z变换与拉普拉斯变换的关系
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§6.10 傅里叶变换、拉普拉斯变换、z变换之间的关系
邮
院
X
二．z变换与拉普拉斯变换的关系
Ai ˆ t L x s p i 1 i ˆ ( nT ) 也 ˆ ( t ) 进行理想抽样，得到的离散时间序列 x 对x 由N 项指数序列相加组合而成。 ˆ nT x ˆ 1 nT x ˆ 2 nT x ˆ N nT x
jω
n
电
子 工
X z
n x n z
北
程 学
院
逆变换 x n
2 j 1 2 j 1
1
z 1
X z z
n 1
dz
第 5 页
北
京
1 IDTFT X e x n 2
学
n
电
x n e jn
j K2 K 2
* 1
北
程 学
K1 K2 ω0 解： xt sinω0 t ut X s 2 2 s j ω0 s j ω0 s ω0 两个一阶极点分别为 p1 j ω0，p2 j ω0 。
电
大 学
电
子 工
序列sinω0 nT unT 的z变换。
第 7 页
大 学
北
i 1
i 1
其拉式变换为
N
北
京
邮 电
Ai ˆ t L x s p i 1 i
大
学
电
子 工
程 学
京
ˆ i t Ai e pi t u t x
电
N
电
子 工
程
学 院
N
匀抽样 x t 均 x n ,
K2.10-z变换与拉普拉斯变换的关系
3
z变换与拉普拉斯变换的关系 2、s变换与z变换的转换公式
z变换的定义式是通过理想取样信号的拉普拉斯变换 引出的，由此，离散序列的z变换和理想取样信号的拉 普拉斯变换之间具有如下关系：
F (z) zesT Fs (s) 表明: z变换式中令 z esT ，则变换式就成为相应的
理想取样信号的拉普拉斯变换。 如果进一步地，令拉普拉斯变T
s 1 ln z T
式中T是序列的时间间隔，重复频率
s
2
T
。
为了说明s与z的映射关系，将s表示成直角坐标形式，而
把 z 表示成极坐标形式，即：
s j z rej
z re j e( j)T eT e jT
于是，得到
2
r eT e s
T 2 S
容易求得，其拉普拉斯变换为：
N
F(s)
Ai
i1 s pi
对应的采样离散序列f(k)由N项指数序列相加而成
N
N
f (k) f1(k) f2 (k) ... fN (k) fi (k) Aie pikT (k)
i 1
i 1
它的z变换为
N
F(z)
Ai z
i1 z e piT
5
z变换与拉普拉斯变换的关系
N
F(s)
Ai
i1 s pi
N
F(z)
Ai z
i1 z e piT
结论：如果F(s)有N个单极点 pi，则相应的z变换即为 F(z)。
6
z变换与拉普拉斯变换的关系
例：已知拉普拉斯变换为 1 ，求其对应离散序列的z
sa
变换。
解：
F(s) 1 sa
只有一个极点：
z变换与拉普拉斯变换的关系 2、s变换与z变换的转换公式
z变换的定义式是通过理想取样信号的拉普拉斯变换 引出的，由此，离散序列的z变换和理想取样信号的拉 普拉斯变换之间具有如下关系：
F (z) zesT Fs (s) 表明: z变换式中令 z esT ，则变换式就成为相应的
理想取样信号的拉普拉斯变换。 如果进一步地，令拉普拉斯变T
s 1 ln z T
式中T是序列的时间间隔，重复频率
s
2
T
。
为了说明s与z的映射关系，将s表示成直角坐标形式，而
把 z 表示成极坐标形式，即：
s j z rej
z re j e( j)T eT e jT
于是，得到
2
r eT e s
T 2 S
容易求得，其拉普拉斯变换为：
N
F(s)
Ai
i1 s pi
对应的采样离散序列f(k)由N项指数序列相加而成
N
N
f (k) f1(k) f2 (k) ... fN (k) fi (k) Aie pikT (k)
i 1
i 1
它的z变换为
N
F(z)
Ai z
i1 z e piT
5
z变换与拉普拉斯变换的关系
N
F(s)
Ai
i1 s pi
N
F(z)
Ai z
i1 z e piT
结论：如果F(s)有N个单极点 pi，则相应的z变换即为 F(z)。
6
z变换与拉普拉斯变换的关系
例：已知拉普拉斯变换为 1 ，求其对应离散序列的z
sa
变换。
解：
F(s) 1 sa
只有一个极点：
Z变换及其收敛域
S rT
作业：4-1（1，3，9）、4-4（1，3，11）、4-5、 4-6、4-9、4-10（1）
31 return
1.连续信号
收敛域为（ (A) a
f (t ) t e
）。
n
at
u ( t ) ，该信号拉普拉斯变换
(C) 0 (D) a
(B) a
z1
终值定理使用的条件
1、只有在n时x(n)收敛的情况，才能用它 来确定x(n)的值。 2、X(z)的收敛半径应小于或等于1
18
（七）时域卷积定理 若
Z x ( n ) X ( z ),
Z y ( n ) Y ( z ),
R x1 z R x 2
R y1 z R y 2
在Z域反褶，则时域中函数在正负之间交 替跳跃
16
（五）初值定理
若x(n)是单边序列，且 则
Z x ( n ) X ( z )
x ( 0 ) lim X ( z )
z
17
（六）终值定理 若x(n)是单边序列，且
Z x ( n ) X ( z )
则
n
lim x ( n ) lim ( z 1 ) X ( z )
2 j 1 2 j
j j
j
j
snT n F (s) e z ds n0
sT 1 F (s) e z n0
n
ds
28
当 e
sT
z
1
1, 即 z e
sT
sT
和式收敛于
(e
作业：4-1（1，3，9）、4-4（1，3，11）、4-5、 4-6、4-9、4-10（1）
31 return
1.连续信号
收敛域为（ (A) a
f (t ) t e
）。
n
at
u ( t ) ，该信号拉普拉斯变换
(C) 0 (D) a
(B) a
z1
终值定理使用的条件
1、只有在n时x(n)收敛的情况，才能用它 来确定x(n)的值。 2、X(z)的收敛半径应小于或等于1
18
（七）时域卷积定理 若
Z x ( n ) X ( z ),
Z y ( n ) Y ( z ),
R x1 z R x 2
R y1 z R y 2
在Z域反褶，则时域中函数在正负之间交 替跳跃
16
（五）初值定理
若x(n)是单边序列，且 则
Z x ( n ) X ( z )
x ( 0 ) lim X ( z )
z
17
（六）终值定理 若x(n)是单边序列，且
Z x ( n ) X ( z )
则
n
lim x ( n ) lim ( z 1 ) X ( z )
2 j 1 2 j
j j
j
j
snT n F (s) e z ds n0
sT 1 F (s) e z n0
n
ds
28
当 e
sT
z
1
1, 即 z e
sT
sT
和式收敛于
(e
§6.10傅里叶变换、拉普拉斯变换、z变换之间的关系
院 学 程 工
§6.10 傅里叶变学电换子 、拉普拉斯变换、 北z京变邮电换大 之间的关系工程学院
子 电 学 大 电 邮 北京邮电大学北电京子工程学院
第
2 页
主要内容
院 学
序列的傅里叶变换工程
z变换与拉普拉电斯子变换的关系
傅氏变换、大拉学氏变换、z 变换之间的联系和区别
重点：序z变北列换京的邮与电傅拉里普叶拉变斯换变换的关系工程学院
xt
院x n
学
s
j
程 工
z
e sT
T
子
频率类型 及单位
模拟：弧度/秒 数字：弧度
电 模拟：弧大度学/秒
电
数字：弧度
邮
京
北
X
第
三．傅氏变换、拉氏变换、z变换的关系
14 页
3.3 s平面虚轴上的拉氏变学换院 即为傅氏变换
σ 0, s jΩ
程 工
H
jΩ
H
s
子 sjΩ学电
3（.D4 TzF平z T面）1,单z北位京e邮jω圆电大上的z变换即为序子列工程的学傅院 氏变换
inω0t
ut
的拉式院变
学 程
换
为 s2
ω0 ω0
2
，
求
抽
样
序列sinω0nT unT 的z变子换工。
解： xt sinω0tut学电X s
大
s2
ω0 ω02
K1 s jω0
s
K2 jω0
两个一阶极点邮分电别为
K1
北ω京0
s jω0
|s jω0
p1
j 2
,
j ω0，p2
K2 K1*
jω学0 。院 子工2j程
§6.10 傅里叶变学电换子 、拉普拉斯变换、 北z京变邮电换大 之间的关系工程学院
子 电 学 大 电 邮 北京邮电大学北电京子工程学院
第
2 页
主要内容
院 学
序列的傅里叶变换工程
z变换与拉普拉电斯子变换的关系
傅氏变换、大拉学氏变换、z 变换之间的联系和区别
重点：序z变北列换京的邮与电傅拉里普叶拉变斯换变换的关系工程学院
xt
院x n
学
s
j
程 工
z
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T
子
频率类型 及单位
模拟：弧度/秒 数字：弧度
电 模拟：弧大度学/秒
电
数字：弧度
邮
京
北
X
第
三．傅氏变换、拉氏变换、z变换的关系
14 页
3.3 s平面虚轴上的拉氏变学换院 即为傅氏变换
σ 0, s jΩ
程 工
H
jΩ
H
s
子 sjΩ学电
3（.D4 TzF平z T面）1,单z北位京e邮jω圆电大上的z变换即为序子列工程的学傅院 氏变换
inω0t
ut
的拉式院变
学 程
换
为 s2
ω0 ω0
2
，
求
抽
样
序列sinω0nT unT 的z变子换工。
解： xt sinω0tut学电X s
大
s2
ω0 ω02
K1 s jω0
s
K2 jω0
两个一阶极点邮分电别为
K1
北ω京0
s jω0
|s jω0
p1
j 2
,
j ω0，p2
K2 K1*
jω学0 。院 子工2j程
傅里叶变换拉普拉斯变换z变换关系
傅里叶变换拉普拉斯变换z变换关系
傅里叶变换、拉普拉斯变换和z变换是三种不同的信号分析方法。
它们之间的关系如下：
1. 傅里叶变换和拉普拉斯变换
傅里叶变换用于分析连续时间信号，而拉普拉斯变换用于分析连续时间线性时不变系统（LTI系统）。
当对LTI系统的输入信号进行傅里叶变换时，得到的结果是系统的频率响应，即系统在不同频率下的增益和相位差。
当使用拉普拉斯变换对LTI系统的输入信号进行变换时，得到的结果是系统的传递函数，即输入信号和输出信号之间的关系。
2. 傅里叶变换和z变换
傅里叶变换和z变换都用于分析离散时间信号。
傅里叶变换将信号从时域转换到频域，而z变换将信号从时域转换到z域。
z变换可以将连续时间信号离散化，这使得它在数字信号处理中非常有用。
当对离散时间信号进行傅里叶变换时，得到的结果是信号的离散频谱，即信号在不同频率下的幅度和相位信息。
当使用z 变换对离散时间信号进行变换时，得到的结果是离散时间系统的传递函数，即输入信号和输出信号之间的关系。
3. 拉普拉斯变换和z变换
拉普拉斯变换和z变换类似，都用于分析离散时间线性时不变系统。
当使用拉普拉斯变换对离散时间LTI系统的输入信号进行变换时，得到的结果是系统的离散时间传递函数。
当使用z变换对连续时间LTI系统的输入信号进行变换时，得到的结果是系统的z域传递函数。
这些函数可以用于分析系统的稳定性、带宽和抗差性等性质。
(完整版)§8.6 z变换与拉氏变换的关系
1
j
Xs
e sT z -1 nds
2pj - j
n0
此式的收敛条件是：|z|>|esT|，当符合这一条件时
e sT z -1 n
1
n0
1 - e sT z -1
X z 1 j X s
ds 1
例如：当X(s)有一单阶极点s1时
Re
s
zX z-
s e sT
ss1
z
s - s1 X z - e sT
s
k1z k1z
s s1
z - e s1T
z - z1
以上从拉氏逆变换式出发推证了拉氏变换式 与z变换式的关系式。 下面把信号按部分分式分解进行讨论 若连续时间信号xˆ(t)由N项指数信号相加组合而成
xˆ t xˆ 1 t xˆ 2 t xˆ n t
N
N
xˆ i t Ai e pitut
i1
i 1
N
容易求得，它的拉式变换为 L xˆ t
Ai
i1 s - pi
若序列X(nT)由N项指数序列相加组合而成
xnT x1nT x2 nT xN nT
X s
s2
ω0 ω02
显然X(s)的极点位于s1=j0, s2= -j0,其留数分别为
A1
-j 2
及A2
j 2
于是， X(s)可以展成部分分式
-j
j
X s 2 2
s - jω0 s jω0
可以得到sin(0nT)u(nT)的z变换为
DSP_09离散时间信号-Z变换与拉氏变换关系
有w ，因此，W从
S平面到Z平面的映射
由上述讨论总结得出从Z平面到S平面的映射关系如下
2 1 S平面上宽度为 的水平带映射成整个 Z平面，左半带 T 映射成单位园内部，右 半带映射成单位园外部 ，长度为 2 的虚轴映射成单位圆周 。 T 2 2 由于S平面可被分成无限条宽 度为 的水平带，所以 S T 平面可被映射成无限多 个Z平面。
也就是说，因果系统稳定的充要条件是系统函数 H z 的所有
极点都在单位圆内。
2016/6/25
16
由系统函数判断系统的稳定性
例2.21 设一个线性非移变系统的系统函数为
1 1 1 z 2 H z 3 1 1 2 1 z z 4 8
试画出零极点分布图，并确定 H z 的收敛域和稳定性。
n
xa nT e nTs
而 xn xa nT 的Z变换为
X z
n
xn z
n
n
n x nT z a
由此可知 X z
2016/6/25
z e sT
X s s
3
S平面到Z平面的映射
关系式 X z
用MATLAB函数求系统的频率响应并画出响应曲线
2016/6/25
26
由系统函数判断系统的稳定性
例2.22 解（续）
因为在 所以
z 1 处有零点，
H e j 0 0
H e jw
1 e jw H e 1 0.81e j 2w
jw
在
z 0.9 j 处有极点，
这就是Z平面到S平面的映射关系。
z变换与拉普拉斯变换的关系
z变换与拉普拉斯变换的关系在信号处理领域中，z变换和拉普拉斯变换是两个非常重要的数学工具。
它们在数字信号处理和模拟信号处理中都有广泛的应用。
虽然它们看起来非常不同，但它们之间有着密切的联系。
本文将介绍z 变换和拉普拉斯变换的定义、性质以及它们之间的关系。
一、z变换z变换是一种离散时间信号的变换方法，它将一个离散时间信号转换成一个复变量函数。
z变换定义如下：$$X(z)=sum_{n=-infty}^{infty}x(n)z^{-n}$$其中，$x(n)$是一个离散时间信号，$z$是一个复变量。
$X(z)$是一个复变量函数，称为$x(n)$的z变换。
可以看出，z变换是将离散时间信号$x(n)$映射到复平面上。
它的收敛域是一圆形或一个环形区域。
z变换具有一些重要的性质，包括线性性、时移性、频移性、共轭对称性等。
这些性质使得z变换在信号处理中有着广泛的应用。
二、拉普拉斯变换拉普拉斯变换是一种连续时间信号的变换方法，它将一个连续时间信号转换成一个复变量函数。
拉普拉斯变换定义如下：$$X(s)=int_{0}^{infty}x(t)e^{-st}dt$$其中，$x(t)$是一个连续时间信号，$s$是一个复变量。
$X(s)$是一个复变量函数，称为$x(t)$的拉普拉斯变换。
可以看出，拉普拉斯变换是将连续时间信号$x(t)$映射到复平面上。
它的收敛域是一条垂直于虚轴的带状区域。
与z变换类似，拉普拉斯变换也具有一些重要的性质，包括线性性、时移性、频移性、共轭对称性等。
这些性质使得拉普拉斯变换在信号处理中有着广泛的应用。
三、z变换与拉普拉斯变换的关系虽然z变换和拉普拉斯变换看起来非常不同，但它们之间有着密切的联系。
实际上，z变换可以看作是拉普拉斯变换在离散时间上的推广。
具体来说，我们可以通过将拉普拉斯变换中的$s$替换成$z$来得到z变换：$$s=frac{1}{T}ln z$$其中，$T$是采样周期。
这个公式告诉我们，如果我们将连续时间信号$x(t)$采样成离散时间信号$x(n)$，并且采样周期为$T$，那么我们就可以通过拉普拉斯变换得到$x(t)$的拉普拉斯变换$X(s)$，然后将$s$替换成上面的公式，得到$x(n)$的z变换$X(z)$。
8.6-Z变换与拉普拉斯变换的关系(共28张)
14 第14页，共28页。
例8 19 表示某离散系统的差分方程为 y(n) 0.2 y(n 1) 0.24y(n 2) x(n) x(n 1)
(3) 求单位样值响应h(n); (4) 当激励x(n)为单位阶跃序列时,求零状态响应y(n).
(3) h(n) ZT 1[H (z)]
H(z)
第16页，共28页。
P1078 26 由下列差分方程画出离散系统的结 构图, 并求系统函数H (z)及单位样值响应h(n).
y(n) x(n) 3x(n 2) 5y(n 1) 6y(n 2)
x(n)
z1 3
5
z 1
6
y(n)
z 1 z 1
Y (z) 5z1Y (z) 6z2Y (z) X (z) 3z2 X (z)
H (z) 2z 0.5z 0.5 z3 z2
18
第18页，共28页。
P1078 26 由下列差分方程画出离散系统的结 构图, 并求系统函数H (z)及单位样值响应h(n).
解法一: H (z) 2z 0.5z 0.5 z3 z2
解法二 :
H(z)
z2
5z 6 5z 9 z2 5z 6
从系统函数 的极点来看稳定因果系统
因果系统： z a
稳定系统：单位圆在收敛域内
z a,a 1
收敛域内无极点，故全部极点都落在单位圆内。
12
第12页，共28页。
例8 19 表示某离散系统的差分方程为
y(n) 0.2 y(n 1) 0.24y(n 2) x(n) x(n 1) (1) 求系统函数H (z); (2) 讨论此因果系统H (z)的收敛域和稳定性; (3) 求单位样值响应h(n); (4) 当激励x(n)为单位阶跃序列时,求零状态响应y(n).
例8 19 表示某离散系统的差分方程为 y(n) 0.2 y(n 1) 0.24y(n 2) x(n) x(n 1)
(3) 求单位样值响应h(n); (4) 当激励x(n)为单位阶跃序列时,求零状态响应y(n).
(3) h(n) ZT 1[H (z)]
H(z)
第16页，共28页。
P1078 26 由下列差分方程画出离散系统的结 构图, 并求系统函数H (z)及单位样值响应h(n).
y(n) x(n) 3x(n 2) 5y(n 1) 6y(n 2)
x(n)
z1 3
5
z 1
6
y(n)
z 1 z 1
Y (z) 5z1Y (z) 6z2Y (z) X (z) 3z2 X (z)
H (z) 2z 0.5z 0.5 z3 z2
18
第18页，共28页。
P1078 26 由下列差分方程画出离散系统的结 构图, 并求系统函数H (z)及单位样值响应h(n).
解法一: H (z) 2z 0.5z 0.5 z3 z2
解法二 :
H(z)
z2
5z 6 5z 9 z2 5z 6
从系统函数 的极点来看稳定因果系统
因果系统： z a
稳定系统：单位圆在收敛域内
z a,a 1
收敛域内无极点，故全部极点都落在单位圆内。
12
第12页，共28页。
例8 19 表示某离散系统的差分方程为
y(n) 0.2 y(n 1) 0.24y(n 2) x(n) x(n 1) (1) 求系统函数H (z); (2) 讨论此因果系统H (z)的收敛域和稳定性; (3) 求单位样值响应h(n); (4) 当激励x(n)为单位阶跃序列时,求零状态响应y(n).
拉普拉斯变换和z变换的关系
拉普拉斯变换和z变换的关系拉普拉斯变换和z变换是两种常用的信号处理方法，它们有着密切的联系和相互转换的关系。
拉普拉斯变换是一种将时域信号转换为复频域信号的方法，可以将微分方程转化为代数方程。
它的定义是对于一个函数f(t)，如果它在区间[0,∞)上是绝对可积的，那么它的拉普拉斯变换F(s)为：F(s) = ∫[0,∞) e^(-st) f(t) dt其中，s是一个复数变量，e^(-st)是指数函数。
与拉普拉斯变换相对应的是z变换，它可以将离散时间域信号转化为复频域信号。
z变换的定义是对于一个离散时间信号x[n]，如果它在n的整个范围上是绝对可和的，那么它的z变换X(z)为：X(z) = ∑[n=-∞,∞] z^(-n) x[n]其中，z是一个复数变量，n是整数。
尽管拉普拉斯变换和z变换的定义看起来非常不同，但它们之间存在着密切的联系。
事实上，z变换是拉普拉斯变换在离散时间上的推广。
具体地说，如果我们将拉普拉斯变换中的变量s替换为z^(-1)，那么我们就得到了z变换的公式。
这意味着，通过对拉普拉斯变换的理解，我们可以更好地理解z变换，并在它们之间进行转换。
拉普拉斯变换和z变换在信号处理中有着广泛的应用。
例如，它们都可以用于滤波、系统建模、控制系统设计等方面。
在实践中，我们通常会根据具体应用场景和需求来选择使用哪种变换方法。
如果我们处理的是连续时间信号，那么我们会使用拉普拉斯变换；如果我们处理的是离散时间信号，那么我们会使用z变换。
当需要将一个连续时间信号转化为离散时间信号时，我们也可以使用z变换，它提供了一种将连续时间信号离散化的方法。
拉普拉斯变换和z变换是信号处理中常用的两种方法，它们之间存在着密切的联系和相互转换的关系。
通过深入理解它们的定义和应用，我们可以更好地处理和分析信号，实现更好的信号处理效果。
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§8.6 z变换与拉普拉斯变换 的关系
一．z平面与s平面的映射关系
在引入z变换的定义时，引入符号 z esT
s(直角坐标)：s j Ω z, s关系 z esT
jΩ
s jΩ
j Ω0
代入
O
0
s平面
z(极坐标)：z r ej
jIm( z)
r0
z r ej
0
O
Re (z )
z平面
比较
求解线性时不变离散系统的差分方程有两种方法： •时域方法——第七章中介绍 •z变换方法
•差分方程经z变换→代数方程； •可以将时域卷积→频域（z域）乘积； •部分分式分解后将求解过程变为查表； •求解过程自动包含了初始状态（相当于0-的条件）。
一．应用z变换求解差分方程步骤
一．步骤
(1)对差分方程进行单边z变换（移位性质）；
(2)由z变换方程求出响应Y(z) ； (3) 求Y(z) 的反变换，得到y(n) 。
二．差分方程响应y(n)的起始点确定
全响应y(n)根据输入信号加上的时刻定
对因果系统y(n)不可能出现在x(n)之前
观察Y(z)分子分母的幂次
分母高于分子的次数是响应的起点
Y
z
z
2z
1z
22
从n 2开始yn有不为零的值。
z
z
z2
22
Yzs z yzs n n 1 2n un
b.由储能引起的零输入响应 （对n 2都成立）
Yzi z 1 3z1 2z2 2z1 y 1 3 y 1 2 y 2
即
Yzi
z
zz 1 z 2z 1
3z z2
2z z1
零输入响应为
Yzi z yzi n 3 2n 2 1n n 0
z e(σ jΩ)T e T ejΩT
所以
半径 : r e T
幅角:θ
Ω
T
2π
Ω Ωs
几种情况
（1）s平面的原点
（2）
σ Ω
，0z平面
0
θr，即10 。 z 1
s平面 σ 0
σ0
σ0
为常数:
左半平面 虚轴 右半平面 左向右移
z平面 r 1
r 1
r 1
r为常数: 0
单位圆内 单位圆上 单位圆外 半径扩大
A1
j 2
及A2
j 2
于是，Xs可以展成部分分式
j
j
Xs 2 2
s jω0 s jω0
可以得到 sin ω0nTunT的z变换为
j
j
X z
2 1 z1 e jω0T
1
z
1
2 e
jω
0T
1
z1 sin ω0T 2z1 cosω0T
z
2
§8.7 用z变换解差分方程
序言
描述离散时间系统的数学模型为差分方程。求解差 分方程是我们分析离散时间系统的一个重要途径。
t 0 t 0 t 0
按抽样规律建立二者联系时必须在0点补足 Ai 2 ,即
x
i
nT
un
xˆ
i
t
u
t
t
nT
xˆ i
t
ut
t
nT
Ai 2
当n 0 当n 0
例8-6-1
已知指数函数eat ut的拉式变换为 1 ，求抽样序列
sa
eanT unT 的z变换。
解：
xt eat ut
Xs 1
2
阶跃序列un在点n 0定义为1
若连续时间信号xˆ t 由N项指数信号相加组合而成
xˆt xˆ1 t xˆ 2 t xˆ n t
N
N
xˆ i t Ai e pitut
i 1
i 1
容易求得，它的拉式变换为
N
Lxˆ t
Ai
i1 s pi
若序列xnT 由N项指数序列相加组合而成
三．差分方程解的验证
原方程迭代出 y0, y1, y2 两种迭代结果相同, 解的表达式迭代出 y0, y1, y2 解答是正确的
例8-7-1
已知系统的差分方程表达式为
y(n) 0.9y(n 1) 0.05u(n)
若边界条件y(1) 1,求系统的完全响应。 解：
方程两端取z变换
Y z 0.9 z1Y z y 1 0.05 z z1
Y
z
z
0.05z 2
1z 0.9
0.9 z
y 1z
0.9
Y z A1z A2z
z z 1 z 0.9
Y z A1z A2z
z z 1 z 0.9
A1 0.5 A2 0.45
Y z 0.5 z 0.45 z
z
z1
z 0.9
yn 0.5 0.450.9n n 0
例8-7-2
c. 整理
（1）式得全响应
Yz
z
2z
1z
22
Yz
z
2
z 1z 22
A1 z 1
B1 z2
B2
z 22
B1
2
1
1!
d dz
z
22
z
2
1z
22
z
2
2
sa
Xs只有一个一阶级点s a，可以直接求出eanT unT
的z变换为
X
z
1
z
1
1
eaT
例8-6-2
已知正弦信号
sin
ω0
t
u
t
的拉式变换为
s
2
ω0 ω
0
2
，求抽样
序列sin ω0nT unT 的z变换。
解：
已知
xt sin ω0tut
Xs
s2
ω0 ω02
显然Xs的极点位于s1 jω0，s2 jω0,其留数分别为
xnT x1nT x2nT xN nT
N
N
xi nT Ai epinTu nT
i1
i1
1 epiT
z 1
借助模拟滤波器 设计数字滤波器
注意跳变值
0
xˆ
i
t
Ai 2
Ai epit
t 0 t 0 t 0
0
xi nT Ai
Ai epint
已知系统框图
xn 1
yn
列出系统的差分方程。
E
xn
2n
n
0
, y0 y1 0,
0 n0
求系统的响应 y(n)。
1
3 E
2 1
E
解：
（1） 列差分方程，从加法器入手
xn xn 1 3yn 1 2yn 2 yn
所以 yn 3yn 1 2yn 2 xn xn 1
（2）用z变换求解需要y1, y 2,用y1, y0由方程迭代出
（3） s平面Ω 0：实轴 z平面θ 0，正实轴
（4）z~s映射不是单值的。Ω Ωs θ π 2
二．z变换与拉式变换表达式之对应
xt 均匀 抽样 xn, Lxt Xs， Zxn Xz
能否借助Xs写出Xz?
注意： 连续时间信号的突变点函数值与对应的序列样值有区别。
例如，阶跃信号ut在t 0点定义为 1 ;
y 1 1 , y 2 5
2
4
（3）差分方程两端取z变换，利用右移位性质
Y z 3 z1Y z y 1 2 z2Y z z1 y 1 y 2
z z z1 z2 z2
x 1 0
1
a.由激励引起的零状态响应
Yzs z 1 3z1 2z2
z1 z2
即 零状态响应为
Yzs
一．z平面与s平面的映射关系
在引入z变换的定义时，引入符号 z esT
s(直角坐标)：s j Ω z, s关系 z esT
jΩ
s jΩ
j Ω0
代入
O
0
s平面
z(极坐标)：z r ej
jIm( z)
r0
z r ej
0
O
Re (z )
z平面
比较
求解线性时不变离散系统的差分方程有两种方法： •时域方法——第七章中介绍 •z变换方法
•差分方程经z变换→代数方程； •可以将时域卷积→频域（z域）乘积； •部分分式分解后将求解过程变为查表； •求解过程自动包含了初始状态（相当于0-的条件）。
一．应用z变换求解差分方程步骤
一．步骤
(1)对差分方程进行单边z变换（移位性质）；
(2)由z变换方程求出响应Y(z) ； (3) 求Y(z) 的反变换，得到y(n) 。
二．差分方程响应y(n)的起始点确定
全响应y(n)根据输入信号加上的时刻定
对因果系统y(n)不可能出现在x(n)之前
观察Y(z)分子分母的幂次
分母高于分子的次数是响应的起点
Y
z
z
2z
1z
22
从n 2开始yn有不为零的值。
z
z
z2
22
Yzs z yzs n n 1 2n un
b.由储能引起的零输入响应 （对n 2都成立）
Yzi z 1 3z1 2z2 2z1 y 1 3 y 1 2 y 2
即
Yzi
z
zz 1 z 2z 1
3z z2
2z z1
零输入响应为
Yzi z yzi n 3 2n 2 1n n 0
z e(σ jΩ)T e T ejΩT
所以
半径 : r e T
幅角:θ
Ω
T
2π
Ω Ωs
几种情况
（1）s平面的原点
（2）
σ Ω
，0z平面
0
θr，即10 。 z 1
s平面 σ 0
σ0
σ0
为常数:
左半平面 虚轴 右半平面 左向右移
z平面 r 1
r 1
r 1
r为常数: 0
单位圆内 单位圆上 单位圆外 半径扩大
A1
j 2
及A2
j 2
于是，Xs可以展成部分分式
j
j
Xs 2 2
s jω0 s jω0
可以得到 sin ω0nTunT的z变换为
j
j
X z
2 1 z1 e jω0T
1
z
1
2 e
jω
0T
1
z1 sin ω0T 2z1 cosω0T
z
2
§8.7 用z变换解差分方程
序言
描述离散时间系统的数学模型为差分方程。求解差 分方程是我们分析离散时间系统的一个重要途径。
t 0 t 0 t 0
按抽样规律建立二者联系时必须在0点补足 Ai 2 ,即
x
i
nT
un
xˆ
i
t
u
t
t
nT
xˆ i
t
ut
t
nT
Ai 2
当n 0 当n 0
例8-6-1
已知指数函数eat ut的拉式变换为 1 ，求抽样序列
sa
eanT unT 的z变换。
解：
xt eat ut
Xs 1
2
阶跃序列un在点n 0定义为1
若连续时间信号xˆ t 由N项指数信号相加组合而成
xˆt xˆ1 t xˆ 2 t xˆ n t
N
N
xˆ i t Ai e pitut
i 1
i 1
容易求得，它的拉式变换为
N
Lxˆ t
Ai
i1 s pi
若序列xnT 由N项指数序列相加组合而成
三．差分方程解的验证
原方程迭代出 y0, y1, y2 两种迭代结果相同, 解的表达式迭代出 y0, y1, y2 解答是正确的
例8-7-1
已知系统的差分方程表达式为
y(n) 0.9y(n 1) 0.05u(n)
若边界条件y(1) 1,求系统的完全响应。 解：
方程两端取z变换
Y z 0.9 z1Y z y 1 0.05 z z1
Y
z
z
0.05z 2
1z 0.9
0.9 z
y 1z
0.9
Y z A1z A2z
z z 1 z 0.9
Y z A1z A2z
z z 1 z 0.9
A1 0.5 A2 0.45
Y z 0.5 z 0.45 z
z
z1
z 0.9
yn 0.5 0.450.9n n 0
例8-7-2
c. 整理
（1）式得全响应
Yz
z
2z
1z
22
Yz
z
2
z 1z 22
A1 z 1
B1 z2
B2
z 22
B1
2
1
1!
d dz
z
22
z
2
1z
22
z
2
2
sa
Xs只有一个一阶级点s a，可以直接求出eanT unT
的z变换为
X
z
1
z
1
1
eaT
例8-6-2
已知正弦信号
sin
ω0
t
u
t
的拉式变换为
s
2
ω0 ω
0
2
，求抽样
序列sin ω0nT unT 的z变换。
解：
已知
xt sin ω0tut
Xs
s2
ω0 ω02
显然Xs的极点位于s1 jω0，s2 jω0,其留数分别为
xnT x1nT x2nT xN nT
N
N
xi nT Ai epinTu nT
i1
i1
1 epiT
z 1
借助模拟滤波器 设计数字滤波器
注意跳变值
0
xˆ
i
t
Ai 2
Ai epit
t 0 t 0 t 0
0
xi nT Ai
Ai epint
已知系统框图
xn 1
yn
列出系统的差分方程。
E
xn
2n
n
0
, y0 y1 0,
0 n0
求系统的响应 y(n)。
1
3 E
2 1
E
解：
（1） 列差分方程，从加法器入手
xn xn 1 3yn 1 2yn 2 yn
所以 yn 3yn 1 2yn 2 xn xn 1
（2）用z变换求解需要y1, y 2,用y1, y0由方程迭代出
（3） s平面Ω 0：实轴 z平面θ 0，正实轴
（4）z~s映射不是单值的。Ω Ωs θ π 2
二．z变换与拉式变换表达式之对应
xt 均匀 抽样 xn, Lxt Xs， Zxn Xz
能否借助Xs写出Xz?
注意： 连续时间信号的突变点函数值与对应的序列样值有区别。
例如，阶跃信号ut在t 0点定义为 1 ;
y 1 1 , y 2 5
2
4
（3）差分方程两端取z变换，利用右移位性质
Y z 3 z1Y z y 1 2 z2Y z z1 y 1 y 2
z z z1 z2 z2
x 1 0
1
a.由激励引起的零状态响应
Yzs z 1 3z1 2z2
z1 z2
即 零状态响应为
Yzs