第五章对流扩散方程的离散格式

流体仿真与应用第八讲二、对流-扩散问题的有限体积法◆中心差分格式（例子）节点增加到20个结果◆离散格式的性质在数学上，一个离散格式必须要引起很小的误差（包括离散误差和舍入误差）才能收敛于精确解，即要求离散格式必须要稳定或网格必须满足稳定性条件。

在物理上，离散格式所计算出的解必须要有物理意义，对于得到物理上不真实的解的离散方程，其数学上精度再高也没有价值。

通常，离散方程的误差都是因离散而引起，当网格步长无限小时，各种误差都会消失。

然而，在实际计算中，考虑到经济性（计算时间和所占的内存）都只能用有限个控制容积进行离散。

因此，格式需要满足一定的物理性质，计算结果才能令人满意。

主要的物理性质包括：守恒性、有界性和迁移性。

◆离散格式的性质——守恒性满足守恒性的离散方程不仅使计算结果与原问题在物理上保持一致，而且还可以使对任意体积（由许多个控制容积构成的计算区域）的计算结果具有对计算区域取单个控制容积上的格式所估计的误差。

◆离散格式的性质——迁移性③当Pe 为有限大小时，对流和扩散同时影响一个节点的上、下游相邻节点。

随着Pe 的增加，下游受的影响逐渐增大，而上游受的影响逐渐变小。

①，即纯扩散，无对流。

②，即纯对流，无扩散。

0=Pe ∞=Pe◆迎风格式迎风格式（Upwind Differencing Scheme ）在确定控制容积界面上的值时就考虑了流动的方向性，其思想为：在控制容积界面上对流项的取上游节点处的值，称之为第二类迎风格式。

中心差分格式的缺点是，它不能识别流动的方向，控制容积界面上的值取相邻上、下游节点的平均值。

当对流作用较强时，这样的处理就与其物理特征（某点的值受上游的影响，而不受下游的影响）不一致了。

φφφ◆迎风格式◆迎风格式在控制容积界面上对流项的取其上游节点处的值EW →φWw φφ=Pe φφ=()()W P w P E e W w P e D D F F φφφφφφ−−−=−()()[]()Ee W w w P w e e w w D F D F F D F D φφφ++=−+++WE →Pw φφ=Ee φφ=()()[]()Ee e W w Pw e e e w F D D F F F D D φφφ−+=−+−+◆迎风格式通用形式WW E E P P a a a φφφ+=()w e E W P F F a a a −++=EW →ww W F D a +=eE D a =W E →w W D a =ee E F D a −=◆迎风格式的特点迎风格式满足守恒性。

输运方程对流扩散方程输运方程是描述物质传输过程的数学模型，常见的有对流扩散方程。

对流扩散方程是由对流和扩散两种机制共同产生的输运过程来描述的，它的一般形式为：∂c/∂t+∇·(v*c)=∇·(D*∇c)其中，c表示物质的浓度或者响应变量，t表示时间，v表示流体的速度场，D表示物质的扩散系数，∇表示梯度运算符。

对流项描述了物质的对流运动，即物质随着流体的移动而移动。

对于三维坐标系来说，对流项可以表示为∇·(v*c)。

具体来说，对流项的每一项分别表示了物质在x、y和z方向上的携带速度与浓度梯度的乘积。

扩散项描述了物质由浓度高处至浓度低处的扩散现象，即物质自发性地从高浓度区域向低浓度区域传播。

扩散项可以表示为∇·(D*∇c)，其中D是扩散系数，表示物质扩散的速率与浓度梯度的乘积。

对流扩散方程的物理意义是描述了物质在流体中传输的速率与物质浓度梯度之间的关系。

通过对流项，方程能够描述物质随着流体的运动快速传输的现象；而通过扩散项，方程能够描述物质由浓度高处向浓度低处传输的现象。

综合考虑对流和扩散的作用，对流扩散方程能够比较准确地描述物质在流体中的传输过程。

对流扩散方程在科学和工程领域有广泛的应用。

例如，在污染物传输和扩散模拟中，对流扩散方程可用于描述污染物由源区到周围空气或水体的传输过程。

在热传导模拟中，对流扩散方程可用于描述热量由高温区域到低温区域的传导过程。

在物质传递过程中，对流扩散方程也被广泛应用于描绘物质的传输行为。

总结起来，对流扩散方程是一种常见的输运方程，它能够描述物质由流体传输并扩散的过程。

通过对流项和扩散项的综合作用，对流扩散方程能够比较准确地描述物质在流体中的传输行为，所以在科学和工程领域有着广泛的应用。

对流扩散方程clank标题：对流扩散方程的概述引言概述：对流扩散方程是数学中常见的描述物质传输过程的方程。

它在众多领域中都有广泛的应用，如流体力学、热传导、质量传输等。

本文将从五个大点出发，详细阐述对流扩散方程的相关内容。

正文内容：1. 对流扩散方程的基本概念1.1 对流扩散方程的定义1.2 对流扩散方程的一般形式1.3 对流扩散方程的物理意义2. 对流项与扩散项的影响2.1 对流项的作用2.2 扩散项的作用2.3 对流项与扩散项的相互作用3. 对流扩散方程的解析解与数值解3.1 解析解的求解方法3.2 数值解的求解方法3.3 解析解与数值解的比较4. 对流扩散方程的边界条件和初值条件4.1 边界条件的选择与影响4.2 初值条件的确定与影响4.3 边界条件和初值条件的耦合效应5. 对流扩散方程的应用领域5.1 流体力学中的应用5.2 热传导中的应用5.3 质量传输中的应用总结：对流扩散方程是描述物质传输过程的重要方程，其基本概念包括方程的定义、形式和物理意义。

对流项和扩散项是方程中的两个关键因素，它们分别对物质传输起到对流和扩散的作用，并且相互作用影响着传输过程。

对流扩散方程的求解可以采用解析解和数值解两种方法，它们各有优劣，需要根据具体情况选择。

边界条件和初值条件是方程求解中必要的条件，它们的选择与确定对结果有重要影响。

对流扩散方程在流体力学、热传导和质量传输等领域都有广泛应用，它为我们理解和解决实际问题提供了重要的数学工具。

总之，对流扩散方程是一个复杂而重要的数学方程，它在物质传输过程中起着关键作用。

深入理解和研究对流扩散方程，对于解决实际问题具有重要意义。

一类二维稳态对流——扩散方程的有限差分法一维稳态扩散方程描述了物质在一维空间中的扩散行为。

然而，在某些情况下，我们需要研究物质在二维平面中的扩散行为，例如热传导、流体传输等。

本文将介绍一类二维稳态对流-扩散方程的有限差分法。

二维稳态对流-扩散方程可以写作：∇·(D∇u) + ∇·(cu) + fu = 0 —— (1)其中，D是扩散系数，c是速度场，u是待求解的物理量，f是源项。

在这个方程中，第一项表示物质的扩散项，第二项表示对流项，第三项表示源项。

我们需要求解方程(1)，找到u的分布。

为了应用有限差分法来求解二维稳态对流-扩散方程，需要将二维空间离散化为一个网格。

假设我们将x方向离散为Nx个等距的节点，y方向离散为Ny个等距的节点，那么我们可以得到一个(Nx+1)×(Ny+1)的网格。

我们在网格节点上定义未知量u，然后将方程(1)对节点处的u进行离散化。

首先，我们对方程(1)的扩散项进行离散化。

我们使用五点差分格式来近似二维Laplace算符∇·(D∇u)。

对于网格节点(x,y)，我们可以得到以下差分格式：(Dij(xi+1,yj)ui+1,j + Dij(xi-1,yj)ui-1,j +Dij(xi,yj+1)ui,j+1 + Dij(xi,yj-1)ui,j-1 -4Dij(xi,yj)ui,j) / ∆x^2 + (Dij(xi,yj)ui,j) / ∆y^2其中，∆x和∆y是网格步长，Dij是扩散系数。

接下来，我们对方程(1)的对流项进行离散化。

我们使用中心差分格式来近似二维梯度算符∇·(cu)。

对于网格节点(x,y)，我们可以得到以下差分格式：(cxi+1/2,yj(ui+1,j - ui,j)) / ∆x + (cxi-1/2,yj(ui,j - ui-1,j)) / ∆x + (cyi,j+1/2(ui,j+1 - ui,j)) / ∆y + (cyi,j-1/2(ui,j - ui,j-1)) / ∆y其中，cxi+1/2,yj、cxi-1/2,yj、cyi,j+1/2和cyi,j-1/2是速度场在节点(x,y)处的中心点处的x和y分量。

A对流扩散方程的求解对流扩散问题的有效数值解法一直是计算数学中重要的研究内容，求解对流扩散方程的数值方法主要是有限差分法(FDM)、有限元法(FEM)、有限体积法(FVM)、有限解析法(FAM)、边界元法(BEM)、谱方法(SM) 等多种方法。

但是对于对流占优问题，用通常的差分法或有限元法进行求解将出现数值震荡。

为了克服数值震荡，80年代，J.Douglas,Jr.和T.F.Russell 等提出特征修正技术求解对流扩散占优的对流扩散问题，与其它方法相结合，提出了特征有限元方法、特征有限差分方法、特征混合元方法；T.J.Hughes和A.Brooks提出过一种沿流线方向附加人工黏性的间断有限元法，称为流线扩散方法(SDM)。

有限差分法、有限元法、有限体积法是工程应用中的主要方法。

对流扩散方程的特点对流扩散方程右端第一项为扩散项，左端第二项则是对流项。

由于其方程本身的特点，给建立准确有效的数值求解方法带来一定的困难。

对流和扩散给流体中由流体携带的某种物理量的变化过程，可以通过一个无量纲的特征参数(Peclet数)来描述，Peclet数Pe的定义为：Pe=|ν|L/D。

这里v是来流速度，L是特征长度，D是物质的扩散系数。

如果Pe数较小，即对流效应相对较弱，这类问题中，扩散占主导地位，方程是椭圆型或抛物线型；如果Pe数较大，即溶质分子的扩散相对于流体速度而言是缓慢的，这类问题中，对流占优，方程具有双曲型方程的特点。

对于对流占优问题的求解，采用常规的Galerkin有限元方法，为了避免求解结果产生数值振荡，获得稳定解，则应使每个单元的局部Peclet数，Peh=|ν|h/D≤2，这里h为单元的最大尺寸，|v|为单元中的最大速度分量值。

因此，用本文方法求解对流占优对流扩散问题，要得到稳定解，则要通过加密有限元网格来实现。

主讲陶文铨西安交通大学能源与动力工程学院热流中心CFD-NHT-EHT CENTER2010年10月18日, 西安数值传热学第五章对流扩散方程的离散格式(2)对流项离散格式的重要性及两种离散方式5.5.1假扩散的含义与成因5.5.2一阶截差格式引起严重假扩散举例1.本来的含义2.扩充的含义3.Taylor 展开法的分析5.5关于假扩散的讨论5.5.3网格倾斜交叉引起的计算误差5.5.4 非常数源项引起的假扩散5.5.5 两个名例以一维非稳态纯对流过程为例俩分析，其中有两n nφφ2(,O x φΔΔ其中关于时间的二阶导数项可做如下变化：时才没有这部分的计算误差。

2. 扩充的含义现有文献中常常将较大的计算误差都称为假扩散，大致有以下几项原因：(1) 一阶导数的一阶截差格式；(2) 流动方向与网格线呈倾斜交叉；(3) 离散格式未计及非常数源项的影响。

5.5.2一阶截差格式引起严重假扩散举例1.一维稳态对流扩散问题对流项用FUD，扩散项用CD，当Pe较大时，数值计算结果严重偏离精确解。

Physically plausible solution纯对流传递纯对流传递由离散方程：1n−1此时只有对流，没有扩散！时则有严重假扩散！0.8C =0.8C =当时，产生了严重的扩散作此种误差称为流向假扩散Γ≠Γ气流01. 设UE对P 控制容积，有2. 设控制容积，此时：计算误差纯对流传递三个对流问题的归纳这就是假扩散纯对流传递3)网格倾斜交叉引起的计算误差E冷热流体之间产生了温度均匀化的过程，即交叉5.5.5 已知流场计算温度场232(1),2(1)u y x v x y =−=−−参考解xT严重假扩散2) Leonard细高方腔中的自然对流换热5.6.1采用高阶格式克服流向假扩散5.6可以克服或减轻假扩散的格式与方法5.2.2 克服、减轻交叉假扩散的方法1. 采用二阶迎风2.采用三阶迎风3. 采用QUICK 格式1. 采用有效扩散系数2.采用自适应网格4. 采用SGSD 格式可以克服或减轻假扩散的格式与方法相当于界面上的中心差分)W WWxφ+Δ如型线上凹，则(2) FVM向上游取两点定义界面插值2.采用三阶迎风展开定义－一阶导数的三阶偏差分格式3. 采用定义－界面的插值在中心差分基础上考虑曲中心差分插值率修正？需要满足两个条件：插值的正确修正：相邻(2)0W PE φφφ−+<型线下凹8Cur −对e-界面u e 小于零时，取,,W P φφφu e 大于零时，取怎样相邻的三点?QUICK(2)e φφ=1/2w i φφ−=有：4. 采用CD条件稳定，但没有二阶假扩散；二阶迎风绝对稳定，组合起来，但是：如何确定值，特别是如何由计算结果来5. 高阶格式实施中的问题f u f计算边界：固o2) 代数方程的求解：等时，5.6.2用减小扩散系采用自适应网格（以减轻流5.7 对流-扩散方程离散形式稳定性分析5.7.1 数值计算中常见的三种不稳定性5.7.2 分析对流项格式不稳定性的“符号不变原则”5.7.3 稳定性分析结果讨论5.7.4 对流项格式问题讨论小结2.“符号不变”原则的基本思想3. “符号不变”原则的实施步骤4. “符号不变”原则的实施例子1. 研究背景扩散方程离散形式稳定性分析也会产生振荡的解，称为对流项离散格式的不稳态定性，研究目的是，找出产生振荡的临界Peclet 数。