• 整理可得到
(φ − φ ) (φ − φ ) ( ρu )e φP + E P − ( ρ u )w φW + P W = 0 exp(Pe ) − 1 exp( Pw ) − 1 aPφ P = aEφ E + aWφW aE = Fe F exp( Pw ) , aW = w exp( Pe ) − 1 exp( Pw ) − 1
第三章 对流扩散方程的离散化
用图形表示的精确解为
1 1
0.8
0.8
( φ -φ 0 )/(φ (Px/L)-φ 0 )
0.6
0.6 图例
(φL − φ0 ) exp(
ρ uL ) Γ )
0.4
0.4
0.2
0.2
P=1 P=2 P=4 P=10 P=-10 P=-4 P=-2 p=-1 P=0
0 0 0.2 0.4 0.6 0.8 1
令
Γ F = ρu D = δx 可以得到关于P点的节点方程为
aPφP = aEφ E + aWφW
第三章 对流扩散方程的离散化 5
1 1 Fe + Dw − Fw 2 2 = aE + aW + Fe − Fw = De +
第三章 对流扩散方程的离散化 6
1
3.1 一维对流扩散问题
可以将方程写成无因次形式
15 第三章 对流扩散方程的离散化 16
if Fw < 0 φ w = φ P ( ρu ) w φw = ( ρ u ) wφ P else φ w = φW ( ρ u ) w φw = ( ρ u ) w φW
第三章 对流扩散方程的离散化
3.1 一维对流扩散问题
• 指数格式
dφ dJ ⇒ = 0 ⇒ Je − J w = 0 dx dx • 将上面的精确解应用于P点和E点之间，得到指数格式 J = ρ uφ − Γ
第三章 对流扩散方程的离散化 7
dφ d 2φ PeL = 2 dx dx
边界条件
离散化形式为
x = 0,φ0 = 0 x = 1, φL = 1
第三章 对流扩散方程的离散化 8
3.1 一维对流扩散问题
• 从数值实验可以看到，随着Pe的增加，计算结果开始 发生振荡，显著偏离精确解。
3.1 一维对流扩散问题
5
讨论：有最好的格式吗？
• 以上的离散化格式哪个最好？
d d dφ ( ρ uφ ) = (Γ ) + q dx dx dx x = 0 φ = φ0 x = L φ = φ1
• 请大家研究一下这个问题的精确解，再分析差分格 式。
aP = aE + aW + Fe − Fw
第三章 对流扩散方程的离散化 21 第三章 对流扩散方程的离散化 22
第三章 对流扩散方程的离散化 17
aP = aE + aW + Fe − Fw
3
3.1 一维对流扩散问题
• 混合格式 由指数格式可知
6
3.1 一维对流扩散问题
• 采用分段近似
− Pe aE = 1 − Pe / 2 De 0 0 aW = 1 + Pw / 2 Dw Pw Pe<-2 -2<Pe<2 Pe>2 Pw<-2 -2<Pw<2 Pw>2
6
P
3.1 一维对流扩散问题
• 幂格式
Pe<-10 −Pe 5 aE (1 + 0.1Pe) − Pe -10 ≤ Pe<0 = 5 0<Pe ≤ 10 De (1 − 0.1Pe) Pe>10 0 Pw<-10 0 5 -10 ≤ Pw<0 aW (1 + 0.1Pw) = Dw (1 − 0.1Pw)5 +Pw 0<Pw ≤ 10 Pw Pw>10 aE = De § 0, (1 − 0.1 Pe )5 ¨ + § 0, − Fe ¨ aW = Dw § 0, (1 − 0.1 Pw ) ¨ + § 0, Fw ¨
3.1 一维对流扩散问题
aPφ P = aEφ E + aWφW aE = aW = aP = Γe 1 1 − ( ρ u )e = De − Fe , (δ x )e 2 2 Γw 1 1 + ( ρ u ) w = Dw + Fw (δ x ) w 2 2 Γe 1 Γ 1 + ( ρ u )e + w − ( ρ u ) w (δ x) e 2 (δ x ) w 2
令
dφ dx ρu dφ J* = φ− Γ d ( xδ ) δ J = ρ uφ − Γ
dφ dφ ) e − (Γ ) w dx dx
W
• 上式可改写为
• 在以P点为中心的控制容积上积分，得到
( ρ u ) e φe − ( ρ u ) w φ w = ( Γ
dφ dφ ( ρ uφ )e − ( ρ uφ )w = (Γ )e − (Γ ) w dx dx
第三章 对流扩散方程的离散化 3
(δ x ) w
(δ x ) w +
(δ x ) e (δ x ) e − P ∆x (δ x ) e + e E
(δ x ) w − w
W
• 对流—扩散方程的精确解 将对流扩散方程在P和E两点之间积分，得到
ρ uφ = Γ
dφ ρux c )+ 1 + c1 ⇒ φ = c2 exp( dx Γ ρu
• 为了获得关于P点的离散化方程，必须将控制面上的控制变量用 节点上的值来表示。算术平均是最直接的
φe =
φE + φP 2
φw =
φ P + φW 2
4
第三章 对流扩散方程的离散化
3.1 一维对流扩散问题
• 将控制面上的导数用节点上的控制变量来表示，得到
( ρ u )e φ +φ φE + φP Γ Γ − ( ρu )w P W = (φ E − φP ) − (φ P − φW ) 2 2 (δ x )e (δ x) w
第三章 对流扩散方程的离散化 10
第三章 对流扩散方程的离散化
9
3.1 一维对流扩散问题 3.1 一维对流扩散问题
ρ ux dφ c ρ uφ = Γ )+ 1 + c1 ⇒ φ = c2 exp( dx ρu Γ c ρ uL c φ0 = c2 + 1 ⇒ φL = c2 exp( )+ 1 ρu Γ ρu x = 0 φ = φ0 x = L φ = φL φL − φ0 c2 = c1 = ρu (φL − ρuL ρuL exp( ) −1 exp( ) −1 Γ Γ x exp(Pe ) − 1 φ − φ0 ρuL L , Pe = = exp(Pe) − 1 φL − φ0 Γ
3.1 一维对流扩散问题
考虑无因次形式的一维稳态对流－扩散问题
φ − φ0 x ∆x ρ u ∆x , x = , ∆x = ,Pe = φ= φ L − φ0 L L Γ Pe L dφ d 2φ = 2 dx dx
a P φ P = aE φ E + aW φW a E = 1 − Pe / 2 aW = 1 + Pe / 2 aP = 2
-2 2 6
aE Pe = De exp( Pe ) − 1
6
ae/De
aw/Dw
ae/De
图例 -Pe 1-Pe/2 0 Pe/[exp(Pe)-1) 2
图例 Pw 1+Pw /2 0 Pw exp(Pw )/[exp(Pw )-1]
2
0
0 0 -2 -2 -4 -4 -6 -6 -6 -6 -4 -2 0 2 4 6 -4 -2 0 2 4 6
0
x/L 11 第三章 对流扩散方程的离散化 12
2
3.1 一维对流扩散问题
一维对流扩散方程解的性质 • 曲线呈指数形式 • 两端点中间的随Pe绝对值的增大更接近上游的值
1 1
3.1 一维对流扩散问题
对振荡原因的分析 • 在离散化中隐含假设了控制面两个节点间的变量是线性变化的 • 实际的规律却随着Pe的增大而偏离线性规律 • 各节点的数值误差累加到一定程度时，就会产生振荡。
离散化对流扩散方程系数的统一处理
• 以下的讨论是关于计算技巧方面的内容，这些内容有 助于简化程序设计和减少计算工作量。首先看看离散 化对流—扩散方程的性质
d d dφ ( ρ uφ ) = (Γ ) dx dx dx
离散化对流扩散方程系数的统一处理
• 对流扩散方程等效于 • 或
* e
Je − Jw = 0
第三章 对流扩散方程的离散化 18
(φ − φ ) ( ρ u )e (δ x) e Fe J e = ( ρ u ) e φP + E P , Pe = = exp( Pe ) − 1 Γ De (φP − φW ) ( ρ u ) w (δ x ) w Fw J w = ( ρ u )w φW + = , Pw = exp( Pw ) − 1 Γ Dw
* J − Jw =0
• 按照节点排序，通过控制面的流为
J * = P [αφi + (1 − α )φi +1 ] − β (φi +1 − φi ) J * = ( Pα + β )φi + [ P (1 − α ) − β ] φi +1 J * = B( P)φi − A( P )φi +1 A( P) = β − P(1 − α ), B ( P ) = Pα + β , B ( P ) − A( P ) = P
第三章 对流扩散方程的离散化 2
3.1 一维对流扩散问题
(δ x ) w
(δ x ) w +
3.1 一维对流扩散问题
( ρ uφ ) e − ( ρuφ ) w = (Γ
E
(δ x ) e (δ x ) e − P ∆x (δ x ) e + e
(δ x ) w − w
dφ dφ ) e − (Γ ) w dx dx
1 1
0.8
0.8
( φ -φ 0)/( φ (Px/L)-φ 0)
0.8 0.6 0.6 图例 0.4 0.4 P=1 P=2 P=4 P=10 P=-10 P=-4 P=-2 p=-1 P=0
0.8
( φ -φ 0)/( φ (Px/L)-φ 0)
0.6
0.6 图例
0.4
0.4
0.2
0.2
0.2 0 0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 0
aPφ P = aE φE + aW φW
aE = De § −Pe, 1 − Pe / 2, 0¨ aP = aE + aW + Fe − Fw
19
P
aW = Dw § Pw,1 + Pw / 2, 0¨
-6 对流扩散方程的离散化 -4 -2 第三章 0
-4
P
第三章 对流ຫໍສະໝຸດ Baidu散方程的离散化
-6 2
420
3.1 一维对流扩散问题 第三章 对流扩散方程的离散化
——对流项的处理方法
• 非定常的对流扩散问题中，控制变量随时间的变化可 采用全隐式格式来计算； • 本节主要研究定常的一维对流扩散问题； • 研究的重点在对流项的处理上。 一维对流扩散方程的通用形式为
d d dφ ( ρ uφ ) = (Γ ) dx dx dx
3.1 一维对流扩散问题
• 迎风格式 • 上述结果可以写成统一的形式
Feφe = φP max Fe ,0 − φE max − Fe , 0 Fwφw = φW max Fw , 0 − φ P max − Fw , 0 a PφP = aEφE + aW φW a E = De + − Fe , 0 aW = Dw + Fw , 0 a P = aE + aW + Fe − Fw
0.2
x/L
P=1 P=2 P=4 P=10 P=-10 P=-4 P=-2 p=-1 P=0
第三章 对流扩散方程的离散化
13
0 0 0.2
第三章 对流扩散方程的离散化
0.4 0.6 0.8 1
0
14
x/L
3.1 一维对流扩散问题
避免振荡的对策 • 既然Pe较大时，控制面上变量接近上游的值，我们不 妨在计算时，直接取上游的值。即 dφ dφ ( ρ u )e φ e − ( ρ u ) w φ w = (Γ ) e − (Γ ) w dx dx if Fe > 0 φe = φP ( ρu ) e φe = ( ρ u ) e φ P else φe = φE ( ρ u ) e φe = ( ρ u ) e φE
3.1 一维对流扩散问题
(φ − φP ) ( ρu ) e (δ x) e Fe J e = ( ρu )e φP + E = , Pe = exp( Pe ) − 1 Γ De (φP − φW ) ( ρu ) w (δ x) w Fw J w = ( ρ u ) w φW + = , Pw = exp( Pw ) − 1 Γ Dw
