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对流扩散方程解析解
《流体力学中的湍流扩散方程解析解》
一、什么是湍流扩散方程？
湍流扩散方程是描述物理流体扩散过程数学模型，是由流体力学中的湍流动力学概念推导出来的一种方程，是一种常用的偏微分方程。
它是一种描述在空间中湍流的扩散过程的数学方程，其目的是描述物质和能量在湍流中的传播。
二、湍流扩散方程的公式：
湍流扩散方程的公式为：
∂C/∂t = D∇2C
左侧的第一项是物质的局部变化率，t 代表时间；右侧的第一项用来描述物质在空间中的传播，D 为扩散系数，∇2C 为Laplace 算子。
三、湍流扩散方程的解析解：
1.快速波动方法：即快速 Fourier 过程，是一种快速处理湍流扩散方程的方法，其大致操作是用离散傅立叶变换把扩散方程转化为一个秩为 0
的傅立叶方程，然后使用傅立叶级数解决得出结果；
2.有限差分方法：给定的湍流扩散方程先采用有限的体积分解，即在时间及空间的二维平面上将扩散方程的计算区域划分成均匀的小单元，然后在每个区间内建立一个线性的有限差分矩阵，把扩散方程就变为简单的线性方程组；
3.格式方法：即 Finite Element 方法，用此方法可以把湍流扩散方程从不同的坐标方程中任意变换到球形坐标系，然后用有限元计算机程序解决；
4.积分方法：则是用数值积分的方法解决湍流扩散方程，包括 Runge-Kutta 方法、Adams 方法及其它积分的方法。
四、总结
湍流扩散方程是描述物理流体扩散过程的数学模型，是由流体力学中的湍流动力学概念推导出来的一种方程。
解决该方程有几种方法，即快速波动方法、有限差分方法、格式方法及积分方法。
以上是关于湍流扩散方程解析解的相关介绍，希望能够帮助到大家。
求解空间分数阶扩散方程和对流扩散方程的有限差分格式研究1 空间分数阶扩散方程有限差分格式研究空间分数阶扩散方程是一类非线性偏微分方程，广泛应用于化学、生物、地理、物理等领域的模拟和研究中。
由于其阶数为分数阶，因此其求解方法与常规的整数阶偏微分方程有所不同。
##1.1 基本方程及边值条件空间分数阶扩散方程基本形式为：$$\frac{\partial^{\alpha}u}{\partial t^{\alpha}}=D\frac{\partial^2u}{\partial x^2}$$ 其中，$0<\alpha<1$为分数阶，$D$为扩散系数，$u(x,t)$为扩散物体在空间$x$和时间$t$的浓度分布。
边值条件通常为：$$u(x,0)=f(x)$$$$u(0,t)=u(L,t)=0$$其中，$f(x)$为初始浓度分布，$L$为空间长度。
##1.2 有限差分格式为了在计算机上求解空间分数阶扩散方程，需要将其离散化为有限差分格式。
常用的有限差分格式为Caputo分数阶导数格式和Grünwald-Letnikov分数阶导数格式。
这里以Caputo分数阶导数格式为例，其形式为：$$\frac{\partial^{\alpha}u}{\partial t^{\alpha}}\approx\frac{1}{\Gamma(1-\alpha)}\int_0^t\frac{\partial u}{\partial s}(t-s)^{-\alpha}ds$$$$\frac{\partial^2u}{\partial x^2}\approx\frac{u(x+\Delta x)-2u(x)+u(x-\Deltax)}{\Delta x^2}$$将上述两式带入空间分数阶扩散方程中，得到：$$\frac{1}{\Gamma(1-\alpha)}\int_0^t\frac{\partial u(x,s)}{\partial s}(t-s)^{-\alpha}ds=D\frac{u(x+\Delta x)-2u(x)+u(x-\Delta x)}{\Delta x^2}$$可得到迭代公式：$$u_i^{n+1}=\frac{(1-\theta)\Delta t^{\alpha}}{\Gamma(2-\alpha)\Deltax^2}u_{i+1}^n+\frac{2\theta\Delta t^{\alpha}}{\Gamma(2-\alpha)\Deltax^2}u_i^{n+1/2}+\frac{(1-\theta)\Delta t^{\alpha}}{\Gamma(2-\alpha)\Delta x^2}u_{i-1}^n+\frac{\Delta t}{\Delta x^2}f_i^n$$其中，$u_i^n$表示在$x=i\Delta x$、$t=n\Delta t$时的浓度值，$f_i^n$表示边界条件。
一维非稳态对流-扩散方程的隐式中心差分格式非稳态对流-扩散方程：$$\frac{\partial u}{\partial t}+\frac{\partial}{\partialx}\left(F_{c}\left(u\right)\right)=\underbrace{\frac{\partial}{\ partial x}\left(V_{x}\left(x\right)\frac{\partial u}{\partial x}\right)}_{扩散项}+S\left(x,t\right)$$其中，$u\left(x,t\right)$为温度、浓度等物理量，$F_{c}\left(u\right)$为流动的拖曳力，$V_{x}\left(x\right)$为扩散系数，$S\left(x,t\right)$为源项。
考虑前向差分格式，$i,j=\cdots,-2,-1,0,1,2,\cdots$表示位置，$n$表示时刻：$$u_{i}^{n+1}=u_{i}^{n}-\frac{\Delta t}{\Deltax}\left[F_{c}\left(u_{i+1}^{n}\right)-F_{c}\left(u_{i}^{n}\right)\right]+\frac{\Delta t}{2\Deltax}\left[V_{i+1/2}^{n+1/2}\left(u_{i+1}^{n}-u_{i}^{n}\right)+V_{i-1/2}^{n+1/2}\left(u_{i}^{n}-u_{i-1}^{n}\right)\right]+\Delta t\cdot S_{i}^{n}$$其中，$V_{i+1/2}^{n+1/2}=V_{x}\left(x_{i+1/2}^{n+1/2}\right)$，$x_{i+1/2}^{n+1/2}=\frac{1}{2}\left(x_{i+1}^{n}+x_{i+1}^{n+1}\ri ght)$。
tvd格式对流扩散方程解释说明1. 引言1.1 概述对流扩散方程是描述物质传输中对流和扩散过程的数学模型，广泛应用于自然科学和工程领域。
为了准确地求解对流扩散方程，需要选择适当的数值方法。
TVD(Total Variation Diminishing)格式是一种被广泛应用于求解对流扩散方程的数值方法，具有一阶或高阶精度、小量级能量损失等优点。
1.2 文章结构本文分为五个部分来讨论TVD格式与对流扩散方程。
首先，在引言部分概述了文章的背景和主要内容。
其次，在第二部分将简要介绍TVD格式和对流扩散方程，并探讨了TVD格式在解决对流扩散方程中的应用。
接下来，在第三部分详细介绍了TVD格式的原理和推导过程，还讨论了TVD限制器的作用和选择方法。
第四部分将通过数值实验和应用案例的分析，深入研究TVD格式的效果，并探讨其在实际问题中的应用意义。
最后，在第五部分总结本文研究工作并给出未来研究方向展望。
1.3 目的本文的主要目的是介绍TVD格式在求解对流扩散方程中的应用，并探讨其原理和推导过程。
希望通过数值实验和应用案例分析，验证TVD格式的有效性，同时提出改进方法。
本文还将总结研究工作的贡献点，并展望未来在这一领域的深入研究方向。
通过本文的撰写，旨在增加人们对TVD格式与对流扩散方程相关知识的了解，并为相关领域研究者提供参考和启示。
以上是“1. 引言”部分内容，包括概述、文章结构以及目的三个小节。
下文将继续详细阐述其他部分内容。
2. TVD格式与对流扩散方程2.1 TVD格式简介TVD（Total Variation Diminishing）格式是求解对流扩散方程的一种数值方法。
它在处理具有激烈变化、激波或阶跃的解时表现出色，并且能够有效地抑制数值耗散和震荡现象。
TVD格式广泛应用于流体力学、传热学等领域中。
2.2 对流扩散方程概述对流扩散方程是描述一维物理过程中物质输运的数学模型。
它由对流项和扩散项组成，其中对流项描述了物质通过速度场的输运，而扩散项则描述了物质因浓度或温度差异而发生的不规则传播。
一类二维稳态对流——扩散方程的有限差分法一维稳态扩散方程描述了物质在一维空间中的扩散行为。
然而，在某些情况下，我们需要研究物质在二维平面中的扩散行为，例如热传导、流体传输等。
本文将介绍一类二维稳态对流-扩散方程的有限差分法。
二维稳态对流-扩散方程可以写作：∇·(D∇u) + ∇·(cu) + fu = 0 —— (1)其中，D是扩散系数，c是速度场，u是待求解的物理量，f是源项。
在这个方程中，第一项表示物质的扩散项，第二项表示对流项，第三项表示源项。
我们需要求解方程(1)，找到u的分布。
为了应用有限差分法来求解二维稳态对流-扩散方程，需要将二维空间离散化为一个网格。
假设我们将x方向离散为Nx个等距的节点，y方向离散为Ny个等距的节点，那么我们可以得到一个(Nx+1)×(Ny+1)的网格。
我们在网格节点上定义未知量u，然后将方程(1)对节点处的u进行离散化。
首先，我们对方程(1)的扩散项进行离散化。
我们使用五点差分格式来近似二维Laplace算符∇·(D∇u)。
对于网格节点(x,y)，我们可以得到以下差分格式：(Dij(xi+1,yj)ui+1,j + Dij(xi-1,yj)ui-1,j +Dij(xi,yj+1)ui,j+1 + Dij(xi,yj-1)ui,j-1 -4Dij(xi,yj)ui,j) / ∆x^2 + (Dij(xi,yj)ui,j) / ∆y^2其中，∆x和∆y是网格步长，Dij是扩散系数。
接下来，我们对方程(1)的对流项进行离散化。
我们使用中心差分格式来近似二维梯度算符∇·(cu)。
对于网格节点(x,y)，我们可以得到以下差分格式：(cxi+1/2,yj(ui+1,j - ui,j)) / ∆x + (cxi-1/2,yj(ui,j - ui-1,j)) / ∆x + (cyi,j+1/2(ui,j+1 - ui,j)) / ∆y + (cyi,j-1/2(ui,j - ui,j-1)) / ∆y其中，cxi+1/2,yj、cxi-1/2,yj、cyi,j+1/2和cyi,j-1/2是速度场在节点(x,y)处的中心点处的x和y分量。
对流扩散方程有限差分方法流扩散方程是描述流体内部物质的扩散过程的方程，它可以用于描述溶质的扩散、热量的传导以及动量的传递。
在许多工程和科学领域中，比如地球科学、生物医学和工程学等，流扩散方程都有着广泛的应用。
在数值计算中，有限差分方法是一种常用的数值解法，可以非常有效地解决流扩散方程。
下面将详细介绍对流扩散方程有限差分方法的原理和步骤。
首先，考虑一维流扩散方程的一般形式：∂C/∂t=D∂²C/∂x²-V∂C/∂x其中，C是扩散物质的浓度，t是时间，x是空间位置，D是扩散系数，V是对流速度。
为了使用有限差分方法求解上述方程，我们需要将时间和空间分布离散化，得到方程在网格点上的近似表示。
首先，将时间轴分为n个等间隔的时间步长Δt，空间轴分为m个等间隔的网格点，网格点之间的间距为Δx。
然后，我们使用数值方法来逼近方程中的各个导数项，采用中心差分公式：∂C/∂t≈(C_i^(n+1)-C_i^n)/Δt∂²C/∂x²≈(C_i+1^n-2C_i^n+C_i-1^n)/Δx²∂C/∂x≈(C_i+1^n-C_i-1^n)/(2Δx)将上述近似代入流扩散方程，可以得到：(C_i^(n+1)-C_i^n)/Δt=D(C_i+1^n-2C_i^n+C_i-1^n)/Δx²-V(C_i+1^n-C_i-1^n)/(2Δx)整理上式，可以得到对流扩散方程的有限差分方程：C_i^(n+1)=C_i^n+(DΔt/Δx²)(C_i+1^n-2C_i^n+C_i-1^n)-(VΔt/2Δx)(C_i+1^n-C_i-1^n)上述方程给出了方程在时刻n+1时刻网格点i的值，即C_i^(n+1)，它的值通过已知时刻n时刻各个网格点的值C_i^n来计算。
最后，我们可以使用迭代的方法，从初始条件C_i^0开始，依次计算下一个时刻的网格点C_i^(n+1)，直到达到所需的计算精度或者计算到需要的时间步长。
A对流扩散方程的求解对流扩散问题的有效数值解法一直是计算数学中重要的研究内容，求解对流扩散方程的数值方法主要是有限差分法(FDM)、有限元法(FEM)、有限体积法(FVM)、有限解析法(FAM)、边界元法(BEM)、谱方法(SM) 等多种方法。
但是对于对流占优问题，用通常的差分法或有限元法进行求解将出现数值震荡。
为了克服数值震荡，80年代，J.Douglas,Jr.和T.F.Russell 等提出特征修正技术求解对流扩散占优的对流扩散问题，与其它方法相结合，提出了特征有限元方法、特征有限差分方法、特征混合元方法；T.J.Hughes和A.Brooks提出过一种沿流线方向附加人工黏性的间断有限元法，称为流线扩散方法(SDM)。
有限差分法、有限元法、有限体积法是工程应用中的主要方法。
对流扩散方程的特点对流扩散方程右端第一项为扩散项，左端第二项则是对流项。
由于其方程本身的特点，给建立准确有效的数值求解方法带来一定的困难。
对流和扩散给流体中由流体携带的某种物理量的变化过程，可以通过一个无量纲的特征参数(Peclet数)来描述，Peclet数Pe的定义为：Pe=|ν|L/D。
这里v是来流速度，L是特征长度，D是物质的扩散系数。
如果Pe数较小，即对流效应相对较弱，这类问题中，扩散占主导地位，方程是椭圆型或抛物线型；如果Pe数较大，即溶质分子的扩散相对于流体速度而言是缓慢的，这类问题中，对流占优，方程具有双曲型方程的特点。
对于对流占优问题的求解，采用常规的Galerkin有限元方法，为了避免求解结果产生数值振荡，获得稳定解，则应使每个单元的局部Peclet数，Peh=|ν|h/D≤2，这里h为单元的最大尺寸，|v|为单元中的最大速度分量值。
因此，用本文方法求解对流占优对流扩散问题，要得到稳定解，则要通过加密有限元网格来实现。
求解空间分数阶扩散方程和对流扩散方程的有限差分格式研究求解空间分数阶扩散方程和对流扩散方程的有限差分格式研究近年来，随着科学技术的不断发展，空间分数阶扩散方程和对流扩散方程的求解方法成为研究的热点之一。
这两类方程在工程和科学中的应用非常广泛，如热传导、空气污染模拟、地下水流动等。
为了更好地理解和应用这两类方程，研究人员通过有限差分格式的方法进行了深入研究。
首先，我们来介绍一下空间分数阶扩散方程。
空间分数阶扩散方程是一种描述扩散现象的方程，它的形式为：∂^αu(x,t)/∂t^α = D∇^2u(x,t)其中，u(x,t)是扩散物质的浓度分布函数，D是扩散系数，∂^α/∂t^α是Riemann-Liouville分数阶导数算子，α是分数阶。
对于空间分数阶扩散方程的求解，常用的方法是有限差分格式。
有限差分格式将连续的空间和时间离散化，将求解问题转化为代数问题。
通过将空间和时间网格分段，可以近似地表示方程中的偏导数。
在求解空间分数阶扩散方程时，有限差分格式需要考虑到方程中的分数阶导数，将其离散化为差分形式。
接下来，我们来介绍对流扩散方程的求解方法。
对流扩散方程是一种描述物质传输过程的方程，它的形式为：∂u(x,t)/∂t = D∇^2u(x,t) - v∇u(x,t)其中，u(x,t)是物质的浓度分布函数，D是扩散系数，v是流速。
对于对流扩散方程的求解，同样可以使用有限差分格式。
有限差分格式将方程中的偏导数转化为差分形式，通过逼近连续的空间和时间变量来得到代数格式。
在求解对流扩散方程时，有限差分格式需要考虑方程中的扩散项和对流项，并将其离散化。
在研究中，我们对空间分数阶扩散方程和对流扩散方程的有限差分格式进行了深入研究。
通过对方程的离散化，并应用差分格式求解代数问题，得到了方程的数值解。
我们通过调整网格大小和时间步长，对结果的精度进行了分析。
此外，我们还对不同边界条件下的方程求解进行了讨论。
研究结果显示，对于空间分数阶扩散方程和对流扩散方程，有限差分格式能够给出合理的数值解，并且能够有效地反映扩散现象和物质传输过程。
摘要对流占优扩散方程主要包含对流项和扩散项，其中对流项系数远远大于扩散项系数。
在数值计算中，方程中的扩散项一般采用具有优良物理特性和计算精度的中心差分离散格式，而关于对流项的处理就稍显困难，若处理不当便会产生数值震荡或数值弥散，给数值计算带来困难。
因此，需要对求解的方法做出改进。
本文主要讨论迎风差分格式，迎风加权差分格式，以及特征有限差分格式。
三种方法都能够消除数值震荡，但各种方法间又各有差异。
迎风格式计算量较小，能够消除数值震荡，但是数值解的精度不高。
特征有限差分格式中含有多个未知的点，计算量特别大，从误差分析中可以看出，其数值解拥有较高的精度。
迎风加权差分格式，是在迎风格式的基础上改进得到的，精度较高，其数值解不仅受到时间和空间步长的影响，还受到不同参数的影响。
可以选取不同的参数是迎风加权格式的一个优点。
关键词：对流占优扩散方程；迎风格式；迎风加权差分格式；特征有限差分法AbstractConvection-dominated diffusion problems mainly contain convection and diffusion terms, which the convection coefficient is much larger than the diffusion coefficient. In the numerical calculation, diffusion terms in the equation commonly used central difference discretization scheme with excellent physical properties and calculation accuracy. However, the method of the convective terms slightly difficult. It would produce numerical shock or numerical dispersion if not handled properly. Therefore, we need to make some improvements.This article focuses on upwind difference scheme, upstream weighted scheme, as well as characteristic finite difference method. The numerical oscillation can be eliminated by all three methods, but there are differences between each method. Upwind difference scheme has smaller amount of calculation, to eliminate the numerical oscillation, but the accuracy of numerical solution is not as good as we expect. Characteristic finite difference method which contains a number of unknown point, with a large amount of calculation, and we can see from the error analysis, the accuracy of numerical solution is much higher. Upstream weighted scheme, which improved based on upwind scheme, is not only influenced by the time and space step, but also affected by different parameter of . To choose a different parameter of is also an advantage of upstream weighted scheme.Key Words: Convection-dominated diffusion problem; Upwind difference scheme; Upstream weighted scheme; Characteristic finite difference method目录1、绪论 (1)1.1设计（论文）的背景及目的 (1)1.2 国内外研究现状 (1)1.3 论文主要研究内容 (2)1.4 研究思路和方法 (3)2、论文的预备知识 (4)2.1 差分法简介 (4)2.2 方法 (5)2.3 差分格式的稳定性定理 (6)3、含对流项的一维抛物型方程 (7)3.1 中心差分格式的推导 (7)3.2稳定性分析 (8)3.3中心差分格式的缺陷 (10)4、迎风格式 (11)4.1 对流占优扩散方程的迎风差分格式 (11)4.2迎风差分格式的稳定性分析 (13)5、迎风加权差分格式 (14)5.1加权差分格式的建立 (15)5.2稳定性分析 (15)6、特征有限差分法 (16)6.1特征差分格式的建立 (17)6.2双线性插值 (18)7、数值算例 (19)结论 (26)谢辞 (27)参考文献 (28)附录 (29)对流占优扩散方程的差分法1、绪论1.1设计（论文）的背景及目的对流占优扩散方程是一类基本的运动方程，它可用于环境科学、能源开发、流体力学和电子科学等许多领域，对该方程数值计算方法的研究具有重要的理论和实际意义。
多孔介质中污染物迁移扩散规律数值研究一、多孔介质中污染物迁移扩散的概述多孔介质是指由固体骨架和流体相组成的多孔结构，广泛存在于自然界和工程应用中，如土壤、岩石、混凝土等。
在这些介质中，污染物的迁移和扩散是一个复杂的过程，受到多种因素的影响。
污染物的迁移扩散不仅关系到环境安全，也对人类健康和生态系统产生重要影响。
因此，研究多孔介质中污染物的迁移扩散规律具有重要的科学意义和应用价值。
1.1 污染物迁移扩散的基本特性污染物在多孔介质中的迁移扩散主要受到物理、化学和生物因素的影响。
物理因素包括流体的流动特性、介质的孔隙结构和颗粒大小等；化学因素包括污染物的化学性质、介质的化学组成和pH值等；生物因素则涉及微生物的活动和生物降解作用。
这些因素共同作用，影响污染物在多孔介质中的迁移路径、速率和范围。
1.2 污染物迁移扩散的数学模型为了定量描述污染物在多孔介质中的迁移扩散过程，科学家们发展了一系列数学模型。
这些模型通常基于质量守恒定律和动量守恒定律，通过考虑污染物的吸附、解吸、扩散和对流等过程，来预测污染物在介质中的分布和迁移。
常用的模型包括对流-扩散方程、吸附动力学模型和生物降解模型等。
二、数值方法在污染物迁移扩散研究中的应用数值方法是一种通过数值计算来求解数学模型的方法，广泛应用于污染物迁移扩散的研究中。
数值方法可以模拟复杂的多孔介质结构和污染物迁移过程，为理解和预测污染物的行为提供有力的工具。
2.1 有限差分法有限差分法是一种将连续的数学模型离散化的方法，通过在空间和时间上划分网格，将偏微分方程转化为代数方程组进行求解。
这种方法简单直观，易于实现，但受到网格划分和时间步长选择的影响，可能存在数值稳定性和收敛性问题。
2.2 有限元法有限元法是一种基于变分原理的数值方法，通过将连续的数学模型在有限元空间内近似，利用最小二乘法或加权残差法求解。
这种方法具有较高的灵活性和精度，能够处理复杂的几何和边界条件，但计算量较大，需要高效的算法和计算资源。
对流扩散方程有限差分方法对流扩散方程有限差分方法求解对流扩散方程的差分格式有很多种，在本节中将介绍以下3种有限差分格式：中心差分格式、Samarskii格式、Crank-Nicolson型隐式差分格式。
3.1中心差分格式时间导数用向前差商、空间导数用中心差商来逼近，那么就得到了流扩散方程的显示格式。
处进行Taylor展开: 1)式的中心差分格式[6]n 1 n U j U jn nU j 1 U j 1 a2hnU j 1vn n2U j U j 1h2(3)若令a h，n 1 U jnU jVp，则h1 / n2(U 1(3)式可改写为n nU j 1) (U j 12u：n \U j 1)(4)从上式我们看到, 在新的时间层n 1上只包含了一个未知量nU j1，它可以由时间层n上的值U；1，U j n，U；1直接计算出来。
因此, 中心差分格式是求解对假定u(x,t)是定解问题的充分光滑的解，将n 1U j nU jU； 1 分别在(X j,t n)nUjU(X j,t n 1) U(X j,t n) 0( 2)nU j 1U(X j 1,t n) U(X j,t n)nU j 1 U(X j 1,t n) U(X j,t n) U n h2 2 U n X j 2 2 X jU n h22U nXj2 2 X j代入⑷式，有T (X j,t n)n 1UjnUjn nU j 1 U j 1 a2h2U nh2n0()n2a 0(h )2U2Xn2v 0(h )jhhnU j 10(h3)0(h3)nU j 1v ---20( h )显然，当0, h 0时，T （X j ,t n ） 0，即中心差分格式与定解问题是相容的。
由以上的讨论也可得知，对流扩散方程的中心差分格式的截断误差为2O( h )。
对于我们上面构造的差分格式，是否可以直接用于实际计算呢？也就是 说，如果初始值有误差，在计算过程中误差会不会扩大传播呢？这就是接下来 我们要讨论的是差分方程的稳定性问题。
一种对流扩散方程有限差分显式的稳定条件分析近半个世纪以来，随着计算机的日益普及，对于对流扩散方程的数值求解迅速发展，也激发了大量的相关研究。
其中，有限差分显式是常见的求解方法，因其简单性，快速性而广泛应用。
有限差分显式求解对流扩散方程时，则需要保证求解的稳定性，其中最被重视的是稳定性分析。
对于一般的对流扩散方程，其可以分解为传递部分的对流方程和扩散部分的扩散方程，并可以将其抽象化为一阶常微分方程Ux=F(x,U)。
使用有限差分法求解时，首先需要考虑一类特殊步长t，将该问题转换为Ux(n+1)=F(x,Ux(n))，其中n为当前步长。
接着，可以利用差分显式法，对于给定的步长t可以推导出：Ux(n+1)=Ux(n)+t*F(x,Ux(n))给定时间步长t，求解该方程的稳定性，可以用来检验该方法是否可行，从而将t限制在一定的范围内；如果不稳定，则需要重新设计求解方法。
通常情况下，稳定性分析可以利用条件研究方法，找出具有稳定性的t值，也就是所谓的稳定性条件分析。
在对有限差分显式求解对流扩散方程时，根据具体问题可以采用不同的稳定性条件分析方法。
其中，Lax-Wendroff法是一种常用的稳定性条件分析方法，其可以有效的检测当前差分显式的稳定性。
Lax-Wendroff法通过检验对流扩散方程中差分显式的保守性，提出了一个稳定性条件：t<=(2/3)*(t^2/h)，其中t是时间步长，h^2是空间步长，用来限定所使用的差分显式的稳定性性质。
然而，Lax-Wendroff法不能有效检测特殊情况，比如某些特殊形式的空间步长或者有限差分步长。
因此，也有相关的研究实验，将其应用于对流扩散问题中，进行更为准确的稳定性分析。
本文基于一种对流扩散方程的有限差分显式稳定性分析，将结合相关理论和实验，从稳定性条件分析的角度，分析以及研究使用Lax-Wendroff法的稳定性条件分析。
首先，介绍了对流扩散方程的基本概念，包括方程的分解以及将其转换为一阶常微分方程，以及利用有限差分法转换为Ux(n+1)=F(x,Ux(n))。
对流扩散方程有限差分方法求解对流扩散方程的差分格式有很多种，在本节中将介绍以下3种有限差分格式：中心差分格式、Samarskii 格式、Crank-Nicolson 型隐式差分格式。
3.1 中心差分格式时间导数用向前差商、空间导数用中心差商来逼近，那么就得到了（1）式的中心差分格式]6[21111122h u u u vhu u au u nj n j n j nj n j n jn j -+-+++-=-+-τ（3）若令 haτλ=，2h vτμ=，则（3）式可改写为)2()(2111111nj n j n j n j n j n j n ju u u u u u u -+-+++-+--=μλ （4）从上式我们看到，在新的时间层1+n 上只包含了一个未知量1+n j u ，它可以由时间层n 上的值n j u 1-，n j u ，n j u 1+直接计算出来。
因此，中心差分格式是求解对流扩散方程的显示格式。
假定),(t x u 是定解问题的充分光滑的解，将1+n j u ，n j u 1+，n j u 1-分别在),(n j t x 处进行Taylor 展开：)(),(),(211ττO t u t x u t x u u njn j n j n j+⎥⎦⎤⎢⎣⎡∂∂+==++)(2),(),(322211h O x u h x u h t x u t x u u nj nj n j n j n j +⎥⎦⎤⎢⎣⎡∂∂+⎥⎦⎤⎢⎣⎡∂∂+==++)(2),(),(322211h O x u h x u h t x u t x u u njnj n j n j n j +⎥⎦⎤⎢⎣⎡∂∂+⎥⎦⎤⎢⎣⎡∂∂-==--代入(4)式，有 21111122),(hu u u vhu u au u t x T nj n j n j nj n j n jn j n j -+-+++---+-=τ)()()(2222h O v x u v h O a x u a O t u nj nj nj ⋅-⎥⎦⎤⎢⎣⎡∂∂-⋅+⎥⎦⎤⎢⎣⎡∂∂++⎥⎦⎤⎢⎣⎡∂∂=τ )()()(222h O v a O x u v x u a t u njnj nj ⋅-++⎥⎦⎤⎢⎣⎡∂∂-⎥⎦⎤⎢⎣⎡∂∂+⎥⎦⎤⎢⎣⎡∂∂=τ)(2h O +=τ显然，当0→τ，0→h 时，0),(→n j t x T ，即中心差分格式与定解问题是相容的。
由以上的讨论也可得知，对流扩散方程的中心差分格式的截断误差为)(2h O +τ。
对于我们上面构造的差分格式，是否可以直接用于实际计算呢？也就是说，如果初始值有误差，在计算过程中误差会不会扩大传播呢？这就是接下来我们要讨论的是差分方程的稳定性问题。
下面用Fourier 方法来分析中心差分格式的稳定性。
令ikjh n nje v u =，代入到（4）式)2()(21)1()1()1()1(1h j ik n ikjh n h j ik n h j ik n h j ik n ikjhn ikjhn e v e v e v e v e v ev ev -+-+++-+--=μλ整理得 n n v kh i kh v]sin )cos 1(21[1λμ---=+所以该差分格式的增长因子为：kh i kh k G sin )cos 1(21),(λμτ---= 其模的平方为222)(sin )]cos 1(21[),(kh kh k G λμτ---=2222)(s i n )c o s 1(4)c o s 1(41kh kh kh λμμ+-+--= )]cos 1()cos 1(44)[cos 1(122kh kh kh +-----=λμμ 由于0cos 1≥-kh ，所以1),(≤k G τ（即差分格式稳定）的充分条件为 0)c o s 1()c o s 1(4422≥+---kh kh λμμ 上式可以改写为0242c o s 1)82(222≥-+--λμμλkh注意到]1,0[)cos 1(21∈-kh ，所以上面不等式满足的条件为024)82(222≥-+-λμμλ， 0242≥-λμ。
由此得到差分格式（3）的稳定性限制为22av≤τ ， 212≤h v τ。
故有结论：对流扩散方程的中心差分格式是条件稳定的。
根据Lax 等价定理，我们可以知道，对流扩散方程的中心差分格式是条件收敛的。
3.2 Samarskii 格式设a >0，先对方程(1)作扰动，得到另一个对流扩散方程]7[2211x u v R x u a t u ∂∂+=∂∂+∂∂ （5） 其中 ha vR 21=，当0→h 时，（5）式化为（1）式 对于（5）式，构造迎风格式21111211hu u u v R hu u au u nj n j n j nj n j n jn j -+-++-+=-+-τ（6） 差分格式（6）称为逼近对流扩散方程的Samarskii 格式。
首先推导（6）的截断误差。
设),(t x u 是对流扩散方程（1）式的充分光滑的解21111),(),(2),(11),(),(),(),(h t x u t x u t x u v R ht x u t x u at x u t x u T n j n j n j n j n j n j n j n j -+-++-+--+-=τ令2111),(),(2),(),(),(h t x u t x u t x u vt x u t x u n j n j n j n j n j nj-+++---=τα用 Taylor 级数展开有)()()(222h O xu v t u n j n j nj++∂∂-∂∂=τα再令 2111),(),(2),()111(),(),(h t x u t x u t x u v R h t x u t x u an j n j n j n j n j n j-+-+--+--=β 用 Taylor 级数展开有)()(11)(2)(22222h O xu v R x u ah t u a nj n j n j nj+∂∂++∂∂-∂∂=β )()(1)()(22222h O x uv R R x u Rv x u a n j n j +∂∂++∂∂-∂∂= )()(1)(2222h O xu v R R x u a nj n j +∂∂+-∂∂=由于)()24()21(4122222222h O v h av ah vha va h RR =+=+=+所以 )()(2h O xu a nj n j +∂∂=β )()()()(222h O xu v x u a t u T nj n j n j n jnjnj++∂∂-∂∂+∂∂=+=τβα)(2h O +=τ当0→τ，0→h 时，0→n j T ，所以Samarskii 格式与定解问题是相容的，并且其截断误差为)(2h O +τ。
现在看看Samarskii 格式的稳定性。
将（6）式两边同时加上)2(211nj n j n j u u u ha -++-，把（6）式化为 2111112)21(2h u u u ah R v hu u au u nj n j n j nj n j n jn j -+-+++-++=-+-τ令 21ahR v v ++=，则上式即为： 21111122hu u u vhu u au u nj n j n j nj n j n jn j -+-+++-=-+-τ根据中心显示格式稳定性的讨论，可以得到（6）式的稳定性条件为 212≤h v τ ，22av≤τ即21)21(2≤++h ah R v v τ ， )21(22ahR v a ++≤τ 稳定性的第二个条件等价于1)1(22≤++ahR a v τ而 v R ah v R ah h R v v R ah v R a ah R a v 2)1(1)2)1((122)1(12)1()1(22222+++⋅+=+++⋅=++τττ 利用不等式v R ah vR ah v R ah 2)1(12)1(1)2)1((2++≤+++ 所以222)211(2)2)1(1(12)1(2hv ah R v v R ah h R v ahR a v τττ++=++⋅+≤++ 利用稳定性的第一个条件，有1212)1(22=⋅≤++ahR a v τ，从而可知稳定性条件的第二个条件可由第一个条件推出，因此差分格式的稳定性条件为21)211(2≤++h v ah R v τ， 即 212/122≤⋅⎥⎦⎤⎢⎣⎡++hv ah v ah τ。
由Lax 等价定理可知，Samarskii 格式也是条件收敛的。
3.3 Crank-Nicolson 型隐式差分格式前面讨论了求解对流扩散方程的两种显示格式，它们都是条件稳定的，为了放松稳定性条件，可以采用隐式格式进行求解。
现在考虑Crank-Nicolson 型隐式差分格式]8[)22(21111111hu u h u u a u u n j n j n j n j n jn j +-++-++-+-+-τ)22(2211111211hu u u h u u u v n j n j n j n j n j n j +-+++-++-++-= （7） 令h a τλ=，2hv τμ=，则（7）式可化为 11111)2()1(4)2(++++--++++-n j n j n j u u u μλμμλn j n j n j u u u 11)2()1(4)2(+-+-+-++=μλμμλ （8）把（8）式用矩阵的形式⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛++--++--++--+)1(4)2(2)1(4)2(2)1(4)2(2)1(4μμλμλμμλμλμμλμλμ ⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+-+-++11121312n J n J n n u u u u = ⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛-++--++--++--)1(422)1(422)1(422)1(4μμλμλμμλμλμμλμλμ⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--n J nJ n n u u u u 1232 + ⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛++-++++))(2(00))(2(1111n J n J n n u u u u μλμλ （9）设 =A ⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛++--++--++--+)1(4)2(2)1(4)2(2)1(4)2(2)1(4μμλμλμμλμλμμλμλμ ， =B ⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛-++--++--++--)1(422)1(422)1(422)1(4μμλμλμμλμλμμλμλμ， =n U ⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--n J nJ n nu u u u 1232 ， =F ⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛++-++++))(2(00))(2(1111n J n J n n u u u u μλμλ 则有F BU AU n n +=+1下面讨论Crank-Nicolson 型格式的截断误差和精度。
