向量及其线性关系修改后

当且仅当存在不全为零的标量$k_1, k_2, ..., k_n$，使得 $k_1a_1 + k_2a_2 + ... + k_na_n = 0$时，向量组$(a_1, a_2, ..., a_n)$线性相关。
向量线性无关的定义
向量线性无关是指不存在不全为零的 标量$k_1, k_2, ..., k_n$，使得 $k_1a_1 + k_2a_2 + ... + k_na_n = 0$。
04
CHAPTER
线性方程组解的结构
线性方程组解的判定定理
1 2 3
判定定理1
如果线性方程组中，系数矩阵的行列式值不为0， 则线性方程组有唯一解。
判定定理2
如果线性方程组中，系数矩阵的行列式值为0， 且其对应的二阶子矩阵行列式值不为0，则线性 方程组有无穷多解。
判定定理3
如果线性方程组中，系数矩阵的行列式值为0， 且其对应的二阶子矩阵行列式值也为0，则线性 方程组无解。
秩-零度定理法
利用秩-零度定理，通过计算向量组的零度得到 秩。
最大无关组法
寻找向量组中的极大线性无关组，极大线性无关组中向量的个数即为向量组的 秩。
03
CHAPTER
向量组的线性表示
向量组的线性表示的定义
向量组的线性表示是指一组向量可以由 另一组向量线性组合而成。
线性组合是指通过常数倍的加和、加减运算 以及数乘运算得到的向量。
02
向量组线性无关当且仅当每个向 量都不能被其他向量线性表示。
02
CHAPTER
向量组的秩
向量组的秩的定义
向量组的秩定义为该组向量中线性无关向量的个数。
如果一个向量组中存在一组不全为零的标量系数，使得这组标量与向量组中的每个向量相乘后得到的向 量线性无关，则称这组标量是该向量组的一个极大线性无关组。

M
e1 e2( , R)
称e1 , e2为平面向量"基底"
解析几何
向量的线性关系与向量的分解
定理3 (空间向量基本定理) 空间情形有类似的结论.
C M
e3 r
e1 O e2
A
r OA OB OC
e1 e2 e3 (, , R,且惟一)
ai(i 1, 2, , n)线性相关. (2)一组向量中的部分线性相关,则全体线性相关.
向量共线、共面概念的拓展
10 a, b共线 a与b线性相关. 20 a, b, c共面 a, b, c线性相关. 30 空间四个以上向量总是线性相关.
解析几何
与向量e( 0)共线的向量r可用e线性表示.
e0
r
r e( R,且惟一)
称e为共线向量的"基底"
解析几何
向量的线性关系与向量的分解
定理2 (平面向量基本定理)
若e1 , e2为平面内不共线两向量, 则平面内任一向量r可用e1 , e2线性表示.
B
e2
r
O
e1
A
r OA OB
向量的线性关系与向量的分解
1.向量的线性组合
n
若 a λ1a1 λ2 a2 λn an i ai (i R) i 1 把a叫做ai (i 1, 2, n)的线性组合, 或称a可由ai线性表示. 或称a可分解成ai的线性组合.
解析几何
向量的线性关系与向量的分解
定理1 (共线向量基本定理)
B
e1, e2 , e3称空间向量"基底"
解析几何
向量的线性关系与向量的分解

解析几何
七、共线向量的条件
定理 6
两向量共线的充要条件是它们线性相关.
证：设两向量a， b，若它们线性相关，则有 a b 0，
且，不全为零，不妨设 0，则有a b，即a， b共线. 反过来，由a， b共线，若b 0，则存在x，使得
解：
设 所以
p OM MP, p ON NP
MP mMB m(b a), NP n NA n(a b)
B
p a m(b a) (1 m)a mb,
b
O
b
N P
p b n(a b) na (1 n)b

解析几何
思考题
设 a, b 为两不共线向量，证明向量 u a1 a b1b ，
a1 v a2 a b2 b 共线的充要条件是 b1
a2 0. b2

解析几何

p
M
a
a
解析几何
A
因为
a,b 不共线，
所以
(1 m) n, m (1 n).
m
解得
(1 ) (1 ) ,n . 1 1
所以
p
(1 ) (1 ) a b. 1 1
换句话说，向量 a1, a2 ,
, an 叫做线性无关就是指：只有当
1＝2＝ ＝n＝0 时，（1）才成立.
推论 一个向量 a 线性相关的充要条件为 a＝0 .

解析几何
六、向量线性相关的条件
定理 1.4.4 在 n 2 时，向量 a1, a2 , 其中有一个向量是其余向量的线性组合.

1 2 0 1 2 1 1 0 2 1 2 0 1 1 1 0 0 1 1 1 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0
∴ 1 , 2 为一个极大无关组.且 1 3 1 2 ， 4 1 2 2
证毕
注：此定理给出了线性相关与线性组合的关系
例 设向量组 1 (1 , 1, 1, 0) ， 2 (1 , 0, 3 ( 0, 1, 0, 0) ，验证向量组线性相关. 解
∵ 1 2 3
1, 0) ，
∴ 1 , 2 , 3 线性相关.
定理5 如果向量组 1 , 2 ,......, , s 线性无关，则向量 可以由 向量组 1 , 2 ,......, s 线性表示，且表示法 唯一. 证明 (1)先证 可由1 , 2 ,......, s 线性表示
矩阵的列秩： 称矩阵A的列向量组的秩为矩阵A 的列秩.
定理9
A 为m n 矩阵，r ( A) r
A 的列秩与行秩相等，且为 r.
求向量组的极大无关组的方法：
1 给定向量组 1 , 2 ,......, n ，以 1 , 2 ,......, n 为列向量构成一个矩阵 1 2 ...... n ，然 后进行初等行变换，求得矩阵的秩，即是极大 无关向量组所含向量的个数. 2 而不为零的 r 阶子式所对应的向量组，即 是极大无关组.
.......... .......... .......... .......... ... n k1n 1 k2 n 2 ... krn r
（2）证明题：
由于证明题中向量组中向量的分量一般不给出， 固不能按上述方法来判定向量组相关性，而应 按照相关无关的定义来证明.