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2019年二模突破冲刺交流试卷（01）高三数学（理）一. 选择题：本大题共12小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中,只有一是符合题目要求的.1.已知复数z 满足(2)5i z i +=(其中i 是虚数单位,满足21i=-),则复数z 的共轭复数在复平面中对应的点在第几象限（ ）A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限2.要得到函数sin 44y x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭的图象，只需要将函数sin 4y x =的图象（ ） A 向左平移π16个单位 B 向右平移π16个单位 C 向左平移π4个单位 D 向右平移π4个单位3.设x R ∈ ，则“31x +< ”是“220x x +-> ”的( )A 充分而不必要条件B 必要而不充分条件C 充要条件D 既不充分也不必要条件4.先后掷骰子两次，落在水平桌面后，记正面朝上的点数分别为x ，y ，设事件A 为“x +y 为偶数”， 事件B 为“x y ≠”，则概率()P B A =（ ）A ．12B ．14C ． 13D ．235. 如果双曲线22221(0,0)x y a b a b -=>>的一条渐近线与直线310x y -+=平行，则双曲线的离心率为（ ） A ．B ．C ． 2D ． 36. 将图1中的等腰直角三角形ABC 沿斜边BC 的中线折起得到空间四面体ABCD(如图2)，则在空间四面体ABCD 中，AD 与BC 的位置关系是( )A ．相交且垂直B ．相交但不垂直C ．异面且垂直D ．异面但不垂直7.已知向量()()2016,2,,2016-==k b k a ρρ的夹角为钝角，则函数()201622++=k k k f 的最小值为（ ）A. 2013B. 2014C. 2015D.20168.已知函数()()sin f x x ωϕ=A +（A ，ω，ϕ均为正的常数）的最小正周期为π，当23x π=时，函数()f x 取得最小值，则下列结论正确的是（ ）A (1)(1)(0)f f f <-<B (0)(1)(1)f f f <<-C (1)(0)(1)f f f -<<D (1)(0)(1)f f f <<- 9.执行如图所示的算法，则输出的结果是（ ）A ．1B ．43C ．54 D ．210.25()x x y ++的展开式中，42x y 的系数为( )A 15B 25C 30D 5011.已知A,B 是球O 的球面上两点，∠AOB=600,C 为该球面上的动点，若三棱锥O-ABC 体积的最大值为183，则球O 的表面积为( ) A ．36π B.64π C.144π D.256π12. 已知函数f(x)=|log 2x|-m(m>0)的零点分别为x 1,x 2(x 1<x 2),函数g(x)=|log 2x|8(0)21m m ->+的零点分别为x 3,x 4(x 3<x 4),则2413x x x x --的最小值为( )A.4√43B.8√43C.4√2D.8√2二.填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分。
2019年高三二模数 学（理科）本试卷共4页，150分。
考试时长120分钟。
考生务必将答案答在答题卡上，在试卷上作答无效。
一、选择题共8小题，每小题5分，共40分。
在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项。
（1）已知集合{1,2,3,4,5},{0,2,4},M N P M N ===I ，则P 的子集共有（A ）2个（B ）4个（C ）6个 （D ）8个（2）若,x y 满足0,1,0.x y x y y -≥⎧⎪+≤⎨⎪≥⎩则2z x y =+的最大值为（A ）0（B ）1（C ）2（D ）23（3）执行如图所示的程序框图，若输入A的值为2，则输出的n 值为 （A ）3 （B ）4 （C ）5 （D ）6（4）在61()2x x -的展开式中，4x 的系数为（A ）3- （B ）12-（C ）3 （D ）6（5）设函数2()sin f x a x x =+，若(1)2f =，则(1)f -=（A ）2 （B ）-2 （C ）1 （D ）0（6）多面体MN ABCD -的底面ABCD 为矩形，其正（主）视图和侧（左）视图如图，其中正（主）视图为等腰梯形，侧（左）视图为等腰三角形，则AM的长为（A 3（B 5（C 6（D ）22（7）已知等差数列{}n a 满足*n a N ∈，且前10项和10290S =，则9a 的最大值为 （A ）29 （B ）49（C ）50（D ）58（8）为促进资源节约型和环境友好型社会建设，引导居民合理用电、节约用电，北京居民生活用电试行阶梯电价. 其标准如下表： 用户类别 分档电量 （千瓦时/户.月） 电价标准 （元/千瓦时）试行阶梯电 价的用户一档1-240（含） 0.4883 二档 241-400（含） 0.5383 三档400以上0.7883，则该用户1月份的用电量为（A ）350千瓦时 （B ）300千瓦时 （C ）250千瓦时 （D ）200千瓦时二、填空题共6小题，每小题5分，共30分。
-学年第二学期第二次模拟高三数学（理）试卷本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，其中第Ⅱ卷第22～24题为选考题，其它题为必考题。
考生作答时，将答案答在答题卡上，在本试卷上答题无效。
考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
注意事项：1．答题前，考生务必先将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上，认真核对条形码上的姓名、准考证号，并将条形码粘贴在答题卡的指定位置上。
2．选择题答案使用2B铅笔填涂,如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案的标号；非选择题答案使用0.5毫米的黑色中性（签字）笔或碳素笔书写，字体工整、笔迹清楚。
3．请按照题号在各题的答题区域(黑色线框)内作答,超出答题区域书写的答案无效。
4．保持卡面清洁，不折叠，不破损。
5．做选考题时，考生按照题目要求作答，并用2B铅笔在答题卡上把所选题目对应的题号涂黑。
第I卷一、选择题:本大题共12小题,每小题5分,共60分,在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的．1、集合{}B=，则图中阴影部分表3,4,5,6A=，{}1,2,3,4示的集合为A ．φB ．{}1,2C ．{}3,4D ．{}5,6 2、在复平面内，点(2,1)A -，(,)B a b 分别表示复数1z 和2z ，若21z i z =，则a b += A ．3- B ．1- C ．1 D ．3 3、α，β, γ为不同平面，a ，b 为不同直线，命题p ：若αγ⊥，βγ⊥，且a αβ=I ，则a γ⊥；命题q ：若a α⊥，b α⊥，则//a b ，下列命题正确的是A ．p ⌝B ．q ⌝C ．()p q ⌝∧D ．()p q ∨⌝ 4、如图是一个样本的频率分布直方图，由图中数据可估计样本的中位数大约等于A ．12B ．12.5C ．13D ．13.55、如图，棱长为2的正方体1111ABCD A B C D -，E 为棱AD 的中点，则经过点1B 、1D 和E 三点的截面的左视图的面积为A ．1B ．2C ．3D ．46、{}n a 为等差数列，前n 项和为n S ，若1166S =，则3612432a a a ++=A ．27B ．54C ．99D ．1087、ABC ∆中，3A π=，3a =，2b =，则cos C =A ．366+-B ．366+ C ．636- D ．366- 8、有一个长为10米的木棒斜插．．在地面上，点P 是地面内的一个动点，若点P 与木棒的两个端点构成的三角形面积为定值，则点P 的轨迹为A ．椭圆B ．圆C ．两条平等直线D ．双曲线9、执行如图所示的程序框图，如果输入的[2,2]t ∈-，则输出的S 属于 A ．[]1,9- B ．[]3,6-C ．[]3,1--D ．(]2,6- 10、如图，网格中的每个小格均为边长是1的正方形，已知向量a r ，b r，若c xa yb =+r r r ，则x 和y 的值分别为A ．4和0B ．4和 1C ．45-和85D ．85和45-11、在Rt ABC ∆中，1AB AC ==，若一个椭圆经过A 、B 两点，它的一个焦点为点C ，另一个焦点在边AB 上，则这个椭圆的离心率为 A ．2362- B ．21- C ．632- D ．63-12、22()ln f x x x =-，若(0,)απ∈，且(sin )(cos )f f αα>，则α的取值范围为A ．3(0,)(,)44πππU B ．3(,)(,)4224ππππUC ．3(0,)(,)424πππUD ．3(,)(,)424ππππU 第Ⅱ卷本卷包括必考题和选考题两部分．第13题～第21题为必考题，每个试题考生都必须做答．第22题～第24题为选考题，考生根据要求做答．二、填空题（每小题5分，共20分）13、4(12)x x ⋅-展开式按升幂排列的第4项的系数为 。
最新顶级名校高考数学二模试卷（理科）一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．已知集合A={x|﹣2≤x≤3}，B={x|x2+2x﹣8＞0}，则A∪B（）A．（2，3] B．（﹣∞，﹣4）∪[﹣2，+∞）C．[﹣2，2）D．（﹣∞，3]∪（4，+∞）2．已知（﹣1+3i）（2﹣i）=4+3i（其中i是虚数单位，是z的共轭复数），则z的虚部为（）A．1 B．﹣1 C．i D．﹣i3．已知sin（x+）=，则cosx+cos（﹣x）的值为（）A．﹣B．C．﹣D．4．某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积是（）A．2π﹣B．2π﹣C．D．2π﹣25．在如图所示的正方形中随机投掷10000 个点，则落入阴影部分（曲线C为正态分布N（﹣1，1）的密度曲线）的点的个数的估计值（）附“若X～N（μ，a2），则P（μ﹣σ＜X≤μ+σ）=0.6826．p（μ﹣2σ＜X≤μ+2σ）=0.9544．A．1193 B．1359 C．2718 D．34136．某学校10位同学组成的志愿者组织分别由李老师和张老师负责．每次献爱心活动均需该组织4位同学参加．假设李老师和张老师分别将各自活动通知的信息独立、随机地发给4位同学，且所发信息都能收到．则甲冋学收到李老师或张老师所发活动通知信息的概率为（）A．B．C．D．7．设实数x，y满足，则xy的最大值为（）A．B．C．12 D．148．已知椭圆+=1（a＞b＞0）的左焦点F（﹣c，0）关于直线bx+cy=0的对称点P在椭圆上，则椭圆的离心率是（）A．B．C．D．9．据气象部门预报，在距离某码头正西方向400km处的热带风暴中心正以20km/h的速度向东北方向移动，距风暴中心300km以内的地区为危险区，则该码头处于危险区内的时间为（）A．9h B．10h C．11h D．12h10．已知四面体ABCD的顶点A，B，C，D在空间直角坐标系中的坐标分别为，O为坐标原点，则在下列命题中，正确的为（）A．OD⊥平面ABC B．直线OB∥平面ACDC．直线AD与OB所成的角是45°D．二面角D﹣OB﹣A为45°11．已知双曲线C：﹣=1（a＞0，b＞0）的左、右焦点分别为F1，F2，O为坐标原点，P是双曲线在第一象限上的点，直线PO，PF2分别交双曲线C左、右支于另一点M，N，|PF1|=2|PF2|，且∠MF2N=60°，则双曲线C的离心率为（）A．B．C．D．12．设直线y=t与曲线C：y=x（x﹣3）2的三个交点分别为A（a，t），B（b，t），C（c，t），且a＜b＜c．现给出如下结论：①abc的取值范围是（0，4）；②a2+b2+c2为定值；③c﹣a有最小值无最大值．其中正确结论的个数为（）A．0 B．1 C．2 D．3二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13．已知向量=（1，2），=（1，0），=（3，4），若λ为实数，（λ+）⊥，则λ的值为．14．在（x+y）（x+1）4的展开式中x的奇数次幂项的系数之和为32，则y的值是．15．三棱锥P﹣ABC中，平面PAC⊥平面ABC，PA=PC=AB=2，AC=4，∠BAC=30°．若三棱锥P﹣ABC的四个顶点都在同一球面上，则该球的表面积为．16．已知a n=，删除数列{a n}中所有能被2整除的数，剩下的数从小到大排成数列{b n}，则b51= ．三、解答题（本大题共5小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17．在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且a=2b，又sinA，sinC，sinB成等差数列．（Ⅰ）求cos（B+C）的值；（Ⅱ）若，求c的值．18．某城市随机抽取一年内100 天的空气质量指数（AQI）的监测数据，结果统计如表：API [0，50] （50，100] （100，150] （150，200] （200，300] ＞300 空气质量优良轻度污染轻度污染中度污染重度污染天数 6 14 18 27 20 15 （Ⅰ）若本次抽取的样本数据有30 天是在供暖季，其中有8 天为严重污染．根据提供的统计数据，完成下面的2×2 列联表，并判断是否有95%的把握认为“该城市本年的空气严重污染与供暖有关”？非重度污染严重污染合计供暖季非供暖季合计100（Ⅱ）已知某企业每天的经济损失y（单位：元）与空气质量指数x 的关系式为y=试估计该企业一个月（按30 天计算）的经济损失的数学期望．参考公式：K2=P（K2≥k）0.100 0.050 0.025 0.010 0.001k 2.706 3.841 5.024 6.635 10.82819．已知在多面体SP﹣ABCD中，底面ABCD为矩形，AB=PC=1，AD=AS=2，且AS∥CP且AS⊥面ABCD，E为BC的中点．（1）求证：AE∥面SPD；（2）求二面角B﹣PS﹣D的余弦值．20．已知抛物线E：y2=2px（p＞0）上一点M （x0，4）到焦点F 的距离|MF|=x0．（Ⅰ）求E 的方程；（Ⅱ）过F 的直线l 与E 相交于A，B 两点，AB 的垂直平分线l′与E相交于C，D 两点，若=0，求直线l的方程．21．设函数f（x）=e x﹣a（x+1）（e是自然对数的底数，e=2.71828…）．（1）若f'（0）=0，求实数a的值，并求函数f（x）的单调区间；（2）设g（x）=f（x）+，且A（x1，g（x1）），B（x2，g（x2））（x1＜x2）是曲线y=g（x）上任意两点，若对任意的a≤﹣1，恒有g（x2）﹣g（x1）＞m（x2﹣x1）成立，求实数m的取值范围；（3）求证：1n+3n+…+（2n﹣1）n＜．请考生在第22、23、24三题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.解答时请写清题号.[选修4-1：几何证明选讲]22．如图，△ABC是内接于⊙O，AB=AC，直线MN切⊙O于点C，弦BD∥MN，AC与BD相交于点E．（1）求证：△ABE≌△ACD；（2）若AB=6，BC=4，求AE．[选修4-4：坐标系与参数方程]．23．将圆x2+y2=1上每一点的横坐标变为原来的2倍，纵坐标变为原来的3 倍，得曲线Γ．（Ⅰ）写出Γ的参数方程；（Ⅱ）设直线l：3x+2y﹣6=0与Γ的交点为P1，P2，以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，求过线段P1P2的中点且与l 垂直的直线的极坐标方程．[选修4-5：不等式选讲]．24．已知函数f（x）=|x+a|+|x﹣2|（1）当a=﹣3时，求不等式f（x）≥3的解集；（2）若f（x）≤|x﹣4|的解集包含[1，2]，求a的取值范围．参考答案与试题解析一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．已知集合A={x|﹣2≤x≤3}，B={x|x2+2x﹣8＞0}，则A∪B（）A．（2，3] B．（﹣∞，﹣4）∪[﹣2，+∞）C．[﹣2，2）D．（﹣∞，3]∪（4，+∞）【考点】并集及其运算．【分析】求出B中不等式的解集确定出B，找出A与B的并集即可．【解答】解：由B中不等式变形得：（x﹣2）（x+4）＞0，解得：x＜﹣4或x＞2，即B=（﹣∞，﹣4）∪（2，+∞），∵A=[﹣2，3]，∴A∪B=（﹣∞，﹣4）∪[﹣2，+∞），故选：B．2．已知（﹣1+3i）（2﹣i）=4+3i（其中i是虚数单位，是z的共轭复数），则z的虚部为（）A．1 B．﹣1 C．i D．﹣i【考点】复数代数形式的乘除运算．【分析】利用复数的代数形式混合运算化简求解复数即可．【解答】解：（﹣1+3i）（2﹣i）=4+3i，可得==+1﹣3i==2﹣i，z=2+i，复数的虚部为：1．故选：A．3．已知sin（x+）=，则cosx+cos（﹣x）的值为（）A．﹣B．C．﹣D．【考点】两角和与差的余弦函数．【分析】根据两角和差的余弦公式和正弦公式计算即可．【解答】解：cosx+cos（﹣x）=cosx+cosx+sinx=cosx+sinx=sin（x+）=，故选：B．4．某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积是（）A．2π﹣B．2π﹣C．D．2π﹣2【考点】由三视图求面积、体积．【分析】几何体为圆柱中挖去一个正四棱锥．【解答】解：由三视图可知该几何体为圆柱挖去一个四棱锥得到的，圆柱的底面半径为1，高为2，棱锥的底面为正方形，边长为，棱锥的高为1，∴几何体的体积V=π×12×2﹣=2π﹣．故选A．5．在如图所示的正方形中随机投掷10000 个点，则落入阴影部分（曲线C为正态分布N（﹣1，1）的密度曲线）的点的个数的估计值（）附“若X～N（μ，a2），则P（μ﹣σ＜X≤μ+σ）=0.6826．p（μ﹣2σ＜X≤μ+2σ）=0.9544．A．1193 B．1359 C．2718 D．3413【考点】正态分布曲线的特点及曲线所表示的意义．【分析】根据正态分布的定义，可以求出阴影部分的面积，也就是x在（0，1）的概率．【解答】解：正态分布的图象如下图：正态分布N（﹣1，1）则在（0，1）的概率如上图阴影部分，其概率为×[P（μ﹣2σ＜X≤μ+2σ）﹣P（μ﹣σ＜X≤μ+σ）]=×（0.9544﹣0.6826）=0.1359；即阴影部分的面积为0.1359；所以点落入图中阴影部分的概率为p==0.1359；投入10000个点，落入阴影部分的个数期望为10000×0.1359=1359．故选B．6．某学校10位同学组成的志愿者组织分别由李老师和张老师负责．每次献爱心活动均需该组织4位同学参加．假设李老师和张老师分别将各自活动通知的信息独立、随机地发给4位同学，且所发信息都能收到．则甲冋学收到李老师或张老师所发活动通知信息的概率为（）A．B．C．D．【考点】古典概型及其概率计算公式．【分析】设A表示“甲同学收到李老师所发活动信息”，设B表示“甲同学收到张老师所发活动信息”，由题意P（A）=P（B）=，p（A+B）=P（A）+P（B）﹣P（A）P（B），能求出甲冋学收到李老师或张老师所发活动通知信息的概率．【解答】解：设A表示“甲同学收到李老师所发活动信息”，设B表示“甲同学收到张老师所发活动信息”，由题意P（A）==，P（B）=，∴甲冋学收到李老师或张老师所发活动通知信息的概率为：p（A+B）=P（A）+P（B）﹣P（A）P（B）==．故选：C．7．设实数x，y满足，则xy的最大值为（）A．B．C．12 D．14【考点】简单线性规划．【分析】作出不等式组对应的平面区域，利用基本不等式进行求解即可．【解答】解：法1：作出不等式组对应的平面区域如图由图象知y≤10﹣2x，则xy≤x（10﹣2x）=2x（5﹣x））≤2（）2=，当且仅当x=，y=5时，取等号，经检验（，5）在可行域内，故xy的最大值为，法2：设z=xy，则y=为双曲线，要使z=xy最大，则z＞0，∵由图象可知当z=xy与2x+y=10相切时，z=xy取得最大值，∴2x+=10即2x2﹣10x+z=0，由判别式△=100﹣8z=0，得x==，即xy的最大值为，故选：A8．已知椭圆+=1（a＞b＞0）的左焦点F（﹣c，0）关于直线bx+cy=0的对称点P在椭圆上，则椭圆的离心率是（）A．B．C．D．【考点】椭圆的简单性质．【分析】设出P的坐标，利用对称知识，结合椭圆方程推出椭圆几何量之间的关系，然后求解离心率即可．【解答】解：设P（m，n），由题意可得，∴m=，n=﹣，代入椭圆+=1，解得e2（4e4﹣4e2+1）+4e2=1，可得，4e6+e2﹣1=0．即4e6﹣2e4+2e4﹣e2+2e2﹣1=0，可得（2e2﹣1）（2e4+e2+1）=0解得e=．故选：D．9．据气象部门预报，在距离某码头正西方向400km处的热带风暴中心正以20km/h的速度向东北方向移动，距风暴中心300km以内的地区为危险区，则该码头处于危险区内的时间为（）A．9h B．10h C．11h D．12h【考点】解三角形的实际应用．【分析】作出示意图，在风暴中心行进路线上取两点C，D使得到码头A的距离均为300km，利用勾股定理求出CD，则影响时间为．【解答】解：设码头为A，风暴中心开始位置为B，码头开始受风暴影响时风暴中心为C，码头结束风暴影响时风暴中心为D，则AB=400，AC=AD=300，∠B=45°，过A作AE⊥BD于E，则AE=ABsinB=200，∴CE==100，∴CD=2CE=200，∴码头受风暴影响时间为=10h．故选：B．10．已知四面体ABCD的顶点A，B，C，D在空间直角坐标系中的坐标分别为，O为坐标原点，则在下列命题中，正确的为（）A．OD⊥平面ABC B．直线OB∥平面ACDC．直线AD与OB所成的角是45°D．二面角D﹣OB﹣A为45°【考点】空间中直线与平面之间的位置关系．【分析】在A中，求出=（﹣），=（﹣1，1，0），=（﹣1，0，1），利用向量法得OD⊥平面ABC；在B中，求出平面ACD的法向量，利用向量法得到直线OB ∥平面ACD不成立；在C中，求出=（0，1，0），=（﹣），利用向量法得到直线AD与OB所成的角不是45°；在D中，由得量法得到二面角D﹣OB﹣A为135°．【解答】解：在A中：∵四面体ABCD的顶点A，B，C，D在空间直角坐标系中的坐标分别为，O为坐标原点，∴=（﹣），=（﹣1，1，0），=（﹣1，0，1），=，==0，∴OD⊥AB，OD⊥AC，又AB∩AC=A，∴OD⊥平面ABC，故A正确；在B中：∵=（0，1，0），=（﹣1，0，1），=（﹣），设平面ACD的法向量=（x，y，z），∴，取x=1，得=（1，﹣5，1），∵=﹣5≠0，∴直线OB∥平面ACD不成立，故B错误；在C中：∵=（0，1，0），=（﹣），∴cos＜＞===﹣，∴直线AD与OB所成的角不是45°，故C错误；在D中：=（0，1，0），=（1，0，0），=（﹣），设平面AOB的法向量=（a，b，c），则，∴=（0，0，1），设平面AOD的法向量=（x1，y1，z1），则，取y1=1，得=（0，1，﹣1），cos＜＞===﹣，∴二面角D﹣OB﹣A为135°，故D错误．故选：A．11．已知双曲线C：﹣=1（a＞0，b＞0）的左、右焦点分别为F1，F2，O为坐标原点，P是双曲线在第一象限上的点，直线PO，PF2分别交双曲线C左、右支于另一点M，N，|PF1|=2|PF2|，且∠MF2N=60°，则双曲线C的离心率为（）A．B．C．D．【考点】双曲线的简单性质．【分析】由题意，|PF1|=2|PF2|，|PF1|﹣|PF2|=2a，可得|PF1|=4a，|PF2|=2a，由∠MF2N=60°，可得∠F1PF2=60°，由余弦定理可得4c2=16a2+4a2﹣2•4a•2a•cos60°，即可求出双曲线C的离心率．【解答】解：由题意，|PF1|=2|PF2|，|PF1|﹣|PF2|=2a，∴|PF1|=4a，|PF2|=2a，∵∠MF2N=60°，∴∠F1PF2=60°，由余弦定理可得4c2=16a2+4a2﹣2•4a•2a•cos60°，∴c=a，∴e==．故选：B．12．设直线y=t与曲线C：y=x（x﹣3）2的三个交点分别为A（a，t），B（b，t），C（c，t），且a＜b＜c．现给出如下结论：①abc的取值范围是（0，4）；②a2+b2+c2为定值；③c﹣a有最小值无最大值．其中正确结论的个数为（）A．0 B．1 C．2 D．3【考点】函数的图象．【分析】作出f（x）=x（x﹣3）2的函数图象，判断t的范围，根据f（x）的变化率判断c﹣a的变化情况，构造函数g（x）=x（x﹣3）2﹣t，根据根与系数的关系得出abc，a2+b2+c2，c ﹣a的值进行判断．【解答】解：令f（x）=x（x﹣3）2=x3﹣6x2+9x，f′（x）=3x2﹣12x+9，令f′（x）=0得x=1或x=3．当x＜1或x＞3时，f′（x）＞0，当1＜x＜3时，f′（x）＜0．∴f（x）在（﹣∞，1）上是增函数，在（1，3）上是减函数，在（3，+∞）上是增函数，当x=1时，f（x）取得极大值f（1）=4，当x=3时，f（x）取得极小值f（3）=0．作出函数f（x）的图象如图所示：∵直线y=t与曲线C：y=x（x﹣3）2有三个交点，∴0＜t＜4．令g（x）=x（x﹣3）2﹣t=x3﹣6x2+9x﹣t，则a，b，c是g（x）的三个实根．∴abc=t，a+b+c=6，ab+bc+ac=9，∴a2+b2+c2=（a+b+c）2﹣2（ab+bc+ac）=18．由函数图象可知f（x）在（0，1）上的变化率逐渐减小，在（3，4）上的变化率逐渐增大，∴c﹣a的值先增大后减小，故c﹣a存在最大值，不存在最小值．故①，②正确，故选：C．二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13．已知向量=（1，2），=（1，0），=（3，4），若λ为实数，（λ+）⊥，则λ的值为．【考点】平面向量的坐标运算．【分析】由题意可得λ+的坐标，利用（λ+）⊥，数量积为0，代入数据可得关于λ的方程，解之可得．【解答】解：由题意可得λ+=（1+λ，2λ）∵（λ+）⊥，∴（λ+）•=0，代入数据可得3（1+λ）+4×2λ=0，解之可得λ=﹣故答案为：．14．在（x+y）（x+1）4的展开式中x的奇数次幂项的系数之和为32，则y的值是 3 ．【考点】二项式定理的应用．【分析】把（x+1）4 按照二项式定理展开，可得（x+y）（x+1）4的展开式中x的奇数次幂项的系数之和为1+6+1+4y+4y=32，由此求得y的值．【解答】解：∵（x+y）（x+1）4 =（x+y）（x4+4x3+6x2+4x+1）=x5+4x4+6x3+4x2+x+y•x4+4yx3+6yx2+4yx+y，∴展开式中x的奇数次幂项的系数之和为1+6+1+4y+4y=32，∴y=3，故答案为：3．15．三棱锥P﹣ABC中，平面PAC⊥平面ABC，PA=PC=AB=2，AC=4，∠BAC=30°．若三棱锥P﹣ABC的四个顶点都在同一球面上，则该球的表面积为18π．【考点】球的体积和表面积．【分析】求出BC，可得△ABC外接圆的半径，从而可求该三棱锥的外接球的半径，即可求出三棱锥的外接球表面积．【解答】解：∵AB=2，AC=4，∠BAC=30°，∴BC==2，∴三角形ABC的外接圆直径AC=4，设球心为O，AC的中点为D，球的半径为R，则PD=2∴R2=（2﹣R）2+4，则有该三棱锥的外接球的半径R=，∴该三棱锥的外接球的表面积为S=4πR2=4π×（）2=18π．故答案为：18π．16．已知a n=，删除数列{a n}中所有能被2整除的数，剩下的数从小到大排成数列{b n}，则b51= 5151 ．【考点】数列的概念及简单表示法．【分析】求出数列{a n}的前8项，由不能被2整除，剩下的数从小到大排成数列{b n}，则b51=a101，由此能求出结果．【解答】解：∵a n=，∴，，=6，，，，，，…∵a n=，删除数列{a n}中所有能被2整除的数，剩下的数从小到大排成数列{b n}，∴b51=a101==5151．故答案为：5151．三、解答题（本大题共5小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17．在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且a=2b，又sinA，sinC，sinB成等差数列．（Ⅰ）求cos（B+C）的值；（Ⅱ）若，求c的值．【考点】余弦定理的应用；正弦定理．【分析】（Ⅰ）利用等差数列以及正弦定理以及已知条件，通过两角和的余弦函数以及余弦定理求cos（B+C）的值；（Ⅱ）利用第一问的结果，通过，即可求c的值．【解答】（本小题满分12分）解：（Ⅰ）∵sinA，sinC，sinB成等差数列，∴sinA+sinB=2sinC，由正弦定理得a+b=2c，又a=2b，可得，]∴，∵A+B+C=π，∴B+C=π﹣A，∴．（Ⅱ）由，得，∴，∴，解得．18．某城市随机抽取一年内100 天的空气质量指数（AQI）的监测数据，结果统计如表：API [0，50] （50，100] （100，150] （150，200] （200，300] ＞300 空气质量优良轻度污染轻度污染中度污染重度污染天数 6 14 18 27 20 15 （Ⅰ）若本次抽取的样本数据有30 天是在供暖季，其中有8 天为严重污染．根据提供的统计数据，完成下面的2×2 列联表，并判断是否有95%的把握认为“该城市本年的空气严重污染与供暖有关”？非重度污染严重污染合计供暖季22 8 30非供暖季63 7 70合计85 15 100（Ⅱ）已知某企业每天的经济损失y（单位：元）与空气质量指数x 的关系式为y=试估计该企业一个月（按30 天计算）的经济损失的数学期望．0.100 0.050 0.025 0.010 0.001参考公式：K2=P（K2≥k）k 2.706 3.841 5.024 6.635 10.828【考点】独立性检验的应用；分段函数的应用．【分析】（Ⅰ）列出2×2列联表，由公式，得到结果．（Ⅱ）由分段函数，得到各段的概率，由此得到数学期望．【解答】解：（Ⅰ）根据题设中的数据得到如下2×2列联表：非严重污染严重污染总计供暖季22 8 30非供暖季63 7 70总计85 15 100将2×2列联表中的数据代入公式计算，得：K2=≈4.575．∵4.575＞3.841∴由95%的把握认为：“该城市本年的空气严重污染与供暖有关”（Ⅱ）任选一天，设该天的经济损失为X元，则：P（X=0）=P（0≤x≤100）=P（X=400）=P=，P（X=2000）=P（x＞300）=∴E（X）=0×+400×+2000×=560．∴该企业一个月（按30 天计算）的经济损失的数学期望为30×E（X）=16800元．19．已知在多面体SP﹣ABCD中，底面ABCD为矩形，AB=PC=1，AD=AS=2，且AS∥CP且AS⊥面ABCD，E为BC的中点．（1）求证：AE∥面SPD；（2）求二面角B﹣PS﹣D的余弦值．【考点】二面角的平面角及求法；直线与平面平行的判定．【分析】（1）取SD的中点F，连接PF，过F作FQ⊥面ABCD，交AD于Q，连接QC，推导出CPFQ为平行四边形，四边形AECQ为平行四边形，从而AE∥PF，由此能证明AE∥面SPD．（2）分别以AB，AD，AS所在的直线为x，y，z轴，以A点为坐标原点建立空间直角坐标系A﹣xyz，能求出二面角B﹣PS﹣D的余弦值．【解答】证明：（1）取SD的中点F，连接PF，过F作FQ⊥面ABCD，交AD于Q，连接QC，∵AS⊥面ABCD，∴AS∥FQ，QF为SD的中点，∴Q为AD的中点，FQ=AS，PC=AS，∴FQ=PC，且FQ∥PC，∴CPFQ为平行四边形，∴PF∥CQ，又∵AQ∥∥EC，AQ=EC，∴四边形AECQ为平行四边形，∴AE∥CQ，又PF∥CQ，∴AE∥PF，∴PF⊂面SPD，AE⊄面SPD，∴AE∥面SPD．解：（2）分别以AB，AD，AS所在的直线为x，y，z轴，以A点为坐标原点建立空间直角坐标系A﹣xyz，则B（1，0，0），D（0，2，0），S（0，0，2），P（1，2，1），=（1，2，﹣1），=（1，0，﹣2），=（0，2，﹣2），设面BPS与面SPD的法向量分别为=（x，y，z），=（a，b，c），则，即，取z=2，得=（4，﹣1，2），，即，取c=1，得=（﹣1，1，1），两平面的法向量所成的角的余弦值为：cos＜＞===﹣．∵二面角B﹣PS﹣D为钝角，∴该二面角的余弦值为﹣．20．已知抛物线E：y2=2px（p＞0）上一点M （x0，4）到焦点F 的距离|MF|=x0．（Ⅰ）求E 的方程；（Ⅱ）过F 的直线l 与E 相交于A，B 两点，AB 的垂直平分线l′与E相交于C，D 两点，若=0，求直线l的方程．【考点】抛物线的简单性质．【分析】（Ⅰ）设抛物线E：y2=2px（p＞0）上一点M（x0，4）到焦点F的距离|MF|=x0．x0+=x0，16=2px0，求得p的值，可得C的方程；（Ⅱ）设l的方程为x=my+1 （m≠0），代入抛物线方程化简，利用韦达定理、中点公式、弦长公式求得弦长|AB|．把直线l′的方程代入抛物线方程化简，利用韦达定理、弦长公式求得|CD|．由于CD垂直平分线段AB，故ACBD四点共圆等价于|AH|=|BH|=|CD|，由此求得m的值，可得直线l的方程．【解答】解：（Ⅰ）抛物线E：y2=2px（p＞0）上一点M（x0，4）到焦点F的距离|MF|=x0．可得x0+=x0，又16=2px0，解得p=2，则E的方程为y2=4x；（Ⅱ）由题意可得，直线l和坐标轴不垂直，y2=4x的焦点F（1，0），设l的方程为x=my+1（m≠0），代入抛物线方程可得y2﹣4my﹣4=0，显然判别式△=16m2+16＞0，y1+y2=4m，y1•y2=﹣4．可得AB的中点坐标为G（2m2+1，2m），弦长|AB|=•|y1﹣y2|=•=4（m2+1）．又直线l′的斜率为﹣m，可得直线l′的方程为x=﹣y+2m2+3．过F的直线l与C相交于A、B两点，若AB的垂直平分线l′与E相交于C，D两点，把l′的方程代入抛物线方程可得y2+y﹣4（2m2+3）=0，可得y3+y4=﹣，y3•y4=﹣4（2m2+3）．故线段CD的中点H的坐标为（+2m2+3，﹣），即有|CD|=•|y3﹣y4|=•=，由•=0，故ACBD四点共圆等价于|AH|=|BH|=|CD|，即AB2+GH2=CD2，可得4（m2+1）2 +（2m+）2+（+2）2=（）2，化简可得m2﹣1=0，即m=±1，可得直线l的方程为x﹣y﹣1=0，或x+y﹣1=0．21．设函数f（x）=e x﹣a（x+1）（e是自然对数的底数，e=2.71828…）．（1）若f'（0）=0，求实数a的值，并求函数f（x）的单调区间；（2）设g（x）=f（x）+，且A（x1，g（x1）），B（x2，g（x2））（x1＜x2）是曲线y=g（x）上任意两点，若对任意的a≤﹣1，恒有g（x2）﹣g（x1）＞m（x2﹣x1）成立，求实数m的取值范围；（3）求证：1n+3n+…+（2n﹣1）n＜．【考点】利用导数求闭区间上函数的最值；利用导数研究函数的单调性．【分析】（1）由f′（x）=e x﹣a，f'（0）=0，得a=1，从而f′（x）=e x﹣1，由此利用导数性质能求出函数f（x）的单调区间．（2）由＞m，（x1＜x2）变形得：g（x2）﹣mx2＞g（x1）﹣mx1，令函数F（x）=g（x）﹣mx，则F（x）在R上单调递增，从而m≤g′（x）在R上恒成立，由此能求出实数m的取值范围．（3）e x≥x+1，取（i=1，3，…，2n﹣1）得，由此利用累加法能证明．【解答】解：（1）∵f（x）=e x﹣a（x+1），∴f′（x）=e x﹣a，∵f′（0）=1﹣a=0，∴a=1，∴f′（x）=e x﹣1，由f′（x）=e x﹣1＞0，得x＞0；由f′（x）=e x﹣1＜0，得x＜0，∴函数f（x）的单调增区间为（0，+∞），单调减区间为（﹣∞，0）．…（2）由＞m，（x1＜x2）变形得：g（x2）﹣mx2＞g（x1）﹣mx1，令函数F（x）=g（x）﹣mx，则F（x）在R上单调递增，∴F′（x）=g′（x）﹣m≥0，即m≤g′（x）在R上恒成立，，故m≤3．∴实数m的取值范围是（﹣∞，3]．证明：（3）由（1）知e x≥x+1，取（i=1，3，…，2n﹣1）得，，即，累加得：．∴．…请考生在第22、23、24三题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.解答时请写清题号.[选修4-1：几何证明选讲]22．如图，△ABC是内接于⊙O，AB=AC，直线MN切⊙O于点C，弦BD∥MN，AC与BD相交于点E．（1）求证：△ABE≌△ACD；（2）若AB=6，BC=4，求AE．【考点】圆內接多边形的性质与判定；与圆有关的比例线段．【分析】（1）在两个三角形中，证明两个三角形全等，找出三角形全等的条件，根据同弧所对的圆周角相等，根据所给的边长相等，由边角边确定两个三角形是全等三角形．（2）根据角的等量代换得到一个三角形中两个角相等，得到等腰三角形，得到BE=4，可以证明△ABE与△DEC相似，得到对应边成比例，设出要求的边长，得到关于边长的方程，解方程即可．【解答】（1）证明：在△ABE和△ACD中，∵AB=AC，∠ABE=∠ACD又∠BAE=∠EDC∵BD∥MN∴∠EDC=∠DCN∵直线是圆的切线，∴∠DCN=∠CAD∴∠BAE=∠CAD∴△ABE≌△ACD（2）解：∵∠EBC=∠BCM∠BCM=∠BDC∴∠EBC=∠BDC=∠BACBC=CD=4又∠BEC=∠BAC+∠ABE=∠EBC+∠ABE=∠ABC=∠ACB∴BC=BE=4设AE=x，易证△ABE∽△DEC∴∴DE=又AE•EC=BE•ED EC=6﹣x∴4×∴x=即要求的AE的长是[选修4-4：坐标系与参数方程]．23．将圆x2+y2=1上每一点的横坐标变为原来的2倍，纵坐标变为原来的3 倍，得曲线Γ．（Ⅰ）写出Γ的参数方程；（Ⅱ）设直线l：3x+2y﹣6=0与Γ的交点为P1，P2，以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，求过线段P1P2的中点且与l 垂直的直线的极坐标方程．【考点】简单曲线的极坐标方程；椭圆的简单性质．【分析】（1）首先，设出所求点的坐标，然后，建立坐标之间的关系式，求解其普通方程，再将其化为参数方程即可；（2）联立方程组，然后，解得两个交点坐标，从而确定其中点坐标，从而求解其直线方程，再化为极坐标形式即可．【解答】解：（1）设点（x1，y1）为圆上的任意一点，在已知变换下变为T上点（x，y），根据题意，得，即，根据，得，即曲线T的方程为，所以，曲线T的参数方程为（t为参数）．（2）联立方程组，解得或，不妨设点P1（2，0），P2（0，3），则线段的中点坐标为（1，），所求直线的斜率k=，于是所求直线方程为：y﹣=（x﹣1），即4x﹣6y+5=0，将此化为极坐标方程，得到4ρcosθ﹣6ρsinθ+5=0．[选修4-5：不等式选讲]．24．已知函数f（x）=|x+a|+|x﹣2|（1）当a=﹣3时，求不等式f（x）≥3的解集；（2）若f（x）≤|x﹣4|的解集包含[1，2]，求a的取值范围．【考点】绝对值不等式的解法；带绝对值的函数．【分析】（1）不等式等价于，或，或，求出每个不等式组的解集，再取并集即得所求．（2）原命题等价于﹣2﹣x≤a≤2﹣x在[1，2]上恒成立，由此求得求a的取值范围．【解答】解：（1）当a=﹣3时，f（x）≥3 即|x﹣3|+|x﹣2|≥3，即①，或②，或③．解①可得x≤1，解②可得x∈∅，解③可得x≥4．把①、②、③的解集取并集可得不等式的解集为{x|x≤1或x≥4}．（2）原命题即f（x）≤|x﹣4|在[1，2]上恒成立，等价于|x+a|+2﹣x≤4﹣x在[1，2]上恒成立，等价于|x+a|≤2，等价于﹣2≤x+a≤2，﹣2﹣x≤a≤2﹣x在[1，2]上恒成立．故当1≤x≤2时，﹣2﹣x的最大值为﹣2﹣1=﹣3，2﹣x的最小值为0，故a的取值范围为[﹣3，0]．2016年10月17日。
最新全国第二次大联考高考数学模拟试卷（新课标Ⅰ）（理科）一、选择题（本大题共12个小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．）1．设集合A={x|x2﹣x﹣6＜0，x∈R}，B={y|y=|x|﹣3，x∈A}，则A∩B等于（）A．{x|0＜x＜3} B．{x|﹣1＜x＜0} C．{x|﹣2＜x＜0} D．{x|﹣3＜x＜3}2．命题p：∃x0∈R，不等式成立，则p的否定为（）A．∃x0∈R，不等式成立B．∀x∈R，不等式cosx+e x﹣1＜0成立C．∀x∈R，不等式cosx+e x﹣1≥0成立D．∀x∈R，不等式cosx+e x﹣1＞0成立3．在复平面内复数的模为，则复数z﹣bi在复平面上对应的点在（）A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限4．我国数学史上有一部堪与欧几里得《几何原本》媲美的书，这就是历来被尊为算经之首的《九章算术》，其中卷第五《商功》有一道关于圆柱体的体积试题：今有圆堡，周四丈八尺，高一丈一尺，问积几何？其意思是：含有圆柱形的土筑小城堡，底面周长是4丈8尺，高1丈1尺，问它的体积是多少？若π取3，估算小城堡的体积为（）A．1998立方尺B．2012立方尺C．2112立方尺D．2324立方尺5．cos54°+cos66°﹣cos6°=（）A．0 B．C．D．16．已知双曲线=1（a＞b＞0）与两条平行直线l1：y=x+a与l2：y=x﹣a相交所得的平行四边形的面积为6b2．则双曲线的离心率是（）A．B．C．D．27．如图，已知在等腰梯形ABCD中，AB=4，AB∥CD，∠BAD=45°，E，F，G分别是AB，BC，CD的中点，若在方向上的投影为，则=（）A．1 B．2 C．3 D．48．如图所示，函数离y轴最近的零点与最大值均在抛物线上，则f（x）=（）A．B．C．D．9．某程序框图如图所示，若输出S=，则判断框中M为（）A．k＜7？B．k≤6？C．k≤8？D．k＜8？10．已知（a﹣bx）5的展开式中第4项的系数与含x4的系数分别为﹣80与80，则（a﹣bx）5展开式所有项系数之和为（）A．﹣1 B．1 C．32 D．6411．如图所示是沿圆锥的两条母线将圆锥削去一部分后所得几何体的三视图，其体积为，则圆锥的母线长为（）A．B．C．4 D．12．已知关于x的方程x2﹣2alnx﹣2ax=0有唯一解，则实数a的值为（）A．1 B．C．D．二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13．已知函数为偶函数，则实数a= ．14．已知F是抛物线y2=4x的焦点，过该抛物线上一点M作准线的垂线，垂足为N，若，则∠NMF= ．15．已知实数x、y满足，则的取值范围是．16．如图，已知点D在△ABC的BC边上，且∠DAC=90°，cosC=，AB=6，BD=，则ADsin∠BAD= ．三、解答题（本大题共5小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．）17．设S n是数列{a n}的前n项和，a n＞0，且．（1）求数列{a n}的通项公式；（2）设，T n=b1+b2+…+b n，求证：．18．如图，在直三棱柱ABC﹣A1B1C1（侧棱垂直于底面的棱柱为直棱柱）中，BC=CC1=1，AC=2，∠ABC=90°．（1）求证：平面ABC1⊥平面A1B1C；（2）设D为AC的中点，求平面ABC1与平面C1BD所成锐角的余弦值．19．广场舞是现代城市群众文化、娱乐发展的产物，其兼具文化性和社会性，是精神文明建设成果的一个重要指标和象征.2015年某高校社会实践小组对某小区跳广场舞的人的年龄进行了凋查，随机抽取了40名广场舞者进行调查，将他们年龄分成6段：[20，30），[30，40），[40，50），[50，60），[60，70），[70，80]后得到如图所示的频率分布直方图．（1）估计在40名广场舞者中年龄分布在[40，70）的人数；（2）求40名广场舞者年龄的中位数和平均数的估计值；（3）若从年龄在[20，40）中的广场舞者中任取2名，求这两名广场舞者年龄在[30，40）中的人数X的分布列及数学期望．20．已知椭圆C：+=1（α＞b＞0）的右焦点到直线x﹣y+3=0的距离为5，且椭圆的一个长轴端点与一个短轴端点间的距离为．（1）求椭圆C的方程；（2）在x轴上是否存在点Q，使得过Q的直线与椭圆C交于A、B两点，且满足+为定值？若存在，请求出定值，并求出点Q的坐标；若不存在，请说明理由．21．已知函数f（x）=2ax2+bx+1（e为自然对数的底数）．（1）若，求函数F（x）=f（x）e x的单调区间；（2）若b=e﹣1﹣2a，方程f（x）=e x在（0，1）内有解，求实数a的取值范围．[选讲4-1：几何证明选讲]22．如图，过圆O外一点P作圆的切线PC，切点为C，割线PAB、割线PEF分别交圆O 于A与B、E与F．已知PB的垂直平分线DE与圆O相切．（1）求证：DE∥BF；（2）若，DE=1，求PB的长．[选修4-4：极坐标系与参数方程]23．已知极坐标系的极点与直角坐标系的原点重合，极轴与x轴的非负半轴重合，若曲线C的极坐标方程为ρ=6cosθ+2sinθ，直线l的参数方程为（t为参数）．（1）求曲线C的直角坐标方程与直线l的普通方程；（2）设点Q（1，2），直线l与曲线C交于A，B两点，求|QA|•|QB|的值．[选修4-5：不等式选讲]24．已知函数f（x）=|a﹣3x|﹣|2+x|．（1）若a=2，解不等式f（x）≤3；（2）若存在实数a，使得不等式f（x）≥1﹣a+2|2+x|成立，求实数a的取值范围．最新全国第二次大联考高考数学模拟试卷（新课标Ⅰ）（理科）参考答案与试题解析一、选择题（本大题共12个小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．）1．设集合A={x|x2﹣x﹣6＜0，x∈R}，B={y|y=|x|﹣3，x∈A}，则A∩B等于（）A．{x|0＜x＜3} B．{x|﹣1＜x＜0} C．{x|﹣2＜x＜0} D．{x|﹣3＜x＜3}【考点】交集及其运算．【分析】分别求出关于集合A、B的范围，取交集即可．【解答】解：∵A={x|x2﹣x﹣6＜0，x∈R}={x|﹣2＜x＜3}=（﹣2，3），B={y|y=|x|﹣3，x∈A}=[﹣3，0），则A∩B=（﹣2，0），故选：C．2．命题p：∃x0∈R，不等式成立，则p的否定为（）A．∃x0∈R，不等式成立B．∀x∈R，不等式cosx+e x﹣1＜0成立C．∀x∈R，不等式cosx+e x﹣1≥0成立D．∀x∈R，不等式cosx+e x﹣1＞0成立【考点】全称命题；特称命题．【分析】利用命题的否定定义即可得出．【解答】解：∵命题p：∃x0∈R，不等式成立，则p的否定为：∀x∈R，不等式cosx+e x﹣1≥0成立．故选：C．3．在复平面内复数的模为，则复数z﹣bi在复平面上对应的点在（）A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限【考点】复数代数形式的混合运算；复数求模．【分析】求出b的值，从而求出z﹣bi对应的点所在的象限即可．【解答】解：===+i，故|z|==，解得：b=6，∴z=﹣1+5i，∴z﹣bi=﹣1+5i﹣6i=﹣1﹣i，故复数z﹣bi在复平面上对应的点在第三象限，故选：C．4．我国数学史上有一部堪与欧几里得《几何原本》媲美的书，这就是历来被尊为算经之首的《九章算术》，其中卷第五《商功》有一道关于圆柱体的体积试题：今有圆堡，周四丈八尺，高一丈一尺，问积几何？其意思是：含有圆柱形的土筑小城堡，底面周长是4丈8尺，高1丈1尺，问它的体积是多少？若π取3，估算小城堡的体积为（）A．1998立方尺B．2012立方尺C．2112立方尺D．2324立方尺【考点】旋转体（圆柱、圆锥、圆台）．【分析】根据周长求出城堡的底面半径，代入圆柱的体积公式计算．【解答】解：设圆柱形城堡的底面半径为r，则由题意得2πr=48，∴r=≈8尺．又城堡的高h=11尺，∴城堡的体积V=πr2h=π×64×11≈2112立方尺．故选：C．5．cos54°+cos66°﹣cos6°=（）A．0 B．C．D．1【考点】三角函数的化简求值．【分析】利用和差化积公式，诱导公式化简已知即可计算求值．【解答】解：cos54°+cos66°﹣cos6°=2cos cos﹣cos6°=2cos60°cos（﹣6°）﹣cos6°=cos6°﹣cos6°=0．故选：A．6．已知双曲线=1（a＞b＞0）与两条平行直线l1：y=x+a与l2：y=x﹣a相交所得的平行四边形的面积为6b2．则双曲线的离心率是（）A．B．C．D．2【考点】双曲线的简单性质．【分析】将直线y=x+a代入双曲线的方程，运用韦达定理和弦长公式，再由两平行直线的距离公式，结合平行四边形的面积公式，化简整理，运用双曲线的离心率公式，计算即可得到所求值．【解答】解：由y=x+a代入双曲线的方程，可得（b2﹣a2）x2﹣2a3x﹣a4﹣a2b2=0，设交点A（x1，y1），B（x2，y2），x1+x2=，x1x2=，由弦长公式可得|AB|=•=•=2•，由两平行直线的距离公式可得d=，由题意可得6b2=2••，化为a2=3b2，又b2=c2﹣a2，可得c2=a2，即e==．故选：B．7．如图，已知在等腰梯形ABCD中，AB=4，AB∥CD，∠BAD=45°，E，F，G分别是AB，BC，CD的中点，若在方向上的投影为，则=（）A．1 B．2 C．3 D．4【考点】平面向量数量积的运算．【分析】由题意建立平面直角坐标系，从而利用平面向量的坐标表示化简即可．【解答】解：建立如右图所示的平面直角坐标系，∵，∠BAD=45°，∴设D（x，x），（x＞0），则C（4﹣x，x），G（2，x），E（2，0），F（，），故=（2﹣，），所以在方向上的投影为==，即=，解得，x=1；故CD=4﹣2=2，故=2，故选：B．8．如图所示，函数离y轴最近的零点与最大值均在抛物线上，则f（x）=（）A．B．C．D．【考点】正弦函数的图象．【分析】根据题意，令y=0，求出点（﹣，0）在函数f（x）的图象上，再令y=1，求出点（，1）在函数f（x）的图象上，从而求出φ与ω的值，即可得出f（x）的解析式．【解答】解：根据题意，函数f（x）离y轴最近的零点与最大值均在抛物线上，令y=0，得﹣x2+x+1=0，解得x=﹣或x=1；∴点（﹣，0）在函数f（x）的图象上，∴﹣ω+φ=0，即φ=ω①；又令ωx+φ=，得ωx=﹣φ②；把①代人②得，x=﹣③；令y=1，得﹣x2+x+1=1，解得x=0或x=；即﹣=，解得ω=π，∴φ=ω=，∴f（x）=sin（x+）．故选：C．9．某程序框图如图所示，若输出S=，则判断框中M为（）A．k＜7？B．k≤6？C．k≤8？D．k＜8？【考点】程序框图．【分析】由已知中的程序框图可知：该程序的功能是利用循环结构计算并输出变量S的值，模拟程序的运行过程，分析循环中各变量值的变化情况，可得答案．【解答】解：第一次执行循环体，S=，不满足结束循环的条件，故k=2；第二次执行循环体，S=，不满足结束循环的条件，故k=3；第三次执行循环体，S=，不满足结束循环的条件，故k=4；第四次执行循环体，S=，不满足结束循环的条件，故k=5；第五次执行循环体，S=1，不满足结束循环的条件，故k=6；第六次执行循环体，S=，不满足结束循环的条件，故k=7；第七次执行循环体，S=，不满足结束循环的条件，故k=8；第八次执行循环体，S=，满足结束循环的条件，故退出的循环的条件，应为：k＜8？，故选：D10．已知（a﹣bx）5的展开式中第4项的系数与含x4的系数分别为﹣80与80，则（a﹣bx）5展开式所有项系数之和为（）A．﹣1 B．1 C．32 D．64【考点】二项式定理的应用．【分析】由题意可得ab的方程，解得ab令x=1计算可得．【解答】解：∵（a﹣bx）5的展开式中第4项的系数与含x4的系数分别为﹣80与80，∴a2（﹣b）3=﹣80，a（﹣b）4=80，解得a=1，b=2∴（a﹣bx）5=（1﹣2x）5，令x=1可得（1﹣2x）5=﹣1，∴展开式所有项系数之和为﹣1，故选：A．11．如图所示是沿圆锥的两条母线将圆锥削去一部分后所得几何体的三视图，其体积为，则圆锥的母线长为（）A．B．C．4 D．【考点】简单空间图形的三视图．【分析】由三视图求出圆锥母线，高，底面半径．进而求出锥体的底面积，代入锥体体积公式，可得答案【解答】解：由已知中的三视图，圆锥母线l，圆锥的高h==2，圆锥底面半径为r=，截去的底面弧的圆心角为120°，底面剩余部分为S=πr2+r2sin120°=（l2﹣4）+（l2﹣4），因为几何体的体积为V=Sh=，所以S=π+，所以（l2﹣4）+（l2﹣4）=π+，解得l=2故选：A12．已知关于x的方程x2﹣2alnx﹣2ax=0有唯一解，则实数a的值为（）A．1 B．C．D．【考点】利用导数研究函数的极值；根的存在性及根的个数判断；利用导数求闭区间上函数的最值．【分析】构造函数g（x）=x2﹣2alnx﹣2ax，将方程有唯一解，转化为g（x）=0有唯一解，即可求得a的值．【解答】解：由选项知a＞0，设g（x）=x2﹣2alnx﹣2ax，（x＞0），若方程x2﹣2alnx﹣2ax=0有唯一解，即g（x）=0有唯一解，则g′（x）=2x﹣﹣2a=，令g′（x）=0，可得x2﹣ax﹣a=0，∵a＞0，x＞0，∴x1=（另一根舍去），当x∈（0，x1）时，g′（x）＜0，g（x）在（0，x1）上是单调递减函数；当x∈（x1，+∞）时，g′（x）＞0，g（x）在（x1，+∞）上是单调递增函数，∴当x=x2时，g′（x1）=0，g（x）min=g（x1），∵g（x）=0有唯一解，∴g（x1）=0，∴，∴，∴2alnx1+ax1﹣a=0∵a＞0，∴2lnx1+x1﹣1=0，设函数h（x）=2lnx+x﹣1，∵x＞0时，h（x）是增函数，∴h（x）=0至多有一解，∵h（1）=0，∴方程2lnx1+x1﹣1=0的解为x1=1，即x1==1，∴，∴当a＞0，方程f（x）=2ax有唯一解时a的值为．故选：B．二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13．已知函数为偶函数，则实数a= ﹣1 ．【考点】函数奇偶性的性质．【分析】根据函数奇偶性的定义，结合奇函数f（0）=0进行求解即可．【解答】解：函数的定义域为R，若函数f（x）是偶函数，则g（x）=e x+是奇函数，则f（0）=0，即f（0）=1+a=0，则a=﹣1，故答案为：﹣1．14．已知F是抛物线y2=4x的焦点，过该抛物线上一点M作准线的垂线，垂足为N，若，则∠NMF= ．【考点】抛物线的简单性质．【分析】由，利用抛物线的定义可得：x M+1=，解得x M，代入抛物线方程可得：y M．可得：k MF=tan∠MFx，进而得出．【解答】解：∵，∴x M+1=，解得x M=．代入抛物线方程可得：=4×，解得y M=．取y M=．∴k MF==﹣=tan∠MFx，∴∠MFx=．则∠NMF=．故答案为：．15．已知实数x、y满足，则的取值范围是（﹣1，1] ．【考点】简单线性规划．【分析】易知y=log2x在其定义域上是增函数，从而化为利用线性规划求+的取值范围．【解答】解：由题意作平面区域如下，，的几何意义是点（x，y）与点A（1，1）确定的直线的斜率，易知B（﹣1，0），故==，=﹣1，故﹣1＜≤，故＜+≤2，故﹣1＜log2（+）≤1，故答案为：（﹣1，1]．16．如图，已知点D在△ABC的BC边上，且∠DAC=90°，cosC=，AB=6，BD=，则ADsin∠BAD= ．【考点】正弦定理．【分析】由已知及，可得AC=CD，由余弦定理可解得CD，进而可求AC，即可得解sinB，由正弦定理即可计算ADsin∠BAD=BDsinB的值．【解答】解：∵∠DAC=90°，=，可得：AC=CD，又∵AB=6，，∴在△ABC中，由余弦定理可得：36=（CD）2+（+CD）2﹣2×CD×（+CD）×，∴整理可得：CD2+2CD﹣90=0，解得：CD=3，AC=6，∵AB=AC=6，∴sinB=sinC==，∴在△ABD中，由正弦定理可得：ADsin∠BAD=BDsinB=×=．故答案为：．三、解答题（本大题共5小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．）17．设S n是数列{a n}的前n项和，a n＞0，且．（1）求数列{a n}的通项公式；（2）设，T n=b1+b2+…+b n，求证：．【考点】数列的求和．【分析】（1）通过与S n﹣1=a n﹣1（a n﹣1+3）作差，进而可知数列{a n}是首项、公差均为3的等差数列，计算即得结论；（2）通过（1）裂项可知b n=（﹣），进而并项相加即得结论．【解答】（1）解：∵，S n﹣1=a n﹣1（a n﹣1+3），∴a n=[+3a n﹣（+3a n﹣1）]，整理得：﹣=3（a n+a n﹣1），又∵a n＞0，∴a n﹣a n﹣1=3，又∵a1=a1（a1+3），即a1=3或a1=0（舍），∴数列{a n}是首项、公差均为3的等差数列，∴其通项公式a n=3n；（2）证明：由（1）可知==（﹣），∴T n=b1+b2+…+b n=（﹣+﹣+…+﹣）=（﹣）＜．18．如图，在直三棱柱ABC﹣A1B1C1（侧棱垂直于底面的棱柱为直棱柱）中，BC=CC1=1，AC=2，∠ABC=90°．（1）求证：平面ABC1⊥平面A1B1C；（2）设D为AC的中点，求平面ABC1与平面C1BD所成锐角的余弦值．【考点】二面角的平面角及求法；平面与平面垂直的判定．【分析】（1）由四边形BCC1B1是正方形得BC1⊥B1C，由A1B1⊥平面BCC1B1得出A1B1⊥BC1，故BC1⊥平面A1B1C，从而平面ABC1⊥平面A1B1C；（2）建立空间坐标系，求出平面的法向量，利用向量法即可平面ABC1与平面C1BD所成锐角的余弦值．【解答】证明：（1）∵直三棱柱ABC﹣A1B1C1，BC=CC1，∴四边形BCC1B1是正方形，∴BC1⊥B1C，∵AB⊥BC，AB⊥BB1，BC，BB1⊂平面BCC1B1，BC∩BB1=B，∴AB⊥平面BCC1B1，∵BC1⊂平面BCC1B1，∴AB⊥BC1，又∵AB∥A1B1，∴A1B1⊥BC1，又A1B1⊂平面平面A1B1C，B1C⊂平面A1B1C，A1B1∩B1C=B1，∴BC1⊥平面A1B1C，又BC1⊂平面ABC1，∴平面ABC1⊥平面A1B1C．（2）∵BC=CC1=1，AC=2，∠ABC=90°．∴AB=，建立以B为坐标原点，BC，BA，BB1分别为x，y，z轴的空间直角坐标系如图：则B（0，0，0），C（1，0，0），B1（0，0，1），A（0，，0），C1（1，0，1），D（，，0），设平面ABC1的法向量为=（x，y，z），则=（1，0，1），=（0，，0），则•=x+z=0，•=y=0，令x=1，则z=﹣1，y=0，即平面ABC1的法向量为，=（1，0，﹣1），设平面C1BD的法向量为=（x，y，z），则=（1，0，1），=（，，0），则•=x+z=0，•=x+y=0，令y=1，则x=﹣，z=，即平面C1BD的法向量为，=（﹣，1，），则====﹣则平面ABC1与平面C1BD所成锐角的余弦值是．19．广场舞是现代城市群众文化、娱乐发展的产物，其兼具文化性和社会性，是精神文明建设成果的一个重要指标和象征.2015年某高校社会实践小组对某小区跳广场舞的人的年龄进行了凋查，随机抽取了40名广场舞者进行调查，将他们年龄分成6段：[20，30），[30，40），[40，50），[50，60），[60，70），[70，80]后得到如图所示的频率分布直方图．（1）估计在40名广场舞者中年龄分布在[40，70）的人数；（2）求40名广场舞者年龄的中位数和平均数的估计值；（3）若从年龄在[20，40）中的广场舞者中任取2名，求这两名广场舞者年龄在[30，40）中的人数X的分布列及数学期望．【考点】离散型随机变量的期望与方差；频率分布直方图；离散型随机变量及其分布列．【分析】（1）由频率分布直方图先求出年龄分布在[40，70）的频率，由此能求出在40名广场舞者中年龄分布在[40，70）的人数．（2）利用频率分布图能求出40名广场舞者年龄的中位数和平均数的估计值．（3）从年龄在[20，40）中的广场舞者有6人，其中年龄在[20，30）中的广场舞者有2人，年龄在[30，40）中的广场舞者有4人，X的可能取值为0，1，2，分别求出相应的概率，由此能求出X的分布列和EX．【解答】解：（1）由频率分布直方图得年龄分布在[40，70）的频率为（0.020+0.030+0.025）×10=0.75，∴在40名广场舞者中年龄分布在[40，70）的人数为：40×0.75=30（人）．（2）年龄分布在[20，50）的频率为（0.005+0.010+0.020）×10=0.35，年龄分布在[50，60）的频率为0.3，∴中位数为：50+=55．平均数的估计值为：25×0.05+35×0.1+45×0.2+55×0.3+65×0.25+75×0.1=54．（3）从年龄在[20，40）中的广场舞者有（0.005+0.010）×10×40=6人，其中年龄在[20，30）中的广场舞者有2人，年龄在[30，40）中的广场舞者有4人，∴X的可能取值为0，1，2，P（X=0）==，P（X=1）==，P（X=2）==，∴X的分布列为：X012PEX==．20．已知椭圆C：+=1（α＞b＞0）的右焦点到直线x﹣y+3=0的距离为5，且椭圆的一个长轴端点与一个短轴端点间的距离为．（1）求椭圆C的方程；（2）在x轴上是否存在点Q，使得过Q的直线与椭圆C交于A、B两点，且满足+为定值？若存在，请求出定值，并求出点Q的坐标；若不存在，请说明理由．【考点】椭圆的简单性质．【分析】（1）运用点到直线的距离公式，以及两点的距离公式和a，b，c的关系，解方程可得a，b，进而得到椭圆方程；（2）假设在x轴上存在点Q（m，0），使得过Q的直线与椭圆C交于A、B两点，且满足+为定值．设过Q的直线的参数方程为（t为参数），代入椭圆方程，运用判别式大于0和韦达定理，化简整理，再由同角的平方关系，解方程可得m，即可判断存在Q．【解答】解：（1）右焦点F（c，0）到直线x﹣y+3=0的距离为5，可得=5，解得c=2，由题意可得a2+b2=10，又a2﹣b2=8，解得a=3，b=1，即有椭圆方程为+y2=1；（2）假设在x轴上存在点Q（m，0），使得过Q的直线与椭圆C交于A、B两点，且满足+为定值．设过Q的直线的参数方程为（t为参数），代入椭圆方程x2+9y2=9，可得t2（cos2α+9sin2α）+2mcosα•t+m2﹣9=0，可得△=（2mcosα）2﹣4（cos2α+9sin2α）（m2﹣9）＞0，t1t2=，t1+t2=﹣，则+=+==，=为定值，即有2（m2+9）=18（9﹣m2），解得m=±，代入判别式显然成立．故在x轴上存在点Q（±，0），使得过Q的直线与椭圆C交于A、B两点，且满足+为定值10．21．已知函数f（x）=2ax2+bx+1（e为自然对数的底数）．（1）若，求函数F（x）=f（x）e x的单调区间；（2）若b=e﹣1﹣2a，方程f（x）=e x在（0，1）内有解，求实数a的取值范围．【考点】利用导数研究函数的单调性；函数的零点与方程根的关系．【分析】（1）若a=，求函数的导数，利用函数单调性和导数之间的关系即可求函数f（x）的单调区间；（2）根据函数与方程之间的关系转化为函数存在零点问题，构造函数，求函数的导数，利用函数极值和函数零点之间的关系进行转化求解即可．【解答】解：（1）若a=，F（x）=（x2+bx+1）e x，则F′（x）=（2x+b）e x+（x2+bx+1）e x=[x2+（b+2）x+b+1]e x=（x+1）[x+（b+1）]e x，由F′（x）=0得（x+1）[x+（b+1）]=0，即x=﹣1或x=﹣（b+1），①若b+1=1，即b=0时，F′（x）=（x+1）2e x≥0，此时函数单调递增，单调递增区间为（﹣∞，+∞），②若﹣（b+1）＜﹣1，即b＞0时，由F′（x）＞0得（x+1）[x+（b+1）]＞0，即x＞﹣1或x＜﹣（b+1），此时函数单调递增，单调递增区间为（﹣∞，﹣（b+1）），（﹣1，+∞），由F′（x）＜0得（x+1）[x+（b+1）]＜0，即﹣（b+1）＜x＜﹣1，此时函数单调递减，单调递减区间为（﹣（b+1），﹣1），③若﹣（b+1）＞﹣1，即b＜0时，由F′（x）＞0得（x+1）[x+（b+1）]＞0，解得：x＞﹣（b+1）或x＜﹣1，此时函数单调递增，单调递增区间为（﹣∞，﹣1），（﹣（b+1），+∞），由F′（x）＜0得（x+1）[x+（b+1）]＜0，解得：﹣1＜x＜﹣（b+1），此时函数单调递减，单调递减区间为（﹣1，﹣（b+1））；（2）方程f（x）=e x在（0，1）内有解，即2ax2+bx+1=e x在（0，1）内有解，即e x﹣2ax2﹣bx﹣1=0，设g（x）=e x﹣2ax2﹣bx﹣1，则g（x）在（0，1）内有零点，设x0是g（x）在（0，1）内的一个零点，则g（0）=0，g（1）=0，知函数g（x）在（0，x0）和（x0，1）上不可能单调递增，也不可能单调递减，设h（x）=g′（x），则h（x）在（0，x0）和（x0，1）上存在零点，即h（x）在（0，1）上至少有两个零点，g′（x）=e x﹣4ax﹣b，h′（x）=e x﹣4a，当a≤时，h′（x）＞0，h（x）在（0，1）上递增，h（x）不可能有两个及以上零点，当a≥时，h′（x）＜0，h（x）在（0，1）上递减，h（x）不可能有两个及以上零点，当＜a＜时，令h′（x）=0，得x=ln（4a）∈（0，1），则h（x）在（0，ln（4a））上递减，在（ln（4a），1）上递增，h（x）在（0，1）上存在最小值h（ln（4a））．若h（x）有两个零点，则有h（ln（4a））＜0，h（0）＞0，h（1）＞0，h（ln（4a））=4a﹣4aln（4a）﹣b=6a﹣4aln（4a）+1﹣e，＜a＜，设φ（x）=x﹣xlnx+1﹣x，（1＜x＜e），则φ′（x）=﹣lnx，令φ′（x）=﹣lnx=0，得x=，当1＜x＜时，φ′（x）＞0，此时函数φ（x）递增，当＜x＜e时，φ′（x）＜0，此时函数φ（x）递减，则φ（x）max=φ（）=+1﹣e＜0，则h（ln（4a））＜0恒成立，由h（0）=1﹣b=2a﹣e+2＞0，h（1）=e﹣4a﹣b＞0，得＜a＜，当＜a＜时，设h（x）的两个零点为x1，x2，则g（x）在（0，x1）递增，在（x1，x2）上递减，在（x2，1）递增，则g（x1）＞g（0）=0，g（x2）＜g（1）=0，则g（x）在（x1，x2）内有零点，综上，实数a的取值范围是（，）．[选讲4-1：几何证明选讲]22．如图，过圆O外一点P作圆的切线PC，切点为C，割线PAB、割线PEF分别交圆O 于A与B、E与F．已知PB的垂直平分线DE与圆O相切．（1）求证：DE∥BF；（2）若，DE=1，求PB的长．【考点】与圆有关的比例线段．【分析】（1）由题意可得，∠BED=∠BFE，∠BED=∠DEP，即可证得；（2）由切割线定理，勾股定理，即可计算解得答案．【解答】（1）证明：连接BE，∵DE与圆O相切，∴由弦切角定理可得，∠BED=∠BFE又∵DE垂直平分BP，∴∠BED=∠DEP∴∠BFE=∠DEP，∴DE∥BF；（2）解：由切割线定理，得PC2=PE×PF=12，∵D为线段BP的中点，DE∥BF；∴PF=2PE，∴PF=2，∵DE=1，DE∥BF，PB的垂直平分线DE与圆O相切．∴DE为Rt△PBF的中位线，∴DE=2，在Rt△PBF中，由勾股定理，可得，PB=2．[选修4-4：极坐标系与参数方程]23．已知极坐标系的极点与直角坐标系的原点重合，极轴与x轴的非负半轴重合，若曲线C的极坐标方程为ρ=6cosθ+2sinθ，直线l的参数方程为（t为参数）．（1）求曲线C的直角坐标方程与直线l的普通方程；（2）设点Q（1，2），直线l与曲线C交于A，B两点，求|QA|•|QB|的值．【考点】参数方程化成普通方程；简单曲线的极坐标方程．【分析】（1）对ρ=6cosθ+2sinθ两边同乘ρ，根据极坐标与直角坐标的对应关系得出曲线C的直角坐标方程，将直线的参数方程两式相加消元得出普通方程；（2）求出直线l的标准参数方程，代入曲线的普通方程，利用参数的几何意义得出．【解答】解：（1）∵曲线C的极坐标方程为ρ=6cosθ+2sinθ，∴ρ2=6ρcosθ+2ρsinθ，∴曲线C的直角坐标方程为x2+y2=6x+2y，即（x﹣3）2+（y﹣1）2=10．∵直线l的参数方程为（t为参数），∴x+y=3．即直线l的普通方程为x+y=3．（2）直线l的标准参数方程为，代入曲线C的普通方程得t2+3﹣5=0．∴|QA|•|QB|=|t1t2|=5．[选修4-5：不等式选讲]24．已知函数f（x）=|a﹣3x|﹣|2+x|．（1）若a=2，解不等式f（x）≤3；（2）若存在实数a，使得不等式f（x）≥1﹣a+2|2+x|成立，求实数a的取值范围．【考点】绝对值不等式的解法．【分析】（1）通过讨论x的范围，得到关于x的不等式组，解出取并集即可；（2）由题意知这是一个存在性的问题，须求出不等式左边的最大值，可运用绝对值不等式的性质可得最大值，再令其大于等于a，即可解出实数a的取值范围．【解答】解：（1）a=2时：f（x）=|3x﹣2|﹣|x+2|≤3，或或，解得：﹣≤x≤；（2）不等式f（x）≥1﹣a+2|2+x|成立，即|3x﹣a|﹣|3x+6|≥1﹣a，由绝对值不等式的性质可得||3x﹣a|﹣|3x+6||≤|（3x﹣a）﹣（3x+6）|=|a+6|，即有f（x）的最大值为|a+6|，∴或，解得：a≥﹣．2016年8月17日。
最新高三年级第二次模拟考试数学试卷（理工类）本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，共150分，考试用时120分钟.答题前，考生务必将自己的姓名、准考证号涂写在答题卡上，并在规定位置粘贴考试用条形码。
答卷时，考生务必将答案涂写在答题卡上，答在试卷上的无效。
考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
祝各位考生考试顺利！第Ⅰ卷（选择题共40分）一、选择题：本题共8个小题，每小题5分，共40分.每小题给出的四个选项只有一个符合题目要求.1. i 是虚数单位，已知11+=+bi iai ，则b a +为（A ．2-B ．0C ．2D ．i -12. 执行右图所示的程序框图，则S 的值为（ ） A ．55 B ．65 C ．36 D ．783.已知双曲线的一个焦点为)0,5(1F 它的 渐近线方程为x y 34±=，则该双曲线的方程为( ) A ．191622=-y x B ．191622=-x y C ．116922=-y x D ． 116922=-x y4. 已知函数x x f ln )(=与exx g =)(，则它们的图象交点个数为（ ） A ．0 B ．1 C ．2 D ．不确定5．“2=a ”是“点)0,2(P 不在圆042222=-++-y y a ax x 外”的什么条件（ ）A.充分不必要条件B.必要不充分条件C. 既不充分也不必要条件D. 充要条件6.在三角形ABC 中，A ∠的平分线为AD ，点D 在边BC 上，3=AD ，4=AC ，2=CD ，则A cos 的值为( ) A ．3227B ．43C ．3217-D ．32177.如右图所示，在三角形ABC 中，BC AD ⊥，1=AD ,4=BC ，点E 为AC 的中点，215=•BE DC ，则AB 的长度为( ) A ．2 B ．23C ．2D ．38. 已知))(()(b c a c c f --=，其中c b a -=+1且0,0,0≥≥≥b a c ，则()c f 的取值范围为( ) A ．⎥⎦⎤⎢⎣⎡-1,81B ．[]1,0 C ．⎥⎦⎤⎢⎣⎡41,0D ．⎥⎦⎤⎢⎣⎡-1,91二、填空题（本大题共6个小题，每小题5分，共30分.把答案填在题中横线上.）9.某学校的学生人数为高一年级150人，高二年级180人，高三年级210人，为了调查该学校学生视力情况需要抽取72人作为样本，若采用分层抽样的方式，则高一和高二年级一共抽取的人数为________．10. 在53)2(xx -的二项展开式中，常数项为___________． 11.如右图所示，一款儿童玩具的 三视图中俯视图是以3为半径的圆， 则该儿童玩具的体积为______． 12. 正弦曲线x y sin =与直线x y π2=所围成的封闭图形的面积为．13.如右图所示，圆O 上的弦AB 不为直径，DA 切圆O 于点A ，点E 在BA 的延长线上且AC DE //， 点C 为BD 与圆交点，若2,6,3===CD DE AE ， 则=AD ________．14. 已知函数()a a x x f +-=，()24x x g -=，若存在R x ∈使()()x f x g ≥，则a 的取值范围是____________．三、解答题：（本大题6个题，共80分） 15. （本小题满分13分）已知函数)( 41-)sin2x 62cos()(R x x x f ∈-=π（1）求函数)(x f 的最小正周期及其单调减区间； （2）求函数)(x f 在⎥⎦⎤⎢⎣⎡-0,4π上的最大值和最小值．16. （本小题满分13分）某外语学校的一个社团中有7名同学，其中2人只会法语，2人只会英语，3人既会法语又会英语，现选派3人到法国的学校交流访问． （1）在选派的3人中恰有2人会法语的概率；（2）在选派的3人中既会法语又会英语的人数ξ的分布列与期望．17. （本小题满分13分）如图四棱锥ABCD P -，三角形ABC 为正三角形，边长为2，DC AD ⊥，1=AD ，PO 垂直于平面ABCD 于O ，O 为AC 的中点，1=PO ． （1）证明BO PA ⊥；（2）证明//DO 平面PAB ；（3）平面PAB 与平面PCD 所成二面角的余弦值． 18.（本小题满分13分）椭圆)0( 1:2222>>=+b a by a x C 的右顶点为Q ，O 为坐标原点，过OQ 的中点作x 轴的垂线与椭圆在第一象限交于点A ，点A 的纵坐标为c 23，c 为半焦距． （1）求椭圆的离心率；（2）过点A 斜率为21的直线l 与椭圆交于另一点B ，以AB 为直径的圆过点P(21，29)，求三角形APB 的面积． 19.（本小题满分14分）已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，数列{}n b 为等差数列，0,11>-=n b b （2≥n ）22=+n n a S b 且13223a a a +=．（1） 求{}n a 、{}n b 的通项公式； （2）设n n a c 1=，1112211++⋯++++=n n n c b c b c b T ，证明：25<n T ． 20.（本小题满分14分已知函数x x ae x ae x f xx+--=2212)(． （1）求函数)(x f 在))2(,2(f 处切线方程； （2）讨论函数)(x f 的单调区间；（3）对任意[]1,0,21∈x x ，1)()(12+≤-a x f x f 恒成立，求a 的范围．数学（理）答案9． 44 10。
最新高考数学二模试卷（理科）一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，满分50分．在每小题给出的四个选项中，有一项是符合题目要求的．1．复数z=（i为虚数单位），则|z|（）A．25 B．C． 5 D．2．设函数，则其导函数f′（x）是（）A．最小正周期为2π的奇函数B．最小正周期为2π的偶函数C．最小正周期为π的偶函数D．最小正周期为π的奇函数3．已知圆C：（x﹣a）2+y2=1，直线l：x=1；则：“”是“C上恰有不同四点到l 的距离为”的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件4．如果等差数列{a n}中，a1=﹣11，，则S11=（）A．﹣11 B．10 C．11 D．﹣105．若变量x，y满足约束条件，则z=2x+y的最大值是（）A．4 B．3 C． 2 D． 16．执行如图的程序框图，则输出的λ是（）A．﹣4 B．﹣2 C．0 D．﹣2或07．若x＞0，y＞0，x+2y+2xy=8，则x+2y的最小值是（）A．B．3 C．D． 48．函数f（x）=cos3x+sin2x﹣cosx的最大值是（）A．B．1 C．D． 29．已知M=+++…++，则M=（）A．B．C．D．10．已知平面向量满足：，若，则的取值范围是（）A．B．C．D．二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分．请将答案填在答题卡对应题号位置上．答错位置，书写不清，模棱两可均不得分．11．设随机变量X服从正态分布N（3，1），且P（2≤X≤4）=0.68，则P（X＞4）= ．12．一个几何体的三视图如图，则这个几何体的表面积为．13．在正方体的8个顶点，12条棱的中点，6个面的中心及正方体的中心共27个点中，共线的三点组的个数是．14．已知曲线Γ：ρ=，θ∈R与曲线C：，t∈R相交于A，B两点，又原点O（0，0），则|OA|•|OB|= ．15．在△ABC中，内角A，B，C的所对边分别是a，b，c，有如下下列命题：①若A＞B＞C，则sinA＞sinB＞sinC；②若，则△ABC为等边三角形；③若sin2A=sin2B，则△ABC为等腰三角形；④若（1+tanA）（1+tanB）=2，则△ABC为钝角三角形；⑤存在A，B，C，使得tanAtanBtanC＜tanA+tanB+tanC成立．其中正确的命题为（写出所有正确命题的序号）三、解答题：本大题共6小题，共75分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．16．已知函数f（x）=sin2x+2sinxcosx﹣cos2x，x∈R．求：（Ⅰ）函数f（x）的单调增区间；（Ⅱ）若，求函数f（x）的值域．17．某校一个研究性学习团队从网上查得，某种植物种子在一定条件下的发芽成功的概率为，于是该学习团队分两个小组进行验证性实验．（Ⅰ）第一小组做了5次这种植物种子的发芽实验（每次均种下一粒种子），求他们的实验至少有3次成功的概率；（Ⅱ）第二小组做了若干次发芽实验（每次均种下一粒种子），如果在一次实验中种子发芽成功就停止实验，否则就继续进行下次实验．直到种子发芽成功为止，但实验的次数不超过5次．求这一小组所做的种子发芽实验次数ξ的分布列和期望．18．如图，在四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD是直角梯形，∠BAD=∠CDA=90°，PA ⊥平面ABCD，PA=AD=AB=2，CD=1，M，N分别是PD、PB的中点．（1）证明：直线NC∥平面PAD；（2）求平面MNC与地面ABCD所成的锐二面角的余弦值．（3）求三菱锥P﹣MNC的体积V．19．已知函数，（x≥0），又数列{a n}中，a n＞0，a1=2，该数列的前n项和记为S n，对所有大于1的自然数n都有S n=f（S n﹣1）．（Ⅰ）求{a n}的通项公式；（Ⅱ）记b n=，{b n}其前n项和为T n，证明：T n＜n+1．20．已知F1、F2分别是椭圆的左、右焦点，P是此椭圆上的一动点，并且的取值范围是．（Ⅰ）求此椭圆的方程；（Ⅱ）点A是椭圆的右顶点，直线y=x与椭圆交于B、C两点（C在第一象限内），又P、Q是椭圆上两点，并且满足，求证：向量共线．21．设函数f（x）=xlnx．（Ⅰ）求f（x）的极值；（Ⅱ）设g（x）=f（x+1），若对任意的x≥0，都有g（x）≥mx成立，求实数m的取值范围；（Ⅲ）若0＜a＜b，证明：0＜f（a）+f（b）﹣2f（）＜（b﹣a）ln2．参考答案与试题解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，满分50分．在每小题给出的四个选项中，有一项是符合题目要求的．1．复数z=（i为虚数单位），则|z|（）A．25 B．C． 5 D．考点：复数代数形式的乘除运算；复数求模．专题：数系的扩充和复数．分析：化简复数z，然后求出复数的模即可．解答：解：因为复数z==，所以|z|==．故选C．点评：本题考查复数的代数形式的混合运算，复数的模的求法，考查计算能力．2．设函数，则其导函数f′（x）是（）A．最小正周期为2π的奇函数B．最小正周期为2π的偶函数C．最小正周期为π的偶函数D．最小正周期为π的奇函数考点：导数的运算．专题：导数的概念及应用．分析：函数=﹣cos2x，利用导数的运算法则、函数的奇偶性周期性即可得出．解答：解：∵函数=﹣cos2x，则其导函数f′（x）=2sin2x，∴T==π，f′（﹣x）=﹣2sin2x=﹣f′（x），∴其导函数f′（x）是最小正周期为π的奇函数．故选：D．点评：本题考查了导数的运算法则、函数的奇偶性周期性、诱导公式，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．3．已知圆C：（x﹣a）2+y2=1，直线l：x=1；则：“”是“C上恰有不同四点到l 的距离为”的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件考点：必要条件、充分条件与充要条件的判断．专题：简易逻辑．分析：如图所示，⊙C与直线l．若C上恰有不同四点到l的距离为，可得，即可判断出．解答：解：如图所示，⊙C与直线l．若C上恰有不同四点到l的距离为，则，∴“”是“C上恰有不同四点到l的距离为”的必要不充分条件．故选：B．点评：本题考查了充要条件的判定方法、直线与圆的位置关系，考查了数形结合的思想方法，属于基础题．4．如果等差数列{a n}中，a1=﹣11，，则S11=（）A．﹣11 B．10 C．11 D．﹣10考点：等差数列的性质．专题：等差数列与等比数列．分析：根据等差数列的前n项和S n，可知，结合求得公差，然后再由求得答案．解答：解：由，得，由，得=2，∵a1=﹣11，解得d=2，∴=﹣11+5×2=﹣1，∴S11=﹣11，故选：A．点评：本题主要考查等差数列的求和公式．属基础题．5．若变量x，y满足约束条件，则z=2x+y的最大值是（）A．4 B．3 C． 2 D． 1考点：简单线性规划．专题：不等式的解法及应用．分析：作出不等式组对应的平面区域，利用目标函数的几何意义，求最大值．解答：解：作出不等式组对应的平面区域如图：（阴影部分）．由z=2x+y得y=﹣2x+z，平移直线y=﹣2x+z，由图象可知当直线y=﹣2x+z经过点B时，直线y=﹣2x+z的截距最大，此时z最大．由，解得，即B（1，1），代入目标函数z=2x+y得z=2×1+1=3．即目标函数z=2x+y的最大值为3．故选：B．点评：本题主要考查线性规划的应用，利用目标函数的几何意义，结合数形结合的数学思想是解决此类问题的基本方法．6．执行如图的程序框图，则输出的λ是（）A．﹣4 B．﹣2 C．0 D．﹣2或0考点：程序框图．专题：计算题；图表型．分析：根据框图给出的向量和向量的坐标及λ的值，运用向量的数乘及坐标的加法运算求出的坐标，再求数量积，数量积为0，则两向量垂直，算法结束，输出λ的值，否则，执行λ=λ+1，再判断执行，直至数量积为0结束．解答：解：由，当λ=﹣4时，，此时4×0+（﹣2）×10=﹣20≠0，所以与不垂直，故执行λ=﹣4+1=﹣3，，此时4×1+（﹣2）×7=﹣10≠0，所以与不垂直，故执行λ=﹣3+1=﹣2，，此时4×2+（﹣2）×4=0，与垂直，算法结束，输出λ的值为﹣2．故选B．点评：本题考查了程序框图中的当型循环，考查了运用向量数量积判断两向量是否垂直，若非零向量，则⇔x1x2+y2y2=0，此题是中低档题．7．若x＞0，y＞0，x+2y+2xy=8，则x+2y的最小值是（）A．B． 3 C．D． 4考点：基本不等式．专题：不等式．分析：首先分析题目由已知x＞0，y＞0，x+2y+2xy=8，求x+2y的最小值，猜想到基本不等式的用法，利用a+b≥2代入已知条件，化简为函数求最值解答：解：考察基本不等式x+2y=8﹣x•（2y）≥8﹣（）2（当且仅当x=2y时取等号）整理得（x+2y）2+4（x+2y）﹣32≥0即（x+2y﹣4）（x+2y+8）≥0，又x+2y＞0，所以x+2y≥4（当且仅当x=2y时取等号），则x+2y的最小值是4，故选：D．点评：本题主要考查基本不等式的用法，对于不等式a+b≥2在求最大值最小值的问题中应用非常广泛，需要同学们多加注意，属于基础题．8．函数f（x）=cos3x+sin2x﹣cosx的最大值是（）A．B．1 C．D． 2考点：三角函数的最值．专题：三角函数的求值．分析：化简已知函数换元可得y=t3﹣t2﹣t+1，t∈[﹣1，1]，由导数法判单调性可得当t=时，y取最大值，代值计算可得．解答：解：化简可得f（x）=cos3x+sin2x﹣cosx=cos3x+1﹣cos2x﹣cosx令cosx=t，则t∈[﹣1，1]，换元可得y=t3﹣t2﹣t+1，t∈[﹣1，1]，求导数可得y′=3t2﹣2t﹣1=（3t+1）（t﹣1），令y′=（3t+1）（t﹣1）＜0可解得﹣＜t＜1，令y′=（3t+1）（t﹣1）＞0可解得t＜﹣或t＞1，∴函数y=t3﹣t2﹣t+1在（﹣1，﹣）上单调递增，在（，1）上单调递减，∴当t=时，y取最大值故选：C点评：本题考查三角函数的最值，换元后由导数法判单调性是解决问题的关键，属中档题．9．已知M=+++…++，则M=（）A．B．C．D．考点：数列的求和．专题：计算题；导数的综合应用．分析：由二项式定理得到，两边求定积分得答案．解答：解：由，得：=，∴，即=+++…++，∴M=+++…++=，故选：A．点评：本题考查了数列的求和，考查了数学转化思想方法，关键是二项式定理和定积分的应用，是中档题．10．已知平面向量满足：，若，则的取值范围是（）A．B．C．D．考点：平面向量数量积的运算．专题：平面向量及应用．分析：根据已知条件以线段AB所在直线为x轴，线段AB的中垂线为y轴建立平面直角坐标系，P点和M点关于原点对称，点Q在y轴上，从而设出P，M，A，B，Q的坐标：P（x，y），M（﹣x，﹣y），A（a，0），B（﹣a，0），Q（0，﹣），从而根据|PO|=|a|，便得到，根据两点间距离公式从而求出的范围，从而得出||范围．解答：解：如图，以线段AB所在直线为x轴，线段AB的中垂线为y轴，建立平面直角坐标系；=2，∴Q点在y轴上；设P（x，y），M（﹣x，﹣y），A（a，0），Q（0，）；△PAB为Rt△；∴|PO|=|a|，又0≤；∴；∴；=；∴；∴；∴的取值范围为．故选：C．点评：考查通过建立平面直角坐标系解决向量问题、几何问题的方法，中垂线上的点到线段两端的距离相等，关于原点对称的点的坐标的关系，以及两点间距离公式．二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分．请将答案填在答题卡对应题号位置上．答错位置，书写不清，模棱两可均不得分．11．设随机变量X服从正态分布N（3，1），且P（2≤X≤4）=0.68，则P（X＞4）= 0.16 ．考点：正态分布曲线的特点及曲线所表示的意义．专题：计算题；概率与统计．分析：根据题目中：“正态分布N（3，1）”，画出其正态密度曲线图：根据对称性，由（2≤X≤4）的概率可求出P（X＞4）．解答：解：P（3≤X≤4）=P（2≤X≤4）=0.34，观察图得，∴P（X＞4）=0.5﹣P（3≤X≤4）=0.5﹣0.34=0.16．故答案为：0.16．点评：本题主要考查正态分布曲线的特点及曲线所表示的意义，注意根据正态曲线的对称性解决问题．12．一个几何体的三视图如图，则这个几何体的表面积为（8+2）cm ．考点：由三视图求面积、体积．专题：立体几何．分析：首先根据三视图把几何体的立体图复原出来进一步利用表面积公式求出结果．解答：解：根据三视图得知：该几何体为底面是直角边长为2cm和1cm的直角三角形，高为2cm的直三棱柱则：S表=S侧+2S底=8+2故答案为：（8+2）cm点评：本题考查的知识要点：三视图和几何体的关系，几何体的表面积公式的应用．主要考查学生的应用能力和空间想象能力．13．在正方体的8个顶点，12条棱的中点，6个面的中心及正方体的中心共27个点中，共线的三点组的个数是49 ．考点：计数原理的应用；棱柱的结构特征．专题：计算题；概率与统计．分析：根据题意，结合正方体的结构特征，分3种情况讨论：①、三点都在正方体的棱上，②、以6个面的中心为中点，③、以正方体的中心为中点，分别求出每种情况下三点共线的情况数目，由分类计数原理计算可得答案．解答：解：根据题意，在所给的正方体的27个点中，三点共线的情况有3种：①、三点都在正方体的棱上，正方体有12条棱，即有12种情况；②、以6个面的中心为中点，正方体有6个面，每个面有4种情况，共有4×6=24种情况，③、以正方体的中心为中点，共有26÷2=13种情况，则共有12+24+13=49种，即共线的三点组的个数是49；故答案为：49．点评：本题考查分类计数原理的应用，解题的关键在于掌握正方体的结构特点并判断三点共线的情况．14．已知曲线Γ：ρ=，θ∈R与曲线C：，t∈R相交于A，B两点，又原点O（0，0），则|OA|•|OB|= ．考点：参数方程化成普通方程．专题：坐标系和参数方程．分析：首先把曲线的极坐标方程转换为直角坐标方程，进一步把参数方程转化为直角坐标方程，建立方程组求出交点的坐标，最后利用两点间的距离公式求出结果．解答：解：曲线Γ：ρ=，θ∈R转化成：，转化成直角坐标方程为：，整理得：3x2+4y2﹣6x﹣9=0，曲线C：，t∈R转化为直角坐标方程为：y=，所以：，解得：或所以：|OA|=2，则：|OA||OB|=．故答案为：．点评：本题考查的知识要点：极坐标方程的互化，参数方程与直角坐标方程的互化，解方程组问题的应用，两点间的距离公式的应用，主要考查学生的应用能力．15．在△ABC中，内角A，B，C的所对边分别是a，b，c，有如下下列命题：①若A＞B＞C，则sinA＞sinB＞sinC；②若，则△ABC为等边三角形；③若sin2A=sin2B，则△ABC为等腰三角形；④若（1+tanA）（1+tanB）=2，则△ABC为钝角三角形；⑤存在A，B，C，使得tanAtanBtanC＜tanA+tanB+tanC成立．其中正确的命题为①②④（写出所有正确命题的序号）考点：同角三角函数基本关系的运用．专题：三角函数的求值．分析：①已知不等式利用正弦定理化简，整理得到结果，即可做出判断；②已知等式利用正弦定理化简，整理得到结果，即可做出判断；③已知等式利用正弦函数的性质化简，整理得到结果，即可做出判断；④已知等式整理后，利用两角和与差的正切函数公式化简，求出C的度数，即可做出判断；⑤由A，B，C为三角形内角，得到tan（A+B）=tan（π﹣C）=﹣tanC，利用两角和与差的正切函数公式化简，整理得到tanA+tanB+tanC=tanAtanBtanC，故本选项错误．解答：解：①∵A＞B＞C，∴a＞b＞c，又===2R，∴sinA=，sinB=，sinC=，2R为定值，∴sinA＞sinB＞sinC，此选项正确；②∵==，由正弦定理得：a=2R•sinA，b=2R•sinB，c=2R•sinC代入，得==，∴==，即tanA=tanB=tanC，∴A=B=C，则△ABC是等边三角形，本选项正确；③∵sin2A=sin2B，∴2A=2B或2A+2B=π，即A=B或A+B=，则△ABC为等腰三角形或直角三角形，本选项错误；④∵（1+tanA）（1+tanB）=2，即1+tanA+tanB+tanAtanB=2，∴tanA+tanB+tanAtanB=1，即tanA+tanB=1﹣tanAtanB，∴=1，即tan（A+B）=1，∴A+B=，即C=，则△ABC为钝角三角形，本选项正确；⑤若A、B、C有一个为直角时不成立，若A、B、C都不为直角，∵A+B=π﹣C，∴tan（A+B）=tan（π﹣C），即=﹣tanC，则tanA+tanB=﹣tanC+tanAtanBtanC，∴tanA+tanB+tanC=tanAtanBtanC，即⑤错误，故答案为：①②④点评：此题考查了同角三角函数间的基本关系，正弦定理，两角和与差的正切函数公式，熟练掌握基本关系是解本题的关键．三、解答题：本大题共6小题，共75分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．16．已知函数f（x）=sin2x+2sinxcosx﹣cos2x，x∈R．求：（Ⅰ）函数f（x）的单调增区间；（Ⅱ）若，求函数f（x）的值域．考点：三角函数中的恒等变换应用；正弦函数的图象．专题：三角函数的求值；三角函数的图像与性质．分析：（Ⅰ）首先通过三角函数的关系式的恒等变换，把函数的关系式变性成正弦型函数，进一步利用整体思想求出函数的单调递增区间．（Ⅱ）进一步利用三角函数的定义域求出正弦型函数的值域．解答：解：（I）函数f（x）=sin2x+2sinxcosx﹣cos2x=，x∈R令解得：，所以：f（x）的单调增区间为：（k∈Z）（II）由，所以：从而有：，故：因此：函数f（x）的值域：点评：本题考查的知识要点：三角函数关系式的恒等变换，利用整体思想求正弦型函数的单调递增区间，利用三角函数的定义域求正弦型函数的值域．主要考查学生的应用能力．17．某校一个研究性学习团队从网上查得，某种植物种子在一定条件下的发芽成功的概率为，于是该学习团队分两个小组进行验证性实验．（Ⅰ）第一小组做了5次这种植物种子的发芽实验（每次均种下一粒种子），求他们的实验至少有3次成功的概率；（Ⅱ）第二小组做了若干次发芽实验（每次均种下一粒种子），如果在一次实验中种子发芽成功就停止实验，否则就继续进行下次实验．直到种子发芽成功为止，但实验的次数不超过5次．求这一小组所做的种子发芽实验次数ξ的分布列和期望．考点：离散型随机变量的期望与方差；相互独立事件．专题：计算题．分析：（I）本题是一个独立重复的实验，利用n次对立重复实验恰好发生k次的概率公式与互斥事件的概率求出他们的实验至少有3次成功的概率；（II）依题意判断出随机变量ξ可取的值及取每一个值的概率值，列出分布列，根据期望的公式求出这一小组所做的种子发芽实验次数ξ的分布列和期望．解答：解：（Ⅰ）至少有3次成功包括3次、4次和5次成功，即：（4分）（Ⅱ）依题意有：ξ 1 2 3 4 5P（4分）点评：本题考查等可能事件的概率，考查离散型随机变量的分布列和期望，求离散型随机变量的分布列和期望是近年来理科高考必出的一个问题，题目做起来不难，运算量也不大，只要注意解题格式就问题不大．18．如图，在四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD是直角梯形，∠BAD=∠CDA=90°，PA ⊥平面ABCD，PA=AD=AB=2，CD=1，M，N分别是PD、PB的中点．（1）证明：直线NC∥平面PAD；（2）求平面MNC与地面ABCD所成的锐二面角的余弦值．（3）求三菱锥P﹣MNC的体积V．考点：棱柱、棱锥、棱台的体积；直线与平面平行的判定；二面角的平面角及求法．专题：空间位置关系与距离．分析：（1）由已知想到取PA中点Q，连接NQ，DQ，然后利用三角形的中位线定理证明NC∥DQ，再由线面平行的判断得答案；（2）找出平面MNC与底面ABCD的交线，然后利用三垂线定理得到平面MNC与底面ABCD所成的锐二面角，再通过解直角三角形得答案；（3）利用等积法求出A到平面PMN的距离，得到C到平面PMN的距离，再求出平面PMN的面积，得到三棱锥C﹣PMN的体积，即三菱锥P﹣MNC的体积V．解答：（1）证明：如图，取PA中点Q，连接NQ，DQ，∵N、Q分别为PB、PA的中点，∴NQ∥AB，NQ=，又DC∥AB，DC=，∴NQ∥DC，NQ=DC，则四边形DCNQ为平行四边形，∴NC∥DQ，DQ⊂面PAD，NC⊄面PAD，∴直线NC∥平面PAD；（2）解：连接BD，∵M、N分别为PD、PB中点，∴MN∥BD，过C作l∥BD，则MN∥l，∴平面MNC∩平面ABCD=l，取AD中点S，连接CS，∴CS⊥l，连接MC，则∠MCS为平面MNC与底面ABCD所成的锐二面角，∵PA=AD=AB=2，CD=1，∴MS=1，SC=，则MC=，∴cos；（3）解：设SC∩BD=R，由题意可得：SR=CR，∴C与S到平面PMN的距离相等，又S为AD的中点，∴S到平面PMN的距离等于A到平面PMN距离的一半，设A到平面PMN距离为h，由PA⊥AB⊥AD，PA=AD=AB=2，则由等积法得：h，解得h=，∴C到平面PMN的距离为，又三角形PMN为边长是的正三角形，∴，∴．点评：本小题主要考查空间线面关系、二面角的度量、几何体的体积等知识，考查数形结合、化归与转化的数学思想方法，以及空间想象能力、推理论证能力和运算求解能力，是中档题．19．已知函数，（x≥0），又数列{a n}中，a n＞0，a1=2，该数列的前n项和记为S n，对所有大于1的自然数n都有S n=f（S n﹣1）．（Ⅰ）求{a n}的通项公式；（Ⅱ）记b n=，{b n}其前n项和为T n，证明：T n＜n+1．考点：数列的求和；数列递推式．专题：等差数列与等比数列．分析：（Ⅰ）由，S n=f（S n﹣1）知：，可得，利用等差数列的通项公式可得，再利用递推式即可得出a n．（Ⅱ）b n==，利用“裂项求和”即可得出．解答：（Ⅰ）解：由，S n=f（S n﹣1）知：，又a n＞0，a1=2，S n＞0，∴，即：是以为首项，为公差的等差数列，∴，，∴当n≥2时，a n=S n﹣S n﹣1=4n﹣2，当n=1时也成立，∴a n=4n﹣2．（Ⅱ）证明：=，T n=＜n+1．点评：本题考查了等差数列的通项公式、递推式的应用、“裂项求和”方法、不等式的性质、“放缩法”，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．20．已知F1、F2分别是椭圆的左、右焦点，P是此椭圆上的一动点，并且的取值范围是．（Ⅰ）求此椭圆的方程；（Ⅱ）点A是椭圆的右顶点，直线y=x与椭圆交于B、C两点（C在第一象限内），又P、Q是椭圆上两点，并且满足，求证：向量共线．考点：直线与圆锥曲线的综合问题；平行向量与共线向量；椭圆的标准方程．专题：综合题．分析：（I）由题意设P（x0，y0），F1（﹣c，0），F2（c，0）利用的取值范围所以∠PCQ的平分线垂直于x轴．是，得到a，b的方程，求解即可；（II）有的平分线平行，所以∠PCQ的平分线垂直于x轴，进而建立方程，解出C点，再设出PC方程进而得到QC的方程，把它与椭圆方程联立得到直线PQ的斜率，与直线AB比较即可求证．解答：解：（Ⅰ）设P（x0，y0），F1（﹣c，0），F2（c，0），其中，．从而．由于，即．又已知，所以从而椭圆的方程是．（Ⅱ）因为的平分线平行，所以∠PCQ的平分线垂直于x轴．由解得．不妨设PC的斜率为k，则QC的斜率为﹣k，因此PC和QC的方程分别为y=k（x﹣1）+1，y=﹣k（x﹣1），其中消去y并整理得（1+3k2）x2﹣6k（k﹣1）x+3k2﹣6k﹣1=0（*）．∵C（1，1）在椭圆上，∴x=1是方程（*）的一个根．从而，同理，从而直线PQ的斜率为．又知A（2，0），B（﹣1，﹣1），所以，∴向量与共线．点评：（I）此问考查了设处点的坐标，把已知的向量关系的等式建立成坐标之间的关系式，还考查了椭圆的基本性质及求解时运用的方程的思想；（II）此问考查了设出直线把椭圆方程与直线方程进行联立，利用根与系数的关系求出P与Q的坐标，还考查了直线的斜率公式．21．设函数f（x）=xlnx．（Ⅰ）求f（x）的极值；（Ⅱ）设g（x）=f（x+1），若对任意的x≥0，都有g（x）≥mx成立，求实数m的取值范围；（Ⅲ）若0＜a＜b，证明：0＜f（a）+f（b）﹣2f（）＜（b﹣a）ln2．考点：利用导数研究函数的极值；利用导数研究函数的单调性；利用导数求闭区间上函数的最值．专题：导数的概念及应用；导数的综合应用．分析：（Ⅰ）对函数求导，然后令导数为零，再判断导数为零的点左右两侧的导数符号，确定极大值或极小值；（Ⅱ）这是一个不等式恒成立问题，所以可将问题转化为函数的最值问题求解；（Ⅲ）证明此类不等式问题，可以根据要证的式子特点构造函数，然后利用函数的单调性、最值解决问题．解答：解：（Ⅰ）f'（x）=1+lnx，（x＞0）．令f'（x）=0，解得：，且当时，f'（x）＜0，时，f'（x）＞0，因此：f（x）的极小值为；（Ⅱ）g（x）=f（x+1）=（x+1）ln（x+1），令h（x）=（x+1）ln（x+1）﹣mx，则h'（x）=ln（x+1）+1﹣m，注意到：h（0）=0，若要h（x）≥0，必须要求h'（0）≥0，即1﹣m≥0，亦即m≤1；另一方面：当m≤1时，h'（x）=ln（x+1）+1﹣m≥0恒成立；故实数m的取值范围为：m≤1；（Ⅲ）构造函数，x＞a，又∵x＞a，∴0＜a+x＜2x，F'（x）＞0，F（x）在（a，+∞）上是单调递增的；故F（b）＞F（a）=0，即：．另一方面，构造函数，G（x）在（a，+∞）上是单调递减的，故G（b）＜G（a）=0即：，综上，．点评：本题考查了导数在研究函数的单调性、极值、最值问题中的应用，要注意恒成立问题转化为函数最值问题来解的典范思路，注意体会和总结．。
高考数学二模试卷（理科）一、选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．已知=b（1+i）（其中i为虚数单位，a，b∈R），则a 等于( )A．﹣2 B．2 C．﹣1 D．2．设非负实数x，y满足约束条件则z=2x+3y的最大值为( )A．4 B．8 C．9 D．123．阅读如图的程序框图，当该程序运行后输出的x值是( )A．2 B．﹣5 C．﹣D．54．过双曲线﹣=1（a＞0，b＞0）上一点P做直线PA，PB 交双曲线于A，B两点，且斜率分别为k1，k2，若直线AB过原点，k1•k2=2，则双曲线的离心率e等于( )A．B．3 C．D．5．如图，在△ABC中，，，若，则λ+μ的值为( )A．B．C．D．6．函数f（x）=2﹣|x﹣1|﹣m的图象与x轴有交点的充要条件为( ) A．m∈（0，1）B．m∈（0，1] C．m∈[0，1] D．m∈[﹣1，0）7．如图，已知圆O半径是3，PAB和PCD是圆O的两条割线，且PAB过O点，若PB=10，PD=8，给出下列四个结论：①CD=3；②BC=5；③BD=2AC；④∠CBD=30°．则所有正确结论的序号是( )A．①③B．①④C．①②③D．①③④8．关于x的方程（x2﹣1）2﹣3|x2﹣1|+2=0的不相同实根的个数是( )A．3 B．4 C．5 D．8二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分.把答案填在答题卷上.9．一个几何体的三视图如图所示（单位：cm），则该几何体的体积为__________cm3．10．抛物线y=x2与直线2x+y﹣3=0所围成图形的面积等于__________．11．若函数f（x）=log a（ax2﹣x）在上单调递增，则实数a的取值范围是__________．12．在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别是a，b，c．已知b+c=12，C=120°，sinB=，则cosA+cosB的值为__________．13．在极坐标系中，圆C的方程为ρ=2，以极点为坐标原点，极轴为x轴的正半轴建立平面直角坐标系，直线l的参数方程为（t为参数），则圆心C到直线l距离为__________．14．已知S n=3+7+13+…+（2n+2n﹣1），S10=a•b•c，其中a，b，c∈N*，则a+b+c的最小值为__________．三、解答题：本大题共6小题，共80分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.15．已知函数x+b，x∈R，且．（Ⅰ）求a，b的值及f（x）的最小正周期；（Ⅱ）求函数f（x）在区间上的最大值和最小值．16．盒子中装有“黑桃、红桃、梅花、方块”4种不同花色的扑克牌各3张，从中一次任取3张牌，每张牌被取出的可能性都相等．（Ⅰ）求取出的3张牌中的花色互不相同的概率；（Ⅱ）用X表示取出的3张牌中花色是“黑桃”的张数，求随机变量X的分布列和数学期望．17．如图，在直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，AB=BC=2BB1，∠ABC=90°，D为BC的中点．（Ⅰ）求证：A1B∥平面ADC1；（Ⅱ）求二面角C﹣AD﹣C1的余弦值；（Ⅲ）若E为A1B1的中点，求AE与DC1所成的角．18．已知数列{a n}满足：a1=6，a n﹣1•a n﹣6a n﹣1+9=0，n∈N*且n≥2．（1）求证：数列{}为等差数列；（2）求数列{a n}的通项公式；（3）设b n=，求数列{b n}的前n项和T n．19．如图，椭圆C：=1（a＞b＞0）的左、右焦点分别为F1、F2，离心率e=．过F2的直线交椭圆C于A、B两点，且△ABF1的周长为8．（Ⅰ）求椭圆C的方程；（Ⅱ）若直线l：y=kx+m与椭圆C相切于P点，且与直线x=﹣4相交于Q点，求证：直线PF1垂直于直线QF1．20．已知函数f（x）=ax2﹣（2a+1）x+lnx，a∈R．（1）当a=1时，求f（x）的单调区间和极值；（2）若关于x的方程f（x）=2ax2﹣2（a+1）x恰有两个不等的实根，求实数a的取值范围；（3）设g（x）=e x﹣x﹣1，若对任意的x1∈（0，+∞），x2∈R，不等式f（x1）≤g（x2）恒成立，求实数a的取值范围．答案一、选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．已知=b（1+i）（其中i为虚数单位，a，b∈R），则a等于( )A．﹣2 B．2 C．﹣1 D．考点：复数相等的充要条件．专题：数系的扩充和复数．分析：根据复数相等的条件进行化简即可．解答：解：由=b（1+i）得a+i﹣（1+i）=b（1+i）（1+i）=2bi．即a﹣+i=2bi．则a﹣=0且=2b，解得a=，b=，故选：D．点评：本题主要考查复数的计算，根据复数相等建立方程关系是解决本题的关键．2．设非负实数x，y满足约束条件则z=2x+3y的最大值为( )A．4 B．8 C．9 D．12考点：简单线性规划的应用．专题：计算题；不等式的解法及应用．分析：令2x+3y=m（x+y）+n（2x+y），则，可得m=4，n=﹣1，结合条件，即可求出z=2x+3y的最大值．解答：解：令2x+3y=m（x+y）+n（2x+y），则，∴m=4，n=﹣1，∴2x+3y=4（x+y）﹣（2x+y）≤12﹣4=8，∴z=2x+3y的最大值为8，故选：B．点评：本题考查目标函数的最大值，考查学生的计算能力，正确运用待定系数法是解题的关键．3．阅读如图的程序框图，当该程序运行后输出的x值是( )A．2 B．﹣5 C．﹣D．5考点：程序框图．专题：图表型；算法和程序框图．分析：模拟执行程序框图，依次写出每次循环得到的x，i的值，当i=11时，满足条件i＞10，退出循环，输出x的值为﹣5．解答：解：模拟执行程序框图，可得x=2，i=1不满足条件i＞10，x=﹣5，i=2不满足条件i＞10，x=﹣，i=3不满足条件i＞10，x=2，i=4不满足条件i＞10，x=﹣5，i=5…观察规律可知x的取值以3为周期，故不满足条件i＞10，x=﹣，i=9不满足条件i＞10，x=2，i=10不满足条件i＞10，x=﹣5，i=11满足条件i＞10，退出循环，输出x的值为﹣5．故选：B．点评：本题主要考查了循环结构的程序框图，正确依次写出每次循环得到的x，i的值是解题的关键，属于基本知识是考查．4．过双曲线﹣=1（a＞0，b＞0）上一点P做直线PA，PB 交双曲线于A，B两点，且斜率分别为k1，k2，若直线AB过原点，k1•k2=2，则双曲线的离心率e等于( )A．B．3 C．D．考点：双曲线的简单性质．专题：计算题；圆锥曲线的定义、性质与方程．分析：由于A，B连线经过坐标原点，所以A，B一定关于原点对称，利用直线PA，PB的斜率乘积，可寻求几何量之间的关系，从而可求离心率．解答：解：根据双曲线的对称性可知A，B关于原点对称，设A（x1，y1），B（﹣x1，﹣y1），P（x，y），则，，∴k1•k2===2，∴该双曲线的离心率e==．故选：A．点评：本题主要考查双曲线的几何性质，考查点差法，关键是设点代入化简，应注意双曲线几何量之间的关系．5．如图，在△ABC中，，，若，则λ+μ的值为( )A．B．C．D．考点：平面向量的基本定理及其意义．专题：平面向量及应用．分析：根据向量的基本定理结合向量加法的三角形分别进行分解即可．解答：解：∵=+，，∴=+，∵=﹣，，∴=﹣∴=+==+（﹣）=+，∵，∴λ=，μ=，则λ+μ=+=，故选：A点评：本题主要考查平面向量基本定理的应用，根据向量的和差运算将向量进行分解是解决本题的关键．6．函数f（x）=2﹣|x﹣1|﹣m的图象与x轴有交点的充要条件为( ) A．m∈（0，1）B．m∈（0，1] C．m∈[0，1] D．m∈[﹣1，0）考点：必要条件、充分条件与充要条件的判断．专题：函数的性质及应用；简易逻辑．分析：根据指数函数的性质，结合充分条件和必要条件的定义进行求解即可．解答：解：若f（x）=2﹣|x﹣1|﹣m的图象与x轴有交点，即f（x）=2﹣|x﹣1|﹣m=0有解，即m=2﹣|x﹣1|，∵2﹣|x﹣1|∈（0，1]，∴m∈（0，1]，故函数f（x）=2﹣|x﹣1|﹣m的图象与x轴有交点的充要条件为m∈（0，1]，故选：B．点评：本题主要考查指数函数的图象和性质，以及充分条件和必要条件的应用，利用参数分离法是解决本题的关键．7．如图，已知圆O半径是3，PAB和PCD是圆O的两条割线，且PAB过O点，若PB=10，PD=8，给出下列四个结论：①CD=3；②BC=5；③BD=2AC；④∠CBD=30°．则所有正确结论的序号是( )A．①③B．①④C．①②③D．①③④考点：命题的真假判断与应用．专题：简易逻辑；推理和证明．分析：①由PB=10，AB=6，可得PA=4．由割线定理可得：PA•PB=PC•PD，解得PC，即可得出CD．②连接OC，在△OCP中，由余弦定理可得：cosP==，在△BCP中，由余弦定理可得：BC2=，解出BC．③由△PCA∽△PBD，可得，即可判断出正误．④连接OD，则△OCD为正三角形，可得∠COD=2∠CBD=60°即可判断出正误．解答：解：①∵PB=10，AB=6，∴PA=4．由割线定理可得：PA•PB=PC•PD，∴4×10=8PC，解得PC=5，∴CD=PD﹣PC=3，正确．②连接OC，在△OCP中，由余弦定理可得：cosP==，在△BCP中，由余弦定理可得：BC2==，解得BC==，因此②不正确．③∵△PCA∽△PBD，∴=，∴BD=2CA，正确．④连接OD，则△OCD为正三角形，∴∠COD=2∠CBD=60°，∴∠CBD=30°，正确．综上可得：只有①③④正确．故选：D．点评：本题考查了割线定理、圆的性质、相似三角形的性质、余弦定理，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．8．关于x的方程（x2﹣1）2﹣3|x2﹣1|+2=0的不相同实根的个数是( )A．3 B．4 C．5 D．8考点：根的存在性及根的个数判断．专题：函数的性质及应用．分析：通过换元法求解x2﹣1的根，然后求解方程的解的个数．解答：解：令t=|x2﹣1|，方程（x2﹣1）2﹣3|x2﹣1|+2=0化为：t2﹣3t+2=0，解得t=1或t=2，即|x2﹣1|=1，或|x2﹣1|=2，由|x2﹣1|=1，解得x=，x=0，由|x2﹣1|=2解得x=．关于x的方程（x2﹣1）2﹣3|x2﹣1|+2=0的不相同实根的个数是：5．故选：C．点评：本题考查函数的零点以及方程根的个数的求法，考查计算能力．二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分.把答案填在答题卷上.9．一个几何体的三视图如图所示（单位：cm），则该几何体的体积为cm3．考点：由三视图求面积、体积．专题：空间位置关系与距离．分析：首先根据三视图把几何体复原成立体图形，进一步根据立体图形的体积公式求出结果．解答：解：根据三视图得知：该几何体的表面积是：上面是一个以1为半径的球体，下面是一个以2为半径，高为2的圆柱的组合体．所以：V=故答案为：点评：本题考查的知识要点：三视图和立体图之间的转换，几何体的体积公式的应用，主要考查学生的空间想象能力．10．抛物线y=x2与直线2x+y﹣3=0所围成图形的面积等于．考点：定积分．专题：导数的综合应用．分析：解方程组可得图象的交点，由题意可得积S=dx，计算可得．解答：解：联立可解得或，∴所求面积S=dx=（﹣x2+3x﹣x3）=﹣（﹣9）=故答案为：点评：本题考查定积分求面积，属基础题．11．若函数f（x）=log a（ax2﹣x）在上单调递增，则实数a的取值范围是（2，+∞）．考点：对数函数的图像与性质．专题：函数的性质及应用．分析：由复合函数的单调性和二次函数的性质分类讨论可得．解答：解：（1）当a＞1时，令t=ax2﹣x，则由题意可得函数t在区间上单调递增，且t＞0，故有，解得a＞2，综合可得a＞2；（2）当0＜a＜1时，则由题意可得函数t在区间上单调递减，且t＞0，故有，解得a∈∅，故此时满足条件的a不存在．综合（1）（2）可得a＞2故答案为：（2，+∞）点评：本题考查对数函数的单调性，涉及分类讨论思想和二次函数的性质，属中档题．12．在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别是a，b，c．已知b+c=12，C=120°，sinB=，则cosA+cosB的值为．考点：余弦定理；正弦定理．专题：解三角形．分析：由条件求得cosB的值，再根据cosA=﹣cos（B+C）=﹣cos （120°+B）利用两角和的余弦公式求得cosA，从而求得cosA+cosB的值．解答：解：在△ABC中，∵C=120°，sinB=，∴cosB==，cosA=﹣cos（B+C）=﹣cos（120°+B）=﹣cos120°cosB+sin120°sinB=+=，故cosA+cosB=+=，故答案为：．点评：本题主要考查同角三角函数的基本关系、诱导公式、两角和的余弦公式的应用，属于基础题．13．在极坐标系中，圆C的方程为ρ=2，以极点为坐标原点，极轴为x轴的正半轴建立平面直角坐标系，直线l的参数方程为（t为参数），则圆心C到直线l距离为．考点：简单曲线的极坐标方程．专题：坐标系和参数方程．分析：首先把圆的极坐标方程转换为直角坐标方程，进一步转换成标准形式，再把直线的参数方程转换为直角坐标方程，最后利用点到直线的距离公式求出结果．解答：解：圆C的方程为ρ=2，转化为：ρ=2sin θ+2cosθ，进一步转化为直角坐标方程为：x2+y2=2x+2y，转化为标准形式为：（x﹣1）2+（y﹣1）2=2所以：该曲线是以（1，1）为圆心，为半径的圆．直线l的参数方程为（t为参数），转化为直角坐标方程为：2x﹣y+1=0．所以：圆心到直线的距离为：d=．故答案为：点评：本题考查的知识要点：极坐标方程与直角坐标方程的互化，参数方程与直角坐标方程的互化，点到直线间的距离公式的应用．主要考查学生的应用能力．14．已知S n=3+7+13+…+（2n+2n﹣1），S10=a•b•c，其中a，b，c∈N*，则a+b+c的最小值为68．考点：基本不等式；数列的求和．专题：计算题；等差数列与等比数列．分析：由题意得S10=（2+1）+（4+3）+（8+5）+…+（210+19）=2+4+8+…+210+（1+3+5+…+19）=211﹣2+100=2146；再求2146的质因子，从而解得．解答：解：由题意，S10=（2+1）+（4+3）+（8+5）+…+（210+19）=2+4+8+...+210+（1+3+5+ (19)=211﹣2+100=2146；又∵2146=2×29×37=1×58×37=1×2×1073=1×29×74=2×29×37；∴a+b+c的最小值为2+29+37=68；故答案为：68．点评：本题考查了等差数列与等比数列前n项和的求法，属于基础题．三、解答题：本大题共6小题，共80分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.15．已知函数x+b，x∈R，且．（Ⅰ）求a，b的值及f（x）的最小正周期；（Ⅱ）求函数f（x）在区间上的最大值和最小值．考点：三角函数中的恒等变换应用；三角函数的周期性及其求法；正弦函数的图象．专题：三角函数的求值；三角函数的图像与性质．分析：（Ⅰ）首先利用函数f（0）=f（）=1，建立方程组求出a和b的值，进一步听过三角函数的恒等变换求出函数的正弦形式，进一步求出函数的最小正周期．（Ⅱ）直接利用函数的关系式，利用函数的定义域求出函数的值域，最后求出函数的最值．解答：解：（Ⅰ）x+b 由于：f（0）=f（）=1，所以：，解得：所以：2cos2x﹣1=sin2x+cos2x=，所以：函数的最小正周期：T=，（Ⅱ）由于：函数f（x）=，当时，．所以：即：函数的最大值为，函数的最小值为﹣1．点评：本题考查的知识要点：利用待定系数法求函数的解析式，三角函数的恒等变换，正弦型函数的周期的确定，利用函数的定义域求函数的值域，主要考查学生的应用能力．16．盒子中装有“黑桃、红桃、梅花、方块”4种不同花色的扑克牌各3张，从中一次任取3张牌，每张牌被取出的可能性都相等．（Ⅰ）求取出的3张牌中的花色互不相同的概率；（Ⅱ）用X表示取出的3张牌中花色是“黑桃”的张数，求随机变量X的分布列和数学期望．考点：离散型随机变量的期望与方差；离散型随机变量及其分布列．专题：概率与统计．分析：（I）设“取出的3张牌中的花色互不相同”为事件A．从12张扑克牌任取3张共有种方法，从4种不同花色中任取3种花色并且每一种花色个取一张可有种方法，录用古典概率计算公式即可得出；（II）由题意可得：X=0，1，2，3．P（X=0）=，P（X=1）=，P（X=2）=，P（X=3）=，得出分布列，再利用数学期望计算公式即可得出．解答：解：（I）设“取出的3张牌中的花色互不相同”为事件A．从12张扑克牌任取3张共有种方法，从4种不同花色中任取3种花色并且每一种花色个取一张可有种方法，∴P（A）==．（II）由题意可得：X=0，1，2，3．P（X=0）==，P（X=1）==，P（X=2）==，P（X=3）==．随机变量X的分布列为：X 0 1 2 3P（X）数学期望E（X）=1+×+2×+3×=．点评：本题考查了古典概率计算公式、随机变量的分布列及其数学期望，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．17．如图，在直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，AB=BC=2BB1，∠ABC=90°，D为BC的中点．（Ⅰ）求证：A1B∥平面ADC1；（Ⅱ）求二面角C﹣AD﹣C1的余弦值；（Ⅲ）若E为A1B1的中点，求AE与DC1所成的角．考点：异面直线及其所成的角；直线与平面平行的判定；二面角的平面角及求法．专题：空间位置关系与距离；空间角；空间向量及应用．分析：可设AB=BC=2BB1=2，以B为坐标原点，BA所在直线为x 轴，BC所在直线为y轴，BB1所在直线为z轴，建立空间直角坐标系．（Ⅰ）求得则有=（﹣2，0，﹣1），=（﹣2，1，0），=（﹣2，2，1），设平面ADC1的法向量为=（x1，y1，z1），运用向量垂直的条件，可得法向量，再由法向量和垂直，即可得证；（Ⅱ）由（Ⅰ）可得平面ADC1的法向量和平面ACD的法向量，运用向量的数量积的坐标表示，求得它们夹角的余弦，即可得到所求；（Ⅲ）求得向量，的坐标，运用向量的数量积的坐标表示，求得余弦，即可得到所求角．解答：（Ⅰ）证明：可设AB=BC=2BB1=2，以B为坐标原点，BA所在直线为x轴，BC所在直线为y轴，BB1所在直线为z轴，建立空间直角坐标系，A1（2，0，1），B（0，0，0），A（2，0，0），D（0，1，0），C1（0，2，1），则有=（﹣2，0，﹣1），=（﹣2，1，0），=（﹣2，2，1），设平面ADC1的法向量为=（x1，y1，z1），由，，可得﹣2x1+y1=0，且﹣2x1+2y1+z1=0，可取x1=1，y1=2，z1=﹣2．即有=（1，2，﹣2），由于=﹣2+0+2=0，即有，则A1B∥平面ADC1；（Ⅱ）解：由（Ⅰ）可得=（﹣2，1，0），=（﹣2，2，1），=（0，﹣1，0），由C1C⊥平面ABC，即有平面ABC的法向量为=（0，0，1），由（Ⅰ）可得平面ADC1的法向量为=（1，2，﹣2），由cos＜，＞===﹣．故二面角C﹣AD﹣C1的余弦值为；（Ⅲ）解：E为A1B1的中点，则E（1，0，1），=（﹣1，0，1），=（0，1，1），cos＜，＞===，由0≤＜，＞≤π，可得＜，＞=，则AE与DC1所成的角为．点评：本题考查线面平行的判定和二面角的平面角以及异面直线所成角的求法，考查向量的运用，考查运算能力，属于中档题．18．已知数列{a n}满足：a1=6，a n﹣1•a n﹣6a n﹣1+9=0，n∈N*且n≥2．（1）求证：数列{}为等差数列；（2）求数列{a n}的通项公式；（3）设b n=，求数列{b n}的前n项和T n．考点：数列的求和；等差关系的确定；数列递推式．专题：等差数列与等比数列．分析：（1）把已知的数列递推式变形，得到，然后直接利用=证得数列{}是公差为的等差数列；（2）由（1）中的等差数列求出通项公式，即可得到数列{a n}的通项公式；（3）把{a n}的通项公式代入b n=，整理后利用裂项相消法求得答案．解答：（1）证明：由a n﹣1•a n﹣6a n﹣1+9=0，得，∴，则==，∴数列{}是公差为的等差数列；（2）解：由（1）知，=，∴；（3）解：b n==，则=．点评：本题考查了数列递推式，考查了等差关系的确定，训练了裂项相消法求数列的和，是中档题．19．如图，椭圆C：=1（a＞b＞0）的左、右焦点分别为F1、F2，离心率e=．过F2的直线交椭圆C于A、B两点，且△ABF1的周长为8．（Ⅰ）求椭圆C的方程；（Ⅱ）若直线l：y=kx+m与椭圆C相切于P点，且与直线x=﹣4相交于Q点，求证：直线PF1垂直于直线QF1．考点：椭圆的简单性质．专题：直线与圆；圆锥曲线的定义、性质与方程．分析：（Ⅰ）运用椭圆的定义，可得a=2，再由离心率公式，可得c，由a，b，c的关系，可得b，进而得到椭圆方程；（Ⅱ）直线l：y=kx+m代入椭圆方程，运用直线和椭圆相切的条件：判别式为0，可得切点P的坐标，再令x=﹣4，可得Q的坐标，运用两直线垂直的条件：斜率之积为﹣1，即可得证．解答：（Ⅰ）解：∵|AB|+|AF1|+|BF1|=8，即|AF1|+|AF2|+|BF1|+|BF2|=8，而|AF1|+|AF2|=|BF1|+|BF2|=2a，∴4a=8，即a=2．∵，∴c=1，则．∴椭圆C的方程为．（Ⅱ）证明：由得（4k2+3）x2+8kmx+4m2﹣12=0．如图，设P点的坐标为（x0，y0），依题意m≠0且△=0，即△=64k2m2﹣4（4k2+3）（4m2﹣12）=0，整理得4k2+3=m2．此时，，∴P点的坐标为．由解得y=﹣4k+m．∴Q点的坐标为（﹣4，﹣4k+m）．由F1（﹣1，0），求得，，∴．∴直线PF1垂直于直线QF1．点评：本题考查椭圆的定义和方程，性质，主要考查定义和离心率公式及方程的运用，注意联立直线方程，运用直线和椭圆相切的条件：判别式为0，同时考查两直线垂直的条件，属于中档题．20．已知函数f（x）=ax2﹣（2a+1）x+lnx，a∈R．（1）当a=1时，求f（x）的单调区间和极值；（2）若关于x的方程f（x）=2ax2﹣2（a+1）x恰有两个不等的实根，求实数a的取值范围；（3）设g（x）=e x﹣x﹣1，若对任意的x1∈（0，+∞），x2∈R，不等式f（x1）≤g（x2）恒成立，求实数a的取值范围．考点：利用导数研究函数的单调性；利用导数研究函数的极值；导数在最大值、最小值问题中的应用．专题：导数的综合应用．分析：（1）当a=1时，函数f（x）=x2﹣3x+lnx，求出f（x）的导数，令f'（x）=0，列出表格即可得出函数的单调性，极值；（2）问题转化为求函数y=ax2﹣x与y=lnx的解得个数问题，通过讨论a的范围即可求出；（3）对于任意的x1∈（0，+∞），x2∈R，不等式f（x1）≤g（x2）恒成立，则有f（x）max≤g（x）min．利用导数分别在定义域内研究其单调性极值与最值即可．解答：解：（1）当a=1时，函数f（x）=x2﹣3x+lnx，f′（x）=，令f′（x）=0得：x1=，x2=1，当x变化时，f′（x），f（x）的变化情况如下表：x （0，）（，1） 1 （1，+∞）f'（x）+ 0 ﹣0 +f（x）单调递增极大单调递减极小单调递增∴f（x）在（0，）单调递增，在（，1）单调递减，在（1，+∞）单调递增，当x=时：f（x）有极大值，且f（x）极大值=f（）=﹣﹣ln2；当x=1时：f（x）有极小值，且f（x）极小值=﹣2；（2）∵f（x）=2ax2﹣2（a+1）x，∴ax2﹣（2a+1）x+lnx=2ax2﹣2（a+1）x，∴ax2﹣x=lnx，x∈（0，+∞），显然a≤0时，y=ax2﹣x与y=lnx只有1个交点，不合题意，当a=1时，函数y=x2﹣x=﹣，x=时：y min=﹣，而y=ln ＜ln，∴0＜a＜≤1时，y=ax2﹣x与y=lnx只有1个交点，不合题意，a＞1时，画出函数y=ax2﹣x与y=lnx的图象，如图示：，图象有2个交点，综上：a＞1；（3）由g（x）=e x﹣x﹣1，则g′（x）=e x﹣1，令g′（x）＞0，解得x＞0；令g′（x）＜0，解得x＜0．∴g（x）在（﹣∞，0）是减函数，在（0，+∞）是增函数，即g（x）最小值=g（0）=0．对于任意的x1∈（0，+∞），x2∈R，不等式f（x1）≤g（x2）恒成立，则有f（x1）≤g（0）即可．即不等式f（x）≤0对于任意的x∈（0，+∞）恒成立，f′（x）=，（1）当a=0时，f′（x）=，令f′（x）＞0，解得0＜x＜1；令f′（x）＜0，解得x＞1．∴f（x）在（0，1）是增函数，在（1，+∞）是减函数，∴f（x）最大值=f（1）=﹣1＜0，∴a=0符合题意．（2）当a＜0时，f′（x）=，令f'（x）＞0，解得0＜x＜1；令f′（x）＜0，解得x＞1．∴f（x）在（0，1）是增函数，在（1，+∞）是减函数，∴f（x）最大值=f（1）=﹣a﹣1≤0，得﹣1≤a＜0，∴﹣1≤a＜0符合题意．（3）当a＞0时，f′（x）=，f′（x）=0得：x1=，x2=1，a＞时，0＜x1＜1，令f′（x）＞0，解得：0＜x＜或x＞1；令f′（x）＜0，解得：＜x＜1，∴f（x）在（1，+∞）是增函数，而当x→+∞时，f（x）→+∞，这与对于任意的x∈（0，+∞）时f（x）≤0矛盾．同理0＜a≤时也不成立．综上所述：a的取值范围为[﹣1，0]．点评：本题考查了利用导数研究函数的单调性极值与最值，考查了恒成立问题的等价转化方法，考查了分类讨论的思想方法，考察了推理能力和计算能力，属于难题．。
高考数学二模试卷（理科）一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，有且只有一项是符合题目要求）1．设集合A={﹣1，0，1，2，3}，B={x|x2﹣2x＞0}，则A∩B=（）A．{3} B．{2，3} C．{﹣1，3} D．{0，1，2}2．在复平面内，复数z与的对应点关于虚轴对称，则z=（）A．2+i B．2﹣i C．﹣2+i D．﹣2﹣i3．在等差数列{a n}中，a7=8，前7项和S7=42，则其公差是（）A．﹣B．C．﹣D．4．执行如图的程序框图，若输入的a=209，b=76，则输出的a 是（）A．19 B．3 C．57 D．765．设a=log3π，b=logπ3，c=cos3，则（）A．b＞a＞c B．c＞b＞a C．a＞c＞b D．a＞b＞c6．函数y=4sin（ωx+φ）（ω＞0，|φ|＜π）部分图象如图，其中点A（，0），B（，0），则（）A．ω=，φ=﹣ B．ω=1，φ=﹣ C．ω=，φ=﹣D．ω=1，φ=﹣7．设实数x，y满足约束条件，则z=的取值范围是（）A．[，1] B．[，] C．[，] D．[，]8．某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（）A．B．C．D．9．一种团体竞技比赛的积分规则是：每队胜、平、负分别得2分、1分、0分，已知甲球队已赛4场，积4分，在这4场比赛中，甲球队胜、平、负（包括顺序）的情况共有（）A．7种B．13种 C．18种 D．19种10．在△ABC中，AB=2BC，以A，B为焦点，经过C的椭圆和双曲线的离心率分别为e1，e2，则（）A．﹣=1 B．﹣=2C．﹣=1 D．﹣=211．已知函数f（x）=﹣，g（x）=xcosx﹣sinx，当x∈[﹣3π，3π]时，方程f（x）=g（x）根的个数是（）A．8 B．6 C．4 D．212．已知圆C：x2+y2=1，点M（t，2），若C上存在两点A，B 满足=，则t的取值范围是（）A．[﹣2，2] B．[﹣3，3] C．[﹣，] D．[﹣5，5]二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）13．已知||=，||=2，若（+）⊥，则与的夹角是．14．设S n是数列{a n}的前n项和，a n=4S n﹣3，则S4= ．15．在三棱锥P﹣ABC中，△ABC与△PBC都是等边三角形，侧面PBC⊥底面ABC，AB=2，则该三棱锥的外接球的表面积为．16．曲线+=1与两坐标轴所围成图形的面积是．三、解答题（本大题共70分，其中17-21题为必考题，22-24题为选考题，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）17．在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，2（a2﹣b2）=2accosB+bc．（Ⅰ）求A；（Ⅱ）D为边BC上一点，BD=3DC，∠DAB=，求tanC．18．如图，四棱锥P﹣ABCD的底面ABCD是平行四边形，侧面PAD是等边三角形，平面PAD⊥平面ABCD，M，N分别是棱PC，AB的中点，且MN⊥CD．（Ⅰ）求证：AD⊥CD；（Ⅱ）若AB=AD，求直线MN与平面PBD所成角的正弦值．19．某市工业部门计划对所辖中小型工业企业推行节能降耗技术改造，对所辖企业是否支持改造进行问卷调查，结果如下表：支持不支持合计中型企业80 40 120小型企业240 200 440合计320 240 560节能降耗技术改造”与“企业规模”有关？（Ⅱ）从上述320家支持节能降耗改造的中小企业中按分层抽样的方法抽出12家，然后从这12家中选出9家进行奖励，分别奖励中、小企业每家50万元、10万元，记9家企业所获奖金总数为X万元，求X的分布列和期望．附：K2=P（K2≥k0）0.050 0.025 0.010k0 3.841 5.024 6.63520．已知抛物线E：x2=4y，m、n是过点A（a，﹣1）且倾斜角互补的两条直线，其中m与E有唯一公共点B，n与E相交于不同的两点C，D．（Ⅰ）求m的斜率k的取值范围；（Ⅱ）是否存在常数λ，使得|AC|•|AD|=λ|AB|2？若存在，求λ的值；若不存在，说明理由．21．设函数f（x）=x++alnx，g（x）=x++（﹣x）lnx，其中a ∈R．（Ⅰ）证明：g（x）=g（），并求g（x）的最大值；（Ⅱ）记f（x）的最小值为h（a），证明：函数y=h（a）有两个互为相反数的零点．请考生在第22、23、24题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分【选修4-1：几何证明选讲】22．如图，AB为圆O的直径，PB，PC分别与圆O相切于B，C 两点，延长BA，PC相交于点D．（Ⅰ）证明：AC∥OP；（Ⅱ）若CD=2，PB=3，求AB．【选修4-4：极坐标与参数方程】23．在极坐标系中，曲线C：ρ=2acosθ（a＞0），l：ρcos（θ﹣）=，C与l有且仅有一个公共点．（Ⅰ）求a；（Ⅱ）O为极点，A，B为C上的两点，且∠AOB=，求|OA|+|OB|的最大值．【选修4-5：不等式选讲】24．设f（x）=|x﹣1|﹣2|x+1|的最大值为m．（Ⅰ）求m；（Ⅱ）若a，b，c∈（0，+∞），a2+2b2+c2=m，求ab+bc的最大值．参考答案与试题解析一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，有且只有一项是符合题目要求）1．设集合A={﹣1，0，1，2，3}，B={x|x2﹣2x＞0}，则A∩B=（）A．{3} B．{2，3} C．{﹣1，3} D．{0，1，2}考点：交集及其运算．专题：集合．分析：求出B中不等式的解集确定出B，找出A与B的交集即可．解答：解：由B中不等式变形得：x（x﹣2）＞0，解得：x＜0或x＞2，即B={x|x＜0或x＞2}，∵A={﹣1，0，1，2，3}，∴A∩B={﹣1，3}，故选：C．点评：此题考查了交集及其运算，熟练掌握交集的定义是解本题的关键．2．在复平面内，复数z与的对应点关于虚轴对称，则z=（）A．2+i B．2﹣i C．﹣2+i D．﹣2﹣i考点：复数代数形式的乘除运算．专题：数系的扩充和复数．分析：利用复数代数形式的乘除运算化简得答案．解答：解：∵=，又复数z与的对应点关于虚轴对称，则z=2﹣i．故选：B．点评：本题考查了复数的代数表示法及其几何意义，考查了复数代数形式的乘除运算，是基础题．3．在等差数列{a n}中，a7=8，前7项和S7=42，则其公差是（）A．﹣B．C．﹣D．考点：等差数列的通项公式．专题：等差数列与等比数列．分析：由通项公式和求和公式可得a1和d的方程组，解方程组可得．解答：解：设等差数列{a n}的公差为d，∵a7=8，前7项和S7=42，∴a1+6d=8，7a1+d=42，解得a1=4，d=故选：D点评：本题考查等差数列的通项公式和求和公式，属基础题．4．执行如图的程序框图，若输入的a=209，b=76，则输出的a 是（）A．19 B．3 C．57 D．76考点：程序框图．专题：图表型；算法和程序框图．分析：模拟执行程序框图，依次写出每次循环得到的a，b，c 的值，当b=0时满足条件b=0，退出循环，输出a的值为19．解答：解：模拟执行程序框图，可得a=209，b=76c=57a=76，b=57，不满足条件b=0，c=19，a=57，b=19不满足条件b=0，c=0，a=19，b=0满足条件b=0，退出循环，输出a的值为19．故选：A．点评：根据流程图（或伪代码）写程序的运行结果，是算法这一模块最重要的题型，其处理方法是：①分析流程图（或伪代码），从流程图（或伪代码）中即要分析出计算的类型，又要分析出参与计算的数据（如果参与运算的数据比较多，也可使用表格对数据进行分析管理）⇒②建立数学模型，根据第一步分析的结果，选择恰当的数学模型③解模，本题属于基础知识的考查．5．设a=log3π，b=logπ3，c=cos3，则（）A．b＞a＞c B．c＞b＞a C．a＞c＞b D．a＞b＞c考点：对数值大小的比较．专题：函数的性质及应用．分析：利用对数函数与指数函数、三角函数的单调性即可得出．解答：解：∵a=log3π＞1，0＜b=logπ3＜1，c=cos3＜0，∴a＞b＞c．故选：D．点评：本题考查了对数函数与指数函数、三角函数的单调性，属于基础题．6．函数y=4sin（ωx+φ）（ω＞0，|φ|＜π）部分图象如图，其中点A（，0），B（，0），则（）A．ω=，φ=﹣ B．ω=1，φ=﹣ C．ω=，φ=﹣D．ω=1，φ=﹣考点：正弦函数的图象．专题：三角函数的图像与性质．分析：结合图象，由周期求出ω，由五点法作图求出φ的值，可得函数的解析式．解答：解：由函数的图象可得==﹣，∴ω=．再根据五点法作图可得•+φ=0，求得φ=﹣，故选：C．点评：本题主要考查由函数y=Asin（ωx+φ）的部分图象求解析式，由周期求出ω，由五点法作图求出φ的值，属于基础题．7．设实数x，y满足约束条件，则z=的取值范围是（）A．[，1] B．[，] C．[，] D．[，]考点：简单线性规划．专题：不等式的解法及应用．分析：作出不等式组对应的平面区域，利用目标函数的几何意义，结合数形结合进行求解即可．解答：解：作出不等式组对应的平面区域如图：z=的几何意义为区域内的点到定点D（﹣1，0）的斜率，由图象知AD的斜率最大，BD的斜率最小，由，解得，即A（，），此时z==，由，解得，即B（），此时z==，故z=的取值范围是[，]，故选：B．点评：本题主要考查线性规划的应用，利用目标函数的几何意义以及直线斜率公式是解决本题的关键．8．某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（）A．B．C．D．考点：由三视图求面积、体积．专题：计算题；作图题；空间位置关系与距离．分析：三视图中长对正，高对齐，宽相等；由三视图想象出直观图，一般需从俯视图构建直观图，该几何体为三棱柱与三棱锥的组合体．解答：解：该几何体为三棱柱与三棱锥的组合体，如右图，三棱柱的底面是等腰直角三角形，其面积S=×1×2=1，高为1；故其体积V1=1×1=1；三棱锥的底面是等腰直角三角形，其面积S=×1×2=1，高为1；故其体积V2=×1×1=；故该几何体的体积V=V1+V2=；故选：A．点评：三视图中长对正，高对齐，宽相等；由三视图想象出直观图，一般需从俯视图构建直观图，本题考查了学生的空间想象力，识图能力及计算能力．9．一种团体竞技比赛的积分规则是：每队胜、平、负分别得2分、1分、0分，已知甲球队已赛4场，积4分，在这4场比赛中，甲球队胜、平、负（包括顺序）的情况共有（）A．7种B．13种 C．18种 D．19种考点：计数原理的应用．专题：应用题；排列组合．分析：由题意4=1+1+2+0=2+2+0+0=1+1+1+1，即可得出结论．解答：解：由题意4=1+1+2+0=2+2+0+0=1+1+1+1，所以球队胜、平、负（包括顺序）的情况共有++1=19种，故选：D．点评：本题考查计数原理的运用，考查学生的计算能力，比较基础．10．在△ABC中，AB=2BC，以A，B为焦点，经过C的椭圆和双曲线的离心率分别为e1，e2，则（）A．﹣=1 B．﹣=2C．﹣=1 D．﹣=2考点：椭圆的简单性质．专题：圆锥曲线的定义、性质与方程．分析：以AB所在直线为x轴，其中点为原点，建立坐标系，再通过椭圆及双曲线的基本概念即可得到答案．解答：解：以AB所在直线为x轴，其中点为原点，建立坐标系，则A（﹣1，0），B（1，0），C（1+cosθ，sinθ），所以AC==，对于椭圆而言，2c=2，2a=AC+BC=+1，所以==；对于双曲线而言，2c=2，2a=AC﹣BC=﹣1，所以==；故﹣=﹣=1，故选：A．点评：本题考查椭圆、双曲线的概念，建立坐标系是解决本题的关键，属于中档题．11．已知函数f（x）=﹣，g（x）=xcosx﹣sinx，当x∈[﹣3π，3π]时，方程f（x）=g（x）根的个数是（）A．8 B．6 C．4 D．2考点：根的存在性及根的个数判断．专题：计算题；作图题；函数的性质及应用；导数的综合应用．分析：先对两个函数分析可知，函数f（x）与g（x）都是奇函数，且f（x）是反比例函数，g（x）在[0，π]上是减函数，在[π，2π]上是增函数，在[2π，3π]上是减函数，且g（0）=0，g（π）=﹣π；g（2π）=2π；g（3π）=﹣3π；从而作出函数的图象，由图象求方程的根的个数即可．解答：解：由题意知，函数f（x）=﹣在[﹣3π，3π]是奇函数且是反比例函数，g（x）=xcosx﹣sinx在[﹣3π，3π]是奇函数；g′（x）=cosx﹣xsinx﹣cosx=﹣xsinx；故g（x）在[0，π]上是减函数，在[π，2π]上是增函数，在[2π，3π]上是减函数，且g（0）=0，g（π）=﹣π；g（2π）=2π；g（3π）=﹣3π；故作函数f（x）与g（x）在[﹣3π，3π]上的图象如下，结合图象可知，有6个交点；故选：B．点评：本题考查了导数的综合应用及函数的图象的性质应用，同时考查了函数的零点与方程的根的关系应用，属于中档题．12．已知圆C：x2+y2=1，点M（t，2），若C上存在两点A，B 满足=，则t的取值范围是（）A．[﹣2，2] B．[﹣3，3] C．[﹣，] D．[﹣5，5]考点：椭圆的简单性质．专题：平面向量及应用．分析：通过确定A是MB的中点，利用圆x2+y2=1的直径是2，可得MA≤2，即点M到原点距离小于等于3，从而可得结论．解答：解：如图，连结OM交圆于点D．∵=，∴A是MB的中点，∵圆x2+y2=1的直径是2，∴MA=AB≤2，又∵MD≤MA，OD=1，∴OM≤3，即点M到原点距离小于等于3，∴t2+4≤9，∴≤t≤，故选：C．点评：本题考查向量知识的运用，考查直线与圆的位置关系，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）13．已知||=，||=2，若（+）⊥，则与的夹角是150°．考点：平面向量数量积的运算．专题：平面向量及应用．分析：根据已知条件即可得到，所以根据进行数量积的运算即可得到3，所以求出cos＜＞=，从而便求出与的夹角．解答：解：∵；∴=；∴；∴与的夹角为150°．故答案为：150°．点评：考查两非零向量垂直的充要条件，以及数量积的计算公式，向量夹角的范围．14．设S n是数列{a n}的前n项和，a n=4S n﹣3，则S4= ．考点：数列递推式．专题：等差数列与等比数列．分析：a n=4S n﹣3，当n=1时，a1=4a1﹣3，解得a1．当n≥2时，S n﹣S n﹣1=4S n﹣3，化为，利用等比数列的通项公式即可得出．解答：解：∵a n=4S n﹣3，∴当n=1时，a1=4a1﹣3，解得a1=1．当n≥2时，S n﹣S n﹣1=4S n﹣3，化为，∴数列是等比数列，首项为，公比为﹣，∴=．令n=4，则S4=+=．故答案为：．点评：本题考查了等比数列的通项公式，考查了变形能力，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．15．在三棱锥P﹣ABC中，△ABC与△PBC都是等边三角形，侧面PBC⊥底面ABC，AB=2，则该三棱锥的外接球的表面积为20π．考点：球的体积和表面积．专题：计算题；空间位置关系与距离．分析：由题意，等边三角形的高为3，设球心到底面的距离为x，则r2=22+x2=12+（3﹣x）2，求出x，可得r，即可求出该三棱锥的外接球的表面积．解答：解：由题意，等边三角形的高为3，设球心到底面的距离为x，则r2=22+x2=12+（3﹣x）2，所以x=1，所以该三棱锥的外接球的表面积为4πr2=20π．故答案为：20π．点评：本题考查求三棱锥的外接球的表面积，考查学生的计算能力，确定球的半径是关键．16．曲线+=1与两坐标轴所围成图形的面积是．考点：定积分．专题：导数的概念及应用．分析：首先由题意，画出图象，然后利用定积分表示面积解答：解：曲线+=1，即y=（1﹣）2即图象与两坐标轴围成的图形如图阴影部分其面积为（1﹣）2dx=（1﹣2+x）dx=（+x）|=；故答案为：点评：本题考查了利用定积分求曲边梯形的面积；关键是正确利用定积分表示面积，然后计算．三、解答题（本大题共70分，其中17-21题为必考题，22-24题为选考题，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）17．（12分）在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，2（a2﹣b2）=2accosB+bc．（Ⅰ）求A；（Ⅱ）D为边BC上一点，BD=3DC，∠DAB=，求tanC．考点：余弦定理；正弦定理．专题：三角函数的求值；解三角形．分析：（Ⅰ）由余弦定理可得2accosB=a2+c2﹣b2，代入已知等式整理得cosA=﹣，即可求得A．（Ⅱ）由已知可求∠DAC=，由正弦定理有=，又BD=3CD，可得3sinB=2sinC，由B=﹣C化简即可得解．解答：解：（Ⅰ）因为2accosB=a2+c2﹣b2，所以2（a2﹣b2）=a2+c2﹣b2+bc．…（2分）整理得a2=b2+c2+bc，所以cosA=﹣，即A=．…（4分）（Ⅱ）因为∠DAB=，所以AD=BD•sinB，∠DAC=．…（6分）在△ACD中，有=，又因为BD=3CD，所以3sinB=2sinC，…（9分）由B=﹣C得cosC﹣sinC=2sinC，…（11分）整理得tanC=．…（12分）点评：本题主要考查了余弦定理，正弦定理，同角三角函数关系式，三角函数恒等变换的应用，综合性较强，属于基本知识的考查．18．如图，四棱锥P﹣ABCD的底面ABCD是平行四边形，侧面PAD是等边三角形，平面PAD⊥平面ABCD，M，N分别是棱PC，AB的中点，且MN⊥CD．（Ⅰ）求证：AD⊥CD；（Ⅱ）若AB=AD，求直线MN与平面PBD所成角的正弦值．考点：直线与平面所成的角；空间中直线与直线之间的位置关系．专题：空间位置关系与距离；空间角；空间向量及应用．分析：（Ⅰ）取PD边中点E，连接AE，EM，根据MN⊥CD容易得到CD⊥AE，而根据已知条件可以说明PO⊥平面ABCD，从而得到CD⊥PO，这样CD就垂直于平面PAD内两条相交直线，由线面垂直的判定定理从而得到AD⊥CD；（Ⅱ）取BC中点F，连接OF，由（Ⅰ）便可知道OA，OF，OP 三条直线两两垂直，从而可分别以这三条直线为x，y，z轴，可设AB=2，这样即可求得图形中一些点的坐标．从而求出向量的坐标，这时候设平面PBD的法向量为，根据即可求出的坐标，若设MN和平面PBD所成角为θ，从而根据sinθ=即可求得答案．解答：解：（Ⅰ）证明：如图，取PD中点E，连AE，EM，则EM∥AN，且EM=AN；∴四边形ANME是平行四边形，MN∥AE；∵MN⊥CD，∴AE⊥CD，即CD⊥AE；取AD中点O，连PO，△PAD是等边三角形，则PO⊥AD；又因为平面PAD⊥平面ABCD，平面PAD∩平面ABCD=AD；∴PO⊥平面ABCD，PO⊥CD，即CD⊥PO；故CD⊥平面PAD，AD⊂平面PAD；∴CD⊥AD，即AD⊥CD；（Ⅱ）由AB=AD，AD⊥CD，得▱ABCD是正方形；取BC边的中点F，连接OF，则分别以OA，OF，OP所在直线为x，y，z轴建立如图所示空间直角坐标系；设AB=2，则A（1，0，0），B（1，2，0），D（﹣1，0，0），P （0，0，），E（﹣，0，）；=（2，2，0），=（1，0，）；设平面PBD的法向量，则：；∴；∴，取z=1，∴；==（，0，﹣）；设直线MN与平面PBD所成的角为θ，则：sinθ=|cos＜，＞|==．点评：考查面面垂直的性质定理，线面垂直的判定定理，以及建立空间直角坐标系，利用向量解决直线和平面所成角的问题，能求空间点的坐标，注意线面角和直线和平面法向量所成角的关系，以及向量夹角余弦的坐标公式．19．某市工业部门计划对所辖中小型工业企业推行节能降耗技术改造，对所辖企业是否支持改造进行问卷调查，结果如下表：支持不支持合计中型企业80 40 120小型企业240 200 440合计320 240 560（Ⅰ）能否在犯错误的概率不超过0.025的前提下认为“是否支持节能降耗技术改造”与“企业规模”有关？（Ⅱ）从上述320家支持节能降耗改造的中小企业中按分层抽样的方法抽出12家，然后从这12家中选出9家进行奖励，分别奖励中、小企业每家50万元、10万元，记9家企业所获奖金总数为X万元，求X的分布列和期望．附：K2=P（K2≥k0）0.050 0.025 0.010k0 3.841 5.024 6.635考点：独立性检验的应用．专题：应用题；概率与统计．分析：（Ⅰ）由题意知根据表中所给的数据，利用公式可求K2的值，从临界值表中可以知道K2＞5.024，根据临界值表中所给的概率得到与本题所得的数据对应的概率是0.025，得到结论；（Ⅱ）按分层抽样得到的12家中，中小企业分别为3家和9家．X 的可能取值为90，130，170，210，求出相应的概率，即可求出X的分布列和期望．解答：解：（Ⅰ）K2=≈5.657，因为5.657＞5.024，所以能在犯错概率不超过0.025的前提下认为“是否支持节能降耗技术改造”与“企业规模”有关．…（4分）（Ⅱ）由（Ⅰ）可知“支持”的企业中，中小企业家数之比为1：3，按分层抽样得到的12家中，中小企业分别为3家和9家．设9家获得奖励的企业中，中小企业分别为m家和n家，则（m，n）可能为（0，9），（1，8），（2，7），（3，6）．与之对应，X的可能取值为90，130，170，210．…（6分）P（X=90）=，P（X=130）=，P（X=170）=，P（X=210）=，…（10分）分布列表如下：X 90 130 170 210P期望EX=90×+130×+170×+210×=180．…（12分）点评：本题考查独立性检验的应用，考查X的分布列和期望，考查学生的计算能力，属于中档题．20．已知抛物线E：x2=4y，m、n是过点A（a，﹣1）且倾斜角互补的两条直线，其中m与E有唯一公共点B，n与E相交于不同的两点C，D．（Ⅰ）求m的斜率k的取值范围；（Ⅱ）是否存在常数λ，使得|AC|•|AD|=λ|AB|2？若存在，求λ的值；若不存在，说明理由．考点：抛物线的简单性质．专题：直线与圆；圆锥曲线的定义、性质与方程．分析：（Ⅰ）设直线m：y+1=k（x﹣a），n：y+1=﹣k（x﹣a），代入抛物线方程，运用判别式等于0和大于0，解不等式即可得到k的范围；（Ⅱ）假设存在常数λ，使得|AC|•|AD|=λ|AB|2，设B（x0，y0），C （x1，y1），D（x2，y2），代入直线方程，由条件结合二次方程的韦达定理，再由判别式为0，即可判断．解答：解：（Ⅰ）设直线m：y+1=k（x﹣a），n：y+1=﹣k（x﹣a），分别代入x2=4y，得x2﹣4kx+4ka+4=0（1），x2+4kx﹣4ka+4=0（2），由△1=0得k2﹣ka﹣1=0，由△2＞0得k2+ka﹣1＞0，故有2k2﹣2＞0，得k2＞1，即k＜﹣1，或k＞1．（Ⅱ）假设存在常数λ，使得|AC|•|AD|=λ|AB|2，设B（x0，y0），C（x1，y1），D（x2，y2），则（y1+1）（y2+1）=λ（y0+1）2．将y1+1=﹣k（x1﹣a），y2+1=﹣k（x2﹣a），y0+1=k（x0﹣a）代入上式，得（x1﹣a）（x2﹣a）=λ（x0﹣a）2，即x1x2﹣a（x1+x2）+a2=λ（x0﹣a）2．由（2）得x1+x2=﹣4k，x1x2=﹣4ka+4，由（1）得x0=2k，代入上式，得4+a2=λ（4k2﹣4ka+a2）．又△1=0得k2﹣ka﹣1=0，即4k2﹣4ka=4，因此4+a2=λ（4+a2），λ=1．故存在常数λ=1，使得|AC|•|AD|=λ|AB|2．点评：本题考查抛物线的方程和性质，主要考查直线和抛物线方程联立，运用判别式和韦达定理，考查运算化简的能力，属于中档题．21．设函数f（x）=x++alnx，g（x）=x++（﹣x）lnx，其中a ∈R．（Ⅰ）证明：g（x）=g（），并求g（x）的最大值；（Ⅱ）记f（x）的最小值为h（a），证明：函数y=h（a）有两个互为相反数的零点．考点：利用导数求闭区间上函数的最值；函数零点的判定定理；利用导数研究函数的单调性．专题：函数的性质及应用；导数的综合应用．分析：（Ⅰ）利用已知函数g（x）的解析式，分别计算g（），g（x），可得两者相等；再利用g′（x）求得最大值；（Ⅱ）利用f′（x）可得f（x）的最小值h（a）=t++（﹣t）lnt=g（t），由（Ⅰ）可知g（）＜0，g（1）＞0，利用函数零点的判定定理即得结论．解答：解：（Ⅰ）∵g（）=+x+（x﹣）ln=x++（﹣x）lnx，∴g（x）=g（），则g′（x）=﹣（1+）lnx，当x∈（0，1）时，g′（x）＞0，g（x）单调递增；当x∈（1，+∞）时，g′（x）＜0，g（x）单调递减．所以g（x）的最大值为g（1）==2．（Ⅱ）∵f（x）=x++alnx，∴f′（x）=1﹣+=．令f′（x）=0，即x2+ax﹣1=0，则△=a2+4＞0，不妨取t=＞0，由此得：t2+at﹣1=0或写为：a=﹣t．当x∈（0，t）时，f′（x）＜0，f（x）单调递减；当x∈（t，+∞）时，f′（x）＞0，f（x）单调递增．从而f（x）的最小值为f（t）=t++alnt=t++（﹣t）lnt，即h（a）=t++（﹣t）lnt=g（t）（或h（a）=+aln）．由（Ⅰ）可知g（）=g（e2）=﹣e2＜0，g（1）=2＞0，分别存在唯一的c∈（0，1）和d∈（1，+∞），使得g（c）=g （d）=0，且cd=1，因为a=﹣t（t＞0）是t的减函数，所以y=h（a）有两个零点a1=﹣d和a2=﹣c，又﹣d+﹣c=﹣（c+d）=0，所以y=h（a）有两个零点且互为相反数．点评：本题考查利用导数判断函数的单调性及零点判定定理，考查转化与化归思想、运算求解能力、数据处理能力和推理论证能力．请考生在第22、23、24题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分【选修4-1：几何证明选讲】22．如图，AB为圆O的直径，PB，PC分别与圆O相切于B，C 两点，延长BA，PC相交于点D．（Ⅰ）证明：AC∥OP；（Ⅱ）若CD=2，PB=3，求AB．考点：与圆有关的比例线段；空间中直线与直线之间的位置关系．专题：选作题；立体几何．分析：（Ⅰ）利用切割线定理，可得PB=PC，且PO平分∠BPC，可得PO⊥BC，又AC⊥BC，可得AC∥OP；（Ⅱ）由切割线定理得DC2=DA•DB，即可求出AB．解答：（Ⅰ）证明：因PB，PC分别与圆O相切于B，C两点，所以PB=PC，且PO平分∠BPC，所以PO⊥BC，又AC⊥BC，即AC∥OP．…（4分）（Ⅱ）解：由PB=PC得PD=PB+CD=5，在Rt△PBD中，可得BD=4．则由切割线定理得DC2=DA•DB，得DA=1，因此AB=3．…（10分）点评：本题考查切割线定理，考查学生分析解决问题的能力，正确运用切割线定理是关键．【选修4-4：极坐标与参数方程】23．在极坐标系中，曲线C：ρ=2acosθ（a＞0），l：ρcos（θ﹣）=，C与l有且仅有一个公共点．（Ⅰ）求a；（Ⅱ）O为极点，A，B为C上的两点，且∠AOB=，求|OA|+|OB|的最大值．考点：简单曲线的极坐标方程．专题：坐标系和参数方程．分析：（I）把圆与直线的极坐标方程分别化为直角坐标方程，利用直线与圆相切的性质即可得出a；（II）不妨设A的极角为θ，B的极角为θ+，则|OA|+|OB|=2cos θ+2cos（θ+）=2cos（θ+），利用三角函数的单调性即可得出．解答：解：（Ⅰ）曲线C：ρ=2acosθ（a＞0），变形ρ2=2ρacosθ，化为x2+y2=2ax，即（x﹣a）2+y2=a2．∴曲线C是以（a，0）为圆心，以a为半径的圆；由l：ρcos（θ﹣）=，展开为，∴l的直角坐标方程为x+y﹣3=0．由直线l与圆C相切可得=a，解得a=1．（Ⅱ）不妨设A的极角为θ，B的极角为θ+，则|OA|+|OB|=2cosθ+2cos（θ+）=3cosθ﹣sinθ=2cos（θ+），当θ=﹣时，|OA|+|OB|取得最大值2．点评：本题考查了把圆与直线的极坐标方程分别化为直角坐标方程、直线与圆相切的性质、极坐标方程的应用、三角函数的单调性，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．【选修4-5：不等式选讲】24．设f（x）=|x﹣1|﹣2|x+1|的最大值为m．（Ⅰ）求m；（Ⅱ）若a，b，c∈（0，+∞），a2+2b2+c2=m，求ab+bc的最大值．考点：绝对值不等式的解法；基本不等式．专题：计算题；分类讨论；不等式的解法及应用．分析：（Ⅰ）运用零点分区间，讨论x的范围，去绝对值，由一次函数的单调性可得最大值；（Ⅱ）由a2+2b2+c2=（a2+b2）+（b2+c2），运用重要不等式，可得最大值．解答：解：（Ⅰ）当x≤﹣1时，f（x）=3+x≤2；当﹣1＜x＜1时，f（x）=﹣1﹣3x＜2；当x≥1时，f（x）=﹣x﹣3≤﹣4．故当x=﹣1时，f（x）取得最大值m=2．（Ⅱ）a2+2b2+c2=（a2+b2）+（b2+c2）≥2ab+2bc=2（ab+bc），当且仅当a=b=c=时，等号成立．此时，ab+bc取得最大值=1．点评：本题考查绝对值不等式的解法和运用，主要考查分类讨论的思想方法和重要不等式的解法，属于中档题．。
最新高考模拟考试理科数学本试卷分第I 卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分，共5页．考试时间120分钟．满分150分．答题前，考生务必用0.5毫米的黑色签字笔将自己的姓名、座号、考号填写在答题纸规定的位置．第I 卷(选择题 共50分)注意事项：每小题选出答案后，用铅笔把答题纸上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案，不能答在试题卷上．一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．已知i 为虚数单位，复数12i z a i -=+的实部与虚部互为相反数，则实数a = (A)-1 (B)1 (C)3 (D)3-2．已知集合{}2230A x x x =--<，(){}ln 2B x y x ==-,定义{},A B x x R x B -=∈∉且，则A B -= (A)(-1，2) (B)[)2,3 (C)(2，3) (D)(]1,2-3．已知()()2,22a b a b a b ==+⋅-=-u u r u u r r r r r ，则a b r r 与的夹角为 (A)30° (B)45°(C)60° (D)120° 4．命题p ：若22x y ≥，则11gx gy ≥；命题q ：若随机变量ξ服从正态分布()()23,,60.72N P σξ≤=，则()00.28P ξ≤=.下列命题为真命题的是(A)p q ∧ (B)p q ⌝∧ (C)p q ∨⌝ (D)p q ⌝∧⌝5．右图所示的程序框图中按程序运行后输出的结果 (A)7 (B)8 (C)9(D)10 6．已知函数()()()2cos 0,0f x x ωθθπω=+<<>为奇函数，其图象与直线y=2相邻两交点的距离为π，则函数()f x(A)在,63ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递减 (B)在,63ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递增 (C)在,64ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上单调递减 (D)在,64ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上单调递增 7．若对任意实数x 使得不等式23x a x --+≤恒成立，则实数a 的取值范围是(A)[]1,5- (B)[]2,4- (C)[]1,1- (D)[]5,1- 8．已知等腰ABC ∆满足,32AB AC BC AB ==，点D 为BC 边上一点且AD=BD ，则sin ADB ∠的值为(A)36 (B)23 (C)223 (D)639．设双曲线()222210,0x y a b a b-=>>的右焦点为F ，过点F 作x 轴的垂线交两渐近线于点A ，B 两点，且与双曲线在第一象限的交点为P ，设O 为坐标原点，若()225OP OA OB ,,8u R u λλμλ=+∈+=uu r uuu r uu u r ，则双曲线的离心率为 (A)23 (B)35 (C)32 (D)9810．已知函数()23261x ax f x x ++=+，若存在x N *∈使得()2f x ≤成立，则实数a 的取值范围为 (A)[)15,-+∞ (B)(,2122⎤-∞-⎦ （C ）(],16-∞- (D)(],15-∞- 第II 卷(非选择题共100分)注意事项：1．请用0.5毫米的黑色签字笔将每题的答案填写在答题纸的指定位置．书写的答案如需改动，要先划掉原来的答案，然后再写上新答案．2．不在指定答题位置答题或超出答题区域书写的答案无效．在试题卷上答题无效．二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分．11．正四棱锥的主视图和俯视图如图所示，其中主视图为边长为1的正三角形，则该正四棱锥的表面积为__________．12．在二项式393n x x ⎛- ⎪⎝⎭的展开式中，偶数项的二项式系数之和为256，则展开式中x 的系数为___________． 13．若变量,x y 少满足约束条件32930,0x y x y y ≤+≤⎧⎪-+≥⎨⎪≥⎩则z =x +2y 的最大值为__________．14．抛物线()2:20C y px p =>的焦点为F ，O 为坐标原点，M 为C 上一点．若2,MF p MOF =∆的面积为43，则抛物线方程为____________．15．已知函数()31,1,1x f x x x x ⎧≥⎪=⎨⎪<⎩，若关于x 的方程()f x x m =+有两个不同的实根，则实数m 的取值范围为___________．三、解答题：本大题共6小题，共75分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．16．(本小题满分12分)已知()()()2cos sin cos cos 102f x x x x x πλλ⎛⎫=-+-+> ⎪⎝⎭的最大值为3． (I)求函数()f x 的对称轴；(II)在ABC ∆中，内角A ，B ，C 的对边分别为,,a b c ，且cos cos 2A a B c b =-，若不等式()f B m <恒成立，求实数m 的取值范围．17. (本小题满分12分)已知四棱锥P ABCD -，底面ABCD 为平行四边形，PD ⊥底面ABCD ，2,2AD PD DC ===，E,F 分别为PD ，PC 的中点，且BE 与平面ABCD 所成角的正切值为2. （I ）求证：平面PAB ⊥平面PBD ；（II ）求面PAB 与面EFB 所成二面角的余弦值.18．(本小题满分12分)2015年，威海智慧公交建设项目已经基本完成．为了解市民对该项目的满意度，分别从不同公交站点随机抽取若干市民对该项目进行评分(满分100分)，绘制如下频率分布直方图，并将分数从低到高分为四个等级：已知满意度等级为基本满意的有680人．(I)若市民的满意度评分相互独立，以满意度样本估计全市市民满意度.现从全市市民中随机抽取4人，求至少有2人非常满意的概率；(II)在等级为不满意市民中，老年人占13.现从该等级市民中按年龄分层抽取15人了解不满意的原因，并从中选取3人担任整改督导员，记X 为老年督导员的人数，求X 的分布列及数学期望E （X ）；(III)相关部门对项目进行验收，验收的硬性指标是：市民对该项目的满意指数不低于0.8，否则该项目需进行整改，根据你所学的统计知识，判断该项目能否通过验收，并说明理由．(注：满意指数=100满意程度的平均分)19．(本小题满分12分)设单调数列{}n a 的前n 项和为n S ，2694n n S a n =+-，126,,a a a 成等比数列．(I)求数列{}n a 的通项公式；(II)设()226131n n n b n a -=+⋅，求数列{}n b 的前n 项和n T .20．(本小题满分13分)已知函数()()()ln 1,, 1.ax f x x g x a x a=+=>+ (I)若函数()()1f x x x =与g 在处切线的斜率相同，求a 的值：(II)设()()()()=,F x f x g x F x -求的单调区间：(III)讨论关于x 的方程()()f x g x =的根的个数．21．(本小题满分14分)已知椭圆()221222:10,,x y C a b F F a b+=>>是左右焦点，A ，B 是长轴两端点，点()12,,P a b F F 与围成等腰三角形，且12PF F S ∆=(I)求椭圆C 的方程；(II)设点Q 是椭圆上异于A ，B 的动点，直线4x QA QB =-与，分别交于M,N 两点．(i)当1QF MN λ=u u u r u u u u r 时，求Q 点坐标；(ii)过点M,N ，1F 三点的圆是否经过x 轴上不同于点1F 的定点？若经过，求出定点坐标，若不经过，请说明理由.。
届高三第二次模拟考试数学（理）试题试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第II 卷（非选择题）两部分，满分150分，时间120分钟第Ⅰ卷一、选择题：本大题12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，有一项是符合题目要求的。
1．已知集合(){}{}3ln 12,=x M x y x N y y e x R -==-=,∈集合R M N ⋂=则C ( ) A ．1|2x x ⎧⎫≥⎨⎬⎩⎭B ．{}|0y y >C ．1|02x x ⎧⎫<≤⎨⎬⎩⎭D ．{}|0x x < 2.如图，按英文字母表A 、B 、C 、D 、E 、F 、G 、H 、…的顺序 有规律排列而成的鱼状图案中，字母“O ”出现的个数为() A ．27B ．29C ．31D ．333．从随机编号为0001，0002，⋅⋅⋅⋅⋅⋅5000的5000名参加这次鹰潭市模拟考试的学生中用系统抽样的方法抽取一个样本进行成绩分析，已知样本中编号最小的两个编号分别为0018，0068，则样本中最大的编号应该是（）A ．4966B ．4967C ．4968D ．49694．写出不大于1000的所有能被7整除的正整数．．．，下面是四位同学设计的程序框图， 其中正确的是（）A B B B CC CC CD D D D D D DA ．B ．C ．D ．5．函数x x f x -=)31()(的零点所在区间为（） A ．)31,0(B ．)21,31(C ．)1,21(D ．（1，2）6．实数a 使得复数1a ii+-是纯虚数，1120,1b xdx c x dx ==-⎰⎰则c b a ,,的大小关系是（）A ．c b a <<B ．b c a <<C ．b c a <<D ．a b c << 7．下列四种说法中，错误的个数有（）①命题“x ∀∈R ，均有232x x --≥0”的否定是：“x ∃∈R ，使得x 2—3x-2≤0” ②方程21|1|(21)0x y z -+++-=的解集为11,1,2⎧⎫-⎨⎬⎩⎭③“命题p ∨q 为真”是“命题p ∧q 为真”的必要不充分条件； ④集合{0,1}A =,{0,1,2,3,4}B =,满足A C B ⊆Ø的集合C 的个数有7个 A ．0个B ．1个C ．2个D ．3个8．已知342sin ,cos (),552m m x x x m m ππ--==<<++则tan2x=（） A ．39m m --B ．3||9m m --C ．1-55或D ．59．先后掷骰子（骰子的六个面上分别标有1、2、3、4、5、6个点）两次，落在水平桌面后，记正面朝上的点数分别为x ,y ,设事件A 为“y x +为偶数”，事件B 为“x ,y 中有偶数且y x ≠”，则概率)|(A B P 等于（） A ．31 B ．21 C ．61 D ．4110．已知0a >，若不等式316log log 5a a x x n n++-+≤+对任意*n N ∈恒成立，则实数x 的取值范围是() A ．[1,)+∞B ．(0,1]C ．[3,)+∞D ．[1,3]11．已知2()()x x x m ϕ=-在1x =处取得极小值，且函数()f x ，()g x 满足(5)2,'(5)3,(5)4,'(5)f f m g g m ====，则函数()2()()f x F xg x +=的图象在5x =处的切线方程为（）A ．32130x y --=B ．32130x y --=或230x y --=C ．230x y --=D ．230x y --=或23130x y +-= 12．已知函数(1)20152017()2015sin 20151x x f x x ++=++在[,]x t t ∈-上的最大值为M ,最小值为N ,则M N +的值为（） A ．0B ．4032C ．4030D ．4034 第Ⅱ卷二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分 13．若α是第二象限角，其终边上一点(5)P x ，且2cos 4x α=，则sin α= ．14．设x ，y满足约束条件⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧<≤+≤≤)0(14300a aya x y x ，若11y z x -=-的最小值为2531()x x -的展开式的常数项的140，则实数a 的值为 ． 15．已知一个正三棱柱,一个体积为43π的球体与棱柱的所有面均相切,那么这个正三棱柱的表面 积是 ．16．设双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的右焦点为F，过点F 作与x 轴垂直的直线l 交两渐近线于A 、B 两点，且与双曲线在第一象限的交点为P ，设O 为坐标原点，若(,)OP OA OB R λμλμ=+∈u u u r u u r u u u r ，316λμ=，则该双曲线的离心率为 ．三、解答题：本大题共6小题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 17．（本小题满分12分）已知数列{}n a 的首项11a =，点1(,)n n na A n a +在直线1y kx =+上，当2n ≥时，均有111n n n n a aa a +--= （1）求{}n a 的通项公式（2）设23,(1)!n nn a b n =⋅-求数列{}n b 的前n 项和n S 18．（本小题满分12分）我市“水稻良种研究所”对某水稻良种的发芽率与昼夜温差之间的关系进行研究。
2019届高三模拟数学（理）一、选择题：本大题有10小题，每小题5分，共50分，在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求. 1.复数12i i++的共轭复数对应的点位于( )A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限 答案：D 解析：12i i++=(1)(2)(2)(2)i i i i +-+-=35+15i ，所以其共轭复数为35-15i .故选D .2.已知集合Q ＝{x|x>3}，P ＝{x|x<3a}且Q ⊆∁R P ，那么a 的值可以是( )A ．1B ．2C ．3D ．4答案：A 由P ＝{x|x<3a ，得∁R P ＝{x|x ≥3a}．因为Q ⊆∁R P ，所以3a ≤3，所以a ≤1，故选A.3.若向量a 、b 满足：向量a 的模长是1，且(a ＋b)⊥a ，(2a ＋b)⊥b ，则向量b 的模长是( )A ．2 B. 2 C ．1 D.22答案：B解析：由题意得⎩⎪⎨⎪⎧a ＋b ·a ＝a 2＋a ·b ＝02a ＋b·b ＝2a ·b ＋b 2＝0⇒－2a 2＋b 2＝0，即－2|a|2＋|b|2＝0，又|a|＝1，所以|b|＝ 2.故选B.4．已知直线l1与直线l2：4x－3y－6＝0垂直且与圆：x2＋y2＋2y＝0相切，则直线l1的方程是( )A.3x＋4y－1＝0B．3x＋4y＋1＝0或3x＋4y－9＝0C．3x＋4y＋9＝0D．3x＋4y－1＝0或3x＋4y＋9＝0答案：D解析：圆x2＋y2＋2y＝0的圆心为(0，－1)，半径为r＝1，因为直线l1⊥l 2，所以可设直线l1的方程为3x＋4y＋c＝0，由题意得|3×0＋4×－1＋c|＝1，解得c＝－1或c＝9.所以直线l1 32＋42的方程为3x＋4y－1＝0或3x＋4y＋9＝0.故选D.5．某程序框图如图所示，判断框内为“k≥n？”，n为正整数，若输出的S＝26，则判断框内的n＝________.A．n＝6B．n＝5C．n＝4D．n＝3答案：C解析：依题意，执行题中的程序框图，进行第一次循环时，k＝1＋1＝2，S＝2×1＋2＝4；进行第二次循环时，k＝2＋1＝3，S＝2×4＋3＝11；进行第三次循环时，k ＝3＋1＝4，S ＝2×11＋4＝26，因此当输出的S ＝26时，判断框内的n ＝4.6. 已知某空间几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积是( )A ．16B ．32C ．48D ．144 答案：C解析：由题意可得，该几何体为四棱锥P －ABCD ，如图所示，所以V P －ABCD ＝13×2＋62×6×6＝48.故选C.7．设函数f(x)＝3x ＋2x －4，函数g(x)＝2log x ＋2x 2－5，若实数m ，n 分别是函数f(x)，函数g(x)的零点，则( )A ．g(m)<0<f(n)B ．f(n)<0<g(m)C ．0<g(m)<f(n)D ．f(n)<g(m)<0 答案：A解析：依题意，f(0)＝－3<0，f(1)＝1>0，且函数f(x)是增函数，因此函数f(x)的零点在区间(0,1)内，即0<m<1.g(1)＝－3<0，g(2)＝4>0，函数g(x)的零点在区间(1,2)内，即1<n<2，于是有f(n)>f(1)>0.又函数g(x)在(0,1)内是增函数，因此有g(m)<g(1)<0，g(m)<0<f(n)，选A. 8．已知函数(x)f =23log (1x)1132,x a x x a x m-+-≤<⎧⎨-+≤≤⎩，若存在a 使得函数f(x)的函数值是[0,2]，则实数m 的取值范围是( )A ．⎝⎛⎦⎥⎥⎤12，3 B. [3，＋∞) C ．(0，3] D ．{2}答案：B解析：先作出函数f(x)＝log 2(1－x)＋1，－1≤x ＜a的图象，再研究f(x)＝x 3－3x ＋2，a ≤x ≤m 的图象，令f ′(x)＝3x 2－3＝0，得x ＝1，当x>1时，f ′(x)>0，当－1<x<1时，f ′(x)<0，所以当x ＝1时，f(x)在(－1，＋∞)上取得最小值f(1)＝0，又f(3)＝2.若存在a 使f(x)的值域是[0,2]，m 只需满足12<m ≤ 3.故选A.9．设双曲线)0,0(12222>>=-b a by a x 的左、右焦点分别为21,F F ，离心率为e ，过2F 的直线与双曲线的右支交于B A ,两点，若AB F 1∆是以A 为直角顶点的等腰直角三角形，则=2e （）A.221+B. 224-C.225-D.223+ 答案：C解析：设1AF AB m ==，则12BF m =，22222AF m a BF m a =-=-，因为22AB AF BF m =+=，所以22242m a m a m a m -+-=⇒=，所以22(1)2AF m =-，因为12AF F ∆为直角三角形，所以2221212F F AF AF =+，所以225(2)24m c -=，因为42a m =，所以24c =28)225(a ⨯-,所以2e 225-=，故选C ．10．已知函数()ln ,111,14x x f x x x >⎧⎪=⎨+≤⎪⎩，()g x ax =则方程()g x =()f x 恰有两个不同的实根时，实数a 的取值范围是（注：e 为自然对数的底数）（）A ．10,e ⎛⎫ ⎪⎝⎭B ．11,4e ⎡⎫⎪⎢⎣⎭C ．10,4⎛⎤⎥⎝⎦D ．1,4e ⎛⎫ ⎪⎝⎭ 答案：B 解析：作出函数()11,14ln ,1x x f x x x ⎧+≤⎪=⎨⎪>⎩的图象如图：当()g x ax =对应的直线和直线114y x =+平行时，满足两个函数图象有两个不同的交点，直线y ax =和函数()f x 相切时，当1x >时，函数1()f x x'=，设切点为(,)m n ，则切线斜率1()k f m m '==，则对应的切线方程为1ln ()y m x m m -=-，即1ln 1y x m m=+-，又因为直线切线方程为y ax =，所以1ln 10a m m ⎧=⎪⎨⎪-=⎩，解得1m ea e =⎧⎪⎨=⎪⎩，即此时1a e =，此时直线y ax =与()f x 只有一个交点，不满足条件，若方程()f x =ax 恰有两个不同的实根时，则满足114a e≤<；故选B ．二、填空题：本大题有5小题，每小题4分，共20分，把答案填在答卷的相应位置.11. 函数()sin()(02)6f x x πωω=+<<，若2()13f π=，则()f x 的最小正周期为 ． 答案：4π 解析：2()3f π =2sin()36ππω+ =1，所以22362k πππωπ+=+（k Z ∈），即612k ω+=（k Z ∈），因为02ω<<，所以12ω=，所以最小正周期为4T π=． 12. 已知(1＋x)10＝a 0＋a 1(1－x)＋a 2(1－x)2＋…＋a 10(1－x)10，则a 8＝ ． 答案：180解析：因为(1＋x)10＝a 0＋a 1(1－x)＋a 2(1－x)2＋…＋a 10(1－x)10，所以[2－(1－x)]10＝a 0＋a 1(1－x)＋a 2(1－x)2＋…＋a 10(1－x)10，所以a 8＝C 81022(－1)8＝180.13.某高校今年计划在我市招女生a 名，男生b 名，若a 、b 满足不等式组⎩⎪⎨⎪⎧2a －b ≥5a －b ≤2a<7，设这所高校今年计划招生最多x 名，则x ＝ 答案：13解析：如图所示，画出约束条件所表示的区域，即可行域，作直线l ：b ＋a ＝0，平移直线l ，再由a ，b ∈N ，可知当a ＝6，b ＝7时，x ＝a ＋b ＝13.15.某校三位数学教师参加说题、说课、上课项目的比赛．若每人都选择其中两个项目，则有且仅有两人选择的项目完全相同的概率是 答案：23解析：三位数学教师每人选择三项中的两项有C 23C 23C 23＝3×3×3＝27种选法，其中有且仅有两人所选项目完全相同的有C 23C 23C 12＝3×3×2＝18(种)选法．则所求概率为P ＝1827＝23.15．已知数列{a n }的通项公式为a n ＝2n ，(n ∈N *)，若数列{b n }满足：a n＝121b +＋2221b+＋3321b +＋…＋21n n b +，令c n ＝a n b n4(n ∈N *)，则c 1＋c 2＋c 3＋…＋c 10＝. 答案：18489 解析：由a n ＝121b +＋2221b+＋3321b +＋…＋21n n b + (n ≥1)，所以a n ＋1＝121b +＋2221b +＋3321b +＋…＋21n n b +＋1121n n b +++，则1121n n b +++＝a n ＋1－a n ＝2，b n ＋1＝2(12n +＋1)，故b n ＝2(2n＋1)(n ∈N)．c n ＝a n b n 4＝n(2n ＋1)＝n ·2n ＋n ，所以T n ＝c 1＋c 2＋c 3＋…＋c n ＝(1×2＋2×22＋3×32＋…＋n ×2n )＋(1＋2＋…＋n)，令H n ＝1×2＋2×22＋3×32＋…＋n ×2n ，则2H n ＝1×22＋2×32＋3×42＋…＋n ×12n +，所以－H n ＝2＋22＋23＋…＋2n －n ×2n ＋1＝2(12)12n --－n ×12n +，所以H n ＝1(n 1)22n +-+，所以数列{c n }的前n 项和T n ＝1(n 1)22n +-+＋nn ＋12.所以c 1＋c 2＋c 3＋…＋c 10＝18489.三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
最新高考数学二诊试卷（理科）一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分，在每个小题给出的四个选型中，只有一个是符合题目要求的.1．若集合A={x|y=2x}，集合，则A∩B=（）A．（0，+∞）B．（1，+∞）C．[0，+∞）D．（﹣∞，+∞）2．为了得到函数y=3sin（2x+），x∈R的图象，只需把函数y=3sin（x+），x∈R的图象上所有的点的（）A．横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变B．横坐标缩短到原来的倍，纵坐标不变C．纵坐标伸长到原来的2倍，横坐标不变D．纵坐标缩短到原来的倍，横坐标不变3．双曲线﹣=1（a＞0，b＞0）的一条渐近线方程是y=x，则该双曲线的离心率是（）A．B．C．D．4．在复平面内，复数z=（|a|﹣1）+（a+1）i（a∈R，i为虚数单位）对应的点位于第四象限的充要条件是（）A．a≥﹣1 B．a＞﹣1 C．a≤﹣1 D．a＜﹣15．已知直线2x+y﹣3=0的倾斜角为θ，则的值是（）A．﹣3 B．﹣2 C．D．36．在闭区间[﹣4，6]上随机取出﹣个数x，执行如右图所示的程序框图，则输出的x不小于39的概率为（）A．B．C．D．7．已知点M是边长为2的正方形ABCD的内切圆内（含边界）一动点，则•的取值范围是（）A．[﹣1，0] B．[﹣1，2] C．[﹣1，3] D．[﹣1，4]8．已知正项等比数列{a n}满足a5+a4﹣a3﹣a2=8，则a6+a7的最小值为（）A．4 B．16 C．24 D．329．已知f（x）=x2++c（b，c为常数）和g（x）=x+是定义在M={x|1≤x≤4}上的函数，对任意的x∈M，存在x0∈M使得f（x）≥f（x0），g（x）≥g（x0），且f（x0）=g（x0），则f（x）在集合M上的最大值为（）A．B．5 C．6 D．810．已知抛物线x2=4py（p＞0）的焦点F，直线y=x+2与该抛物线交于A，B两点，M 是线段AB的中点，过M作x轴的垂线，垂足为N，若•+（+）•=﹣1﹣5p2，则p的值为（）A．B．C．1 D．2二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分.11．某小组4个同学的数学成绩的茎叶图如图，则该组同学的成绩的中位数是______．12．在x（x﹣1）5展开式中含x3项的系数是______（用数字作答）．13．从数字0、1、2、3、4、5这6个数字中任选三个不同的数字组成的三位偶数有______个．（用数字作答）14．已知点P在单位圆x2+y2=1上运动，P到直线3x﹣4y﹣10=0与x=3的距离分为d1、d2，则d1+d2的最小值是______．15．现定义一种运算“⊕”：对任意实数a，b，a⊕b=，设f（x）=（x2﹣2x）⊕（x+3），若函数g（x）=f（x）+k的图象与x轴恰有两个公共点，则实数k的取值范围是______．三、解答题：本大题共6小题，共75分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 16．某市在“国际禁毒日”期间，连续若干天发布了“珍爱生命，原理毒品”的电视公益广告，期望让更多的市民知道毒品的危害性，禁毒志愿者为了了解这则广告的宣传效果，随机抽取了100名年龄阶段性在[10，20），[20，30），[30，40），[40，50），[50，60）的市民进行问卷调查，由此得到样本频率分布直方图如图所示．（Ⅰ）求随机抽取的市民中年龄段在[30，40）的人数；（Ⅱ）从不小于40岁的人中按年龄段分层抽样的方法随机抽取5人，求[50，60）年龄段抽取的人数；（Ⅲ）从（Ⅱ）中方式得到的5人中再抽取2人作为本次活动的获奖者，记X为年龄在[50，60）年龄段的人数，求X的分布列及数学期望．17．已知函数f（x）=cos4x﹣2sinxcosx﹣sin4x．（1）若x是某三角形的一个内角，且f（x）=﹣，求角x的大小；（2）当x∈[0，]时，求f（x）的最小值及取得最小值时x的集合．18．已知二次函数f（x）=x2+4x+m（m∈R，m为常数）的图象与坐标轴有三个交点，记过这三个交点的圆为圆C．（I）求m的取值范围；（Ⅱ）试证明圆C过定点（与m的取值无关），并求出该定点的坐标．19．已知等差数列{a n}的前n项和S n满足：S5=30，S10=110，数列{b n}的前n项和T n 满足：b1=1，b n+1﹣2T n=1．（1）求S n与b n；（2）比较S n b n与2T n a n的大小，并说明理由．20．在平面直角坐标系中，动点M到定点F（﹣1，0）的距离和它到直线l：x=﹣2的距离之比是常数，记动点M的轨迹为T．（1）求轨迹T的方程；（2）过点F且不与x轴重合的直线m，与轨迹T交于A，B两点，线段AB的垂直平分线与x轴交于点P，与轨迹T是否存在点Q，使得四边形APBQ为菱形？若存在，请求出直线m的方程；若不存在，请说明理由．21．已知函数f（x）=lnx﹣mx（m∈R）．（Ⅰ）讨论函数f（x）的单调区间；（Ⅱ）当m≥时，设g（x）=2f（x）+x2的两个极值点x1，x2（x1＜x2）恰为h（x）=lnx﹣cx2﹣bx的零点，求y=（x1﹣x2）h′（）的最小值．参考答案与试题解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分，在每个小题给出的四个选型中，只有一个是符合题目要求的.1．若集合A={x|y=2x}，集合，则A∩B=（）A．（0，+∞）B．（1，+∞）C．[0，+∞）D．（﹣∞，+∞）【考点】函数的定义域及其求法；交集及其运算．【分析】求出集合A中函数的定义域确定出A，求出集合B中函数的定义域确定出B，求出A与B的交集即可．【解答】解：集合A中的函数y=2x，x∈R，即A=R，集合B中的函数y=，x≥0，即B=[0，+∞），则A∩B=[0，+∞）．故选C2．为了得到函数y=3sin（2x+），x∈R的图象，只需把函数y=3sin（x+），x∈R的图象上所有的点的（）A．横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变B．横坐标缩短到原来的倍，纵坐标不变C．纵坐标伸长到原来的2倍，横坐标不变D．纵坐标缩短到原来的倍，横坐标不变【考点】函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换．【分析】得到函数的图象，只需把函数的图象上所有的点横坐标变为原来的一半【解答】解：由函数图象变换的规则函数的图象，可以由函数的图象上所有的点横坐标缩短到原来的倍，纵坐标不变得到故选B．3．双曲线﹣=1（a＞0，b＞0）的一条渐近线方程是y=x，则该双曲线的离心率是（）A．B．C．D．【考点】双曲线的简单性质．【分析】根据双曲线=1（a＞0，b＞0）的渐近线的方程，得出=，再利用离心率e==计算．【解答】解：双曲线=1（a＞0，b＞0）的渐近线的方程为：y=±x，∵双曲线的一条渐近线方程是y=x，∴=，则离心率e=====．故选：B4．在复平面内，复数z=（|a|﹣1）+（a+1）i（a∈R，i为虚数单位）对应的点位于第四象限的充要条件是（）A．a≥﹣1 B．a＞﹣1 C．a≤﹣1 D．a＜﹣1【考点】复数代数形式的乘除运算；复数的代数表示法及其几何意义．【分析】由复数z的实部大于0，且虚部小于0联立不等式组求得答案．【解答】解：由z=（|a|﹣1）+（a+1）i对应的点位于第四象限，得，即a＜﹣1．∴复数z=（|a|﹣1）+（a+1）i对应的点位于第四象限的充要条件是a＜﹣1．故选：D．5．已知直线2x+y﹣3=0的倾斜角为θ，则的值是（）A．﹣3 B．﹣2 C．D．3【考点】同角三角函数基本关系的运用；直线的倾斜角．【分析】由直线的倾斜角和斜率的关系可得tanθ=﹣2，要求的式子可化为，代入计算可得．【解答】解：∵直线2x+y﹣3=0的倾斜角为θ，∴tanθ=﹣2，∴===．故选：C．6．在闭区间[﹣4，6]上随机取出﹣个数x，执行如右图所示的程序框图，则输出的x不小于39的概率为（）A．B．C．D．【考点】几何概型；程序框图．【分析】根据程序框图求出x的取值范围，结合几何概型的概率公式进行求解即可．【解答】解：由程序框图知，第一次循环，n=1，满足条件n≤3，y=2x+1，n=2，第二次循环，n=2，满足条件n≤3，y=2（2x+1）+1=4x+3，n=3，第三次循环，n=3，满足条件n≤3，y=2（4x+3）+1=8x+7，n=4，此时不满足条件n≤3输出y=8x+7，由8x+7≥39得x≥4，即4≤x≤6，则对应的概率P==，故选：A7．已知点M是边长为2的正方形ABCD的内切圆内（含边界）一动点，则•的取值范围是（）A．[﹣1，0] B．[﹣1，2] C．[﹣1，3] D．[﹣1，4]【考点】平面向量数量积的运算．【分析】如图所示，由题意可得：点M所在的圆的方程为：（x﹣1）2+（y﹣1）2≤1（0≤x≤2，0≤y≤2）．可设点M（x，y）可得•=（x﹣1）2+y2﹣1，由∈[0，2]，即可得出．【解答】解：如图所示，由题意可得：点M所在的圆的方程为：（x﹣1）2+（y﹣1）2≤1（0≤x≤2，0≤y≤2）．可设点M（x，y）A（0，0），B（2，0）．∴•=（﹣x，﹣y）•（2﹣x，﹣y）=﹣x（2﹣x）+y2=（x﹣1）2+y2﹣1，由∈[0，2]，∴•∈[﹣1，3]，故选：C．8．已知正项等比数列{a n}满足a5+a4﹣a3﹣a2=8，则a6+a7的最小值为（）A．4 B．16 C．24 D．32【考点】导数在最大值、最小值问题中的应用；等比数列的性质；数列与函数的综合．【分析】可判数列{a n+a n+1}也是各项均为正的等比数列，设数列{a n+a n+1}的公比为x，a2+a3=a，则x∈（1，+∞），a4+a5=ax，结合已知可得a=，代入可得y=a6+a7的表达式，x∈（1，+∞），由导数求函数的最值即可．【解答】解：∵数列{a n}是各项均为正的等比数列，∴数列{a n+a n+1}也是各项均为正的等比数列，设数列{a n+a n+1}的公比为x，a2+a3=a，则x∈（1，+∞），a5+a4=ax，∴有a5+a4﹣a3﹣a2=ax﹣a=8，即a=，∴y=a6+a7=ax2=，x∈（1，+∞），求导数可得y′==，令y′＞0可得x＞2，故函数在（1，2）单调递减，（2，+∞）单调递增，∴当x=2时，y=a6+a7取最小值：32．故选：D．9．已知f（x）=x2++c（b，c为常数）和g（x）=x+是定义在M={x|1≤x≤4}上的函数，对任意的x∈M，存在x0∈M使得f（x）≥f（x0），g（x）≥g（x0），且f（x0）=g（x0），则f（x）在集合M上的最大值为（）A．B．5 C．6 D．8【考点】函数的最值及其几何意义．【分析】由基本不等式可得g（x）≥1（当且仅当x=，即x=2时，等号成立），从而可得c=﹣1﹣，求导f′（x）=x﹣=，从而可得b=8，c=﹣5，从而解得．【解答】解：∵g（x）=x+≥2=1，（当且仅当x=，即x=2时，等号成立），∴f（2）=2++c=g（2）=1，∴c=﹣1﹣，∴f（x）=x2+=x2+﹣1﹣，∴f′（x）=x﹣=，∵f（x）在x=2处有最小值，∴f′（2）=0，即b=8，故c=﹣5，故f（x）=x2+﹣5，f′（x）=，故f（x）在[1，2]上是减函数，在[2，4]上是增函数，而f（1）=+8﹣5=，f（4）=8+2﹣5=5，故f（x）的最大值为5，故选：B．10．已知抛物线x2=4py（p＞0）的焦点F，直线y=x+2与该抛物线交于A，B两点，M 是线段AB的中点，过M作x轴的垂线，垂足为N，若•+（+）•=﹣1﹣5p2，则p的值为（）A．B．C．1 D．2【考点】抛物线的简单性质．【分析】设A（x1，y1），B（x2，y2），把y=x+2代入x2=4py得x2﹣4px﹣8p=0．利用韦达定理，结合向量的数量积公式，即可得出结论．【解答】解：设A（x1，y1），B（x2，y2），把y=x+2代入x2=4py得x2﹣4px﹣8p=0．由韦达定理得x1+x2=4p，x1x2=﹣8p，所以M（2p，2p+2），所以N点（2p，0）．同理y1+y2=4p+4，y1y2=4∵•+（+）•=﹣1﹣5p2，∴（﹣x1，p﹣y1）•（﹣x2，p﹣y2）+（﹣x1﹣x2，2p﹣y1﹣y2）•（2p，﹣p）=﹣1﹣5p2，代入整理可得4p2+4p﹣3=0，∴p=．故选：B．二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分.11．某小组4个同学的数学成绩的茎叶图如图，则该组同学的成绩的中位数是127 ．【考点】众数、中位数、平均数．【分析】根据茎叶图中的数据，计算数据的中位数即可．【解答】解：根据茎叶图，得到4位同学的成绩为：114，126，128，132，所以中位数是=127．故答案为：127．12．在x（x﹣1）5展开式中含x3项的系数是﹣10 （用数字作答）．【考点】二项式定理的应用．【分析】把（x﹣1）5 按照二项式定理展开，可得x（x﹣1）5展开式中含x3项的系数．【解答】解：在x（x﹣1）5=x•[x5﹣5x4+10x3﹣10x2+5x﹣1]的开式中，含x3项的系数是﹣10，故答案为：﹣10．13．从数字0、1、2、3、4、5这6个数字中任选三个不同的数字组成的三位偶数有52 个．（用数字作答）【考点】计数原理的应用．【分析】分两类，第一类，个位为0，第二类，个位是2或4，再利用分步计数原理求出每一类有多少个，然后相加．【解答】解：分两类，第一类，个位为0，有A52=20个；第二类，个位是2或4，有C21×C41×C41=32个，∴可组成没有重复数字的三位偶数有20+32=52个，故答案为：52．14．已知点P在单位圆x2+y2=1上运动，P到直线3x﹣4y﹣10=0与x=3的距离分为d1、d2，则d1+d2的最小值是5﹣．【考点】直线与圆的位置关系．【分析】设点P（cosu，sinu），求出P到直线3x﹣4y﹣10=0与x=3的距离分为d1、d2，即可求出d1+d2的最小值．【解答】解：设点P（cosu，sinu），P到直线3x﹣4y﹣l0=0的距离为d1=|3cosu﹣4sinu ﹣10|=（10﹣3cosu+4sinu），d2=3﹣cosu，∴d1+d2=（10﹣3cosu+4sinu）+3﹣cosu=5+（4sinu﹣8cosu）=5+sin（u﹣t），∴它的最小值=5﹣．故答案为：5﹣．15．现定义一种运算“⊕”：对任意实数a，b，a⊕b=，设f（x）=（x2﹣2x）⊕（x+3），若函数g（x）=f（x）+k的图象与x轴恰有两个公共点，则实数k的取值范围是（﹣3，﹣2）∪（﹣8，﹣7]∪{1} ．【考点】函数的图象；函数解析式的求解及常用方法．【分析】由条件根据新定义求得f（x）的解析式，由题意可得f（x）的图象和直线y=﹣k 有2个交点，数形结合求得k的范围．【解答】解：令（x2﹣2x）﹣（x+3）=1，求得x=﹣1，或x=4，故当x≤﹣1或x≥4时，（x2﹣2x）﹣（x+3）≥1，f（x）=x+3；当x∈（﹣1，4）时，（x2﹣2x）﹣（x+3）＜1，f（x）=x2﹣2x．函数g（x）=f（x）+k的图象与x轴恰有两个公共点，则f（x）的图象和直线y=﹣k有2个交点，如图所示：故有﹣k=﹣1，或2＜﹣k＜3，或7≤﹣k＜8，求得实数k的取值范围为：（﹣3，﹣2）∪（﹣8，﹣7]∪{1}．三、解答题：本大题共6小题，共75分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 16．某市在“国际禁毒日”期间，连续若干天发布了“珍爱生命，原理毒品”的电视公益广告，期望让更多的市民知道毒品的危害性，禁毒志愿者为了了解这则广告的宣传效果，随机抽取了100名年龄阶段性在[10，20），[20，30），[30，40），[40，50），[50，60）的市民进行问卷调查，由此得到样本频率分布直方图如图所示．（Ⅰ）求随机抽取的市民中年龄段在[30，40）的人数；（Ⅱ）从不小于40岁的人中按年龄段分层抽样的方法随机抽取5人，求[50，60）年龄段抽取的人数；（Ⅲ）从（Ⅱ）中方式得到的5人中再抽取2人作为本次活动的获奖者，记X为年龄在[50，60）年龄段的人数，求X的分布列及数学期望．【考点】离散型随机变量的期望与方差；频率分布直方图；离散型随机变量及其分布列．【分析】（I）由频率分布直方图求出随机抽取的市民中年龄段在[30，40）的频率，由此能求出随机抽取的市民中年龄段在[30，40）的人数．（II）由频率分布直方图得不小于40岁的人的频数是25人，由此能求出在[50，60）年龄段抽取的人数．（III）由已知X=0，1，2，分别求出相应的概率，由此能求出X的分布列及数学期望．【解答】解：（I）由频率分布直方图知，随机抽取的市民中年龄段在[30，40）的频率为：1﹣10×（0.020+0.025+0.015+0.010）=0.3，即随机抽取的市民中年龄段在[30，40）的人数为100×0.3=30人．…（II）由（I）知，年龄段在[40，50），[50，60）的人数分别为100×0.15=15人，100×0.1=10人，即不小于40岁的人的频数是25人，∴在[50，60）年龄段抽取的人数为10×=2人．…（III）由已知X=0，1，2，P（X=0）=，P（X=1）=，P（X=2）=，∴X的分布列为X 0 1 2P∴EX=0×+1×+2×=．…17．已知函数f（x）=cos4x﹣2sinxcosx﹣sin4x．（1）若x是某三角形的一个内角，且f（x）=﹣，求角x的大小；（2）当x∈[0，]时，求f（x）的最小值及取得最小值时x的集合．【考点】三角函数中的恒等变换应用；正弦函数的图象．【分析】（1）利用二倍角公式和两角和公式化简函数解析式，由题意可得cos（2x+）=﹣，根据x∈（0，π），利用余弦函数的性质即可得解．（2）由x∈[0，]，可得2x+∈[，]，利用余弦函数的图象和性质可得f（x）的最小值为﹣，此时2x+=π，即x=．【解答】解：（1）∵f（x）=cos4x﹣2sinxcosx﹣sin4x=（cos2x+sin2x）（cos2x﹣sin2x）﹣sin2x=cos2x﹣sin2x=（cos2x﹣sin2x）=cos（2x+），∴f（x）=cos（2x+）=﹣，可得：cos（2x+）=﹣．∵由题意可得：x∈（0，π），可得：2x+∈（，），可得：2x+=或，∴x=或．（2）∵x∈[0，]，2x+∈[，]，∴cos（2x+）∈[﹣1，]，∴f（x）=cos（2x+）∈[﹣，1]．∴f（x）的最小值为﹣，此时2x+=π，即x=．18．已知二次函数f（x）=x2+4x+m（m∈R，m为常数）的图象与坐标轴有三个交点，记过这三个交点的圆为圆C．（I）求m的取值范围；（Ⅱ）试证明圆C过定点（与m的取值无关），并求出该定点的坐标．【考点】二次函数的性质．【分析】（Ⅰ）由二次函数图象与两坐标轴有三个交点，得到抛物线不过原点，再令y=0，得到关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根，得到根的判别式大于0，即可得到m 的范围；（Ⅱ）设所求圆方程为x2+y2+Dx+Ey+F=0，令y=0得到关于x的方程，与已知方程为同一方程，确定出D与F，令x=0得到关于y的方程，将y=m代入表示出E，将D、E、F代入即可确定出圆C的方程，进而可求圆C经过定点．【解答】解：（I）令x=0，得抛物线与y轴交点是（0，m）；令f（x）=x2+4x+m=0，由题意得：m≠0且△＞0，即m≠0且16﹣4m＞0解得：m＜4且m≠0；（Ⅱ）证明：设所求圆的一般方程为x2+y2+Dx+Ey+F=0，令y=0得：x2+Dx+F=0这与x2+4x+m=0=是同一个方程，故D=4，F=m；令x=0得：y2+Ey+F=0，此方程有一个根为m，代入得出E=﹣m﹣1，∴圆C的方程为x2+y2+4x﹣（m+1）y+m=0．∴x2+y2+4x﹣y+（﹣y+1）m=0∴，∴或，∴圆C经过定点（0，1）和（﹣4，1）．19．已知等差数列{a n}的前n项和S n满足：S5=30，S10=110，数列{b n}的前n项和T n 满足：b1=1，b n+1﹣2T n=1．（1）求S n与b n；（2）比较S n b n与2T n a n的大小，并说明理由．【考点】数列的求和；数列递推式．【分析】（1）由等差数列前n项和公式列出方程组求出首项与公差，由此能求出S n与b n；由，能求出数列{b n}的通项公式．（2）推导出S n b n=（n2+n）•3n﹣1，2T n a n=2n•（3n﹣1），由此利用作差法能比较S n b n与2T n a n的大小．【解答】解：（1）设等差数列{a n}的首项为a1，公差为d，∵S5=30，S10=110，∴，解得∴a n=2+（n﹣1）×2=2n，S n==n2+n．…对数列{b n}，由已知有b2﹣2T1=1，即b2=2b1+1=3，∴b2=3b1，（*）又由已知b n+1﹣2T n=1，可得b n﹣2T n﹣1=1（n≥2，n∈N*），两式相减得b n+1﹣b n﹣2（T n﹣T n﹣1）=0，即b n+1﹣b n﹣2b n=0（n≥2，n∈N*），整理得b n+1=3b n（n≥2，n∈N*），结合（*）得（常数），n∈N*，∴数列{b n}是以b1=1为首项1，3为公比的等比数列，∴b n=3n﹣1．…（2）2T n=b n+1﹣1=3n﹣1，∴S n b n=（n2+n）•3n﹣1，2T n a n=2n•（3n﹣1），于是S n b n﹣2T n a n=（n2+n）•3n﹣1﹣2n•（3n﹣1）=n[3n﹣1（n﹣5）+2]，…当n≤4（n∈N*）时，S n b n﹣2T n a n＜0，即S n b n＜2T n a n；当n≥5（n∈N*）时，S n b n﹣2T n a n＞0，即S n b n＞2T n a n．∴当n≤4（n∈N*）时，S n b n＜2T n a n；当n≥5（n∈N*）时，S n b n＞2T n a n．…20．在平面直角坐标系中，动点M到定点F（﹣1，0）的距离和它到直线l：x=﹣2的距离之比是常数，记动点M的轨迹为T．（1）求轨迹T的方程；（2）过点F且不与x轴重合的直线m，与轨迹T交于A，B两点，线段AB的垂直平分线与x轴交于点P，与轨迹T是否存在点Q，使得四边形APBQ为菱形？若存在，请求出直线m的方程；若不存在，请说明理由．【考点】直线与圆锥曲线的综合问题．【分析】（1）设动点M（x，y），由点到直线的距离公式和两点间距离公式列出方程，能求出轨迹T的方程．（2）假设存在Q（x0，y0）满足条件．设依题意设直线m为x=ky﹣1，联立，消去x，得（k2+2）y2﹣2ky﹣1=0，由此利用韦达定理、椭圆性质、直线方程，结合已知条件能求出直线m的方程．【解答】解：（1）设动点M（x，y），∵动点M到定点F（﹣1，0）的距离和它到直线l：x=﹣2的距离之比是常数，∴由题意，得，化简整理得C的方程为．∴轨迹T的方程为=1．…（2）假设存在Q（x0，y0）满足条件．设依题意设直线m为x=ky﹣1，联立，消去x，得（k2+2）y2﹣2ky﹣1=0，令M（x1，y1），N（x2，y2），则y1+y2=，x1+x2=k（y1+y2）﹣2=，…∴AB的中点N的坐标为（，）．∵PQ⊥l，∴直线PQ的方程为y﹣=﹣k（x+），令y=0，解得x=，即P（，0）．…∵P、Q关于N点对称，∴=（x0），=（y0+0），解得x0=，y0=，即Q（，）．…∵点Q在椭圆上，∴（）2+2（）2=2，解得k2=，∴，∴=±，∴m的方程为y=x+或y=﹣x﹣．…21．已知函数f（x）=lnx﹣mx（m∈R）．（Ⅰ）讨论函数f（x）的单调区间；（Ⅱ）当m≥时，设g（x）=2f（x）+x2的两个极值点x1，x2（x1＜x2）恰为h（x）=lnx﹣cx2﹣bx的零点，求y=（x1﹣x2）h′（）的最小值．【考点】利用导数研究函数的极值；利用导数研究函数的单调性．【分析】（I）求出函数f（x）的导数，讨论m的取值，利用导数判断函数f（x）的单调性与单调区间；（II）对函数g（x）求导数，利用极值的定义得出g'（x）=0时存在两正根x1，x2；再利用判别式以及根与系数的关系，结合零点的定义，构造函数，利用导数即可求出函数y 的最小值．【解答】解：（I）∵函数f（x）=lnx﹣mx，∴，x＞0；当m＞0时，由1﹣mx＞0解得x＜，即当0＜x＜时，f'（x）＞0，f（x）单调递增；由1﹣mx＜0解得x＞，即当x＞时，f'（x）＜0，f（x）单调递减；当m=0时，f'（x）=＞0，即f（x）在（0，+∞）上单调递增；当m＜0时，1﹣mx＞0，故f'（x）＞0，即f（x）在（0，+∞）上单调递增；∴当m＞0时，f（x）的单调递增区间为（0，），单调递减区间为（，+∞）；当m≤0时，f（x）的单调递增区间为（0，+∞）；…（II）g（x）=2f（x）+x2=2lnx﹣2mx+x2，则，∴g'（x）的两根x1，x2即为方程x2﹣mx+1=0的两根；又∵m≥，∴△=m2﹣4＞0，x1+x2=m，x1x2=1；…又∵x1，x2为h（x）=lnx﹣cx2﹣bx的零点，∴lnx1﹣cx12﹣bx1=0，lnx2﹣cx22﹣bx2=0，两式相减得﹣c（x1﹣x2）（x1+x2）﹣b（x1﹣x2）=0，得b=，而，∴y==]==，…令（0＜t＜1），由（x1+x2）2=m2得x12+x22+2x1x2=m2，因为x1x2=1，两边同时除以x1x2，得t++2=m2，∵m≥，故t+≥，解得t≤或t≥2，∴0＜t≤；…设G（t）=，∴G'（t）=，则y=G（t）在（0，]上是减函数，∴G（t）min=G（）=﹣+ln2，即的最小值为﹣+ln2．…2016年10月6日。
最新高考数学二模试卷（理科）一、填空题（共14题，每题4分，满分56分）1．不等式的解为．2．若（i为虚数单位），则实数m= ．3．若函数f（x）=sin的最小正周期为π，则ω= ．4．集合A=，则A∩B ．5．若0≤x≤π，则函数的单调递增区间为．6．如图，若∠OFB=，=﹣6，则以OA为长半轴，OB为短半轴，F为左焦点的椭圆的标准方程为．7．函数f（x）=，若函数g（x）=x2+ax是偶函数，则f（a）= ．8．一个圆锥与一个球的体积相等且圆锥的底面半径是球半径的2倍，若圆锥的高为1，则球的表面积为．9．已知直线l和曲线Γ的极坐标方程分别为ρ（sinθ﹣cosθ）=1和ρ=1，若l和Γ相交于两点A，B，则|AB|= ．10．如图，机车甲、乙分别停在A，B处，且AB=10km，甲的速度为4千米/小时，乙的速度是甲的，甲沿北偏东60°的方向移动，乙沿正北方向移动，若两者同时移动100分钟，则它们之间的距离为千米．11．一个袋子中有7个除颜色外完全相同的小球，其中5个红色，2个黑色．从袋中随机地取出3个小球．其中取到黑球的个数为ξ，则Eξ= （结果用最简分数作答）．12．若正方形ABCD的边长为1，且=，则|= ．13．已知复数z1，z2满足|z1|≤1，﹣1≤Rez2≤1，﹣1≤Imz2≤1，若z=z1+z2，则z在复平面上对应的点组成的图形的面积为．14．x∈R，用记号N（x）表示不小于实数的最小整数，例如N（2.5）=3，，N （1）=1；则函数的所有零点之和为．二、选择题（共4题，每题5分，满分20分）15．a，b，c表示直线，α表示平面，下列命题正确的是（）A．若a∥b，a∥α，则b∥αB．若a⊥b，b⊥α，则a⊥αC．若a⊥c，b⊥c，则a∥b D．若a⊥α，b⊥α，则a∥b16．”直线与抛物线相切”是“直线与抛物线只有一个公共点”的（）A．充分非必要条件B．必要非充分条件C．充要条件 D．非充分非必要条件17．在的展开式中，若第五项的系数与第三项的系数之比为56：3，则展开式中的常数项是（）A．第2项B．第3项C．第4项D．第5项18．已知m，n，i，j均为正整数，记a i，j为矩阵中第i行、第j 列的元素，且a i，j+1=a i，j+1，2a i+2，j=a i+1，j+a i，j（其中i≤n﹣2，j≤m﹣2）；给出结论：①a5，6=；②a2，1+a2，2+…+a2，m=2m；③④若m为常数，则．其中正确的个数是（）A．0个 B．1个 C．2个 D．3个三、解答题（本大题共5题，写出必要的文字说明与步骤）19．已知函数f（x）=cos2x，g（x）=sinxcosx．（1）若直线x=a是函数y=f（x）的图象的一条对称轴，求g（2a）的值；（2）若0≤x≤，求h（x）=f（x）+g（x）的值域．20．在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，E是棱DD1的中点．（1）求直线BE与平面ABB1A1所成角的大小（结果用反三角函数表示）（2）在棱C1D1上是否存在一点F，使得BF1∥平面A1BE，若存在，指明点F的位置，若不存在，请说明理由．21．已知函数f（x）=2x的反函数为f﹣1（x）（1）若f﹣1（x）﹣f﹣1（1﹣x）=1，求实数x的值；（2）若关于x的方程f（x）+f（1﹣x）﹣m=0在区间[0，2]内有解，求实数m的取值范围．22．如图，射线OA，OB所在的直线的方向向量分别为，，点P在∠AOB内，PM⊥OA于M，PN⊥OB于N；（1）若k=1，，求|OM|的值；（2）若P（2，1），△OMP的面积为，求k的值；（3）已知k为常数，M，N的中点为T，且S△MON=，当P变化时，求动点T轨迹方程．23．已知数列{a n}的前n项和为S n，且a n＞0，（1）若b n=1+log2（S n•a n），求数列{b n}的前n项和T n；（2）若0＜θn＜，2n•a n=tanθn，求证：数列{θn}为等比数列，并求出其通项公式；（3）记|，若对任意的n∈N*，c n≥m恒成立，求实数m的最大值．参考答案与试题解析一、填空题（共14题，每题4分，满分56分）1．不等式的解为{x|0＜x＜1} ．【考点】一元二次不等式的解法．【专题】计算题．【分析】利用两个数的商是正数等价于两个数同号；将已知的分式不等式转化为整式不等式组，求出解集．【解答】解：同解于x（x﹣1）＜0所以不等式的解集为{x|0＜x＜1}故答案为{x|0＜x＜1}【点评】本题考查解分式不等式时，利用等价变形转化为整式不等式解．2．若（i为虚数单位），则实数m= ﹣1 ．【考点】复数代数形式的乘除运算．【专题】数系的扩充和复数．【分析】由复数代数形式的乘除运算化简，然后利用复数相等的条件列式求得m值．【解答】解：由，得，即，m=﹣1．故答案为：﹣1．【点评】本题考查了复数代数形式的乘除运算，是基础的计算题．3．若函数f（x）=sin的最小正周期为π，则ω= 2 ．【考点】三角函数的周期性及其求法；正弦函数的图象．【专题】三角函数的图像与性质．【分析】由条件利用诱导公式、二倍角公式化简函数的解析式为f（x）=sinωx，再根据y=Asin （ωx+φ）的周期等于，得出结论．【解答】解：由于函数f（x）=sin=sin•cos=sinωx的最小正周期为π，则=π，∴ω=2，故答案为：2．【点评】本题主要考查诱导公式、二倍角公式的应用，三角函数的周期性及其求法，利用了y=Asin （ωx+φ）的周期等于T=，属于基础题．4．集合A=，则A∩B [0，1] ．【考点】交集及其运算．【专题】集合．【分析】求出A中x的范围确定出A，求出B中x的范围确定出B，找出A与B的交集即可．【解答】解：由A中y=，得到1﹣x≥0，即x≤1，∴A=（﹣∞，1]，由B中y2=4x，得到x=≥0，即B=[0，+∞），则A∩B=[0，1]，故答案为：[0，1]【点评】此题考查了交集及其运算，熟练掌握交集的定义是解本题的关键．5．若0≤x≤π，则函数的单调递增区间为[] ．【考点】三角函数中的恒等变换应用；正弦函数的图象．【专题】三角函数的求值；三角函数的图像与性质．【分析】首先通过三角函数的恒等变换，把函数的关系式变性成正弦型函数，进一步利用整体思想求出函数的单调区间．【解答】解：==，令：，解得：（k∈Z）由于：0≤x≤π，则：函数的单调递增区间为：[]．故答案为：[]．【点评】本题考查的知识要点：三角函数关系式的恒等变换，正弦型函数的单调区间的确定．主要考查学生的应用能力．6．如图，若∠OFB=，=﹣6，则以OA为长半轴，OB为短半轴，F为左焦点的椭圆的标准方程为=1 ．【考点】平面向量数量积的运算．【专题】平面向量及应用；圆锥曲线的定义、性质与方程．【分析】根据已知条件可设椭圆标准方程为，并且可得到a=，再根据即可得到，解出a，c，从而得到b2，从而得出椭圆的标准方程．【解答】解：根据已知条件知：c=，a=||，b=；又，；∴；解得a=，c=；∴b2=2；∴椭圆的标准方程为．故答案为：．【点评】考查椭圆的标准方程，a，b，c的几何意义，直角三角形边角的关系，以及数量积的计算公式．7．函数f（x）=，若函数g（x）=x2+ax是偶函数，则f（a）= 1 ．【考点】函数奇偶性的性质．【专题】函数的性质及应用．【分析】根据g（x）为偶函数即可得到a=0，从而便求出f（a）=1．【解答】解：函数g（x）=x2+ax是偶函数；∴g（﹣x）=g（x）；∴x2﹣ax=x2+ax；∴ax=0；∴a=0；∴f（a）=f（0）=1．故答案为：1．【点评】考查偶函数的定义，以及已知函数解析式求函数值的方法．8．一个圆锥与一个球的体积相等且圆锥的底面半径是球半径的2倍，若圆锥的高为1，则球的表面积为4π．【考点】球的体积和表面积．【专题】计算题；空间位置关系与距离．【分析】设出球的半径，求出球的体积，利用圆锥与球的体积相等，圆锥的高为1，求出球的半径，然后求出球的表面积．【解答】解：设球的半径为：r，则球的体积为：．∵圆锥与球的体积相等，圆锥的高为1，∴=，∴r=1，∴球的表面积为：4πr2=4π．故答案为：4π．【点评】本题考查圆锥与球的表面积与体积，考查计算能力，比较基础．9．已知直线l和曲线Γ的极坐标方程分别为ρ（sinθ﹣cosθ）=1和ρ=1，若l和Γ相交于两点A，B，则|AB|= ．【考点】简单曲线的极坐标方程．【专题】坐标系和参数方程．【分析】把极坐标方程化为直角方程，求出圆心到直线的距离d，利用弦长公式|AB|=2，即可得出．【解答】解：直线l：ρ（sinθ﹣cosθ）=1化为y﹣x=1，曲线Γ：ρ=1，化为x2+y2=1，∴圆心到直线的距离d=，∴|AB|=2=2=．故答案为：．【点评】本题考查了把极坐标方程化为直角方程、点到直线的距离公式、弦长公式|AB|=2，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．10．如图，机车甲、乙分别停在A，B处，且AB=10km，甲的速度为4千米/小时，乙的速度是甲的，甲沿北偏东60°的方向移动，乙沿正北方向移动，若两者同时移动100分钟，则它们之间的距离为千米．【考点】解三角形的实际应用．【专题】解三角形．【分析】由原题求出AD，BC，利用余弦定理求解即可．【解答】解：甲的速度为4千米/小时，移动100分钟，可得AD=千米．甲的速度为4千米/小时，乙的速度是甲的，乙沿正北方向移动，移动100分钟，可得BC=千米，AC=10﹣=千米．∠DAC=120°，CD==．（千米）．故答案为：．【点评】本题考查三角形的解法，余弦定理的应用，考查计算能力．11．一个袋子中有7个除颜色外完全相同的小球，其中5个红色，2个黑色．从袋中随机地取出3个小球．其中取到黑球的个数为ξ，则Eξ= （结果用最简分数作答）．【考点】离散型随机变量的期望与方差．【专题】应用题；概率与统计．【分析】由题意，ξ～H（3，2，7），利用公式可求Eξ．【解答】解：由题意，ξ～H（3，2，7），所以Eξ==．故答案为：．【点评】本题考查超几何分布，考查学生的计算能力，正确运用超几何分布的期望公式是关键．12．若正方形ABCD的边长为1，且=，则|= 5 ．【考点】平面向量数量积的运算．【专题】平面向量及应用．【分析】可画出图形，而根据=进行数量积的计算即可求得答案．【解答】解：如图，==．故答案为：5．【点评】考查求向量长度的方法：||=，以及数量积的计算公式．13．已知复数z1，z2满足|z1|≤1，﹣1≤Rez2≤1，﹣1≤Imz2≤1，若z=z1+z2，则z在复平面上对应的点组成的图形的面积为12+π．【考点】复数的代数表示法及其几何意义．【专题】数系的扩充和复数．【分析】由题意设出z1、z2，结合z=z1+z2得到z的轨迹（x﹣a）2+（y﹣b）2=1，由圆心变化得到z所对应点的图形，则面积可求．【解答】解：∵复数z1，z2满足|z1|≤1，﹣1≤Rez2≤1，﹣1≤Imz2≤1，则可设z1=cosθ+isinθ，z2=a+bi（﹣1≤a≤1，﹣1≤b≤1），由z=z1+z2，得z=（a+cosθ）+（b+sinθ）i，设z=x+yi，则，∴（x﹣a）2+（y﹣b）2=1．当a，b变化时，z点的轨迹如图：则z在复平面上对应的点组成的图形的面积为：图中内部边长为2的正方形面积+四个长为2宽为1的长方形面积+四个四分之一圆的面积．等于．故答案为：12+π．【点评】本题考查复数的代数表示法及其几何意义，考查数形结合的解题思想方法，关键是对题意的理解，属中档题．14．x∈R，用记号N（x）表示不小于实数的最小整数，例如N（2.5）=3，，N （1）=1；则函数的所有零点之和为﹣4 ．【考点】函数的零点与方程根的关系．【专题】计算题；作图题；函数的性质及应用．【分析】作函数y=3x+1与函数y=2x﹣的图象，结合图象讨论以确定方程N（3x+1）=2x﹣的解，从而求函数的所有零点之和．【解答】解：作函数y=3x+1与函数y=2x﹣的图象如下，①当﹣4＜3x+1≤﹣3时，N（3x+1）=﹣3，故2x﹣=﹣3，解得，x=﹣（舍去）；②当﹣5＜3x+1≤﹣4时，N（3x+1）=﹣4，故2x﹣=﹣4，解得，x=﹣；③当﹣6＜3x+1≤﹣5时，N（3x+1）=﹣5，故2x﹣=﹣5，解得，x=﹣；④当﹣7＜3x+1≤﹣6时，N（3x+1）=﹣6，故2x﹣=﹣6，解得，x=﹣（舍去）；故函数的所有零点之和为﹣﹣=﹣4；故答案为：﹣4．【点评】本题考查了数形结合的应用及分类讨论的思想应用，属于中档题．二、选择题（共4题，每题5分，满分20分）15．a，b，c表示直线，α表示平面，下列命题正确的是（）A．若a∥b，a∥α，则b∥αB．若a⊥b，b⊥α，则a⊥αC．若a⊥c，b⊥c，则a∥b D．若a⊥α，b⊥α，则a∥b【考点】空间中直线与平面之间的位置关系．【专题】综合题；空间位置关系与距离；推理和证明．【分析】利用线面平行的判定定理和性质定理即可判断出位置关系，判断A；利用线面垂直的性质定理判断B，D；若a⊥c，b⊥c，则a与b平行、相交、异面都有可能，可判断C．【解答】解：对于A，∵a∥b，∴a与b可以确定平面β．若β∥α，则b∥β；若α∩β=l，∵a∥平面α，∴a∥l．取l为b，则b⊂α，故A不正确；对于B，因为直线a⊥b，直线b⊥α，所以若a⊄α，则a∥α，或者a⊂α，故B不正确；对于C，若a⊥c，b⊥c，则a与b平行、相交、异面都有可能，故不正确；对于D，若a⊥α，b⊥α，利用线面垂直的性质定理可得a∥b，正确．故选：D．【点评】本题考查的知识点是空间直线与直线之间的位置关系，直线与平面之间的位置关系，平面与平面之间的位置关系，熟练掌握空间线面之间的位置关系的定义，几何特征及判定方法是解答的关键．16．”直线与抛物线相切”是“直线与抛物线只有一个公共点”的（）A．充分非必要条件B．必要非充分条件C．充要条件 D．非充分非必要条件【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断．【专题】简易逻辑．【分析】根据充分必要条件的定义，结合直线和抛物线的位置关系进行判断即可．【解答】解：”直线与抛物线相切”能推出“直线与抛物线只有一个公共点”，是充分条件，而“直线与抛物线只有一个公共点”推不出”直线与抛物线相切”，不是必要条件，如图示：，直线和抛物线的对称轴平行时只有1个交点，但不相切，故选：A．【点评】本题考查了充分必要条件，考查直线和抛物线的关系，是一道基础题．17．在的展开式中，若第五项的系数与第三项的系数之比为56：3，则展开式中的常数项是（）A．第2项B．第3项C．第4项D．第5项【考点】二项式定理的应用．【专题】计算题；二项式定理．【分析】在展开式的通项中，令x=1得出第5项的系数与第3项的系数表达式，由已知，求出n，再在通项中令x得指数为0，确定常数项．【解答】解：展开式的通项为T r+1=第5项的系数为•24，第3项的系数为•22，由已知，得出•24：•22=56：3，解得n=10令10﹣5r=0，可得r=2时，取到常数项，故选：B．【点评】本题考查二项式定理的应用：求指定的项．牢记公式是基础，方程思想是关键．18．已知m，n，i，j均为正整数，记a i，j为矩阵中第i行、第j 列的元素，且a i，j+1=a i，j+1，2a i+2，j=a i+1，j+a i，j（其中i≤n﹣2，j≤m﹣2）；给出结论：①a5，6=；②a2，1+a2，2+…+a2，m=2m；③④若m为常数，则．其中正确的个数是（）A．0个 B．1个 C．2个 D．3个【考点】进行简单的合情推理．【专题】综合题；推理和证明．【分析】利用条件确定a n，m=+m，再进行验证，即可得出结论．【解答】解：由题意，2a i+2，j=a i+1，j+a i，j，所以a n，1﹣a n﹣1，1=，所以利用叠加法可得a n，1=+1，因为a i，j+1=a i，j+1，所以a n，m=+m所以：①a5，6=，故不正确；②a2，1+a2，2+…+a2，m=2+3+4+…+m+1=，故不正确；③由a n，m=+m，可得，故不正确；④若m为常数，利用极限可得，正确．故选：B【点评】本题考查新定义，考查数列知识的运用，确定a n，m=+m是关键．三、解答题（本大题共5题，写出必要的文字说明与步骤）19．已知函数f（x）=cos2x，g（x）=sinxcosx．（1）若直线x=a是函数y=f（x）的图象的一条对称轴，求g（2a）的值；（2）若0≤x≤，求h（x）=f（x）+g（x）的值域．【考点】三角函数的最值．【专题】三角函数的求值．【分析】（1）利用二倍角公式化简函数的表达式，通过直线x=a是函数y=f（x）的图象的一条对称轴，求出a，然后求g（2a）的值；（2）化简h（x）=f（x）+g（x）为正弦函数类型，利用角的范围求出相位的范围，然后去函数值域．【解答】解：（1），其对称轴为，因为直线线x=a是函数y=f（x）的图象的一条对称轴，所以，又因为，所以即．（2）由（1）得=∵，∴，∴．所以h（x）的值域为．【点评】本题考查三角函数的化简求值，对称性的应用，三角函数的最值求法，考查计算能力．20．在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，E是棱DD1的中点．（1）求直线BE与平面ABB1A1所成角的大小（结果用反三角函数表示）（2）在棱C1D1上是否存在一点F，使得BF1∥平面A1BE，若存在，指明点F的位置，若不存在，请说明理由．【考点】直线与平面平行的性质；直线与平面所成的角．【专题】证明题；空间位置关系与距离．【分析】（1）先取AA1的中点M，连接EM，BM，根据中位线定理可知EM∥AD，而AD⊥平面ABB1A1，则EM⊥面ABB1A1，从而BM为直线BE在平面ABB1A1上的射影，则∠EBM直线BE与平面ABB1A1所成的角，设正方体的棱长为2，则EM=AD=2，BE=3，BM=，于是在Rt △BEM中，用反正切表示出∠MBE即可．（2）在棱C1D1上存在点F，使B1F平面A1BE，分别取C1D1和CD的中点F，G，连接EG，BG，CD1，FG，因A1D1∥B1C1∥BC，且A1D1=BC，所以四边形A1BCD1为平行四边形，根据中位线定理可知EG∥A1B，从而说明A1，B，G，E共面，则BG⊂面A1BE，根据FG∥C1C∥B1G，且FG=C1C=B1B，从而得到四边形B1BGF为平行四边形，则B1F∥BG，而B1F⊄平面A1BE，BG⊂平面A1BE，根据线面平行的判定定理可知B1F∥平面A1BE．【解答】解：（1）如图（a），取AA1的中点M，连接EM，BM，因为E是DD1的中点，四边形ADD1A1为正方形，所以EM∥AD．又在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中．AD⊥平面ABB1A1，所以EM⊥面ABB1A1，从而BM为直线BE在平面ABB1A1上的射影，∠EBM直线BE与平面ABB1A1所成的角．设正方体的棱长为2，则EM=AD=2，BE==3，BM==于是在Rt△BEM中，tan∠EBM==，即直线BE与平面ABB1A1所成的角是．（2）在棱C1D1上存在点F，使B1F平面A1BE，事实上，如图（b）所示，分别取C1D1和CD的中点F，G，连接EG，BG，CD1，FG，因A1D1∥B1C1∥BC，且A1D1=BC，所以四边形A1BCD1为平行四边形，因此D1C∥A1B，又E，G分别为D1D，CD的中点，所以EG∥D1C，从而EG∥A1B，这说明A1，B，G，E共面，所以BG⊂平面A1BE因四边形C1CDD1与B1BCC1皆为正方形，F，G分别为C1D1和CD的中点，所以FG∥C1C∥B1B，且FG=C1C=B1B，因此四边形B1BGF为平行四边形，所以B1F∥BG，而B1F⊄平面A1BE，BG ⊂平面A1BE，故B1F∥平面A1BE．【点评】本题考查直线与平面所成的角，直线与平面平行，考查考生探究能力、空间想象能力，属于中档题．21．已知函数f（x）=2x的反函数为f﹣1（x）（1）若f﹣1（x）﹣f﹣1（1﹣x）=1，求实数x的值；（2）若关于x的方程f（x）+f（1﹣x）﹣m=0在区间[0，2]内有解，求实数m的取值范围．【考点】反函数；根的存在性及根的个数判断．【专题】函数的性质及应用．【分析】（1）易得f﹣1（x）=log2x，解关于x的对数方程可得；（2）易得m的范围即为函数y=2x+21﹣x在[0，2]的值域，由“对勾函数”的单调性可得．【解答】解：（1）f（x）=2x的反函数为f﹣1（x）=log2x，由若f﹣1（x）﹣f﹣1（1﹣x）=1可得log2x﹣log2（1﹣x）=1，∴log2=1，∴=2，解得x=；（2）∵关于x的方程f（x）+f（1﹣x）﹣m=0在区间[0，2]内有解，∴2x+21﹣x=m在区间[0，2]内有解，∴m的范围即为函数y=2x+21﹣x在[0，2]的值域，函数y=2x+21﹣x=2x+在（0，）单调递减，在（，2）单调递增，∴当x=时，函数取最小值2，当x=2时，函数取最大值，∴实数m的取值范围为．【点评】本题考查反函数，涉及函数的值域和对数函数的性质，属基础题．22．如图，射线OA，OB所在的直线的方向向量分别为，，点P在∠AOB内，PM⊥OA于M，PN⊥OB于N；（1）若k=1，，求|OM|的值；（2）若P（2，1），△OMP的面积为，求k的值；（3）已知k为常数，M，N的中点为T，且S△MON=，当P变化时，求动点T轨迹方程．【考点】轨迹方程；直线的一般式方程．【专题】综合题；直线与圆．【分析】（1）求出|OP|，点P到直线的距离，利用勾股定理，求|OM|的值；（2）直线OA的方程为kx﹣y=0，求出P（2，1）到直线的距离，利用勾股定理求出|OM|，利用△OMP的面积为，求k的值；（3）设直线OA的倾斜角为α，求出|OM|，|ON|，利用S△MON=，可得P变化时，动点T轨迹方程．【解答】解：（1）因为，所以|OP|=，因为OA的方程为y=x，即x﹣y=0，点P到直线的距离为=，所以|OM|==；（2）直线OA的方程为kx﹣y=0，P（2，1）到直线的距离为d=，所以|OM|=，所以△OMP的面积为××=，所以；（3）设M（x1，kx1），N（x2，﹣kx2），T（x，y），x1＞0，x2＞0，k＞0，设直线OA的倾斜角为α，则，根据题意得代入化简得动点T轨迹方程为．【点评】本题考查三角形面积的计算，考查轨迹方程，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．23．已知数列{a n}的前n项和为S n，且a n＞0，（1）若b n=1+log2（S n•a n），求数列{b n}的前n项和T n；（2）若0＜θn＜，2n•a n=tanθn，求证：数列{θn}为等比数列，并求出其通项公式；（3）记|，若对任意的n∈N*，c n≥m恒成立，求实数m的最大值．【考点】数列与不等式的综合；等比关系的确定；数列的求和；数列与函数的综合．【专题】等差数列与等比数列．【分析】（1）直接利用已知条件以及对数的运算法则，直接求出通项公式．然后求解前n项和．（2）化简2n•a n=tanθn，通过a n=S n﹣S n﹣1求出a n，得到θn的函数关系式，然后证明数列{θn}为等比数列，求出其通项公式；（3）化简|，利用函数的最值，求解实数m的最大值．【解答】解：（1）∵，∴b n=1+log2（S n•a n）=1+log2=1﹣2n，，T n==﹣n2（2）由，代入，得，当n≥2时，，因为，代入上式整理得tanθn﹣1=tan（2θn），，所以的常数．当n=1时，，∵，所以数列{θn}是等比数列，首项为，公比为，其通项公式为．（3）由（2）得，它是个单调递减的数列，所以，对任意的n∈N*，c n≥m恒成立，所以m≤（c n）min．由知，c n+1≥c n，所以数列{c n}是单调递增的，c n最小值为c1=0，m≤（c n）min=0，因此，实数m的取值范围是（﹣∞，0]，m的最大值为0．【点评】本题考查数列与函数的综合应用，数列求和，等比数列的判断，考查分析问题解决问题的能力．。
最新高三下学期第二次模拟考试数学试题（理科）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1.已知集合{}{}|12,|3x 5A x a x a B x =-≤≤+=<<，则使得A B ⊇成立的实数a 的取值范围是（ ）A. {}|34a a <≤B. {}|34a a <<C. {}|34a a ≤≤D.∅2.复数()3,12iA Bi AB R i +=+∈+，则A B +的值是（ ） A. 65 B. 0 C. 45- D. 4-3.对于函数(),,y f x x R =∈“()y f x =的图象关于y 轴对称”，是“()y f x =是奇函数”的（ ）A.充分而不必有条件B. 必要而不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件 4.根据下列算法语句：()()"x ";500.5*250.650;int(%io(2),y).x input if x y x elsey x endpr ==<===+*-当输入x 为60时，输出的y 的值为（ ） A.25 B. 30 C. 31 D. 615.已知()()3,2,1,0a b =-=-r r，向量a b λ+r r 与2a b -r r 垂直，则实数λ的值为（ ）A.17-B. 17C. 16-D. 166.通过随机询问由()()()()()2n ad bc K a b c d a c b d -=++++，算得()2100103020404,76250503070K ⨯-⨯=≈⨯⨯⨯参考上面附表得出的正确结论是（ ）A. 在犯错的概率不超过5%的前提下，认为“是否爱好吃零食与性别有关”B. 在犯错的概率不超过5%的前提下，认为“是否爱好吃零食与性别无关 ”C. 有97.5%以上的把握认为“是否爱好吃零食与性别有关”D. 有97.5%以上的把握认为“是否爱好吃零食与性别无关” 7.已知各项均为正数的数列{}n a ，其前n 项和为n S ，1,,2n n S a 且成等差数列，则数列{}n a 的通项公式为（ ）A.32n -B. 22n -C. 12n -D.221n -+ 8.若()()201622016022201612,,x a a x a x a x x R -=++++∈L 则()()()()010********a a a a a a a a ++++++++L 的值是（ ）A. 最新B. 2017C. 2016D. 20159.已知抛物线24y x =的焦点为F ，抛物线的准线与x 轴的交点为P ，以坐标原点O 为圆心，以OF 为半径的圆与抛物线在第四象限的交点记为B ，FPB θ∠=,则sin θ的值为（ ） A.51- B. 31- C. 31- 51- 10.某几何体的三视图如图所示，当xy 取最大值时，该几何体的体积为（ ）A. 27B. 47C. 87D. 16711.已知双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b-=>>，其左右顶点分别为A,B ，P 为曲线上一点，PB ,k PA k 分别为直线PA,PB 的斜率，且PB k 3PA k ⋅=，过左焦点的直线l 与双曲线交于两点M,N ，MN 的最小值为4，则双曲线方程为（ ）A.221412x y -= B. 2293144x y -= C. 2293144x y -=或221124x y -= D.221412x y -=或2239144x y -= 12.直角三角形ABC 中，三内角成等差数列，最短边的长度为m(m>0),P 为ABC V 内的一点，且120APB APC CPB ∠=∠=∠=o ,则21PA PB PC ++=时，m 的值为（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 7第Ⅱ卷（非选择题 共90分）二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.13.已知数列{}n a ，其前n 项和为n S ，且()261n S n n n N*=++∈，则1234aa a a +++的值为 . 14.已知函数()()2,f x ax bx a b R =+∈，且满足()()112,328,f f <<<<则()3f 的取值范围是.15.如图所示三棱锥A BCD-，其中5,6,7,AB CD AC BD AD BC ======则该三棱锥外接球的表面积为.16.已知函数()()()3221,,1121,2202111,0,362x x x f x g x ax a a x x ⎧⎛⎤∈ ⎪⎥+⎪⎝⎦==-+>⎨⎡⎤⎪-+∈⎢⎥⎪⎣⎦⎩，若存在[]1,20,1x x ∈，使得()()12f x g x =成立，则实数a 的取值范围是.三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 17.(本小题满分12分)某同学用“五点法”画函数()sin 0,0,2y A x A πωϕωϕ⎛⎫=+>>< ⎪⎝⎭在某一个周期内的图象时，列表如下：（1）求函数()f x 的表达式；（2）将函数()f x 的图象向左平移π个单位，可得到函数()g x 的图象，且函数()()y f x g x =⋅在区间()0,m 上是单调函数，求m 的最大值.18.(本小题满分12分)某市教育局为了了解高三学生体育达标情况，在某校的高三学生体育达标成绩中随机抽取100个进行调研，按成绩分组：第一组[)75,80，第二组[)80,85，第三组[)85,90，第四组[)90,95，第五组[]95,100得到的频率分布直方图如图所示.采用分层抽样方法在第3,4,5组中共抽取6人复查； （1）已知学生甲和学生乙的成绩均在第4组，求在第4组中学生甲和学生乙至少有一人被选中的复查的概率；（2）在抽取到的6名学生中随机抽取3名学生接受篮球项目的考核，设第3组中有X 名学生接受篮球项目的考核，求X 的分布列和数学期望.19.(本小题满分12分)如图，在四棱锥P ABCD -中，PC ⊥底面ABCD ，ABCD 是直角梯形，,222,AB AD AB AD CD E ⊥===是PB 的中点. （1）求证：平面EAC ⊥平面PBC ； （2）若二面角P AC E --6PA 与平面EAC 所成角的正弦值.20.(本小题满分12分)已知动圆过定点()0,2A ，且在x 轴上截得弦MN 的长为4. （1）求动圆圆心C 的轨迹方程；（2）过定点()0,2A 作一条直线与曲线C 交于E,F 两点，过E,F 分别作曲线C 的切线，两切线相交于点P ，当PE PF ⋅取最小值时，求直线EF 的方程.21.(本小题满分12分)已知0a >，函数()()2,ln .f x ax x g x x =-= （1）若1a =，求函数()()3y f x g x =-的极值；（2）是否存在实数a ，使得()()f x g ax ≥成立？若存在，求出实数a 的取值集合；若不存在，请说明理由.请考生从第22、23、24三题中任选一题作答.注意：只能做所选的题目.如果多做，则按所做的第一个题计分，作答时请用2B 铅笔在答题卡上将所选题号后的方框涂黑. 22.(本小题满分10分)选修4-1：几何证明选讲已知AB 为半圆O 的直径，AB=4，C 为半圆上一点，过点CA 作半圆的切线CD ，过点A 作AD ⊥CD 于D ，交圆于点E ，DE=1.（1）求证：AC 平分∠BAD; （2）求BC 的长.23.(本小题满分10分)选修4-4：坐标系与参数方程选讲已知直线1,:3x t l y t=+⎧⎪⎨=⎪⎩（t 为参数），曲线2cos ,:2sin .x C y θθ=⎧⎨=⎩（θ为参数）.（1）设l 和C 相交于A,B 两点，求AB 的值；（2）若将曲线C 上的各点的横坐标压缩为原来的143C '，设P 为曲线C '上一个动点，求它到直线l 的距离的最小值.24.(本小题满分10分)选修4-5：等式选讲 已知函数()1 3.f x x x =++- （1）求不等式()6f x <的解集；（2）若关于x 的方程()2f x a =-有解，求实数a 的取值范围.。
年高考数学二试卷（理科）一、选择题：（本题共10个小题，每小题5分，共50分，在四个选项中，只有一项是符合要求的）1．设a，b为实数，若=1+i，则|a+bi|=（）A．B．2 C．D．2．集合M={x|（）x≥1}，N={x|y=lg（x+2）}，则M∩N等于（）A．[0，+∞）B．（﹣2，0] C．（﹣2，+∞）D．（﹣∞，﹣2）∪[0，+∞）3．已知，则=（）A．9 B．3 C．1 D．24．如图为一个几何体的三视图，正视图和侧视图均为矩形，俯视图中曲线部分为半圆，尺寸如图，则该几何体的体积为（）A．π+2 B．C．2π+2 D．25．已知f（x）是R上的偶函数，f（0）=2，若f（x）的图象向右平移一个单位后，则得到一个奇函数的图象，那么f（1）+f（3）+f（5）+f（7）+f（9）的值为（）A．1 B．0 C．﹣1 D．6．若实数x，y满足且z=2x+y的最小值为3，则实数b的值为（）A．B．C．D．27．袋中有编号为1，2的两个红球和编号为1，2，3的三个黑球（所有这5个球除颜色和编号外没有其他区别），每次从袋中摸出一个球（不放回），则前两次摸出的球中一个是黑球一个是红球的概率是（）A． B．.C．.D．.8．七名同学站成一排照毕业纪念照，其中甲必须站在正中间，并且乙，丙两位同学要站在一起，则不同的排法有（）A．240种B．192种C．120种D．96种9．若函数f（x）=﹣e ax（a＞0，b＞0）的图象在x=0处的切线与圆x2+y2=1相切，则a+b的最大值是（）A．4 B．2C．2 D．10．已知f（x）=x2﹣3，g（x）=me x，若方程f（x）=g（x）有三个不同的实根，则m的取值范围是（）A．B．C． D．（0，2e）二、填空题：（本题共5个小题，每小题5分，共25分.把每小题的答案填在答题纸的相应位置）11．设的展开式中的常数项等于．12．阅读如图所示的程序框图，运行相应的程序，若输入x的值为﹣4，则输出的y值是．13．已知命题P：“对∀x∈R，∃m∈R，使4x﹣2x+1+m=0”，若命题￢P 是假命题，则实数m的取值范围是．14．若不等式log2（|x+1|+|x﹣2|﹣m）≥2恒成立，则实数m的取值范围为．15．设F1，F2是双曲线C：（a＞0，b＞0）的两个焦点，P是C上一点，若|PF1|+|PF2|=6a，且△PF1F2的最小内角为30°，则C的离心率为．三、解答题（共6个题，共75分，把每题的答案填在答卷纸的相应位置）16．已知函数f（x）=sinωxcosωx﹣cos2ωx﹣（ω＞0，x∈R）的图象上相邻两个最高点的距离为π．（Ⅰ）求函数f（x）的单调递增区间；（Ⅱ）若△ABC三个内角A、B、C的对边分别为a、b、c，且c=，f（C）=0，sinB=3sinA，求a，b的值．17．如图，已知平行四边形ABCD与直角梯形ABEF所在的平面互相垂直，其中BE∥AF，AB⊥AF，AB=BE=AF，BC=AB，∠CBA=，P 为DF的中点．（1）求证：PE∥平面ABCD；（2）求平面DEF与平面ABCD所成角（锐角）的余弦值．18．为了开展全民健身运动，市体育馆面向市民全面开放，实行收费优惠，具体收费标准如下：①锻炼时间不超过1小时，免费；②锻炼时间为1小时以上且不超过2小时，收费2元；③锻炼时间为2小时以上且不超过3小时，收费3元；④锻炼时间超过3小时的时段，按每小时3元收费（不足1小时的部分按1小时计算）已知甲、乙两人独立到体育馆锻炼一次，两人锻炼时间都不会超过3小时，设甲、乙锻炼时间不超过1小时的概率分别是0.4和0.5，锻炼时间为1小时以上且不超过2小时的概率分别是0.5和0.3．（Ⅰ）求甲、乙两人所付费用相同的概率；（Ⅱ）设甲、乙两人所付费用之和为随机变量ξ，求ξ的分布列和数学期望Eξ．19．单调递增数列{a n}的前n项和为S n，且满足4S n=a n2+4n．（1）求数列{a n}的通项公式；（2）数列{b n}满足，求数列{b n}的前n项和T n．20．已知椭圆C：+=1（a＞b＞0）的右焦点F（1，0），过点F 且与坐标轴不垂直的直线与椭圆交于P，Q两点，当直线PQ经过椭圆的一个顶点时其倾斜角恰好为60°．（1）求椭圆C的方程；（2）设O为坐标原点，线段OF上是否存在点T（t，0），使得•=•？若存在，求出实数t的取值范围；若不存在，说明理由．21．已知函数f（x）=+1（a≠0）．（1）当a=1时，求函数f（x）图象在点（0，1）处的切线方程；（2）求函数f（x）的单调区间；（3）若a＞0，g（x）=x2e mx，且对任意的x1，x2∈[0，2]，f（x1）≥g （x2）恒成立，求实数m的取值范围．参考答案与试题解析一、选择题：（本题共10个小题，每小题5分，共50分，在四个选项中，只有一项是符合要求的）1．设a，b为实数，若=1+i，则|a+bi|=（）A．B．2 C．D．【考点】复数求模．【专题】转化思想；综合法；数系的扩充和复数．【分析】先求出a+bi，从而求出a+bi的模．【解答】解：∵=1+i，∴a+bi===+，则|a+bi|==，故选：D．【点评】本题考查了复数求模问题，考查复数的运算法则，是一道基础题．2．集合M={x|（）x≥1}，N={x|y=lg（x+2）}，则M∩N等于（）A．[0，+∞）B．（﹣2，0] C．（﹣2，+∞）D．（﹣∞，﹣2）∪[0，+∞）【考点】交集及其运算．【专题】集合．【分析】求出M和N，再利用两个集合的交集的定义求出M∩N．【解答】解：因为集合M={x|≥1}={x|≥}，所以M={x|x≤0}，N={x|y=lg（x+2）}={x|x＞﹣2}，所以A∩B={x|x≤0}∩{x|x＞﹣2}={x|﹣2＜x≤0}，故选：B．【点评】本题考查解指数不等式、求对数的定义域以及集合的交集的定义与求算，属基础题．3．已知，则=（）A．9 B．3 C．1 D．2【考点】向量的模．【专题】平面向量及应用．【分析】由条件求得==1，且=1，由此求得=的值．【解答】解：∵已知，∴==1，﹣4 +4=1+4﹣4=1，解得=1．∴====3，故选B．【点评】本题主要考查两个向量的数量积的定义，求向量的模的方法，属于中档题．4．如图为一个几何体的三视图，正视图和侧视图均为矩形，俯视图中曲线部分为半圆，尺寸如图，则该几何体的体积为（）A．π+2 B．C．2π+2 D．2【考点】由三视图求面积、体积．【专题】计算题；空间位置关系与距离．【分析】由三视图知，几何体是一个组合体，包括一个三棱柱和半个圆柱，再利用体积公式，即可得到结论．【解答】解：由三视图知，几何体是一个组合体，包括一个三棱柱和半个圆柱，三棱柱的是一个底面是斜边为2的等腰直角三角形，高是2，圆柱的底面半径是1，高是2，所以该几何体的体积为=π+2故选A．【点评】本题考查由三视图还原几何体的直观图，考查几何体体积的计算，属于基础题．5．已知f（x）是R上的偶函数，f（0）=2，若f（x）的图象向右平移一个单位后，则得到一个奇函数的图象，那么f（1）+f（3）+f（5）+f（7）+f（9）的值为（）A．1 B．0 C．﹣1 D．【考点】函数的图象与图象变化；数列的求和．【专题】函数的性质及应用．【分析】由题意知，f（x）是R上的偶函数，f（x﹣1）是一个奇函数，由奇函数的定义得f（x﹣1）+f（x+1）=0，再由f（1）=f（﹣1）=0，即可得到f（1）+f（3）+…+f（9）=f（1）=0，从而得出答案．【解答】解：由题意知，f（x）是R上的偶函数，f（x﹣1）是一个奇函数，∴f（x﹣1）=﹣f（﹣x﹣1）=﹣f（x+1），∴f（x﹣1）+f（x+1）=0，∴f（9）+f（7）=0，f（5）+f（3）=0，由f（x﹣1）是奇函数，得，f（0﹣1）=0，即f（﹣1）=0，又f（x）是R上的偶函数，∴f（1）=f（﹣1）=0，∴f（1）+f（3）+…+f（9）=f（1）=0，故选B．【点评】本题考查函数的奇偶性的应用，以及奇偶函数的图象特征．属于基础题．6．若实数x，y满足且z=2x+y的最小值为3，则实数b的值为（）A．B．C．D．2【考点】简单线性规划．【专题】计算题；对应思想；数形结合法；不等式．【分析】由题意可知b＞0，作出不等式组所表示的平面区域，化目标函数为直线方程的斜截式，数形结合得到最优解，联立方程组求得最优解的坐标，代入目标函数求得b的值．【解答】解：若b＜0，则不等式组表示的平面区域为△OAB及其内部，使目标函数z=2x+y取得最小值的最优解为O（0，0），不满足z=2x+y 的最小值为3；当b＞0时，由约束条件作出可行域如图，联立，解得A（），化目标函数z=2x+y为y=﹣2x+z，由图可知，当直线y=﹣2x+z过A时，直线在y轴上的截距最小，z有最小值为，解得b=．故选：B．【点评】本题考查简单的线性规划，考查了数形结合的解题思想方法，是中档题．7．袋中有编号为1，2的两个红球和编号为1，2，3的三个黑球（所有这5个球除颜色和编号外没有其他区别），每次从袋中摸出一个球（不放回），则前两次摸出的球中一个是黑球一个是红球的概率是（）A． B．.C．.D．.【考点】古典概型及其概率计算公式．【专题】计算题．【分析】利用排列组合知识求出从5个球中每次摸出1个球，摸两次的摸法种数，求出前两次摸出的球中一个是黑球一个是红球的摸法种数，然后直接利用古典概型及其概率计算公式求解．【解答】解：从5个球中每次摸出1个球，摸两次的摸法种数共有种．前两次摸出的球中一个是黑球一个是红球包括第一次摸红球第二次摸黑球和第一次模黑球和第二次摸红球，方法种数为种．所以前两次摸出的球中一个是黑球一个是红球的概率是．故选C．【点评】本题考查了古典概型及其概率计算公式，考查了排列组合的知识，解答的关键在于正确理解题意，是基础题．8．七名同学站成一排照毕业纪念照，其中甲必须站在正中间，并且乙，丙两位同学要站在一起，则不同的排法有（）A．240种B．192种C．120种D．96种【考点】排列、组合的实际应用．【专题】排列组合．【分析】利用甲必须站正中间，先安排甲，甲的两边，每边三人，不妨令乙丙在甲左边，求出此种情况下的站法，再乘以2即可得到所有的站法总数．【解答】解：不妨令乙丙在甲左侧，先排乙丙两人，有A22种站法，再取一人站左侧有C41×A22种站法，余下三人站右侧，有A33种站法，考虑到乙丙在右侧的站法，故总的站法总数是2×A22×C41×A22×A33=192，故选：B．【点评】本题考查排列、组合的实际应用，解题的关键是理解题中所研究的事件，并正确确定安排的先后顺序，此类排列问题一般是谁最特殊先安排谁，俗称特殊元素特殊位置优先的原则．9．若函数f（x）=﹣e ax（a＞0，b＞0）的图象在x=0处的切线与圆x2+y2=1相切，则a+b的最大值是（）A．4 B．2C．2 D．【考点】利用导数研究曲线上某点切线方程．【专题】导数的综合应用．【分析】求函数的导数，求出切线方程根据直线和圆相切得到a，b的关系式，利用换元法即可得到结论．【解答】解：函数的f（x）的导数f′（x）=，在x=0处的切线斜率k=f′（0）=，∵f（0）=﹣，∴切点坐标为（0，﹣），则在x=0处的切线方程为y+=x，即切线方程为ax+by+1=0，∵切线与圆x2+y2=1相切，∴圆心到切线的距离d=，即a2+b2=1，∵a＞0，b＞0，∴设a=sinx，则b=cosx，0＜x＜，则a+b=sinx+cosx=sin（x），∵0＜x＜，∴＜x＜，即当x=时，a+b取得最大值为，【点评】本题主要考查导数的几何意义，以及直线和圆的位置关系，综合考查了换元法的应用，综合性较强．10．已知f（x）=x2﹣3，g（x）=me x，若方程f（x）=g（x）有三个不同的实根，则m的取值范围是（）A．B．C． D．（0，2e）【考点】根的存在性及根的个数判断．【专题】综合题；函数思想；数形结合法；函数的性质及应用．【分析】设f（x）与g（x）的共同切线的切点为（x0，y0），根据导数求出切点，即可求出m的值，结合图象可知m的取值范围．【解答】解：设f（x）与g（x）的共同切线的切点为（x0，y0），∵f（x）=x2﹣3，g（x）=me x，∴f′（x）=2x，g（x）=me x，∴f′（x0）=g′（x0），f（x0）=g（x0），∴2x0=，x02﹣3=，∴x0=x02﹣3，解得x0=3，或x0=﹣1（舍去）当x0=3，∴6=me3，即m=，∵方程f（x）=g（x）有三个不同的实根，由图象可知，∴0＜m＜m，【点评】本题主要考查了利用导数研究函数的极值，以及函数与方程的思想，属于中档题．二、填空题：（本题共5个小题，每小题5分，共25分.把每小题的答案填在答题纸的相应位置）11．设的展开式中的常数项等于﹣160 ．【考点】二项式定理的应用；定积分．【专题】计算题．【分析】在二项展开式的通项公式中，令x的幂指数等于0，求出r 的值，即可求得常数项．【解答】解：∵=﹣（cosπ﹣cos0）=2，则=的展开式的通项公式为T r+1=••=•26﹣r•x3﹣r．令3﹣r=0，解得r=3，故展开式中的常数项等于﹣160，故答案为﹣160．【点评】本题主要考查二项式定理的应用，二项展开式的通项公式，求展开式中某项的系数，二项式系数的性质，属于中档题．12．阅读如图所示的程序框图，运行相应的程序，若输入x的值为﹣4，则输出的y值是0 ．【考点】程序框图．【专题】算法和程序框图．【分析】模拟执行程序框图，依次写出每次循环得到的x的值，当x=1时，退出循环，输出y的值为0．【解答】解：当输入x=﹣4时，|x|＞3，执行循环，x=|﹣4﹣3|=7，|x|=7＞3，执行循环，x=|7﹣3|=4，|x|=4＞3，执行循环，x=|4﹣3|=1，退出循环，输出的结果为y=log1=0．故答案为：0．【点评】本题主要考查了程序框图和算法，正确写出每次循环得到的x的值是解题的关键，属于基础题．13．已知命题P：“对∀x∈R，∃m∈R，使4x﹣2x+1+m=0”，若命题￢P 是假命题，则实数m的取值范围是m≤1 ．【考点】命题的否定．【专题】计算题．【分析】利用命题的否定与原命题真假相反得到命题p是真命题，即方程有解；分离参数，求二次函数的值域．【解答】解：命题￢p是假命题，即命题P是真命题，即关于x的方程4x﹣2x+1+m=0有实数解，m=﹣（4x﹣2x+1）=﹣（2x﹣1）2+1，所以m≤1故答案为m≤1【点评】本题考查┐P与p真假相反；解决方程有解问题即分离参数求函数值域．14．若不等式log2（|x+1|+|x﹣2|﹣m）≥2恒成立，则实数m的取值范围为（﹣∞，﹣1] ．【考点】绝对值不等式的解法．【专题】不等式的解法及应用．【分析】由于不等式log2（|x+1|+|x﹣2|﹣m）≥2恒成立⇔|x+1|+|x﹣2|﹣m≥22，求出|x+1|+|x﹣2|的最小值即可．【解答】解：：∵不等式log2（|x+1|+|x﹣2|﹣m）≥2恒成立，∴|x+1|+|x﹣2|﹣m≥22，化为|x+1|+|x﹣2|≥4+m，∵|x+1|+|x﹣2|≥3，∴3≥4+m，解得m≤﹣1．∴实数m的取值范围为（﹣∞，﹣1]，故答案为：（﹣∞，﹣1]．【点评】本题考查了对数的运算性质、绝对值的几何意义、恒成立问题的等价转化等基础知识与基本技能方法，属于中档题．15．设F1，F2是双曲线C：（a＞0，b＞0）的两个焦点，P是C上一点，若|PF1|+|PF2|=6a，且△PF1F2的最小内角为30°，则C的离心率为．【考点】双曲线的简单性质．【专题】圆锥曲线的定义、性质与方程．【分析】利用双曲线的定义求出|PF1|，|F1F2|，|PF2|，然后利用最小内角为30°结合余弦定理，求出双曲线的离心率．【解答】解：因为F1、F2是双曲线的两个焦点，P是双曲线上一点，且满足|PF1|+|PF2|=6a，不妨设P是双曲线右支上的一点，由双曲线的定义可知|PF1|﹣|PF2|=2a 所以|F1F2|=2c，|PF1|=4a，|PF2|=2a，∵△PF1F2的最小内角∠PF1F2=30°，由余弦定理，∴|PF2|2=|F1F2|2+|PF1|2﹣2|F1F2||PF1|cos∠PF1F2，即4a2=4c2+16a2﹣2×2c×4a×，∴c2﹣2ca+3a2=0，∴c= a所以e==．故答案为：．【点评】本题考查双曲线的定义，双曲线的离心率的求法，考查计算能力．三、解答题（共6个题，共75分，把每题的答案填在答卷纸的相应位置）16．已知函数f（x）=sinωxcosωx﹣cos2ωx﹣（ω＞0，x∈R）的图象上相邻两个最高点的距离为π．（Ⅰ）求函数f（x）的单调递增区间；（Ⅱ）若△ABC三个内角A、B、C的对边分别为a、b、c，且c=，f（C）=0，sinB=3sinA，求a，b的值．【考点】余弦定理；两角和与差的正弦函数；正弦函数的单调性．【专题】解三角形．【分析】（Ⅰ）f（x）解析式利用二倍角的正弦、余弦函数公式化简，整理为一个角的正弦函数，根据题意确定出ω的值，确定出f（x）解析式，利用正弦函数的单调性求出函数f（x）的单调递增区间即可；（Ⅱ）由f（C）=0，求出C的度数，利用正弦定理化简sinB=3sinA，由余弦定理表示出cosC，把各自的值代入求出a与b的值即可．【解答】解：f（x）=sin2ωx﹣（1+cos2ωx）﹣=sin（2ωx﹣）﹣1，∵f（x）图象上相邻两个最高点的距离为π，∴=π，即ω=1，则f（x）=sin（2x﹣）﹣1，（Ⅰ）令﹣+2kπ≤2x﹣≤+2kπ，k∈Z，得到﹣+kπ≤x≤kπ+，k∈Z，则函数f（x）的单调递增区间为[﹣+kπ，kπ+]，k∈Z；（Ⅱ）由f（C）=0，得到f（C）=sin（2C﹣）﹣1=0，即sin（2x﹣）=1，∴2C﹣=，即C=，由正弦定理=得：b=，把sinB=3sinA代入得：b=3a，由余弦定理及c=得：cosC===，整理得：10a2﹣7=3a2，解得：a=1，则b=3．【点评】此题考查了正弦、余弦定理，以及二倍角的正弦、余弦函数公式，熟练掌握定理是解本题的关键．17．如图，已知平行四边形ABCD与直角梯形ABEF所在的平面互相垂直，其中BE∥AF，AB⊥AF，AB=BE=AF，BC=AB，∠CBA=，P 为DF的中点．（1）求证：PE∥平面ABCD；（2）求平面DEF与平面ABCD所成角（锐角）的余弦值．【考点】二面角的平面角及求法；直线与平面平行的判定．【专题】空间位置关系与距离；空间向量及应用．【分析】（I）如图所示，取AD的中点M，连接MP，MB．又P为DF 的中点．利用三角形的中位线定理可得，验证，可得，四边形BMPE为平行四边形，得到PE∥BM，可得PE∥平面ABCD；（II）连接AC，在△ABC中，由余弦定理可得AC=AB，AC⊥AB．由平面ABCD⊥平面ABEF，可得AC⊥平面ABEF．分别以AB，AF，AC 为x，y，z轴建立空间直角坐标系，可设AB=1，设平面DEF的法向量为=（x，y，z），则，可得．取平面ABCD的一个法向量=（0，1，0），利用=，即可得出．【解答】（I）证明：如图所示，取AD的中点M，连接MP，MB．又P为DF的中点．∴，又∵，∴，∴四边形BMPE为平行四边形，∴PE∥BM，而PE⊄平面ABCD，BM⊂平面ABCD，∴PE∥平面ABCD；（II）解：连接AC，在△ABC中，BC=AB，∠CBA=，由余弦定理可得：AC2=BC2+AB2﹣2BC•ABcos∠CBA==AB2，∴AC=AB，∴△ABC是等腰直角三角形，AC⊥AB．∵平面ABCD⊥平面ABEF，平面ABCD∩平面ABEF=AB，∴AC⊥平面ABEF．分别以AB，AF，AC为x，y，z轴建立空间直角坐标系，设AB=1，则A（0，0，0），B（1，0，0），E（1，1，0），C（0，0，1），D（﹣1，0，1），F（0，2，0）．∴=（2，1，﹣1），=（1，2，﹣1）．设平面DEF的法向量为=（x，y，z），则，∴，令x=1，则y=1，z=3．∴=（1，1，3）．取平面ABCD的一个法向量=（0，1，0），则===．∴平面DEF与平面ABCD所成角（锐角）的余弦值为．【点评】本题考查了线面平行与垂直的判定与性质定理、三角形的中位线定理、平行四边形的判定与性质定理，考查了通过建立空间直角坐标系利用线面垂直的性质定理、向量垂直与数量积的关系及平面的法向量的夹角求出二面角的方法，考查了空间想象能力，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．18．为了开展全民健身运动，市体育馆面向市民全面开放，实行收费优惠，具体收费标准如下：①锻炼时间不超过1小时，免费；②锻炼时间为1小时以上且不超过2小时，收费2元；③锻炼时间为2小时以上且不超过3小时，收费3元；④锻炼时间超过3小时的时段，按每小时3元收费（不足1小时的部分按1小时计算）已知甲、乙两人独立到体育馆锻炼一次，两人锻炼时间都不会超过3小时，设甲、乙锻炼时间不超过1小时的概率分别是0.4和0.5，锻炼时间为1小时以上且不超过2小时的概率分别是0.5和0.3．（Ⅰ）求甲、乙两人所付费用相同的概率；（Ⅱ）设甲、乙两人所付费用之和为随机变量ξ，求ξ的分布列和数学期望Eξ．【考点】离散型随机变量及其分布列；离散型随机变量的期望与方差．【专题】概率与统计．【分析】（I）根据题意分别设甲付费0元、2元、3元为事件A1、A2、A3，乙付费0元、2元、3元为事件B1、B2、B3．则P（A1）=0.4，P（A2）=0.5，P（A3）=0.1，P（B1）=0.5，P（B2）=0.3，P（B3）=0.2．设甲、乙两人所付费用相同为事件M，则M=A1B1+A2B2+A3B3，可得P（M）=P（A1）P（B1）+P（A2）P（B2）+P（A3）P（B3）．（II）由题意可知：随机变量ξ的可能取值为0，2，3，4，5，6．P（ξ=0）=P（A1）P（B1），P（ξ=2）=P（A1）P（B2）+P（A2）P（B1），P（ξ=3）=P（A1）P（B3）+P（A3）P（B1），P（ξ=4）=P（A2）P（B2），P（ξ=5）=P（A2）P （B3）+P（A3）P（B2），P（ξ=6）=P（A3）P（B3）．即可得出分布列及其数学期望．【解答】解：（I）根据题意分别设甲付费0元、2元、3元为事件A1、A2、A3，乙付费0元、2元、3元为事件B1、B2、B3．则P（A1）=0.4，P（A2）=0.5，P（A3）=1﹣0.4﹣0.5=0.1，P（B1）=0.5，P（B2）=0.3，P（B3）=1﹣0.5﹣0.3=0.2．由题意可知：A i与B i相互独立，设甲、乙两人所付费用相同为事件M，则M=A1B1+A2B2+A3B3，∴P（M）=P（A1）P（B1）+P（A2）P（B2）+P（A3）P（B3）=0.4×0.5+0.5×0.3+0.1×0.2=0.37．（II）由题意可知：随机变量ξ的可能取值为0，2，3，4，5，6．P（ξ=0）=P（A1）P（B1）=0.4×0.5=0.2，P（ξ=2）=P（A1）P（B2）+P（A2）P（B1）=0.4×0.3+0.5×0.5=0.37，P （ξ=3）=P（A1）P（B3）+P（A3）P（B1）=0.4×0.2+0.1×0.5=0.13，P（ξ=4）=P（A2）P（B2）=0.5×0.3=0.15，P（ξ=5）=P（A2）P（B3）+P（A3）P（B2）=0.5×0.2+0.1×0.3=0.13，P（ξ=6）=P（A3）P（B3）=0.1×0.2=0.02．ξ0 2 3 4 5 6p（ξ）0.2 0.370.130.150.130.02Eξ=0×0.2+2×0.37+3×0.13+4×0.15+5×0.13+6×0.02=2.5．【点评】本题考查了古典概型的概率计算公式、互斥事件与相互独立事件的概率计算公式、随机变量的分布列及其数学期望，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．19．单调递增数列{a n}的前n项和为S n，且满足4S n=a n2+4n．（1）求数列{a n}的通项公式；（2）数列{b n}满足，求数列{b n}的前n项和T n．【考点】数列的求和；数列递推式．【专题】等差数列与等比数列．【分析】（1）由4S n=a n2+4n，利用递推关系可得：，变为（a n﹣2+a n﹣1）（a n﹣2﹣a n﹣1）=0，利用数列{a n}是单调递增数列，可得a n﹣a n﹣1=2．利用等差数列的通项公式即可得出；（2）由数列{b n}满足，可得=．再利用“错位相减法”、等比数列的前n项和公式即可得出．【解答】解：（1）∵4S n=a n2+4n．∴当n=1时，4a1=+4，解得a1=2；当n≥2时，+4（n﹣1），∴4a n=4S n﹣4S n﹣1=a n2+4n﹣，化为，变为（a n﹣2+a n﹣1）（a n﹣2﹣a n﹣1）=0，∴a n+a n﹣1=2或a n﹣a n﹣1=2．∵数列{a n}是单调递增数列，a n+a n﹣1=2应该舍去，∴a n﹣a n﹣1=2．∴数列{a n}是等差数列，首项为2，公差为2，∴a n=2+2（n﹣1）=2n．（2）∵数列{b n}满足，∴=，∴=．∴数列{b n}的前n项和T n=+…+，=+…+，∴=++…+=﹣=，∴．【点评】本题考查了递推式的应用、“错位相减法”、等差数列与等比数列的通项公式与前n项和公式、对数的运算性质、数列的单调性，考查了推理能力与计算能力，属于难题．20．已知椭圆C：+=1（a＞b＞0）的右焦点F（1，0），过点F 且与坐标轴不垂直的直线与椭圆交于P，Q两点，当直线PQ经过椭圆的一个顶点时其倾斜角恰好为60°．（1）求椭圆C的方程；（2）设O为坐标原点，线段OF上是否存在点T（t，0），使得•=•？若存在，求出实数t的取值范围；若不存在，说明理由．【考点】椭圆的简单性质．【专题】综合题；圆锥曲线的定义、性质与方程．【分析】（1）根据题意，知c=1，再求出b2与a2即可；（2）设出直线PQ的方程，与椭圆方程联立，得出关于x的一元二次方程；再设出P、Q的坐标，表示出线段PQ的中点R，根据得出TR是线段PQ的垂直平分线；利用直线TR的方程，求出T点的横坐标t的取值范围，即可得出结论．【解答】解：（1）根据题意，得c=1；又，所以b2=3，且a2=b2+c2=4，所以椭圆的方程为：；（2）设直线PQ的方程为：y=k（x﹣1），（k≠0），代入，得：（3+4k2）x2﹣8k2x+4k2﹣12=0；设P（x1，y1），Q（x2，y2），线段PQ的中点为R（x0，y0），则，由得：，所以直线TR为线段PQ的垂直平分线；直线TR的方程为：，令y=0得：T点的横坐标，因为k2∈（0，+∞），所以，所以；所以线段OF上存在点T（t，0），使得，其中．【点评】本题考查了椭圆的性质与应用的问题，也考查了直线与椭圆方程的综合应用问题，直线垂直关系的应用问题以及根与系数的关系应用问题，是综合性题目．21．已知函数f（x）=+1（a≠0）．（1）当a=1时，求函数f（x）图象在点（0，1）处的切线方程；（2）求函数f（x）的单调区间；（3）若a＞0，g（x）=x2e mx，且对任意的x1，x2∈[0，2]，f（x1）≥g （x2）恒成立，求实数m的取值范围．【考点】利用导数研究曲线上某点切线方程；利用导数求闭区间上函数的最值．【专题】分类讨论；导数的概念及应用；导数的综合应用；不等式的解法及应用．【分析】（1）求出a=1时f（x）的导数，求得切点，由点斜式方程即可得到切线方程；（2）求出f（x）的导数，并分解因式，讨论a＞0，a＜0，由导数大于0可得增区间，由导数小于0，得减区间；（3）“对任意的x1，x2∈[0，2]，f（x1）≥g（x2）恒成立”等价于“当a ＞0时，对任意的x1，x2∈[0，2]，f min（x）≥g max（x）成立”，求得f（x）在[0，2]上的最小值，再求g（x）的导数，对m讨论，结合单调性，求得最大值，解不等式即可得到．【解答】解：（1）当a=1时，，f（0）=1，导数，所以f′（0）=1，即有切线方程为y﹣1=x﹣0，即x﹣y+1=0；（2）由题意可知，函数f（x）的定义域为R，，当a＞0时，x∈（﹣1，1），f′（x）＞0，f（x）为增函数，x∈（﹣∞，﹣1），（1，+∞），f′（x）＜0，f（x）为减函数；当a＜0时，x∈（﹣1，1），f′（x）＜0，f（x）为减函数，x∈（﹣∞，﹣1），（1，+∞），f′（x）＞0，f（x）为增函数．（3）“对任意的x1，x2∈[0，2]，f（x1）≥g（x2）恒成立”等价于“当a＞0时，对任意的x1，x2∈[0，2]，f min（x）≥g max（x）成立”，当a＞0时，由（2）可知，函数f（x）在[0，1]上单调递增，在[1，2]上单调递减，而，所以f（x）的最小值为f（0）=1，g（x）的导数g′（x）=2xe mx+x2e mx•m=（mx2+2x）e mx，当m=0时，g（x）=x2，x∈[0，2]时，g max（x）=g（2）=4，显然不满足g max（x）≤1，当m≠0时，令g′（x）=0得，，①当，即﹣1≤m≤0时，在[0，2]上g′（x）≥0，所以g（x）在[0，2]单调递增，所以，只需4e2m≤1，得m≤﹣ln2，所以﹣1≤m ≤﹣ln2；②当，即m＜﹣1时，在，g（x）单调递增，在，g（x）单调递减，所以，只需，得，所以m＜﹣1；③当，即m＞0时，显然在[0，2]上g′（x）≥0，g（x）单调递增，，4e2m≤1不成立．综上所述，m的取值范围是（﹣∞，﹣ln2]．【点评】本题考查导数的运用：求切线方程和单调区间、极值和最值，主要考查不等式的恒成立问题转化为求函数最值，运用分类讨论的思想方法是解题的关键．美好的未来不是等待，而是孜孜不倦的攀登。
最新高考模拟试题 数学试卷（理科）考生注意：1．每位考生应同时收到试卷和答题卷两份材料，解答必须在答题卷上进行并在规定的位置书写，写在试卷、草稿纸上的解答一律无效；2．答卷前，考生务必将学校、姓名、准考证号等相关信息填写清楚，并贴好条形码； 3．本试卷共23道试题，满分150分；考试时间120分钟．一、填空题(本大题满分56分)本大题共有14题，考生应在答题卷的相应编号的空格内直接填写结果，每题填对得4分，否则一律得零分．1．已知集合{1,3,21}A m =--，集合2{3,}B m =．若B A ⊆，则实数m =．2．计算：131lim2n n nn +→∞+=．3．函数()1f x 的反函数1()f x -=．4．函数2()(sin cos )f x x x =-的最小正周期为．5．在极坐标系中，直线(cos 2sin )1ρθθ+=与直线sin 1ρθ=的夹角大小为（结果用反三角函数值表示）．6．已知菱形ABCD ，若||1AB =u u u r ，3A π=，则向量AC u u u r 在AB u u u r上的投影为．7．已知一个凸多面体的平面展开图由两个正六边形和六个正方形构成，如右图所示，若该凸多面体所有棱长均为1，则其体积V =． 8．已知函数3())f x x x =+，若()f x 的定义域中的a 、b 满足f (-a )+f (-b )-3=f (a )+f (b )+3，则()()f a f b +=．9．在代数式5221(425)1x x x ⎛⎫--+ ⎪⎝⎭的展开式中，常数等于．10．若椭圆上的点到其一个焦点的距离的最小值为5，最大值为15，则该椭圆的短轴长为．11．有红、黄、蓝三种颜色，大小相同的小球各3个，在每种颜色的3个小球上分别标上号码1、2和3，现任取出3个，它们的颜色与号码均不相同的概率是（结果用最简分数表示）．12．设离散型随机变量ξ可能取的值为1，2，3，()P k ak b ξ==+（1,2,3k =），若ξ的数学期望73E ξ=，则a b +=． 13．正整数a 、b 满足1a b <<，若关于x 、y 的方程组24033,|1|||||y x y x x a x b =-+⎧⎨=-+-+-⎩有且只有一组解，则a 的最大值为．14．数列{}n a 中，若10a =，2i a k =（*i ∈N ，122k k i +<≤，1,2,3,k =L ），则满足2100i i a a +≥的i 的最小值为．二、选择题(本大题满分20分)本大题共有4题，每题有且只有一个正确答案，考生应在答题卷的相应编号上，将代表答案的小方格涂黑，选对得5分，否则一律得零分．15．已知直角坐标平面上两条直线的方程分别为1111:0l a x b y c ++=，2222:0l a x b y c ++=，那么“11220a b a b =”是“两直线1l 、2l 平行”的[答] ( )． A ．充分非必要条件 B ．必要非充分条件 C ．充要条件D ．既非充分又非必要条件16．复数i1im z +=-（m ∈R ，i 为虚数单位）在复平面上的点不可能位于[答] ( )． A ．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限 D ．第四象限 17．若△ABC 的三条边a ，b ，c 满足()()()7910a b b c c a +++=∶∶∶∶，则△ABC [答] ( )． A ．一定是锐角三角形 B ．一定是直角三角形 C ．一定是钝角三角形D ．可能是锐角三角形，也可能是钝角三角形18．若函数()lg[sin()sin(2)sin(3)sin(4)]f x x x x x =π⋅π⋅π⋅π的定义域与区间[0,1]的交集由n 个开区间组成，则n 的值为[答] ( )． A ．2 B ．3 C ．4 D ．5三、解答题（本大题满分74分）本大题共有5题，解答下列各题必须在答题卷的相应编号规定区域内写出必要的步骤． 19．（本题满分12分）如图，小凳凳面为圆形，凳脚为三根细钢管．考虑到钢管的受力等因素，设计的小凳应满足：三根细钢管相交处的节点P 与凳面圆形的圆心O 的连线垂直于凳面和地面，且P 分细钢管上下两段的比值为0.618，三只凳脚与地面所成的角均为60︒．若A 、B 、C 是凳面圆周的三等分点，18AB =厘米，求凳子的高度h 及三根细钢管的总长度（精确到0.01）．20．（本题满分13分）本题共有2个小题，第1小题满分6分，第2小题满分7分． 已知函数()sin cos f x a x b x =+，其中a 、b 为非零实常数．（1）若4f π⎛⎫= ⎪⎝⎭，()f x a 、b 的值．（2）若1a =，6x π=是()f x 图像的一条对称轴，求0x 的值，使其满足0()f x =0[0,2]x ∈π．21．（本题满分13分）本题共有2个小题，第1小题满分6分，第2小题满分7分． 已知函数2()1x x f x a x -=++，其中1a >． （1）证明：函数()f x 在(1,)-+∞上为增函数．（2）证明：不存在负实数0x 使得0()0f x =．22．（本题满分18分）本题共有3个小题，第1小题满分4分，第2小题满分6分，第3小题满分8分．已知数列{}n a 的通项公式为12()()n a n k n k =--，其中*n ∈N ，1k 、2k ∈Z ． （1）试写出一组1k 、2k 的值，使得数列{}n a 中的各项均为正数．（2）若11k =，*2k ∈N ，数列{}n b 满足nn a b n=，且对任意的*m ∈N （3m ≠），均有3m b b <，写出所有满足条件的2k 的值．（3）若12k k <，数列{}n c 满足||n n n c a a =+，其前n 项和为n S ，且使0i j c c =≠（i 、*j ∈N ，i j <）的i 和j 有且仅有4组，1S 、2S 、…、n S 中有至少3个连续项的值相等，其它项的值均不相等，求1k 、2k 的最小值．23．（本题满分18分）本题共有3个小题，第1小题满分4分，第2小题满分6分，第3小题满分8分．对于双曲线(,)a b C ：22221x y a b -=（,0a b >），若点00(,)P x y 满足2200221x y a b -<，则称P 在(,)a b C 的外部；若点00(,)P x y 满足2200221x y a b->，则称P 在(,)a b C 的内部．（1）若直线1y kx =+上点都在(1,1)C 的外部，求k 的取值范围．（2）若(,)a b C 过点(2,1)，圆222x y r +=（0r >）在(,)a b C 内部及(,)a b C 上的点构成的圆弧长等于该圆周长的一半，求b 、r 满足的关系式及r 的取值范围．（3）若曲线2||1xy mx =+（0m >）上的点都在(,)a b C 的外部，求m 的取值范围．数学试卷（文理）参考答案一、填空题(本大题满分56分)1．1 2．13．3(1)x -，x ∈R 4．π 5．6．327 8．3- 9．（理）15（文）123n - 10．（理）1511．（理）114（文）12．（理）16（文）213．（理）2016（文）11414．（理）128（文）2016二、选择题(本大题满分20分)15．B 16．D17．C 18．C 三、解答题(本大题满分74分)19．(本题满分12分)[解] 联结PO ，AO ，由题意，PO ⊥平面ABC ，因为凳面与地面平行， 所以PAO ∠就是PA 与平面ABC 所成的角，即60PAO ∠=︒．（2分） 在等边三角形ABC 中，18AB =，得AO =，（4分） 在直角三角形PAO中，18OP =，（6分）由0.618OPh OP=-，解得47.13h ≈厘米．（9分） 三根细钢管的总长度3163.25sin 60h≈︒厘米．（12分） 20．(本题满分13分)本题共有2个小题，第1小题满分6分，第2小题满分7分．[解]（1）因为()sin cos )f x a x b x x θ=+=+（其中sin θ，cos θ=），所以()f x=（2分）及422f π⎛⎫=+= ⎪⎝⎭（4分）解得1a =-，3b =或3a =，1b =-．（6分）（2）易知，当x π=于是162f π⎛⎫=+= ⎪⎝⎭b =（8分）于是()sin 2sin()3f x x x x π==+，（10分）当()f x =2x k =π或23x k π=π+（k ∈Z ）．（12分）因为0[0,2]x ∈π，故所求0x 的值为0，3π，2π．（13分）21．(本题满分13分)本题共有2个小题，第1小题满分6分，第2小题满分7分．[证明]（1）任取121x x -<<，1212121222()()11x x x x f x f x a a x x ---=+--++ 121212121212223()()()11(1)(1)x x x x x x x x a a a a x x x x ⎛⎫---=-+-=-+⎪++++⎝⎭．（3分） 因为121x x -<<，1a >，所以12x x a a <，110x +>，210x +>，120x x -<，于是120x x a a -<，12123()0(1)(1)x x x x -<++，得12()()0f x f x -<，即12()()f x f x <． 因此，函数()f x 在(1,)-+∞上为增函数．（6分）（2）（反证法）若存在负实数0x （01x ≠-），使得0()0f x =，即方程201x x a x -+=+有负实数根．（8分）对于21x x a x -=-+，当00x <且01x ≠-时，因为1a >，所以0110,,1x a a a ⎛⎫⎛⎫∈ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭U ，（10分）而000231(,1)(2,)11x x x --=-+∈-∞-+∞++U ．（13分） 因此，不存在负实数0x 使得21x x a x -=-+，得证．22．(本题满分18分)本题共有3个小题，第1小题满分4分，第2小题满分6分，第3小题满分8分．（理）[解]（1）11k =-、22k =-（答案不唯一）．（4分）（2）由题设，22(1)n n a kb n k n n==+-+．（6分）当21k =，2时，2()kf n n n =+均单调递增，不合题意，因此，23k ≥．当23k ≥时，对于2()kf n n n=+，当n ()f n单调递减；当n ()f n 单调递增．由题设，有123b b b >>，34b b <<L ．（8分）于是由23b b >及43b b >，可解得2612k <<． 因此，2k 的值为7，8，9，10，11．（10分）（3）2,0,||0,0.n n n n n n a a c a a a >⎧=+=⎨⎩≤其中2121212()()()n a n k n k n k k n k k =--=-++，且12k k <．当120k k <≤时，{}n a 各项均为正数，且单调递增，2n n c a =，也单调递增，不合题意；当120k k <≤时，222,,0,.n n a n k c n k >⎧=⎨⎩≤不合题意；（12分）于是，有120k k <<，此时12122,,0,.n n a n k or n k c k n k <>⎧=⎨⎩≤≤（14分）因为0i j c c =≠（i 、*j ∈N ，i j <），所以i 、12(,)j k k ∉．于是由212121222()()2[()]n n c a n k n k n k k n k k ==--=-++，可得1222k k i j++=，进一步得120i k k j <<<<，此时，i 的四个值为1，2，3，4，因此，1k 的最小值为5．（16分）又1S 、2S 、…、n S 中有至少3个连续项的值相等，其它项的值均不相等， 不妨设+1+2==m m m S S S =L ，于是有+1+2==0m m c c =L ，因为当12k n k ≤≤时，0n c =，所以12512k m m k =+<+<L ≤≤， 因此，26k ≥，即2k 的最小值为6．（18分）（文）[解]（1）设直线310x y -+=上点的坐标为00(,31)x x +，代入22x y -，得2222200031(31)8()88x y x x x -=-+=--+，（2分） 对于x ∈R ，22118x y -<≤，因此，直线31y x =+上的点都在(1,1)C 的外部．（4分） （2）设点N 的坐标为00(,)x y ，由题设22001x y -≥．（6分）||MN =u u u u r ，由22001x y +≥，得||MN =u u u u r ，（8分）对于0y ∈R ，于是||MN u u u u r ，（10分）因此，||MN u u u u r ．（3）因为圆222x y r +=和双曲线(,)a b C 均关于坐标轴和原点对称，所以只需考虑这两个曲线在第一象限及x 、y 轴正半轴的情况．由题设，圆与双曲线的交点平分该圆在第一象限内的圆弧，它们交点的坐标为22⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭．（12分）将x ，y =代入双曲线(,)a b C 方程，得2222122r r a b-=（*），（13分）又因为(,)a b C 过点(2,1)，所以22411a b-=，（15分）将22241b a b =+代入（*）式，得22283b r b =-．（17分）由222308r b r =>-，解得28r >．因此，r 的取值范围为)+∞．（18分） 23．(本题满分18分)本题共有3个小题，第1小题满分4分，第2小题满分6分，第3小题满分8分．（理）[解]（1）由题意，直线1y kx =+上点00(,1)x kx +满足221x y -<，即求不等式2200(1)1x kx -+<的解为一切实数时k 的取值范围．（1分） 对于不等式220(1)220k x kx ---<， 当1k =±时，不等式的解集不为一切实数，（2分）于是有22210,48(1)0,k k k ⎧-<⎪⎨∆=+-<⎪⎩解得||k >故k 的取值范围为(,)-∞+∞U ．（4分）（2）因为圆222x y r +=和双曲线(,)a b C 均关于坐标轴和原点对称，所以只需考虑这两个曲线在第一象限及x 、y 轴正半轴的情况．由题设，圆与双曲线的交点平分该圆在第一象限内的圆弧，它们交点的坐标为⎝⎭．将2x =，2y =代入双曲线(,)a b C 方程，得2222122r r a b-=（*），（6分）又因为(,)a b C 过点(2,1)，所以22411a b-=，（7分）将22241b a b =+代入（*）式，得22283b r b =-．（9分）由222308rb r =>-，解得28r >．因此，r的取值范围为)+∞．（10分） （3）由2||1xy mx =+，得1||||||y m x x =+．将1||||||y m x x =+代入22221x y a b -<，由题设，不等式22221||||1m x x x a b ⎛⎫+ ⎪⎝⎭-<对任意非零实数x 均成立．（12分） 其中22222222222221||||1[()2]m x x x a b a m x a m a b a b x⎛⎫+ ⎪⎝⎭-=---． 令2x t =，设22222()()2a f t b a m t a m t=---，（0t >）． 当2220b a m ->时，函数()f t 在(0,)+∞上单调递增，()1f t <不恒成立；（14分）当2220b a m -<时，2222()a b a m t t---≤函数()f t的最大值为22a m -，因为0m >01<<；（16分）当2220b a m -=时，22()201a f t a m t =--<<．（17分）综上，2220b a m -≤，解得b m a ≥．因此，m 的取值范围为,b a ⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭．（18分）（文） [解]（1）11k =-、22k =-（答案不唯一）．（4分）（2）由题设，22(1)n n a kb n k n n==+-+．（6分）当21k =，2时，2()kf n n n =+均单调递增，不合题意，因此，23k ≥．当23k ≥时，对于2()kf n n n=+，当n ()f n单调递减；当n ()f n 单调递增．由题设，有123b b b >>，34b b <<L ．（8分）于是由23b b >及43b b >，可解得2612k <<． 因此，2k 的值为7，8，9，10，11．（10分）（3）因为2121212()()()n a n k n k n k k n k k =--=-++，且120k k <<，所以12122,,||0,.n n n n a n k or n k c a a k n k <>⎧=+=⎨⎩≤≤（12分）因为0i j c c =≠（i 、*j ∈N ，i j <），所以i 、12(,)j k k ∉．（14分）于是由212122[()]n c n k k n k k =-++，可得1222k k i j++=，进一步得120i k k j <<<<， 此时，i 的四个值为1，2，3，4，因此，1k 的最小值为5．（16分）又1S 、2S 、…、n S 中有至少3个连续项的值相等，其它项的值均不相等，不妨设+1+2==m m m S S S =L ，于是有+1+2==0m m c c =L ，因为当12k n k ≤≤时，0n c =，所以12512k m m k =+<+<L ≤≤，因此，26k ≥，即2k 的最小值为6．（18分）。
最新高三二模理科数学第Ⅰ卷一、选择题（本大题共12个小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1、已知集合}9log |{},0124|{312>=<-+=x x B x x x A ，则B A ⋂等于A 、)2,31(- B 、（-2，3） C 、（-2，2） D 、（-6，-2）2、已知复数i aiZ 21510--=的实部与虚部之和为4，则复数Z 在复平面上对应的点在A 、第一象限B 、第二象限C 、第三象限D 、第四象限3、已知)6cos()42(cos 2ππ+=+x x，则x cos 等于A 、33B 、33- C 、31D 、31-4、已知向量a 与b 的夹角为︒60，5||,2||==b a ，则a b a 在-2方向上的投影为A 、23B 、2C 、25D 、35、如果实数y x ,满足条件⎪⎩⎪⎨⎧≤-≥-+≥+-0102201x y x y x ，则y x Z 3221+-=的最大值为A 、1B 、43C 、0D 、746、已知435522105)1()1()1()21(a a x a x a x a a x ++++++++=-，则Λ等于A 、0B 、-240C 、-480D 、9607、执行如图所示的程序框图，则下列说法正确的A 、5),4,2(的值为输出i a ∈∀B 、5),5,4(的值为输出i a ∈∃C 、5),4,3(的值为输出i a ∈∀D 、5),4,2(的值为输出i a ∈∃8、已知函数)3sin(sin 2)(ϕ+=x x x f 是奇函数，其中)2,0(πϕ∈，则函数)2cos()(ϕ-=x x g 的图像A 、对称关于点)0,12(πB 、可由函数)(x f 的图像向右平移3π个单位得到C 、可由函数)(x f 的图像向左平移6π个单位得到 D 、可由函数)(x f 的图像向左平移3π个单位得到 9、已知函数)(x f 的定义域为R ，对任意1)1(1)()(,212121=->--<f x x x f x f x x ，且有，则不等式|13|log 2|)13|(log 22--<-xx f 的解集为 A 、)0,(-∞ B 、)1,(-∞ C 、)3,0()0,1(⋃- D 、)1,0()0,(⋃-∞10、一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为A 、314B 、5C 、316D 、6 11、已知点A 是抛物线2222)4(:)0(2:a y x C p px y M =-+>=与圆在第一象限的公共点，且点A 到抛物线M 焦点F 的距离为a 。
2018学年高考毕业班调研测试 高三数学试卷(理科)（考试时间：120分钟，满分150分）一. 填空题 (本大题满分56分）本大题共有14题，考生应在答题纸相应编号的空格内直接写结果，1-14题每个空格填对得4分)1、若()1i bi +是纯虚数，是虚数单位，则实数b =_______．2、函数y =_______．(用区间表示) 3、已知△ABC 中，2AB =u u u r ，3AC =u u u r ，0AB AC ⋅<u u u r u u u r，且△ABC 的面积为32，则BAC ∠=_______．4、双曲线2241x y -=的一条渐近线与直线10tx y ++=垂直，则t =________．5、已知抛物线24y x =上一点(0,M x ，则点M 到抛物线焦点的距离为________．6、无穷等比数列首项为1,公比为()0q q >的等比数列前n 项和为nS ，则lim 2n n S →∞=，则q =________．7、在一个水平放置的底面半径为3的圆柱形量杯中装有适量的水，现放入一个半径为R 的实心铁球，球完全浸没于水中且无水溢出，若水面高度恰好上升R ，则R =________．8、从4名男生和3名女生中选出4人参加某个座谈会，若这4人中必须既有男生又有女生， 则不同的选法共有________种．9、在平面直角坐标系xOy 中，将点(2,1)A 绕原点O 逆时针旋转4π到点B ，若直线OB 的倾斜角为α，则cos α的值为_______． 10、已知函数()22x xf x a -=-⋅的反函数是()1f x -，()1f x -在定义域上是奇函数，则正实数a =________．11、把极坐标方程sin cos ρθθ=+化成直角坐标标准方程是__________．12、在621x x ⎛⎫++⎪⎝⎭展开式中常数项是_______．(用数值回答)13、在棱长为1的正方体ABCD A B C D ''''-中，若点P 是棱上一点，则满足2PA PC '+= 的点P 的个数_______．14、若数列{}n a 前n 项`和n S 满足()2*1212,n nS S nn n N -+=+≥∈,且1ax=，{}n a 单调递增，则x 的取值范围是_______．(第13题）二．选择题（本大题满分20分）本大题共有4题，每题有且只有一个正确答案，考生应在答题纸的相应编号上，将代表答案的小方格涂黑，选对得5分，否则一律得零分.15、平面α的斜线与平面α所成的角是35°，则与平面α内所有不过斜足的直线所成的 角的范围是（ ）．A ．(0,35⎤⎦ B ．(00,90⎤⎦ C ．)035,90⎡⎣ D ．0035,90⎡⎤⎣⎦ 16、已知22log ,log ,2x y 成等差数列，则(),M x y 的轨迹表示的图像为（ ）．A ．B ．C ．D ．17、设z z C z z z z z 1212122222402，，，∈-+==||，那么以|z1|为直径的圆的面积为( ) ．A ．πB ．4πC ．8πD ．16π 18、方程935x x b ++=()b R ∈两个负实数解,则b 的取值范围为（ ）．A ．()3,5B ．()5.25,5--C ．[)5.25,5-D ．前三个都不正确三．解答题（本大题满分74分）本大题共有5题，解答下列各题必须在答题纸相应编号的规定区域内写出必要的步骤.19、平面ABC 外的一点P ，,,AP AB AC 两两互相垂直，过AC 的中点D 作ED ⊥面ABC ，且1ED =，2PA =，2AC =，连,BP BE ，多面体B PADE -的体积是．(1)画出面PBE 与面ABC 的交线，说明理由； （2）求面PBE 与面ABC 所成的锐二面角的大小．ADCPE20、已知椭圆:C()012222>>=+babyax的长轴长是短轴长的两倍，焦距为32．（1）求椭圆C的标准方程；（2）不过原点O的直线与椭圆C交于两点M、N，且直线OM、MN、ON的斜率依次成等比数列，问：直线是否定向的，请说明理由．21、如图所示，,A B是两个垃圾中转站，B在A的正东方向16千米处，AB的南面为居民生活区．为了妥善处理生活垃圾，政府决定在AB的北面建一个垃圾发电厂P．垃圾发电厂P的选址拟满足A B P可看成三个点）：以下两个要求（,,①垃圾发电厂到两个垃圾中转站的距离与它们每天集中的生活垃圾量成反比，比例系数相同；②垃圾发电厂应尽量远离居民区（这里参考的指标是点P到直线AB的距离要尽可能大）．现估测得,A B两个中转站每天集中的生活垃圾量分别约为30吨和50吨．设50PA x =>．(1)求cos PAB ∠(用x 的表达式表示) ；(2)垃圾发电厂该如何选址才能同时满足上述要求？22、（1）已知120x x <<，求证：112211x x x x +>+；(2)已知()()31lg 1log 2f x x x=+-,求证：()f x 在定义域内是单调递减函数；(3)在(2)的条件下，求集合(){}221419980,M n f n n n Z=--≥∈的子集个数.居民生活区 第21题图北23、数列{}n a ，{}n b 满足1111221111122n n n n n na ab b a b ++⎧=+⎪⎪⎨⎪=⋅+⋅⎪⎩，0,011>>b a .（1）求证：{}n n b a ⋅是常数列；（2）若{}n a 是递减数列，求1a 与1b 的关系； （3）设114,1a b ==，当2n ≥时，求n a 的取值范围.高三数学试卷(文科)（考试时间：120分钟，满分150分）一. 填空题(本大题满分56分）本大题共有14题，考生应在答题纸相应编号的空格内直接写结果，1-14题每个空格填对得4分)1、若()1i bi +是纯虚数，是虚数单位，则实数b =_______．2、函数y =_______．(用区间表示) 3、已知△ABC 中，2AB =u u u r，3AC =u u u r ，0AB AC ⋅<u u u r u u u r，且△ABC 的面积为32，则BAC ∠=_______．4、双曲线2241x y -=的一条渐近线与直线10tx y ++=垂直，则t =________．5、已知抛物线24y x =上一点(0,M x ，则点M 到抛物线焦点的距离为________．6、无穷等比数列首项为1,公比为()0q q >的等比数列前n 项和为nS ，则lim 2n n S →∞=，则q =________．7、在一个水平放置的底面半径为3的圆柱形量杯中装有适量的水，现放入一个半径为R 的实心铁球，球完全浸没于水中且无水溢出，若水面高度恰好上升R ，则R =________． 8、从4名男生和3名女生中选出4人参加某个座谈会，若这4人中必须既有男生又有女生， 则不同的选法共有________种．9、在平面直角坐标系xOy 中，将点(2,1)A 绕原点O 逆时针旋转4π到点B ，若直线OB 的倾斜角为α，则cos α的值为_______．10、已知函数()22x xf x a -=-⋅的反函数是()1f x -，()1f x -在定义域上是奇函数，则正实数a =________． 11、已知1,0x y ≥≥，集合{(,)|4}A x y x y =+≤,{(,)|0}B x y x y t =-+=，如果A B φ⋂≠,则的取值范围是_______．12、在412x x ⎛⎫++ ⎪⎝⎭展开式中常数项是_______．(用数值回答)13、如图，一个空间几何体的正视图、侧视图、俯视图均为全等的等腰直角三角形，如果直 角三角形的直角边长都为1，那么这个几何体的表面积为_______．14、若数列{}n a 满足142n n a a n ++=+()*1,n n N ≥∈ ,且1a x=，{}n a 单调递增，则x 的取值范围是_______．（第13题）二．选择题（本大题满分20分）本大题共有4题，每题有且只主视图俯视图左视图有一个正确答案，考生应在答题纸的相应编号上，将代表答案的小方格涂黑，选对得5分，否则一律得零分.15、平面α的斜线与平面α所成的角是35°，则与平面α内所有不过斜足的直线所成的 角的范围是（ ）．A ．(00,35⎤⎦ B ．)035,90⎡⎣ C ．()00,90D ．0035,90⎡⎤⎣⎦ 16、下列不等式中，与不等式23282<+++x x x 解集相同的是（ ）.A ．()2(8)223x x x +>++ B ．)32(282++<+x xxC ．823212+<++x x x D ．218322>+++x x x 17、若复数z满足关系z i z z 则,12|4||2|22=-++对应的复平面的点Z的轨迹是 （ ）． A ．圆 B ．椭圆 C ．双曲线 D ．直线18、方程935x x b ++=()b R ∈有一个正实数解,则b 的取值范围为（ ）．A ．()5,3-B ．()5.25,5--C ．[)5,5-D ．前三个都不正确三．解答题（本大题满分74分）本大题共有5题，解答下列各题必须在答题纸相应编号的规定区域内写出必要的步骤. 19、平面ABC 外的一点P ，,,AP AB AC 两两互相垂直，过AC 的中点D 作ED ⊥面ABC ，且1ED =，2PA =，2AC =，连,BP BE，多面体B PADE -的体积是．(1)画出面PBE 与面ABC 的交线，说明理由；（2）求BE 与面PADE 所成的线面角的大小．ADBCPE20、已知椭圆:C ()012222>>=+b a b y a x 的长轴长是短轴长的两倍，焦距为32．（1）求椭圆C 的标准方程；（2）设,A B 是四条直线b y a x ±=±=,所围成的两个顶点,P 是椭圆C上的任意一点,若OP mOA nOB =+u u u r u u u r u u u r ，求证：动点(),Q m n 在定圆上运动．21、如图所示，,A B是两个垃圾中转站，B在A的正东方向16千米处，AB的南面为居民生活区．为了妥善处理生活垃圾，政府决定在AB的北面建一个垃圾发电厂P．垃圾发电厂P的选址拟满足A B P可看成三个点）：以下两个要求（,,①垃圾发电厂到两个垃圾中转站的距离与它们每天集中的生活垃圾量成反比，比例系数相同；②垃圾发电厂应尽量远离居民区（这里参考的指标是点P到直线AB的距离要尽可能大）．现估测得,A B两个中转站每天集中的生活垃圾量分别约为30吨和50吨．设50PA x =>．(1)求cos PAB ∠(用x 的表达式表示) ；(2)垃圾发电厂该如何选址才能同时满足上述要求？22、（1）已知120x x <<，求证：112211x x x x +>+；(2)已知()()31lg 1log 2f x x x=+-,求证()f x 在定义域内是单调递减函数；(3)在(2)的条件下，求集合(){}221419980,M n f n n n Z=--≥∈的子集个数.居民生活区 第21题图北23、数列{}n a ，{}n b 满足1111221111122n n n n n na ab b a b ++⎧=+⎪⎪⎨⎪=⋅+⋅⎪⎩，0,011>>b a .（1）求证：{}n n b a ⋅是常数列；（2）若{}n a 是递减数列，求1a 与1b 的关系； （3）设114,1a b ==，32log 2n n n a c a +=-，求{}n c 的通项公式．2016年4月奉贤区二模数学参考答案一、填空1、02、[)0,+∞3、56π4、12±5、46、1 27、328、349、1010、1a=11、22111222x y⎛⎫⎛⎫-+-=⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭12、58113、6 14、()2,3二、选择15、D 16、A 17、B 18、B文科参考答案1、02、[)0,+∞3、56π4、12±5、46、1 27、328、349、1010、1a =11、[]4,2- 12、7013、14、()1,3二、选择15、D 16、B 17、A 18、A三、解答题19、(1)根据条件知:PE 与AD 交点恰好是C1分,C PE C ∈∴∈面PBE ,,C AC C ∈∴∈面ABC2分B ∈面PBE,B ∈面ABC3分 面PBE与面ABC的交线BC5分(2)(理) ,,AP AB AC 两两互相垂直,BA ⊥面EDAP 7分多面体B PADE -的体积是()1132PA DE AD BA ⨯+⨯⨯=9分BA ∴=10分建立空间直角坐标系,设平面的法向量是()1,,n x y z u r3B ⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭ ，()0,2,0C()0,1,0D ()0,1,1E()0,0,2P 23BP ⎛⎫=- ⎪ ⎪⎝⎭u u u r ，,1,13BE ⎛⎫=- ⎪ ⎪⎝⎭u u u r1203n BP x z ⋅=-+=u r u u u r 103n BE x y z ⋅=-++=u r u u u r)1n ∴=u r11分面ABC 的法向量()20,0,1n =u u r1212cos n nn n θ⋅==⋅u r u u r u r u u r =12分所以面PBE 与面ABC所成的锐二面角大小arccos513分注：若作出二面角得2分，计算再3分(2)(文) ,,AP AB AC 两两互相垂直,BA ⊥面EDAP 7分多面体B PADE -的体积是()11323PA DE AD BA ⨯+⨯⨯=9分BA ∴=10分 连接AEAE 是BE 在面EDAP 的射影BEA ∠是BE 与面PADE 所成的线面角．11分计算AE =tan BAE ∠==12分BEA ∠是BE 与面PADE 所成的线面角arctan3． 13分20、解：（1）由已知得 2222222a b c a b c =⨯⎧⎪=⎨⎪=+⎩3分解得2,1a b == 5分A DBCPE∴椭圆C 的标准方程为2214x y +=．6分（2）(理)由题意可设直线的方程为：()0y kx m km =+≠，联立2214y kx mx y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩，消去y 并整理，得：()()222144410k x kmx m +++-=7分 计算()2216410k m ∆=-+>8分此时设()()1122,,,M x y N x y ，则122814kmx x k +=+，()21224114m x x k -=+9分 于是()()()2212121212y y kx m kx m k x x km x x m =++=+++ 10分又直线,,OM MN ON 的斜率依次成等比数列，∴()2212122121212k x x km x x m y y k x x x x +++⋅==11分∴22222810,0,144k m m m k k-+=≠∴=+Q12分所以是不定向的， 13分 方向向量()2,1d =±u r13分 (2)文 可得()()2,1,2,1A B -8分 设(),P p P x y ，则2214PP x y +=9分()()2P P x m n y m n ⎧=-⎪⎨=+⎪⎩11分2212m n ∴+=13分21、解：（1）由条件①，得505303PA PB ==1分5,3PA x PB x=∴=Q ，3分则222(5)16(3)cos 2165x x PAB x +-∠=⨯⨯6分8cos 105x PAB x∠=+8分（2）sin PAB ∠=9分 所以点P到直线AB的距离sin h PA PAB =∠10分5h x =11分==12分8cos 1,1,28105x PAB x x ∠≤∴+≤∴≤≤Q所以当234x =，即x =时，h取得最大值15千米.13分即选址应满足PA =千米，PB =千米.14分22、(1)解：任取210x x <<，则()()()211211222211111x x x x x x x x x x +-++-=++()21221x x x x -=+ 3分210x x <<，所以()212201x x x x ->+4分 ∴212111x x x x >++5分 (2)∵212111x x x x >++,∴2121lg 11lgx xx x >++.6分12()()f x f x -=)1lg()1lg(21+-+x x -)log (log 212313x x -=11lg21++x x -213log 21x x7分=11lg21++x x -1119109222log log log x x x x x x >-109log 9log 101101,log log log 10log 9log 10log 9t t t t t t t t t -<<-=-=⋅log 90,log 100,log 9log 100,log 9log 100t t t t t t <<⋅>->Qlog 9log 1001,0log 10log 9t t t t t -<<∴>⋅1110922log log 0x xx x ∴-> 8分∴>-)()(11x f x f 0∴)(x f 为),0(+∞上的减函数9分(3)注意到0)9(=f∴当9>x 时，0)9()(=<f x f ，当90<<x 时，0)9()(=>f x f ，∴0)(=x f 有且仅有一个根9=x .1 由)9()1998214(0)1998214(22f n n f n n f ≥--⇒≥--∴⎪⎩⎪⎨⎧>--≤--019982149199821422n n n n13分⇔92231071007n n n -≤≤⎧⎪⎨>+<-⎪⎩或 14分 ∴223=n 或9-=n ，15分 ∴}223,9{-=MM的子集的个数是4.16分 23、(1)12n n na ab +=+1分112n n n n na b b a b ++=2分12n n n n na b b a b +∴=+3分1122n n n n a b b a ++∴=4分1111....b a b a b a n n n n ===∴-- 5分{}n n b a ⋅是常数列；6分(2) {}n a 是递减数列,10n n a a +-<112111111222b a a a a b a --=+-=<11a b ∴>7分2232220,2b a a a a b --=<∴>,()2111111112,02a b a b a b a b +>∴->+猜想1110,2n nn n n n b a a a a b a b +--=<∴>⇒>恒成立8分()()2112122224k k k kk k k k k k k k k k a b a b a b b a a b a a a b +++++----+-===<+ 9分 11a b ∴>时{}n a 是递减数列10分（3）、（理）整理得1142n n n a a a +⎛⎫=+ ⎪⎝⎭11分252a =12分1230000n a a a a ∴>⇒>⇒>⇒>L 13分2n ≥，()2121122022nn n n na a a a a +-⎛⎫-=+-=> ⎪⎝⎭ 14分12n a +∴> 15分2144222nn n n nn n na b a a a a a a +----===16分2,n a >Q 10n n a a +∴-< {}n a ∴单调递减，2n a a ∴≤17分52,2n a ⎛⎤∴∈ ⎥⎝⎦18分 （3）（文）11c = 11分 22c = 12分()212122n n n a a a +--= 13分()212122n n na a a +++= 14分2112222n n n n a a a a ++⎛⎫--= ⎪++⎝⎭15分133122log 2log 22n n n n a a a a ++⎛⎫--= ⎪++⎝⎭16分12n nc c += 17分12n n c -= 18分。
