它定义为式中c为正的有限常数。

注意：1）定义中拉氏变换的积分从t=0-开始，即：它计及t=0-至0+，f(t)包含的冲激和电路动态变量的初始值，从而为电路的计算带来方便。

2）象函数F(s)一般用大写字母表示,如I(s)，U(s)，原函数f(t)用小写字母表示，如i(t),u(t)。

3）象函数F(s)存在的条件：3.典型函数的拉氏变换1)单位阶跃函数的象函数2)单位冲激函数的象函数3)指数函数的象函数§13－2拉普拉斯变换的性质拉普拉斯变换的性质列于表中。

表13-1拉氏变换的若干性质和定理特性和定理表达式条件和说明线性a、b为常数位移特性时域延迟为一非负实数频域延迟微分若所有初值为零，则有积分初值定理或存在终值定理或所有奇点均在s平面左半部卷积定理为与的卷积应用拉氏变换的性质，同时借助于表中所示的一些常用函数的拉普拉斯变式可以使一些函数的象函数求解简化。

第五章拉普拉斯变换-数学物理方法

d2 L[t 2 f ( t )] ( 1)2 2 F ( p) dp
……
dn n pt n F ( p) ( t ) f ( t )e dt ( 1) [t n f ( t )]e pt dt n 0 0 dp
dn L[t n f ( t )] ( 1)n n F ( p) dp
这个性质很容易从Laplace变换的定义得到，因为它只不过是积分运算的线性性质的反映.
77
性质2 ：原函数的导数的拉氏变换
L 设f (t)及 f ' (t ) 都满足拉氏变换存在的充分条件， [ f ( t )] F ( p),
则： 0 f ( t )e dt f ( t ) e
' pt
n n
【证明
】 F ( p) f ( t )e pt dt
0

d pt F ( p) t f ( t )e dt [t f ( t )]e pt dt 0 0 dp d L[t f ( t )] F ( p) dp 2 d 2 pt 2 F ( p) ( t ) f ( t )e dt ( 1) [t 2 f ( t )]e pt dt 2 0 0 dp
L[ f ( t )] f ( t )e
'' '' 0 pt
dt e
0

pt
df ( t ) f ( t ) e
' '
pt 0
p f ' ( t )e pt dt
0

f ' (0) p[ pF ( p) f (0)] p2 F ( p) pf (0) f ' (0)

拉普拉斯变换法

拉氏变换定义
原函数f(t）旳拉氏变换F（S）定义为：
就是将原函数乘以e-st，并将乘积从时间为0→∞之间作定积分。
拉氏变换旳实质是将时间函数体现式转换为拉氏运算子s旳函数体现式。 f(t） --- 原函数 F（S）--- 象函数
二、简朴函数L氏变换 1. 常数 f（t）=A
2. 指数函数 f（t）= e-at
3.导函数
三、L氏变换旳主要性质 ❖ L氏变换是线性变换设
则
即代数多项式旳L氏变换等于各项变换旳代数和。
❖ 微分性质
若则
某些常用函数旳Laplace变换表
函数，F（t） A t
Ae-at
L氏变换，f（s） A/s 1/s2
A/(s+a)
A/s(s+a)
Ate-at
A/(s+a)(s+b) A/(s+a)2
拉普拉斯变换（Laplace Transform）
一、概述
❖ 线性方程组：表征表观零级或一级过程旳速度旳方程组。
❖ 拉普拉斯变换（L氏变换）：是一种微分方程或积分方程求解旳简化措施。可用于解线性微分方程组。
❖ 进行L氏变换旳实质，在于把速度方程式中旳时间定义域置换成拉普拉斯运算子s旳复。
四、L氏变换解线性微分方程
1. 零级静脉输注
速度体现式：
dX k 0 kX
dt
L氏变换
sL[ X (t)] X (0) k 0 kL[ X (t)] s
s X X (0) k 0 k X S
X k0 s(s k)
方程终解 X k 0 (1 ekt ) K
2. 静脉注射
dX kX dt
( t=0, X=X0)

LapLace 变换

部分分式展开第二项得
1 1 1 s2 2 3 6 2 s ( s 5s 4) s s 1 s 4
查拉氏变换表 2-1，反变换得到
1 1 t 1 4 t e e 2 3 6
其中第一项为零状态响应中的稳态分量，后两项为零状态响应中的瞬态分量，也随 t 趋于零。最后得到
t s 0
应用函数导数的拉氏变换法则，在使函数 f (t ) 的拉氏变换积分为收敛的区域内令 s 趋于零，则有
df (t ) lim e st dt lim sF (s) f (0) s 0 0 s 0 dt
因为 lim e
s 0
st

0
f (t )e st dt
存在，式中 s j 为复变量，则称其为 f (t ) 的拉普拉斯变换（简称为拉氏变换），记作 F ( s ) 或 L[ f (t )] ，即
F (s) L[ f (t )] f (t )e st dt
0

F ( s ) 是复变量 s 的函数称为 f (t ) 的像函数，f (t ) 称为 F ( s ) 的原函数。
原函数 f (t ) ， t 0 象函数 F ( s)
(t )
1(t )
1
1 s
1 s2
t
1 2 t 2
e at te
at
1 s3
1 sa
1 (s a)2
sin t
s2 2
s s2 2
cos t

三、拉氏变换的积分下限问题根据定义，拉氏变换的积分下限为零。而在控制工程中，输入信号往往是在
1，所以有

拉普拉斯变换基础知识讲解

0
0
0
在t＝0 至t＝0＋ f(t)=(t)时此项 0
2 象函数F(s) 用大写字母表示,如I(s)，U(s)。原函数f(t) 用小写字母表示，如 i(t), u(t)。
3 象函数F(s) 存在的条件：
0 f (t )est dt est为收敛因子
如果存在有限常数M和c使函数f(t)满足：
s2
s
2
初值定理： f(t)在t = 0处无冲激则
f (0 ) lim f (t) lim SF (S)
t0
s
终值定理：
lim f (t)存在时 t
f () lim f (t) lim SF (S)
t
s0
f () lim f (t) lim SF (S)
t
s0
证：利用导数性质
lim
s0
t (t) t n (t)
1
1
1
n!
S
S2 S n1
微分
sint (t)
S2 2
e-tt n (t )
n!
(S )n1
cost (t)
S
S2 2
e-t (t )
1
S
e-t sint (t)
(S )2 2
L[ f (t t0 ) (t t0 )] est0 F (S )
e sT
/
2
)
[
f
(t )]
1 1 esT
1 ( s
1 s
e ) sT /2
1 S
( 1
1 e ST
/2)
F (S ) L[et f (t)]
例1：L[tet (t)]
(S
1

拉普拉斯变换

§13拉普拉斯变换重点：1.拉普拉斯反变换部分分式展开2.基尔霍夫定律的运算形式、运算阻抗和运算导纳、运算电路3.应用拉普拉斯变换分析线性电路的方法和步骤难点：1.拉普拉斯反变换的部分分式展开法2.电路分析方法及定理在拉普拉斯变换中的应用本章与其它章节的联系：是后续各章的基础，是前几章基于变换思想的延续。

预习知识：积分变换§13－1拉普拉斯变换的定义1.拉普拉斯变换法拉普拉斯变换法是一种数学积分变换，其核心是把时间函数f(t)与复变函数F(s)联系起来，把时域问题通过数学变换为复频域问题，把时间域的高阶微分方程变换为复频域的代数方程，在求出待求的复变函数后，再作相反的变换得到待求的时间函数。

由于解复变函数的代数方程比解时域微分方程较有规律且有效，所以拉普拉斯变换在线性电路分析中得到广泛应用。

2.拉普拉斯变换的定义一个定义在[0,+∞)区间的函数f(t)，它的拉普拉斯变换式F(s)定义为式中s=σ+jω为复数，被称为复频率；F(s)为f(t)的象函数，f(t)为F(s)的原函数。

由F(s)到f(t)的变换称为拉普拉斯反变换，它定义为式中c为正的有限常数。

注意：1）定义中拉氏变换的积分从t=0-开始，即：它计及t=0-至0+，f(t)包含的冲激和电路动态变量的初始值，从而为电路的计算带来方便。

2）象函数F(s)一般用大写字母表示,如I(s)，U(s)，原函数f(t)用小写字母表示，如i(t),u(t)。

3）象函数F(s)存在的条件：3.典型函数的拉氏变换1)单位阶跃函数的象函数2)单位冲激函数的象函数3)指数函数的象函数§13－2 拉普拉斯变换的性质拉普拉斯变换的性质列于表13.1中。

表13-1拉氏变换的若干性质和定理时域延迟为一非负实数频域延迟或存在或所有奇点均在为与的卷积应用拉氏变换的性质，同时借助于表13.2中所示的一些常用函数的拉普拉斯变式可以使一些函数的象函数求解简化。

拉普拉斯变换

F ( s) f (t )e st dt 正变换 0 1 c j f (t ) F ( s)e st ds 反变换 c j 2πj
简写 F (s) L f (t ) ， f (t ) L-1 F (s)
s 复频率
若： L[ f (t )] F (s)
(5) 拉普拉斯的卷积定理
则： L[ f (t t0 ) (t t0 )] e st0 F (s)
若： L[ f1 (t )] F1 (s)
L[ f 2 (t )] F2 (s)
t 0
则： L[ f1 (t ) f 2 (t )] L f1 (t ) f 2 ( )d F1 ( s ) F2 ( s )
t 0
lim f t f 0 lim sF s
s
(9) 终值定理设时域函数 f t 及其导数
df (t ) 的拉氏变换存在,且 L[ f (t )] F (s) ，若 f t 的终值 dt
t s 0
f lim f t 存在，则有 lim f t lim sF s
其中 F ( s)
f (t ) f1 (t ) f 2 (t ) f n (t )
N ( s) a0 s m a1s m1 am (n m) D( s) b0 s n b1s n 1 bn
一.若D(s) 0有n个单根分别为p1 pn
利用部分分式可将 F(s)分解为：
F ( s)
Kn K1 K2 s p1 s p2 s pn
f (t ) K1e p1t K2e p2t Kn e pnt

拉普拉斯变换的定义

F(S)
a0S m
a1S m1 (S S1 )n
am
F(S)
k11 S S1
k12 (S S1 )2
k1n1 (S S1 )n1
k1n (S S1 )n
k1n [(S S1 )n F(S)] SS1
k1n1
d [(S ds
S1 )n F (S)]
S S1
k1n 2
1 2!
s si
D( S )
D(Si )
例:
F(S)
4S 5 S2 5S
6
K1 K2 S2 S3
k1
4S 2S
5 5
S 2
3
k2
4S 2S
5 5
S 3
7
例13-6
求F ( s)
s3
2s 7s2
1
10s
的
原
函
数f
(t
)。
解：令D(s)=0，则 s1 = 0，s2=－2，s3=－5
D(s) 3s2 14s 10
0
f (t )(t )estdt
L[tf (t)]
推广：L[t n
f
(t )]
(1)n
d
nF(S) dS n
L[tf (t)] dF(S) dS
例1：L[t (t)] d ( 1 )
dS S
1 S2
例2：L[t n (t )] (1)n
d (n) dS ( n)
(1) S
n! S n1
小结：
积分
(t) (t)
微分
t (t) t n (t)
1
sint (t)
1 S
1 S2
n! S n1

第23讲拉普拉斯反变换的方法

第23讲拉普拉斯反变换的方法拉普拉斯反变换是将一个函数从复平面映射到时域的一种变换方法。

它在许多工程和科学领域中有着广泛的应用，例如控制系统理论、信号处理、电路分析等。

本文将介绍拉普拉斯反变换的基本原理和常用方法，以及一些应用实例。

1.拉普拉斯变换的基本原理拉普拉斯变换是将一个函数从时域映射到复频域的一种线性变换方法。

它可以将时域函数的微分、积分等运算转化为复频域的代数运算，从而方便地解决了许多复杂的问题。

拉普拉斯变换的表达式如下所示：\[ F(s) = \mathcal{L}\{f(t)\} = \int_0^\infty e^{-st}f(t)dt \]其中，\(F(s)\)是拉普拉斯变换后的函数，\(f(t)\)是时域函数，\(s\)是复频域中的一个变量。

2.拉普拉斯反变换的基本原理拉普拉斯反变换是将一个函数从复频域映射回时域的一种方法。

它可以将复平面上的函数进行反变换，得到原函数的表达式。

拉普拉斯反变换的表达式如下所示：\[ f(t) = \mathcal{L}^{-1}\{F(s)\} = \frac{1}{2\pi j}\lim_{T\rightarrow\infty}\int_{\sigma-jT}^{\sigma+jT}e^{st}F(s)ds \]其中，\(f(t)\)是拉普拉斯反变换后的函数，\(F(s)\)是复频域内的函数，\(j\)是虚数单位。

3.拉普拉斯反变换的常用方法拉普拉斯反变换的计算方法有很多种，主要包括部分分式法、换元法、卷积法等。

-部分分式法：将拉普拉斯变换后的函数拆解成若干个简单的分式，然后利用拉普拉斯表进行反变换。

这种方法适用于函数含有多个不同的极点的情况。

-换元法：通过选择合适的变量变换，将复频域上的函数转化为一个已知的拉普拉斯变换表达式，然后利用表格进行反变换。

这种方法适用于函数存在一些特殊的形式的情况。

-卷积法：利用拉普拉斯变换的卷积定理，将原函数的拉普拉斯变换与已知函数的变换进行卷积运算，然后进行反变换。

第15章拉普拉斯变换

本章重
. 点常用函数的拉普拉斯变换 . 拉普拉斯变换的基本性质 . 复频域中的电路定律 . 运算阻抗和运算导纳 . 拉普拉斯变换法分析电路的动态响应 . 网络函数
返回目录
15.1 拉普拉斯变换
一、拉氏变换（Laplace transformation）的定义
正变换
F (s) f (t )estdt 0
n
f (t ) kiesit i 1
ki也可用分解定理求
等式两边同乘（s-si）
(s si )
F(s)
F1
(
s()s
si
)
k1(
s
si )
k
i
(
s
si )
k
(
n
s
si
)
F2 (s) s s1
s si
s sn
ki
lim
s si
F1(s)( s F2 (s)
si )
0 0
应用洛比达法则求极限
2
2 s1
1 s2
f (t ) 2 (t ) 2et e2t (t 0)
2. F2 (s)有共轭复根
假设只有两个根 s1,2 j
F (s) k1 k2
s j s j
可据前面介绍的两种方法求出 k1 , k2。 k1 , k2也是一对共轭复数。
设 k1 k ej k2 k e j
j
不同的 f (t)，0的值不同，称 0为复平面s内的收敛横坐标。
收敛轴收敛区
0 0
收敛坐标
电工中常见信号为指数阶函数，即
f (t ) MeCt
t [0, )
式中M是正实数，C为有限实数。

第二章拉普拉斯变换

page 3
第二章拉普拉斯变换
一、拉普拉斯变换的定义
设时间函数 f (t)，,则t 0 的拉普f (拉t) 斯变换定义为
控制
L[ f (t)] F(s) f (t) estdt 0
工
程
基础
象函数(Image Function)
原函数(Original Function )
page 4
制工
2
程
基础
cost 1 (e jt e jt )
2
page17
第二章拉普拉斯变换
三、使用MATLAB符号运算工具箱进行拉氏变换
MATLAB提供了 laplace（）函数来实现拉氏变换。
例2-1 求解函数 ebt cosat c 的拉氏变换。
控制
解：输入以下命令
工
程 %L0201.m
A s2
eTs
1 eTs
seTs
page24
第二章拉普拉斯变换
三、周期函数的拉氏变换
若函数 f 是(t)以T 为周期的周期函数,L f t f t estdt 0
控制
T f testdt 2T f testdt n1T f t estdt
第二章拉普拉斯变换
（六）正弦函数
正弦函数（Sine Function）的数学表达式为
r(t) sin t (t≥0)
控式中，为正弦函数的角频率。
制
工程基
其拉氏变换为 L[sin t] sin t estdt 0
础
1 (e jt ejt )est d t 2j 0
s2 2
u(t或) 1(t)来表示。其变化曲线
0
t
控如图2-1-2所示。

拉普拉斯变换

§13拉普拉斯变换重点：1.拉普拉斯反变换部分分式展开2.基尔霍夫定律的运算形式、运算阻抗和运算导纳、运算电路3.应用拉普拉斯变换分析线性电路的方法和步骤难点：1.拉普拉斯反变换的部分分式展开法2.电路分析方法及定理在拉普拉斯变换中的应用本章与其它章节的联系：是后续各章的基础，是前几章基于变换思想的延续。

预习知识：积分变换§13－1 拉普拉斯变换的定义1.拉普拉斯变换法拉普拉斯变换法是一种数学积分变换，其核心是把时间函数f(t)与复变函数F(s)联系起来，把时域问题通过数学变换为复频域问题，把时间域的高阶微分方程变换为复频域的代数方程，在求出待求的复变函数后，再作相反的变换得到待求的时间函数。

由于解复变函数的代数方程比解时域微分方程较有规律且有效，所以拉普拉斯变换在线性电路分析中得到广泛应用。

2.拉普拉斯变换的定义一个定义在[0,+∞)区间的函数f(t)，它的拉普拉斯变换式F(s)定义为式中s=σ+jω为复数，被称为复频率；F(s)为f(t)的象函数，f(t)为F(s)的原函数。

由F(s)到f(t)的变换称为拉普拉斯反变换，它定义为式中c为正的有限常数。

注意：1）定义中拉氏变换的积分从t=0-开始，即：它计及t=0-至0+，f(t)包含的冲激和电路动态变量的初始值，从而为电路的计算带来方便。

2）象函数F(s)一般用大写字母表示,如I(s)，U(s)，原函数f(t)用小写字母表示，如i(t),u(t)。

3）象函数F(s)存在的条件：3.典型函数的拉氏变换1)单位阶跃函数的象函数2)单位冲激函数的象函数3)指数函数的象函数§13－2 拉普拉斯变换的性质拉普拉斯变换的性质列于表13.1中。

表13-1拉氏变换的若干性质和定理时域延迟为一非负实数频域延迟或存在或所有奇点均在为与的卷积应用拉氏变换的性质，同时借助于表13.2中所示的一些常用函数的拉普拉斯变式可以使一些函数的象函数求解简化。

第十三章拉普拉斯变换法

一﹑线性性质：线性性质：设 L[ f 1 (t )] = F 1 ( s )， L[ f 2 (t )] =
a和b为两个任意实常数，为两个任意实常数，则
F ( s ),
2
2
L[ a
例1.
f ( t ) + b f ( t )] = a F ( s ) + b F ( s )
1 2 1
f ( t ) = A (1 −
j 26 . 6
× e (− 1 −
j 2 )t
= 0 . 559 e − t ⋅ e j (2 t − 26 . 6 ) + 0 . 559 e − t ⋅ e − j (2 t − 26 . 6 ) = 2 × 0 . 559 e − t cos 2 t − 26 . 6 = 1 . 118 e − t cos 2 t − 26 . 6
t ε
L[ f (t − t0 )] = e
F (S )
页
华东理工大学上页下
13.3 拉普拉斯反变换的部分分式展开
用拉氏变换求解线性电路的时域响应时，用拉氏变换求解线性电路的时域响应时，需要把求得的响应的拉氏变换式反变换为时间函数。求得的响应的拉氏变换式反变换为时间函数。由象函数求原函数的方法：由象函数求原函数的方法： (1)利用公式
三﹑积分性质：积分性质：
1 若 L [ f ( t )] = F ( s ), 则有 L [ ∫0 f ( t ) dt ] = F ( s ) s
t
说明：说明：拉普拉斯变换将时域中的积分运算变成了复频域中算子s与象函数的除法运算。与象函数的除法运算。华东理工大学上页下
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证明：证明：
t

拉普拉斯变换法则

拉普拉斯变换法则引言：拉普拉斯变换是一种重要的数学工具，广泛应用于信号与系统、电路分析、控制系统等领域。

它将时域中的函数转换为复频域中的函数，使得分析和处理连续时间系统更加简洁和方便。

本文将介绍拉普拉斯变换法则及其应用。

一、拉普拉斯变换的定义：拉普拉斯变换是指对函数f(t)进行变换，得到一个新的函数F(s)，其中s是一个复变量。

拉普拉斯变换的定义如下：F(s) = L{f(t)} = ∫[0,∞] f(t)e^(-st)dt二、拉普拉斯变换的法则：1. 线性性质：若f(t)和g(t)的拉普拉斯变换分别为F(s)和G(s)，则对于任意常数a和b，有：L{af(t) + bg(t)} = aF(s) + bG(s)2. 延时性质：若f(t)的拉普拉斯变换为F(s)，则f(t - τ)的拉普拉斯变换为e^(-sτ)F(s)3. 导数性质：若f(t)的拉普拉斯变换为F(s)，则f'(t)的拉普拉斯变换为sF(s) - f(0)4. 积分性质：若f(t)的拉普拉斯变换为F(s)，则∫[0,t]f(τ)dτ的拉普拉斯变换为1/(sF(s))5. 初值定理：若f(t)的拉普拉斯变换为F(s)，则f(0+) = lim(s→∞) sF(s)6. 终值定理：若f(t)的拉普拉斯变换为F(s)，则lim(t→∞) f(t) = lim(s→0) sF(s)7. 卷积定理：若f(t)和g(t)的拉普拉斯变换分别为F(s)和G(s)，则它们的卷积f(t)*g(t)的拉普拉斯变换为F(s)G(s)三、拉普拉斯变换的应用：1. 线性时不变系统分析：通过将系统的输入信号和系统的冲击响应函数进行拉普拉斯变换，可以得到系统的频域响应函数，从而分析系统的稳定性、频率特性等。

2. 电路分析：拉普拉斯变换可以简化电路分析的过程，尤其是对于复杂的电路网络。

通过将电路中的电压和电流信号进行拉普拉斯变换，可以得到复频域中的电压和电流关系，从而分析电路的动态特性。

电路原理拉普拉斯变换

U0 s 1
RC
t
uc (t ) U0e RC
验证初值定理和终值定理
UC
(s)Βιβλιοθήκη sU0 1RC
t
uc (t ) U0e RC
uC
(0
)
limsUC
s
(s)=lim s
s
sU0 1
U0
RC
uC
()
limsUC
s0
(s)=lim s0
s
sU0 1
0
RC
6. 时域卷积定理 (timedomain convolution theorem)
根据延迟性质 F (s) 1 1 esT ss
例6 求三角波旳象函数
f(t) T
解 f (t) t[ (t) (t T )]
F (s) 1 esT s2 s2
f (t) t (t) (t T ) (t T ) T (t T )
F (s) 1 1 esT T esT
s2 s2
拉普拉斯变换旳基本概念
拉普拉斯变换
拉普拉斯变换旳基本性质
拉普拉斯反变换
反变换公式拉普拉斯变换表部分分式展开
§91 拉普拉斯变换
一、拉普拉斯变换简介
拉普拉斯变换法是一种数学积分变换，其关键是把时间函数f(t)与复变函数F(s)联络起来，把时域问题经过数学变换为复频域问题，把时间域旳高阶微分方程变换为复频域旳代数方程以便求解。
t
[f(t)]
d dt
f (t)
s
f (t) f (0 )
微分定理能够推广至求原函数旳二阶及二阶以上导数旳拉普拉斯变换，即
d2
dt
2
f (t) s{s

拉普拉斯变换

拉普拉斯变换Document number：WTWYT-WYWY-BTGTT-YTTYU-2018GT§13拉普拉斯变换重点：1.拉普拉斯反变换部分分式展开2.基尔霍夫定律的运算形式、运算阻抗和运算导纳、运算电路3.应用拉普拉斯变换分析线性电路的方法和步骤难点：1.拉普拉斯反变换的部分分式展开法2.电路分析方法及定理在拉普拉斯变换中的应用本章与其它章节的联系：是后续各章的基础，是前几章基于变换思想的延续。

预习知识：积分变换§13－1拉普拉斯变换的定义1.拉普拉斯变换法拉普拉斯变换法是一种数学积分变换，其核心是把时间函数f(t)与复变函数F(s)联系起来，把时域问题通过数学变换为复频域问题，把时间域的高阶微分方程变换为复频域的代数方程，在求出待求的复变函数后，再作相反的变换得到待求的时间函数。

由于解复变函数的代数方程比解时域微分方程较有规律且有效，所以拉普拉斯变换在线性电路分析中得到广泛应用。

2.拉普拉斯变换的定义一个定义在[0,+∞)区间的函数f(t)，它的拉普拉斯变换式F(s)定义为式中s=σ+jω为复数，被称为复频率；F(s)为f(t)的象函数，f(t)为F(s)的原函数。

由F(s)到f(t)的变换称为拉普拉斯反变换，它定义为式中c为正的有限常数。

注意：1）定义中拉氏变换的积分从t=0-开始，即：它计及t=0-至0+，f(t)包含的冲激和电路动态变量的初始值，从而为电路的计算带来方便。

2）象函数F(s)一般用大写字母表示,如I(s)，U(s)，原函数f(t)用小写字母表示，如i(t),u(t)。

3）象函数F(s)存在的条件：3.典型函数的拉氏变换1)单位阶跃函数的象函数2)单位冲激函数的象函数3)指数函数的象函数§13－2拉普拉斯变换的性质拉普拉斯变换的性质列于表中。

表13-1拉氏变换的若干性质和定理特性和定理表达式条件和说明线性a、b为常数位移特性时域延迟为一非负实数频域延迟微分若所有初值为零，则有积分初值定理或存在终值定理或所有奇点均在s平面左半部卷积定理为与的卷积应用拉氏变换的性质，同时借助于表中所示的一些常用函数的拉普拉斯变式可以使一些函数的象函数求解简化。

拉普拉斯变换法

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拉普拉斯变换法 Laplace Transform

电路的拉普拉斯变换分析法

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