高考调研数学答案

2023届新高三新高考数学调研考试卷一一、单选题1.若z =i 21+i ，则z =()A.-12-12iB.-12+12i C.12-12i D.12+12i 【答案】A【分析】利用复数的除法运算，分子分母同时乘以1-i.【解析】因为i 21+i =i 21-i 1+i 1-i -(1-i )2=-12+12i ，所以z =-12-12i ．故选：A.2.下列四组集合中，满足M ∪N =x -1≤x ≤8 的是()A.M =x -1≤x <9 ,N =x -2≤x ≤8B.M =x -1≤x ≤9 ,N =x 0≤x <8C.M =x 1<x ≤8 ,N =x -1≤x ≤4D.M =x -1≤x <1 ,N =x 1<x ≤8【答案】C【分析】求得M ∪N 判断选项A ；求得M ∪N 判断选项B ；求得M ∪N 判断选项C ；求得M ∪N 判断选项D.【解析】选项A ：M ∪N =x -1≤x <9 ∪x -2≤x ≤8 =x -2≤x <9 .不符合题意；选项B ：M ∪N =x -1≤x ≤9 ∪x 0≤x <8 =x -1≤x ≤9 .不符合题意；选项C ：M ∪N =x 1<x ≤8 ∪x -1≤x ≤4 =x -1≤x ≤8 .符合题意；选项D ：M ∪N =x -1≤x <1 ∪x 1<x ≤8 =x -1≤x <1或1<x ≤8 .不符合题意.故选：C3.第24届冬季奥林匹克运动会，即2022年北京冬季奥运会，是由中国举办的国际性奥林匹克赛事，于2022年2月4日开幕，2月20日闭幕.小林观看了本届冬奥会后，打算从冰壶､短道速滑､花样滑冰､冬季两项这四个项目中任意选两项进行系统的学习，则小林没有选择冰壶的概率为()A.14B.13C.12D.23【答案】C【分析】利用列举法，先列出四项中选两项的所有情况，再找出没选择冰壶的情况，然后利用古典概型的概率公式求解即可【解析】记冰壶､短道速滑､花样滑冰､冬季两项分别为A ,B ,C ,D ，则这四个项目中任意选两项的情况有：AB ,AC ,AD ,BC ,BD ,CD ，6种情况，其中没有选择冰壶的有：BC ,BD ,CD ，3种情况，所以所求概率为36=12.故选：C4.设P 为椭圆C :x 29+y 23=1上一点，F 1,F 2分别是C 的左，右焦点．若PF 1 -PF 2 =1，则PF 1 =()A.32B.52C.72D.92【答案】C【分析】依据椭圆定义，列方程组即可解得PF 1 的长度.【解析】椭圆C :x 29+y 23=1的长半轴长为3，由椭圆的定义可知PF 1 +PF 2 =2a =6，由PF 1 -PF 2 =1PF 1 +PF 2 =6，可得PF 1 =72．故选：C5.在四边形ABCD 中，AB =3AD ，AB =DC ，且AB +AD =AB -AD ，则AB 与CA 的夹角为()A.π6 B.π3C.2π3D.5π6【答案】D【分析】根据向量的线性关系及向量和差的模相等易得ABCD 为矩形，进而求∠BAC 的大小，再应用数形结合判断AB 与CA的夹角大小.【解析】因为AB =DC，所以四边形ABCD 为平行四边形.因为AB +AD =AB -AD ，所以四边形ABCD 的对角线相等，综上，四边形ABCD 为矩形.因为AB =3AD ，所以tan ∠BAC =33，得∠BAC =π6，故AB 与CA 的夹角为π-∠BAC =5π6.故选：D6.吹气球时，气球的体积V (单位：L )与半径r (单位：dm )之间的关系是V =43πr 3．当V =4π3L 时，气球的瞬时膨胀率为()A.14πdm /L B.13dm /L C.3L /dmD.4πL /dm【答案】A【分析】气球膨胀率指的是气球体积变化的值与半径变化值之间的比值，即ΔrΔV，但此题所求的时瞬时变化率，故需要利用导数求解.【解析】因为V =43πr 3，所以r =334πV ，所以r=34π 13×13V -23，所以，当V =4π3时，r=34π13×134π3-23=34π 13×1334π 23=13×34π=14πdm /L.故选：A7.已知函数f x 是定义在[-3,a -2]上的奇函数，且在[-3,0]上单调递增，则满足f m +f m -a >0的m 的取值范围是()A.52,8B.52,3C.2,3D.-3,3【答案】B【分析】根据奇函数的定义可知定义域关于原点对称可得-3+a -2=0，即可解出a ，由奇函数的性质可得函数f x 在-3,3 上递增，再将f m +f m -a >0等价变形为f m >f a -m ，然后根据单调性即可解出．【解析】依题意可得-3+a -2=0，解得a =5，而函数f (x )在[-3,0]上单调递增，所以函数f x 在[0,3]上单调递增，又函数f x 连续，故函数f x 在-3,3 上递增，不等式f m +f m -a >0即为f m >f 5-m ，所以-3≤m ≤3-3≤5-m ≤3m >5-m，解得52<m ≤3．故选：B ．8.形状､节奏､声音或轨迹，这些现象都可以分解成自复制的结构.即相同的形式会按比例逐渐缩小，并无限重复下去，也就是说，在前一个形式中重复出现被缩小的相同形式，依此类推，如图所示，将图1的正三角形的各边都三等分，以每条边中间一段为边再向外做一个正三角形，去掉中间一段得到图2，称为“一次分形”；用同样的方法把图2中的每条线段重复上述操作，得到图3，称为“二次分形”；依次进行“n 次分形”，得到一个周长不小于初始三角形周长100倍的分形图，则n 最小值是()(取lg3≈0.4771,lg2≈0.3010)A.15B.16C.17D.18【答案】C【分析】根据分形的变化规律，得出一条长为a 线段n 次分形后变为长为43na 的折线，建立不等关系，利用对数求解即可.【解析】设正三角形的一条边长为a ，“一次分形”后变为长为4a3的折线，“二次分形”后折线长度为43 2a ，⋯“n 次分形”后折线长度为43na ，所以得到一个周长不小于初始三角形周长100倍的分形图，只需满足43na ≥100a ，两边同时取常用对数得：n lg 43≥lg100=2，即得：n (2lg2-lg3)≥2，解得n ≥22lg2-lg3=20.6020-0.4771≈16.01，故至少需要17次分形，故选：C.关键点点睛：仔细读题，弄懂分形变化的规律，即正三角形的一条边长为a，“一次分形”后变为长为4a 3的折线，“二次分形”后折线长度为432a，⋯“n次分形”后折线长度为43n a是解题的关键.二、多选题9.某调查机构对全国互联网行业进行调查统计，得到整个互联网行业从业者年龄分布饼状图、“90后”从事互联网行业岗位分布条形图，则下列结论中正确的是( )注：“90后”指1990年及以后出生的人，“80后”指1980-1989年之间出生的人，“80前”指1979年及以前出生的人．A.互联网行业从业人员中“90后”占一半以上B.互联网行业中从事技术岗位的人数超过总人数的20%C.互联网行业中从事运营岗位的人数“90后”比“80前”多D.互联网行业中从事技术岗位的人数“90后”比“80后”多【答案】ABC【分析】根据饼状图确定互联网行业从业人员中“90后”占总人数比例，即可判断A;根据条形图确定互联网行业从业人员中“90后”从事技术岗位的人数占总人数比例，即可判断B;根据条形图确定互联网行业从业人员中“90后”从事运营岗位的人数占总人数比例，根据饼状图确定“80前”的人数占总人数的比例,两者比较可判断C;根据条形图确定互联网行业从业人员中“90后”从事技术岗位的人数占总人数的比例，但“80后”中从事技术岗位的比例不可确定，即可判断D.【解析】由题图可知，互联网行业从业人员中“90后”占总人数的56%，超过一半，A正确；互联网行业从业人员中“90后”从事技术岗位的人数占总人数的56%×39.6%=22.176%，超过20%，所以互联网行业从业人员(包括“90后”“80后”“80前”)从事技术岗位的人数超过总人数的20%，B正确；互联网行业从业人员中“90后”从事运营岗位的人数占总人数的56%×17%=9.52%，超过“80前”的人数占总人数的比例，且“80前”中从事运营岗位的比例未知，C正确；互联网行业从业人员中“90后”从事技术岗位的人数占总人数的56%×39.6%=22.176%，小于“80后”的人数占总人数的比例，但“80后”中从事技术岗位的比例未知，D不一定正确．故选：ABC本题考查饼状图与条形图，考查数据分析与判断能力，属基础题.10.已知实数a，b，c满足a>b>1,0<c<1，则下列不等式一定成立的有( )A.(a-c)c<(b-c)cB.log a(c+1)<log b(c+1)C.log a c+log c a≥2D.a2c2>b2c2>c4【答案】BD【分析】对于A ，利用幂函数的性质判断，对于BC ，利用对数函数的性质判断，对于D ，利用不等式的性质分析判断【解析】对于A ，因为0<c <1，所以y =x c 在(0,+∞)上单调递增，因为a >b >c ,0<c <1，所以a -c >b -c >0，所以a -c c >b -c c ，所以A 错误，对于B ，因为a >b >1，所以当x >1时，log a x <log b x ，因为0<c <1，所以c +1>1，所以log a (c +1)<log b (c +1)，所以B 正确，对于C ，因为a >b >1,0<c <1，所以log a c <0,log c a <0，所以log a c +log c a <0，所以C 错误，对于D ，因为a >b >1,0<c <1，所以a 2>b 2>1>c 2>0，所以a 2c 2>b 2c 2>c 4，所以D 正确，故选：BD11.若函数f (x )=sin ωx +π6(ω>0)在区间π,2π 内没有最值，则下列说法正确的是( )A.函数f x 的最小正周期可能为3π B.ω的取值范围是0,16C.当ω取最大值时，x =π2是函数f x 的一条对称轴D.当ω取最大值时，-π,0 是函数f x 的一个对称中心【答案】AC【分析】根据题意可知f x 的第一个正最值点小于等于π，第二个正最值点大于等于2π，或第一个正最值点大于等于2π可得ω的取值范围，然后根据ω的范围可解.【解析】由ωx +π6=π2+k π,k ∈Z ，得x =π3ω+k πω=(3k +1)π3ω,k ∈Z因为f x 在区间π,2π 内没有最值所以T ≥2π，所以f x 在区间0,π 内最多有一个最值所以π3ω≤π4π3ω≥2π，或π3ω≥2π解得13≤ω≤23或0<ω≤16所以B 错误；当ω=23时，f (x )=sin 23x +π6所以T =2πω=2π23=3π，故A 正确；因为f π2 =sin 23×π2+π6 =sin π2=1，可知x =π2是函数f x 的一条对称轴，故C 正确；又由f (-π)=sin -23×π+π6 =sin -π2=-1，可知D 错误.故选：AC12.已知正方体ABCD -A 1B 1C 1D 1的棱长为2，点P 在线段CB 1上，且B 1P =2PC ，过点A ,P ,C 1的平面分别交BC ,A 1D 1于点E ,F ，则下列说法正确的是A.AC 1⊥EFB.A 1B ∥平面AC 1FC.平面AEC 1F ⊥平面AA 1D 1DD.过点A ,P ,C 1的截面的面积为26【答案】ABD【解析】如图，连接C 1P 并延长与BC 交于点E ，则点E 为BC 的中点，连接AE ，取A 1D 1的中点F ，连接AF ，C 1F ，则四边形AEC 1F 就是过点A ,P ,C 1的截面，易得四边形AEC 1F 是边长为5的菱形，连接AC 1,EF ，所以AC 1⊥EF ，且AC 1=23,EF =22，所以四边形AEC 1F 的面积为26，故A 、D 均正确；易得A 1B ∥EF ，所以A 1B ∥平面AC 1F ，故B 正确；C 明显错误.故选ABD ．三、填空题13.已知向量a ，b 满足a =(4,0)，b =(m ,1)，a =a ⋅b ，则a 与b 的夹角为___________.【答案】π4或45∘．【分析】根据题意求得m =1，结合向量的夹角公式求得cos a ,b =22，即可求解.【解析】由题意，向量a=(4,0)，b =(m ,1)，因为a =a ⋅b ，可得4m +0×1=4，解得m =1，即b =(1,1)，可得b =2，所以cos a ,b =a ⋅b a ⋅b=44×2=22，又因为a ,b ∈[0,π]，所以a ,b =π4.故答案为：π4.14.曲线y =ln x -2x 在x =1处的切线的倾斜角为α，则sin α+cos αsin α-2cos α=___________.【答案】4【分析】求导数得切线斜率即tan α的值，然后弦化切代入计算．【解析】由已知f (x )=1x +2x2，所以tan α=f (1)=3，sin α+cos αsin α-2cos α=tan α+1tan α-2=3+13-2=4．故答案为：4．15.沙漏是古代的一种计时装置，它由两个形状完全相同的容器和一个狭窄的连接管道组成，开始时细沙全部在上部容器中，利用细沙全部流到下部容器所需要的时间进行计时.如图，某沙漏由上、下两个圆锥组成，这两个圆锥的底面直径和高分别相等，细沙全部在上部时，其高度为圆锥高度(h )的23(细管长度忽略不计).假设细沙全部漏入下部后，恰好堆成一个盖住沙漏底部的圆锥形沙堆.这个沙堆的高与圆锥的高h 的比值为______.【答案】827设沙漏上下两个圆锥的底面半径为r，高为h，根据等体积法求解即可.【解析】解：设沙漏上下两个圆锥的底面半径为r，高为h，左侧倒圆锥形沙堆的体积V1=13π2r322h3=881πr2h，右侧圆锥形沙堆的体积V2=13πr2h ，由V1=V2得h =8 27h.故答案为：827.本题考查等体积法求，圆锥的体积计算公式，考查运算能力，是基础题.16.已知数列{a n}满足a1=2，n2⋅a n+1=2(n+1)2⋅a n，S n为数列{a n}的前n项和，则S n=___________.【答案】n2-2n+3⋅2n+1-6【分析】构造新数列求得通项公式a n，两次应用错位相减法求得和S n．【解析】由n2⋅a n+1=2(n+1)2⋅a n得a n+1(n+1)2=2×a nn2，又a112=2，所以数列a nn2是等比数列，公比为2，所以a nn2=2×2n-1=2n，即a n=n2⋅2n．S n=1×2+22×22+32×23+⋯+n2×2n，(1)(1)×2得2S n=1×22+22×23+⋯+(n-1)2×2n+n2×2n+1，(2)(1)-(2)得：-S n=1×2+3×22+5×23+⋯+(2n-1)×2n-n2×2n+1，(3) (3)×2得：-2S n=1×22+3×23+5×24+⋯+(2n-3)×2n+(2n-1)×2n+1-n2×2n+2，(4) (3)-(4)得：S n=2+2×22+2×23+⋯+2×2n-(2n-1)×2n+1+n2×2n+1=2+8(1-2n-1)1-2-(2n-1)×2n+1+n2×2n+1=(n2-2n+3)×2n+1-6．故答案为：n2-2n+3⋅2n+1-6．四、解答题17.在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且a-3bsin A=c-bsin C+sin B．(1)求C；(2)若△ABC为锐角三角形，求sin A+cos B的取值范围．【答案】(1)π6；(2)32,32,【分析】(1)由正弦定理将角化边可得b2+a2-c2=3ab，再利用余弦定理即求；(2)由题可得，sin A +cos B =3sin B +π3再根据三角形为锐角三角形，得到角B 的取值范围，进而即可求出sin A +cos B 的取值范围.【解析】(1)由a -3b sin A =c -b sin C +sin B ，得a -3b a =c -b c +b ，即b 2+a 2-c 2=3ab ，∴cos C =b 2+a 2-c 22ab=32，又C ∈0,π ，∴C =π6；(2)∵sin A +cos B =sin 5π6-B +cos B =32sin B +32cos B =3sin B +π3，又△ABC 为锐角三角形，∴0<B <π2,0<5π6-B <π2，∴π3<B <π2，∴B +π3∈2π3,5π6 ，sin B +π3 ∈12,32，∴3sin B +π3 ∈32,32，故sin A +cos B 的取值范围为32,32 .18.已知正项等比数列a n 满足a 2n +1-a 2n -1=3⋅4n ，数列b n 满足b n =log 2a n ,n 为奇数,a n -1,n 为偶数. ．(1)求数列a n 的通项公式；(2)求数列b n 的前2n 项和T 2n ．【答案】(1)a n =2n +1；(2)n 2+n -43+4n +13.【分析】(1)由题可得a 3-a 1=12a 5-a 3=48 ，进而可得q =2，a 1=4，即得；(2)由题可得当n 为奇数时，b n =log 2a n =n +1，当n 为偶数时，b n =a n -1=2n ，然后利用分组求和法即得.【解析】(1)设数列a n 的公比为q ,q >0，∵正项等比数列a n 满足a 2n +1-a 2n -1=3⋅4n ，∴a 3-a 1=12a 5-a 3=48，两式相除可得q 2=4，∴q =2，a 1=4，∴a n =a 1q n -1=2n +1.(2)当n 为奇数时，b n =log 2a n =n +1，当n 为偶数时，b n =a n -1=2n ，∴T 2n =b 1+b 2+b 3+b 4+⋯+b 2n -1+b 2n =b 1+b 3+⋯+b 2n -1+b 2+b 4+⋯+b 2n =2+4+⋯+2n +22+24+⋯+22n=2+2n n2+221-4n 1-4=n 2+n -43+4n +13，∴T 2n =n 2+n -43+4n +13.19.根据我国国家统计局的数据显示，2020年12月份，中国制造业采购经理指数(PMI )为50.3%，比上月上升0.2个百分点.以新能源汽车、机器人、医疗设备、高铁、电力装备、船舶、无人机等为代表的高端制造业突飞猛进，则进一步体现了中国制造目前的跨越式发展.已知某精密制造企业为评估某设备M生产某种零件的性能，从设备M生产零件的流水线上随机抽取100件零件作为样本，测量其直径后，整理得到下表：直径/mm5859616263646566676869707173合计件数11356193318442121100经计算，μ=65,σ=2.2，以频率值作为概率的估计值，解决以下问题：(1)为评判一台设备的性能，从该设备加工的零件中任意抽取一件，记其直径为X，并根据以下不等式进行评判(p表示相应事件的频率)：①p(μ-σ<X≤μ+σ)≥0.6826；②p(μ-2σ<X≤μ+2σ)≥0.9544；③p(μ-3σ<X≤μ+3σ)≥0.9974．评判规则为：若同时满足上述三个不等式，则设备等级为甲；仅满足①②，不满足③，则等级为乙；若仅满足①，不满足②③，则等级为丙；若全部不满足，则等级为丁．试判断设备M的性能等级；(2)将直径小于等于μ-2σ或直径大于μ+2σ的零件认为是次品，①从设备M的生产流水线上随意抽取2件零件，计算其中次品个数Y的数学期望E(Y)；②从样本中随意抽取2件零件，计算其中次品个数Z的分布列和数学期望E(Z)．【答案】(1)性能等级为丙；(2)①E Y=0.12；②分布列见解析，数学期望E Z =0.12【分析】(1)根据表格中的数据可得求出P(62.8<X≤67.2)、P(60.6<X≤69.4)和P(58.4<X≤71.6)，结合题意即可得出结论；(2)根据二项分布即可求出E(Y)，根据超几何分布可得Z的分布列，进而求出E(Z)即可.【解析】(1)由表格可知P(μ-σ<X≤μ+σ)=P(62.8<X≤67.2)=0.8≥0.6826P(μ-2σ<X≤μ+2σ)=P(60.6<X≤69.4)=0.94<0.9544P(μ-3σ<X≤μ+3σ)=P(58.4<X≤71.6)=0.98<0.9974因为设备M的数据仅满足不等式①，故其性能等级为丙.(2)易知样本中次品共6件，可估计设备M生产零件的次品率为0.06.由题意可知Y~B2,0.06，于是E Y=2×0.06=0.12，Z可能的取值为0、1、2，P Z=0=C294C2100=14571650；P Z=1=C194C16C2100=94825；P Z=2=C26C2100=1330由题意可知Z的分布列为Z012p14571650948251330故E Z=0×14571650+1×94825+2×1330=325=0.12.20.已知矩形纸片ABCD满足AB=2，AD=23，M为AC中点，将该纸片沿对角线AC折成空间四边形ABCD1，使得二面角D1-AC-B的大小为θ.(1)求三棱锥A -BMD 1体积的最大值；(2)若θ=60°，求直线AD 1与平面BCD 1所成角的正弦值.【答案】(1)1(2)211137【分析】(1)根据体积比例关系V A -BMD 1=V D 1-ABM =12V D 1-ABC，计算出三棱锥的高和底面积，即可求解.(2)建立直角坐标系，算出平面BCD 1的法向量，然后根据直线方向向量和法相量的交角公式计算即可.【解析】(1)解：由题意得：三棱锥A -BMD 1的体积V A -BMD 1=V D 1-ABM =12V D 1-ABC当θ=90°时，V D 1-ABC 取最大值，在矩形ABCD 中，过D 作DE ⊥AC 交AC 于点E ，此时，三棱锥D 1-ABC 的高h =DEAC =22+23 2=4，h =DE =AD ·DCAC =3V D 1-ABC 的最大值V D 1-ABC max =13S △ABC ·h =13·12·2·23·3=2所以三棱锥A -BMD 1体积的最大值V A -BMD 1 max =1(2)过B 作BF ⊥AC ，垂足为F ，过D 1作D 1E ⊥AC ，垂足为E以F 为坐标原点，FA 为x 轴，FB 为y 轴建立空间直角坐标系(如图所示)A (1,0,0),B (0,3,0),C (-3,0,0),D 1-2,32,32 BC =(-3,-3,0),BD 1 =-2,-32,32 ,AD 1 =-3,32,32设平面BCD 1的法向量为n=(x ,y ,z )n ·BC =0n ·BD 1 =0 ⇒-3x -3y =0-2x -32y +32z =0取x =1，得n =1,-3,13设直线AD 1与BCD 1所成角为αsin α=AD 1 ·n AD 1 ·n =-3-32+12 1+3+19·9+34+94=21113721.若f (x )=ke x ，且直线y =ex 与曲线y =f (x )相切.(1)求k 的值；(2)证明：当a ∈[1,2]，不等式2f (x )+a sin x -2≥x 2+3x 对于∀x ∈[0,+∞)恒成立.【答案】(1)k =1；(2)证明见解析【分析】(1)设切点为(x 0,y 0)，则有f (x 0)=ex 0f (x 0)=e ，解之即可的解；(2)要证当a ∈[1,2]，不等式2f (x )+a sin x -2≥x 2+3x 对于∀x ∈[0,+∞)恒成立，只需证当a ∈[1,2]时，不等式2e x +a sin x -2≥x 2+3x 对于∀x ∈[0,+∞)恒成立，令h (x )=2e x +a sin x -2-x 2-3x ,x ∈[0,+∞)，只需证明h x min ≥0即可，利用导数求出函数h x 的最小值，即可得证.【解析】(1)解：设切点为(x 0,y 0)，f (x )=ke x ，则f (x 0)=ex 0f (x 0)=e ⇒ke x 0=ex 0ke x 0=e，解得：x 0=1,k =1，∴k =1；(2)证明：要证当a ∈[1,2]，不等式2f (x )+a sin x -2≥x 2+3x 对于∀x ∈[0,+∞)恒成立，只需证当a ∈[1,2]时，不等式2e x +a sin x -2≥x 2+3x 对于∀x ∈[0,+∞)恒成立，令h (x )=2e x +a sin x -2-x 2-3x ,x ∈[0,+∞)，令g x =h (x )=2e x +a cos x -2x -3,x ∈[0,+∞)，g (x )=2e x -a sin x -2,x ∈[0,+∞)，令m (x )=x -sin x ,x ∈[0,+∞)，则m (x )=1-cos x ≥0，所以函数m x 在0,+∞ 上递增，所以m x ≥m (0)=0，所以sin x ≤x ,x ∈[0,+∞)，故g x =2e x -a sin x -2≥2e x -ax -2≥2e x -2x -2=2e x -x -1 ，令φ(x )=e x -x -1 ,x ∈0,+∞ ，则φ (x )=e x -1≥0,(x ≥0)，所以函数φx 在0,+∞ 上递增，所以φ(x )≥φ(0)=0，所以g (x )≥2e x -x -1 ≥0，所以函数g x 在0,+∞ 上递增，即函数h (x )在0,+∞ 上递增，又h (0)=2+a -3≥0，所以h (x )≥0，所以h (x )在0,+∞ 上递增，又因为h (0)=0，故h (x )≥0,∀x ∈[0,+∞)恒成立，即当a ∈[1,2]，不等式2f (x )+a sin x -2≥x 2+3x 对于∀x ∈[0,+∞)恒成立.本题考查了导数的几何意义，还考查了利用导数证明不等式问题，考查了放缩及转换思想，考查了学生的数据分析能力、计算能力及逻辑推理能力，难度很大.22.如图，已知圆O :x 2+y 2=4，点B (1,0)，以线段AB 为直径的圆内切于圆O ，点A 的集合记为曲线C .(1)求曲线C 的方程；(2)已知直线l :x =4，Q 1,32 ，过点B 的直线l 1与C 交于M ,N 两点，与直线l 交于点K ，记QM ,QN ,QK 的斜率分别为k 1,k 2,k 3，问：k 1-k 2k 2-k 3是否为定值？若是，给出证明，并求出定值；若不是，说明理由.【答案】(1)x 24+y 23=1；(2)是定值，证明见解析，-2【分析】(1)按照所给的条件，分析图中的几何关系即可；(2)作图，联立方程，按步骤写出相应点的坐标，求对应的斜率即可.【解析】(1)设AB 的中点为P ，切点为Q ，连接OP ,PQ ，取B 关于y 轴的对称点D ，则BD =2，连接AD ，由于P 是AB 的中点，O 是BD 的中点，∴AD =2OP ，故AB +AD =2OP +2PB =2OP +2PQ=2OP +PB =4>BD =2. 所以点A 的轨迹是以B ,D 为焦点，长轴长为4的椭圆.其中a =2,c =1,b =3，则曲线C 的方程为x 24+y 23=1；(2)由第一问，作图如下：设M (x 1,y 1),N (x 2,y 2),依题意，直线l 1的斜率必定存在，设l 1:x =my +1(m ≠0)，将其与椭圆方程联立：x =my +1(m ≠0)x 24+y 23=1 得(3m 2+4)y 2+6my -9=0，由韦达定理，得：y 1+y 2=-6m 3m 2+4,y 1y 2=-93m 2+4易得点K 4,3m ，k 3=3m -323=1m -12k 1=y 1-32x 1-1=y 1-32my 1,k 2=y 2-32my 2k 1-k 2k 2-k 3=k 1-k 3+k 3-k 2k 2-k 3=k 1-k 3k 2-k 3-1而k 1-k 3k 2-k 3=y 1-32 y 2-m 1m -12 y 1y 2y 2-32 y 1-m 1m -12 y 1y 2=my 1y 2-3y 2my 1y 2-3y 1⋯⋯①由y 1+y 2=-6m 3m 2+4,y 1y 2=-93m 2+4得：y 1y 2=32m (y 1+y 2)，代入①得：k 1-k 3k 2-k 3=my 1y 2-3y 2my 1y 2-3y 1=-1，得k 1-k 2k 2-k 3=k 1-k 3+k 3-k 2k 2-k 3=k 1-k 3k 2-k 3-1=-2.。

2023年广西桂林市、河池市、防城港市高考数学调研试卷（文科）（3月份）1. 若集合，，则中元素的个数为( )A. 2B. 3C. 4D. 12. 已知复数，其中i为虚数单位，则z的虚部为( )A. B. 26 C. D. 133. 命题p：，的否定是( )A. ：，B. ：，C. ：，D. ：，4. 若是角的终边上一点，则( )A. B. C. D.5. 2018年，晓文同学参加工作月工资为7000元，各种用途占比统计如下面的条形图．后来晓文同学加强了体育锻炼，目前月工资的各种用途占比统计如图的折线图．已知目前的月就医费比刚参加工作时少200元，则目前晓文同学的月工资为( )A. 7000B. 7500C. 8500D. 95006. 某圆锥的侧面展开图是半径为3，圆心角为的扇形，则该圆锥的体积为( )A. B. C. D.7. 执行下边的程序框图，如果输入的，那么输出的( )A. 8B. 9C. 16D. 258. 已知双曲线C：的焦点到渐近线的距离为4，实轴长为6，则C的方程为( )A. B. C. D.9. 近年来，中国加大了电动汽车的研究与推广，预计到2060年，纯电动汽车在整体汽车中的渗透率有望超过，新型动力电池随之也迎来了蓬勃发展的机遇．已知蓄电池的容量单位：，放电时间单位：与放电电流单位：之间关系的经验公式为，其中在电池容量不变的条件下，当放电电流时，放电时间，则当放电电流时，放电时间为( )A. 28hB.C. 29hD.10. 将函数的图象上所有点向右平移个单位长度，得到如图所示的函数的图象，则( )A. 0B. 1C. 2D.11. 某几何体的三视图如图所示，则该几何体外接球的表面积为( )A.B.C.D.12. 设函数的定义域为R，满足，且当时，若对任意都有，则m的取值范围是( )A. B. C. D.13. 若x，y满足约束条件则的最大值为______.14. 若曲线在处的切线与直线相互垂直，则______ .15. 的内角A，B，C的对边分别为a，b，已知，则______ .16. 椭圆的右焦点为F，P为椭圆C上的一点，与x轴切于F点，与y轴交于A，B两点，若为锐角三角形，则C的离心率范围是______ . 17. 甲学校某次学科竞赛后，将参赛考生的竞赛成绩整理得到如下频率分布直方图.求这些参赛考生的竞赛平均成绩同一组中数据用该组区间中点值作代表；若竞赛成绩排在前的考生能进入复赛，试估计进入复赛的分数线.18.如图，三棱柱的侧面为菱形，，证明：；若，，求四棱锥的体积.19. 记为等比数列的前n项和.已知求；设求数列的前2n项和20. 已知函数当时，讨论的单调性；若有两个不同的零点，求a的取值范围.21. 已知抛物线C：的焦点F到准线的距离为求C的方程；若P为直线l：上的一动点，过P作抛物线C的切线PA，PB，A，B为切点，直线AB与l交于点M，过F作AB的垂线交l于点N，当最小时.求22. 如图，在极坐标系中，曲线是以为圆心的半圆，曲线是以为圆心的圆，曲线、都过极点分别写出半圆，圆的极坐标方程；直线与曲线，分别交于M、N两点异于极点，求的面积.23. 已知对任意的恒成立.求实数m的取值范围；设实数t为m的最大值，若实数a，b，c满足，求的最小值.答案和解析1.【答案】B【解析】解：因为集合，，所以，中元素的个数为故选：由交集的定义即可得出答案．本题主要考查交集及其运算，属于基础题．2.【答案】C【解析】解：因为，则复数的虚部为故选：将复数z化简，即可得到结果．本题主要考查复数的运算，属于基础题．3.【答案】C【解析】解：根据题意，p：，，是全称命题，其否定为：，，故选：根据题意，由全称命题和特称命题的关系，分析可得答案．本题考查命题的否定，涉及全称命题和特称命题的关系，属于基础题．4.【答案】A【解析】解：是角终边上一点，，，故选：由三角函数定义可求得，，由二倍角正弦公式可求得结果．本题主要考查了三角函数的定义及二倍角的正弦公式，属于基础题．5.【答案】C【解析】解：根据题意及条形图和折线图即可得出目前的月工资为：故选：通过条形图可得出晓文刚参加工作时的就医费用为：，从而得出目前的就医费用为850，再根据折线图即可得出目前的晓文的月工资．考查对条形图和折线图的认识和应用．6.【答案】D【解析】解：因为圆锥的侧面展开图是半径为3，圆心角为的扇形，所以该扇形的弧长为，设圆锥的底面半径为r，则，解得：，因为圆锥的母线长为3，所以圆锥的高为，该圆锥的体积为故选：求出扇形的弧长，进而求出圆锥的底面半径，由勾股定理得到圆锥的高，利用圆锥体积公式求解即可．本题主要考查圆锥的体积，属于基础题．7.【答案】C【解析】解：模拟循序的运行，可得：输入，，第一次循环：，满足，，第二次循环：，满足，，第三次循环：，满足，，第四次循环：，不满足，输出S的值为16，故选：模拟程序的运行，计算出每次循环的结果，直到不满足条件，结束循环，可得答案．本题考查了程序框图的应用问题，解题时应模拟程序框图的运行过程，以便得出正确的结论，是基础题．8.【答案】D【解析】解：右焦点到渐近线的距离，因为实轴长为，所以，即C的方程为故选：由距离公式得出，进而由双曲线的性质得出方程．本题主要考查双曲线的性质，属于基础题．9.【答案】B【解析】解：由题意得，当时，则，，故选：根据题意结合指、对数运算，求解即可得出答案．本题考查根据实际问题选择函数类型，考查转化思想，考查逻辑推理能力和运算能力，属于中档题．10.【答案】C【解析】解：依题意，，故，又的周期T满足，得，所以，所以，又，得，，又，所以，所以，所以故选：由三角函数的图象变换得到的解析式，再由其图象性质得出A，，后计算原式．本题考查了余弦函数的图象及性质，熟记性质是解题关键，属于基础题．11.【答案】C【解析】解：由三视图可知，该几何体为如图所示的三棱锥，其中，平面BCD，，在中，，，的外接圆的直径为，，外接球的半径为，该几何体外接球的表面积为故选：由三视图可知，该几何体为如图所示的三棱锥，过底面外心作底面的垂线与线段AB的中垂面的交点即球心，利用勾股定理计算即可．本题主要考查了由三视图还原几何体的形状，考查了三棱锥的外接球问题，属于中档题．12.【答案】D【解析】解：当时，则，即当时，，同理当时，；当时，以此类推，当时，都有函数和函数在上的图象如下图所示：由图可知，，解得，即对任意都有，即m的取值范围是故选：由题设条件画出函数的简图，由图象分析得出m的取值范围．本题考查抽象函数及其运用，解决本题的关键是对的理解，并结合图象，可以非常直观的得出满足条件的m的取值范围，考查数形结合思想以及运算求解能力，属于中档题．13.【答案】1【解析】【分析】先根据约束条件画出可行域，再利用几何意义求最值，只需求出可行域直线在y轴上的截距最大值即可．本题主要考查了简单的线性规划，以及利用几何意义求最值，属于基础题．【解答】解：x，y满足约束条件，不等式组表示的平面区域如图所示，由，可得时，目标函数，可得，当直线，过点A时，在y轴上截距最大，此时z取得最大值：故答案为：14.【答案】3【解析】解：已知，则，，因为曲线在处的切线与直线相互垂直，所以，解得故答案为：先求出函数的导函数，再求出函数在处的导数值，再利用切线与直线垂直即可得到答案．本题考查导数的几何意义以及两直线垂直的条件，考查运算求解能力，属于基础题．15.【答案】【解析】解：因为，，所以，即，又，所以，所以故答案为：根据正弦定理可得，然后利用余弦定理即得．本题主要考查了正弦定理，余弦定理在求解三角形中的应用，属于基础题．16.【答案】【解析】解：因为与x轴切于F点，所以轴，可设，则，解得，圆P的半径为，又与y轴交于A，B两点，则，又因为为锐角三角形，则，，，即，解得，即椭圆离心率的取值范围为故答案为：根据题意可得的半径，根据为锐角三角形，可构造关于a，c的齐次不等式，解不等式即可求得结果．本题考查椭圆的性质，考查运算求解能力，属于中档题．17.【答案】解：由题意知：，这些参赛考生的竞赛平均成绩x为由图可知，的考生占比；的考生占比，设进入复赛的分数线为x，则x在之间，有，解得，故进人复赛的分数线为【解析】根据频率分布直方图中的中点值求平均成绩即可；根据频率分布直方图进行总体百分位数的估计即可．本题主要考查了频率分布直方图的应用，考查了平均数和百分位数的计算，属于基础题．18.【答案】解：证明：连接，，设，连接为菱形，，且O为，的中点，又，，，平面，平面，平面，；由知平面，又平面，，又，O为的中点，，由菱形，，，则为正三角形，，，，，，平面，平面，而，【解析】根据线面垂直的判定定理证明平面，即可根据线面垂直的性质证明结论；证明平面，即可求出四棱锥的高，根据棱锥的体积公式即可求得答案．本题考查线面垂直的判定及性质，考查四棱锥的体积计算，考查逻辑推理能力和运算求解能力，属于中档题．19.【答案】解：根据题意可得，解得，；由题设及可知：当n为奇数时，，当n为偶数时，，，【解析】设等比数列的公比为q，根据题目条件列方程组求解即可；由题意可得，然后利用分组求和法求解即可．本题考查等比数列的通项公式，等比数列的求和公式的应用，方程思想，分类讨论思想，属中档题．20.【答案】解：当时，，解，得；解，得，故在上单调递减，在上单调递增．，当时，，在R上单调递增，此时无两个零点；当时，解，得；解，得，故在上单调递减，在上单调递增．因为x趋于负无穷，趋于正无穷；因为x趋于正无穷，趋于正无穷；故有两不同零点，则，即令则，当时，，单调递增，当时，，单调递减，且时，，又，当时，，综上，a的范围为【解析】对求导，根据导函数的正负确定的单调性；求出函数的导数，根据函数的单调性求出的最小值，结合零点个数，得到关于a的不等式，即可求出a的取值范围．本题考查利用导数研究函数的单调性，极值及最值，考查函数的零点，考查逻辑推理能力及运算求解能力，属于中档题．21.【答案】解：由题知，，则C的方程为抛物线C：的焦点，设，过P点的抛物线C的切线方程为：，联立，消去x得：，①，，即，②此时①可化为，解得，设直线PA：，直线PB：，则，为方程②的两根，故，，且，，可得，令点，，由②知，，故，则直线AB方程为：，显然，因为直线NF与直线AB垂直，则直线NF方程为：，故，，当且仅当时，时取等号，则，由得，【解析】由题意求得，即可得得到抛物线C的方程；设，，利用导数的几何意义求得在点A，B的切线方程，得出直线AB方程为，令，得到点，根据直线NF与直线AB垂直，求得直线NF方程为，进而得到点，进而求得，结合基本不等式求得的最小值，联立方程组，结合弦长公式求得弦的长．本题考查抛物线的标准方程及其性质，考查直线与抛物线的综合运用，考查运算求解能力，属于中档题．22.【答案】解：曲线是以为圆心的半圆，所以半圆的极坐标方程为，曲线以为圆心的圆，转换为极坐标方程为故半圆，圆的极坐标方程分别为：，；由得：，点到直线MN的距离，所以，故的面积为【解析】直接利用转换关系的应用，写出极坐标方程；利用三角函数关系式的变换和三角形的面积的公式的应用求出结果．本题主要考查了圆的极坐标方程，考查了曲线极坐标方程的应用，属于中档题．23.【答案】解：令，对任意的恒成立，转化为，当时，，在上单调递减，，当时，，在上单调递减，，当时，，在上单调递增，，综上所述，，实数m的取值范围；由得实数m的取值范围则，，即，由柯西不等式得，当且仅当，即，，时等号成立，即，，故的最小值为【解析】构造函数，题意转化为为，结合分段函数的性质，即可得出答案；由得，即，利用柯西不等式，即可得出答案．本题考查绝对值函数和分段函数的性质、柯西不等式的应用，考查转化思想和函数思想，考查逻辑推理能力和运算能力，属于中档题．。

2023年高考桂林、崇左市联合调研考试理科数学参考答案1~12：CBAAA BCDAA BA 13.114.4315.2.816.π)12(+17.解：（1）由题中表格可得22⨯列联表如下：阅读爱好者非阅读爱好者合计男生451055女生301545合计7525100……………………………………………………………………………………………………2分由题意得K 2＝……………………………………………………………………………………………………5分所以在犯错误的概率不超过的前提下，不能认为“阅读爱好者”与性别有关.……………………………………………………………………………………………………6分（2）根据检测得分不低于80分的人称为“阅读达人”，则这100名学生中的男生“阅读达人”中，按分层抽样的方式抽取，[)90,80内应抽取3人，[]100,90内应抽取2人，…………………………7分所以，X 的取值为0，1，2101)0(3533===C C X P ，53106)1(351223====C C C X P ，103)2(352213===C C C X P …………………………10分所以X 的分布列为：X 012P10153103…………………………………………………………………………11分5610325311010)(=⨯+⨯+⨯=X E 所以X 的数学期望是65……………………………………………………………………12分18.解：（1）nn n a S 21-=+ n n n n S S S 21--=∴+……………………………………1分nn n S S 221+=∴+212211=-∴++n n n n S S …………………………………………………………………………3分又11=a ，2121=∴S …………………………………………………………………………4分所以数列⎭⎬⎫⎩⎨⎧n n S 2是以21为首项和公差的等差数列.………………………………5分z（2）由（1）知：2)121212n n S n n =-+=（所以12-⋅=n n n S ………………………………………………………………………6分()()()112222122n n n n n n a S n a n n -+-∴=+=+∴=+≥又11a =满足上式()()212n n a n n N -*∴=+∈…………………………………………8分因为n N *∀∈，()62nn n a λ-≥所以()()26122n nn n λ--+≥所以()()61,4n n n N λ*-+∀∈≥………………………………9分记()()()()614n n f n n N *-+=∈则只需()minf n λ≥…………………………………………10分又()f n 在51,2⎛⎫⎪⎝⎭上单调递减，在5,2⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭上单调递增，又因为n N*∈所以()()()min 233f n f f ===-所以3λ≤-所以λ的最大值为3-…………………………………………12分19.（1）证明：连接AOO 为BC 中点，ABC ∆为等边三角形∴AO BC⊥ 点P 在底面ABC 上的射影为点O ∴PO ⊥面ABC∴PO BC ⊥……………………………………………………2分由BC AO ⊥，BC PO ⊥，AO PO O ⋂=，AO ⊂面APO ，PO ⊂面APO得BC ⊥面APO ……………………………………………………4分AM ⊂面APO∴BC AM ⊥………………………………………………5分（2）由已知及（1）可知，OB ，OA ，OP 两两互相垂直∴以OB ，AO ，OP 所在直线分别为x ，y ，z 轴建立如图所示的空间直角坐标系，…………………………………………6分则()0,3,0A -，()3,0,0BBO 为PB 在底面ABC 上的射影∴PBO ∠为PB 与面ABC 所成角，∴3PBO π∠=，∴3,PO =……………………………………7分∴()0,0,3P ，假设符合题意的点M 存在，且设()()0,0,03M c c <<来源：高三答案公众号设(),,m x y z =为面PAB 的法向量，则0PA m ⋅= ，0PB m ⋅= ()0,3,3PA =--，)3PB =-∴33030y z z --=⎧⎪-=，令1y =，则()1m =- ………………………………8分设的法向量，为面MAB z y x n ),,(111=则0AB n ⋅= ，0AM n ⋅=)AB = ,()0,3,AM c =∴,1,0303311111=⎩⎨⎧=+=+y cz y y x 令则3n c ⎛⎫=- ⎪⎝⎭ …………………………9分 二面角P AB M --的余弦值为31010∴310cos ,10m n <>= ……………………………………………………10分∴31010=，化简得2448630c c -+=解得32c =或212c =（舍）………………………………………………11分∴30,0,2M ⎛⎫ ⎪⎝⎭符合题意，此时点M 为PO 的中点.………………………………12分20.【解】（1）将)23,3(),0,2(B A -代入椭圆C ：()012222>>=+b a by a x 中，1022222=+b a ············································································1分143322=+b a··············································································2分得,3,2==b a ···················································································3分故椭圆C 方程为22143x y +=.································································4分（2）设直线()()1122:,,,,l y kx m P x y Q x y =+，················································5分由()22222,43841203412y kx m k x kmx m x y =+⎧⇒+++-=⎨+=⎩得，122212284341243km x x k m x x k -⎧+=⎪⎪+⎨-⎪⋅=⎪+⎩，··················································································6分()()2222226444341219248144k m k m k m ∆=-+-=-+，又11212112,222y kx m kx mk k x x x ++===+++故()()()12121212121212122242224kx x k x x m x x mkx m kx m k k x x x x x x ++++++++=+=+++++2222228241681612412161612km k k m km k m mm km k ---++=--++223644m k m km k-=-+，·················································································8分由0321=+⋅+⋅k k k k ，得0321=++）（k k k ，得22320m km k -+=，故()()202m k m k m k --=⇒=或m k =，·····················································9分①当2m k =时，直线():22l y kx k k x =+=+，过定点()2,0A -，与已知不符，舍去；········································································································10分②当m k =时，直线():1l y kx k k x =+=+，过定点()1,0-，即直线l 过左焦点，此时222192481441441440k m k ∆=-+=+>，符合题意.所以FPQ △的周长为48a =.·······································································12分21.解：（1）由题知：x x e xx h x+-=ln )(，其定义域为），（∞+0x x x xe x e x x e x x h ))(1(111)('--=+--=∴…………………………………………………1分令()()0x x e x x ϕ=->，则()'10xx e ϕ=->()x x e x ϕ∴=-在()0,+∞上单调递增()()010x ϕϕ∴>=>0x e x ∴->…………………………………………………………………………………3分设10)('>⇒>x x h ，100)('<<⇒<x x h 所以)(x h 在)1,0(上单调递减，在),1(+∞上单调递减……………………………………4分()()min 111h x h e==+………………………………………………………………………5分（2）设axx exx g x f x F ax -+=+=ln )()()(axx e ax x -+=-ln ln 设ax x t -=ln ，则，易知()tG t e t =+在R 上单调递增要使方程0)()(=+x g x f 有两个不同的实根，则函数t e t G t+=)(存在1个零点…………6分()，则且个零点，设为上存在，在所以函数21210,,20ln x x x x ax x t <<∞+-=且0≠a 0ln ,0ln 2211=-=-ax x ax x 所以)(ln ln 2121x x a x x -=-即ax x x x 1ln ln 2121=--……………………………………………………7分要证ax x 221>+，即证2121x x a +<即证2ln ln 212121x x x x x x +<--2ln ln 212121x x x x x x ->+-⇔2ln 11212121x x x x xx >+-⇔……………………8分设)1,0(,21∈=m m x x，设2ln 11)(m m m m -+-=ϕ所以0)1(2)1(21)1(2)(222'<+--=-+=m m m m m m ϕ所以)(m ϕ在)1,0(单调递减所以0)1()(=>ϕϕm ，即02ln 11>-+-mm m 故2ln ln 212121x x x x x x +<--…………………………………………………10分所以2121x x a +<，即ax x 221>+.………………………12分22.解：（1）由22cos 62+=θρ得22cos 226ρθρ+=.22222222222(cos sin )2()622636x y x y x y x y ρθθ∴-++=∴-++=∴+=.所以曲线C 的直角坐标方程为16222=+y x .……………………………………5分（2）设直线l 的参数方程为⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧+=+-=my m x 221221（m 为参数）将l 的参数方程代入曲线C 的普通方程，整理得：0122=--m m ，122121-==+∴m m m m ，……………………………………………………8分6424)(2122121=+=-+=-=∴m m m m m m AB .……………………………………10分23.解：（1）化简得：12)(+-+-=a x a x x f .当3=a 时，2)5()3(53)(=---≥-+-=x x x x x f ，当3≤x ≤5时等号成立，所以)(x f 的最小值为2；………………………………………………5分（2）由基本不等式：8)3212()212(2123=-++≤-⋅⋅=-m m m m m m m m ，当且仅当m m 212-=，即4=m 时，等号成立.又因为1)12()(12)(-=+---≥+-+-=a a x a x a x a x x f ，当且仅当()()210x a x a --+≤时，等号成立.…………………………………………8分所以，18a ->18a ∴->或18a -<-9a ∴>或7a <-…………………………………………………………………………10分注：第17—23题提供的解法供阅卷时评分参考，考生其它解法可相应给分。

高三下学期新高考第一次调研测试数学试卷-带参考答案与解析注意专项：1．答卷前 考生务必将自己的姓名 考生号 考场号 座位号填写在答题卡上。

2．回答选择题时 选出每小题答案后 用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。

如简改动 用橡皮擦干静后 再选涂其他答案标号回答非选择题时 将答案写在答题卡上。

写在本试卷上无效。

3．考试结束后 将本试卷和答题卡一并交回。

一、选择题（本大题共8小题 每小题5分 共40分．在每小题给出的四个选项中 只有一项是符合题目要求的．）1．设复数1i z =+，则复数1z z +（其中z 表示z 的共轭复数）表示的点在（ ）上 A ．x 轴B ．y 轴C ．y x =-D ．y x =2．已知角α和β，则“αβ=”是“tan tan αβ=”的（ ） A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件3 侧面展开图是一个半圆面，则该圆锥的体积为（ ）A ．12πB ．9πC ．3πD 4．已知双曲线()222106x y b b -=>的一条渐近线的倾斜角为π6，则此双曲线的右焦点到一条渐近线的距离为（ ）A B ．2CD ．5．一对夫妻带着3个小孩和一个老人 手拉着手围成一圈跳舞 3个小孩不相邻的站法种数是（ ） A ．6B ．12C ．18D ．366．已知递增的等比数列{}n a 10a > 公比为q 且1a 3a 4a 成等差数列，则q 的值为（ ）A B C D 7．已知平面内的三个单位向量a b c 且12a b ⋅=32a c ⋅=，则b c ⋅=（ ）A ．0B ．12C D 0 8．设方程22log 1xx ⋅=的两根为1x ()212x x x <，则（ ）A ．101x << 22x >B ．121x x >C ．1201x x <<D ．123x x +>二 选择题（本大题共3小题 每小题6分 共18分．在每小题给出的选项中 有多项符合题目要求．全部选对的得6分 部分选对的得部分分 有选错的得0分．）9．下列说法正确的是（ ）A ．若事件A 和事件B 互斥 ()()()P AB P A P B = B ．数据4 7 5 6 10 2 12 8的第70百分位数为8C ．若随机变量ξ服从()217,N σ ()17180.4P ξ<≤=，则()180.1P ξ>=D ．已知y 关于x 的回归直线方程为0.307ˆ.yx =-，则样本点()2,3-的残差为 1.9- 10．设函数()f x ()g x 的定义域都为R 且()f x 是奇函数 ()g x 是偶函数，则下列结论正确的是（ ）A ．()()f x g x 是奇函数B ．()()f x g x 是偶函数C ．若()()321g x f x x x -=++，则()()111f g +=D ．若函数()f x 在(),-∞+∞上单调递减且()11f =-，则满足()121f x -≤-≤的x 的取值范围是[]1,3 11．已知体积为2的四棱锥P ABCD - 底面ABCD 是菱形 2AB = 3PA =，则下列说法正确的是（ ）A ．若PA ⊥平面ABCD ，则BAD ∠为π6B ．过点P 作PO ⊥平面ABCD 若AO BD ⊥，则BD PC ⊥C ．PA 与底面ABCD 所成角的最小值为6πD ．若点P 仅在平面ABCD 的一侧 且AB AD ⊥，则P点轨迹长度为三 填空题（本大题共3小题 每小题5分 共15分．）12．已知关于x 的不等式10ax ->的解集为M 2M ∈且1M ∉，则实数a 的取值范围是______． 13．已知抛物线22y x =的弦AB 的中点的横坐标为2，则弦AB 的最大值为______． 14．已知()1cos 3αβ+=-cos cos 1αβ+=，则cos cos 22αβαβ-+=______()sin sin sin αβαβ+=+______． 四 解答题（本大题共5小题 共77分．解答应写出文字说明 证明过程或演算步骤．）15．（本小题满分13分）在如图所示的ABC △中 sin 0B =． （1）求B ∠的大小（2）直线BC 绕点C 顺时针旋转π6与AB 的延长线交于点D 若ABC △为锐角三角形 2AB = 求CD 长度的取值范围．16．（本小题满分15分）已知椭圆()2222:10x y W a b a b+=>>的右顶点为A 左焦点为F 椭圆W 上的点到F 的最大距离是短半轴长倍 且椭圆W 过点31,2⎛⎫⎪⎝⎭．记坐标原点为O 圆E 过O A 两点且与直线6x =相交于两个不同的点P Q （P Q 在第一象限 且P 在Q 的上方） PQ OA = 直线QA 与椭圆W 相交于另一个点B ． （1）求椭圆W 的方程 （2）求QOB △的面积． 17．（本小题满分15分）如图 在四棱锥P ABCD -中 AB CD ∥ 4AB = 2CD = 2BC = 3PC PD == 平面PCD ⊥平面ABCD PD BC ⊥． （1）证明：BC ⊥平面PCD（2）若点Q 是线段PC 的中点 M 是直线AQ 上的一点 N 是直线PD 上的一点 是否存在点M N 使得MN =请说明理由．18．（本小题满分17分）已知函数()ln f x x x =的导数为()f x '．（1）若()1f x kx ≥-恒成立 求实数k 的取值范围（2）函数()f x 的图象上是否存在三个不同的点()11,A x y ()22,B x y ()33,C x y （其中123x x x <<且1x2x 3x 成等比数列） 使直线AC 的斜率等于()2f x '?请说明理由．19．（本小题满分17分）2023年10月11日 中国科学技术大学潘建伟团队成功构建255个光子的量子计算机原型机“九章三号” 求解高斯玻色取样数学问题比目前全球是快的超级计算机快一亿亿倍．相较传统计算机的经典比特只能处于0态或1态 量子计算机的量子比特（qubit ）可同时处于0与1的叠加态 故每个量子比特处于0态或1态是基于概率进行计算的．现假设某台量子计算机以每个粒子的自旋状态作为是子比特 且自旋状态只有上旋与下旋两种状态 其中下旋表示“0” 上旋表示“1” 粒子间的自旋状态相互独立．现将两个初始状态均为叠加态的粒子输入第一道逻辑门后 粒子自旋状态等可能的变为上旋或下旋 再输入第二道逻辑门后 粒子的自旋状态有p 的概率发生改变 记通过第二道逻辑门后的两个粒子中上旋粒子的个数为X ． （1）若通过第二道逻辑门后的两个粒子中上旋粒子的个数为2 且13p = 求两个粒子通过第一道逻辑门后上旋粒子个数为2的概率（2）若一条信息有()*1,n n n >∈N 种可能的情况且各种情况互斥 记这些情况发生的概率分别为1p2p … n p ，则称()()()12n H f p f p f p =++⋅⋅⋅+（其中()2log f x x x =-）为这条信息的信息熵．试求两个粒子通过第二道逻辑门后上旋粒子个数为X 的信息熵H（3）将一个下旋粒子输入第二道逻辑门 当粒子输出后变为上旋粒子时则停止输入 否则重复输入第二道逻辑门直至其变为上旋粒子 设停止输入时该粒子通过第二道逻辑门的次数为Y （1Y = 2 3 ⋯ n ⋯）．证明：当n 无限增大时 Y 的数学期望趋近于一个常数． 参考公式：01q <<时 lim 0nn q →+∞= lim 0nn nq →+∞=．2024届新高考教学教研联盟高三第一次联考数学参考答案一 选择题（本大题共8小题 每小题5分 共40分．）1．C 【解析】11331i i 1i 22z z +=+-=-+ 所以对应的点33,22⎛⎫- ⎪⎝⎭在直线y x =-上． 2．D 【解析】当2παβ==时 tan α tan β没有意义 所以由αβ=推不出tan tan αβ=当tan tan αβ=时()πk k αβ=+∈Z所以由tan tan αβ=推不出αβ=故“αβ=”是“tan tan αβ=”的既不充分也不必要条件． 3．C 【解析】设圆锥的底面半径为r 母线为l 由于圆锥的侧面展开图是一个半圆面，则2ππr l = 所以2l r =所以圆锥的高h ==圆锥的体积为2211ππ3π33V r h ==⨯⨯⨯=．4．A 【解析】因为双曲线()222106x y b b -=>的一条渐近线的倾斜角为π6 πtan 6= 所以该渐近线的方程为3y x = 所以2263b ⎛= ⎝⎭解得b =（舍去） 所以c =此双曲线的右焦点坐标为()30y -==5．B 【解析】3232A A 12=．6．A 【解析】由题意知1432a a a += 即321112a a q a q += 又数列{}n a 递增 10a > 所以1q > 且3212q q += 解得q =7．D 【解析】如图 a OA = c OC = b OB =（或b OD =）由32a c ⋅=得cos COA ∠= 又[]0,πCOA ∠∈ 所以π6COA ∠=由12a b ⋅=得1cos 2BOA ∠= 又[]0,πBOA ∠∈ 所以π3BOA ∠=（或1cos 2DOA ∠= 又[]0,πDOA ∠∈ 所以π3DOA ∠=）所以b c 夹角为π6或π2所以32b c ⋅=或0．8．C 【解析】由题意得 120x x << 由22log 1xx ⋅=得21log 02xx ⎛⎫-= ⎪⎝⎭令()()21log 02xf x x x ⎛⎫=-> ⎪⎝⎭，则()1102f =-< ()1321044f =-=> 1102f ⎛⎫=-> ⎪⎝⎭由()1102f f ⎛⎫⋅<⎪⎝⎭ ()()120f f ⋅<得11,12x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭()21,2x ∈ 故A 错 由21222111log log 022xxx x ⎛⎫⎛⎫-=-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭得21222111log log 22xxx x ⎛⎫⎛⎫-=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭由11,12x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭ ()21,2x ∈得21222111log log 022x xx x ⎛⎫⎛⎫+=-< ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭所以1201x x << 故C 对 B 错由11,12x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭()21,2x ∈ 所以123x x +< D 错误．二 选择题（本大题共3小题 每小题6分 共18分．）9．BCD 【解析】对于A 若事件A 和事件B 互斥 ()0P AB = 未必有()()()P AB P A P B = A 错 对于B 对数据从小到大重新排序 即：2 4 5 6 7 8 10 12 共8个数字 由870% 5.6⨯= 得这组数据的第70百分位数为第6个数8 B 正确 对于C 因为变量ξ服从()217,N σ 且()17180.4P ξ<≤=，则()()()181717180.50.40.1P P P ξξξ>=>-<≤=-= 故C 正确对于D 由0.307ˆ.yx =- 得样本点()2,3-的残差为()30.30.72 1.9---⨯=- 故D 正确 故选BCD ． 10．ACD 【解析】令()()()F x f x g x =，则()()()F x f x g x -=-- 因为()f x 是奇函数 ()g x 是偶函数 所以()()f x f x -=- ()()g x g x -= 所以()()()()F x f x g x F x -=-=- 所以()()()F x f x g x =是奇函数 A 正确同样 令()()()F x f x g x =，则()()()()()()F x f x g x f x g x F x -=--=-=- 所以()F x 是奇函数 B 错误令1x =-代入()()321g x f x x x -=++，则()()()()32111111g f ---=-+-+= 又()()11g g -=()()11f f -=- 所以()()111g f += C 正确因为()f x 为奇函数 又()11f =- 所以()11f -=由于()f x 在(),-∞+∞上单调递减 要使()121f x -≤-≤成立，则121x -≤-≤ 所以13x ≤≤ D 正确．11．BCD 【解析】114sin sin 2333P ABCD NBCD V S h AB AD BAD h h BAD -=⋅=⋅∠⋅=∠=，则当PA ⊥平面ABCD 时 3h PA ==，则1sin 2BAD ∠= 即BAD ∠为π6或5π6A 错误如图1 若PO ⊥平面ABCD ，则PO BD ⊥ 又AO BD ⊥则BD ⊥平面PAO 有BD PA ⊥ 又BD AC ⊥ 所以BD ⊥平面PAC BD PC ⊥ B 正确 设PA 与底面ABCD 所成角为θ 又11sin 233P ABCD ABCD ABCD V S h S PA θ-===则2sin ABCDS θ=因为4sin 4ABCD S BAD =∠≤，则1sin 2θ≥则PA 与底面ABCD 所成角的最小值为π6C 正确如图2 当AB AD ⊥ 根据123P ABCD ABCD V S h -== 得32h = 即P 点到底面ABCD 的距离为32过A 点作底面ABCD 的垂线为l 过点P 作PO l ⊥交l 于点O，则PO ===点P 的轨迹是以O 为圆心为半径的圆轨迹长度为 D 正确．三 填空题（本大题共3小题 每小题5分 共15分．）12．1,12⎛⎤⎥⎝⎦【解析】2M ∈且1M ∈ 所以210,10,a a ->⎧⎨-≤⎩所以112a <≤．13．5 【解析】方法一：当直线AB 的斜率不存在时 直线AB 的方程为2x = 代入22y x =得2y =或2y =- 所以4AB =当直线AB 的斜率存在时 显然不为零 设直线AB 的方程为y kx b =+代入22y x =消y 并整理得()222220k x kb x b +-+=设()11,A x y ()22,B x y 判别式480kb ∆=->时有122212222,,kb x x k b x x k -⎧+=-⎪⎪⎨⎪=⎪⎩因为弦AB 的中点的横坐标为2 所以2224kb k --= 所以212kb k =-21AB x =-==所以2211145AB k k ⎛⎫⎛⎫=≤++-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭当且仅当221114k k +=-即223k =时取到等号 故弦AB 的最大值为5．方法二：设抛物线的焦点为F ，则AB AF BF ≤+又121211122AF BF x x x x +=+++=++当弦AB 的中点的横坐标为2时 有124x x += 所以5AB ≤当直线过焦点F 时取到等号 故弦AB 的最大值为5．14．12 23（任意填对一空给3分） 【解析】由()1cos 3αβ+=-得212cos 123αβ+-=-，则21cos 23αβ+=由cos cos 1αβ+=得2cos cos 122αβαβ-+=，则1cos cos 222αβαβ-+=所以3cos cos222αβαβ-+=()2sin cos cos sin 2222sin sin 32sin cos cos 222αβαβαβαβαβαβαβαβ++++===+--+． 四 解答题（本大题共5小题 共77分．解答应写出文字说明 证明过程或演算步骤．）15．【解析】（1sin 0B =sin B = 两边同时平方可得：2cos 1sin 2B B += 由22sin cos 1B B +=整理得22cos cos 10B B +-= 解得1cos 2B =或cos 1B =- 又()0,πB ∈，则π3B =．sin 0B -=2sin cos 022B B=得cos 02B =或1sin 22B = 又()0,πB ∈，则π26B = π3B =．（2）由（1）得π3ABC ∠=，则2π3CBD ∠= 由题可知π6BCD ∠=，则π6D ∠=设BC a =，则BD BC a ==由余弦定理有2222cos CD BC BD BC BD CBD =+-⋅∠所以CD =由正弦定理有sin sin BC ABA ACB =∠所以2sin 2sin 31sin sin ACB A a ACB ACB π⎛⎫+∠ ⎪⎝⎭====∠∠ 因为ABC △为锐角三角形，则π0,2π0,2ACB A ⎧<∠<⎪⎪⎨⎪<∠<⎪⎩得ππ62ACB <∠<所以tan 3ACB ⎛⎫∠∈+∞ ⎪⎝⎭，则(1tan ACB ∈∠所以3tan CD ACB==+∠即CD的取值范围为．16．【解析】（1）依题有a c += 又222a b c =+所以2,a cb =⎧⎪⎨=⎪⎩所以椭圆W 的方程为2222143x y c c +=又点31,2⎛⎫⎪⎝⎭在椭圆W 上 所以221191434c c +⨯=解得1c =所以椭圆W 的方程为22143x y +=． （2）设()6,P P y ()6,Q Q y 0P Q y y >> ()0,0O ()2,0A因为PQ OA = 所以2P Q y y -= ①圆E 过点O 与A 且与直线6x =相交于两个不同的点P Q ，则圆心E 的坐标为1,2P Q y y +⎛⎫⎪⎝⎭又EO EP = =解得24P Q y y = ②（另法一：设直线6x =与x 轴交于点G ，则有GA GO GQ GP =又4GA = 6GO = 所以24P Q y y = ② 另法二：由OA PQ =知 612P Qy y +=- 10P Q y y += ②）由①②解得6P y = 4Q y =所以()6,4Q 40162M k -==-所以直线QA 的方程为2y x =-与椭圆方程联立消去y 得271640x x -+= 解得B 点的横坐标27B x =所以267Q B QB x x =-=-=又O 到直线QA 的距离d ==所以QOB △的面积11402277S QB d =⋅=⨯=．17．【解析】（1）如图 取CD 的中点O 因为3PC PD ==，则PO CD ⊥因为平面PCD ⊥平面ABCD 平面PCD 平面ABCD CD = PO ⊂平面PCD所以PO ⊥平面ABCD 又BC ⊂平面ABCD所以PO BC ⊥ 又BC PD ⊥ PO ⊂平面PCD PD ⊂平面PCD PD PO P =所以BC ⊥平面PCD ．（2）因为3PC PD == O 为CD 的中点 1OC =所以PO ==过点O 作OE BC ∥交AB 于点E ，则由BC ⊥平面PCD 可得BC CD ⊥，则以O 为原点 OE OCOP 分别为x 轴 y 轴 z 轴建立如图所示的空间直角坐标系则()0,0,0O ()2,3,0A -10,2Q ⎛ ⎝()0,1,0D -(P所以72,2AQ ⎛=- ⎝(DP = ()2,2,0AD =-设与AQ DP 都重直的向量为(),,n x y z =，则720,2220,n AQ x y nDP y ⎧⋅=-++=⎪⎨⎪⋅=+=⎩得3,2,x y z y ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩令4y =，则(6,4,n =设直线AQ与直线DP 的距离为d则12cos ,36AD n d AD AD n n⋅-=⋅===>则不存在点M 和N 使得MN =． 18．【解析】（1）()1f x kx ≥-恒成立即ln 1x x kx ≥-恒成立 又0x > 所以1ln x k x+≥恒成立今()()1ln 0g x x x x =+> 所以()22111x g x x x x ='-=-当01x <<时 ()0g x '< 函数()g x 单调递减 当1x >时 ()0g x '> 函数()g x 单调递增所以当1x =时 ()g x 取到极小值也是最小值 且()11g =所以1k ≤故实数k 的取值范围为(],1-∞．（2）1x 2x 3x 成等比数列且123x x x << 设公比为()1q q >，则21x qx = 231x q x =()ln f x x x =求导得()1ln f x x ='+ 所以()2211ln 1ln ln f x x q x =+=++'直线AC 的斜率为()21131331123131ln 2ln ln ln ln 1q x q x y y x x x x x x x x q +---==---若存在不同的三点A B C 使直线AC 的斜率等于()2f x '则有()21112ln 2ln ln 1ln ln 1q x q x q x q +-=++-整理成221ln 01q q q --=+． 令()()221ln 11x h x x x x -=->+，则()()()()222222114011x xh x x x x x -=-=+'≥+所以()221ln 1x h x x x -=-+在1x >时单调递增 而()10h = 故方程221ln 01q q q --=+在1q >时无实数解 所以不存在不同的三点A B C 使直线AC 的斜率等于()2f x '．19．【解析】（1）设i A =“两个粒子通过第一道逻辑门后上旋粒子个数为i 个” 0i = 1 2B =“两个粒子通过第二道逻辑门后上旋粒子个数为2个” 则()()2021124P A P A ⎛⎫=== ⎪⎝⎭ ()221211C 22P A ⎛⎫== ⎪⎝⎭()019P B A =∣ ()129P B A =∣ ()249P B A =∣则()()()211121414929494i i i P B P A P BA ===⨯+⨯+⨯=∑∣故()()()()()()222214449194P A P BA P AB P A B P B P B ⨯====∣∣． （2）由题知0X = 1 2由（1）知()()()2211112114244P X p p p p ==+-+-=同理可得()()()()21212211111C 11C 14242P X p p p p p p ⎡⎤==-++-+-=⎣⎦则()()()101124P X P X P X ==-=-==故X 的信息熵22111111132log log 42444222H f f f ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=++=⨯--=⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭． （3）由题知()()11n P Y n p p -==- 其中1n = 2 3 …则()()()01111211n EY p p p p n p p -=⋅-+⋅-+⋅⋅⋅+⋅-+⋅⋅⋅又()()111111nni i i i i p p p i p --==⋅-=⋅-∑∑则()()()()1111111211ni n i i p p p n p --=⋅-=⋅-+⋅-+⋅⋅⋅+⋅-∑ ①()()()()()11211111211ni ni p i p p p n p -=-⋅⋅-=⋅-+⋅-+⋅⋅⋅+⋅-∑ ②-①②得：()()()()()1011111111ni n ni p i p p p p n p --=⋅-=-+-+⋅⋅⋅+---∑()()()()111111nnn np p n p n p p p p ---=--=---由题知 当n 无限增大时 ()1np -趋近于零 ()1nn p -趋近于零，则EY 趋近于1p． 所以当n 无限增大时 Y 的数学期望䞨近于一个常数．。