数学理卷·2016届河北省保定市高三上学期期末调研考试试题(2016.01)word版

第一学期河北省保定市高三数学期末调研测试卷 人教版一、 选择题 1、函数xi y 2cos 2006+=（其中i 为虚数单位）的最大值和最小正周期分别是（ ）A 0， πB 0， π2C -2， πD 1，π文）函数||cos x y -=最小正周期是（ ）A π4B π2C π D2π2、2. （理）若数列}{n a （n *N ∈）满足112n n n a a +=＋，且1a =-12，lim n n a→+∞ ＝ （ ） A 、12 B 、1C 、2D 、 34（文）在等差数列{}n a 中，若4681012120a a a a a ++++=，则其前15项的和为 ( )A ．360B ．150C ．316D ．173、函数y=f(x)的图象在点P （1，f(1)）处的切线方程为y=-2x+10,导函数为()f x '，则f(1)+ (1)f '的值为 A. －2 B.2 C .6 D. 84设不等式|x+1|-x 1≤的解集为M 若Ma ∈1则a 的取值范围 0,>a A 01,≠-≥a A B 且01,<≤-a C 10,-≤>a a D 或5、一个三位数由1，2，3，……，9这九个数字中的三个组成，且百位是5的倍数，十位是4的倍数，个位是3的倍数，若某人依据这一信息连猜该三位数两次，则其第一次猜错且第二次猜对的概率为 （ ） A.1/5 B.1/6 C .5/36 D. 1/366、 记函数()1()2x f x -=的反函数为f --1(x)，则函数()11y f x -=-的大致图象是 （ ）B ADC7、正四棱锥ABCD P -，侧棱长为6，且它的五个顶点都在同一个球面上，则此球的表面积为 （ ）A.8πB.2 πC.23π D.3 8、（理）已知函数f(x)的导函数1()()0()().f x f x R f x f x -''>为，且在上恒成立，的反函数为若f(5)=0,则下列三个值11(3),(3),(0)a f b f c f --===的大小关系为…………( )A.c>a>b,B.b>a>c,C.b>c>a,D.a>b>c（文）函数()150y x x=-≠的反函数是 （ ）A.在定义域内单调递减 B 、在()+∞-,5单调递增. C. 在()+∞-∞-,5-)5和（皆单调递减 D 、在()和0,∞-()+∞,0单调递减9、（理）已知1212103232)1()1(x a x a a x x x x +++=+-⋅++ 则7a =（ ）A 、0B 、1C 、33-D 、33（文） ()()4211x x -⋅+的展开式中3x 的系数为 （ ） A ．4 B ．6 C ．7 D ．910．若双曲线22221x y e a b-==的离心率，其左、右顶点分别为1A 、2A ，设P 为其右支上一点，且直线2A P 的斜率为2，则直线1A P 的倾斜角等于 （ ）A ． 3πB ．1arctan 2C ．arctan 2D ．6π11在正方体ABCD-A1B1C1D1中，E 是B1C 的中点，则直线AE 与平面ACD1所成角的大小为 ( )(A)arcsin3(B)arccos 6 (C) 1sin 3arc (D) 6π12.236ABC AB BC BC CA AC AB A ==∠=在中，若，则 （ ）A ．30B ．45C ．60D ．135二、填空题13.已知A ＝{x-y|y=x 2},B={x|x 2-5x-6>0},则A ⋂B ＝ .14．30名武警排成5行6列的队形，现从中选出3人，要求其中任意2人不同行也不同列，则不同的选出方法种数为 . 15、（理）设函数213,0(),(1)(3)2,,0x x f x f f x mx n x -<⎧===-⎨++≥⎩若则关于x 的方程|f(x)|=2x 的解的个数-------------------------（文）已知函数()f x =nn n x x f a 2)(-=，n *N ∈， 若12301x x x <<<≤-,则a 1 ,a 2,a 3的大小关系为16. 已知曲线C ：x 2+ay 2=a ，设直线l 1交曲线C 于不同两点P 1，P 2，记线段P 1P 2的中点为P ，直线l 2过P 点和坐标原点O ，若对任意直线l 1，都有120PP OP =，则a 的值为三、解答题17已知A 、B 、C 为ABC ∆的内角，设若(p =-，()cos ,sin q A A =，且p q 与的夹角为3. 求)8(sin 222A -π的值18. 已知：命题P ：“函数12++=tx x y 的图象与x 轴负半轴有两个不同交点”;命题Q ：“不等式|x-1|-1)3)(1(--≤m m 的解集为空集””.若命题P 或Q 为真，P 且Q 为假.求实数t 的取值范围.19 已知：如图， AD 、BC 、EF 是一组平行线，截面AB E ⊥E F ,且AE+BE=BC=2AD=4, G 为BC 中点，二面角A-EF-C 为θ.（1）(文、理)当θ=90且AE ＝2时，证明：BD EG ⊥. （2）（理）若θ=60，BE=43EF ＝，求二面角D-BF-C 的大小.（文）设AE x =，若θsin =41x-（0<x<4），求棱锥F －BCD 的体积()V x 的最大值.20.某公司今年计划投资10万元给甲、乙两地的水产养殖场，经市场营销部评估，若不受洪水影响，每投入1万元资金，在甲地可获利1.5万元，若遭受洪水影响的话，则将损失0.5万元；同样的情况，在乙地可获利1万元，否则将损失0.2万元.而气象部门的统计资料表明，甲、乙两地发生洪水的概率分别为0.6和0.5.（1）（文、理）若在甲、乙两地分别投资5万元，求获利12.5万元的概率. （2）若限定在两地的投资额相差不超过2万元.（理）问在甲、乙两地怎样分配资金可平均获利最大？（文）假设今年两地均不发生洪水，问在甲、乙两地怎样分配资金可获利最大？21.已知椭圆221)()2516x y t R E +=∈2按向量a=(t-3,t 平移后得到曲线， E P 设曲线的右焦点为（1）求P 点轨迹C 的方程；（2）设A,B 为曲线C 上的两点，F(0,1().4AF mBF m R =∈），且 求(AOB O ∠为坐标原点）的最大值.文）已知函数f(x)=1+nx )0,(≠∈*x N n（1）讨论函数f(x)图象的对称性，并指出其一条对称轴或一个对称中心 （2）令)('x f a n =，求数列{n a }的前n 项和n S ；22.（理）已知函数f(x)=nx +x n -)(*∈N n 的最大值为n a ，最小值n b .（1）设数列{n a }的前n 项和为)(*N n S n ∈，求证：22222nn S n n n +<<+. （2）若数列{n d }满足：61=d ， 1+⋅n n d d 2)21(144n b -⋅=，设n n d d d d T 321=)(*∈N n ,试问T n 是否存在最大值？若存在求出n 的值;若不存在，请说明理由？（文）已知椭圆221)()2516x y t R E +=∈2按向量a=(t-3,t 平移后得到曲线，E P 设曲线的右焦点为（1）求P 点轨迹C 的方程；（2）设A,B 为曲线C 上的两点，F(0,1().4AF mBF m R =∈），且求(AOB O ∠为坐标原点）的最大值.[参考答案]一、选择题 B 文（B ）ACDB CACB （文A ）B AD二、填空题 13.(,1)-∞- 14.1200 15. （理）3（文）312a a a << 1 16.2 三、解答题 17. 解：()()()11,2,cos,sin p q A A =-=，且p q 与的夹角为.2sin 3||||p q p q ==cos 1A A-= ① ………………3分 22sin cos 1A A += ②22cos 1A ∴+=()1cos 1,cos 3A A ∴=-=舍又A 为三角形的内角，所以sinA=3………………6分………………9分 ………………12分18.解：由题意p ,q 中有且仅有一个为真，一个为假，…………2分由p 真12120010x x m x x ∆>⎧⎪⇔+=-<⎨⎪=>⎩⇔m>2，……5分q 真⇔∆<0⇔1<m<3, ……7分 所以，若p 假q 真，则213m m ≤⎧⎨<<⎩⇔1<m ≤2……9分若p 真q 假，则213m m m >⎧⎨≤≥⎩或⇔m ≥3……11分综上所述：m ∈(1,2)∪[3，+∞]．…………12分19.证明（1）：过点D 作EF DH ⊥，垂足为H.连结HB 、GH,,2AD EH BG AD EH BG BE BE EH ====∴⊥∴且四边形BGHE 为菱形又，四边形BGHE 为正方形…………（理、文）3分所以HB EG ⊥又EF DH ⊥，且θ=90 所以BCFE DH 面⊥由三垂线定理得BD EG ⊥…………（理、文）6分(2)（理）60AEB EF AEB AEB ⊥∴∠∠=截面，即为二面角A-EF-C 的平面角，即知222248,,33489BE EF AE AB AE BE ABABE EF==∴=∴==+∴⊥⊥由余弦定理得显然为直角三角形，即AB BE又AB所以BCFE AB 面⊥连结DG ，则BC DG ⊥垂足G,所以CBEF DG 面⊥…………9分 作BF GM ⊥垂足为M,连结DM,则DMG ∠为二面角D-BF-C 的平面角4,31122BGF BE EF BF S BG BE BF MGGM ==∴===∴=所以，在DGM ∆中，tan arctan9DG DMG GM ∠==即，所求的二面角的大小为.…………12分（注：也可用空间向量来解,步骤略）（文）AEB EF AEB AEB θ⊥∴∠∠=截面，即为二面角A-EF-C 的平面角，即 又∵AD ∥面BFC所以()V x =BFC A V -＝θsin 31AE S BFC •∆ ＝21114(4)(1)(4)3246x x x x x ⋅⋅⋅-⋅-=- …………9分 ()V x '∴=令21(31616)6x x -+=0，得x=4344()0;4()033x V x x V x ''<<><<<显然0时，时，所以x=43时()V x 有最大值，其值为12881.…………12分20.解：（1）由已知条件分析可知，在甲、乙两地分别投资5万元的情况下欲获利12.5万元，须且必须两地都不发生洪水.故所求的概率为P=（1－0.6）×（1－0.5）＝0.2………………（理）5分（文）6分 （2）设投资1万元在甲地获利ξ万元，则ξ的可能取值为15万元和－5万元. 又此地发生洪水的概率为0.6故投资1万元在甲地获利的期望为1.5×0.6＋（－0.5）×0.4＝0.7万元.…………（理）7分 同理在乙地获利的期望为1×0.5＋（－0.2）×0.5＝0.4万元. …………（理）8分 设在甲、乙两地的投资分别为x,y 万元，则平均获利z=0.7x+0.4y 万元.……（理）9分（则获得的利润z=1.5x+y 万元.…………（文）7分）其中x,y 满足：10||20,0x y x y x y +⎧⎪-≤⎨⎪>>⎩＝如右图，因为A 点坐标为（6，4） 所以，在甲、乙两地的投资分别为6、4万元时，可平均获利最大，其最大值为（理）5.8万元、（文）13万元.（注：若不用线性规划的格式求解，只要结果正确同样给分）21.解：（1）设平移后的右焦点为P(x,y)，易得已知椭圆的右焦点为F 2(3,0), ………………1分122,)(,)() 4OF a OP x y x tt R y tC y x +===⎧∴∈⎨=⎩=2则即（3，0）＋（t-3,t 即轨迹的方程为：………………分（2）易知F(0,1.4）为曲线C 上的焦点，又().AF mBF m R =∈所以A,B,F 三点共线………………5分设22112212(,),(,).0,0A x x B x x x x ><其中221212122121222121211221,tan 111,0441444tan 13344×1133x x x x x x x x AOB x x y x x kx x x x x AOB x x x x x x ====-∴∠=+=--=∴=--∠=--+≤OAOB 则K K …………*?………7分设直线AB 的方程为：y=kx+代入得代入*得………………9分＝（）＝－（）－………………分4arctan34arctan3AOB AOB ππ∴∠≤-∠-即的最大值为 ………………12分 （文）21.解：（1）当n 为偶数时，因为f(-x)=(-x)n+1=x n+1=f(x),即函数f(x)为偶函数 所以其图象关于y 轴对称………………2分当n 为奇数时，因为f(-x)=(-x)n+1=－x n+1，所以1=f(-x)+f(x)2所以其图象关于点（0，1）中心对称. ………………4分（或：令g(x)=f(x)-1=x n ,所以g(-x)=(-x)n =-x n=－g(x) ，即g(x)为奇函数，所以g(x)的图象关于原点对称，故函数f(x)的图象关于点（0，1）中心对称.）………4分 （2）)('x f a n ==1-n nx…………6分所以21123n n S x x nx-=+++＋………………＃当1=x 时2)1(+=n n S n ；…………8分 当1≠x 时，＃式两边同乘以x,得23123(1)n nn xS x x x n x nx -=+++-+＋………**式－#式可得，21)1(1)1(x x n nx S n n n -++-=+…………12分 22.（理）解：（1）易得f(x)=nx +x n - 的定义域为[0，n]令()0f x '===，得x=12+n n ------------1分 所以，函数f(x)在(0,12+n n )上单调递增，在(12+n n ,n)单调递减，所以n a =)1(+n n ------------3分由于n n ≤，所以n b n =-------------5分 因为 2121)1(+=++<+<n n n n n n ，所以n n S n n n +<<+2222--------8分 （2）令1n n n c d d +=⋅所以n n d d d d T 321==⎩⎨⎧⋅⋅--)()(121131为奇数为偶数n c c d n c c c n n ------------10分由1||21144≠-⋅=n nn c c 知）（71||≤>n c n 时解得当； 81||≥<n c n 时解得当所以||||||||8642T T T T <<< >>||10T><<<||||||||7531T T T T >||11T -------------12分又n n n d d ）（211441-⋅=+，所以12121144+++-⋅=n n n d d ）（ 相除得212-=+n n d d ，由61=d 得122-=d ，所以1238>=d876||||d T T ⋅= 078>>∴T T 8T ∴最大 -----------14分。

高三调研考试 理科数学答案选择题： CDBBA CBACD BD填空题：13. 3; 14.352; 15. 2; 16. 42λ-<<- 解答题：17.解：（1）3sin cos sin cos()m n A BA B A B ⋅==+ (2分)cos C C +=sin()6C π∴+=(0,)C π∈ 6C π∴=或2C π=(4分) (缺少一种情况扣1分)（2）当6C π=时，由余弦定理得a=321sin 26S π∴==(7分) 当2C π=时，由勾股定理得a=32212S ∴==(10分) (缺少一种情况扣3分)18. （1）证明：∵11463,n n n nb b b b ++=- 即142,3n n b b +=- (2分)1442(),33n n b b +∴-=- 又14233b -=0≠ (若没有写首项不为0，不扣分)所以42{},233n b q -=是首项为公比的等比数列. (5分)（2）解：由（1）知41142,2(1).3333n n n n b b n -=⋅=⋅+≥即 (7分)因为11,2n n a b =+112n n n a b b ∴=+ (9分) ∴1122n n n S a b a b a b =+++121(12)153()2123n n b b b n n -=++++=+-1(251)3n n =+-(12分)19．解：(1) 1022102015152015153350503579928392392C C C C C C P C C =+=+=. (4分) (2)ξ的可能取值为0，1，2，3， (5分)又33035029(0)140C P C ξ===，12203035087(1)196C C P C ξ===， 21203035057(2)196C C P C ξ===，32035057(3)980C P C ξ===， (9分) ∴随机变量ξ的分布列是2901231401961969809802455E ξ∴=⨯+⨯+⨯+⨯===. (不约分不扣分) (12分)20. 解法一：⑴∵平面PAB ⊥平面ABC ,且AB BC ⊥,BC ∴⊥平面PAB ,BC PB ∴⊥. (4分)（2）如图建立空间直角坐标系，则1(0,,0)2A ，(0,0,0)B ，(1,0,0)C （6分） 平面PAB ⊥平面ABC ，∴点P 在坐标平面yBz 内， 3PC = ,1BC =, BC PB ⊥PB ∴=作PQ 垂直于直线AB 于Q ,则sin sin14PQ PB PBA π=⋅∠==，1QB =，(0,1,1)P ∴(0,1,1)BP =， )1,1,1(--=PC ，1(1,,0)2AC =- (8分)设平面PBC 的法向量为1(,,)n x y z =，则110000BP y z x y z PC ⎧⋅=+=⎧⎪⇒⎨⎨--=⎩⋅=⎪⎩uu r uu u r n n 可得1(0,1,1)n =- ，同理可求出平面PAC 的法向量2(1,2,1)n =- （10分）1212123cos ,2|||||n n n n n n ∙∴==⋅，由图知，二面角A PC B --是锐二面角， 所以二面角A PC B --的大小是6π. （12分） 解法二：⑴∵平面PAB ⊥平面ABC ,且AB BC ⊥,BC ∴⊥平面PAB ,BC PB ∴⊥. (4分)⑵作PO ⊥直线AB 于O ,则PO ⊥平面ABC ，4PBA π∠=，PB =1PO BO ==如图，作AE PB ⊥于E ，则AE ⊥平面PBC ，,AE PC ∴⊥ 取PC 中点F ,连接AF ,EF ,1,1,2AO AB PO BC ====2AP AC ∴==AF PC ∴⊥ PC ∴⊥平面AEF PC EF ∴⊥ ∴AFE ∠就是二面角A PC B --的平面角. （8分）2AF ==，24AE AB ==， 1sin 2AE AFE AF ∴∠==，6AFE π∠=， ∴二面角A PC B --的大小是6π. (12分)21．解（1）易得A点坐标为， (1分)联立方程组222244024y mx m x y ⎧=+⎪⇒++-=⎨+=⎪⎩ (2分)因为A 、B 、D 三点两两互不重合28640m ∴∆=-+>，m ∴-<<0m ≠m ∴的取值范围是((0,22)- (4分) (没有舍去0扣1分)（2）设11(,),B x y 22(,)D x y，2121244m x x x x -+==①12BD x =-=(6分) 设d 为点A 到直线BDy m =+的距离,则d =.(7分)12ABD S BD d ∆∴=⋅⋅=,当且仅当2m =±时取等号.2(22,0)(0,22),±∈-∴当2m =±时，ABD ∆(9分)（3）证明：设直线AB 、AD 的斜率分别为：AB k 、AD k ，则1212121212()211(1)(1)AB AD y y x m x x mk k x x x x +-+++=+=---- 将①代入上式整理得0AB AD k k +=∴直线AB 、AD 的斜率之和为定值0. (12分)22. 解：（1）()f x 的定义域为(0,)+∞，当1=a 时，()ln 1f x x x x =-+'()ln f x x =，令'()0f x >，则1x >；令'()0f x <，则1x <()f x ∴在(0,1)单调递减，(1,)+∞单调递增min ()(1)0f x f ∴== (4分)（2）法1:'()ln 1(1)f x a x a x =+->①0a =时，'()10f x =-<，()f x 在(1,)+∞单调递减，()(1)0f x f <=恒成立与已知相矛盾 (6分)②当0a >时，由1'()0aaf x x e->⇒>，由1'()00a af x x e-<⇒<<，()f x ∴的单调减区间是1(0,)a ae-，单调增区间是1(,)a ae -+∞.当11a a e -≤，即1a ≥时，()f x 在(1,)+∞单调递增，()(1)0f x f >=恒成立 当11a ae->，即01a <<时，()f x 在1(1,)a ae-单调递减，在1(,)a ae-+∞单调递增，存在1()(1)0a af ef -<=，与已知相矛盾综上：实数a 的取值范围是[1,)+∞. (8分) 法2:1ln x a x x->在(1,)+∞上恒成立(5分) 设1()ln x h x x x -=22ln 1()(ln )x x h x x x -+'= 令()ln 1x x x ϕ=-+ 11()10xx x xϕ-'∴=-=< ()x ϕ∴在(1,)+∞单调递减,又(1)0ϕ=()(1)0x ϕϕ∴<=()0h x '∴<()h x ∴在(1,)+∞单调递减,又因为1x →时由洛必达法则知()1h x →实数a 的取值范围是[1,)+∞(8分) （3）法1:1m n >> ∴要证：11n m m n --<，只需证(1)ln (1)ln n m m n -<-只需证：ln ln 11m nm n <--． (10分) 设ln ()(1)1x g x x x =>-，则'21ln ()(1)x x xg x x x --=-． 由（1）知当1a =时，()ln 1(1)0f x x x x f =-+>= 1ln 0x x x ∴--<∴'()0g x < ∴()g x 在(1,)+∞上是减函数，而m n >．()()g m g n ∴< 故原不等式成立． (12分)法2:1m n >> ∴要证：11n m m n --<，只需证(1)ln (1)ln n m m n -<-只需证：11ln ln m n m n -->． 设1()(1)ln x g x x x-=> '2ln 1()(ln )x x x g x x x -+=由(1)知1x >时()0g x '>∴()g x 在(1,)+∞上是增函数，而m n >．()()g m g n ∴> 故原不等式成立． (12分)。

2016届高三年级期末考试试题理科数学注意事项：1. 本试卷分第1卷（选择题）和第II 卷（非选择题）两部分。

答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。

2. 回答第1卷时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。

如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号。

写在本试卷上无效。

3. 回答第II 卷时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效。

4. 考试结束后，将答题卡交回第I 卷一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项 是符合题目要求的。

1. 集合A={x|(l+x)(l-x)〉0}，B={x |y=),则A ⋂BA. ( — 1，1)B. (0，1)C. [0，1)D. ( — 1，0]2.复数Z=312a ii++ 的实部与虚部相等，则实数a =A. 1B. 2D. — 13.“m ≥ 0” 是“直线 mx —y+l —m =0 与圆(x 一l)2+y 2 = l 相切”的 A.充分不必要条件 B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件 4.设m ，n 是两条不同的直线 是两个不同的平面 A.若m 丄n ”，n// α 则m 丄a B 、若m 丄 ，n 丄β ，则m 丄a C.若m//β ，β 丄a ， 则m 丄aD.若 m 丄 n ，n 丄β，β丄a ，则 m 丄 a 5.如图，程序框图所进行的求和运算是 A. 1111...24620++++ B. 1111 (3519)++++ C. 1111...2418++++ D.231011111 (2222)+++++6、将函数f （x ）=sin （4x+6π ）图像上所有点的横坐标伸长到原来的2倍，再向右平移6π个单位长度，得到函数y=g （x ）的图象，则y=g （x ）图象的一条对称轴是直线A. X=2π B X=6π C x=3π D.23π7. 下列四个判断：①某校高三一班和高三二班的人数分别是m ，n,某次测试数学平均分分别是a, b, 则这两个班的数学平均分为2a b+ ②10名工人某天生产同一种零件，生产的件数是15，17，14, 10，15，17，17, 16，14, 12，设其平均数为a ，中位数为6，众数为r ，则有c>a>b③设从总体中抽取的样本为(X 1，y 1), (x 2，y 2），…，(n x ，n y ),若记x =11ni i x n =∑,y=11ni i y n =∑ ,则回归直线ˆy =bx+a 必过点（x ，y ）; ④已知ξ 服从正态分布(0,2σ)，且P(20ξ-≤≤)=0.4，则P(ξ>2)=0.2. 其中正确判断的个数有：A. 0个B. 1个C. 2个D. 3个8. 已知抛物线y2=2px(p>0)上一点M(l ，m) (m>0)到其焦点的距离为5，双曲线2x ay a -= 的左顶点为A ，若双曲线的一条渐近线与直线AM 平行，则实数a 等于A19B14 C.13 D 129.等差数列{an}中，a=2016,前n 项和为Sn ，若 101221210s s+=- 则S 2016 =A. 2014B. 2015C. 2016D. 201710. 已知a b c ++ = 0，且a 与c 的夹角为3π ，a |，设a ，b 的夹角为θ ，则 tan θ=A.C. -111. 已知a>0 且a #1，函数f(x)=3113log 11x x a xa x++++- （-12 ≤x ≤12，设函数f(x)的最大值是A ，最小值是B,则A. A-B=4B. A+B=4C. A-B=6D. A +B=612.函数f(x)=cos 2x xπ⎛⎫- ⎪⎝⎭ -k 在（0，+co)上有两个不同的零点a ，b (a<b)，则下面结论正确的是A. sina=acosbB. sinb=-bsinaC. cosa=bsinbD. sina =-a cosb 二、填空题：本大题共4小题，每小题5分。

2017-2018学年河北省保定市高三（上）期末数学试卷（理科）一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1．集合A={x|（1+x）（1﹣x）＞0}，B={x|y=}，则A∩B=（）A．（﹣1，1）B．（0，1）C．[0，1）D．（﹣1，0]2．复数z=的实部与虚部相等，则实数a=（）A．1 B．2 C．D．﹣13．“m≥0”是“直线mx﹣y+1﹣m=0与圆（x﹣1）2+y2=1相切”的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件 D．既不充分也不必要条件4．设m、n是两条不同的直线，α，β是两个不同的平面，则（）A．若m⊥n，n∥α，则m⊥αB．若m∥β，β⊥α，则m⊥αC．若m⊥β，n⊥β，n⊥α，则m⊥αD．若m⊥n，n⊥β，β⊥α，则m⊥α5．如图，程序框图所进行的求和运算是（）A． B．C．D．6．将函数f（x）=sin（4x+）图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍，再向右平移个单位长度，得到函数y=g（x）的图象，则y=g（x）图象的一条对称轴是直线（）A．x=B．x=C．x=D．x=7．下列四个判断：①某校高三一班和高三二班的人数分别是m，n，某次测试数学平均分分别是a，b，则这两个班的数学的平均分为；②10名工人某天生产同一种零件，生产的件数是15，17，14，10，15，17，17，16，14，12，设其平均数为a，中位数为b，众数为c，则有c＞a＞b；③设从总体中抽取的样本为（x1，y1），（x2，y2），…，（x n，y n），若记=x i，=y i，则回归直线方程=bx+a必过点（，）；④已知ξ服从正态分布N（0，σ2），且P（﹣2≤ξ≤0）=0.4，则P（ξ＞2）=0.2．其中正确判断的个数有（）A．0个B．1个C．2个D．3个8．已知抛物线y2=2px（p＞0）上一点M（1，m）（m＞0）到其焦点的距离为5，双曲线x2﹣ay2=a的左顶点为A，若双曲线的一条渐近线与直线AM平行，则实数a等于（）A．B．C．D．9．等差数列{a n}中，a1=2016，前n项和为S n，若﹣=﹣2，则S2016=（）A．2014 B．2015 C．2016 D．201710．已知++=，且与的夹角为，||=||，设，的夹角为θ，则tanθ=（）A．B．C．﹣1 D．﹣11．已知a＞0且a≠1，函数f（x）=+3log a（﹣≤x≤），设函数f（x）的最大值是A，最小值是B，则（）A．A﹣B=4 B．A+B=4 C．A﹣B=6 D．A+B=612．函数f（x）=﹣k在（0，+∞）上有两个不同的零点a，b（a＜b），则下面结论正确的是（）A．sina=acosb B．sinb=﹣bsina C．cosa=bsinb D．sina=﹣acosb二、填空题:本大题共4小题，每小题5分.13．一个几何体的三视如图所示，其中正视图和俯视图均为腰长为2的等腰直角三角形，则用_______个这样的几何体可以拼成一个棱长为2的正方体．14．若a=cosxdx，则（++）4的展开式中常数项为_______．15．设函数，D是由x轴和曲线y=f（x）及该曲线在点（1，0）处的切线所围成的封闭区域，则z=x﹣2y在D上的最大值为_______．16．已知f（x）=m（x﹣2m）（x+m+3），g（x）=2x﹣2，若同时满足条件：①∀x∈R，f（x）＜0或g（x）＜0；②∃x∈（﹣∞，﹣4），f（x）g（x）＜0．则m的取值范围是_______．三、解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.17．在△ABC中，内角A，B，C所对的边长分别为a，b，c，若向量=（sinA，sinB），=（cosB，cosA），•=+cos（A+B）．（1）求∠C；（2）若c=3，b=a，求△ABC的面积S．18．已知数列{a n}，{b n}，其中a1=1，a n=+，=﹣（n∈N*）．（1）求证：数列{b n﹣}是等比数列；（2）求数列{b n}的通项公式及数列{a n b n}的前n项和S n．19．某校为了在竞争中更好的发展，校领导专门聘请省内外专家组成“学校建设和发展”专家顾问委员会，项专家接脑、帮助学校制定未来五年发展规划，并召开了座谈会，问需于民，问计与民，广泛征询专家，普通老师和同学们对学校发展的意见和建议，此次座谈会共邀请了50名代表参加，他们分别是专家20人，普通教师15人，学生15人，现从50名代表中随机选出3名做典型发言．（1）求选出的3名代表中，专家比普通教师多一人的概率；（2）若记选出的3名代表中专家的人数为ξ，求ξ的分布列和数学期望．20．在三棱锥P﹣ABC中，AB⊥BC，平面PAB⊥平面ABC，BC=2AB=1，PC=，∠PBA=．（1）求证：BC⊥PB；（2）求二面角A﹣PC﹣B的大小．21．已知抛物线C1：y2=2x与椭圆C2： +=1在第一象限交于点A，直线y=x+m与椭圆C2交于B、D两点，且A，B，D三点两两互不重合．（1）求m的取值范围；（2）△ABD的面积是否存在最大值？若存在，求出这个最大值；若不存在，请说明理由？（3）求证：直线AB、AD的斜率之和为定值．22．已知函数f（x）=axlnx﹣x+1（a≥0）．（1）当a=1时，求f（x）的最小值；（2）若x∈（1，+∞），f（x）＞0恒成立，求实数a的取值范围；（3）证明：当m＞n＞1时，m n﹣1＜n m﹣1．2015-2016学年河北省保定市高三（上）期末数学试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1．集合A={x|（1+x）（1﹣x）＞0}，B={x|y=}，则A∩B=（）A．（﹣1，1）B．（0，1）C．[0，1）D．（﹣1，0]【考点】交集及其运算．【分析】求出A中不等式的解集确定出A，求出B中x的范围确定出B，找出两集合的交集即可．【解答】解：由A中不等式解得：﹣1＜x＜1，即A=（﹣1，1），由B中y=，得到x≥0，即B=[0，+∞），则A∩B=[0，1），故选：C．2．复数z=的实部与虚部相等，则实数a=（）A．1 B．2 C．D．﹣1【考点】复数代数形式的乘除运算．【分析】利用复数代数形式的乘除运算化简，然后由实部与虚部相等列式求得a值．【解答】解：∵z==的实部和虚部相等，∴，即a+6=3﹣2a，解得：a=﹣1．故选：D．3．“m≥0”是“直线mx﹣y+1﹣m=0与圆（x﹣1）2+y2=1相切”的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件 D．既不充分也不必要条件【考点】直线与圆的位置关系．【分析】直线mx﹣y+1﹣m=0过点（1，1），利用直线mx﹣y+1﹣m=0与圆（x﹣1）2+y2=1相切，可得m=0，即可得出结论．【解答】解：直线mx﹣y+1﹣m=0过点（1，1）∵直线mx﹣y+1﹣m=0与圆（x﹣1）2+y2=1相切，∴m=0，∴“m≥0”是“直线mx﹣y+1﹣m=0与圆（x﹣1）2+y2=1相切”的必要不充分条件，故选：B．4．设m、n是两条不同的直线，α，β是两个不同的平面，则（）A．若m⊥n，n∥α，则m⊥αB．若m∥β，β⊥α，则m⊥αC．若m⊥β，n⊥β，n⊥α，则m⊥αD．若m⊥n，n⊥β，β⊥α，则m⊥α【考点】空间中直线与平面之间的位置关系．【分析】根据空间线线，线面，面面之间的位置关系分别进行判定即可得到结论．【解答】解：A．若m⊥n，n∥α，则m⊥α或m⊂α或m∥α，故A错误．B．若m∥β，β⊥α，则m⊥α或m⊂α或m∥α，故B错误．C．若m⊥β，n⊥β，n⊥α，则m⊥α，正确．D．若m⊥n，n⊥β，β⊥α，则m⊥α或m⊂α或m∥α，故D错误．故选：C5．如图，程序框图所进行的求和运算是（）A． B．C．D．【考点】程序框图；数列的求和．【分析】分析程序中各变量、各语句的作用，再根据流程图所示的顺序，可知：该程序的作用是利用循环计算变量S值，分析循环变量的初值（由n=2决定）、终值（由n＜21决定）、及步长（由n=n+2决定）我们易得到结论．【解答】解：由n=2知循环变量的初值为2由n＜21得循环变量的终值为20由n=n+2得循环变量步长为2又由S=S+，则S=，故选：A．6．将函数f（x）=sin（4x+）图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍，再向右平移个单位长度，得到函数y=g（x）的图象，则y=g（x）图象的一条对称轴是直线（）A．x=B．x=C．x=D．x=【考点】函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换．【分析】由题意根据函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换规律，正弦函数的图象的对称性，得出结论．【解答】解：将函数f（x）=sin（4x+）图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍，可得y=sin（2x+）的图象，再向右平移个单位长度，得到函数y=g（x）=sin[2（x﹣）+]=sin（2x﹣）的图象．令x=，求得g（x）=1，为函数g（x）的最大值，则y=g（x）图象的一条对称轴是直线x=，故选：C．7．下列四个判断：①某校高三一班和高三二班的人数分别是m，n，某次测试数学平均分分别是a，b，则这两个班的数学的平均分为；②10名工人某天生产同一种零件，生产的件数是15，17，14，10，15，17，17，16，14，12，设其平均数为a，中位数为b，众数为c，则有c＞a＞b；③设从总体中抽取的样本为（x1，y1），（x2，y2），…，（x n，y n），若记=x i，=y i，则回归直线方程=bx+a必过点（，）；④已知ξ服从正态分布N（0，σ2），且P（﹣2≤ξ≤0）=0.4，则P（ξ＞2）=0.2．其中正确判断的个数有（）A．0个B．1个C．2个D．3个【考点】的真假判断与应用．【分析】①利用平均数的定义可得：两个班的数学的平均分为，即可判断出正误；②利用的定义可得：平均数为a=14.7，中位数为b=15，众数为c=17，即可判断出正误；③利用回归直线方程的性质可得：谢谢回归方程可得：必过点（，）；④利用正态分布的对称性可得．【解答】解：①某校高三一班和高三二班的人数分别是m，n，某次测试数学平均分分别是a，b，则这两个班的数学的平均分为，因此不正确；②10名工人某天生产同一种零件，生产的件数是15，17，14，10，15，17，17，16，14，12，则其平均数为a==14.7，中位数为b=15，众数为c=17，则有c＞b＞a，因此不正确；③设从总体中抽取的样本为（x1，y1），（x2，y2），…，（x n，y n），若记=x i，=y i，则回归直线方程=bx+a必过点（，），正确；④已知ξ服从正态分布N（0，σ2），且P（﹣2≤ξ≤0）=0.4，则P（ξ＞2）==0.1，因此不正确．其中正确判断的个数有1个．故选：B．8．已知抛物线y2=2px（p＞0）上一点M（1，m）（m＞0）到其焦点的距离为5，双曲线x2﹣ay2=a的左顶点为A，若双曲线的一条渐近线与直线AM平行，则实数a等于（）A．B．C．D．【考点】抛物线的简单性质．【分析】求得抛物线的焦点和准线方程，运用抛物线的定义，可得p=8，进而求得M（1，4），求出双曲线的左顶点和渐近线方程，由两直线平行的条件，解方程即可得到a的值．【解答】解：抛物线y2=2px的焦点F为（，0），准线方程为x=﹣，由抛物线的定义可得|MF|=1+=5，解得p=8，可得抛物线的方程为y2=16x，M（1，4），双曲线x2﹣ay2=a的左顶点为A（﹣，0），直线AM的斜率为，又双曲线的渐近线方程为y=x，由题意可得，=，解得a=，故选A．9．等差数列{a n}中，a1=2016，前n项和为S n，若﹣=﹣2，则S2016=（）A．2014 B．2015 C．2016 D．2017【考点】等差数列的前n项和．【分析】由题意可得公差d的方程，解得d值代入求和公式计算可得．【解答】解：设等差数列{a n}的公差为d，则﹣=﹣=﹣2，所以d=﹣2，又a1=2016，故S2016=2016a1+×（﹣2）=2016，故选：C．10．已知++=，且与的夹角为，||=||，设，的夹角为θ，则tanθ=（）A．B．C．﹣1 D．﹣【考点】平面向量数量积的运算．【分析】作出图形，将问题转化为解三角形问题．【解答】解：如图，设=，=，，则∠COA=，以OA，OB为邻边作平行四边形OADB，则==﹣，∠ODB=∠AOD=．BD=OA，OB=OA．在△OBD中，由正弦定理得：，∴=，解得sin∠BOD=，∴∠BOD=．∴θ=∠BOD+∠AOD==．∴tanθ=﹣．故选：D．11．已知a＞0且a≠1，函数f（x）=+3log a（﹣≤x≤），设函数f（x）的最大值是A，最小值是B，则（）A．A﹣B=4 B．A+B=4 C．A﹣B=6 D．A+B=6【考点】函数的最值及其几何意义．【分析】讨论0＜a＜1和a＞1，判断函数f（x）的单调性，结合指数函数和对数函数的运算法则进行化简即可．【解答】解：f（x）=+3log a=+3log a=3﹣+3log a（﹣1﹣），若a＞1，则﹣为增函数，3log a（﹣1﹣）在﹣≤x≤上为增函数，即f（x）在﹣≤x≤上为增函数，此时函数的最大值A=f（），最小值B=f（﹣），若0＜a＜1，则﹣为减函数，3log a（﹣1﹣）在﹣≤x≤上为减函数，即f（x）在﹣≤x≤上为减函数，此时函数的最大值A=f（﹣），最小值B=f（），则A+B=f（﹣）+f（）=+3log a++3log a=++3log a+3log a3=+3log a1=4+0=4，故选：B12．函数f（x）=﹣k在（0，+∞）上有两个不同的零点a，b（a＜b），则下面结论正确的是（）A．sina=acosb B．sinb=﹣bsina C．cosa=bsinb D．sina=﹣acosb【考点】根的存在性及根的个数判断；函数零点的判定定理．【分析】化简f（x），得方程有两个根，即函数y=|sinx|和函数y=kx在（0，+∞）上有两个交点，画出函数图象，利用导数求切线即可．【解答】解：f（x）=﹣k=，∵f（x）=﹣k在（0，+∞）上有两个不同的零点a，b（a＜b），∴f（x）=﹣k=0在（0，+∞）上有两个不同的根a，b（a＜b），即|sinx|=kx有两个根，∴函数y=|sinx|和函数y=kx在（0，+∞）上有两个交点，x＞0且k＞0，画出两个函数的图象，则函数y=|sinx|和函数y=kx在（0，π）上有一个交点A（a，sina），在（π，2π）上有一个切点B（b，﹣sinb）时满足题意，a，b是方程的根．当x∈（π，2π）时，f（x）=|sinx|=﹣sinx，f′（x）=﹣cosx，∴在B处的切线为y+sinb=f′（b）（x﹣b），将x=0，y=0代入方程，得sinb=﹣b×（﹣cosb），∴=cosb，∵O，A B三点共线，∴=，∴=﹣cosb，∴sina=﹣acosb．故选：D．二、填空题:本大题共4小题，每小题5分.13．一个几何体的三视如图所示，其中正视图和俯视图均为腰长为2的等腰直角三角形，则用3个这样的几何体可以拼成一个棱长为2的正方体．【考点】由三视图还原实物图．【分析】由三视图可知，几何体为底面是正方形的四棱锥，再根据公式求解即可．【解答】解：由三视图可知，几何体为底面是正方形的四棱锥，所以V=×2×2×2=，由于边长为2的正方体V=8，所以用3个这样的几何体可以拼成一个棱长为2的正方体．故答案为：3．14．若a=cosxdx，则（++）4的展开式中常数项为．【考点】定积分．【分析】求定积分可得a值，由二项式的知识可得．【解答】解：求定积分可得a=cosxdx=sinx=2，∴（++）4=（++）4，故展开式中的常数项为•（）2•（）2+••（）2+（）4=+6+4=故答案为：15．设函数，D是由x轴和曲线y=f（x）及该曲线在点（1，0）处的切线所围成的封闭区域，则z=x﹣2y在D上的最大值为2．【考点】利用导数研究曲线上某点切线方程；简单线性规划．【分析】先求出曲线在点（1，0）处的切线，然后画出区域D，利用线性规划的方法求出目标函数z的最大值即可．【解答】解：当x＞0时，f′（x）=，则f′（1）=1，所以曲线y=f（x）及该曲线在点（1，0）处的切线为y=x﹣1，D是由x轴和曲线y=f（x）及该曲线在点（1，0）处的切线所围成的封闭区域如下图阴影部分．z=x﹣2y可变形成y=x﹣，当直线y=x﹣过点A（0，﹣1）时，截距最小，此时z最大．最大值为2．故答案为：2．16．已知f（x）=m（x﹣2m）（x+m+3），g（x）=2x﹣2，若同时满足条件：①∀x∈R，f（x）＜0或g（x）＜0；②∃x∈（﹣∞，﹣4），f（x）g（x）＜0．则m的取值范围是（﹣4，﹣2）．【考点】全称；二次函数的性质；指数函数综合题．【分析】①由于g（x）=2x﹣2≥0时，x≥1，根据题意有f（x）=m（x﹣2m）（x+m+3）＜0在x＞1时成立，根据二次函数的性质可求②由于x∈（﹣∞，﹣4），f（x）g（x）＜0，而g（x）=2x﹣2＜0，则f（x）=m（x﹣2m）（x+m+3）＞0在x∈（﹣∞，﹣4）时成立，结合二次函数的性质可求【解答】解：对于①∵g（x）=2x﹣2，当x＜1时，g（x）＜0，又∵①∀x∈R，f（x）＜0或g（x）＜0∴f（x）=m（x﹣2m）（x+m+3）＜0在x≥1时恒成立则由二次函数的性质可知开口只能向下，且二次函数与x轴交点都在（1，0）的左面则∴﹣4＜m＜0即①成立的范围为﹣4＜m＜0又∵②x∈（﹣∞，﹣4），f（x）g（x）＜0∴此时g（x）=2x﹣2＜0恒成立∴f（x）=m（x﹣2m）（x+m+3）＞0在x∈（﹣∞，﹣4）有成立的可能，则只要﹣4比x1，x2中的较小的根大即可，（i）当﹣1＜m＜0时，较小的根为﹣m﹣3，﹣m﹣3＜﹣4不成立，（ii）当m=﹣1时，两个根同为﹣2＞﹣4，不成立，（iii）当﹣4＜m＜﹣1时，较小的根为2m，2m＜﹣4即m＜﹣2成立．综上可得①②成立时﹣4＜m＜﹣2．故答案为：（﹣4，﹣2）．三、解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.17．在△ABC中，内角A，B，C所对的边长分别为a，b，c，若向量=（sinA，sinB），=（cosB，cosA），•=+cos（A+B）．（1）求∠C；（2）若c=3，b=a，求△ABC的面积S．【考点】余弦定理；正弦定理．【分析】（1）由条件利用两个向量的数量积的公式求得sin（C+）的值，可得C的值．（2）由条件利用余弦定理求得a的值，可得△ABC的面积S．【解答】解：（1）由题意可得，∴，∴，∴或．（2）当时，根据c=3，b=a，由余弦定理得c2=a2+b2﹣2ab•cosC，求得a=3，∴，当时，由勾股定理得a=，∴，18．已知数列{a n}，{b n}，其中a1=1，a n=+，=﹣（n∈N*）．（1）求证：数列{b n﹣}是等比数列；（2）求数列{b n}的通项公式及数列{a n b n}的前n项和S n．【考点】数列的求和；等比数列的通项公式．【分析】（1）由已知得，由此能证明{}是首项为，公比q=2的等比数列．（2）由{}是首项为，公比q=2的等比数列，得，从而，由此能求出数列{b n}的通项公式及数列{a n b n}的前n项和S n．【解答】（1）证明：∵，即，∴，又≠0，∴{}是首项为，公比q=2的等比数列．（2）解：由（1）知b n﹣==，∴，n≥1，∵，∴，∴S n=a1b1+a2b2+…+a n b n==．19．某校为了在竞争中更好的发展，校领导专门聘请省内外专家组成“学校建设和发展”专家顾问委员会，项专家接脑、帮助学校制定未来五年发展规划，并召开了座谈会，问需于民，问计与民，广泛征询专家，普通老师和同学们对学校发展的意见和建议，此次座谈会共邀请了50名代表参加，他们分别是专家20人，普通教师15人，学生15人，现从50名代表中随机选出3名做典型发言．（1）求选出的3名代表中，专家比普通教师多一人的概率；（2）若记选出的3名代表中专家的人数为ξ，求ξ的分布列和数学期望．【考点】离散型随机变量的期望与方差；离散型随机变量及其分布列．【分析】（1）利用互斥事件概率加法公式能求出选出的3名代表中，专家比普通教师多一人的概率．（2）由题意ξ的可能取值为0，1，2，3，分别求出相应的概率，由此能求出随机变量ξ的分布列和Eξ．【解答】解：（1）∵座谈会共邀请了50名代表参加，他们分别是专家20人，普通教师15人，学生15人，现从50名代表中随机选出3名做典型发言，∴选出的3名代表中，专家比普通教师多一人的概率：．（2）由题意ξ的可能取值为0，1，2，3，又，，，，ξ∴Eξ==．20．在三棱锥P﹣ABC中，AB⊥BC，平面PAB⊥平面ABC，BC=2AB=1，PC=，∠PBA=．（1）求证：BC⊥PB；（2）求二面角A﹣PC﹣B的大小．【考点】二面角的平面角及求法；空间中直线与直线之间的位置关系．【分析】（1）由已知推导出BC⊥平面PAB，由此能证明BC⊥PB．（2）法一：以B为原点，BC为x轴，BA为y轴，过B作垂直于平面ABC的直线为z轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出二面角A﹣PC﹣B的大小．法二：作PQ⊥直线AB于Q，则PO⊥平面ABC，作AE⊥PB于E，则AE⊥平面PBC，∠AFE就是二面角A﹣PC﹣B的平面角，由此能求出二面角A﹣PC﹣B的大小．【解答】证明：（1）∵平面PAB⊥平面ABC，且AB⊥BC，∴BC⊥平面PAB，∴BC⊥PB．（2）解法一：如图，以B为原点，BC为x轴，BA为y轴，过B作垂直于平面ABC的直线为z轴，建立空间直角坐标系，则，∵平面PAB⊥平面ABC，∴点P在坐标平面yBz内，∵PC=，BC=1，BC⊥PB，∴，作PQ垂直于直线AB于Q，则，QB=1，∴P（0，1，1），，，，设平面PBC的法向量为，则，取y=1，得，设平面PAC的法向量=（a．b．c），=（0，﹣，﹣1），=（1，﹣1，﹣1），则，取a=1，得，∴==，由图知，二面角A﹣PC﹣B是锐二面角，∴二面角A﹣PC﹣B的大小是．解：（2）解法二：作PQ⊥直线AB于Q，则PQ⊥平面ABC，∵，，PO=BO=1，如图，作AE⊥PB于E，则AE⊥平面PBC，∴AE⊥PC，取PC中点F，连接AF，EF，∵AO=AB=，PO=BC=1，∴，∴AF⊥PC，∴PC⊥平面AEF，∴PC⊥EF，∴∠AFE就是二面角A﹣PC﹣B的平面角．，，∴，，∴二面角A﹣PC﹣B的大小是．21．已知抛物线C1：y2=2x与椭圆C2： +=1在第一象限交于点A，直线y=x+m与椭圆C2交于B、D两点，且A，B，D三点两两互不重合．（1）求m的取值范围；（2）△ABD的面积是否存在最大值？若存在，求出这个最大值；若不存在，请说明理由？（3）求证：直线AB、AD的斜率之和为定值．【考点】椭圆的简单性质．【分析】（1）联立方程中先求出A点坐标，联立方程组，由此利用根的判别式能求出m的取值范围．（2）利用椭圆弦长公式和点到直线的距离公式能求出当m=±2时，△ABD的面积最大，最大值为．（3）设直线AB、AD的斜率分别为：k AB、k AD，推导出k AB+k AD=0，由此能证明直线AB、AD的斜率之和为定值0．【解答】解：（1）∵抛物线C1：y2=2x与椭圆C2： +=1在第一象限交于点A，∴由，得A点坐标为，联立方程组，∵A、B、D三点两两互不重合，∴△=﹣8m2+64＞0，∴，且m≠0，∴m的取值范围是．（2）设B（x1，y1），D（x2，y2），①∵|BD|=|x1﹣x2|=，设d为点A到直线BD的距离，则．∴，当且仅当m=±2时取等号．∵±2∈（﹣2，0）∪（0，2），∴当m=±2时，△ABD的面积最大，最大值为．（3）证明：设直线AB、AD的斜率分别为：k AB、k AD，则，将①代入上式整理得k AB+k AD=0，∴直线AB、AD的斜率之和为定值0．22．已知函数f（x）=axlnx﹣x+1（a≥0）．（1）当a=1时，求f（x）的最小值；（2）若x∈（1，+∞），f（x）＞0恒成立，求实数a的取值范围；（3）证明：当m＞n＞1时，m n﹣1＜n m﹣1．【考点】利用导数求闭区间上函数的最值；利用导数研究函数的单调性．【分析】（1）求出函数的导数，解关于导函数的不等式，求出函数的最小值即可；（2）求出函数的导数，通过讨论a的范围，求出函数的单调区间，从而求出满足条件的a 的范围即可；（3）问题转化为，设g（x）=，（x＞1），根据函数的单调性证出g（m）＜g（n），从而证出结论．【解答】解：（1）f（x）的定义域为（0，+∞），当a=1时，f（x）=xlnx﹣x+1，f′（x）=lnx，令f′（x）＞0，则x＞1；令f′（x）＜0，则x＜1，∴f（x）在（0，1）单调递减，（1，+∞）单调递增，∴f（x）min=f（1）=0；（2）f′（x）=alnx+a﹣1，（x＞1），①a=0时，f′（x）=﹣1＜0，f（x）在（1，+∞）单调递减，f（x）＜f（1）=0恒成立与已知相矛盾，②当a＞0时，由，由，∴f（x）的单调减区间是，单调增区间是．当，即a≥1时，f（x）在（1，+∞）单调递增，f（x）＞f（1）=0恒成立．当，即0＜a＜1时，f（x）在单调递减，在单调递增，存在，与已知相矛盾，综上：实数a的取值范围是[1，+∞）．（3）证明：∵m＞n＞1，∴要证：m n﹣1＜n m﹣1，只需证（n﹣1）lnm＜（m﹣1）lnn，只需证：．设g（x）=，（x＞1），则．由（1）知当a=1时，f（x）=xlnx﹣x+1＞f（1）=0，∴x﹣1﹣xlnx＜0，∴g'（x）＜0，∴g（x）在（1，+∞）上是减函数，而m＞n，∴g（m）＜g（n），故原不等式成立．2016年9月12日。