高中数学必修一之巩固练习_指数函数、对数函数、幂函数综合_提高

【巩固练习】 1．设函数f(x)和g(x)分别是R 上的偶函数和奇函数，则下列结论恒成立的是( )A ．|f(x)|－g(x)是奇函数B ．|f(x)|＋g(x)是偶函数C ．f(x)－|g(x)|是奇函数D ．f(x)＋|g(x)|是偶函数2．已知函数y ＝f(x)是定义在R 上的奇函数，且f(2＋x)＝f(2－x)，则f(4)＝( )A ．4B ．2C ．0D ．不确定3．若函数x 2x 1x a f(x)=(+)(-)为奇函数，则a ＝( ) A. 12B. 23C. 34 D ．1 4．已知f(x)是R 上最小正周期为2的周期函数，且当0≤x<2时， f(x)＝x 3－x ，则函数y ＝f(x)的图象在区间[0,6]上与x 轴的交点的个数为( )A ．6B ．7C ．8D ．95．设f(x)＝2x ,|x |1x,|x |1⎧≥⎨<⎩g(x)是二次函数，若f(g(x))的值域是[0，＋∞)，则g(x)的值域是( )A ．(－∞，－1]∪[1，＋∞)B ．(－∞，－1]∪[0，＋∞)C ．[0，＋∞)D ．[1，＋∞)6．已知f(x)＝2x 1,1x 0x 1,0x 1+-≤≤⎧⎨+<≤⎩，则如图中函数的图象错误的是( )7．已知f(x －1x )＝x 2＋21x，则函数f(3)＝________. 8．设函数f(x)是定义在R 上周期为3的奇函数，若f(1)<1，f(2)＝211a a -+，则a 的取值范围是________．9．设函数f(x)＝12(x ＋|x|)，则函数f[f(x)]的值域为________． 10．已知函数f(x)＝a 1- (a ≠1)，若f(x)在区间(0,1]上是减函数，则实数a 的取值范围是________．11．二次函数f(x)满足f(x ＋1)－f(x)＝2x ，且f(0)＝1.(1)求f(x)的解析式；(2)解不等式f(x)>2x ＋5.12．函数f(x)对一切实数x 、y 均有f(x ＋y)－f(y)＝x(x ＋2y ＋1)成立，且f(1)＝0，(1)求f(0)的值；(2)试确定函数f(x)的解析式．13．已知函数f(x)＝22x 2x,x 00,x 0x mx,x 0⎧-+>⎪=⎨⎪+<⎩是奇函数． (1)求实数m 的值；(2)若函数f(x)在区间[－1，a －2]上单调递增，求实数a 的取值范围．14．设f(x)是定义在R上的奇函数，且对任意实数x，恒有f(x＋2)＝－f(x)．当x∈[0,2]时，f(x)＝2x－x2.(1)求证：f(x)是周期函数；(2)当x∈[2,4]时，求f(x)的解析式；(3)计算f(0)＋f(1)＋f(2)＋…＋f(2 012)．15．已知函数f(x)＝x2＋4ax＋2a＋6.(1)若函数f(x)的值域为[0，＋∞)，求a的值；(2)若函数f(x)的函数值均为非负数，求g(a)＝2－a|a＋3|的值域．16．已知函数f(x)＝log4(ax2＋2x＋3)．(1)若f(1)＝1，求f(x)的单调区间；(2)是否存在实数a，使f(x)的最小值为0？若存在，求出a的值；若不存在，说明理由．【答案与解析】1．【答案】D【解析】设F(x)＝f(x)＋|g(x)|，由f(x)和g(x)分别是R 上的偶函数和奇函数，得F(－x)＝f(－x)＋|g(－x)|＝f(x)＋|g(x)|＝F(x)，∴f(x)＋|g(x)|是偶函数．2．【答案】C【解析】∵f(x)是R 上的奇函数，∴f(0)＝0.∴f(4)＝f(2－2)＝f(0)＝0.3．【答案】A 【解析】法一：由已知得x 2x 1x a f(x)=(+)(-)定义域关于原点对称，由于该函数定义域为 1x |x x a 2⎧⎫≠-≠⎨⎬⎩⎭且，知a ＝12 法二：∵f(x)是奇函数，∴f(－x)＝－f(x)，又f(x)＝2x 2x (12a x a +-)-则2x 2x (12a x a ---)-＝2x 2x (12a x a-+-)-在函数的定义域内恒成立，∴1－2a ＝0，可得a ＝124．【答案】B 【解析】由f(x)＝0，x ∈[0,2)可得x ＝0或x ＝1，即在一个周期内，函数的图象与x 轴有两个交点，在区间[0,6)上共有6个交点，当x ＝6时，也是符合要求的交点，故共有7个不同的交点．5．【答案】C【解析】由f(x)≥0，可得x ≥0或x ≤－1，且x ≤－1时，f(x)≥1；x ≥0时，f(x)≥0. 又g(x)为二次函数，其值域为(－∞，a]或[b ，＋∞)型，而f(g(x))的值域为[0，＋∞)，可知g(x)≥0.6．【答案】D【解析】因f(x)＝2x 1,1x 0x 1,0x 1+-≤≤⎧⎨+<≤⎩其图象如图，验证知f(x －1)，f(－x)，f(|x|)的图象均正确，只有|f(x)|的图象错误．7．【答案】11【解析】∵f(x－1x)＝x2＋21x＝(x－1x)2＋2，∴f(x)＝x2＋2，∴f(3)＝32＋2＝11.8．【答案】(－∞，－1)∪(0，＋∞)【解析】∵f(x)是奇函数，∴f(1)＝－f(－1)<1.∴f(－1)>－1.又∵f(x)的周期为3，∴f(－1)＝f(2)＝211aa-+>－1.即31aa+>0，解得a>0或a<－1.9．【答案】[0，＋∞)【解析】先去绝对值，当x≥0时，f(x)＝x，故f[f(x)]＝f(x)＝x，当x<0时，f(x)＝0，故f[f(x)]＝f(0)＝0，即f[f(x)]＝x,x00,x1≥⎧⎨<⎩，易知其值域为[0，＋∞)．10．【答案】(－∞，0)∪(1,3]【解析】当a－1>0，即a>1时，要使f(x)在(0,1]上是减函数，则需3－a×1≥0，此时1<a≤3.当a－1<0，即a<1时，要使f(x)在(0,1]上是减函数，则需－a>0，此时a<0所以，实数a的取值范围是(－∞，0)∪(1,3]11．【解析】(1)设二次函数f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0)．∵f(0)＝1，∴c＝1.把f(x)的表达式代入f(x＋1)－f(x)＝2x，有a(x＋1)2＋b(x＋1)＋1－(ax2＋bx＋1)＝2x.∴2ax＋a＋b＝2x.∴a＝1，b＝－1.∴f(x)＝x2－x＋1.(2)由x2－x＋1>2x＋5，即x2－3x－4>0，解得x>4或x<－1.故原不等式解集为{x|x>4或x<－1}．12．【解析】(1)令x＝1，y＝0，得f(1)－f(0)＝2.又∵f(1)＝0，∴f(0)＝－2.(2)令y＝0，则f(x)－f(0)＝x(x＋1)，由(1)知，f(1)＝x(x＋1)＋f(0)＝x(x＋1)－2＝x2＋x－2.13．【解析】(1)设x<0，则－x>0，所以f(－x)＝－(－x)2＋2(－x)＝－x2－2x.又f(x)为奇函数，所以f(－x)＝－f(x)，于是x<0时，f(x)＝x2＋2x＝x2＋mx，所以m＝2.(2)要使f(x)在[－1，a－2]上单调递增，结合f(x)的图象知a21, a21,->-⎧⎨-≤⎩所以1＜a≤3，故实数a的取值范围是(1,3]．14．【解析】(1)∵f(x＋2)＝－f(x)，∴f(x＋4)＝－f(x＋2)＝f(x)．∴f(x)是周期为4的周期函数．(2)当x∈[－2,0]时，－x∈[0,2]，由已知得f(－x)＝2(－x)－(－x)2＝－2x－x2.又f(x)是奇函数，∴f(－x)＝－f(x)＝－2x－x2，∴f(x)＝x2＋2x.又当x∈[2,4]时，x－4∈[－2,0]，∴f(x－4)＝(x－4)2＋2(x－4)．又f(x)是周期为4的周期函数，∴f(x)＝f(x－4)＝(x－4)2＋2(x－4)＝x2－6x＋8.从而求得x∈[2,4]时，f(x)＝x2－6x＋8.(3)f(0)＝0，f(2)＝0，f(1)＝1，f(3)＝－1.又f(x)是周期为4的周期函数，∴f(0)＋f(1)＋f(2)＋f(3)＝f(4)＋f(5)＋f(6)＋f(7)＝…＝f(2 008)＋f(2 009)＋f(2 010)＋f(2 011)＋f(2 012)＝0.∴f(0)＋f(1)＋f(2)＋…＋f(2 012)＝0.15．【解析】(1)∵函数的值域为[0，＋∞)，∴Δ＝16a 2－4(2a ＋6)＝0⇒2a 2－a －3＝0⇒a ＝－1或a ＝32(2)∵对一切x ∈R 函数值均为非负，∴Δ＝8(2a 2－a －3)≤0⇒－1≤a ≤32， ∴a ＋3>0.∴g(a)＝2－a|a ＋3|＝－a 2－3a ＋2＝－（a+32)2＋174,312a ,⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦∵二次函数g(a)在312,⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上单调递减， ∴g 32⎛⎫ ⎪⎝⎭≤g(a)≤g(－1)，即－194≤g(a)≤4. ∴g(a)的值域为1944,⎡⎤-⎢⎥⎣⎦ 16．【解析】(1)∵f(1)＝1，∴log 4(a ＋5)＝1，因此a ＋5＝4，a ＝－1，这时f(x)＝log 4(－x 2＋2x ＋3)．由－x 2＋2x ＋3>0得－1<x<3，函数定义域为(－1,3)．令g(x)＝－x 2＋2x ＋3.则g(x)在(－∞，1)上递增，在(1，＋∞)上递减，又y ＝log 4x 在(0，＋∞)上递增，所以f(x)的单调递增区间是(－1,1)，递减区间是(1,3)．(2)假设存在实数a 使f(x)的最小值为0，则h(x)＝ax 2＋2x ＋3应有最小值1，因此应有012414a ,a .a>⎧⎪-⎨=⎪⎩ 解得a ＝12故存在实数a ＝12使f(x)的最小值等于0.。

《指数函数、对数函数、幂函数》全章复习与巩固【学习目标】1．理解有理指数幂的意义，掌握有理指数幂的运算性质；掌握指数函数的概念、图象和性质；理解对数的概念，掌握对数的运算性质；掌握对数函数的概念、图象和性质；了解幂函数的概念和性质。

知道指数函数、对数函数、幂函数是描述客观世界变化规律的重要数学模型。

2．了解函数与方程之间的关系，会利用二分法求一些简单方程的近似解；了解函数模型及其意义，能准确、清晰、有条理地表述问题，会利用函数的知识分析问题、解决问题，使学生明白函数与方程是研究事物变化的重要工具。

3．培养学生的理性思维能力、辩证思维能力、分析问题和解决问题的能力、创新意识与探索能力、数学建模能力以及数学交流的能力。

4．知道指数函数x a y =与对数函数x y a log =互为反函数(a ＞0，a ≠1)。

【知识网络】【要点梳理】知识点一、指数及指数幂的运算 1.根式的概念a 的n 次方根的定义：一般地，如果n x a =，那么x 叫做a 的n 次方根，其中*1,n n N >∈当n 为奇数时，正数的n 次方根为正数，负数的n n 为偶数时，正数的n 次方根有两个，这两个数互为相反数可以表示为负数没有偶次方根，0的任何次方根都是0.n 叫做根指数，a 叫做被开方数. 2.n 次方根的性质：(1)当na =；当n,0,,0;a a a a a ≥⎧==⎨-<⎩(2)na =3.分数指数幂的意义：)0,,,1m na a m n N n =>∈>；()10,,,1m nm naa m n N n a-=>∈>要点诠释：0的正分数指数幂等于0，负分数指数幂没有意义. 4.有理数指数幂的运算性质：()0,0,,a b r s Q >>∈(1)rsr sa a a+= (2)()r srsa a = (3)()rr rab a b =知识点二、指数函数及其性质 1.指数函数概念 一般地，函数()0,1xy aa a =>≠且叫做指数函数，其中x 是自变量，函数的定义域为R .2.指数函数函数性质：知识点三：对数与对数运算 1.对数的定义(1)若(0,1)xa N a a =>≠且，则x 叫做以a 为底N 的对数，记作log a x N =，其中a 叫做底数，N 叫做真数.(2)负数和零没有对数.(3)对数式与指数式的互化：log (0,1,0)xa x N a N a a N =⇔=>≠>.2.几个重要的对数恒等式log 10a =，log 1a a =，log b a a b =.3.常用对数与自然对数常用对数：lg N ，即10log N ；自然对数：ln N ，即log e N (其中 2.71828e =…). 4.对数的运算性质如果0,1,0,0a a M N >≠>>，那么 ①加法：log log log ()a a a M N MN += ②减法：log log log a a aM M N N-= ③数乘：log log ()na a n M M n R =∈④log a NaN =⑤log log (0,)b na a nM M b n R b=≠∈ ⑥换底公式：log log (0,1)log b a b NN b b a=>≠且知识点四：对数函数及其性质 1.对数函数定义一般地，函数()log 0,1a y x a a =>≠且叫做对数函数，其中x 是自变量，函数的定义域()0,+∞. 2.对数函数性质：知识点五：反函数 1.反函数的概念设函数()y f x =的定义域为A ，值域为C ，从式子()y f x =中解出x ，得式子()x y ϕ=.如果对于y 在C 中的任何一个值，通过式子()x y ϕ=，x 在A 中都有唯一确定的值和它对应，那么式子()x y ϕ=表示x 是y 的函数，函数()x y ϕ=叫做函数()y f x =的反函数，记作1()x f y -=，习惯上改写成1()y f x -=.2.反函数的性质(1)原函数()y f x =与反函数1()y fx -=的图象关于直线y x =对称.(2)函数()y f x =的定义域、值域分别是其反函数1()y f x -=的值域、定义域.(3)若(,)P a b 在原函数()y f x =的图象上，则'(,)P b a 在反函数1()y f x -=的图象上.(4)一般地，函数()y f x =要有反函数则它必须为单调函数. 知识点六：幂函数 1.幂函数概念形如()y x R αα=∈的函数，叫做幂函数，其中α为常数. 2.幂函数的性质(1)图象分布：幂函数图象分布在第一、二、三象限，第四象限无图象.幂函数是偶函数时，图象分布在第一、二象限(图象关于y 轴对称)；是奇函数时，图象分布在第一、三象限(图象关于原点对称)；是非奇非偶函数时，图象只分布在第一象限.(2)过定点：所有的幂函数在(0,)+∞都有定义，并且图象都通过点(1,1).(3)单调性：如果0α>，则幂函数的图象过原点，并且在[0,)+∞上为增函数.如果0α<，则幂函数的图象在(0,)+∞上为减函数，在第一象限内，图象无限接近x轴与y 轴.(4)奇偶性：当α为奇数时，幂函数为奇函数，当α为偶数时，幂函数为偶函数.当qpα=(其中,p q 互质，p 和q Z ∈)，若p 为奇数q 为奇数时，则qpy x =是奇函数，若p 为奇数q 为偶数时，则q py x =是偶函数，若p 为偶数q 为奇数时，则qpy x =是非奇非偶函数.(5)图象特征：幂函数,(0,)y x x α=∈+∞，当1α>时，若01x <<，其图象在直线y x =下方，若1x >，其图象在直线y x =上方，当1α<时，若01x <<，其图象在直线y x =上方，若1x >，其图象在直线y x =下方.【典型例题】类型一：指数、对数运算 例1.计算(1) 2221log log 12log 422-； (2)33lg 2lg 53lg 2lg 5++； (3)222lg5lg8lg5lg 20lg 23+++；(4)lg0.7lg20172⎛⎫⋅ ⎪⎝⎭【思路点拨】运算时尽量把根式转化为分数指数幂，而小数也要化为分数为好. 【答案】(1)12-；(2)1；(3)3；(4)14。

巩固练习1．下列函数中，35431,21,,y y x y x x y x x==+=+=是幂函数的个数是（ ）． A.1 B.2 C.3 D.4 2.函数12y x-=的定义域是( )A.[0，+∞）B.(-∞，0)C.(0，+∞)D.R 3.函数23y x =的图象是( )4.下列函数中，既是偶函数，又在区间()0,+∞上单调递减的函数是( ) A.2y x -= B. 1y x -= C. 2y x = D. 13y x = 5.幂函数35m y x-=，其中m ∈N ，且在(0，+∞)上是减函数，又()()f x f x -=，则m=( )A.0B.1C.2D.36.若幂函数y x α=的图象在0<x<1时位于直线y=x 的下方，则实数α的取值范围是( ) A.α<1 B.α>1 C.0<α<1 D.α<0 7.下列结论中正确的个数有( )(1)幂函数的图象一定过原点； (2) 当α<0时,幂函数y x α=是减函数； (3)当α>0时，幂函数y x α=是增函数；(4)函数22y x =既是二次函数，又是幂函数. A.0 B.1 C.2 D.3 8. 三个数121.2a =，120.9b -=，11c =( )A.c<a<bB.c<b<aC. b<a<cD.a<c<b9.若幂函数()y f x =的图象经过点1(9,)3，则(25)f 的值是 . 10.若幂函数224(317)m m y m m x-=+-⋅的图象不过原点，则m 的值为 .11.若1144(1)(22)a a +>-，则实数a 的取值范围是 .12．函数1(1)y x -=+的单调递减区间为 . 13.比较下列各组中两个值大小(1)6611110.60.7与； (2)5533(0.88)(0.89).--与14. 已知函数()f x 和()g x 的图象关于原点对称，且2()2f x x x =+． （1）求函数()g x 的解析式；（2）解不等式函数()()|1|g x f x x ≥--．答案与解析1．B根据幂函数的定义判断，53431,y x y x x-====是幂函数．2.C函数12121y x x -===，所以函数的定义域是()0,+∞．3.C函数23y x ==()()f x f x -===，所以这个函数为偶函数，图象关于y 轴对称，可能是B 或C ，又2013<<，所以当1x >时，图象应在y x =直线的下方，故选C ． 4. A 函数221y xx-==，所以函数是偶函数，又20α=-<，所以函数在区间()0,+∞上单调递减，故选A ． 5.B 因为函数35m y x-=，其中m ∈N ，且在(0，+∞)上是减函数，所以350m -<，即53m <，又函数是偶函数，故1m =．6.B 幂函数1,01y x x x x α=<=<<，考察指数函数(01)xy a a =<<的增减性知，1α>．7.A 幂函数y x α=，当0α>时，图象一定过原点，当0α<时，图象一定不过原点,故(1)不对．当0α<时，幂函数图象在()0,+∞上是减函数，故（2）不对．当0α>时，幂函数图象在()0,+∞上是增函数，故（3）不对．函数22y x =是二次函数，不是幂函数，故（4）不对．8. A 11112222101.2,0.9(), 1.19a b c -====,易知101.2 1.19>>，又函数12y x =在[)0,+∞上单调递增，所以c b a <<，故选A ．9. 15 设()f x x α=，则1(9)3f =，即193α=，得112211,(),(25)2525f x x f α--=-∴=∴==．10.-6 由23171m m +-=，解得3m =或6m =-．又当3m =时，指数240m m ->不合题意；当6m =-时，240m m -<，所以6m =-．11.[)1,3 由题意知10,220,12 2.a a a a +≥⎧⎪-≥⎨⎪+>-⎩解得13a ≤<．12.(),1-∞-和()1,-+∞ 将函数1y x -=的单调区间向左平移一个单位即可．13.解：(1)+∞<<<+∞=7.06.00),0(116上是增函数且在函数x y1161167.06.0<∴(2)函数),0(35+∞=在x y 上增函数且89.088.00<< .)89.0()88.0(,89.088.089.088.0353535353535-<-∴->-∴<∴即14. 解析：（1）设函数()y f x =的图象上任一点0,0()Q x y 关于原点的对称点为(),P x y ，则000,20.2x xy y +⎧=⎪⎪⎨+⎪=⎪⎩，即00,x x y y =-⎧⎨=-⎩，因为点0,0()Q x y 在函数()y f x =的图象上，所以2()2()y x x -=-+⋅-，即2()2g x x x =-+．（2）由()()|1|g x f x x ≥--，得22|1|0x x --≤当1x ≥时，2210x x -+≤，由函数221y x x =-+的图象可知，此不等式无解． 当1x <时，2210x x +-≤，由函数221y x x =+-的图象，解得112x -≤≤． ∴原不等式的解集为11,.2⎡⎤-⎢⎥⎣⎦。

函数，且 = ( − )在(, +∞)上是增函数，所以()在(, +∞)上是增函数.
∣ + ∣> ,
由( + ) < ()得(| + |) < (||)，所以ቐ∣ ∣> ,
所以
∣ + ∣<∣ ∣,
( + ) > ,
第6章 幂函数、指数函数和对数函数
午练23 幂函数、指数函数与对数函数的综合
1
1.当0 < ≤ 时，4 < log ，则实数的取值范围是() B
2
A.(0,
2
2
)B.( , 1)C.(1,
2
2
2)D.( 2, 2)
[解析]易知 < < ，则函数 = 与 = 的图象大致如图所示，只需满足
C.()在定义域内是偶函数D.()的图象关于直线 = 1对称
[解析]由| − | > ，得函数 = | − |的定义域为{| ≠ }.设
− , > ,
() =∣ − ∣= ቊ
则()在(−∞, )上单调递减，在(, +∞)上单调递
或 = .当 = 时，得 = ，解得 = .当 = 时，得 = ，即 = .
所以函数的定义域为[, ]( ≤ )，
所以当 = ， = 时， + 最大为3.
9.已知()是定义在[−2,2]上的奇函数，当 ∈ (0,2]时，() = 2 − 1，函数
1
2
1
4
因为() = log 2 (2 − 4 ) = log 2 [−(2 )2 + 2 ] = log 2 [−(2 − )2 + ]，所以当