《高考调研》衡水重点中学同步精讲精练(数学必修5)

课时作业(十三)1．设数列{a n }的前n 项和S n ＝n 2，则a 8的值为( ) A ．15 B ．16 C ．49 D ．64答案 A解析 a 8＝S 8－S 7＝82－72＝15.2．等差数列{a n }中，S 15＝90，则a 8等于( ) A ．3 B ．4 C ．6 D ．12 答案 C解析 ∵S 15＝15a 8＝90, ∴a 8＝6.3．已知等差数列{a n }中，|a 3|＝|a 9|，公差d ＜0，则使前n 项和S n 取得最大值的整数n 是( ) A ．4或5 B ．5或6 C ．6或7 D ．不存在 答案 B解析 ∵d ＜0，∴a 3＝－a 9，∴a 3＋a 9＝0. 又a 3＋a 9＝2a 6, ∴a 6＝0.又d ＜0，∴S 5或S 6最大．4．等差数列{a n }中，前n 项和S n ＝an 2＋(a －1)·n ＋(a ＋2)，则a n 等于( ) A ．－4n ＋1 B ．2an －1 C ．－2an ＋1 D ．－4n －1 答案 D解析 ∵{a n }为等差数列，且S n ＝an 2＋(a －1)·n ＋(a ＋2)，∴a ＋2＝0，a ＝－2，∴S n ＝－2n 2－3n. ∴a n ＝－4n －1.5．数列{a n }的通项a n ＝2n ＋1，则由b n ＝a 1＋a 2＋…＋a nn(n ∈N *)，所确定的数列{b n }的前n 项和是( ) A ．n(n ＋1) B.n （n ＋1）2C.n （n ＋5）2D.n （n ＋7）2答案 C解析 b n ＝a 1＋a 2＋…＋a n n ＝a 1＋a n 2＝3＋2n ＋12＝n ＋2，∴{b n }前n 项和T n ＝n （3＋n ＋2）2＝12n(n ＋5)．6．已知数列{a n }是等差数列，a 1＋a 3＋a 5＝105，a 2＋a 4＋a 6＝99，{a n }的前n 项和为S n ，则使得S n 达到最大的n 值是( ) A ．21 B ．20 C ．19 D ．18答案 B解析 a 1＋a 3＋a 5＝105⇒a 3＝35，a 2＋a 4＋a 6＝99⇒a 4＝33，则{a n }的公差d ＝33－35＝－2，a 1＝a 3－2d ＝39，S n ＝－n 2＋40n ，因此当S n 取得最大值时，n ＝20.7．已知等差数列{a n }的公差为1，且a 1＋a 2＋…＋a 98＋a 99＝99，则a 3＋a 6＋a 9＋…＋a 96＋a 99＝( ) A ．99 B ．66 C ．33 D ．0 答案 B解析 由a 1＋a 2＋…＋a 98＋a 99＝99，得99a 1＋99×982＝99.∴a 1＝－48，∴a 3＝a 1＋2d ＝－46.又∵{a 3n }是以a 3为首项，以3为公差的等差数列． ∴a 3＋a 6＋a 9＋…＋a 99＝33a 3＋33×322×3＝33(48－46)＝66. 8．设S n 为等差数列{a n }的前n 项和，若a 1＝1，公差d ＝2，S k ＋2－S k ＝24，则k ＝( ) A ．8 B ．7 C ．6 D ．5答案 D解析 ∵S k ＋2－S k ＝a k ＋1＋a k ＋2＝a 1＋kd ＋a 1＋(k ＋1)d ＝2a 1＋(2k ＋1)d ＝2×1＋(2k ＋1)×2＝4k ＋4＝24，∴k ＝5.9．等差数列{a n }中共有奇数个项，且该数列的奇数项之和为77，偶数项之和为66，若a 1＝1，则其中间项为( ) A ．7 B ．8 C ．11 D ．16 答案 C10．已知等差数列{a n }中，S n 是它的前n 项和，若S 16＞0，且S 17＜0，则当S n 最大时n 的值为( ) A ．16 B ．8 C ．9 D ．10答案 B解析 S 16＝16（a 1＋a 16）2＝8(a 8＋a 9)＞0，S 17＝17（a 1＋a 17）2＝17a 9＜0，∴a 8＞0且d ＜0，∴S 8最大．11．设S n 是等差数列{a n }的前n 项和，若S 3S 6＝13，则S 6S 12等于( )A.310 B.13 C.18 D.19 答案 A解析 据等差数列前n 项和性质可知：S 3，S 6－S 3，S 9－S 6，S 12－S 9仍成等差数列，设S 3＝k ，则S 6＝3k ，S 6－S 3＝2k ， ∴S 9－S 6＝3k ，S 12－S 9＝4k ，∴S 9＝S 6＋3k ＝6k ，S 12＝S 9＋4k ＝10k ， ∴S 6S 12＝3k 10k ＝310. 12．(2016·课标全国Ⅰ)已知等差数列{a n }前9项的和为27，a 10＝8，则a 100＝( ) A ．100 B ．99 C ．98 D ．97 答案 C解析 设等差数列{a n }的公差为d ，因为{a n }为等差数列，且S 9＝9a 5＝27，所以a 5＝3.又a 10＝8，解得5d ＝a 10－a 5＝5，所以d ＝1，所以a 100＝a 5＋95d ＝98.选C.13．在等差数列{a n }中，a 1＋a 2＋a 3＝15，a n ＋a n －1＋a n －2＝78，S n ＝155，则n ＝______． 答案 10解析 由⎩⎪⎨⎪⎧a 1＋a 2＋a 3＝15，a n ＋a n －1＋a n －2＝78，可得3(a 1＋a n )＝93.∴a 1＋a n ＝31.又S n ＝n （a 1＋a n ）2， ∴155＝31n2， ∴n ＝10.14．首项为正数的等差数列，前n 项和为S n ，且S 3＝S 8，当n ＝________时，S n 取到最大值． 答案 5或615．(1)(2016·山东)已知数列{a n }的前n 项和S n ＝3n 2＋8n ，{b n }是等差数列，且a n ＝b n ＋b n ＋1.求数列{b n }的通项公式．(2)已知数列{a n }的前n 项和S n ＝3＋2n ，求a n .解析 (1)由题意知当n ≥2时，a n ＝S n －S n －1＝6n ＋5， 当n ＝1时，a 1＝S 1＝11， 所以a n ＝6n ＋5. 设数列{b n }的公差为d ，由⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝b 1＋b 2，a 2＝b 2＋b 3，得⎩⎪⎨⎪⎧11＝2b 1＋d ，17＝2b 1＋3d ，可解得b 1＝4，d ＝3.所以b n ＝3n ＋1. (2)①当n ＝1时，a 1＝S 1＝3＋2＝5. ②当n ≥2时，S n －1＝3＋2n －1，又S n ＝3＋2n ，∴a n ＝S n －S n －1＝2n －2n －1＝2n －1. 又当n ＝1时，a 1＝21－1＝1≠5，∴a n ＝⎩⎪⎨⎪⎧5 （n ＝1），2n －1 （n ≥2）.16．在等差数列{a n }中，S 10＝100，S 100＝10.求S 110. 解析 (基本量法)设等差数列{a n }的首项为a 1，公差为d ，则 ⎩⎪⎨⎪⎧10a 1＋10（10－1）2d ＝100，100a 1＋100（100－1）2d ＝10，解得⎩⎨⎧a 1＝1 099100，d ＝－1150. ∴S 110＝110a 1＋110（110－1）2d ＝110×1 099100＋110×1092×⎝⎛⎭⎫－1150＝－110.17．设等差数列的前n 项和为S n ，已知a 3＝12，S 12>0，S 13<0. (1)求公差d 的取值范围；(2)指出S 1，S 2，…，S 12中哪一个值最大，并说明理由．解析 (1)依题意⎩⎨⎧S12＝12a 1＋12×112d>0，S13＝13a 1＋13×122d<0，即⎩⎪⎨⎪⎧2a 1＋11d>0， ①a 1＋6d<0. ② 由a 3＝12，得a 1＋2d ＝12. ③将③分别代入①，②，得⎩⎪⎨⎪⎧24＋7d>0，3＋d<0，解得－247<d<－3.(2)S 6的值最大，理由如下：由d<0可知数列{a n }是递减数列，因此若在1≤n ≤12中，使a n >0且a n ＋1<0，则S n 最大． 由于S 12＝6(a 6＋a 7)>0，S 13＝13a 7<0，可得a 6>0，a 7<0，故在S 1，S 2，…，S 12中S 6的值最大．已知数列{a n }的前n 项和S n ＝n 2，则a n 等于( ) A ．n B ．n 2 C ．2n ＋1 D ．2n －1答案 D。

课时作业(六)1．已知方程x 2sinA ＋2xsinB ＋sinC ＝0有重根，则△ABC 的三边a ，b ，c 满足关系式( ) A ．b ＝ac B ．b 2＝ac C ．a ＝b ＝c D ．c ＝ab答案 B解析 由Δ＝0，得4sin 2B －4sinAsinC ＝0，结合正弦定理得b 2＝ac. 2．在△ABC 中，已知A ＝30°，且3a ＝3b ＝12，则c 的值为( ) A ．4 B ．8 C ．4或8 D ．无解 答案 C解析 由3a ＝3b ＝12，得a ＝4，b ＝43，利用正弦定理可得B 为60°或120°，从而解出c 的值．3．在△ABC 中，A ＝60°，AB ＝2，且△ABC 的面积S △ABC ＝32，则边BC 的长为( ) A. 3 B ．3 C.7 D ．7答案 A 解析 由S △ABC ＝32，得12AB ·ACsinA ＝32. 即12×2AC ×32＝32，∴AC ＝1，由余弦定理，得 BC 2＝AB 2＋AC 2－2AB·AC·cosA ＝22＋12－2×2×1×12＝3.∴BC ＝ 3.4．在△ABC 中，2acosB ＝c ，则△ABC 是( ) A ．等腰三角形 B ．直角三角形 C ．等腰直角三角形 D ．等边三角形答案 A解析 方法一：由余弦定理，得2a a 2＋c 2－b 22ac ＝c.所以a 2＋c 2－b 2＝c 2.则a ＝b.则△ABC 是等腰三角形．方法二：由正弦定理，得2×2RsinAcosB ＝2RsinC ，即2sinAcosB ＝sinC.又sin(A ＋B)＋sin(A －B)＝2sinAcosB ，所以sin(A ＋B)＋sin(A －B)＝sinC.又A ＋B ＋C ＝π，所以sin(A ＋B)＝sinC.所以sin(A －B)＝0.又0<A<π，0<B<π，则－π<A －B<π.所以A ＝B ，则△ABC 是等腰三角形．5．已知锐角三角形ABC 中，|AB →|＝4，|AC →|＝1，△ABC 的面积为3，则AB →·AC →的值为( ) A ．2 B ．－2 C ．4 D ．－4答案 A解析 由S ＝12|AB →|·|AC →|·sinA ＝3，得12×4×1×sinA ＝3，∴sinA ＝32. 又△ABC 为锐角三角形，∴cosA ＝12.∴AB →·AC →＝|AB →|·|AC →|·cosA ＝4×1×12＝2.6．已知锐角三角形的边长分别是3，5，x ，则x 的取值范围是( ) A ．1<x< 5 B ．4<x<30 C ．1<x<4 D ．4<x<34 答案 D解析 若5最大，则32＋x 2－52>0，得x>4. 若x 最大，则32＋52－x 2>0，得0<x<34. 又2<x<8，则4<x<34.7．已知△ABC 中，cosA ＝35，cosB ＝45，BC ＝4，则△ABC 的面积为( )A ．6B ．12C ．5D ．10 答案 A解析 ∵0<cosA ＝35<cosB ＝45<1，∴A ，B 都为锐角，则sinA ＝1－cos 2A ＝45，sinB ＝1－cos 2B ＝35，∴sinC ＝sin(A ＋B)＝sinAcosB ＋cosAsinB ＝45×45＋35×35＝1，∴角C 为直角．∵BC ＝4，∴AB ＝BC sinA ＝445＝5，AC ＝ABsinB ＝5×35＝3，∴S △ABC ＝12×3×4＝6.8.如图，在△ABC 中，已知点D 在BC 边上，AD ⊥AC ，sin ∠BAC ＝223，AB ＝32，AD＝3，则BD 的长为( )A. 2 B ．2 2 C. 3 D ．2 3答案 C解析 ∵AD ⊥AC ，∴∠DAC ＝90°，∴sin ∠BAC ＝sin(∠BAD ＋90°)＝cos ∠BAD ＝223，又∵AB ＝32，AD ＝3，∴BD 2＝AB 2＋AD 2－2AB·ADcos ∠BAD ＝18＋9－2×32×3×223＝3，∴BD ＝ 3.故选C.9．在△ABC 中，a ，b ，c 分别为角A ，B ，C 的对边， 如果2b ＝a ＋c ，B ＝30°，△ABC 的面积为32，则b ＝( )A ．1＋ 3 B.1＋32C.2＋32D ．2＋ 3 答案 A解析 由12ac ·sin30°＝32，得ac ＝6，由余弦定理得b 2＝a 2＋c 2－2accos30°＝(a ＋c)2－2ac －3ac ＝4b 2－12－63，∴b ＝3＋1.10．在△ABC 中，已知sinA ∶sinB ＝2∶1，c 2＝b 2＋2bc ，则三内角A ，B ，C 的度数依次是________．答案 45°，30°，105°解析 ∵a ＝2b ，a 2＝b 2＋c 2－2bccosA. ∴2b 2＝b 2＋c 2－2bccosA ，又∵c 2＝b 2＋2bc ， ∴cosA ＝22，A ＝45°，sinB ＝12，B ＝30°，∴C ＝105°. 11．在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c.若(3b －c)cosA ＝acosC ，则cosA＝________． 答案33解析 由正弦定理，得 (3sinB －sinC)cosA ＝sinAcosC. 化简得3sinBcosA ＝sin(A ＋C)． ∵0<sinB ≤1，∴cosA ＝33. 12．如图，在四边形ABCD 中，∠B ＝∠C ＝120°，AB ＝4，BC ＝CD ＝2，则该四边形的面积等于________．答案 5 3解析 连接BD ，由余弦定理，得BD 2＝22＋22－2×2×2cos120°＝12，∴BD ＝2 3. ∵BC ＝CD ＝2，∠C ＝120°，∴∠CBD ＝30°， ∴∠ABD ＝90°.∴S 四边形ABCD ＝S △ABD ＋S △BCD＝12×4×23＋12×2×2×sin120°＝5 3. 13．在△ABC 中，a ，b ，c 分别是角A ，B ，C 的对边，且(2a ＋c)cosB ＋bcosC ＝0. (1)求角B 的大小；(2)求y ＝sin 2A ＋sin 2C 的取值范围； (3)若b ＝13，a ＋c ＝4，求△ABC 的面积． 解析 (1)由余弦定理，得cosB ＝a 2＋c 2－b 22ac ，cosC ＝a 2＋b 2－c 22ab ，将上式代入(2a ＋c)cosB ＋bcosC ＝0，整理得， a 2＋c 2－b 2＝－ac.∴cosB ＝a 2＋c 2－b 22ac ＝－ac 2ac ＝－12∵0<B<π，∴B ＝2π3.(2)y ＝sin 2A ＋sin 2C ＝1－cos2A 2＋1－cos2C2＝1－12(cos2A ＋cos2C)∵A ＋C ＝π－B ＝π3，∴C ＝π3－A ，∴cos2A ＋cos2C ＝cos2A ＋cos ⎝⎛⎭⎫23π－2A ＝12cos2A ＋32sin2A ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2A ＋π6. 又0<A<π3，∴π6<2A ＋π6<5π6，∴12<sin ⎝⎛⎭⎪⎫2A ＋π6≤1. ∴－12≤－12sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2A ＋π6<－14，∴12≤y<34.(3)由(1)知，B ＝2π3，则cosB ＝－12＝a 2＋c 2－b 22ac ＝（a ＋c ）2－b 2－2ac2ac，∴ac ＝3.∴S △ABC ＝12ac ·sinB ＝334.14.在△ABC 中，已知B ＝45°，D 是BC 边上的一点，AD ＝10，AC ＝14，DC ＝6，求AB 的长．解析 在△ADC 中，AD ＝10，AC ＝14，DC ＝6，由余弦定理，得 cos ∠ADC ＝AD 2＋DC 2－AC 22AD ·DC ＝100＋36－1962×10×6＝－12.∴∠ADC ＝120°，∠ADB ＝60°.在△ABD 中，AD ＝10，∠B ＝45°，∠ADB ＝60°，由正弦定理，得AB sin ∠ADB ＝ADsinB.∴AB ＝AD·sin ∠ADB sinB ＝10sin60°sin45°＝10×3222＝5 6.►重点班·选做题15．在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，设S 为△ABC 的面积，满足S ＝34(a 2＋b 2－c 2)． (1)求角C 的大小；(2)求sinA ＋sinB 的最大值．解析 (1)由题意可知12absinC ＝34·2abcosC ，所以tanC ＝ 3.因为0<C<π，所以C ＝π3.(2)由已知sinA ＋sinB ＝sinA ＋sin(π－C －A) ＝sinA ＋sin ⎝⎛⎭⎪⎫2π3－A ＝sinA ＋32cosA ＋12sinA ＝3sin ⎝⎛⎭⎪⎫A ＋π6≤ 3.当△ABC 为正三角形时取等号， 所以sinA ＋sinB 的最大值是 3.16．(2018·天津)在△ABC 中，内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c.已知bsinA ＝acos ⎝⎛⎭⎫B －π6.(1)求角B 的大小；(2)设a ＝2，c ＝3，求b 和sin(2A －B)的值．解析 (1)在△ABC 中，由正弦定理a sinA ＝b sinB ，可得bsinA ＝asinB ，又由bsinA ＝acos ⎝ ⎛⎭⎪⎫B －π6，得asinB ＝acos ⎝ ⎛⎭⎪⎫B －π6，即sinB ＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫B －π6，可得tanB ＝ 3.又因为B ∈(0，π)，可得B ＝π3.(2)在△ABC 中，由余弦定理及a ＝2，c ＝3，B ＝π3，有b 2＝a 2＋c 2－2accosB ＝7，故b ＝7.由bsinA ＝acos ⎝⎛⎭⎪⎫B －π6，可得sinA ＝37.因为a<c ，故cosA ＝27.因此sin2A ＝2sinAcosA ＝437，cos2A ＝2cos 2A －1＝17，所以sin(2A －B)＝sin2AcosB －cos2AsinB ＝437×12－17×32＝3314.1．如图所示，在△ABC 中，已知点D 在BC 边上，cos ∠ADC ＝23，cos ∠BAD ＝33，AD ＝2，则BA 的长为( )A.143＋4213B ．73＋4 C.3＋47 D ．7＋47答案 A解析 由题意得，cos ∠ADB ＝－23，sin ∠ADB ＝73，sin ∠BAD ＝63，sin ∠B ＝sin(∠BAD ＋∠ADB)＝63×⎝⎛⎭⎫－23＋33×73＝21－129， 在△ABD 中，由正弦定理，可得221－129＝AB73，∴AB ＝143＋4213.故选A.2．在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，且满足cos A 2＝255，AB →·AC →＝3.(1)求△ABC 的面积； (2)若b ＋c ＝6，求a 的值． 解析 (1)因为cos A 2＝255，所以cosA ＝2cos 2A 2－1＝35，所以sinA ＝45.又由AB →·AC →＝3，得bccosA ＝3，所以bc ＝5. 所以S △ABC ＝12bcsinA ＝2.(2)由(1)知，bc ＝5，又b ＋c ＝6，所以b ＝5，c ＝1或b ＝1，c ＝5. 由余弦定理，得a 2＝b 2＋c 2－2bccosA ＝20，所以a ＝2 5.1．(2018·课标全国Ⅱ)在△ABC 中，cos C 2＝55，BC ＝1，AC ＝5，则AB ＝( )A ．42 B.30 C.29 D ．2 5答案 A解析 因为cosC ＝2cos 2C 2－1＝2×15－1＝－35，所以由余弦定理，得AB 2＝AC 2＋BC 2－2AC·BCcosC ＝25＋1－2×5×1×⎝⎛⎭⎫－35＝32，所以AB ＝4 2.故选A. 2．(2017·山东，理)在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c.若△ABC 为锐角三角形，且满足sinB(1＋2cosC)＝2sinAcosC ＋cosAsinC ，则下列等式成立的是( ) A ．a ＝2b B ．b ＝2a C ．A ＝2B D ．B ＝2A 答案 A解析 由题意可知sinB ＋2sinBcosC ＝sinAcosC ＋(sinAcosC ＋cosAsinC)＝sinAcosC ＋sinB ，所以cosC ·(2sinB －sinA)＝0，因为该三角形为锐角三角形，所以cosC ≠0，即2sinB －sinA ＝0，由正弦定理得a ＝2b.故选A.3．(2017·课标全国Ⅰ，文)△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c.已知sinB ＋sinA ·(sinC －cosC)＝0，a ＝2，c ＝2，则C ＝( ) A.π12 B.π6 C.π4 D.π3 答案 B解析 因为sinB ＋sinA(sinC －cosC)＝0，所以sin(A ＋C)＋sinAsinC －sinAcosC ＝0，所以sinAcosC ＋cosAsinC ＋sinAsinC －sinAcosC ＝0，整理得sinC(sinA ＋cosA)＝0，因为sinC ≠0，所以sinA ＋cosA ＝0，所以tanA ＝－1，因为A ∈(0，π)，所以A ＝3π4，由正弦定理，得sinC＝c·sinA a＝2×222＝12，又0<C<π4，所以C ＝π6.故选B. 4．(2016·课标全国Ⅲ，理)在△ABC 中， B ＝π4，BC 边上的高等于13BC ，则cosA ＝( )A.31010B.1010C ．－1010D ．－31010答案 C解析 设△ABC 中角A ，B ，C 的对边分别是a ，b ，c ，由题意可得13a ＝csin π4＝22c ，则a＝322 c.在△ABC 中，由余弦定理，可得b 2＝a 2＋c 2－2ac ＝92c 2＋c 2－3c 2＝52c 2，则b ＝102c.由余弦定理，可得cosA ＝b 2＋c 2－a 22bc＝52c 2＋c 2－92c 22×102c ×c＝－1010.故选C.5．(2014·课标全国Ⅱ，理)已知钝角三角形ABC 的面积是12，AB ＝1，BC ＝2，则AC ＝( )A ．5 B. 5 C ．2 D ．1答案 B解析 由题意可得12AB ·BC ·sinB ＝12，又AB ＝1，BC ＝2，所以sinB ＝22，所以B ＝45°或B ＝135°.当B ＝45°时，由余弦定理，可得AC ＝AB 2＋BC 2－2AB·BC·cosB ＝1，此时AC ＝AB ＝1，BC ＝2，易得A ＝90°，与“钝角三角形”条件矛盾，舍去．所以B ＝135°.由余弦定理，可得AC ＝AB 2＋BC 2－2AB·BC·cosB ＝ 5.故选B.6．(2018·课标全国Ⅰ，文)△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c.已知bsinC ＋csinB ＝4asinBsinC ，b 2＋c 2－a 2＝8，则△ABC 的面积为________． 答案233解析 由bsinC ＋csinB ＝4asinBsinC ，得sinBsinC ＋sinCsinB ＝4sinAsinBsinC ，因为sinBsinC≠0，所以sinA ＝12.因为b 2＋c 2－a 2＝8，cosA ＝b 2＋c 2－a 22bc ，所以bc ＝833⎝⎛⎭⎫－833舍去，所以S △ABC ＝12bcsinA ＝12×833×12＝233.7．(2018·北京，文)若△ABC 的面积为34(a 2＋c 2－b 2)，且∠C 为钝角，则∠B ＝________；ca的取值范围是________． 答案 60° (2，＋∞)解析 △ABC 的面积S ＝12acsinB ＝34(a 2＋c 2－b 2)＝34×2accosB ，所以tanB ＝3，因为0°<∠B<180°，所以∠B ＝60°.因为∠C 为钝角，所以0°<∠A<30°，所以0<tanA<33，所以c a ＝sinCsinA＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2π3－A sinA ＝sin 2π3cosA －cos 2π3sinAsinA ＝32tanA ＋12>2，故ca 的取值范围为(2，＋∞)．8．(2017·课标全国Ⅱ，文)△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c.若2bcosB ＝acosC ＋ccosA ，则B ＝________． 答案π3解析 方法一：依题意得2b ×a 2＋c 2－b 22ac ＝a ×a 2＋b 2－c 22ab ＋c ×b 2＋c 2－a 22bc ，即a 2＋c 2－b 2＝ac ，所以2accosB ＝ac>0，cosB ＝12.又0<B<π，所以B ＝π3.方法二：依题意得2sinBcosB ＝sinAcosC ＋sinCcosA ＝sin(A ＋C)＝sinB>0，因此cosB ＝12，又0<B<π，所以B ＝π3.9．(2017·课标全国Ⅲ，文)△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c.已知C ＝60°，b ＝6，c ＝3，则A ＝________． 答案 75°解析 由正弦定理得sinB ＝bsinC c ＝6sin60°3＝22，所以B ＝45°或135°，因为b<c ，所以B<C ，故B ＝45°，所以A ＝75°.10．(2016·课标全国Ⅱ)△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，若cosA ＝45，cosC＝513，a ＝1，则b ＝________． 答案2113解析 在△ABC 中，∵cosA ＝45，cosC ＝513，∴sinA ＝35，sinC ＝1213.∴sinB ＝sin(A ＋C)＝sinAcosC＋sinCcosA ＝35×513＋1213×45＝6365.由正弦定理a sinA ＝b sinB ，可得b ＝asinB sinA ＝1×6365×53＝2113.11．(2015·北京，理)在△ABC 中，a ＝4，b ＝5，c ＝6，则sin2AsinC ＝________．答案 1解析 由正弦定理，得sinA ∶sinB ∶sinC ＝a ∶b ∶c ＝4∶5∶6，又由余弦定理，知cosA ＝b 2＋c 2－a 22bc ＝25＋36－162×5×6＝34，所以sin2A sinC ＝2sinAcosA sinC ＝2×sinA sinC ×cosA ＝2×46×34＝1. 12．(2015·重庆，文)设△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且a ＝2，cosC ＝－14，3sinA ＝2sinB ，则c ＝________． 答案 4解析 由3sinA ＝2sinB 及正弦定理，得3a ＝2b ，所以b ＝32a ＝3.由余弦定理cosC ＝a 2＋b 2－c 22ab，得－14＝22＋32－c 22×2×3，解得c ＝4.13．(2016·上海，理)已知△ABC 的三边长分别为3，5，7，则该三角形的外接圆半径等于________． 答案733解析 设A 为△ABC 中最大的内角，由余弦定理得cosA ＝32＋52－722×3×5＝－12，∴A ＝120°，∴sinA ＝32.由正弦定理得2R ＝7sin120°＝1433，∴R ＝733. 14．(2015·湖北，理)如图，一辆汽车在一条水平的公路上向正西行驶，到A 处时测得公路北侧一山顶D 在西偏北30°的方向上，行驶600 m 后到达B 处，测得此山顶在西偏北75°的方向上，仰角为30°，则此山的高度CD ＝________ m.答案 100 6解析 依题意，∠BAC ＝30°，∠ABC ＝105°.在△ABC 中，由∠ABC ＋∠BAC ＋∠ACB ＝180°，所以∠ACB ＝45°，因为AB ＝600 m ，由正弦定理，可得600sin45°＝BCsin30°，即BC ＝300 2 m ．在Rt △BCD 中，因为∠CBD ＝30°，BC ＝300 2 m ，所以tan30°＝CD BC ＝CD3002，所以CD ＝100 6m.15．(2019·课标全国Ⅱ)△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，若b ＝6，a ＝2c ，B ＝π3，则△ABC 的面积为________． 答案 6 3解析 方法一：因为a ＝2c ，b ＝6，B ＝π3，所以由余弦定理b 2＝a 2＋c 2－2accosB ，得62＝(2c)2＋c 2－2×2c ×ccos π3，得c ＝23，所以a ＝43，所以△ABC 的面积S ＝12acsinB ＝12×43×23×sin π3＝6 3.方法二：因为a ＝2c ，b ＝6，B ＝π3，所以由余弦定理b 2＝a 2＋c 2－2accosB ，得62＝(2c)2＋c 2－2×2×cos π3，得c ＝23，所以a ＝43，所以a 2＝b 2＋c 2，所以A ＝π2，所以△ABC 的面积S ＝12×23×6＝6 3.16．(2018·课标全国Ⅰ，理)在平面四边形ABCD 中，∠ADC ＝90°，∠A ＝45°，AB ＝2，BD ＝5.(1)求cos ∠ADB ； (2)若DC ＝22，求BC.解析 (1)在△ABD 中，由正弦定理，得BD sin ∠A ＝ABsin ∠ADB.由题设知，5sin45°＝2sin ∠ADB，所以sin ∠ADB ＝25.由题设知，∠ADB<90°，所以cos ∠ADB ＝1－225＝235. (2)由题设及(1)知，cos ∠BDC ＝sin ∠ADB ＝25. 在△BCD 中，由余弦定理得BC 2＝BD 2＋DC 2－2·BD·DC·cos ∠BDC ＝25＋8－2×5×22×25＝25. 所以BC ＝5.17．(2017·课标全国Ⅰ，理)△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c.已知△ABC 的面积为a 23sinA .(1)求sinBsinC ；(2)若6cosBcosC ＝1，a ＝3，求△ABC 的周长． 解析 (1)由题设得12acsinB ＝a 23sinA ，即12csinB ＝a3sinA .由正弦定理，得12sinCsinB ＝sinA3sinA .故sinBsinC ＝23.(2)由题设及(1)得cosBcosC －sinBsinC ＝－12，即cos(B ＋C)＝－12.所以B ＋C ＝2π3，故A ＝π3.由题设得12bcsinA ＝a 23sinA，即bc ＝8.由余弦定理得b 2＋c 2－bc ＝9，即(b ＋c)2－3bc ＝9，得b ＋c ＝33. 故△ABC 的周长为3＋33.18．(2017·课标全国Ⅱ，理)△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c.已知sin(A ＋C)＝8sin 2B2.(1)求cosB ；(2)若a ＋c ＝6，△ABC 的面积为2，求b.解析 (1)依题意，得sinB ＝8sin 2B2＝8·1－cosB 2＝4(1－cosB)．∵sin 2B ＋cos 2B ＝1，∴16(1－cosB)2＋cos 2B ＝1，∴(17cosB －15)(cosB －1)＝0，∴cosB ＝1517.(2)由(1)可知sinB ＝817.∵S △ABC ＝2，∴12ac ·sinB ＝2，∴12ac ·817＝2，∴ac ＝172. ∵cosB ＝1517，∴a 2＋c 2－b 22ac ＝1517，∴a 2＋c 2－b 2＝15，∴(a ＋c)2－2ac －b 2＝15， ∴36－17－b 2＝15，∴b ＝2.19．(2017·课标全国Ⅲ，理)△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c.已知sinA ＋3cosA ＝0，a ＝27，b ＝2. (1)求c ；(2)设D 为BC 边上一点，且AD ⊥AC ，求△ABD 的面积． 解析 (1)由已知可得tanA ＝－3，所以A ＝2π3.在△ABC 中，由余弦定理，得28＝4＋c 2－4ccos2π3， 即c 2＋2c －24＝0，解得c ＝－6(舍去)，c ＝4.(2)由题设可得∠CAD ＝π2，所以∠BAD ＝∠BAC －∠CAD ＝π6.故△ABD 面积与△ACD 面积的比值为12AB·AD·sin π612AC ·AD ＝1.又△ABC 的面积为12×4×2sin ∠BAC ＝23，所以△ABD 的面积为 3.20．(2017·北京，理)在△ABC 中，∠A ＝60°，c ＝37a.(1)求sinC 的值；(2)若a ＝7，求△ABC 的面积． 解析 (1)根据正弦定理：a sinA ＝c sinC ⇒sinC ＝csinA a ＝37×sin60°＝37×32＝3314. (2)当a ＝7时，c ＝37a ＝3<a ，又sinC ＝3314，∴cosC ＝1－sin 2C ＝1314.在△ABC 中，sinB ＝sin [π－(A ＋C)]＝sin(A ＋C)＝sinAcosC ＋cosAsinC ＝32×1314＋12×3314＝437， ∴S △ABC ＝12ac ×sinB ＝12×7×3×437＝6 3.21．(2017·天津，理)在△ABC 中，内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c.已知a>b ，a ＝5，c ＝6，sinB ＝35.(1)求b 和sinA 的值； (2)求sin ⎝⎛⎭⎫2A ＋π4的值．解析 (1)在△ABC 中，因为a>b ，故由sinB ＝35，可得cosB ＝45.由已知及余弦定理，有b 2＝a 2＋c 2－2accosB ＝13，所以b ＝13. 由正弦定理a sinA ＝b sinB ，得sinA ＝asinB b ＝31313.所以b 的值为13，sinA 的值为31313.(2)由(1)及a<c ，得cosA ＝21313，所以sin2A ＝2sinAcosA ＝1213，cos2A ＝1－2sin 2A ＝－513.故sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2A ＋π4＝sin2Acos π4＋cos2Asin π4＝7226.22．(2016·北京，理)在△ABC 中，a 2＋c 2＝b 2＋2ac. (1)求∠B 的大小；(2)求2cosA ＋cosC 的最大值． 解析 (1)由余弦定理及题设，得cosB ＝a 2＋c 2－b 22ac ＝2ac 2ac ＝22.又0<B<π，所以∠B ＝π4.(2)由(1)知∠A ＋∠C ＝3π4，则2cosA ＋cosC ＝2cosA ＋cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫3π4－A＝2cosA －22cosA ＋22sinA ＝22cosA ＋22sinA ＝cos ⎝⎛⎭⎪⎫A －π4. 因为0<∠A<3π4，所以当∠A ＝π4时，2cosA ＋cosC 取得最大值1.23．(2019·课标全国Ⅰ，理)△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，设(sinB －sinC)2＝sin 2A －sinBsinC. (1)求A ；(2)若2a ＋b ＝2c ，求sinC.解析 (1)由已知得sin 2B ＋sin 2C －sin 2A ＝sinBsinC ，故由正弦定理得b 2＋c 2－a 2＝bc. 由余弦定理得cosA ＝b 2＋c 2－a 22bc ＝12.因为0°<A<180°，所以A ＝60°.(2)由(1)知B ＝120°－C ，由题设及正弦定理，得2sinA ＋sin(120°－C)＝2sinC ，即62＋32cosC ＋12sinC ＝2sinC ，可得cos(C ＋60°)＝－22. 由于0°<C<120°，所以sin(C ＋60°)＝22，故 sinC ＝sin(C ＋60°－60°)＝sin(C ＋60°)cos60°－cos(C ＋60°)sin60° ＝6＋24.24．(2019·课标全国Ⅲ，理)△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c.已知asin A ＋C2＝bsinA. (1)求B ；(2)若△ABC 为锐角三角形，且c ＝1，求△ABC 面积的取值范围． 解析 (1)由题设及正弦定理，得sinAsin A ＋C2＝sinBsinA.因为sinA ≠0，所以sin A ＋C2＝sinB.由A ＋B ＋C ＝180°，可得sin A ＋C 2＝cos B 2，故cos B 2＝2sin B 2cos B2.因为cos B 2≠0，故sin B 2＝12，因此B ＝60°.(2)由题设及(1)知△ABC 的面积S △ABC ＝34a. 由正弦定理，得a ＝csinA sinC ＝sin （120°－C ）sinC ＝32tanC ＋12.由于△ABC 为锐角三角形，故0°<A<90°，0°<C<90°.由(1)知A ＋C ＝120°，所以30°<C<90°，故12<a<2，从而38<S △ABC <32. 因此，△ABC 面积的取值范围是⎝⎛⎭⎫38，32. 25．(2019·北京，理)在△ABC 中，a ＝3，b －c ＝2，cosB ＝－12.(1)求b ，c 的值； (2)求sin(B －C)的值．解析 (1)由余弦定理b 2＝a 2＋c 2－2accosB ，得 b 2＝32＋c 2－2×3×c ×⎝⎛⎭⎫－12. 因为b ＝c ＋2，所以(c ＋2)2＝32＋c 2－2×3×c ×⎝⎛⎭⎫－12， 解得c ＝5，所以b ＝7. (2)由cosB ＝－12，得sinB ＝32.由正弦定理，得sinC ＝c b sinB ＝5314.在△ABC 中，∠B 是钝角，所以∠C 为锐角． 所以cosC ＝1－sin 2C ＝1114.所以sin(B －C)＝sinBcosC －cosBsinC ＝437.26．(2019·江苏)在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c. (1)若a ＝3c ，b ＝2，cosB ＝23，求c 的值；(2)若sinA a ＝cosB2b ，求sin ⎝⎛⎭⎫B ＋π2的值．解析 (1)因为a ＝3c ，b ＝2，cosB ＝23，由余弦定理cosB ＝a 2＋c 2－b 22ac ，得23＝（3c ）2＋c 2－（2）22×3c ×c，即c 2＝13.所以c ＝33.(2)因为sinA a ＝cosB2b，由正弦定理a sinA ＝b sinB ，得cosB 2b ＝sinBb ，所以cosB ＝2sinB.从而cos 2B ＝(2sinB)2，即cos 2B ＝4(1－cos 2B)，故cos 2B ＝45.因为sinB>0，所以cosB ＝2sinB>0，从而cosB ＝255.因此sin ⎝⎛⎭⎪⎫B ＋π2＝cosB ＝255.1．(2013·课标全国Ⅰ，文)已知锐角三角形ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，23cos 2A ＋cos2A ＝0，a ＝7，c ＝6，则b ＝( ) A ．10 B ．9 C ．8 D ．5答案 D解析 由23cos 2A ＋cos2A ＝0，得cos 2A ＝125.∵A ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2，∴cosA ＝15.∵cosA ＝36＋b 2－492×6b＝15，∴b ＝5或b ＝－135(舍)．故选D 项．2．(2015·重庆，理)在△ABC 中，B ＝120°，AB ＝2，A 的角平分线AD ＝3，则AC ＝________． 答案6解析 如图，在△ABD 中，由正弦定理，得sin ∠ADB ＝ABsin ∠BAD＝2×323＝22.由题意知0°<∠ADB<60°，所以∠ADB ＝45°，则∠BAD ＝180°－∠B －∠ADB ＝15°，∠DAC ＝15°，∠BCA ＝30°，所以BC ＝2，由余弦定理，得AC ＝AB 2＋BC 2－2AB ×BCcos120°＝（2）2＋（2）2－22×2×⎝⎛⎭⎫－12＝ 6.3．(2015·课标全国Ⅰ，理)在平面四边形ABCD 中，∠A ＝∠B ＝∠C ＝75°，BC ＝2，则AB 的取值范围是________． 答案 (6－2，6＋2)解析 如图，作△PBC ，使∠B ＝∠C ＝75°，BC ＝2，作直线AD 分别交线段PB 、PC 于A 、D 两点(不与端点重合)，且使∠BAD ＝75°，则四边形ABCD 就是符合题意的四边形．过C 作AD 的平行线交PB 于点Q ，在△PBC 中，可求得BP ＝6＋2，在△QBC 中，可求得BQ ＝6－2，所以AB 的取值范围是(6－2，6＋2)．4．(2015·课标全国Ⅰ，文)已知a ，b ，c 分别为△ABC 内角A ，B ，C 的对边，sin 2B ＝2sinAsinC. (1)若a ＝b ，求cosB ；(2)设B ＝90°，且a ＝2，求△ABC 的面积． 解析 (1)由题设及正弦定理可得b 2＝2ac.又a ＝b ，可得b ＝2c ，a ＝2c. 由余弦定理可得cosB ＝a 2＋c 2－b 22ac ＝14.(2)由(1)知b 2＝2ac.因为B ＝90°，由勾股定理得a 2＋c 2＝b 2. 故a 2＋c 2＝2ac ，得c ＝a ＝ 2. 所以△ABC 的面积为1.5．(高考真题·安徽卷，理)设△ABC 的内角A ，B ，C 所对边的长分别是a ，b ，c ，且b ＝3，c ＝1，A ＝2B. (1)求a 的值；(2)求sin ⎝⎛⎭⎫A ＋π4的值．解析 (1)因为A ＝2B ， 所以sinA ＝sin2B ＝2sinBcosB. 由正、余弦定理，得a ＝2b·a 2＋c 2－b 22ac .因为b ＝3，c ＝1，所以a 2＝12，a ＝2 3.(2)由余弦定理，得cosA ＝b 2＋c 2－a 22bc ＝9＋1－126＝－13.由于0<A<π，所以sinA ＝1－cos 2A ＝1－19＝223. 故sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫A ＋π4＝sinAcos π4＋cosAsin π4＝223×22＋⎝⎛⎭⎫－13×22＝4－26.。